第11讲 图形的旋转 复习讲义 2026-2027学年人教版九年级数学上册

第11讲 图形的旋转（核心知识+6易错辨析+5典例精讲+课后作业） 考点 1　旋转的概念与三要素 把一个平面图形绕着平面内某一点 O 转动一个角度，叫做图形的旋转。点 O 叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。旋转只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小。 要素 含义 注意 旋转中心 旋转时保持不动的点（定点） 可以是图形外、图形内或图形边上的点 旋转方向 顺时针或逆时针 方向不同，旋转后的位置不同，必须指明 旋转角 图形转动的角度 等于对应点与旋转中心连线的夹角 对“旋转”的理解：旋转前后图形全等，只是位置发生改变；图形上每一个点都绕旋转中心沿同一方向转动相同的角度（即旋转角处处相等）。 考点 2　旋转的性质 设一个图形绕点 O 旋转，点 A、B、C 的对应点分别为 A′、B′、C′，则旋转具有以下三条基本性质： （1）对应点到旋转中心的距离相等： （2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角： （3）旋转前后的图形全等： 由性质（3）可知：旋转前后对应线段相等、对应角相等；旋转中心是唯一的“不动点”。这三条性质是求角度、求线段长和证明线段相等、角相等的重要依据。 考点 3　旋转的作图 在方格纸或坐标系中画出一个图形绕定点旋转后的图形，一般按以下步骤进行： （1）确定旋转中心、旋转方向和旋转角； （2）在已知图形上选取若干关键点（如线段的端点、多边形的顶点）； （3）分别作出每个关键点绕旋转中心旋转后的对应点（利用性质 1，以旋转中心为圆心、到关键点的距离为半径，沿指定方向量出旋转角）； （4）按原图形的连接顺序顺次连接各对应点，即得旋转后的图形。 作图的关键是“作好关键点的对应点”，对应点确定正确，整体图形才能正确。 考点 4　旋转中心的确定 已知旋转前后两个图形的位置（或两组对应点），求旋转中心：分别连接两组对应点，作这两条线段（对应点连线）的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为旋转中心。旋转角则是对应点与旋转中心所连线段的夹角。 理由：由“对应点到旋转中心的距离相等”可知，旋转中心到每一组对应点的距离相等，因而旋转中心必在对应点连线的垂直平分线上；两组对应点连线的垂直平分线的交点即唯一确定。 考点 5　旋转与平移、轴对称的辨析 项目 旋转 平移 轴对称 共同点 变换前后图形全等（形状、大小不变），只改变位置 同左 同左 运动方式 绕定点（旋转中心）转动 沿某方向移动一定距离 沿对称轴翻折 方向特征 各对应线段方向都转同一个角 各对应线段方向不变 对称轴两侧图形方向相反 确定要素 旋转中心、旋转方向、旋转角 方向、距离 对称轴 三者都保持图形全等，本质区别在于“运动方式”与“方向是否改变”：旋转绕定点转、方向改变；平移沿直线移、方向不变；轴对称沿直线翻折、方向相反。旋转 180° 的特殊情况即为中心对称（将在下一节学习）。 【易错点 1】把图形上某条线段的转动角度误当成旋转角 错因剖析：图形转动时，个别点或线段的“移动感觉”容易误导判断，把线段端点的转动角误认作整个图形的旋转角。 正确理解：旋转角是对应点与旋转中心所连线段的夹角，即 ∠AOA′ 这类角；图形上各点转动的角度都等于旋转角。 纠错策略：先找旋转中心，再看某一组对应点与旋转中心连线的夹角，不要凭“转得大不大”估计。 【易错点 2】忽略旋转方向 错因剖析：只关注角度，不注明顺时针还是逆时针，导致同一角度下图形落在错误的一侧。 正确理解：旋转方向与旋转角共同决定图形的位置，二者缺一不可。 纠错策略：作图与判断时先明确“绕谁、向哪个方向、转多少度”，再确定对应点。 【易错点 3】把旋转、平移、轴对称混为一谈 错因剖析：三者都保持图形全等，学生容易只记“不变形状大小”，忽略运动方式与方向的差异。 正确理解：抓住“方向是否改变、绕点还是沿线”来判断；旋转后各对应边方向都转同一个角。 纠错策略：用一组对应线段看方向，方向转了角则是旋转，方向不变则是平移，方向反向则是轴对称。 【易错点 4】运用性质时找错对应点 错因剖析：对应点与对应线段没有按“旋转前后重合”的对应顺序来找，导致距离相等、线段相等用错对象。 正确理解：对应点必须一一对应（如 A 与 A′），对应线段、对应角按相同的对应关系确定。 纠错策略：先在图形上标出对应关系（A↔A′、B↔B′、C↔C′），再套用性质。 【易错点 5】旋转作图漏关键点或方向画反 错因剖析：只作了个别关键点就连接，或旋转方向搞反，所得图形与要求不符。 正确理解：每个关键点都要作出对应点，连接顺序须与原图形一致，方向按指定（顺/逆时针）确定。 纠错策略：按“选点—逐点作对应点—按序连线”三步检查，作图后验证对应点与旋转中心连线的夹角是否都等于旋转角。 【易错点 6】误以为旋转中心一定在图形内部 错因剖析：受“绕着图形中心转”的生活经验影响，认为旋转中心只能是图形的中心或内部点。 正确理解：旋转中心是平面上任意一点，可以在图形外、图形内或图形边上。 纠错策略：判断旋转中心时用“两组对应点连线垂直平分线的交点”这一方法，不要主观预设位置。 【题型一】旋转现象识别与三要素判定 【典例1】．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，按顺时针旋转到的位置，以下说法正确的是（     ） A．点A是旋转中心，是旋转角 B．点C是旋转中心，点B和点D是对应点 C．点A是旋转中心，点C和点E是对应点 D．点D是旋转中心，是旋转角 【答案】C 【知识点】找旋转中心、旋转角、对应点 【分析】由按顺时针旋转到的位置，可得点是旋转中心，点和点是对应点，点和点是对应点，继而求得答案． 【详解】解：∵如图，按顺时针旋转到， ∴点是旋转中心，点和点是对应点，点和点是对应点， ∴和是旋转角，不是旋转角， 故A，B，D错误，C正确． 【典例2】．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，把绕点顺时针旋转得到，则旋转中心是点______，旋转角是____________________（写出一个即可）． 【答案】 （答案不唯一） 【知识点】找旋转中心、旋转角、对应点、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查旋转的定义和性质，绕着点旋转，点就是旋转中心，旋转前的图形和旋转后的图形中，对应点与旋转中心所连线段所成的角都相等，所以答案不唯一． 【详解】解：因为绕点顺时针旋转得到，所以点就是旋转中心； 又因为旋转前的图形和旋转后的图形中，对应点与旋转中心所连线段所成的角是旋转角，且对应边是，对应边是， 所以或都是旋转角． 【典例3】．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，等边三角形经过平移、轴对称或旋转都可以得到另一个三角形． （1）沿轴向右平移得到，则平移距离是_______个单位长度； （2）与成轴对称图形，则对称轴是_______； （3）绕原点顺时针方向旋转得到，则旋转角度可以是_______． 【答案】 轴（或直线） 【知识点】图形的平移、利用平移的性质求解、轴对称图形的识别、找旋转中心、旋转角、对应点、根据旋转的性质求解 【分析】本题结合平面直角坐标系，考查平移、轴对称、旋转三种几何变换的基本性质，结合等边三角形的角度特征进行求解． 【详解】（1）已知点坐标为，沿轴向右平移得到， 点对应点是点，两点在轴上的距离为， 平移距离为个单位长度． （2）与成轴对称图形，点的对应点是点， 点坐标为，两点关于轴对称，其余对应点也都关于轴对称， 对称轴是轴． （3）是等边三角形， ，， 绕原点顺时针旋转后边与边重合， 旋转角度为． 【变式1-1】．（26-27九年级上·全国·单元测试）如图，将绕点旋转得到，设点的坐标为，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】找旋转中心、旋转角、对应点、坐标系中的旋转、中点坐标 【详解】解：∵绕点旋转得到， ∴点为、的中点， 设的坐标为， 则，解得， 则点的坐标为． 【变式1-2】．（26-27九年级上·北京·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，绕某点顺时针旋转后得到，则旋转中心的坐标是_____． 【答案】 【知识点】找旋转中心、旋转角、对应点、根据旋转的性质求解、坐标系中的旋转 【分析】根据旋转中心一定在对应点连线的垂直平分线上，结合对称点解答即可． 【详解】解：连接、，分别作、的垂直平分线，相交于点G，如下图： ∴旋转中心是图中的点G，坐标为． 【变式1-3】．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，如果把钟表的指针看作，它绕点按顺时针方向旋转得到，在这个旋转过程中： (1)旋转中心是点_______； (2)旋转角是_______； (3)旋转方向是_______； (4)经过旋转，点，变动到什么位置?_______． 【答案】(1) (2)（或） (3)顺时针 (4)点， 【知识点】找旋转中心、旋转角、对应点 【分析】（1）根据旋转的三要素判断即可． （2）根据旋转的三要素判断即可． （3）根据旋转的三要素判断即可． （4）根据旋转的性质判断即可． 【详解】（1）解：根据题意将绕点按顺时针方向旋转得到， ∴旋转中心是点． （2）旋转角是指对应点与旋转中心连线所成的角， 根据题意将绕点按顺时针方向旋转得到， ∴点对应点，点对应点，点对应点（旋转中心）， ∴ 和所成的角 是旋转角，同理，和所成的角 也是旋转角． （3）解：根据题意将绕点按顺时针方向旋转得到， ∴旋转方向是按顺时针方向． （4）解：根据题意将绕点按顺时针方向旋转得到， ∴点对应点，点对应点． 【题型二】利用旋转性质求角度、求线段长 【典例4】．（24-25九年级上·广西南宁·阶段检测）如图，将三角板（其中，）绕点顺时针旋转得到，点在同一条直线上，那么旋转角等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据旋转的性质求解、角度问题(旋转综合题) 【分析】本题考查了旋转的性质，求角度的问题，由题意可知，旋转角，结合的度数可得的度数即可，掌握旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：∵点在同一条直线上，， ∴， 故选：C． 【典例5】．（2025·辽宁抚顺·一模）如图．点中，点是轴上一动点，以点为旋转中心，将线段逆时针旋转90°，得到线段，连接，则线段的最小值为_____． 【答案】/ 【知识点】利用二次函数对称性求最短路径、根据旋转的性质求解、线段问题(旋转综合题) 【分析】本题主要考查旋转的性质，勾股定理及二次函数的最值问题，掌握配方法求最值是解题的关键． 设，则，根据勾股定理得，结合配方法求最值即可求解． 【详解】设，则， 由题知，， ， ， 时，取得最小值． 故答案为：． 【典例6】．（2024九年级上·北京朝阳·期末）已知线段和点，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接为的中点，连接．    (1)如图1，点在线段上，依题意补全图1，直接写出的度数； (2)如图2，点在线段的上方，写出一个的度数，使得成立，并证明． 【答案】(1)补全图1，如图，的度数为 (2) ， 证明：延长到点，使得，连接，连接并延长，与的延长线相交于点．   是的中点， ． ，， ． ． ． ． 在中， ． ，， ． ． ． ， ． ． ． ． 【知识点】全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定、线段问题(旋转综合题)、角度问题(旋转综合题) 【分析】（1）依题意即可补全图形， 连接，由题意得，即，，推出，由旋转的性质得到，进而得到，易得，根据F为的中点，得到，易证，，推出，即可求解； （2）延长到点，使得，连接，连接并延长，与的延长线相交于点．证明，，即可证明结论． 【详解】（1）解：连接， ， ，即， ， ， ， ， ， ， F为的中点， ， ，， ， 同理， ， ， ， ； （2）略 【点睛】本题是一道几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定与性质，三角形内角和定理等知识点，深入理解题意是解决问题的关键． 【变式2-1】．（24-25九年级上·广西南宁·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（，0），点C的坐标为（0，6），将矩形OABC绕O按顺时针方向旋转α度得到OA′B′C′，此时直线、直线分别与直线 相交于点P、Q．当，且时，线段的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用勾股定理解三角形、求绕原点旋转一定角度的点的坐标、线段问题(旋转综合题) 【分析】过点作于，连接，构造直角三角形，运用勾股定理求得的长，进一步求得线段的长度． 【详解】解：∵， ∴点P在点B的右侧．如图，过点作于，连接，则． ∵，， ∴． 设， ∵， ∴． 则，． 在中，根据勾股定理知，，即， 解得． ∴． 故选：B． 【点睛】此题考查了坐标与图形的变化---旋转，特别注意在旋转的过程中的对应线段相等，能够用一个未知数表示同一个直角三角形的未知边，根据勾股定理列方程求解． 【变式2-2】．（24-25九年级上·福建厦门·期中）如图，将绕点逆时针旋转110°，得到，若点落在线段的延长线上，则大小为______． 【答案】/35度 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角、角度问题(旋转综合题) 【分析】根据旋转的性质可得出，再根据等腰三角形的性质可求出的度数，此题得解． 【详解】解：根据旋转的性质，可得：， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质以及等腰三角形的性质，根据旋转的性质结合等腰三角形的性质求解是解题的关键． 【变式2-3】．（24-25九年级上·江西上饶·阶段检测）【综合实践】 中，是边上任意一点，以点为中心，取旋转角等于，把逆时针旋转，画出旋转后的图形． 【操作体验】 （1）若点的对应点为点，画出旋转后的图形； 【深入探究】 （2）如图2，中，是边上一点（不与重合），猜想三条线段之间的数量关系，并给予证明； 【拓展应用】 （3）如图3，中，是内部的任意一点，连接，求的最小值． 【答案】 （1）图即为所作， （2）数量关系：， 理由如下：逆时针旋转 由题意得：如图， ， ，即， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， 在中，，， ， ； （3） 【知识点】全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定、线段问题(旋转综合题)、角度问题(旋转综合题) 【分析】（1）按要求作图即可 （2）根据全等三角形的性质得到，，得到，根据勾股定理计算即可； （3）如图4中，先由旋转的性质得出，则，，，，，再证明，然后在中，由勾股定理求出的长度，即为的最小值； 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图4中，将绕着点逆时针旋转，得到，连接，， ， ，，，，， 是等边三角形， ， ， 当点，点，点，点共线时，有最小值， ， ， ， ， 故答案为． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的性质，利用旋转的性质构造全等三角形是本题的关键． 【题型三】旋转作图 【典例7】．（2025·山东青岛·一模）如图，已知，将先向左平移4个单位，再绕原点O顺时针旋转得到，则点A的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】平移(作图)、画旋转图形 【分析】本题考查了图形的平移和旋转．根据平移和旋转的性质作图后即可得到答案． 【详解】解：如图，即为所求， 将先向左平移4个单位后坐标为，再绕原点O顺时针旋转得到点的坐标是 故选：A． 【变式3-1】．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，已知．将绕某点逆时针旋转后，其对应点分别为，画出和旋转中心P，并直接写出旋转中心P的坐标为_______． 【答案】 【知识点】画旋转图形、根据旋转的性质求解 【分析】本题主要考查了旋转作图，先画出旋转的，连接，作的垂直平分线，连接，作的垂直平分线，两直线交于一点即为点P，并写出坐标． 【详解】如图所示． 点P的坐标是． 故答案为：． 【变式3-2】．（26-27九年级上·福建福州·阶段检测）在矩形中，点在边上，，将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点在线段上． (1)请在图中作出；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，连接，若与的交点为的中点，求的度数． 【答案】(1)如图，即为所求； (2) 【知识点】二次根式的乘除混合运算、尺规作图——作三角形、利用勾股定理的逆定理求解、利用矩形的性质求角度、画旋转图形、根据旋转的性质求解 【分析】（1）以为圆心，为半径作弧交于点，分别以，为圆心，，为半径画弧，两弧交于点，连接，，由作法知利用可证明与全等，且两三角形有公共顶点，，所以即为所求； （2）设，由已知条件可推出，利用勾股定理逆定理可证明为直角三角形，则题目可解． 【详解】（1）略； （2）解：∵在矩形中， ∴， ∵ ∴， ∵绕点顺时针旋转得到， ∴， 设， 则， ∵为中点， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【变式3-3】．（26-27九年级上·全国·课后作业）任意画一个，并把它旋转： (1)以点A为旋转中心，把逆时针旋转； (2)以边的中点为旋转中心，把顺时针旋转； (3)在内任取一点为旋转中心，把逆时针旋转； (4)在外任取一点为旋转中心，把顺时针旋转． 【答案】(1) 如图，即为所求， (2) 如图即为所求， (3) 如图，即为所求， (4) 如图，即为所求 【知识点】画旋转图形 【分析】（1）任意画出原，连接，. 将绕点逆时针旋转，截取. 将绕点逆时针旋转，截取. 连接即可； （2） 设的中点为，连接，，. 将，，分别绕点顺时针旋转，分别截取，，. 顺次连接，，即可； （3）在内任取一点作为旋转中心，连接，，. 将，，分别绕点逆时针旋转，分别截取，，. 顺次连接，，即可； （4）在外任取一点作为旋转中心，连接，，. 将，，分别绕点顺时针旋转，分别截取，，. 顺次连接，，即可. 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 （4）略 【题型四】求绕原点旋转90度的点的坐标 【典例8】．（25-26九年级·河南安阳·期中）李华利用平面直角坐标系绘制了如图的风车图形，他先将固定在坐标系中，其中，，接着他将绕点O逆时针旋转（）至，此次旋转称为第1次旋转，然后进行第2次旋转：将绕点O逆时针转动至，…，那么按照这种旋转方式，旋转第2026次后，点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】旋转中的规律性问题、求绕原点旋转90度的点的坐标 【分析】根据每次转动可知，4次一个循环，分别求出第一次到第四次的点的坐标，利用规律解决问题即可． 【详解】解：∵绕原点O逆时针转动至，，， ∴， ∵绕原点O逆时针转动至， ∴， ∵绕原点O逆时针转动至， ∴， ∵绕原点O逆时针转动至， ∴， 即点与点A重合， ∴点A每旋转4次为一个循环， ∵， ∴在转动2026次后，点A在点的位置，此时点A的坐标为． 【典例9】．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为． （1）将点P绕原点O顺时针旋转得到点，则点的坐标为______； （2）将点P绕原点O逆时针旋转得到点，则点的坐标为______． 【答案】 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、求绕原点旋转90度的点的坐标 【分析】（1）作轴，轴，轴，轴，构造，然后根据全等三角形的性质即可解答； （2）同（1）可证：，再根据全等三角形的性质解答即可． 【详解】解：（1）如下图，作轴，轴，轴，轴， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）如上图，同（1）可证：， ， ． 【典例10】．（26-27九年级上·吉林·期中）如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为，将绕原点O顺时针旋转得到，点A、B、C的对应点分别为、、． (1)请你在图中画出； (2)写出点的坐标． 【答案】(1)如图即为所求； (2) 【知识点】画旋转图形、求绕原点旋转90度的点的坐标 【分析】（1）根据旋转的方式，分别画出点、、的对应点、、，再顺次连接即可得到； （2）结合图形写出点的坐标即可． 【详解】（1）解：略． （2）解：由坐标系可得，点的坐标为． 【变式4-1】．（2026·湖北荆州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，将绕点逆时针旋转，点落到点处．若点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、求绕原点旋转90度的点的坐标 【分析】过点作轴，过点作轴，证明，由得到，，根据点在第二象限，得到． 【详解】解：如图，过点作轴，过点作轴， ， 由旋转得，， ， ， ， ， ， ， ， ，， 点在第二象限， ． 【变式4-2】．（2026·四川广安·中考真题）已知在平面直角坐标系中，，，将绕点逆时针旋转得到，连接交于点，将点向左平移2个单位长度得到点，则点的坐标为_____． 【答案】 【知识点】求一次函数解析式、两直线的交点与二元一次方程组的解、由平移方式确定点的坐标、求绕原点旋转90度的点的坐标 【分析】由旋转的性质求出点的坐标，用待定系数法分别求出直线、的函数解析式，联立求出点的坐标，利用坐标平移的规律：左减右加，上加下减，求出的坐标． 【详解】解：由旋转的性质可知：， 设直线的函数解析式为， 把代入得，解得， 直线的函数解析式为 设直线的函数解析式为， 把，代入得， 解得， 直线的函数解析式为， 联立，解得， ， 将点向左平移2个单位长度得到点， ． 【变式4-3】．（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）阅读材料：双曲线向右平移1个单位后的表达式是什么？针对这个问题，某同学给出了以下猜想及证明． 猜想：平移后的表达式为 证明：设双曲线上任意一点的坐标为则平移后的坐标为令，则，所以 (1)利用以上结论，写出双曲线向左平移1个单位后的表达式：______． (2)仿照上述证明过程，请写出双曲线向下平移2个单位后的表达式，并证明． (3)问题解决：请根据以上探究方法，直接填空． ①双曲线绕点顺时针旋转90°后的表达式为______； ②双曲线绕点顺时针旋转90°后的表达式为______． 【答案】(1) (2)； 证明如下：设双曲线上任意一点的坐标为则此点向下平移2个单位后的坐标为，令，，所以． (3)①；② 【知识点】求反比例函数解析式、求点沿x轴、y轴平移后的坐标、根据旋转的性质求解、求绕原点旋转90度的点的坐标、求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标 【分析】（1）仿照证明即可完成； （2）仿照证明即可完成； （3）仿照证明解答即可． 【详解】（1）解：由题意得，双曲线向左平移1个单位后的表达式为 （2）解：略． （3）解：①设双曲线上任意一点的坐标为则此点绕点顺时针旋转90°后的坐标为，令，，则，． ②设双曲线上任意一点的坐标为则此点绕点顺时针旋转90°后的坐标为，令，，所以，． 【题型五】旋转与全等综合（能力提升） 【典例11】．【问题背景】17世纪有着“业余数学家之王”美誉的法国律师皮耶·德·费马，提出一个问题：求作三角形内的一个点，使它到三角形三个顶点的距离之和最小，后来这点被称为“费马点”．如图1，点是内的一点，将绕点逆时针旋转到，则可以构造出等边，得，，所以的值转化为的值，当四点共线时，线段的长为所求的最小值，即点为的“费马点”． 【拓展应用】 (1)如图2，点是等边内的一点，连接，将绕点逆时针旋转得到． ①画出图形 ②当，，时，求的大小； (2)如图3，点是内的一点，且，，，求的最小值． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）①根据旋转的性质画出图形； ②先证，利用全等的性质求出对应的边长，通过勾股定理的逆定理得到，即可求出的大小； （2）将绕点顺时针旋转得到，先求出，然后证明为等边三角形，当、、、四点共线时，和最小，用勾股定理求出的值即可． 【详解】（1）①略 ②为等边三角形， ，， 又是等边三角形， ， ， 在与中， ， ， ∴ ∴， ， ， （2）如图，将绕点顺时针旋转得到， 则， 在中，， ， ， 又， ∴， 如图，过作⊥交的延长线于点， 则， ， ， ， ， 为等边三角形， 当B、P、、四点共线时，和最小， 在中，， ， ∴的最小值为． 【变式5-1】．（26-27九年级上·辽宁沈阳·阶段检测）如图，在中，点，是的三等分点，且是等边三角形． (1)求的度数； (2)如图，点是边上一点，将射线绕点逆时针方向旋转交线段于点．取中点，连接，． ①求证：； ②求证：． (3)在（2）的条件下，延长到，使，连接．若，，求的长． 【答案】(1)； (2)①证明：由（1）得，，， ∵，点是的中点， ∴，， ∴， ∵将射线绕点逆时针方向旋转交线段于点， ∴， ∴， 在和中， ， ∴（）， ②如图，连接， 由（2）①得，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； (3)或 【知识点】全等三角形综合问题、含30度角的直角三角形、等边三角形的性质、用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解 【分析】（1）由、为的三等分点且为等边三角形，得到相邻等腰三角形，利用三角形外角性质求出两个底角均为，再与等边三角形的角相加得． （2）①由是中点、是中点，用三角形中位线定理得，导出角相等；再结合旋转与导出夹角相等，用证明．②由全等得，又，判定为等边三角形；再由为中点得到等腰，利用外角与内角和推出． （）由且，得垂直平分，从而；再证（），将转化为；过作，利用直角三角形表示、，由勾股定理列方程求出，最后借助回代求． 【详解】（1）解：∵点，是的三等分点，且是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 同理：， ∴； （2）略 （3）解：连接、，过点作于， 由（1）（2）得，，，，， ∴，，，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 设， ∵， ∴，， ∴， ∴，， ∵，， ∴，即， 解得， ∵， ∴， 当时，，此时，； 当时，，此时，． 综上，的长为或． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理、线段垂直平分线的性质、含角的直角三角形及勾股定理与一元二次方程的应用，熟练掌握旋转背景下全等三角形的构造与证明、利用垂直平分线转化线段并结合勾股定理建立方程分类求解是解题的关键． 【变式5-2】．（26-27九年级上·四川成都·阶段检测）菱形中，，E是边上的一个动点，连接，将线段绕点A逆时针旋转得到． (1)如图1，，连接菱形对角线，若E是边上的中点，，连接，求的长； (2)如图2，，连接菱形对角线，若E是边上的中点，，过点F作于点H，交于点G，连接，求的面积； (3)如图3，，若E与C重合，P是边上一点且，将沿翻折得到，点D的对应点恰好与点F重合，延长交延长线于点Q，求的长． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】含30度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长、根据旋转的性质求解 【分析】（1）结合菱形的性质，证明，即可得解； （2）连接交于点，证明是等边三角形，证明，即可求出结论； （3）连接，作于点，证明是等边三角形，设，根据勾股定理列方程求出即可． 【详解】（1）解：由题意知，菱形中，，， ∴，， ∵E是边上的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：连接交于点，如图， 在菱形中，，，， ∴，， ∴是等边三角形，， ∴，， ∵E是边上的中点， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴； （3）解：连接，作于点， 在菱形中，，，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， 由折叠的性质知，，， ∴， ∵，即， ∴， ∴，即， ∴， 设， 在中，， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∵， 在中，， ∴， 解得：， ∴． 【变式5-3】．（25-26九年级上·北京朝阳·期中）在平面直角坐标系中，对于图形P给出如下定义：图形P绕点顺时针旋转90°得到的图形记为图形Q，对于图形Q上任意一点，存在实数k满足，则称满足条件的k的最大值为图形P关于点M的“旋转最大值”． (1)若M为原点，，，线段绕点M顺时针旋转的图形记为线段． ①画出线段； ②直接写出线段BC关于点M的“旋转最大值”：_______； (2)若M为原点，，，，直接写出线段关于点M的“旋转最大值”∶_______； (3)若M为，图形P是顺次连接，，，所组成的四边形，图形P关于点M的“旋转最大值”不超过，则t的取值范围是_____． 【答案】(1) ①，绕原点顺时针旋转90°得到点．如图所示，线段即为所求． ② (2) (3)或． 【知识点】新定义下的实数运算、画旋转图形、求绕原点旋转90度的点的坐标、求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标 【分析】（1）①根据网格的特点和所给旋转方式找到B、C对应点的位置，描出，再连接即可；②设为线段上一点，则，即，故是直线与线段的交点，则当直线恰好经过点时，有最小值，即此时k有最大值，据此利用待定系数法求解即可； （2）设线段绕点M顺时针旋转的图形记为线段，分别过点B，作y轴的垂线，垂足分别为F、G，由旋转的性质可得，证明，进而证明，得到，则，同理可得，可知当直线恰好经过时，，当时，； （3）设四边形绕点M顺时针旋转90度后得到的四边形为，连接，过点M作轴，分别过点E，作直线的垂线，垂足分别为T、S，可证明轴；由，得，得，同理得，，则点M到直线到直线的距离都为3；设是四边形上一点，则，根据题意可得，可证明的最大值即为3，分当时，当时，当时，三种情况，得，． 【详解】（1）解：①略 ②由①可知， ∴线段上的所有点的横坐标为正数，纵坐标为非正数， 设为线段上一点， 则， ∴， ∴， ∴是直线与线段的交点， ∴当直线恰好经过点时，有最小值， 即此时k有最大值， ∴， ∴， ∴线段关于点M的“旋转最大值”为， 故答案为：； （2）解：如图所示，设线段绕点M顺时针旋转的图形记为线段， 分别过点B，作y轴的垂线，垂足分别为F、G， ∴， 由旋转的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可得； 当m为一个确定值时， 同（1）可知，当直线恰好经过时，k的值最大， ∴， ∴， ∵， ∴当时，， ∴线段关于点M的“旋转最大值”为； 故答案为： （3）解：如图所示，设四边形绕点M顺时针旋转90度后得到的四边形为，连接，过点M作轴，分别过点E，作直线的垂线，垂足分别为T、S， ∵，，，， ∴轴， ∴轴， 同理可证明， ∴， ∴， 同理可得，， ∴，点M到直线和直线的距离都为3， 设是四边形上一点， 则， ∴， ∴， ∵表示的是点与点M的竖直方向上的距离， 且点M到直线和直线的距离都为3， ∴的最大值即为3， 当时，， ∵， ∴， 解得； 当时，的值可以无限小， 则的值可以无限大， 故此时不满足题意； 当时，， ∵， ∴， 解得； 综上所述，或． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了新定义——“旋转最大值”．熟练掌握坐标与图形变化——旋转，旋转性质，全等三角形的性质与判定，一次函数与几何综合，正确根据定义找到对应图形绕点M顺时针旋转90度后的对应图形，分类讨论，是解题的关键． （一）知识结构 旋转的定义（三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角）→ 旋转的性质（对应点到旋转中心距离相等；对应点与旋转中心连线夹角等于旋转角；旋转前后图形全等）→ 旋转的作图（定中心—定方向—定角—作对应点—连线）→ 旋转中心与旋转角的确定（垂直平分线交点法）→ 与平移、轴对称的辨析。 全节以“旋转前后图形全等”为主线：求角、求线段、证明都由此展开，抓住这一点就能贯通本节的考点与题型。 （二）核心易错点回顾 易错点 一句话提醒 旋转角 旋转角是“对应点与旋转中心连线”的夹角，不是某条线段的转动感觉 旋转方向 顺时针、逆时针缺一不可 三类变换辨析 方向转角是旋转，方向不变是平移，方向反向是轴对称 对应点 按 A↔A′ 一一对应，再套用性质 旋转作图 每个关键点都作对应点，按原序连线 旋转中心 可在图形外、内、边上，用垂直平分线交点确定 （三）思想方法 本节主要渗透“转化思想”（把待求的角、线段转化为全等图形中的已知量）与“数形结合思想”（结合图形识别三要素、寻找对应关系）。复习时应做到：会描述一个旋转（说清三要素）、会用三条性质求值、会作旋转图形、会确定旋转中心。 一、单选题 1．如图所示的正方形中，点E在边上，把绕点A顺时针旋转得到，下列角中，是旋转角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查旋转角，熟练掌握求一个旋转图形的旋转角是解题的关键． 根据“旋转角是指以图形在作旋转运动时，一个点与中心的旋转连线，与这个点在旋转后的对应点与旋转中心的连线，这两条线的夹角”，由此问题可求解． 【详解】解：由题意得：旋转角为或， 故选：C． 2．如图，将绕点顺时针旋转后得到△，则点的对应点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查坐标与图形变化旋转，由旋转可知，点和点关于点对称，据此可解决问题． 【详解】解：△由绕点顺时针旋转后得到， 点和点关于点对称． 点坐标为，点坐标为， ， 则，． 点的坐标为． 故选：A． 3．如图，将在平面内绕点旋转到的位置，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据旋转的性质得到，再结合等腰三角形的性质求出的度数． 【详解】解：由旋转得，， ． 4．如图，直角三角形，点、在直线上，将绕着点顺时针转到位置①，得到点，点在直线上，将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②，得到点，点在直线上，…，按照此规律继续旋转，直到得到点，则（    ） A．674 B．8093 C．8097 D．8100 【答案】C 【分析】本题主要考查了旋转的性质，以及图形的规律问题，根据题意可知，旋转三次为一组，得到的长度依次增加，，，即可得出答案． 【详解】在中，， ，，， 将绕着点顺时针转到位置①，得到点，此时， 将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②，得到点， 此时， 将位置②的三角形绕点顺时针旋转到位置③，得到点， 此时， ∴旋转三次为一组， ， ． 故选：C． 5．李华利用平面直角坐标系绘制了如图的风车图形，他先将固定在坐标系中，其中，，接着他将绕点O逆时针旋转（）至，此次旋转称为第1次旋转，然后进行第2次旋转：将绕点O逆时针转动至，…，那么按照这种旋转方式，旋转第2026次后，点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据每次转动可知，4次一个循环，分别求出第一次到第四次的点的坐标，利用规律解决问题即可． 【详解】解：∵绕原点O逆时针转动至，，， ∴， ∵绕原点O逆时针转动至， ∴， ∵绕原点O逆时针转动至， ∴， ∵绕原点O逆时针转动至， ∴， 即点与点A重合， ∴点A每旋转4次为一个循环， ∵， ∴在转动2026次后，点A在点的位置，此时点A的坐标为． 6．定义：在平面直角坐标系中，将一个图形先向上平移个单位，再绕原点按逆时针方向旋转角度，这样的图形运动叫做图形的变换．如：点按照变换后得到点的坐标为，则点按照变换后得到点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先把点向上平移2个单位得到，结合勾股定理以及旋转性质得，再运用30度所对的直角边是斜边的一半，得，最后根据勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】解：依题意，点向上平移2个单位为，如图所示： ∵，过点作轴于点， 则， ∴， ∵点按照变换后得到点的坐标， ∴， 过作轴， 在中，， 则 ∴的坐标为. 二、填空题 7．在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，将线段绕点B按顺时针方向旋转，则点A的对应点的坐标为________． 【答案】 【分析】本题考查了旋转作图，旋转性质，点的坐标，根据题意，建立平面直角坐标系，再结合旋转的性质，得出点的位置，最后读取点的坐标，即可作答． 【详解】解：依题意，如图所示： ∵点A的坐标为，点B的坐标为，将线段绕点B按顺时针方向旋转， ∴点A的对应点的坐标为， 故答案为：． 8．如图，在平面直角坐标系中，将绕点A顺时针旋转到的位置，点B，O分别在点，处，点在x轴上，再将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，依次进行下去…．若点，则点的坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形的变化−旋转、勾股定理等知识，解题的关键是从特殊到一般探究规律，发现规律，利用规律解决问题，属于中考常考题型．通过旋转发现，，每偶数之间的B相差6个单位长度，根据这个规律可以求得的横坐标，进而可得点的坐标． 【详解】解：∵ ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 则点的坐标为 故答案为：． 9．如图，E是正方形中边上的点，以点A为中心，把顺时针旋转，得到，其中．那么旋转角的度数是________ 【答案】/90度 【分析】本题主要考查了正方形的性质，找旋转角等知识点，牢记旋转角的定义是解题的关键：旋转角是指对应线段的夹角． 根据正方形的性质可得，由旋转角的定义即可解答． 【详解】解：四边形是正方形， ， 以点为中心把顺时针旋转得到，而旋转角是指对应线段的夹角， 就是旋转角， 旋转角的度数是， 故答案为：． 10．如图，中，，，，且在直线上，将绕点顺时针旋转到①，可得到点，此时；将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②，可得到点，此时；将位置②的三角形绕点顺时针旋转到位置③，可得到点，此时；…按此规律继续旋转，直到点为止，则等于_________． 【答案】 【分析】根据含角的直角三角形的性质及勾股定理得出，，可得每旋转一次，的长度依次增加，，，且三次一循环，进而可得出答案． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴，，， ∴按此规律继续旋转，每旋转一次，的长度依次增加，，，且三次一循环， ∵， ∴． 11．已知在平面直角坐标系中，，，将绕点逆时针旋转得到，连接交于点，将点向左平移2个单位长度得到点，则点的坐标为_____． 【答案】 【分析】由旋转的性质求出点的坐标，用待定系数法分别求出直线、的函数解析式，联立求出点的坐标，利用坐标平移的规律：左减右加，上加下减，求出的坐标． 【详解】解：由旋转的性质可知：， 设直线的函数解析式为， 把代入得，解得， 直线的函数解析式为 设直线的函数解析式为， 把，代入得， 解得， 直线的函数解析式为， 联立，解得， ， 将点向左平移2个单位长度得到点， ． 三、解答题 12．如图，D是的边延长线上一点，连接，把绕点A顺时针旋转恰好得到，其中D，E是对应点，若，求的度数． 【答案】 【分析】由旋转的性质可得，即可求解． 【详解】解：把绕点A顺时针旋转恰好得到， ， ， ． 【点睛】本题考查了旋转的性质，掌握旋转的性质是解题的关键． 13．如图，已知的三个顶点的坐标分别为． (1)请直接写出点A关于y轴对称的点的坐标； (2)将绕坐标原点O逆时针旋转，画出旋转后的，直接写出点B的对应点的坐标； (3)请直接写出以为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标． 【答案】(1)点A关于y轴对称的点的坐标为 (2)如图，即为所求，． (3)点D的坐标为或或 【分析】（1）根据点关于轴对称的点的特征进行解答即可； （2）分别作出点、、绕坐标原点逆时针旋转后的点，然后顺次连接，并写出点的对应点的坐标，即可解答； （3）分别以、、为对角线，逐个求出第四个顶点的坐标即可． 【详解】（1）解：点关于轴对称的点的坐标为； （2）略 （3）解：如图所示， ①当以为对角线时， ∵四边形是平行四边形， ∴，， 即可看成是经过平移后得到的，且点B对应点为D，点C对应点为A， ∵先向上平移3个单位长度，再向左平移1个单位长度，得到， ∴先向上平移3个单位长度，再向左平移1个单位长度，得到； ②当以为对角线时，同理可得点坐标为； ③当以为对角线时，同理可得点坐标为； 综上所述，点D的坐标为或或． 14．在中，，，是上一点，连接，将绕点顺时针旋转，得到，作交直线点，交直线于点． (1)若E，H重合，求证：点是的中点； (2)若点在内，作交于点，判断与之间的数量关系，并证明． 【答案】(1) 证明：∵， ∴ 由旋转的性质可得， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ，即点是的中点； (2) ， 证明：如图，取的中点为点，连接． ∵， ∴， ∵M是的中点， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； 由旋转的性质可得， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【分析】本题主要考查了旋转的性质，等边对等角，三角形内角和定理，直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定等待，正确作出辅助线是解题的关键． （1）先由等边对等角和三角形内角和定理得到，则由由旋转的性质可得，则，据此可证明，得到，再证明，得到，据此可证明结论； （2）取的中点为点，连接．由平行线的性质得到，则，即有，进而得到；进而可得；由旋转的性质可得，则可证明，得到，，则可证明，得到，则． 【详解】（1）略 （2）略 15．在中，，． (1)如图1，若，将绕点A逆时针旋转得到，连接，求的值； (2)如图2，将绕点A逆时针旋转得到，连接，此时点B，C，E恰好共线，连接． ①求证：； ②求的面积． 【答案】(1) (2)①证明：如图2， ∵将绕点A逆时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵点B，C，E三点共线， ∴， ∴， ∴． ②5 【分析】（1）证明为等边三角形，得到，点B，C，E共线，再由即可求解． （2）①由旋转得，，，再进一步由全等三角形的性质得出为等腰直角三角形，根据角度的转换得出，即可证明结论． ②利用三角形面积公式求解． 【详解】（1）解：∵将绕点A逆时针旋转得到， ∴，， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， ∴，即点B，C，E三点共线， ∴． （2）①略． ②解：∵， ∴，， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． 16．如图，在中，，，D是线段延长线上一点，连接，过点A作于E． (1)求证：； (2)将射线绕点A顺时针旋转后，所得的射线与线段的延长线交于点F，连接． ①依题意补全图形； ②用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【分析】（1）根据等角的余角相等即可得证． （2）①依题意画出图形即可求解； ②在上截取，使，证明，得出，根据等腰直角三角形的性质，勾股定理得出，即可求解． 【详解】（1）设与相交于点， ∵，， ∴， ∵， ∴． （2）① 补全图形如图．   ②     下面证明： 在上截取，使， ∵， ∴． ∴，， ∵， ∴． ∴ ∵射线绕点顺时针旋转后与线段的延长线交于点，且， ∴， ∴． 【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了同角的余角相等，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，构造出全等三角形是解本题的关键． 17．综合与探究 问题情境：已知四边形为矩形，将矩形绕点逆时针旋转得到矩形，点，，的对应点分别为点，，，直线与直线交于点． (1)推理证明：如图1，当点落在的延长线上时，求证：． (2)猜想验证：如图2，当点落在的延长线上时，判断与的数量关系，并说明理由． (3)拓展延伸：若，，点在射线上，连接，当是以为底边的等腰三角形时，直接写出的长． 【答案】(1)证明：四边形为矩形， ， ， 由旋转的性质可得，，， ，， ，即， 在和中， ， ． (2)．理由如下： 如图，连接，， 四边形为矩形， ，， ， 由旋转的性质可得，，， ，， 在和中， ， ， ． (3)或 【分析】（1）利用旋转性质得到边、角相等，推导出两组角相等，然后用证明三角形全等； （2）连接、，借助旋转和等腰三角形的性质得到相等线段，利用证三角形全等，得出； （3）分两种情况讨论，算出，由等腰条件得，求出，在中用勾股定理求出． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：当是以为底边的等腰三角形时，有两种情况： 如图，当点落在线段上时， 根据题意可知，，，， ， 是以为底边的等腰三角形， ， ， ； 如图，当点落在线段的延长线上时， 同上可知，， ，， ， 综上，的长为或. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11讲 图形的旋转（核心知识+6易错辨析+5典例精讲+课后作业） 考点 1　旋转的概念与三要素 把一个平面图形绕着平面内某一点 O 转动一个角度，叫做图形的旋转。点 O 叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。旋转只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小。 要素 含义 注意 旋转中心 旋转时保持不动的点（定点） 可以是图形外、图形内或图形边上的点 旋转方向 顺时针或逆时针 方向不同，旋转后的位置不同，必须指明 旋转角 图形转动的角度 等于对应点与旋转中心连线的夹角 对“旋转”的理解：旋转前后图形全等，只是位置发生改变；图形上每一个点都绕旋转中心沿同一方向转动相同的角度（即旋转角处处相等）。 考点 2　旋转的性质 设一个图形绕点 O 旋转，点 A、B、C 的对应点分别为 A′、B′、C′，则旋转具有以下三条基本性质： （1）对应点到旋转中心的距离相等： （2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角： （3）旋转前后的图形全等： 由性质（3）可知：旋转前后对应线段相等、对应角相等；旋转中心是唯一的“不动点”。这三条性质是求角度、求线段长和证明线段相等、角相等的重要依据。 考点 3　旋转的作图 在方格纸或坐标系中画出一个图形绕定点旋转后的图形，一般按以下步骤进行： （1）确定旋转中心、旋转方向和旋转角； （2）在已知图形上选取若干关键点（如线段的端点、多边形的顶点）； （3）分别作出每个关键点绕旋转中心旋转后的对应点（利用性质 1，以旋转中心为圆心、到关键点的距离为半径，沿指定方向量出旋转角）； （4）按原图形的连接顺序顺次连接各对应点，即得旋转后的图形。 作图的关键是“作好关键点的对应点”，对应点确定正确，整体图形才能正确。 考点 4　旋转中心的确定 已知旋转前后两个图形的位置（或两组对应点），求旋转中心：分别连接两组对应点，作这两条线段（对应点连线）的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为旋转中心。旋转角则是对应点与旋转中心所连线段的夹角。 理由：由“对应点到旋转中心的距离相等”可知，旋转中心到每一组对应点的距离相等，因而旋转中心必在对应点连线的垂直平分线上；两组对应点连线的垂直平分线的交点即唯一确定。 考点 5　旋转与平移、轴对称的辨析 项目 旋转 平移 轴对称 共同点 变换前后图形全等（形状、大小不变），只改变位置 同左 同左 运动方式 绕定点（旋转中心）转动 沿某方向移动一定距离 沿对称轴翻折 方向特征 各对应线段方向都转同一个角 各对应线段方向不变 对称轴两侧图形方向相反 确定要素 旋转中心、旋转方向、旋转角 方向、距离 对称轴 三者都保持图形全等，本质区别在于“运动方式”与“方向是否改变”：旋转绕定点转、方向改变；平移沿直线移、方向不变；轴对称沿直线翻折、方向相反。旋转 180° 的特殊情况即为中心对称（将在下一节学习）。 【易错点 1】把图形上某条线段的转动角度误当成旋转角 错因剖析：图形转动时，个别点或线段的“移动感觉”容易误导判断，把线段端点的转动角误认作整个图形的旋转角。 正确理解：旋转角是对应点与旋转中心所连线段的夹角，即 ∠AOA′ 这类角；图形上各点转动的角度都等于旋转角。 纠错策略：先找旋转中心，再看某一组对应点与旋转中心连线的夹角，不要凭“转得大不大”估计。 【易错点 2】忽略旋转方向 错因剖析：只关注角度，不注明顺时针还是逆时针，导致同一角度下图形落在错误的一侧。 正确理解：旋转方向与旋转角共同决定图形的位置，二者缺一不可。 纠错策略：作图与判断时先明确“绕谁、向哪个方向、转多少度”，再确定对应点。 【易错点 3】把旋转、平移、轴对称混为一谈 错因剖析：三者都保持图形全等，学生容易只记“不变形状大小”，忽略运动方式与方向的差异。 正确理解：抓住“方向是否改变、绕点还是沿线”来判断；旋转后各对应边方向都转同一个角。 纠错策略：用一组对应线段看方向，方向转了角则是旋转，方向不变则是平移，方向反向则是轴对称。 【易错点 4】运用性质时找错对应点 错因剖析：对应点与对应线段没有按“旋转前后重合”的对应顺序来找，导致距离相等、线段相等用错对象。 正确理解：对应点必须一一对应（如 A 与 A′），对应线段、对应角按相同的对应关系确定。 纠错策略：先在图形上标出对应关系（A↔A′、B↔B′、C↔C′），再套用性质。 【易错点 5】旋转作图漏关键点或方向画反 错因剖析：只作了个别关键点就连接，或旋转方向搞反，所得图形与要求不符。 正确理解：每个关键点都要作出对应点，连接顺序须与原图形一致，方向按指定（顺/逆时针）确定。 纠错策略：按“选点—逐点作对应点—按序连线”三步检查，作图后验证对应点与旋转中心连线的夹角是否都等于旋转角。 【易错点 6】误以为旋转中心一定在图形内部 错因剖析：受“绕着图形中心转”的生活经验影响，认为旋转中心只能是图形的中心或内部点。 正确理解：旋转中心是平面上任意一点，可以在图形外、图形内或图形边上。 纠错策略：判断旋转中心时用“两组对应点连线垂直平分线的交点”这一方法，不要主观预设位置。 【题型一】旋转现象识别与三要素判定 【典例1】．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，按顺时针旋转到的位置，以下说法正确的是（     ） A．点A是旋转中心，是旋转角 B．点C是旋转中心，点B和点D是对应点 C．点A是旋转中心，点C和点E是对应点 D．点D是旋转中心，是旋转角 【典例2】．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，把绕点顺时针旋转得到，则旋转中心是点______，旋转角是____________________（写出一个即可）． 【典例3】．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，等边三角形经过平移、轴对称或旋转都可以得到另一个三角形． （1）沿轴向右平移得到，则平移距离是_______个单位长度； （2）与成轴对称图形，则对称轴是_______； （3）绕原点顺时针方向旋转得到，则旋转角度可以是_______． 【变式1-1】．（26-27九年级上·全国·单元测试）如图，将绕点旋转得到，设点的坐标为，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【变式1-2】．（26-27九年级上·北京·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，绕某点顺时针旋转后得到，则旋转中心的坐标是_____． 【变式1-3】．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，如果把钟表的指针看作，它绕点按顺时针方向旋转得到，在这个旋转过程中： (1)旋转中心是点_______； (2)旋转角是_______； (3)旋转方向是_______； (4)经过旋转，点，变动到什么位置?_______． 【题型二】利用旋转性质求角度、求线段长 【典例4】．（24-25九年级上·广西南宁·阶段检测）如图，将三角板（其中，）绕点顺时针旋转得到，点在同一条直线上，那么旋转角等于（    ） A． B． C． D． 【典例5】．（2025·辽宁抚顺·一模）如图．点中，点是轴上一动点，以点为旋转中心，将线段逆时针旋转90°，得到线段，连接，则线段的最小值为_____． 【典例6】．（2024九年级上·北京朝阳·期末）已知线段和点，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接为的中点，连接．    (1)如图1，点在线段上，依题意补全图1，直接写出的度数； (2)如图2，点在线段的上方，写出一个的度数，使得成立，并证明． 【变式2-1】．（24-25九年级上·广西南宁·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（，0），点C的坐标为（0，6），将矩形OABC绕O按顺时针方向旋转α度得到OA′B′C′，此时直线、直线分别与直线 相交于点P、Q．当，且时，线段的长是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】．（24-25九年级上·福建厦门·期中）如图，将绕点逆时针旋转110°，得到，若点落在线段的延长线上，则大小为______． 【变式2-3】．（24-25九年级上·江西上饶·阶段检测）【综合实践】 中，是边上任意一点，以点为中心，取旋转角等于，把逆时针旋转，画出旋转后的图形． 【操作体验】 （1）若点的对应点为点，画出旋转后的图形； 【深入探究】 （2）如图2，中，是边上一点（不与重合），猜想三条线段之间的数量关系，并给予证明； 【拓展应用】 （3）如图3，中，是内部的任意一点，连接，求的最小值． 【题型三】旋转作图 【典例7】．（2025·山东青岛·一模）如图，已知，将先向左平移4个单位，再绕原点O顺时针旋转得到，则点A的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，已知．将绕某点逆时针旋转后，其对应点分别为，画出和旋转中心P，并直接写出旋转中心P的坐标为_______． 【变式3-2】．（26-27九年级上·福建福州·阶段检测）在矩形中，点在边上，，将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点在线段上． (1)请在图中作出；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，连接，若与的交点为的中点，求的度数． 【变式3-3】．（26-27九年级上·全国·课后作业）任意画一个，并把它旋转： (1)以点A为旋转中心，把逆时针旋转； (2)以边的中点为旋转中心，把顺时针旋转； (3)在内任取一点为旋转中心，把逆时针旋转； (4)在外任取一点为旋转中心，把顺时针旋转． 【题型四】求绕原点旋转90度的点的坐标 【典例8】．（25-26九年级·河南安阳·期中）李华利用平面直角坐标系绘制了如图的风车图形，他先将固定在坐标系中，其中，，接着他将绕点O逆时针旋转（）至，此次旋转称为第1次旋转，然后进行第2次旋转：将绕点O逆时针转动至，…，那么按照这种旋转方式，旋转第2026次后，点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 【典例9】．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为． （1）将点P绕原点O顺时针旋转得到点，则点的坐标为______； （2）将点P绕原点O逆时针旋转得到点，则点的坐标为______． 【典例10】．（26-27九年级上·吉林·期中）如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为，将绕原点O顺时针旋转得到，点A、B、C的对应点分别为、、． (1)请你在图中画出； (2)写出点的坐标． 【变式4-1】．（2026·湖北荆州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，将绕点逆时针旋转，点落到点处．若点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】．（2026·四川广安·中考真题）已知在平面直角坐标系中，，，将绕点逆时针旋转得到，连接交于点，将点向左平移2个单位长度得到点，则点的坐标为_____． 【变式4-3】．（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）阅读材料：双曲线向右平移1个单位后的表达式是什么？针对这个问题，某同学给出了以下猜想及证明． 猜想：平移后的表达式为 证明：设双曲线上任意一点的坐标为则平移后的坐标为令，则，所以 (1)利用以上结论，写出双曲线向左平移1个单位后的表达式：______． (2)仿照上述证明过程，请写出双曲线向下平移2个单位后的表达式，并证明． (3)问题解决：请根据以上探究方法，直接填空． ①双曲线绕点顺时针旋转90°后的表达式为______； ②双曲线绕点顺时针旋转90°后的表达式为______． 【题型五】旋转与全等综合（能力提升） 【典例11】．【问题背景】17世纪有着“业余数学家之王”美誉的法国律师皮耶·德·费马，提出一个问题：求作三角形内的一个点，使它到三角形三个顶点的距离之和最小，后来这点被称为“费马点”．如图1，点是内的一点，将绕点逆时针旋转到，则可以构造出等边，得，，所以的值转化为的值，当四点共线时，线段的长为所求的最小值，即点为的“费马点”． 【拓展应用】 (1)如图2，点是等边内的一点，连接，将绕点逆时针旋转得到． ①画出图形 ②当，，时，求的大小； (2)如图3，点是内的一点，且，，，求的最小值． 【变式5-1】．（26-27九年级上·辽宁沈阳·阶段检测）如图，在中，点，是的三等分点，且是等边三角形． (1)求的度数； (2)如图，点是边上一点，将射线绕点逆时针方向旋转交线段于点．取中点，连接，． ①求证：； ②求证：． (3)在（2）的条件下，延长到，使，连接．若，，求的长． 【变式5-2】．（26-27九年级上·四川成都·阶段检测）菱形中，，E是边上的一个动点，连接，将线段绕点A逆时针旋转得到． (1)如图1，，连接菱形对角线，若E是边上的中点，，连接，求的长； (2)如图2，，连接菱形对角线，若E是边上的中点，，过点F作于点H，交于点G，连接，求的面积； (3)如图3，，若E与C重合，P是边上一点且，将沿翻折得到，点D的对应点恰好与点F重合，延长交延长线于点Q，求的长． 【变式5-3】．（25-26九年级上·北京朝阳·期中）在平面直角坐标系中，对于图形P给出如下定义：图形P绕点顺时针旋转90°得到的图形记为图形Q，对于图形Q上任意一点，存在实数k满足，则称满足条件的k的最大值为图形P关于点M的“旋转最大值”． (1)若M为原点，，，线段绕点M顺时针旋转的图形记为线段． ①画出线段； ②直接写出线段BC关于点M的“旋转最大值”：_______； (2)若M为原点，，，，直接写出线段关于点M的“旋转最大值”∶_______； (3)若M为，图形P是顺次连接，，，所组成的四边形，图形P关于点M的“旋转最大值”不超过，则t的取值范围是_____． （一）知识结构 旋转的定义（三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角）→ 旋转的性质（对应点到旋转中心距离相等；对应点与旋转中心连线夹角等于旋转角；旋转前后图形全等）→ 旋转的作图（定中心—定方向—定角—作对应点—连线）→ 旋转中心与旋转角的确定（垂直平分线交点法）→ 与平移、轴对称的辨析。 全节以“旋转前后图形全等”为主线：求角、求线段、证明都由此展开，抓住这一点就能贯通本节的考点与题型。 （二）核心易错点回顾 易错点 一句话提醒 旋转角 旋转角是“对应点与旋转中心连线”的夹角，不是某条线段的转动感觉 旋转方向 顺时针、逆时针缺一不可 三类变换辨析 方向转角是旋转，方向不变是平移，方向反向是轴对称 对应点 按 A↔A′ 一一对应，再套用性质 旋转作图 每个关键点都作对应点，按原序连线 旋转中心 可在图形外、内、边上，用垂直平分线交点确定 （三）思想方法 本节主要渗透“转化思想”（把待求的角、线段转化为全等图形中的已知量）与“数形结合思想”（结合图形识别三要素、寻找对应关系）。复习时应做到：会描述一个旋转（说清三要素）、会用三条性质求值、会作旋转图形、会确定旋转中心。 一、单选题 1．如图所示的正方形中，点E在边上，把绕点A顺时针旋转得到，下列角中，是旋转角的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，将绕点顺时针旋转后得到△，则点的对应点的坐标为（　　） A． B． C． D． 3．如图，将在平面内绕点旋转到的位置，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 4．如图，直角三角形，点、在直线上，将绕着点顺时针转到位置①，得到点，点在直线上，将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②，得到点，点在直线上，…，按照此规律继续旋转，直到得到点，则（    ） A．674 B．8093 C．8097 D．8100 5．李华利用平面直角坐标系绘制了如图的风车图形，他先将固定在坐标系中，其中，，接着他将绕点O逆时针旋转（）至，此次旋转称为第1次旋转，然后进行第2次旋转：将绕点O逆时针转动至，…，那么按照这种旋转方式，旋转第2026次后，点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 6．定义：在平面直角坐标系中，将一个图形先向上平移个单位，再绕原点按逆时针方向旋转角度，这样的图形运动叫做图形的变换．如：点按照变换后得到点的坐标为，则点按照变换后得到点的坐标为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 7．在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，将线段绕点B按顺时针方向旋转，则点A的对应点的坐标为________． 8．如图，在平面直角坐标系中，将绕点A顺时针旋转到的位置，点B，O分别在点，处，点在x轴上，再将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，依次进行下去…．若点，则点的坐标为______． 9．如图，E是正方形中边上的点，以点A为中心，把顺时针旋转，得到，其中．那么旋转角的度数是________ 10．如图，中，，，，且在直线上，将绕点顺时针旋转到①，可得到点，此时；将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②，可得到点，此时；将位置②的三角形绕点顺时针旋转到位置③，可得到点，此时；…按此规律继续旋转，直到点为止，则等于_________． 11．已知在平面直角坐标系中，，，将绕点逆时针旋转得到，连接交于点，将点向左平移2个单位长度得到点，则点的坐标为_____． 三、解答题 12．如图，D是的边延长线上一点，连接，把绕点A顺时针旋转恰好得到，其中D，E是对应点，若，求的度数． 13．如图，已知的三个顶点的坐标分别为． (1)请直接写出点A关于y轴对称的点的坐标； (2)将绕坐标原点O逆时针旋转，画出旋转后的，直接写出点B的对应点的坐标； (3)请直接写出以为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标． 14．在中，，，是上一点，连接，将绕点顺时针旋转，得到，作交直线点，交直线于点． (1)若E，H重合，求证：点是的中点； (2)若点在内，作交于点，判断与之间的数量关系，并证明． 15．在中，，． (1)如图1，若，将绕点A逆时针旋转得到，连接，求的值； (2)如图2，将绕点A逆时针旋转得到，连接，此时点B，C，E恰好共线，连接． ①求证：； ②求的面积． 16．如图，在中，，，D是线段延长线上一点，连接，过点A作于E． (1)求证：； (2)将射线绕点A顺时针旋转后，所得的射线与线段的延长线交于点F，连接． ①依题意补全图形； ②用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 17．综合与探究 问题情境：已知四边形为矩形，将矩形绕点逆时针旋转得到矩形，点，，的对应点分别为点，，，直线与直线交于点． (1)推理证明：如图1，当点落在的延长线上时，求证：． (2)猜想验证：如图2，当点落在的延长线上时，判断与的数量关系，并说明理由． (3)拓展延伸：若，，点在射线上，连接，当是以为底边的等腰三角形时，直接写出的长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $