第11讲 反比例函数应用及综合题 优等生讲义 (知识梳理+典例+压轴+练习) 2026-2027学年人教版九年级数学上册

第11讲 反比例函数应用及综合题 (知识梳理+典例+压轴+练习) 2026-2027学年人教版九年级数学上册 思维导图 · 课程内容总览 课程目标 · 精准把握学习方向 · 理解实际问题中反比例函数的意义，会根据实际情境建立反比例函数模型 · 掌握反比例函数跨学科应用（物理、化学、杠杆、压强等），能结合学科公式求解 · 掌握几何背景下反比例函数应用，利用面积、边长关系建立函数 · 熟练解决反比例函数与一次函数综合题型，掌握交点、面积、相似、平移等综合问题 · 会结合函数图像分析取值范围，解决不等式、方案选择类问题 知识梳理 · 核心概念与性质 ☆ 1. 反比例函数实际应用模型 · 核心模型：两个量乘积为定值 ，写成  · 实际问题注意：自变量x>0，图像只取第一象限分支。 · 解题步骤：①找不变总量k；②写出解析式；③代入数值求解；④检验结果是否符合实际意义。 ☆ 2. 跨学科类反比例函数应用 · 物理：压强 ；杠杆原理：阻力×阻力臂=动力×动力臂；气体气压体积关系。 · 化学：溶质质量不变，浓度×溶液体积=溶质质量。 · 要点：读懂学科公式，识别哪一个量是定值，确定k。 ☆ 3. 几何背景下反比例函数应用 · 三角形面积固定：，a与h反比例。 · 矩形面积固定：长×宽=定值，长、宽反比例。 · 反比例k几何意义：双曲线上一点向坐标轴作垂线，围成矩形面积等于|k|。 ☆ 4. 反比例函数综合（与一次函数、几何综合） · 求交点：联立一次、反比例方程求解，检验分式方程根。 · 面积计算：割补法，利用坐标求图形面积。 · 最短路径：轴对称找点，求直线解析式求交点。 · 存在性问题：相似、等腰三角形，注意多情况分类讨论。 ☆ 5. 含绝对值的反比例拓展函数 典型例题：函数 ，求与直线y=x+4交点，解不等式 。 解析：联立求得正半轴交点(2,6)；图像关于y轴对称；解集：x<0 或 0<x<2。 示意图文字描述：图像分布第一、二象限，关于y轴对称，两支递减曲线。 · 图像关于y轴对称；y恒正；分x>0和x<0两段分析。 · 解不等式：利用图像高低，看哪条曲线在上方。 📚知识总结表 概念 定义 注意事项 反比例函数模型 ，xy=k 实际应用x>0，只取第一象限；k为不变总量 跨学科应用 利用物理/化学公式识别定值k 单位统一；结果要符合现实取值 几何应用 面积固定，边长成反比例；k的几何意义 注意三角形面积公式带系数 函数综合 反比例+一次函数，交点、面积、最短路径、存在性 分式方程要检验；分类讨论不要漏情况 y=k/|x| x取绝对值，图像关于y轴对称 x≠0；分x>0、x<0两段讨论性质 核心考点 · 4大考点精讲 【考点1】反比例函数的应用（第117题） · 方法1：识别总量不变，确定k，写出，注意自变量实际取值范围。 · 方法2：已知点坐标代入求k，再代入自变量求函数值；或已知函数值求自变量。 · 方法3：图像读取信息，从图中读出坐标，计算定值k。 · 方法4：温度变化、药熏消毒类：分段函数，上升段一次函数，下降段反比例函数。 1．（2026•二道区校级模拟）如图①，区间测速，是指通过监测机动车在相邻两个测速监控点之间路段（测速区间）的行驶时间，来计算其平均行驶速度的测速方式．小聪发现安全驾驶且不超过限速的条件下，汽车在某一高速路的限速区间AB段的平均行驶速度v（km/h）与行驶所用时间t（h）成反比例函数关系，如图②所示．已知高速公路上行驶的小型载客汽车最高车速不得超过120km/h，最低车速不得低于90km/h，小聪按照此规定通过该限速区间AB段的时间可能是（　　） A．18min B．15min C．11min D．10min 2．（2025秋•瑞金市期末）如图所示，学校举行数学文化竞赛，图中的四个点分别描述了九年级的四个班级竞赛成绩的优秀率y（班级优秀人数占班级参加竞赛人数的百分率）与该班参加竞赛人数x的情况，其中描述1班和4班两个班级情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则成绩优秀人数最多的是（　　） A．九（1）班 B．九（2）班 C．九（3）班 D．九（4）班 3．（2026•岱岳区模拟）如图所示的是某新款茶吧机，开机加热时每分钟上升20℃，加热到100℃，停止加热，水温开始下降，此时水温y（单位：℃）与时间x（单位：min）成反比例关系．当水温降至20℃时，茶吧机再自动加热，若水温在20℃时接通电源，水温y与通电时间x之间的关系如图所示，则下列说法错误的是（　　） A．水温从20℃加热到100℃，需要4min B．水温下降过程中，y与x的函数关系式是 C．接通电源后，第30min时水温不低于42℃ D．在一个加热周期内水温不低于40℃的时间为9min 4．（2025秋•老河口市期末）一名司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以60km/h的平均速度用了8h到达目的地．当他按原路匀速返回时，汽车的速度v（单位：km/h）与时间t（单位：h）之间的函数关系式为（　　） A． B． C．v＝60+t D． 5．（2026•东兰县二模）某智能电饭煲煮饭过程如下：先开机加热，锅内温度从20℃匀速升至100℃，加热时间为10分钟；然后自动转为恒温沸腾模式，保持100℃持续2分钟；之后自动断电，温度开始自然下降．下降过程中，锅内温度y（℃）与启动加热后通电时间x（min）成反比例函数关系（从断电时刻开始计为反比例的起点）．当温度降至60℃时，自动启动保温功能．如图是开始启动加热过程中，锅内温度y（℃）与通电时间x（min）的函数关系图象，则下列说法中错误的是（　　） A．启动后5分钟时，锅内温度为60℃ B．加热阶段，y与x的函数关系式为y＝8x+20 C．启动后15分钟时，锅内温度为80℃ D．从启动到启动保温功能，锅内温度不低于80℃的总时长为8分钟 6．（2026•科尔沁区校级模拟）如图，为提升校园绿化质量，园艺师傅对花坛绿植进行药液喷洒养护，已知喷雾阶段土壤表层每立方厘米药液浓度y（mg）与时间x（min）成正比例，喷雾结束后y与x成反比例．当每立方厘米药液浓度低于1.6mg时，对绿植的养护效果消失，则下列说法中正确的是（　　） A．喷洒阶段的函数解析式为 B．喷洒完成后，当x＝20min时，药液浓度为1mg C．土壤表层药液浓度为4mg的时间点只有1个 D．从喷洒开始到养护效果完全消失，共经过25min 7．（2026•昆都仑区二模）某市举行中学生党史知识竞赛，如图用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四所学校竞赛成绩的优秀率（该校优秀人数与该校参加竞赛人数的比值）y与该校参加竞赛人数x的情况，其中描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四所学校在这次党史知识竞赛中成绩优秀人数最多的是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 8．（2026秋•同步）某公司从2021年开始投入技术改进资金，经技术改进后，其产品的成本不断降低，具体数据如表： 年度 技术改进资金（万元） 产品成本（万元/件） 2021 2.5 14.4 2022 3 12 2023 4 9 2024 4.5 8 按照这种变化规律，若2025年已投入技术改进资金5万元，则预计2025年每件产品成本是________ 万元． 9．（2025秋•梧州期末）某校开放周筹备期间，小杨接到一项任务：将一批纪念徽章分发给志愿者．他们发现，每天分发的数量与分发天数成反比例关系．已知如果每天分发50枚，则恰好按计划天数完成；如果每天分发75枚，则可以提前2天完成．则每天分发数量y（枚）与分发天数x（天）之间的函数关系式为____________________ ． 10．（2026•科尔沁区校级模拟）在生态学中，某种濒危鸟类的有效栖息地面积S（平方千米）与其种群密度a（只/平方千米）近似满足反比例关系．研究发现，当有效栖息地为20平方千米时，密度为25只/平方千米．若该区域内的鸟类总数保持稳定（无迁入迁出），当因森林砍伐导致有效栖息地缩减至5平方千米时，种群密度a＝________ 只/平方千米． 11．（2026•雨花区校级二模）如图，一定质量的氧气，其体积V（m3）是密度ρ（kg/m3）的反比例函数，其图象如图，当ρ＝1.5kg/m3时的氧气的体积V＝_____ m3． 12．（2026•雨花台区模拟）某饮水机开机后即开始烧水，当水温到时自动停止加热，随后水温逐渐下降，根据此过程绘制了水温y（单位：℃）随时间x（单位：t）变化的大致图象（由线段与双曲线一部分组成），如图所示．则该饮水机开始烧水后水温始终保持在40°以上时间为_________ 分钟． 13．（2026•大同二模）每个人都有一条腿迈出的步子比另一条腿迈出的步子长的特点，虽然主观上沿某一方向直线前进，但实际上走出的是一个大圆圈！这就是有趣的“瞎转圈”现象．某实践小组经过实验发现，组员走出的大圆圈半径y（米）与其两腿迈出的步长之差x（厘米）成反比例函数关系，当他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为2米时，两腿迈出的步长之差为7厘米，则当该组员走出的大圆圈的半径为5米时，他两腿迈出的步长之差为___________________ 厘米． 14．（2025秋•安康期末）某种玻璃原材料需在0℃环境保存，取出后匀速加热至600℃高温之后停止加热，玻璃温度会逐渐降低至室温（30℃），加热和降温过程中可以对玻璃进行加工，如图是玻璃温度y（℃）与时间x（min）的函数图象，其中降温阶段y与x成反比例函数关系，根据图象信息，回答下列问题： （1）求降温阶段y与x的函数表达式； （2）求温度从600℃降到室温30℃所需要的时间． 15．（2025秋•清城区期末）综合与实践：在有限的空间内检测视力问题． 具体情境：对某班学生视力进行检测的任务； 现有条件：一张测试距离为5米的视力表，一间长为3.8米，宽为3.6米的书房． （1）如图1，若将视力表挂在墙CDGH上，在墙ABEF上挂一面足够大的平面镜，根据平面镜成像原理可知：测试线应画在距离平面镜ABEF________ 米处； （2）小明选择按比例制作视力表完成该任务，在制作过程中发现视力值V和该行字母E的长度a之间的关系是一种函数模型，字母E的长度a如图2所示，视力表上部分视力值V和字母E的长度a的部分对应数据如下表所示： 位置 视力值V a的值（mm） 第1行 0.1 70 第5行 0.25 28 第8行 0.5 14 第14行 2 3.5 ①根据表格数据判断，从一次函数、反比例函数中选择一个合适的函数模型拟合视力值V与字母E的长度a（说明理由），并求出视力值V与字母E长度a之间的函数关系式； ②小明在制作过程中发现某行字母E的长度a的值12.5mm，请问该行对应的视力值是多少？ 16．（2026春•杨浦区期末）研究发现：初中生在数学课上的注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生注意力直线上升，中间一段时间，学生的注意力保持平稳状态，随后开始分散，注意力与时间呈反比例关系降回开始时的水平．学生注意力指标y随时间x（分钟）变化的函数图象如图所示． （1）求反比例图数的表达式，并求点A对应的指标值； （2）张老师在一节课上从第10分钟开始讲解一道数学综合题，讲解这道题需要15分钟，当张老师讲完这道题时，学生的注意力指标值达到多少？ 17．（2026秋•同步）去学校食堂就餐，经常会在一个买饭窗口前等待．经调查发现，学生的舒适度指数y与等待时间x（分）之间满足反比例函数关系，调查数据如表： 等待时间x/分 1 2 5 10 20 舒适度指数y 100 50 20 10 5 已知学生等待时间不超过30分钟． （1）求y与x之间的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； （2）若等待时间为8分钟，求此时学生的舒适度指数． 【考点2】反比例函数应用跨学科（第1822题） · 方法1：读懂物理、化学、杠杆原理公式，找出乘积不变的两个变量。 · 方法2：压强、气体、溶液稀释，先把公式变形为反比例形式。 · 方法3：不等式安全类：“不大于、不小于”转化为反比例不等式求解。 · 方法4：杠杆杆秤问题，利用等式建立一次/反比例模型。 18．（2026•花溪区二模）某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p（kPa）是气体体积V（m3）的反比例函数，其图象如图所示． （1）求该反比例函数的表达式； （2）当气球内的气压大于140kPa时，气球将爆炸．为了安全起见，气体的体积应不小于多少？ 19．（2026秋•同步）阅读以下素材，探索完成任务． 极地探索，冰面行走是否安全 素材1 如图所示是我国自主研发的四轮长航程极地漫游机器人，某台该种机器人质量为500kg 素材2 重力（G）＝ 质量（m）×重力系数（g）；压强（p）＝ ；重力系数g≈10N/kg 备注：机器人对冰面的压力与自身重力相等 素材3 南极某处冰面能承受的最大压强为1×104Pa 解决问题 任务1 直接写出该机器人对冰面的压强p（Pa）关于受力面积S（m2）的函数表达式 任务2 为适应极地的不同应用环境，现将该机器人改装，使其可更换A、B、C三种型号的履带（更换不同型号履带时，该机器人整体质量保持不变，每个轮胎都需更换履带），A、B、C三种型号对应的每条履带的接地面积分别为1000cm2、1200cm2、1500cm2，利用函数的性质判断，极地机器人应更换哪种型号的履带方可安全通过该冰面 任务3 综合学科知识，当科考人员在行走过程中遇到冰面破裂等危险时，请你写出一条建议帮助科考队员安全离开危险区 20．（2026•船营区校级模拟）数学应用：电子托盘秤工作原理． 素材1：图1为某款电子托盘秤，图2为其对应的电路图，电源两端的电压保持不变，通过所称物体质量调节可变电阻R1的大小，从而改变电路中的电流I，最终通过显示器显示物体质量．电流I（mA）与总电阻R（单位：kΩ）成反比例，其中R＝R1+R2，已知R2＝10kΩ． 素材2：物体质量y（单位：kg）与可变电阻R1（单位：kΩ）之间的关系如图3所示．当放置物体质量为1.2kg时，电流表显示为0.2mA． （1）当放置物体质量为1.2kg时，求总电阻R的值； （2）求I关于总电阻R的函数表达式； （3）为保证电子秤电路安全，现将电流范围设定为0.15≤I≤0.5（单位：mA），直接写出该电子秤所称物品质量的最大值． 21．（2026•盐湖区一模）在校园科技节活动中，同学们自制了一套定量溶液稀释实验装置，用于探究溶液稀释规律．已知稀释过程中溶质质量保持不变，溶液浓度C（单位：%）与溶液体积V（单位：mL）成反比例函数关系．实验测得：当溶液体积为50mL时，浓度为30%． （1）求出C与V之间的函数关系式； （2）实验要求稀释后溶液浓度不得低于20%，那么稀释后溶液体积V应不高于多少？ 22．（2025秋•玄武区期末）杆秤是中国人发明的人类最早的衡器．如图，杆秤由秤杆、秤砣、秤盘、提纽组成．秤盘固定悬挂在秤杆AB的端点A处，提纽固定在点O处，秤砣悬挂的位置记为点C．杆秤称物符合杠杆原理“动力×动力臂＝阻力×阻力臂”． 设秤盘的质量为m0，秤砣的质量为m1，物体的质量为m，OA＝l0，OC＝l．根据杠杆原理，可得：l0×（m0+m）＝l×m1，已知AB＝55cm，OA＝4cm，m0＝50g，m1＝200g． （秤杆自身的质量忽略不计，秤砣可以悬挂在点B处．） （1）l随着m的变化而变化，求出l关于m的函数表达式． （2）在秤杆AB上可以标出质量的刻度，求零刻度所对应的点与点O之间的距离． （3）在保持秤杆和秤盘不变的基础上，对于提纽O的位置和秤砣的质量，改变其中一个时，另一个保持不变． ①在下列选项中，能使称重范围变大的有_______ ．（填写所有正确的选项） A．提纽O的位置向左移 B．提纽O的位置向右移 C．秤砣的质量变小 D．秤砣的质量变大 ②若将提纽O的位置向左移动，使OA的长度变为原来的一半，则杆秤的最大称重值为_________ g． ③由于生锈，秤砣的质量会变大，导致杆秤称物的质量有偏差．用生锈的秤砣称得一个物体的质量为550g，若该物体的实际质量为580g，则生锈秤砣的质量为________ g． 【考点3】反比例函数的应用_几何问题（第2327题） · 方法1：面积固定图形，利用面积公式推导出xy=定值。 · 方法2：矩形花圃靠墙栅栏问题，列代数式，区分垂直墙、平行墙边长。 · 方法3：数形结合，联立一次函数与反比例函数，看交点是否存在。 23．（2026•石家庄二模）当三角形面积一定时，它的底边长a（cm）与底边上的高h（cm）成反比例函数关系，其图象如图所示，则当底边长a（cm）满足1.2＜a＜2.4时，底边上的高h（cm）的可能是（　　） A．4 B．6 C．12 D．13 24．（2025秋•遵化市期末）面积为30的一个三角形，它的底边y随着这边上的高x的变化而变化．则y与x之间的关系式为（　　） A．y B．y C．y＝60x D．y＝60﹣x 25．（2026•夏县二模）山西是中国“面食之乡”，以“一面百样、一面百味”著称．其中，龙须面因面条细若须发、形似龙须而得名．某数学兴趣小组研究发现，当面团一定时，面条长度y（单位：m）是面条的平均横截面积x（单位：mm2）的反比例函数．观察图象，当该面团拉出的龙须面的面条长度为80m时，该龙须面的面条的平均横截面积约为________ mm2． 26．（2025秋•禅城区期末）综合探究 【问题提出】如图1，现有一个长为2，宽为1的矩形M，是否存在一个周长与面积均为它的2倍的“加倍”矩形N？ 【追根溯源】用数形结合的方式解决这个问题，思路如下： ①设“加倍”矩形的长为x，宽为y，由题意得． ②两方程对应的函数y＝﹣x+6与在同一坐标系中的图象如图2所示． ③两图象存在交点，相当于存在条件的x、y的值，即存在满足条件的“加倍”矩形N． 【举一反三】 （1）对于矩形M，是否存在一个面积为它的2倍，周长为它的a倍的“加倍”矩形K？如果存在，求a的最小值；如果不存在，说明理由． （2）将“矩形M”换成满足条件“∠B＝60°，AB＝2，BC＝4”的▱ABCD（如图3所示），在角度不变的情况下，是否存在一个周长与面积均为它的2倍的“加倍”平行四边形？ 【融会贯通】 （3）定义：较短边与较长边的比值为的平行四边形是黄金平行四边形．已知周长为2，面积为的▱ABCD（如图4所示），AB＜BC，∠B＝45°．在角度不变的情况下，周长为它的2倍、面积为它的4倍的“加倍”平行四边形的边长分别是多长？是否为黄金平行四边形？ 27．（2025秋•如皋市期中）综合与实践：学校数学兴趣小组围绕“校园花圃方案设计”开展主题学习活动．若花圃一边靠墙（墙的长度不限），其余部分用栅栏围成．兴趣小组设计了以下两种方案： 方案一 方案二 如图1，围成的四边形ABCD是一个长方形花圃． 如图2，围成长方形花圃EFHG时，中间用栅栏（栅栏宽度忽略不计）将该花圃分隔为两个小长方形区域，用来种植不同花卉，并在花圃两侧各留一个宽为3m的进出口．（进出口不用栅栏） （1）方案一中，若围成一个面积为450m2的长方形花圃．设与墙垂直的栅栏AB的长度为xm，与墙平行的栅栏BC的长度为ym，则y＝____________________ （用含x的式子表示），y与x成_____ （填“正”或“反”）比例关系； （2）方案一中，若栅栏AB的长为（2a+3b）m，栅栏BC的长比它多（a+b）m．求方案一中所需栅栏的总长度； （3）方案二中，若所需栅栏的总长度为60m，设中间栅栏MN的长度为（2a+3b）m，用含a，b的代数式表示与墙平行的栅栏FH的长度，并求当a＝1，b＝3时方案二中花圃的面积． 【考点4】反比例函数综合（第2837题） · 方法1：求交点：联立方程组，分式方程必须检验。 · 方法2：最短路径：轴对称变换，求对称点，求直线解析式。 · 方法3：平移直线：上下平移改变b，斜率k不变。 · 方法4：存在性问题（等腰、相似），分类枚举所有可能情况。 · 方法5：绝对值型反比例函数，利用图像对称性解题。 28．（2025秋•吉安县期末）小明在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究函数的图象与性质．类比反比例函数的研究方法，过程如下： （1）列表：如表是x与y的几组对应值，其中m＝ _____ ； x … ﹣6 ﹣4 ﹣3 ﹣2 2 3 4 6 … y … 2 3 m 6 6 4 3 2 … 描点：根据表中各组对应值（x，y），在平面直角坐标系中描出各点； 连线：用平滑的曲线顺次连接各点，如图画出了部分图象，请你把图象补充完整； （2）下列关于函数的说法，正确的有 _______ ． ①函数图象分别位于一、三象限；②当x＜0时，y随x的增大而减小； ③函数图象关于y轴对称；④函数值始终大于0； （3）已知直线y＝x+4与图象的交点坐标为 __________ ，则不等式的解集为 ______________ ． 29．（2026•沙坪坝区校级模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝12，AD＝6，E是CD边的中点，F是AB边上一点且满足AF＝2BF，连接BE、AE．现将△ABE以每秒1个单位长度的速度沿射线BA方向运动得到△A′B′E′，当点E′运动到点D时，停止运动．设运动时间为x（0＜x＜6）秒，记点B′与点F的距离为y1，△ABE的面积为S1，△A′B′E′与矩形ABCD重叠部分的面积为S2，． （1）请直接写出y1，y2分别关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数y1，y2的图象，并写出函数y1的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出当y1＜y2时，x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 30．（2026春•玄武区校级期末）利用反比例函数的图象能将一个角三等分，也能将一条线段三等分． （1）如图①，EH是∠MEN的三等分线，∠MEH＝2∠HEN，点D在EH上，过点D作DA∥EN，交EM于点A，分别过点A、点D作AB⊥EN、DC⊥EN，垂足为B、C，AB交EH于点F，点O是DF的中点，连接AO并延长交CD于点G．猜想AG与AE的数量关系，并说明理由． （2）古希腊数学家帕普斯借助反比例函数的图象成功将锐角三等分，作法如下： 1．如图②，建立平面直角坐标系，将已知∠AOB的顶点与原点O重合，角的一边OB与x轴正方向重合； 2．在平面直角坐标系里，绘制函数y的图象，图象与已知角的另一边OA交于点P； 3．以P为圆心，以2OP为半径作弧，交函数的图象于点R； 4．分别过点P和R作x轴和y轴的平行线，两线相交于点T； 5．连接OT，得到∠TOB． 请根据以上作法，证明∠TOB∠AOB． （3）如图③，在平面直角坐标系中，点A在x轴上，请你利用反比例函数的图象作出线段OA的三等分点．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要说明．） 31．（2026春•鲤城区校级期中）如图已知直线y＝kx+5（k＜0）与x、y轴分别交于点A、B，与双曲线y（x＞0）交于点C，过点C作CD⊥x轴于点D，连接OC，设C点坐标为（a，b），t＝OD•DA （1）当a＝4时，求k•t的值； （2）求证：ka2+5a＝4； （3）随着a的变化，k•t的值是否变化，若不变化，求出其值；若变化，请说明理由． 32．（2026•长清区二模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数与直线相交于点、点C两点，点A在x轴的正半轴上，OA＝2，连接CA并延长与反比例函数的图象在第一象限交于点D． （1）求反比例函数的解析式； （2）求点D的坐标及△OAD的面积； （3）在x轴上是否存在点Q，使得以点A，D，Q为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 33．（2026•馆陶县三模）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b与反比例函数的图象交于点A（1，6），B（n，2）． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）将直线AB向下平移a个单位长度后与x轴、y轴分别交于E，F两点，当时，求a的值； （3）若点P在y轴上，当△PAB的周长最小时，求点P的坐标． 34．（2026春•漳州期末）【问题背景】 在平面直角坐标系中，矩形A′B′C′D′的顶点A′与坐标原点O重合，B′在x轴的正半轴上，A′D′＝16，A′B′＝12，对角线A′C′、B′D′相交于点E′． 【构建联系】 （1）如图1，将矩形A′B′C′D′向右平移3个单位长度，得到矩形ABCD，点E′的对应点为E，若双曲线经过点E，求该双曲线的解析式． 【深度拓展】 （2）如图2，若将矩形A′B′C′D′向右平移m（m＞0）个单位长度，得到矩形ABCD，点E′的对应点为E，双曲线经过点E，且与AD交于点F，若AF＝10，求点F的坐标． 【动态延伸】 （3）如图3，将矩形A′B′C′D′向右平移t（t＞0）个单位长度，得到矩形ABCD，点E′的对应点为E，双曲线经过点E，与边AD交于点K，连接EK，若△AEK是等腰三角形，求t的值． 35．（2026•武宣县二模）如图1，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y（k为常数，k≠0）在第一象限的图象经过点A（1，2a）、B（5﹣a，3）． （1）求a、k的值； （2）如图2，C为反比例函数y在第二象限图象上的一点，连接OA、OC、AC，若∠AOC＝90°，求sin∠OAC的值； （3）如图3，将反比例函数y在第一象限的图象，绕坐标原点O逆时针旋转45°后得到的图形记作曲线l，过的直线，与曲线l相交于点M、N，求△OMN的面积． 36．（2026•让胡路区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，点B在反比例函数的图象上，连接OB、AB，BC⊥x轴于点C，OB＝5，OC＝4，点D为AB的中点，连接DC并延长交y轴于点E． （1）求反比例函数的表达式； （2）求△ACE的面积； （3）当AE∥OB时，在x轴的正半轴上存在点P，使得以O、E、P为顶点的三角形与△ABC相似，请直接写出P点坐标． 37．（2026•眉山模拟）如图，平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数的图象交于A（﹣6，1），B（1，n）两点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）若，请直接写出关于x的不等式的解． （3）若过点（﹣2，0）且平行于y轴的直线上有一动点P，当△PAB的面积为21时，求点P的坐标． 课后巩固 · 针对性练习 ❤复习建议 ①做实际应用题，先圈出“不变的总量”，确定k，写完解析式务必检查自变量取值范围。 ②跨学科题目，先把物理化学公式翻译成数学等式，不要直接背结论，重视单位统一。 ③综合大题，遇到等腰三角形、相似三角形，一定要写全分类情况，防止漏解。 ④联立反比例和一次函数得到分式方程，必须做检验，排除增根。 ⑤做完题目代入原题条件验算，检验结果是否符合现实，例如时间、面积不能为负数。 【作业1】（2025秋•衡水月考）某物体对地面的压力为1000N，物体对地面的压强P与受力面积S之间的函数解析式，该函数图象一定经过的点是（　　） A．（10，100） B．（0，0） C．（20，﹣50） D．（﹣50，﹣20） 【作业2】（2026•郸城县模拟）用吸管吹气时，吸管内部空气振动产生声音，因此可以用吸管制作吸管乐器．根据物理学知识，同一材质的吸管内部空气振动的频率f（单位：kHz）可近似地看成吸管长度l（单位：cm）的反比例函数．甲、乙两种材质的吸管乐器频率f关于吸管长度l的函数图象如图所示．根据图象，下列结论正确的是（　　） A．频率相同时，甲材质吸管乐器的长度比乙材质吸管乐器的长度短 B．对于乙材质吸管乐器，频率越大，长度越长 C．长度相同时，甲材质吸管乐器的频率比乙材质吸管乐器的频率大 D．对于甲材质吸管乐器，长度越长，频率越大 【作业3】（2026•内蒙古）已知压力F（单位：N）一定时，压强p（单位：Pa）与受力面积S（单位：m2）之间的函数关系式为p．当S＝0.3m2时，p＝1800Pa，则压强p关于受力面积S的函数图象正确的是（　　） A． B． C． D． 【作业4】（2026•盐池县模拟）阿基米德说：“给我一个支点，我就能撬动整个地球”这句话精辟地阐明了一个重要的物理学知识——杠杆原理，即“阻力×阻力臂＝动力×动力臂”．若已知某一杠杆的阻力和阻力臂分别为1200N和0.5m，则动力F关于动力臂l的函数图象为（　　） A． B． C． D． 【作业5】（2026秋•同步）某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒．现测得不同时刻的y与x的数据如表： 时间x/min 0 2 4 6 8 10 12 16 含药量y/mg 0 1.5 3 4.5 6 4.8 4 3 则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【作业6】（2026•南岗区校级二模）在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，加压后气体对汽缸壁所产生的压强P（kPa）与汽缸内气体的体积V（mL）成反比例，P关于V的函数图象如图所示．则反比例函数的解析式为____________________ ． 【作业7】（2026•顺德区模拟）某同学用自制柱形密度计测量液体的密度，此密度计漂浮在不同的液体中时，浸在液体中的深度h（单位：cm）是液体的密度ρ（单位：g/cm3）的反比例函数．此密度计漂浮在密度为1.5g/cm3的甲液体中时，浸在液体中的深度为16cm，此密度计漂浮在乙液体中时，浸在液体中的深度为20cm，则乙液体的密度为__________________ g/cm3． 【作业8】（2026•定远县模拟）如图是8个台阶在平面直角坐标系内的示意图，每个台阶的高和宽分别是1和2，每个台阶凸拐角处的顶点记作Tm（m为1～8的整数）．记函数的图象为曲线L． （1）若曲线L过点T3，则它必定还过另一点Tm，则m＝_____ ； （2）若曲线L使得T1～T8这些点分布在它的两侧，每侧各有4个点，当k为整数时，曲线L离原点最近的k的值为________ ． 【作业9】（2026秋•同步）为了响应“绿水青山就是金山银山”的号召，某工厂开始限产进行治污改造，其月利润y（万元）与月份x（月）之间的关系如图所示，治污改造完成前是反比例函数图象的一部分，治污改造完成后是一次函数图象的一部分．下列结论正确的是________ ．（填写序号即可） ①4月的利润为50万元； ②治污改造完成后每月利润比前一个月增加30万元； ③治污改造完成前后共有4个月的利润低于100万元； ④9月该厂利润达到200万元． 【作业10】（2026•阜南县二模）如图1是某电路图，滑动变阻器的电阻为R，电功率为P，P关于R的反比例函数图象如图2所示．小明通过调节电阻，发现当R从10Ω增加到20Ω时，电功率P减少了20W，则当R＝25Ω时，P＝_______ W． 【作业11】（2026秋•同步）在力F（单位：N）的作用下，若物体会在力F的方向上发生位移s（单位：m），则力F所做的功W（单位：J）满足W＝Fs．当W为定值时，s与F之间的函数关系所示． （1）当力F为10N时，求F所做的功W； （2）写出s关于F的函数解析式； （3）在做功相同的情况下，要使物体在力的作用下的位移小于100m，求力的范围． 【作业12】（2025秋•延津县期末）一辆货车上装有40吨货物，货车到达目的地后开始卸货．设平均卸货速度为v（单位：吨/小时），卸完这批货物所需的时间为t（单位：小时）． （1）求v关于t的函数解析式； （2）若要求卸完货车上这批货物的时间不超过5小时，则平均每小时至少要卸货多少吨？ 【作业13】（2026•潮阳区三模）最近DeepSeek火爆全网，说明人工智能已经逐渐融入我们的生活．小明家餐厅为了跟上时代的步伐，购买了一个送餐机器人，这种机器人与地面的接触面积是可以调整的．在水平地面上，当机器人对地面的压力一定时，地面所受压强与接触面积之间的关系如表： 地面所受压强p（Pa） … 4×104 6×104 8×104 1×105 … 接触面积S（m2） … 1.2×10﹣2 8×10﹣3 6×10﹣3 4.8×10﹣3 … （1）求地面所受压强p（Pa）关于接触面积S（m2）的函数表达式； （2）若送餐机器人要经过一段水平玻璃通道，且这段玻璃通道能承受的最大压强为5×104Pa，问这种机器人与玻璃通道的接触面积至少为多少平方米？ 【作业14】（2025秋•温岭市期末）密闭容器内有一定质量的一氧化碳，当容器体积V（单位：m3）变化时，气体密度ρ（单位kg/m3）随之变化．在一定范围内，密度ρ是体积V的反比例函数，其图象如图所示． （1）求密度ρ关于体积V的函数解析式； （2）当3≤ρ≤6时，求V的取值范围． 【作业15】（2026•鲁山县模拟）在物理实验课上，小明用滑动变阻器设计了一个给小灯泡供电的电路，在实验中，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，当R＝3Ω时，I＝8A． （1）写出I关于R的函数解析式； （2）完成下表，并在给定的平面直角坐标系中画出函数的图象； R/Ω … 3 4 5 6 8 9 10 12 I/A … （3）当电流超过10A时，小灯泡会损坏，那么滑动变阻器的阻值应控制在什么范围内？ 【作业16】（2025秋•衡水月考）在如图所示的平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b（k≠0）与反比例函数y（m≠0）的图象相交于点A（﹣2，4），B（a，﹣2）． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）点C（t，﹣2）是第三象限内一点，若△ABC的面积为24，求t的值； （3）在（2）的条件下，在平面直角坐标系中，正方形AOCD与正方形A′O′C′D′是位似图形，点O的对应点为O′（﹣3，0），点A的对应点A′在反比例函数y（m≠0）的图象上，请直接写出位似中心的坐标． 【作业17】（2026春•万州区校级月考）已知一次函数与反比例函数的图象交于A（2，m），B（﹣6，n）两点，交y轴于点C． （1）求反比例函数的表达式； （2）若点A关于x轴对称的点为A′，求△AA′B的面积． （3）请直接写出不等式的解集． 【作业18】（2026•新会区校级一模）如图，M是四边形ABCD对角线的交点，AC⊥x轴于点C，BD⊥y轴于点B．反比例函数C1：y的图象经过点M，M是AC的中点． （1）求经过点A的反比例函数C2的表达式； （2）若点D恰好也在图象C2上，证明：四边形ABCD是菱形． 【作业19】（2026•让胡路区校级模拟）如图，直线与反比例函数的图象交于A（﹣2，a）、B两点，点，连接AC并延长交反比例函数的图象于点D，连接BC． （1）求反比例函数的表达式； （2）求△ABD的面积； （3）在y轴上是否存在点E，使得以C、D、E为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，请直接写出E点坐标；若不存在，请说明理由． 【作业20】（2026•长宁县模拟）如图，已知直线l：y＝mx﹣m（m＞0）交反比例函数图象于A、B两点（点A在点B右侧），交x轴、y轴于点C、点D．点E为反比例函数第一象限图象上一点．若D在y轴负半轴，E在直线l上方，OD＝3，． （1）求直线l和反比例函数解析式； （2）若点E的横坐标为2，求△ABE面积； （3）点P为直线l上的一动点，在反比例函数图象上存在一点Q．当以O、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出点Q的坐标． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11讲 反比例函数应用及综合题 (知识梳理+典例+压轴+练习) 2026-2027学年人教版九年级数学上册 思维导图 · 课程内容总览 课程目标 · 精准把握学习方向 · 理解实际问题中反比例函数的意义，会根据实际情境建立反比例函数模型 · 掌握反比例函数跨学科应用（物理、化学、杠杆、压强等），能结合学科公式求解 · 掌握几何背景下反比例函数应用，利用面积、边长关系建立函数 · 熟练解决反比例函数与一次函数综合题型，掌握交点、面积、相似、平移等综合问题 · 会结合函数图像分析取值范围，解决不等式、方案选择类问题 知识梳理 · 核心概念与性质 ☆ 1. 反比例函数实际应用模型 · 核心模型：两个量乘积为定值 ，写成  · 实际问题注意：自变量x>0，图像只取第一象限分支。 · 解题步骤：①找不变总量k；②写出解析式；③代入数值求解；④检验结果是否符合实际意义。 ☆ 2. 跨学科类反比例函数应用 · 物理：压强 ；杠杆原理：阻力×阻力臂=动力×动力臂；气体气压体积关系。 · 化学：溶质质量不变，浓度×溶液体积=溶质质量。 · 要点：读懂学科公式，识别哪一个量是定值，确定k。 ☆ 3. 几何背景下反比例函数应用 · 三角形面积固定：，a与h反比例。 · 矩形面积固定：长×宽=定值，长、宽反比例。 · 反比例k几何意义：双曲线上一点向坐标轴作垂线，围成矩形面积等于|k|。 ☆ 4. 反比例函数综合（与一次函数、几何综合） · 求交点：联立一次、反比例方程求解，检验分式方程根。 · 面积计算：割补法，利用坐标求图形面积。 · 最短路径：轴对称找点，求直线解析式求交点。 · 存在性问题：相似、等腰三角形，注意多情况分类讨论。 ☆ 5. 含绝对值的反比例拓展函数 典型例题：函数 ，求与直线y=x+4交点，解不等式 。 解析：联立求得正半轴交点(2,6)；图像关于y轴对称；解集：x<0 或 0<x<2。 示意图文字描述：图像分布第一、二象限，关于y轴对称，两支递减曲线。 · 图像关于y轴对称；y恒正；分x>0和x<0两段分析。 · 解不等式：利用图像高低，看哪条曲线在上方。 📚知识总结表 概念 定义 注意事项 反比例函数模型 ，xy=k 实际应用x>0，只取第一象限；k为不变总量 跨学科应用 利用物理/化学公式识别定值k 单位统一；结果要符合现实取值 几何应用 面积固定，边长成反比例；k的几何意义 注意三角形面积公式带系数 函数综合 反比例+一次函数，交点、面积、最短路径、存在性 分式方程要检验；分类讨论不要漏情况 y=k/|x| x取绝对值，图像关于y轴对称 x≠0；分x>0、x<0两段讨论性质 核心考点 · 4大考点精讲 【考点1】反比例函数的应用（第117题） 1．（2026•二道区校级模拟）如图①，区间测速，是指通过监测机动车在相邻两个测速监控点之间路段（测速区间）的行驶时间，来计算其平均行驶速度的测速方式．小聪发现安全驾驶且不超过限速的条件下，汽车在某一高速路的限速区间AB段的平均行驶速度v（km/h）与行驶所用时间t（h）成反比例函数关系，如图②所示．已知高速公路上行驶的小型载客汽车最高车速不得超过120km/h，最低车速不得低于90km/h，小聪按照此规定通过该限速区间AB段的时间可能是（　　） A．18min B．15min C．11min D．10min 【分析】根据反比例函数的图象性质和路程与速度时间之间的关系，分别求出最高车速120km/h时的时间以及最低车速90km/h的时间，即可求出答案． 【解答】解：由题图②得，限速区间AB段的总路程为80×0.3＝24km， ∵最高车速为120km/h， ∴在最高车速120km/h下的行驶时间t0.2（h）， 同理可得，在最低车速90km/h下的行驶时间为t0.27（h）， ∴通过AB段限速区间的行驶时间应该在12min﹣16min之间． ∵12≤15≤16， ∴B选项符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查了反比例函数的实际应用，解题的关键在于熟练掌握反比例函数的关系式和图象性质以及路程公式． 2．（2025秋•瑞金市期末）如图所示，学校举行数学文化竞赛，图中的四个点分别描述了九年级的四个班级竞赛成绩的优秀率y（班级优秀人数占班级参加竞赛人数的百分率）与该班参加竞赛人数x的情况，其中描述1班和4班两个班级情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则成绩优秀人数最多的是（　　） A．九（1）班 B．九（2）班 C．九（3）班 D．九（4）班 【分析】设反比例函数表达式为y（k＞0），过2班点，3班点作y轴的平行线交反比例函数于A，B，设1班点为（x1，y1），2班点（x2，y2），3班点为（x3，y3），4班点（x4，y4），点A为（x2，y2'），点B为（x3，y3'），然后比较x1y1，x2y2，x3y3，x4y4与k的大小即可得出答案． 【解答】解：设y（k＞0）， 过2班点，3班点作y轴的平行线交反比例函数于A，B， 设1班点为（x1，y1），2班点（x2，y2），3班点为（x3，y3），4班点（x4，y4），点A为（x2，y2'），点B为（x3，y3'）， 由图象可知：y2＞y2′，y3＜y3'， 依题意得：x1y1，x2y2，x3y3，x4y4分别为1班，2班，3班，4班的优秀人数． 由题意可得： k＝x1y1＝x2y2′＝x3y3'＝x4y4， ∵y2＞y2′，y3＜y3'， ∴x2y2＞x2y2'＝k，x3y3＜x3y3'＝k， ∴x2y2＞x1y1＝x4y4＞x3y3， 即：九（2）班优秀人数＞九（1）班优秀人数＝九（4）班优秀人数＞九（3）班优秀人数， 故选：B． 【点评】本题主要考查反比例函数图象与性质的实际应用，读懂题意，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解决问题的关键． 3．（2026•岱岳区模拟）如图所示的是某新款茶吧机，开机加热时每分钟上升20℃，加热到100℃，停止加热，水温开始下降，此时水温y（单位：℃）与时间x（单位：min）成反比例关系．当水温降至20℃时，茶吧机再自动加热，若水温在20℃时接通电源，水温y与通电时间x之间的关系如图所示，则下列说法错误的是（　　） A．水温从20℃加热到100℃，需要4min B．水温下降过程中，y与x的函数关系式是 C．接通电源后，第30min时水温不低于42℃ D．在一个加热周期内水温不低于40℃的时间为9min 【分析】结合实际背景，求出函数解析式，逐个验证选项即可． 【解答】解：若水温在20℃时接通电源，水温y与通电时间x之间的关系如图所示， A：∵加热时每分钟上升20℃， ∴水温从20℃加热到100℃，需要，故A正确； B：由题意可知，反比例函数的图象过点（4，100）， 设反比例函数的解析式为， 将点（4，100）代入，得， ， 解得k＝400， ∴水温下降过程中，y与x的函数关系式是，故B正确； C：将y＝20代入，解得x＝20， ∴该茶吧机每20min为一个周期，循环加热， ∵30﹣20＝10， ∴第30min时的水温等同于第10min时的水温， 将x＝10代入，得y＝40，即此时水温为40℃， ∵40＜42， ∴C错误； D：从20℃加热到40℃需要， 将y＝40代入，解得x＝10， ∴一个加热周期内，水温不低于40℃的时间为10﹣1＝9min，故D正确． 故选：C． 【点评】本题考查一次函数与反比例函数的图象以及实际应用，正确进行计算是解题关键． 4．（2025秋•老河口市期末）一名司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以60km/h的平均速度用了8h到达目的地．当他按原路匀速返回时，汽车的速度v（单位：km/h）与时间t（单位：h）之间的函数关系式为（　　） A． B． C．v＝60+t D． 【分析】根据去程的速度和时间求出路程，返回时根据路程不变，速度与时间成反比例关系列函数关系式即可． 【解答】解：由条件可知路程 s＝v0×t0＝60×8＝480km， 返回时，路程s不变，且匀速返回， ∴v×t＝s＝480， ∴， 故选：A． 【点评】本题考查反比例函数的实际应用，掌握路程、速度、时间的数量关系是解题的关键． 5．（2026•东兰县二模）某智能电饭煲煮饭过程如下：先开机加热，锅内温度从20℃匀速升至100℃，加热时间为10分钟；然后自动转为恒温沸腾模式，保持100℃持续2分钟；之后自动断电，温度开始自然下降．下降过程中，锅内温度y（℃）与启动加热后通电时间x（min）成反比例函数关系（从断电时刻开始计为反比例的起点）．当温度降至60℃时，自动启动保温功能．如图是开始启动加热过程中，锅内温度y（℃）与通电时间x（min）的函数关系图象，则下列说法中错误的是（　　） A．启动后5分钟时，锅内温度为60℃ B．加热阶段，y与x的函数关系式为y＝8x+20 C．启动后15分钟时，锅内温度为80℃ D．从启动到启动保温功能，锅内温度不低于80℃的总时长为8分钟 【分析】根据题意分别求出加热阶段一次函数解析式、恒温阶段常数、降温阶段反比例函数解析式，再逐一判断各选项即可． 【解答】解：设加热阶段函数解析式为y＝kx+b， 则， 解得， ∴加热阶段解析式为y＝8x+20（0≤x≤10），故选项B说法正确，不符合题意； 当x＝5时，y＝8×5+20＝60，故A选项说法正确，不符合题意； 恒温阶段时间为10至12分钟，温度为100℃； 降温阶段，设，断电时刻为第12分钟，此时温度为100℃， ∴图象过点（12，100）， ∴m＝12×100＝1200， ∴降温阶段解析式为， 当x＝15时，则，故选项C说法正确，不符合题意； D选项，求温度不低于80℃的时长， 在加热阶段，令8x+20≥80，解得x≥7.5，时长为10﹣7.5＝2.5（min）， 在恒温阶段，100＞80，时长为12﹣10＝2（min）； 降温阶段，令，解得x≤15，时长为15﹣12＝3（min）， ∴总时长为2.5+2+3＝7.5（min）；故D选项说法错误．符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握该知识点是关键． 6．（2026•科尔沁区校级模拟）如图，为提升校园绿化质量，园艺师傅对花坛绿植进行药液喷洒养护，已知喷雾阶段土壤表层每立方厘米药液浓度y（mg）与时间x（min）成正比例，喷雾结束后y与x成反比例．当每立方厘米药液浓度低于1.6mg时，对绿植的养护效果消失，则下列说法中正确的是（　　） A．喷洒阶段的函数解析式为 B．喷洒完成后，当x＝20min时，药液浓度为1mg C．土壤表层药液浓度为4mg的时间点只有1个 D．从喷洒开始到养护效果完全消失，共经过25min 【分析】分别求出两段函数的解析式，再逐一进行判断即可． 【解答】解：设喷洒阶段的函数解析式为y＝kx，喷洒完成后的函数解析式为， 把（5，8）分别代入，得，m＝5×8＝40， ∴喷洒阶段的函数解析式为，喷洒完成后的函数解析式为，故选项A错误； 当x＝20时，，故喷洒完成后，当x＝20min时，药液浓度为2mg，故选项B错误； 由图象可知土壤表层药液浓度为4mg的时间点有2个，故选项C错误； 当时，x＝1；当时，x＝25， 从喷洒开始到养护效果完全消失，共经过25﹣1+1＝25min；故选项D正确， 故选：D． 【点评】本题主要考查了反比例函数的应用，掌握其相关知识点是解题的关键． 7．（2026•昆都仑区二模）某市举行中学生党史知识竞赛，如图用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四所学校竞赛成绩的优秀率（该校优秀人数与该校参加竞赛人数的比值）y与该校参加竞赛人数x的情况，其中描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四所学校在这次党史知识竞赛中成绩优秀人数最多的是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【分析】根据题意可知xy的值即为该级部的优秀人数，再根据图象即可确定丙学校的优秀人数最多，甲学校的优秀人数最少，乙、丁两学校的优秀人数相同． 【解答】解：根据题意，可知xy的值即为该校的优秀人数， ∵描述乙、丁两学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上， ∴乙、丁两学校的优秀人数相同， ∵点丙在反比例函数图象上面，点甲在反比例函数图象下面， ∴丙学校的xy的值最大，即优秀人数最多，甲学校的xy的值最小，即优秀人数最少， 故选：C． 【点评】本题考查了反比例函数的应用，结合实际含义理解图象上点的坐标含义是解题的关键． 8．（2026秋•同步）某公司从2021年开始投入技术改进资金，经技术改进后，其产品的成本不断降低，具体数据如表： 年度 技术改进资金（万元） 产品成本（万元/件） 2021 2.5 14.4 2022 3 12 2023 4 9 2024 4.5 8 按照这种变化规律，若2025年已投入技术改进资金5万元，则预计2025年每件产品成本是　7.2　 万元． 【分析】设产品成本y与投入技改资金x的函数关系式为，根据表中数据可知反比例函数的关系式为，把x＝5代入即可求出2025年每件产品成本． 【解答】解：由题意得：2.5×14.4＝36，3×12＝36，4×9＝36，4.5×8＝36， ∴产品成本与投入技改资金成反比例关系， 设产品成本y与技术改进资金x的函数关系式为，将x＝3，y＝12代入得： 12， 解得：k＝36， ∴产品成本y与技术改进资金x的函数关系式为， ∴当x＝5时，得：， 即若2025年已投入资金5万元，预计2025年每件产品成本是7.2万元， 故答案为：7.2． 【点评】本题考查了反比例函数的应用，根据表格中的数据得出产品成本与投入技改资金成反比例关系是解题关键． 9．（2025秋•梧州期末）某校开放周筹备期间，小杨接到一项任务：将一批纪念徽章分发给志愿者．他们发现，每天分发的数量与分发天数成反比例关系．已知如果每天分发50枚，则恰好按计划天数完成；如果每天分发75枚，则可以提前2天完成．则每天分发数量y（枚）与分发天数x（天）之间的函数关系式为　　 ． 【分析】由每天分发数量y与分发天数x成反比例，设总徽章数为k，根据两种分发情况列出方程，求解计划天数和k，再写出函数关系式． 【解答】解：设总徽章数为k枚，计划天数为x1天． 根据反比例关系，有k＝xy． 当y＝75时，x＝x1﹣2，即k＝75（x1﹣2）， 当y＝50时，x＝x1，即k＝50x1， 由50x1＝75（x1﹣2）， 解得x1＝6． 则k＝300． 因此y与x的函数关系式为 ． 故答案为：． 【点评】本题考查了反比例函数的应用，理解题意是解题关键． 10．（2026•科尔沁区校级模拟）在生态学中，某种濒危鸟类的有效栖息地面积S（平方千米）与其种群密度a（只/平方千米）近似满足反比例关系．研究发现，当有效栖息地为20平方千米时，密度为25只/平方千米．若该区域内的鸟类总数保持稳定（无迁入迁出），当因森林砍伐导致有效栖息地缩减至5平方千米时，种群密度a＝　100　 只/平方千米． 【分析】设函数表达式为，当S＝20时，a＝25，即可求解． 【解答】解：设函数表达式为，由条件可知k＝25×20＝500， ∴， ∴a＝100， 故答案为：100． 【点评】本题考查了反比例函数的应用，解题关键在于熟练掌握其相关知识点． 11．（2026•雨花区校级二模）如图，一定质量的氧气，其体积V（m3）是密度ρ（kg/m3）的反比例函数，其图象如图，当ρ＝1.5kg/m3时的氧气的体积V＝　6　 m3． 【分析】首先设V，再把（1.8，5）代入可得k的值，进而可得解析式；把ρ＝1.5代入函数解析式可得V的值． 【解答】解：设V， ∵图象经过（1.8，5）， ∴5， k＝9， ∴V（ρ＞0）； 把ρ＝1.5代入可得：V＝6． 故答案为：6． 【点评】此题主要考查了反比例函数的应用，关键是正确理解题意，掌握反比例函数的图象是双曲线． 12．（2026•雨花台区模拟）某饮水机开机后即开始烧水，当水温到时自动停止加热，随后水温逐渐下降，根据此过程绘制了水温y（单位：℃）随时间x（单位：t）变化的大致图象（由线段与双曲线一部分组成），如图所示．则该饮水机开始烧水后水温始终保持在40°以上时间为　31.5　 分钟． 【分析】用待定系数法分别求直线AB和曲线BC的解析式，分别求解当y＝40时，对应的x值，即可得该饮水机开始烧水后水温始终保持在40℃以上的时间． 【解答】解：设直线AB解析式为：y＝kx+b，则， 解得， ∴温度上升段（AB）的解析式为yx+20（0≤x＜14）， 当y＝40时，即x+20＝40， 解得x＝3.5； 设反比例函数的表达式为y（x≥14）， 将点B（14，100）的坐标代入上式得100， 解得：k＝1400， 故温度下降段（BC段）函数表达式y（x≥14）， 当y＝40时，即40， 解得x＝35； 故答案为：31.5． 【点评】本题是一次函数与反比例函数的综合，考查了待定系数法求函数解析式，已知函数值求自变量的值等知识，关键是读懂题意，列出函数关系式． 13．（2026•大同二模）每个人都有一条腿迈出的步子比另一条腿迈出的步子长的特点，虽然主观上沿某一方向直线前进，但实际上走出的是一个大圆圈！这就是有趣的“瞎转圈”现象．某实践小组经过实验发现，组员走出的大圆圈半径y（米）与其两腿迈出的步长之差x（厘米）成反比例函数关系，当他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为2米时，两腿迈出的步长之差为7厘米，则当该组员走出的大圆圈的半径为5米时，他两腿迈出的步长之差为　　 厘米． 【分析】设y与x之间的函数表达式为，利用待定系数法求出y与x之间的函数表达式为，把y＝5代入，求出x的值即可． 【解答】解：根据题意可设y与x之间的函数表达式为， ∵当他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为2米时，两腿迈出的步长之差为7厘米， ∴， 解得：k＝14， ∴y与x之间的函数表达式为， ∴当y＝5时，， 解得：， ∴当该组员走出的大圆圈的半径为5米时，他两腿迈出的步长之差为厘米． 故答案为：． 【点评】本题考查了反比例函数的应用，理解题意是关键． 14．（2025秋•安康期末）某种玻璃原材料需在0℃环境保存，取出后匀速加热至600℃高温之后停止加热，玻璃温度会逐渐降低至室温（30℃），加热和降温过程中可以对玻璃进行加工，如图是玻璃温度y（℃）与时间x（min）的函数图象，其中降温阶段y与x成反比例函数关系，根据图象信息，回答下列问题： （1）求降温阶段y与x的函数表达式； （2）求温度从600℃降到室温30℃所需要的时间． 【分析】（1）由题可得，（4，600）在反比例函数图象上，设反比例函数解析式为，代入点（4，600）得到y与x的函数关系式是； （2）将y＝30代入得到x＝80，根据80﹣4＝76（min），于是得到结论． 【解答】解：（1）设反比例函数表达式为， 由题意可得：， 解得k＝2400， 所以所求函数表达式为； （2）把y＝30代入得，x＝80， 80﹣4＝76（min）， 答：所需要的时间为76min． 【点评】本题考查了反比例函数的应用，理解题意，结合图象求解是解题关键． 15．（2025秋•清城区期末）综合与实践：在有限的空间内检测视力问题． 具体情境：对某班学生视力进行检测的任务； 现有条件：一张测试距离为5米的视力表，一间长为3.8米，宽为3.6米的书房． （1）如图1，若将视力表挂在墙CDGH上，在墙ABEF上挂一面足够大的平面镜，根据平面镜成像原理可知：测试线应画在距离平面镜ABEF　1.2　 米处； （2）小明选择按比例制作视力表完成该任务，在制作过程中发现视力值V和该行字母E的长度a之间的关系是一种函数模型，字母E的长度a如图2所示，视力表上部分视力值V和字母E的长度a的部分对应数据如下表所示： 位置 视力值V a的值（mm） 第1行 0.1 70 第5行 0.25 28 第8行 0.5 14 第14行 2 3.5 ①根据表格数据判断，从一次函数、反比例函数中选择一个合适的函数模型拟合视力值V与字母E的长度a（说明理由），并求出视力值V与字母E长度a之间的函数关系式； ②小明在制作过程中发现某行字母E的长度a的值12.5mm，请问该行对应的视力值是多少？ 【分析】（1）由轴对称的性质即可得到答案． （2）①由视力值V与字母宽度a的乘积是定值，得到视力值V与字母宽度a成反比例函数关系，用待定系数法即可求出函数关系式． ②把a＝12.5，代入V，即可得到答案． 【解答】解：（1）5﹣3.8＝1.2（米）， ∴测试线应画在距离墙ABEF1.2米处， 故答案为：1.2． （2）①∵视力值V与字母宽度a的乘积是定值7， ∴视力值V与字母宽度a成反比例函数关系． 设V， 把a＝70，V＝0.1，代入得到k＝7， ∴视力值V与字母宽度a的函数关系是V． ②把a＝12.5，代入V，得V＝0.56， ∴该行对应的视力值是0.56． 【点评】本题考查反比例函数的应用，轴对称的性质，关键是由题意得到视力值V与字母宽度a成反比例函数关系． 16．（2026春•杨浦区期末）研究发现：初中生在数学课上的注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生注意力直线上升，中间一段时间，学生的注意力保持平稳状态，随后开始分散，注意力与时间呈反比例关系降回开始时的水平．学生注意力指标y随时间x（分钟）变化的函数图象如图所示． （1）求反比例图数的表达式，并求点A对应的指标值； （2）张老师在一节课上从第10分钟开始讲解一道数学综合题，讲解这道题需要15分钟，当张老师讲完这道题时，学生的注意力指标值达到多少？ 【分析】（1）由题意，设出反比例函数表达式，将C（20，15）代入表达式求解即可得到表达式，将x＝45代入求得的表达式即可得到A点对应的指标值； （2）由（1）中得到的表达式，将x＝10+15＝25代入表达式即可得到答案． 【解答】解：（1）设反比例函数的表达式为， 由图知反比例函数过点C（20，15），则代入表达式得，解得k＝300， ∴反比例函数的表达式为； 当x＝45时，，故A点对应的指标值； （2）由题意得x＝10+15＝25， ∴， 答：当张老师讲完这道题时，学生的注意力指标值达到12． 【点评】本题考查反比例函数解应用题，涉及待定系数法确定函数关系式、已知自变量求函数值等知识，读懂题意，求出反比例函数表达式是解决问题的关键． 17．（2026秋•同步）去学校食堂就餐，经常会在一个买饭窗口前等待．经调查发现，学生的舒适度指数y与等待时间x（分）之间满足反比例函数关系，调查数据如表： 等待时间x/分 1 2 5 10 20 舒适度指数y 100 50 20 10 5 已知学生等待时间不超过30分钟． （1）求y与x之间的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； （2）若等待时间为8分钟，求此时学生的舒适度指数． 【分析】（1）观察表格发现：1×100＝2×50＝5×20，从而确定函数关系式y，y代表舒适度指数，x（分）代表等待时间． （2）是已知x＝8，代入函数解析式求得y． 【解答】解：（1）观察表格发现：1×100＝2×50＝5×20＝100…， ∴xy＝100， ∴y（0＜x≤30）； （2）当x＝8时，舒适度y12.5． 【点评】考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是根据函数关系及题目的已知条件，分别求解，要注意自变量和函数代表的实际意义． 【考点2】反比例函数应用跨学科（第1822题） 18．（2026•花溪区二模）某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p（kPa）是气体体积V（m3）的反比例函数，其图象如图所示． （1）求该反比例函数的表达式； （2）当气球内的气压大于140kPa时，气球将爆炸．为了安全起见，气体的体积应不小于多少？ 【分析】（1）设出反比例函数解析式，把点A的坐标代入即可求得比例系数； （2）易得气球内的气压应不超过140kPa，列出不等式，求得相应的解集即可． 【解答】解：（1）设p， ∵点A（0.8，120）在反比例函数解析式上， ∴k＝0.8×120＝96， ∴反比例函数的表达式为p； （2）由题意得：140， 140V≥96， 解得：V． 答：气体的体积应不小于m3． 【点评】本题考查二次函数的应用．用待定系数法求得二次函数的解析式是解决本题的关键． 19．（2026秋•同步）阅读以下素材，探索完成任务． 极地探索，冰面行走是否安全 素材1 如图所示是我国自主研发的四轮长航程极地漫游机器人，某台该种机器人质量为500kg 素材2 重力（G）＝ 质量（m）×重力系数（g）；压强（p）＝ ；重力系数g≈10N/kg 备注：机器人对冰面的压力与自身重力相等 素材3 南极某处冰面能承受的最大压强为1×104Pa 解决问题 任务1 直接写出该机器人对冰面的压强p（Pa）关于受力面积S（m2）的函数表达式 任务2 为适应极地的不同应用环境，现将该机器人改装，使其可更换A、B、C三种型号的履带（更换不同型号履带时，该机器人整体质量保持不变，每个轮胎都需更换履带），A、B、C三种型号对应的每条履带的接地面积分别为1000cm2、1200cm2、1500cm2，利用函数的性质判断，极地机器人应更换哪种型号的履带方可安全通过该冰面 任务3 综合学科知识，当科考人员在行走过程中遇到冰面破裂等危险时，请你写出一条建议帮助科考队员安全离开危险区 【分析】任务1、根据公式算出重力，即为压力，根据压强公式可得P与S之间的关系式； 任务2、取P为1×104Pa，代入任务1中得到的函数关系式，求得S的值，除以4，算出每条履带与地面的接触的最小面积，即可选出合适的型号． 任务3、可减轻负重，减小压力，或匍匐前进，增大受力面积． 【解答】解：任务1、G＝500×10＝5000（N）． ∵压强（p），极地机器人在冰面上的压力与重力相等． ∴P； 任务2、当P＝1×104Pa时， S0.5（m2）＝5000（cm2）． ∵是四轮长航程极地机器人， ∴每条履带的接触面积为：1250（cm2）， ∵A、B、C三种型号对应的每条履带的接触面积分别为1000cm2、1200cm2、1500cm2， ∴极地机器人应更换C型号的履带方可安全通过该冰面； 任务3、丢弃不重要的装备．（答案不唯一）． 【点评】本题考查反比例函数的应用．理解并应用物理中重力和压强的公式，是解决本题的关键．难点是根据压强公式得到每条履带与地面的接触的最小面积． 20．（2026•船营区校级模拟）数学应用：电子托盘秤工作原理． 素材1：图1为某款电子托盘秤，图2为其对应的电路图，电源两端的电压保持不变，通过所称物体质量调节可变电阻R1的大小，从而改变电路中的电流I，最终通过显示器显示物体质量．电流I（mA）与总电阻R（单位：kΩ）成反比例，其中R＝R1+R2，已知R2＝10kΩ． 素材2：物体质量y（单位：kg）与可变电阻R1（单位：kΩ）之间的关系如图3所示．当放置物体质量为1.2kg时，电流表显示为0.2mA． （1）当放置物体质量为1.2kg时，求总电阻R的值； （2）求I关于总电阻R的函数表达式； （3）为保证电子秤电路安全，现将电流范围设定为0.15≤I≤0.5（单位：mA），直接写出该电子秤所称物品质量的最大值． 【分析】（1）根据图3，用待定系数法求出可变电阻R1（单位：kΩ）与物体质量y（单位：kg）之间的函数解析式，再求出R即可； （2）用待定系数法求出电流I（mA）与总电阻R（单位：kΩ）的函数解析式即可； （3）根据一次函数和反比例函数的性质求出当0.15≤I≤0.5时x的最大值． 【解答】解：（1）由图3可知，可变电阻R1（单位：kΩ）与物体质量y（单位：kg）之间的关系为一次函数关系， 设y＝kR1+b（m≠0）， 把（0，3.2），（32，0）代入解析式得：， 解得， ∴y＝﹣0.1R1+3.2， 当y＝1.2时，R1＝20， 此时R＝R1+R2＝20+10＝30（kΩ）， （2）设电流I（mA）与总电阻R（单位：kΩ）的函数解析式为I， 由（1）知，把（30，0.2）代入解析式可得：k＝IR＝30×0.2＝6， ∴电流I（mA）与总电阻R（单位：kΩ）的函数解析式为I； （3）∵I， ∴R， ∴R随I的增大而减小， ∵0.15≤I≤0.5， ∴当I＝0.15时，R取得最大值，最大值为40， 此时R1取得最大值30； 当I＝0.5时，R取得最小值，最小值为12， 此时R1取得最小值2， ∵R1＝﹣10x+32， ∴R1随x的增大而减小， ∴当R1取得最小值2时，x取得最大值3， 答：该电子秤所称物品质量的最大值为3kg． 【点评】本题主要考查反比例函数的应用和一次函数的应用，关键是求出一次函数和反比例函数的解析式． 21．（2026•盐湖区一模）在校园科技节活动中，同学们自制了一套定量溶液稀释实验装置，用于探究溶液稀释规律．已知稀释过程中溶质质量保持不变，溶液浓度C（单位：%）与溶液体积V（单位：mL）成反比例函数关系．实验测得：当溶液体积为50mL时，浓度为30%． （1）求出C与V之间的函数关系式； （2）实验要求稀释后溶液浓度不得低于20%，那么稀释后溶液体积V应不高于多少？ 【分析】（1）根据反比例函数的定义设出函数关系式，将已知的V、C对应值代入，求出比例系数k，从而确定函数关系式； （2）先根据反比例函数的单调性，结合浓度不低于20%的条件，求出对应的溶液体积，再根据函数的增减性判断体积的取值范围． 【解答】解：（1）设（k＞0），由条件可得， 解得k＝1500， ∴C与V之间的函数关系式为； （2）当C＝20时，， ∵1500＞0， ∴V＞0时，溶液浓度C随溶液体积V的增大而减少， 所以，当稀释后溶液浓度不低于20%时，溶液体积V不高于75mL． 【点评】本题考查了反比例函数的应用，理解题意，熟练掌握反比例函数性质是关键． 22．（2025秋•玄武区期末）杆秤是中国人发明的人类最早的衡器．如图，杆秤由秤杆、秤砣、秤盘、提纽组成．秤盘固定悬挂在秤杆AB的端点A处，提纽固定在点O处，秤砣悬挂的位置记为点C．杆秤称物符合杠杆原理“动力×动力臂＝阻力×阻力臂”． 设秤盘的质量为m0，秤砣的质量为m1，物体的质量为m，OA＝l0，OC＝l．根据杠杆原理，可得：l0×（m0+m）＝l×m1，已知AB＝55cm，OA＝4cm，m0＝50g，m1＝200g． （秤杆自身的质量忽略不计，秤砣可以悬挂在点B处．） （1）l随着m的变化而变化，求出l关于m的函数表达式． （2）在秤杆AB上可以标出质量的刻度，求零刻度所对应的点与点O之间的距离． （3）在保持秤杆和秤盘不变的基础上，对于提纽O的位置和秤砣的质量，改变其中一个时，另一个保持不变． ①在下列选项中，能使称重范围变大的有AD ．（填写所有正确的选项） A．提纽O的位置向左移 B．提纽O的位置向右移 C．秤砣的质量变小 D．秤砣的质量变大 ②若将提纽O的位置向左移动，使OA的长度变为原来的一半，则杆秤的最大称重值为　5250　 g． ③由于生锈，秤砣的质量会变大，导致杆秤称物的质量有偏差．用生锈的秤砣称得一个物体的质量为550g，若该物体的实际质量为580g，则生锈秤砣的质量为　210　 g． 【分析】（1）根据公式l0×（m0+m）＝l×m1代入已知数量可得答案； （2）由零刻度时，m＝0g，可得； （3）①结合l0×（m0+m）＝l×m1与逐一分析即可； ②由l0×（m0+m）＝l×m1，l0＝OA＝2（cm），m0＝50g；m1＝200g，AB＝55cm，可得2（50+m）＝53×200，再进一步解方程即可； ③求解当一个物体的质量为550g，可得，设生锈的秤砣的质量为xg，结合l0×（m0+m）＝l×m1，进一步建立方程可得答案． 【解答】解：（1）∵l0×（m0+m）＝l×m1，AB＝55cm，OA＝4cm，m0＝50g，m1＝200g， ∴4（50+m）＝200l， ∴； （2）∵零刻度时，m＝0g， ∴， ∴零刻度所对应的点与点O之间的距离为1cm； （3）①∵l0×（m0+m）＝l×m1，提纽O的位置向左移， ∴l0变小，则l最大， ∵， ∴m最大，故A符合题意， 同理可得：提纽O的位置向右移，m减小，故B不符合题意， ∵l0×（m0+m）＝l×m1，秤砣的质量m1变小， ∴m变小，故C不符合题意； ∵l0×（m0+m）＝l×m1，秤砣的质量m1变大， ∴m变大，故D符合题意． 故答案为：AD； ②∵l0×（m0+m）＝l×m1，l0＝OA＝2（cm），m0＝50g，m1＝200g，AB＝55cm， ∴l＝55﹣2＝53（cm）， ∴2（50+m）＝53×200， 解得：m＝5250（g）， ∴将提纽O的位置向左移动，使OA的长度变为原来的一半，则杆秤的最大称重值为5250g， 故答案为：5250； ③∵当一个物体的质量为550g， ∴， ∵l0×（m0+m）＝l×m1， 设生锈的秤砣的质量为xg， ∴4×（50+580）＝12x， 解得：x＝210， ∴生锈秤砣的质量为210g， 故答案为：210． 【点评】本题考查的是一次函数的应用，方程的应用，理解难度大，掌握一次函数的应用是解题的关键． 【考点3】反比例函数的应用_几何问题（第2327题） 23．（2026•石家庄二模）当三角形面积一定时，它的底边长a（cm）与底边上的高h（cm）成反比例函数关系，其图象如图所示，则当底边长a（cm）满足1.2＜a＜2.4时，底边上的高h（cm）的可能是（　　） A．4 B．6 C．12 D．13 【分析】根据图象求出反比例函数的解析式结合性质直接求解即可得到答案． 【解答】解：设反比例函数解析式为：， 由图象得过点（4，3），代入得，， ∴k＝12，则， ∵1.2＜a＜2.4， ∴，即5＜h＜10， ∴对照选项符合题意的是B，ACD均不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查求反比例函数的解析式及反比例函数的性质，解题的关键是根据图象得到必过点求出解析式． 24．（2025秋•遵化市期末）面积为30的一个三角形，它的底边y随着这边上的高x的变化而变化．则y与x之间的关系式为（　　） A．y B．y C．y＝60x D．y＝60﹣x 【分析】根据三角形的面积公式可得答案． 【解答】解：由题意可得，， ∴y， 故选：A． 【点评】本题考查反比例函数的应用，掌握三角形的面积公式是解答本题的关键． 25．（2026•夏县二模）山西是中国“面食之乡”，以“一面百样、一面百味”著称．其中，龙须面因面条细若须发、形似龙须而得名．某数学兴趣小组研究发现，当面团一定时，面条长度y（单位：m）是面条的平均横截面积x（单位：mm2）的反比例函数．观察图象，当该面团拉出的龙须面的面条长度为80m时，该龙须面的面条的平均横截面积约为　1.6　 mm2． 【分析】利用待定系数法求出反比例函数的解析式，再求出当y＝80时，此时x的值即可． 【解答】解：设反比例函数的表达式为， 由条件可得：， ∴k＝128， ∴反比例函数的表达式为， 当y＝80时，， 解得：x＝1.6， ∴当该面团拉出的龙须面的面条长度为80m时，该龙须面的面条的平均横截面积约为1.6mm2． 故答案为：1.6． 【点评】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数性质是关键． 26．（2025秋•禅城区期末）综合探究 【问题提出】如图1，现有一个长为2，宽为1的矩形M，是否存在一个周长与面积均为它的2倍的“加倍”矩形N？ 【追根溯源】用数形结合的方式解决这个问题，思路如下： ①设“加倍”矩形的长为x，宽为y，由题意得． ②两方程对应的函数y＝﹣x+6与在同一坐标系中的图象如图2所示． ③两图象存在交点，相当于存在条件的x、y的值，即存在满足条件的“加倍”矩形N． 【举一反三】 （1）对于矩形M，是否存在一个面积为它的2倍，周长为它的a倍的“加倍”矩形K？如果存在，求a的最小值；如果不存在，说明理由． （2）将“矩形M”换成满足条件“∠B＝60°，AB＝2，BC＝4”的▱ABCD（如图3所示），在角度不变的情况下，是否存在一个周长与面积均为它的2倍的“加倍”平行四边形？ 【融会贯通】 （3）定义：较短边与较长边的比值为的平行四边形是黄金平行四边形．已知周长为2，面积为的▱ABCD（如图4所示），AB＜BC，∠B＝45°．在角度不变的情况下，周长为它的2倍、面积为它的4倍的“加倍”平行四边形的边长分别是多长？是否为黄金平行四边形？ 【分析】（1）设“加倍”矩形的长为x，宽为y，由题意得，当﹣x+3a时，Δ＝9a2﹣16＝0时，a的值最小； （2）设“加倍”矩形的长为x，宽为y，由题意得，分别求出边长即可； （3）设“加倍”矩形的长为x，宽为y，由题意得，求出较短边为3，较长边为1，再判断是为黄金平行四边形． 【解答】解：（1）存在，理由如下： 设“加倍”矩形的长为x，宽为y，由题意得， ∴， 当﹣x+3a时，x2﹣3ax+4＝0， Δ＝9a2﹣16＝0时，a或a（舍）， ∴a的最小值为； （2）存在，理由如下： 过点A作AH⊥BC交于H， ∵AB＝2， ∴AH＝2， 设“加倍”矩形的长为x，宽为y，由题意得， ∴， 当﹣x+12时，x2+12x+16＝0， 解得x＝6﹣2或x＝6+2， ∴x＝6+2，y＝6﹣2或y＝6+2，x＝6﹣2， ∴边长分别为6+2，6﹣2； （3）是为黄金平行四边形，理由如下： 设“加倍”矩形的长为x，宽为y，由题意得， ∴， 当﹣x+2时，解得x1或x＝3， ∴较短边为3，较长边为1， ∵， ∴是为黄金平行四边形． 【点评】本题考查反比例函数的图象及性质，熟练掌握反比例函数的图象及性质，平行四边形的性质是解题的关键． 27．（2025秋•如皋市期中）综合与实践：学校数学兴趣小组围绕“校园花圃方案设计”开展主题学习活动．若花圃一边靠墙（墙的长度不限），其余部分用栅栏围成．兴趣小组设计了以下两种方案： 方案一 方案二 如图1，围成的四边形ABCD是一个长方形花圃． 如图2，围成长方形花圃EFHG时，中间用栅栏（栅栏宽度忽略不计）将该花圃分隔为两个小长方形区域，用来种植不同花卉，并在花圃两侧各留一个宽为3m的进出口．（进出口不用栅栏） （1）方案一中，若围成一个面积为450m2的长方形花圃．设与墙垂直的栅栏AB的长度为xm，与墙平行的栅栏BC的长度为ym，则y＝　　 （用含x的式子表示），y与x成　反　 （填“正”或“反”）比例关系； （2）方案一中，若栅栏AB的长为（2a+3b）m，栅栏BC的长比它多（a+b）m．求方案一中所需栅栏的总长度； （3）方案二中，若所需栅栏的总长度为60m，设中间栅栏MN的长度为（2a+3b）m，用含a，b的代数式表示与墙平行的栅栏FH的长度，并求当a＝1，b＝3时方案二中花圃的面积． 【分析】（1）依据题意，由与墙垂直的栅栏AB的长度为xm，与墙平行的栅栏BC的长度为ym，则xy＝450，从而y，则y与x成反比例关系，即可得解； （2）依据题意，由栅栏AB的长为（2a+3b）m，栅栏BC的长比它多（a+b）m，从而BC＝2a+3b+a+b＝3a+4b，故所需栅栏的总长度＝2AB+BC＝7a+10b，进而可以判断得解； （3）依据题意，由所需栅栏的总长度为60m，中间栅栏MN的长度为（2a+3b）m，则与墙平行的栅栏FH的长度为：60﹣3（2a+3b）+6＝66﹣6a﹣9b，从而当a＝1，b＝3时，方案二的面积＝MN•FH＝（2+9）（66﹣6﹣27），进而计算可以得解． 【解答】解：（1）由题意，∵与墙垂直的栅栏AB的长度为xm，与墙平行的栅栏BC的长度为ym， ∴xy＝450． ∴y，则y与x成反比例关系； 故答案为：；反； （2）由题意，∵栅栏AB的长为（2a+3b）m，栅栏BC的长比它多（a+b）m， ∴BC＝2a+3b+a+b＝3a+4b． ∴所需栅栏的总长度＝2AB+BC ＝2（2a+3b）+3a+4b ＝4a+6b+3a+4b ＝7a+10b． ∴方案一中所需栅栏的总长度为（7a+10b）m． （3）由题意，∵所需栅栏的总长度为60m，中间栅栏MN的长度为（2a+3b）m， ∴与墙平行的栅栏FH的长度为：60﹣3（2a+3b）+6＝66﹣6a﹣9b． ∴当a＝1，b＝3时，方案二的面积＝MN•FH ＝（2+9）（66﹣6﹣27） ＝11×33 ＝363（m2）． 答：与墙平行的栅栏FH的长度（66﹣6a﹣9b）m；当a＝1，b＝3时方案二中花圃的面积为363m2． 【点评】本题考查了反比例函数的应用、列代数式以及代数式求值， 【考点4】反比例函数综合（第2837题） 28．（2025秋•吉安县期末）小明在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究函数的图象与性质．类比反比例函数的研究方法，过程如下： （1）列表：如表是x与y的几组对应值，其中m＝ 　4　 ； x … ﹣6 ﹣4 ﹣3 ﹣2 2 3 4 6 … y … 2 3 m 6 6 4 3 2 … 描点：根据表中各组对应值（x，y），在平面直角坐标系中描出各点； 连线：用平滑的曲线顺次连接各点，如图画出了部分图象，请你把图象补充完整； （2）下列关于函数的说法，正确的有 　③④　 ． ①函数图象分别位于一、三象限；②当x＜0时，y随x的增大而减小； ③函数图象关于y轴对称；④函数值始终大于0； （3）已知直线y＝x+4与图象的交点坐标为 　（2，6）　 ，则不等式的解集为 x＜0或0＜x＜2　 ． 【分析】（1）m4，描点连线绘制函数图象即可； （2）从函数图象看：①函数图象分别位于二、四象限，故①错误；②当x＜0时，y随x的增大而增大，故②错误；③函数图象关于y轴对称，故③正确；④函数值始终大于0，故④正确，即可求解； （3）①绘制函数y＝x+4的图象，从图象看，交点坐标为（2，6）；②观察函数图象即可求解． 【解答】解：（1）m4， 描点连线绘制函数图象如下： 故答案为：4； （2）从函数图象看：①函数图象分别位于二、四象限，故①错误；②当x＜0时，y随x的增大而增大，故②错误； ③函数图象关于y轴对称，故③正确；④函数值始终大于0，故④正确， 故答案为：③④； （3）①绘制函数y＝x+4的图象，从图象看，交点坐标为（2，6）； ②从函数图象看，不等式的解集为x＜0或0＜x＜2， 故答案为：①（2，6）；②x＜0或0＜x＜2． 【点评】本题通过反比例函数的知识，考查学生的猜想探究能力，正确理解题意，作出函数图象是解题的关键． 29．（2026•沙坪坝区校级模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝12，AD＝6，E是CD边的中点，F是AB边上一点且满足AF＝2BF，连接BE、AE．现将△ABE以每秒1个单位长度的速度沿射线BA方向运动得到△A′B′E′，当点E′运动到点D时，停止运动．设运动时间为x（0＜x＜6）秒，记点B′与点F的距离为y1，△ABE的面积为S1，△A′B′E′与矩形ABCD重叠部分的面积为S2，． （1）请直接写出y1，y2分别关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数y1，y2的图象，并写出函数y1的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出当y1＜y2时，x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 【分析】（1）分两种情况：当点B′在点F左侧时，当点B′在点F右侧时，分别写出函数解析式即可；根据平移得出AA′＝x，S△A′B′E′＝S△ABE＝S1，AE∥A′E′，从而得出S1﹣S2＝S△A′B′E′﹣S2＝S△AA′G，证明△AA′G∽△DEA，得出，求出AG＝x，得出，即可得出答案； （2）先列表，然后描点，画出y1和y2的函数图象即可，根据一次函数性质写出函数y1的一条性质即可； （3）根据函数图象得出y1＜y2时，x的取值范围即可． 【解答】解：（1）∵AB＝12，AF＝2BF， ∴AF＝12﹣4＝8，， ∴当点B′在点F右侧时，y1＝x﹣4（4≤x＜6）， 当点B′在点F左侧时，y1＝4﹣x（0＜x＜4）， 综上；； ∵矩形ABCD中，CD＝AB＝12，点E为CD的中点， ∴， 根据平移可得：AA′＝x，S△A′B′E′＝S△ABE＝S1，AE∥A′E′， ∴S1﹣S2＝S△A′B′E′﹣S2＝S△AA′G， ∵在矩形ABCD中∠ADE＝∠DAB＝90°， ∴∠A′AG＝180°﹣90°＝90°， ∴∠A′AG＝∠ADE， ∵AE∥A′E′， ∴∠A′GA＝∠DAE， ∴△AA′G∽△DEA， ∴， 即， ∴AG＝x， ∴， ∴； （2）列表： x 0 1 2 3 4 5 6 y1 4 3 2 1 0 1 2 y2 0 1 4 9 描点，连线，如图所示： 函数y1的一条性质：当4≤x＜6时，y1随x的增大而增大；当0＜x＜4时，y1随x的增大而减小；当x＝4时，y1最小； （3）根据函数图象可得，当2.5＜x＜6时，y1的函数图象在y2的函数图象下面，因此当2.5＜x＜6时，y1＜y2． 【点评】本题考查一次函数与反比例函数综，一次函数的图象与性质，反比例函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 30．（2026春•玄武区校级期末）利用反比例函数的图象能将一个角三等分，也能将一条线段三等分． （1）如图①，EH是∠MEN的三等分线，∠MEH＝2∠HEN，点D在EH上，过点D作DA∥EN，交EM于点A，分别过点A、点D作AB⊥EN、DC⊥EN，垂足为B、C，AB交EH于点F，点O是DF的中点，连接AO并延长交CD于点G．猜想AG与AE的数量关系，并说明理由． （2）古希腊数学家帕普斯借助反比例函数的图象成功将锐角三等分，作法如下： 1．如图②，建立平面直角坐标系，将已知∠AOB的顶点与原点O重合，角的一边OB与x轴正方向重合； 2．在平面直角坐标系里，绘制函数y的图象，图象与已知角的另一边OA交于点P； 3．以P为圆心，以2OP为半径作弧，交函数的图象于点R； 4．分别过点P和R作x轴和y轴的平行线，两线相交于点T； 5．连接OT，得到∠TOB． 请根据以上作法，证明∠TOB∠AOB． （3）如图③，在平面直角坐标系中，点A在x轴上，请你利用反比例函数的图象作出线段OA的三等分点．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要说明．） 【分析】（1）先根据垂直的定义和平行线的性质，可得△ADF和△ADG是直角三角形，再根据“直角三角形斜边上的中线是斜边的一半”，得OA＝OD，最后利用角之间的关系和等量代换，易得∠MEH＝∠AOE，∠AGD＝∠GDO，从而AE＝AO，OG＝OD，进而可得OG＝OA，AG＝OG+OA＝2OA＝2AE； （2）分别过点P和R作y轴和x轴的平行线，两线相交于点Q，PR和QT相交于点K，设，，则，，求直线OT的解析式，可证点Q在直线OT上，再证四边形PQRT是矩形，从而根据矩形的性质，可证，进而可证∠KPT＝∠KTP，PK＝OP，∠AOT＝∠PKO＝2∠KTP＝2∠TOB，∠AOB＝∠AOT+∠TOB＝3∠TOB，即可求证； （3）根据“过一个点作已知直线的垂线”尺规作图的方法，作AB⊥x轴，交函数的图象于点B，作矩形OABC，在y轴上顺次截取CD＝DE＝OC，过点E作y轴的垂线，交函数的图象于点F，作矩形OEFM，根据反比例函数k的几何意义，即可得到，在x轴上截取MN＝OM，即可求解． 【解答】（1）解：AG＝2AE；理由如下： ∵AB⊥EN，DC⊥EN， ∴AB∥CD，∠ABC＝∠BCD＝90°， ∵DA∥EN， ∴∠ADE＝∠HEN，∠DAB+∠ABC＝180°，∠ADC+∠BCD＝180°， ∴∠DAB＝∠ADC＝90°，即△ADF和△ADG是直角三角形， ∵点O是DF的中点， ∴， ∴∠ADE＝∠DAO， ∴∠AOE＝∠ADE+∠DAO＝2∠ADE＝2∠HEN， ∵∠MEH＝2∠HEN， ∴∠MEH＝∠AOE， ∴AE＝AO， ∵∠DAO+∠AGD＝90°，∠ADE+∠GDO＝90°， ∴∠AGD＝∠GDO， ∴OG＝OD， ∴OG＝OA ∴AG＝OG+OA＝2OA＝2AE， 则AG＝2AE； （2）证明：如图②，分别过点P和R作y轴和x轴的平行线，两线相交于点Q，PR和QT相交于点K， 设，，则，， 设直线OT的解析式为y＝kx（k≠0）， ∴， 解得：， ∴， 当x＝a时，， 即点Q在直线OT上， ∵PT∥x轴，TR∥y轴，QR∥x轴，PQ∥y轴，x轴⊥y轴， ∴∠PQR＝∠QRT＝∠PTR＝90°， ∴四边形PQRT是矩形， ∴对角线PR，QT相等且互相平分， ∴， ∴∠KPT＝∠KTP， ∵PT∥x轴， ∴∠KTP＝∠TOB， ∴∠PKO＝∠KPT+∠KTP＝2∠KTP， ∵PR＝2OP，即， ∴PK＝OP， ∴∠AOT＝∠PKO＝2∠KTP＝2∠TOB， ∴∠AOB＝∠AOT+∠TOB＝2∠TOB+∠TOB＝3∠TOB， 则； （3）解：如图③，点M，N即为线段OA的三等分点； 过点A作x轴的垂线，交函数（k＞0，x＞0）的图象于点B，过点B作y轴的垂线于点C，在y轴上顺次截取CD＝DE＝OC，过点E作y轴的垂线，交函数的图象于点F，过点F作x轴的垂线于点M，在x轴上截取MN＝OM，点M，N即为线段OA的三等分点． ∵点B，F在函数（k＞0，x＞0）的图象上， ∴S矩形OABC＝OA×OC＝k，S矩形OEFM＝OM×OE＝k， ∴OA•OC＝OM•OE， ∵OE＝3OC， ∴， ∵MN＝OM， ∴， 则点M，N为线段OA的三等分点． 【点评】本题属于反比例函数综合题，主要考查了垂直的定义，平行线的性质，直角三角形斜边上的中线，矩形的判定与性质，待定系数法求函数解析式，反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的性质是解答本题的关键． 31．（2026春•鲤城区校级期中）如图已知直线y＝kx+5（k＜0）与x、y轴分别交于点A、B，与双曲线y（x＞0）交于点C，过点C作CD⊥x轴于点D，连接OC，设C点坐标为（a，b），t＝OD•DA （1）当a＝4时，求k•t的值； （2）求证：ka2+5a＝4； （3）随着a的变化，k•t的值是否变化，若不变化，求出其值；若变化，请说明理由． 【分析】（1）先求出点C坐标，进而利用待定系数法求出k的值，再求出OD，AD，即可得出结论； （2）先由点C在双曲线上得出ab＝4，再根据x轴上点的坐标特点得出b＝ak+5，即可得出结论； （3）先表示出点A坐标，进而得出OA，即可得出DA，进而得出t（a2k+5a），即可得出结论． 【解答】解：（1）设C点坐标为（a，b）， 当a＝4时，∴C（4，b）， ∵点C在双曲线y上， ∴b1， ∴C（4，1）， ∵点C在直线y＝kx+5上， ∴1＝4k+5， ∴k＝﹣1， ∴直线AB的解析式为y＝﹣x+5，令y＝0，则﹣x+5＝0， ∴x＝5， ∴A（5，0）， ∴OA＝5， ∵CD⊥x轴于D，C（4，1）， ∴OD＝4， ∴DA＝OA﹣OD＝1， ∴t＝OD•DA＝4×1＝4， ∴k•t＝﹣1×4＝﹣4； （2）∵点C（a，b）在双曲线y上， ∴ab＝4， ∵点C在直线y＝kx+5上， ∴b＝ak+5， ∴a（ak+5）＝4， ∴ka2+5a＝4； （3）不变， 理由：在直线AB：y＝kx+5中，令y＝0，则kx+5＝0， ∴x， ∴A（，0）， ∴OA， ∵CD⊥x轴于D， ∴OD＝a， ∴DA＝OA﹣ODa， ∴t＝OD•DA＝a（a）（a2k+5a）， 由（2）知，ka2+5a＝4， ∴t（a2k+5a）4 ∴k•t＝k•（）＝﹣4． 【点评】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，x轴上点的坐标特点，表示出t是解本题的关键． 32．（2026•长清区二模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数与直线相交于点、点C两点，点A在x轴的正半轴上，OA＝2，连接CA并延长与反比例函数的图象在第一象限交于点D． （1）求反比例函数的解析式； （2）求点D的坐标及△OAD的面积； （3）在x轴上是否存在点Q，使得以点A，D，Q为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）把B（m，）代入得，得到B（1，），再利用待定系数法求解即可； （2）根据题意得到点C与点B关于原点对称，求得点C的坐标为（﹣1，），利用待定系数法求得直线AC的解析式，联立求得点D的坐标，再利用三角形面积公式求解即可； （3）先求得∠ACB＝30°，∠BAC＝90°，分当DQ⊥x轴和当DQ⊥AD时两种情况讨论，据此求解即可． 【解答】解：（1）把B（m，）代入得， ∴m＝1， ∴B（1，）， 把B（1，）代入得， ∴k， ∴反比例函数的解析式为y； （2）∵反比例函数与直线相交于点、点C两点， ∴点C与点B关于原点对称， ∴点C的坐标为（﹣1，）， ∵OA＝2， ∴点A的坐标为（2，0）， 设直线AC的解析式为y＝k'x+b， ∴， 解得， ∴直线AC的解析式为yx， 联立得x， 解得x＝3或x＝﹣1（舍去）， 经检验，x＝3是原方程的解， ∴点D的坐标为（3，）， S△OADOA×|yD|； （3）是，理由如下： ∵△OBA为等边三角形，点C与点B关于原点对称， ∴OA＝OB＝OC，∠BOA＝∠BAO＝60°， ∴∠OAC＝∠OCA∠BOA＝30°， ∴∠BAC＝90°， 当DQ⊥x轴时， ∠DAQ＝∠OAC＝30°＝∠BCA，∠DQA＝∠BAC＝90°， ∴△DQA∽△BAC， ∵点D的坐标为（3，）， ∴点Q的坐标为（3，0）； 当DQ⊥AD时， ∠DAQ＝∠OAC＝30°＝∠BCA，∠QDA＝∠BAC＝90°， ∴△QDA∽△BAC， ∵点D的坐标为（3，），点A的坐标为（2，0）， ∴AD， ∴AQ， ∴oq＝2， ∴点Q的坐标为（，0）， 综上，点Q的坐标为（3，0）或（，0）． 【点评】本题是反比例函数综合题，考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解直角三角形，相似三角形的性质，等边三角形的性质，第3问分情况讨论是解题的关键． 33．（2026•馆陶县三模）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b与反比例函数的图象交于点A（1，6），B（n，2）． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）将直线AB向下平移a个单位长度后与x轴、y轴分别交于E，F两点，当时，求a的值； （3）若点P在y轴上，当△PAB的周长最小时，求点P的坐标． 【分析】（1）根据已知条件列方程求得m＝6，得到反比例函数的表达式为，求得B（3，2），解方程组即可得到结论； （2）将直线AB向下平移a个单位长度后得直线EF的解析式为y＝﹣2x+8﹣a，得到，根据勾股定理即可得到结论； （3）如图，作点A关于y轴的对称点G，连接GB交y轴于P，则此时，△PAB的周长最小，根据轴对称的性质得到G（﹣1，6），得到直线GB的解析式为y＝﹣x+5，当x＝0时，y＝5，于是得到点P的坐标为（0，5）． 【解答】解：（1）∵一次函数y＝kx+b与反比例函数的图象交于点A（1，6），B（n，2），将点A的坐标代入反比例函数解析式得： ， 解得：m＝6， ∴反比例函数的解析式为， 将点B的坐标代入反比例函数解析式得： ， 解得：n＝3， ∴B（3，2）， 将点A，点B的坐标分别代入一次函数y＝kx+b，得： ， 解得：， ∴一次函数的解析式为y＝﹣2x+8； （2）∵将直线AB向下平移a个单位长度后与x轴、y轴分别交于E，F两点， ∴直线EF的解析式为y＝﹣2x+8﹣a， ∴，F（0，8﹣a）． 如图1，过点A向x轴作垂线，过点B向y轴作垂线，两垂线交于点Q． ∵点A（1，6），B（3，2）， ∴AQ＝4，BQ＝2， 在直角三角形ABQ中，由勾股定理得：． ∵， ∴， 解得：a＝6或a＝10； （3）如图2，作点A关于y轴的对称点G，连接GB交y轴于点P，此时，△PAB的周长最小． ∵点A（1，6）， ∴G（﹣1，6）． 设直线BG的解析式为y＝ex+c，将点B，点G的坐标分别代入得： ， 解得：， ∴直线BG的解析式为y＝﹣x+5， 当x＝0时，得：y＝5， ∴点P的坐标为（0，5）． 【点评】本题属于反比例函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，反比例函数的图象与性质，勾股定理，轴对称的性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解答本题的关键． 34．（2026春•漳州期末）【问题背景】 在平面直角坐标系中，矩形A′B′C′D′的顶点A′与坐标原点O重合，B′在x轴的正半轴上，A′D′＝16，A′B′＝12，对角线A′C′、B′D′相交于点E′． 【构建联系】 （1）如图1，将矩形A′B′C′D′向右平移3个单位长度，得到矩形ABCD，点E′的对应点为E，若双曲线经过点E，求该双曲线的解析式． 【深度拓展】 （2）如图2，若将矩形A′B′C′D′向右平移m（m＞0）个单位长度，得到矩形ABCD，点E′的对应点为E，双曲线经过点E，且与AD交于点F，若AF＝10，求点F的坐标． 【动态延伸】 （3）如图3，将矩形A′B′C′D′向右平移t（t＞0）个单位长度，得到矩形ABCD，点E′的对应点为E，双曲线经过点E，与边AD交于点K，连接EK，若△AEK是等腰三角形，求t的值． 【分析】（1）由矩形的性质可得点E′的坐标为（6，8），结合平移可得点E的坐标为（9，8），进一步求解即可； （2）表示平移m个单位长度后，点E的坐标为（6+m，8），点F的坐标为（m，10），可得10m＝8（6+m）＝k，再进一步求解即可； （3）利用矩形的性质求解．当△AEK是等腰三角形时，分三种情况讨论：①当AK＝AE＝10时，②当KE＝AE＝10时，此时点K与点D重合，③当KE＝AK时，设K（t，n），再进一步结合反比例函数的性质求解即可． 【解答】解：（1）∵四边形A′B′C′D′是矩形，A′D′＝16，A′B′＝12， ∴C′（12，16），A′E′＝C′E′， ∴点E′的坐标为（6，8）． ∵将矩形A′B′C′D′向右平移3个单位长度，得到矩形ABCD，点E′的对应点为E， ∴点E的坐标为（9，8）． 把点E的坐标代入，得： 8， 解得：k＝72， ∴该双曲线的解析式为； （2）平移m个单位长度后，点E的坐标为（6+m，8）， A′D′边平移后所在的直线AD为x＝m，AF＝10， ∴点F的坐标为（m，10）． ∵点E、F在图象上， ∴10m＝8（6+m）＝k， 解得：m＝24， ∴点F的坐标为（24，10）． （3）∵四边形ABCD是矩形， ． 当△AEK是等腰三角形时，分三种情况讨论： ①当AK＝AE＝10时， 由平移可得：A（t，0），E（t+6，8）， ∴K（t，10）， ∵点K、E在图象上， ∴10t＝8（t+6）， 解得：t＝24； ②当KE＝AE＝10时，此时点K与点D重合， ∴K（t，16），E（t+6，8）， ∵点K、E在图象上， ∴16t＝8（t+6）， 解得：t＝6； ③当KE＝AK时，设K（t，n）， 由平移可得E（t+6，8），A（t，0）， ∵KE＝AK， ∴（t+6﹣t）2+（8﹣n）2＝n2， 解得：， ∴． ∵点K、E在图象上， ∴， 解得：（t＞0，不合题意，舍去）， 综上所述，当△AEK是等腰三角形时，t的值为6或24． 【点评】本题属于反比例函数综合题，主要考查了矩形的性质，平移的性质，待定系数法求函数解析式，反比例函数的图象与性质，等腰三角形的性质，分类讨论是解答本题的关键． 35．（2026•武宣县二模）如图1，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y（k为常数，k≠0）在第一象限的图象经过点A（1，2a）、B（5﹣a，3）． （1）求a、k的值； （2）如图2，C为反比例函数y在第二象限图象上的一点，连接OA、OC、AC，若∠AOC＝90°，求sin∠OAC的值； （3）如图3，将反比例函数y在第一象限的图象，绕坐标原点O逆时针旋转45°后得到的图形记作曲线l，过的直线，与曲线l相交于点M、N，求△OMN的面积． 【分析】（1）根据题意列方程得到a＝3，求得点A（1，6），把点A（1，6）代入y得到k＝6； （2）设C（m，），过C作CM⊥x轴于M，过A作AN⊥x轴于N，根据相似三角形的性质和三角函数的定义即可得到结论； （3）由题意点的直可知OE⊥OF，建立如图新的坐标系（OF为x′轴，OE为y′轴），即可求直线EF的解析式，利用方程组求出M、N的坐标，根据S△OMN＝S△OFM﹣S△OFN计算即可． 【解答】解：（1）∵反比例函数y（k为常数，k≠0）在第一象限的图象经过点A（1，2a）、B（5﹣a，3）． ∴1×2a＝（5﹣a）×3， ∴a＝3， ∴点A（1，6）， 把点A（1，6）代入y得6， ∴k＝6； （2）∵点C为反比例函数y的图象上第二象限的点， ∴设C（m，）， 过C作CM⊥x轴于M，过A作AN⊥x轴于N， ∴∠OMC＝∠ANO＝∠AOC＝90°， ∴∠COM+∠OCM＝∠COM+∠AON＝90°， ∴∠COM＝∠OAM， ∴△COM∽△OAN， ∴， ∴， ∴m＝﹣2（正值舍去）， ∴C（﹣2，） ∴OC，OA， ∴AC， ∴sin∠OAC； （3）∵点， ∴OE⊥OF， 建立如图新的坐标系，OF为x′轴，OE为y′轴， 在新的坐标系中，E（0，8），F（4，0）， ∴直线EF解析式为y′＝﹣2x′+8， 由， 解得或， ∴M（1，6），N（3，2）， ∴S△OMN＝S△OFM﹣S△OFN4×64×2＝8， 【点评】本题是反比例函数综合题，考查了反比例函数性质，待定系数法求解析式，相似三角形的判定和性质，解题的关键是学会建立新的坐标系解决问题． 36．（2026•让胡路区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，点B在反比例函数的图象上，连接OB、AB，BC⊥x轴于点C，OB＝5，OC＝4，点D为AB的中点，连接DC并延长交y轴于点E． （1）求反比例函数的表达式； （2）求△ACE的面积； （3）当AE∥OB时，在x轴的正半轴上存在点P，使得以O、E、P为顶点的三角形与△ABC相似，请直接写出P点坐标． 【分析】（1）求出B点坐标，即可求解； （2）设A（m，0），则D（2m，），求出直线CD的解析式为yx，则E（0，），可求△ACE的面积（m﹣4）×（）＝6； （3）由题意可得，解得m＝2+2，则OA＝2+2，AC＝22，OE，当△ABC∽△POE时，OP；当△ABC∽△EOP时，OP＝4；即可求P（4，0）或（，0）． 【解答】解：（1）∵OB＝5，OC＝4， ∴BC＝3， ∴B（4，3）， ∴y； （2）设A（m，0）， ∵D点是AB的中点， ∴D（2m，）， 设直线CD的解析式为y＝kx+b， ∴， 解得， ∴yx， ∴E（0，）， ∴△ACE的面积（m﹣4）×（）＝6； （3）直线BO的解析式为yx， ∵AE∥OB， ∴， 解得m＝2+2或m＝2﹣2（舍）， ∴OA＝2+2，AC＝22，OE， ∵∠ACB＝∠POE＝90°， 当△ABC∽△POE时，， ∴， 解得OP； 当△ABC∽△EOP时，， ∴， 解得OP＝4； ∴P（4，0）或（，0）． 【点评】本题考查反比例函数的图象及性质，熟练掌握反比例函数的图象及性质，三角形相似的判定及性质是解题的关键． 37．（2026•眉山模拟）如图，平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数的图象交于A（﹣6，1），B（1，n）两点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）若，请直接写出关于x的不等式的解． （3）若过点（﹣2，0）且平行于y轴的直线上有一动点P，当△PAB的面积为21时，求点P的坐标． 【分析】（1）将点A的坐标代入反比例函数解析式中即可求得m的值，从而可得反比例函数的解析式，将点B的坐标代入反比例函数解析式中，即可求得点B的坐标，再将点A、B的坐标代入一次函数解析式中即可得解； （2）确定一次函数的图象在反比例函数图象的下方时x的取值范围即可得解； （3）设直线y＝﹣x﹣5与 直线x＝﹣2的交点为C，求出点C的坐标，设P（﹣2，a），根据三角形的面积公式表示出S△ABP，列方程求解即可． 【解答】解：（1）一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数的图象交于A（﹣6，1），B（1，n）两点．将点A的坐标代入反比例函数得： 1， 解得：m＝﹣6， ∴反比例函数解析式为， 将点B的坐标代入，得：n＝﹣6， ∴B（1，﹣6）． 将点A，点B的坐标分别代入y＝kx+b，得： ， 解得：， ∴一次函数解析式为y＝﹣x﹣5； （2）不等式的解集为﹣6≤x＜0或x≥1．理由如下： 观察图象可知，当﹣6≤x＜0或x≥1时，一次函数的图象在反比例函数图象的下方， ∴不等式的解集为﹣6≤x＜0或x≥1； （3）如图，设直线y＝﹣x﹣5与 直线x＝﹣2的交点为C， 把x＝﹣2代入y＝﹣x﹣5得，y＝﹣3， ∴C（﹣2，﹣3）， 设P（﹣2，a）， ∵△PAB的面积为21， ∴， ∴|a+3|＝6， 解得：a＝3或a＝﹣9， ∴点P的坐标为（﹣2，3）或 （﹣2，﹣9）． 【点评】本题是反比例函数的综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，反比例函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，三角形的面积，熟练掌握并灵活运用反比例函数的性质是解答本题的关键． 课后巩固 · 针对性练习 ❤复习建议 ①做实际应用题，先圈出“不变的总量”，确定k，写完解析式务必检查自变量取值范围。 ②跨学科题目，先把物理化学公式翻译成数学等式，不要直接背结论，重视单位统一。 ③综合大题，遇到等腰三角形、相似三角形，一定要写全分类情况，防止漏解。 ④联立反比例和一次函数得到分式方程，必须做检验，排除增根。 ⑤做完题目代入原题条件验算，检验结果是否符合现实，例如时间、面积不能为负数。 【作业1】（2025秋•衡水月考）某物体对地面的压力为1000N，物体对地面的压强P与受力面积S之间的函数解析式，该函数图象一定经过的点是（　　） A．（10，100） B．（0，0） C．（20，﹣50） D．（﹣50，﹣20） 【分析】根据P•S＝1000，将各点代入计算，再结合实际情况可得结论． 【解答】解：∵物体对地面的压强P与受力面积S之间的函数解析式， ∴P•S＝1000，据此逐项分析判断如下： A、10×100＝1000，故该函数图象一定经过（10，100），符合题意； B、0×0＝0≠1000，故该函数图象不经过（0，0），不符合题意； C、20×（﹣50）＝﹣1000≠1000，故该函数图象不经过（20，﹣50），不符合题意； D、由题意可知P＞0，S＞0，故该函数图象不经过（﹣50，﹣20），不符合题意． 故选：A． 【点评】本题考查了反比例函数上点的坐标特征，反比例函数的应用，熟练掌握以上知识点是关键． 【作业2】（2026•郸城县模拟）用吸管吹气时，吸管内部空气振动产生声音，因此可以用吸管制作吸管乐器．根据物理学知识，同一材质的吸管内部空气振动的频率f（单位：kHz）可近似地看成吸管长度l（单位：cm）的反比例函数．甲、乙两种材质的吸管乐器频率f关于吸管长度l的函数图象如图所示．根据图象，下列结论正确的是（　　） A．频率相同时，甲材质吸管乐器的长度比乙材质吸管乐器的长度短 B．对于乙材质吸管乐器，频率越大，长度越长 C．长度相同时，甲材质吸管乐器的频率比乙材质吸管乐器的频率大 D．对于甲材质吸管乐器，长度越长，频率越大 【分析】根据反比例函数图象的性质判定即可． 【解答】解：根据反比例函数图象的性质逐项分析判断如下： A、如图所示， 频率相同时，均为f1，甲材质吸管乐器的长度l1比乙材质吸管乐器的长度l2短，正确，符合题意； B、对于乙材质吸管乐器，频率越大，长度越短，故原选项错误，不符合题意； C、如图所示， 长度相同时，均为l1，甲材质吸管乐器的频率f1比乙材质吸管乐器的频率f2小，故原选项错误，不符合题意； D、对于甲材质吸管乐器，长度越长，频率越小，故选项错误，不符合题意； 故选：A． 【点评】本题考查了反比例函数的运用，理解题意，掌握反比例函数图形的性质是关键． 【作业3】（2026•内蒙古）已知压力F（单位：N）一定时，压强p（单位：Pa）与受力面积S（单位：m2）之间的函数关系式为p．当S＝0.3m2时，p＝1800Pa，则压强p关于受力面积S的函数图象正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据题意可知压强p关于受力面积S的函数为反比例函数，然后用待定系数法求解析式结合选项判断即可． 【解答】解：已知压力F（单位：N）一定时，压强p（单位：Pa）与受力面积S（单位：m2）之间的函数关系式为p， ∴压强p关于受力面积S的函数为反比例函数，图象为双曲线，故A，B不符合题意； 当S＝0.3m2时，p＝1800Pa，即1800， 故F＝540， 当S＝0.6时，p＝900，故C符合题意； 当S＝0.5时，p＝1080，故D不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了反比例函数的应用，正确地理解题意是解题的关键． 【作业4】（2026•盐池县模拟）阿基米德说：“给我一个支点，我就能撬动整个地球”这句话精辟地阐明了一个重要的物理学知识——杠杆原理，即“阻力×阻力臂＝动力×动力臂”．若已知某一杠杆的阻力和阻力臂分别为1200N和0.5m，则动力F关于动力臂l的函数图象为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据阻力×阻力臂＝动力×动力臂写出F与l之间的函数关系式，从而判断其图象即可． 【解答】解：根据题意，得Fl＝1200×0.5， ∴F与l之间的函数关系式为F，为反比例函数， ∵l＞0， ∴B符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查反比例函数的应用，根据阻力×阻力臂＝动力×动力臂写出F与l之间的函数关系式是解题的关键． 【作业5】（2026秋•同步）某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒．现测得不同时刻的y与x的数据如表： 时间x/min 0 2 4 6 8 10 12 16 含药量y/mg 0 1.5 3 4.5 6 4.8 4 3 则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】直接利用表格中数据分别得出函数解析式，进而得出答案． 【解答】解：由表格中数据可得：0≤x＜8，数据成比例增长，是正比例函数关系，设解析式为：y＝kx， 则将（2，1.5）代入得：1.5＝2k， 解得：k， 故函数解析式为：yx（0≤x＜8）， 由表格中数据可得：x≥8，数据成反比例递减，是反比例函数关系，设解析式为：y， 则将（12，4）代入得：a＝48， 故函数解析式为：y（x≥8）． 故函数图象D正确． 故选：D． 【点评】此题主要考查了反比例函数的应用，正确得出函数关系式是解题关键． 【作业6】（2026•南岗区校级二模）在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，加压后气体对汽缸壁所产生的压强P（kPa）与汽缸内气体的体积V（mL）成反比例，P关于V的函数图象如图所示．则反比例函数的解析式为　　 ． 【分析】根据待定系数法求出反比例函数解析式即可． 【解答】解：设P关于V的函数解析式为， 由图象可把点（100，60）代入得：k＝6000， ∴P关于V的函数解析式为． 故答案为：． 【点评】本题考查了反比例函数的应用，理解题意，熟练掌握待定系数法求函数解析式是关键． 【作业7】（2026•顺德区模拟）某同学用自制柱形密度计测量液体的密度，此密度计漂浮在不同的液体中时，浸在液体中的深度h（单位：cm）是液体的密度ρ（单位：g/cm3）的反比例函数．此密度计漂浮在密度为1.5g/cm3的甲液体中时，浸在液体中的深度为16cm，此密度计漂浮在乙液体中时，浸在液体中的深度为20cm，则乙液体的密度为　　 g/cm3． 【分析】根据题意，设反比例函数的解析式为h，代入ρ＝1.5g/cm3，h＝16cm，得出k的值，再代入h＝20cm到反比例函数的解析式即可解答． 【解答】解：浸在液体中的高度h（单位：cm）是液体的密度ρ（单位：g/cm3）的反比例函数，设反比例函数的解析式为h， 将ρ＝1.5g/cm3，h＝16cm，代入得： 16， 解得：k＝24， ∴反比例函数为h， 当h＝20cm时，得20， 解得：ρ， 故答案为：． 【点评】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握求反比例函数的解析式是解题的关键． 【作业8】（2026•定远县模拟）如图是8个台阶在平面直角坐标系内的示意图，每个台阶的高和宽分别是1和2，每个台阶凸拐角处的顶点记作Tm（m为1～8的整数）．记函数的图象为曲线L． （1）若曲线L过点T3，则它必定还过另一点Tm，则m＝　6　 ； （2）若曲线L使得T1～T8这些点分布在它的两侧，每侧各有4个点，当k为整数时，曲线L离原点最近的k的值为　﹣29　 ． 【分析】（1）将点的坐标代入解析式可求k的值，将点T6代入，可求解； （2）找到曲线L经过这些点时的k值，然后由点分布在曲线L的两侧，每侧各4个点，可得k的范围，进而找到k的整数点，再由|k|越小反比例函数图象离原点越近，即可求解． 【解答】解：（1）∵每个台阶的高和宽分别是1和2， ∴T1（﹣16，1），T2（﹣14，2），T3（﹣12，3），T4（﹣10，4），T5（﹣8，5），T6（﹣6，6），T7（﹣4，7），T8（﹣2，8）， ∵L过点T3， ∴k＝﹣12×3＝﹣36， ∴反比例函数解析式为：， 当x＝﹣6时，y＝6， ∴T6在反比例函数图象上， ∴m＝6． 故答案为：6； （2）∵若曲线L过点T1（﹣16，1）、T8（﹣2，8）时，k＝﹣16， 若曲线L过点T2（﹣14，2）、T7（﹣4，7）时，k＝﹣28， 若曲线L过点T3（﹣12，3）、T6（﹣6，6）时，k＝﹣36， 若曲线L过点T4（﹣10，4）、T5（﹣8，5）时，k＝﹣40， ∵曲线L使得T1～T8这些点分布在它的两侧，每侧各4个点， ∴﹣36＜k＜﹣28， ∴整数k＝﹣35、﹣34、﹣33、﹣32、﹣31、﹣30、﹣29共7个， ∵|k|越小反比例函数图象离原点越近， ∴曲线 L 离原点最近的k 的值为﹣29． 故答案为：﹣29． 【点评】本题考查了反比例函数的应用，求出各点的坐标是本题的关键． 【作业9】（2026秋•同步）为了响应“绿水青山就是金山银山”的号召，某工厂开始限产进行治污改造，其月利润y（万元）与月份x（月）之间的关系如图所示，治污改造完成前是反比例函数图象的一部分，治污改造完成后是一次函数图象的一部分．下列结论正确的是　①②④　 ．（填写序号即可） ①4月的利润为50万元； ②治污改造完成后每月利润比前一个月增加30万元； ③治污改造完成前后共有4个月的利润低于100万元； ④9月该厂利润达到200万元． 【分析】根据待定系数法求出函数的解析式，再求解． 【解答】解：设当x≤4时，y， ∴k＝xy＝200， ∴y， 当x＝4时，y＝50， 故①是正确的； 设当x＞4时，y＝ax+b， 则， 解得， ∴y＝30x﹣70， ∴当x增加1的时候，y增加30， 故②是正确的； 当y＝100时，x＝2或x＝5， ∴当y＜100时，x的值为：3，4，5， 故③是错误的； 当x＝9时，y＝200， 故④是正确的， 故答案为：①②④． 【点评】本题考查了反比例函数的应用，掌握待定系数法是解题的关键． 【作业10】（2026•阜南县二模）如图1是某电路图，滑动变阻器的电阻为R，电功率为P，P关于R的反比例函数图象如图2所示．小明通过调节电阻，发现当R从10Ω增加到20Ω时，电功率P减少了20W，则当R＝25Ω时，P＝　16　 W． 【分析】根据反比例函数的图象的性质结合题意可得方程10P＝20（P﹣20），据此可得P的值，得到，再把R＝25Ω代入函数关系式解答即可． 【解答】解：根据题意得：10P＝20（P﹣20）， 解得P＝40， ∴10×40＝400， ∴， 当R＝25Ω时，， 即当R＝25Ω时，P的值为16W． 故答案为：16． 【点评】本题考查了反比例函数的应用，正确求出P与R的函数关系式是解答本题的关键． 【作业11】（2026秋•同步）在力F（单位：N）的作用下，若物体会在力F的方向上发生位移s（单位：m），则力F所做的功W（单位：J）满足W＝Fs．当W为定值时，s与F之间的函数关系所示． （1）当力F为10N时，求F所做的功W； （2）写出s关于F的函数解析式； （3）在做功相同的情况下，要使物体在力的作用下的位移小于100m，求力的范围． 【分析】（1）根据功的计算公式结合图象求解； （2）根据Fs＝500，可得出结果； （3）根据题意，要使位移s＜100m，即：，据此解答． 【解答】解：（1）由图象可知，当F＝10N时，s＝50m． 根据W＝Fs，得：W＝10×50＝500（J）， 答：F所做的功W为500J． （2）由（1）知W＝500，且W＝Fs， ∴Fs＝500， ∴， 答：s关于F的函数解析式为； （3）根据题意，要使位移s＜100m，即：， ∵F＞0， ∴500＜100F， 解得：F＞5， 答：力的范围是F＞5N． 【点评】本题考查了反比例函数的应用，正确识图是解题的关键． 【作业12】（2025秋•延津县期末）一辆货车上装有40吨货物，货车到达目的地后开始卸货．设平均卸货速度为v（单位：吨/小时），卸完这批货物所需的时间为t（单位：小时）． （1）求v关于t的函数解析式； （2）若要求卸完货车上这批货物的时间不超过5小时，则平均每小时至少要卸货多少吨？ 【分析】（1）根据平均卸货速度＝货物总量÷卸完这批货物所需的时间计算即可； （2）根据反比例函数的增减性计算即可． 【解答】解：（1）v， ∴v关于t的函数解析式为v． （2）∵40＞0， ∴v随t的增大而减小， 当t＝5时，v最小8． 答：平均每小时至少要卸货8吨． 【点评】本题考查反比例函数的应用，根据平均卸货速度＝货物总量÷卸完这批货物所需的时间写出v关于t的函数解析式、掌握反比例函数的增减性是解题的关键． 【作业13】（2026•潮阳区三模）最近DeepSeek火爆全网，说明人工智能已经逐渐融入我们的生活．小明家餐厅为了跟上时代的步伐，购买了一个送餐机器人，这种机器人与地面的接触面积是可以调整的．在水平地面上，当机器人对地面的压力一定时，地面所受压强与接触面积之间的关系如表： 地面所受压强p（Pa） … 4×104 6×104 8×104 1×105 … 接触面积S（m2） … 1.2×10﹣2 8×10﹣3 6×10﹣3 4.8×10﹣3 … （1）求地面所受压强p（Pa）关于接触面积S（m2）的函数表达式； （2）若送餐机器人要经过一段水平玻璃通道，且这段玻璃通道能承受的最大压强为5×104Pa，问这种机器人与玻璃通道的接触面积至少为多少平方米？ 【分析】（1）由表格的数据可知，当机器人对地面的压力一定时，地面所受压强与接触面积之间成反比例函数的关系，设地面所受压强p（Pa）关于接触面积S（m2）的函数表达式为p，将一对数据代入即可求出F的值． （2）将p＝5×104Pa代入（1）中所求函数表达式中，即可求出这种机器人与玻璃通道的最小接触面积． 【解答】解：（1）由表格的数据可知，当机器人对地面的压力一定时，地面所受压强与接触面积之间成反比例函数的关系． 设地面所受压强p（Pa）关于接触面积S（m2）的函数表达式为p． 将（4×104，1.2×10﹣2）代入p，得F＝4×104×1.2×10﹣2＝4.8×102， ∴地面所受压强p（Pa）关于接触面积S（m2）的函数表达式为p． （2）将p＝5×104Pa代入，p时，S＝9.6×10﹣3， ∴当这段玻璃通道能承受的最大压强为5×104Pa时，这种机器人与玻璃通道的接触面积至少为9.6×10﹣3平方米． 【点评】本题主要考查了以物理知识为情境的反比例函数的应用相关知识，知道物理学中压力、压强与接触面积三者之间的关系是解题的关键．计算时需要仔细． 【作业14】（2025秋•温岭市期末）密闭容器内有一定质量的一氧化碳，当容器体积V（单位：m3）变化时，气体密度ρ（单位kg/m3）随之变化．在一定范围内，密度ρ是体积V的反比例函数，其图象如图所示． （1）求密度ρ关于体积V的函数解析式； （2）当3≤ρ≤6时，求V的取值范围． 【分析】（1）设密度ρ的关于体积V的函数解析式为p，将A（5，2）代入，即可解答； （2）将p＝3和p＝6代入（1）中求得的函数解析式，再结合反比例函数的性质，即可解答， 【解答】解：（1）设密度ρ与体积V的反比例函数解析式为， 将点P（5，2）代入解析式得， 解得 k＝10， 答：密度ρ关于体积V的反比例函数解析式为（k≠0）； （2）当ρ＝3时，， 当ρ＝6时，， ∴当3≤ρ≤6时，． 【点评】本题考查了反比例函数的应用，熟练利用待定系数法求得反比例函数解析式是解题的关键． 【作业15】（2026•鲁山县模拟）在物理实验课上，小明用滑动变阻器设计了一个给小灯泡供电的电路，在实验中，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，当R＝3Ω时，I＝8A． （1）写出I关于R的函数解析式； （2）完成下表，并在给定的平面直角坐标系中画出函数的图象； R/Ω … 3 4 5 6 8 9 10 12 I/A … （3）当电流超过10A时，小灯泡会损坏，那么滑动变阻器的阻值应控制在什么范围内？ 【分析】（1）先由电流I是电阻R的反比例函数，可设I，将R＝3Ω时，I＝8A代入利用待定系数法即可求出这个反比例函数的解析式； （2）将R的值分别代入（1）中所求的函数解析式，即可求出对应的I值，从而完成图表； （3）将I≤10代入（1）中所求的函数解析式即可确定电阻的取值范围． 【解答】解：（1）由题意，设． ∵R＝3Ω时，I＝8A， ∴， ∴k＝24， ∴（R＞0）； （2）列表如下： R/Ω … 3 4 5 6 8 9 10 12 … I/A … 8 6 4.8 4 3 2.4 2 … （3）∵I⩽10，（R＞0）， ∴， ∴R⩾2.4， ∴滑动变阻器的阻值不低于2.4Ω． 【点评】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是正确地从中整理出函数模型，并利用函数的知识解决实际问题． 【作业16】（2025秋•衡水月考）在如图所示的平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b（k≠0）与反比例函数y（m≠0）的图象相交于点A（﹣2，4），B（a，﹣2）． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）点C（t，﹣2）是第三象限内一点，若△ABC的面积为24，求t的值； （3）在（2）的条件下，在平面直角坐标系中，正方形AOCD与正方形A′O′C′D′是位似图形，点O的对应点为O′（﹣3，0），点A的对应点A′在反比例函数y（m≠0）的图象上，请直接写出位似中心的坐标． 【分析】（1）根据所给的A（﹣2，4）代入反比例函数中，可求出m，再把B（a，﹣2）代入求出a，最后把A（﹣2，4）和B（a，﹣2）代入一次函数求出即可； （2）根据面积公式列出方程求解即可； （3）过点A作y轴的垂线，垂足为N，过点D作MN的垂线，交MN于点M，可得△ANO≌△DMA即可得出D的坐标，即可得出结论． 【解答】解：（1）∵一次函数y＝kx+b（k≠0）与反比例函数y（m≠0）的图象相交于点A（﹣2，4），B（a，﹣2）， ∴，即m＝﹣8， ∵反比例函数的表达式为， 将点B（a，﹣2）代入反比例函数，得a＝4， ∴点B的坐标为B（4，﹣2）， 将B（4，﹣2），A（﹣2，4）代入一次函数y＝kx+b（k≠0）中， ∴， 解得∴， ∴一次函数的函数表达式为y＝﹣x+2； （2）∵点B的坐标为B（4，﹣2），A（﹣2，4），点C的坐标为C（t，﹣2）， ∴BC∥x轴， ∵， ∴， ∴t＝﹣4； （3）在正方形AOCD中，O（0，0），C（﹣4，﹣2），A（﹣2，4）， ∴过点A作y轴的垂线，垂足为N，过点D作MN的垂线，交MN于点M， ∴△ANO≌△DMA（ASA）， ∴D（﹣6，2）， 如图： 当正方形AOCD和正方形A′O′C′D′是位似图形时，点O的对应点为O′（﹣3，0），点A的对应点A′在反比例函数的图象上，不妨设点C的对应点为C′，点D的对应点为D′，则A′O′∥AO， ∵A（﹣2，4）， ∴yOA＝﹣2x， ∵O′（﹣3，0），A′O′∥AO， ∴yO′A′＝﹣2x﹣6， ∵yO′A′＝﹣2x﹣6与相交于点A′， ∴， 解得x1＝﹣4或x2＝1， 当x2＝1时，位似中心的坐标为（﹣1，0）． 当x1＝﹣4时，位似中心的坐标为（﹣6，0）， 【点评】本题是反比例函数的综合题，主要考查了反比例函数与一次函数的综合应用、平面直角坐标系中三角形面积的计算以及位似图形的性质． 【作业17】（2026春•万州区校级月考）已知一次函数与反比例函数的图象交于A（2，m），B（﹣6，n）两点，交y轴于点C． （1）求反比例函数的表达式； （2）若点A关于x轴对称的点为A′，求△AA′B的面积． （3）请直接写出不等式的解集． 【分析】（1）根据待定系数法即可求解； （2）根据对称点坐标的特征可得A′（2，﹣3），则AA′＝6，根据题意可知点B（﹣6，﹣1）到AA′的距离为8，根据三角形面积公式即可求解； （3）根据（2）可知A（2，3），B（﹣6，﹣1），结合图象即可求解． 【解答】解：（1）将A（2，m）代入得， ，则A（2，3） 将A（2，3）代入得， ，解得k＝6， 则； （2）由（1）可知，A（2，3）， ∵点A关于x轴对称的点为A′， ∴A′（2，﹣3）， ∴AA′＝6， 将B（﹣6，n）代入得， ，则B（﹣6，﹣1）， 点B（﹣6，﹣1）到AA′的距离为|2﹣（﹣6）|＝8， ∴； （3）由（2）问可知，一次函数与反比例函数的图象交于A（2，3），B（﹣6，﹣1）两点， 当时，一次函数的图象在反比例函数的图象的下方，结合图象可知，此时x＜﹣6或0＜x＜2． 【点评】本题考查待定系数法求解析式，对称点坐标的特征，函数与不等式，能够熟练掌握函数的基础知识，运用数形结合思想是解题的关键． 【作业18】（2026•新会区校级一模）如图，M是四边形ABCD对角线的交点，AC⊥x轴于点C，BD⊥y轴于点B．反比例函数C1：y的图象经过点M，M是AC的中点． （1）求经过点A的反比例函数C2的表达式； （2）若点D恰好也在图象C2上，证明：四边形ABCD是菱形． 【分析】（1）设点M的坐标为（a，b），根据点M在反比例函数上，求出AB，根据AC⊥x轴，M是AC的中点，求出点A的坐标，设经过点A的反比例函数C2的表达式为，代入点A的坐标即可解答； （2）根据题意证明AC与BD互相垂直平分即可得证． 【解答】（1）解：设点M的坐标为（a，b）， ∵点M在反比例函数上， ∴ab＝2， ∵AC⊥x轴，M是AC的中点， ∴点A的坐标为（a，2b）， 设经过点A的反比例函数C2的表达式为， 把A（a，2b）代入可得， 即k＝2ab， 又∵ab＝2， ∴k＝4， 则反比例函数C2的表达式为； （2）证明：设点M的坐标为（a，b）， ∵BD⊥y轴， ∴点D的纵坐标与点M的纵坐标相同， ∵点D在图象C2上， ∴xb＝4，即x． ∴点D的坐标为（，b）， 由（1）知A（a，2b），ab＝2，即a， ∴点M的坐标为（，b）， ∴BM＝DM， ∵M是AC的中点， ∴AM＝CM； ∵AC⊥x轴，BD⊥y轴， ∴AC∥y轴，BD∥x轴， 即AC⊥BD， ∴四边形ABCD是菱形． 【点评】本题将反比例函数与四边形的性质结合，解题关键是利用反比例函数的性质和中点坐标求出相关点的坐标关系，再结合菱形的判定定理进行证明，考查了知识的综合运用能力． 【作业19】（2026•让胡路区校级模拟）如图，直线与反比例函数的图象交于A（﹣2，a）、B两点，点，连接AC并延长交反比例函数的图象于点D，连接BC． （1）求反比例函数的表达式； （2）求△ABD的面积； （3）在y轴上是否存在点E，使得以C、D、E为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，请直接写出E点坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）根据直线与反比例函数的图象交于A（﹣2，a）列方程即可得到结论； （2）设直线AC的解析式为y＝mx+n，解方程组得到D（，4），B（2，），根据三角形的面积公式和梯形的面积公式即可得到结论； （3）根据勾股定理和勾股定理的逆定理得到∠ACB＝90°，推出∠CDE＝90°或∠CED＝90°，设E（0，a），①当∠CDE＝90°时，△ABC∽△CED，②当∠CED＝90°时，△ABC∽△CDE，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【解答】解：（1）∵直线与反比例函数的图象交于A（﹣2，a）， ∴a（﹣2）， ∴A（﹣2，）， ∴k＝﹣2×（）＝3， ∴反比例函数的表达式为y； （2）设直线AC的解析式为y＝mx+n， ∴， ∴， ∴直线AC的解析式为y＝2x， 解得或， ∴D（，4）， 解得或， ∴B（2，）， ∴△ABD的面积＝S△ABC+S△BCD（2+2））×（2）（4）2×（）； （3）存在， 理由：∵AC2，AB25，BC， ∴AB2＝AC+BC2， ∴∠ACB＝90°， ∵以C、D、E为顶点的三角形与△ABC相似， ∴∠CDE＝90°或∠CED＝90°， 设E（0，a）， ①当∠CDE＝90°时，△ABC∽△CED， ∴， ∴， ∴a， ∴E（0，）， ②当∠CED＝90°时，△ABC∽△CDE， ∴， ∴， ∴a＝4， ∴E（0，4）， 综上所述，在y轴上存在点E，使得以C、D、E为顶点的三角形与△ABC相似，E点坐标（0，4）或（0，）． 【点评】本题是反比例函数综合题，考查了相似三角形的性质，勾股定理，勾股定理的逆定理，待定系数法求函数的解析式，正确地理解题意是解题的关键． 【作业20】（2026•长宁县模拟）如图，已知直线l：y＝mx﹣m（m＞0）交反比例函数图象于A、B两点（点A在点B右侧），交x轴、y轴于点C、点D．点E为反比例函数第一象限图象上一点．若D在y轴负半轴，E在直线l上方，OD＝3，． （1）求直线l和反比例函数解析式； （2）若点E的横坐标为2，求△ABE面积； （3）点P为直线l上的一动点，在反比例函数图象上存在一点Q．当以O、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出点Q的坐标． 【分析】（1）求出点D坐标，利用待定系数法可求出直线l的函数解析式，进而可求出点C坐标，过点A作AH⊥x轴于H，利用相似三角形的性质可得到点A，即可求出反比例函数的解析式； （2）过点E作EF∥y轴，交直线AB于F，可知点F的横坐标为2，将x＝2分别代入y＝3x﹣3，求出EF＝9﹣3＝6，由求出A（3，6），B（﹣2，﹣9），根据S△ABE＝S△AEF+S△BEF计算即可； （3）分OD是边和对角线两种情况，根据平行四边形的性质解答即可求解； 【解答】解：（1）∵OD＝3， ∴D（0，﹣3）， 把D（0，﹣3）代入y＝mx﹣m，得﹣3＝﹣m， ∴m＝3， ∴y＝3x﹣3， 把y＝0代入y＝3x﹣3，得0＝3x﹣3， ∴x＝1， ∴C（1，0）， ∴OC＝1， 过点A作AH⊥x轴于H， ∵∠ACH＝∠DCO，∠AHC＝∠DOC＝90°， ∴△AHC∽△DOC， ∴， ∴CH＝2OC＝2，AH＝2OD＝6， ∴OH＝OC+CH＝1+2＝3， ∵点A在第一象限， ∴A（3，6）， ∵点A在反比例函数的图象上， ∴k＝3×6＝18， ∴反比例函数解析式为； 解：（2）过点E作EF∥y轴，交直线AB于F， 可知点F的横坐标为2， 将x＝2分别代入y＝3x﹣3，得： yF＝3×2﹣3＝3，， 即EF＝9﹣3＝6， 由， 解得，， ∴B（﹣2，﹣9），A（3，6）， ∴； （3）当OD是边时，设P（n，3n﹣3）， 则， 则， ∵PQ＝OD， ∴， 当时， 解得或， ∴或， 当时， 解得或， ∴或； 当OD是对角线时，则OD中点坐标为， 设P（n，3n﹣3）， ∵点P和点Q关于点对称， ∴Q（﹣n，﹣3n）， ∵点Q（﹣n，﹣3n）在反比例函数图象上， ∴， 解得， ∴或， 综上，当以O、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，点Q的坐标为或或或． 【点评】本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，反比例函数的几何应用，相似三角形的判定和性质等，熟练掌握知识点是解题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $