专题10 位似变换压轴 （压轴题专项训练）数学新教材沪科版九年级上册

专题10 位似变换压轴 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、位似中心与位似比的确定 题型二、位似与相似综合（周长、面积、线段） 题型三、位似与动态几何（动点轨迹） 题型四、位似作图与图形构造 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 通法一　位似中心的确定 找位似中心就是找“对应点连线的交点”。任取两组对应顶点（如A与A′、B与B′）分别连线，两条连线的交点即位似中心；若在坐标系中，则先求出两直线的解析式再解方程组。 通法二　位似比的求法 位似比＝对应点到位似中心的距离之比＝对应边之比。坐标情形下，若位似中心为原点，位似比k可由对应顶点坐标之比确定（同向取正、反向取负）。 通法三　坐标系中位似坐标变换 锁定位似中心后，把图形上每个点按同一规律变换：原点为位似中心时P(x，y)→（kx，ky）或（−kx，−ky）；非原点位似中心O(a，b)时，用公式x′＝a＋k(x−a)，y′＝b＋k(y−b)（同向取+k，反向取−k）。非原点中心位似是压轴的高频设坑点，切勿把原点公式直接硬套。 通法四　位似问题向相似问题的转化 位似是相似的特殊情形。题目仅给“位似”而未给坐标时，可先还原为一般相似（对应角相等、对应边成比例），把位似比当作相似比使用；涉及面积、周长时直接套用面积比＝k²、周长比＝|k|。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、位似中心与位似比的确定 【典例1】．（2024九年级上·安徽安庆·期末）如图，在平面直角坐标中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为1：3，点A，B，E在x轴上，若正方形BEFG的边长为5，则C点坐标为_________． 【答案】（，）． 【知识点】求位似图形的对应坐标 【分析】根据位似比，得，得到DC=BC=，根据位似比，得，即，得到OB=，根据点的位置，把线段的长转化为点的坐标即可． 【详解】∵正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为1：3， ∴， ∴DC=BC=， 根据位似比，得， 即， ∴OB=， 根据点的位置， ∴点C（，）． 故答案为：（，）． 【点睛】本题考查了正方形的性质，位似，位似比，熟练掌握位似的意义，准确列出比例式是解题的关键． 题型模版 思路点拨： 位似中心是两对应点连线的交点，用坐标法求两直线的交点。 【变式1】．在平面直角坐标系中，将一个图形以原点为位似中心，经过位似变换，使其扩大为原来的3倍，则该图形上各点坐标可能的变化是（     ） A．横、纵坐标分别加3 B．纵坐标不变，横坐标变为原来的3倍 C．横、纵坐标分别乘3 D．横、纵坐标分别变为原来的 【答案】C 【知识点】位似图形相关概念辨析、求位似图形的对应坐标 【分析】以原点为位似中心，将图形扩大为原来的3倍，则图形上各点的横、纵坐标都要乘3；平移是坐标做加减，只改变横坐标或只改变纵坐标不是位似变换，乘是缩小为原来的，据此判断选项即可． 【详解】解：A、横、纵坐标分别加3属于平移变换，不是位似变换，此选项不符合题意； B、纵坐标不变，横坐标变为原来的3倍，不是原点为位似中心的位似变换，此选项不符合题意； C、横、纵坐标分别乘3，是以原点为位似中心扩大到原来的3倍的坐标变化，此选项符合题意； D、横、纵坐标分别变为原来的，图形会缩小为原来的，此选项不符合题意． 【变式2】．（25-26九年级上·安徽亳州·阶段检测）如图，与是位似图形，是位似中心，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用相似三角形的性质求解、位似图形相关概念辨析 【分析】本题主要考查了位似图形的性质，相似三角形的性质与判定，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键．根据位似图形的性质可得，则可证明，得到，据此可得答案． 【详解】解：∵与是位似图形，是位似中心， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【变式3】．（26-27九年级上·安徽·课后作业）如图，与是位似图形，点O为位似中心．求证：． 【答案】证明：∵与是位似图形，点O为位似中心， ∴，且三点共线，三点共线， 又∵， ∴， ∴， ∴； 同理可证明． 【知识点】同位角相等两直线平行、相似三角形的判定与性质综合、位似图形相关概念辨析 【分析】根据位似三角形的性质得到，且三点共线，三点共线，则可证明，得到，据此可证明；同理可证明． 【详解】 略 题型二、位似与相似综合（周长、面积、线段） 【典例2】．（2024九年级上·安徽六安·阶段检测）已知，如图，五边形． (1)以点A为位似中心，作出五边形右边的位似图形五边形，使五边形与五边形的位似比为2；（保留作图痕迹，不写作法） (2)若五边形的周长为，则五边形的周长为_____． 【答案】(1) 解：如图，五边形即为所求作的图形； (2) 【知识点】求两个位似图形的相似比、画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形、在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比 【分析】本题考查的是画位似图形，位似图形的性质的应用，掌握位似图形的性质并应用于画图是解本题的关键； （1）在的延长线上截取，在的延长线上截取，连接，，同法得到，，再顺次连接，，，，即可； （2）直接利用位似图形的周长比等于位似比即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）∵五边形与五边形的位似比为2； ∴五边形与五边形的周长比为2； ∵五边形的周长为， ∴五边形的周长为． 题型模版 思路点拨： 周长比＝位似比＝2:5，面积比＝位似比的平方＝4:25。 【变式1】．（24-25九年级上·安徽宣城·阶段检测）如图，四边形与四边形是位似图形，点是位似中心，是的中点，则下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】位似图形相关概念辨析、求两个位似图形的相似比 【分析】此题考查了位似图形的性质．位似多边形的对应边平行或共线，位似图形的位似比等于相似比，面积比等于相似比的平方列式，据此求解即可． 【详解】解：∵四边形与四边形是位似图形，点是它们的位似中心，点为线段的中点， ∴，，， 不能证明， 故选：D． 【变式2】．（24-25九年级上·安徽安庆·期中）如图所示，与位似，点是位似中心.已知，且的面积为16，则的面积是（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】A 【知识点】利用相似三角形的性质求解、位似图形相关概念辨析 【分析】根据位似比等于三角形的相似比，结合相似三角形的性质：面积之比等于相似比的平方计算即可． 【详解】∵与位似，点O为位似中心，且， ∴， ∵的面积为16， ∴的面积是1， 故选：A． 【点睛】本题考查了位似的性质，熟练掌握面积之比等于位似比的平方是解题的关键． 【变式3】．如图，与位似，位似中心为点O，，的面积为4，则的面积为________． 【答案】9 【知识点】位似图形相关概念辨析 【分析】根据与位似得到，由相似三角形的性质即可得到答案． 【详解】解：，与位似， ， ． 的面积为4， ． 题型三、位似与动态几何（动点轨迹） 【典例3】．（2026·安徽阜阳·三模）如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中有和格点（网格线的交点）O． (1)以点O为位似中心，在网格内将放大为原来的2倍，得到，画出放大后的； (2)将绕点O顺时针旋转，得到，请你画出，并直接写出边在旋转过程中扫过的面积． 【答案】(1)如图所示．    (2)如图所示．扫过的面积为 【知识点】求图形旋转后扫过的面积、画旋转图形、画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形 【分析】（1）先确定位似中心为，因为位似比为2，所以分别连接、、并延长，使对应线段长度变为原来的2倍，得到对应顶点、、，顺次连接即可； （2）根据旋转的性质，确定旋转中心、旋转方向为顺时针、旋转角为，分别作出、、三点旋转后的对应点、、，顺次连接得到，因为扫过的面积是圆心角为，半径分别为、的两个扇形的面积差，所以先计算、的长度，再用扇形面积公式计算面积差． 【详解】（1）分别连接， 延长到使，延长到使，延长到使， 顺次连接，所以即为所求作的图形； （2）分别将点绕点顺时针旋转得到对应点，顺次连接得到即为所求作的图形； 根据勾股定理，结合网格可得：，， 线段旋转过程中扫过的图形是圆心角为的圆环，面积为大扇形面积减小扇形面积： ． 题型模版 思路点拨： 设P(x，y)，用坐标表示P′，再消去参数得轨迹方程。 【变式1】．（2026·安徽合肥·模拟预测）如图，在小正方形边长都相等的网格中建立平面直角坐标系，线段的端点的坐标分别为，． (1)将线段平移得到线段，使得点A的对应点的坐标为，请在图中画出线段； (2)以原点O为位似中心，把线段AB缩小到原来的一半得到线段，请在第三象限内画出线段； (3)线段上有一点，请用无刻度直尺确定出点P的位置． 【答案】(1)如图，线段即为所求 (2)如图，线段即为所求 (3)如图，点即为所求 【知识点】平移(作图)、由平移方式确定点的坐标、在坐标系中画位似图形、无刻度直尺作图 【分析】（1）先根据点A和对应点的坐标计算平移的横、纵坐标变化量，利用平移性质得出点B的对应点的坐标，再连接、即可； （2）连接、，分别取、的中点，再连接即可； （3）根据题意得点P满足，先找到直线上的两个网格点并画出该直线，直线与线段的交点即为点P． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 【变式2】．（2026·安徽宿州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)在所给网格中，以点为位似中心，画出的位似图形，使它与的相似比为； (2)画出以点为旋转中心，将绕点按逆时针旋转后得到的； (3)直接写出点移动到点所经过的路径的长为__________． 【答案】(1)解：如图所示，即为所求； (2)解：如图所示，即为所求； (3) 【知识点】求弧长、求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标、在坐标系中画位似图形 【分析】（1）画位似图形的步骤：先确定位似中心，连接位似中心与图形的每个顶点并延长，按位似比在射线上截取各点的对应点，依次连接各点； （2）确定旋转中心、旋转方向、旋转角度，按要求作图即可； （3）根据弧长公式即可得． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：， 绕点按逆时针旋转后得到的， 点移动到点所经过的路径的长． 【点睛】注意确定位似比后一个图形有两个位似图形，一个在延长线上，一个在反向延长线上，本题要求在所给网格中，因此位似图形在延长线上． 【变式3】．（2026·安徽马鞍山·二模）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的三个顶点和点O都是格点． (1)将先向右平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度得到，请你画出． (2)以O为位似中心，作，使与的相似比为2． (3)用无刻度直尺过点向画垂线段． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 (3)作图见解析 【知识点】平移(作图)、画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形、无刻度直尺作图 【分析】（1）将点A向右平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点，再将点B，C向右平移3个单位长度，向上平移3个单位长度得到点，然后依次连接，则即为所求； （2）连接并延长至,使得，同理可得，然后依次连接，则即为所求； （3）取点E，F，G，可得，可得，即可得，再由，可得，即，则，所以即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，则即为所求； （2）解：如图所示，则即为所求； （3）解：如图所示，取点E，连接，交于点D，则即为所求． 题型四、位似作图与图形构造 【典例4】．（25-26九年级上·安徽宿州·期末）如图，在平面直角坐标系中，把以格点为顶点的三角形称为格点三角形（每个小方格都是边长为1的正方形）．图中是格点三角形，点、、的坐标分别是，，． (1)仅用直尺，画出中边上的高；（不写作法，保留作图痕迹） (2)以为位似中心，在第一象限画出放大为原来的2倍的． 【答案】(1) 如图所示，点即为所求； (2) 如图，即为所求． 【知识点】画三角形的高、在坐标系中画位似图形、无刻度直尺作图 【分析】本题主要考查了作三角形的高，正方形的性质，位似变换等知识，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键． （1）取点，连接，，，交于点，可知四边形为正方形，可知，点即为所求； （2）根据位似图形的性质即可画出图形． 【详解】（1）略 （2）略 题型模版 思路点拨： 分别把O与各顶点连线并延长，在延长线上按位似比取对应点。 【变式1】．（2026·安徽芜湖·三模）在边长为1的小正方形网格坐标系中，顶点均为格点，点，对应位似点． (1)描出AC中点D，写出点D坐标； (2)以原点O为位似中心，将放大得到，画出图形． 【答案】(1)如图，AC中点； (2) 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、在坐标系中画位似图形、中点坐标 【详解】解：（1）略 （2）由对应，得位似比为2，将各顶点坐标放大2倍，再取相反数，顺次连接即可得到．图略. 【变式2】．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为． (1)以原点O为位似中心，在第一象限内将放大为原来的2倍得到，作出，写出的坐标； (2)请用无刻度直尺在线段作出点D，使得（保留作图痕迹）． 【答案】(1) 即为所求；； (2) 点D即为所求： 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、求位似图形的对应坐标、在坐标系中画位似图形 【分析】本题主要考查了画位似图形，相似三角形的性质与判定，求位似图形对应点的坐标，熟知相关知识是解题的关键． （1）把点A，B、C的横纵坐标分别乘以2可得到点的坐标，据此作图即可； （2）取格点E、F，连接交于点D，可证明，则，则点D即为所求． 【详解】（1）略 （2）略 【变式3】．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图，在边长为1个单位长度的正方形网格中，的顶点均在格点（网格线的交点）上．（要求使用无刻度的直尺画图） (1)在图1中，将以点C为位似中心放大2倍得到，请画出； (2)在图2中，在线段上画一个点P，使． 【答案】(1)所作如图所示： (2)所作点P如图所示： 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、在网格中画与已知三角形相似的三角形、画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形 【分析】本题主要考查位似及相似三角形的性质，熟练掌握位似图形及相似三角形的性质是解题的关键； （1）延长至，使得，同理作出，连接得到，即为所求； （2）取格点使得，由得，连接，交于点，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、解答题 1．（25-26九年级上·安徽滁州·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)以点O为对称中心，画出关于原点O中心对称的图形（其中A与，B与，C与是对应点）； (2)以点为位似中心，将放大2倍得到（其中A与，B与，C与是对应点），且点在第二象限，并写出点的坐标． 【答案】(1) 如图，即为所求； (2)如图，就是所画的图形； 【知识点】画已知图形关于某点对称的图形、求位似图形的对应坐标、在坐标系中画位似图形 【分析】本题考查作中心对称图形以及位似图形．熟练掌握成中心对称图形的特征，以及位似图形的定义和性质，是解题的关键． （1）先确定点A，B，C关于原点对称的对应点，，，再连线即可得到； （2）根据位似比确定，，的位置，再连线即可得到，写出点的坐标即可． 【详解】（1）略 （2）略 2．（25-26九年级上·安徽宿州·阶段检测）在平面直角坐标系中，的各顶点坐标分别为，，． (1)以点为位似中心，将放大到原来的2倍得到（与在点的异侧），并直接写出点的坐标； (2)请用无刻度的直尺画出高（保留作图痕迹，不必叙述理由）． 【答案】(1)如图所示，点的坐标为； (2)如图所示． 【知识点】求位似图形的对应坐标、在坐标系中画位似图形、格点作图题、无刻度直尺作图 【分析】本题考查位似作图和网格中直尺作图，熟练掌握各类作图的技巧是关键． （1）根据位似的性质，在第四象限中描出点D、E、F，连接成三角形即可； （2）连接，与的交点即为点G． 【详解】（1）略 （2）略 3．（25-26九年级上·安徽六安·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)先将向左平移8个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到，请画出； (2)在轴的左侧画出以原点为位似中心，且与的相似比为2：1的位似图形，并写出点的坐标． 【答案】(1) 画图如下： 则即为所求． (2)，画图如下： 则即为所求． 【知识点】平移(作图)、画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形 【分析】（1）平移到，根据平移变换，确定坐标后，画图即可； （2）根据位似比，确定坐标后，画图即可； 本题考查了平移作图，位似作图，熟练掌握变换的基本特征是解题的关键． 【详解】（1）解：的三个顶点坐标分别是，，． 将向左平移8个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到，则， （2）解：的三个顶点坐标分别是，，． 在轴的左侧画出以原点为位似中心，且与的相似比为2：1，得到，则， 4．（25-26九年级上·安徽滁州·阶段检测）如图，三个顶点的坐标分别为，，． (1)以原点为位似中心，在第一象限内将放大为原来的倍得到，作出； (2)请用无刻度直尺作出的角平分线（保留作图痕迹）． 【答案】(1) 如图，即为所求作， (2) 如图，是角平分线， 【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS）、勾股定理与网格问题、在坐标系中画位似图形、无刻度直尺作图 【分析】本题考查的是画位似图形，勾股定理的应用，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，熟练的作图是解本题的关键． （1）以原点为位似中心，在第一象限内确定A、B、C的对应点，再顺次连接，结合点的位置可得其坐标； （2）如图，取格点，则射线即为所求作的角平分线；连接，根据勾股定理可得，，进而利用证明，则，可得是的角平分线． 【详解】（1）略 （2）略 5．（25-26九年级上·安徽安庆·期末）如图，在边长为1个单位长度的正方形网格中，的顶点均在格点（网格线的交点）上． (1)将以点为位似中心放大2倍得到，请画出； (2)使用无刻度的直尺作外接圆的圆心（无需写做法，但要保留清晰的作图痕迹）． 【答案】(1)如图所示； (2)如图所示点为所求： 【知识点】作垂线(尺规作图)、画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形 【分析】本题考查了位似变换和三角形外接圆圆心的作法，解题的关键是理解位似的性质以及外接圆圆心是三角形三边垂直平分线的交点； （1）以点为位似中心，放大2倍意味着对应点到位似中心的距离是原距离的2倍，分别得到，即可； （2）根据三角形的外接圆圆心是三边垂直平分线的交点，利用网格特性，找到，，的中点，并作其垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为外接圆圆心． 【详解】（1）略 （2）略 6．（24-25九年级上·安徽阜阳·期末）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，已知格点（顶点是网格线的交点）的一个顶点A在x轴上． (1)以A为旋转中心，将线段绕点A旋转得到线段，画出线段； (2)以O为位似中心，将放大为原来的2倍． （ⅰ）在所给的网格图中画出放大后的（其中的对应边为）； （ⅱ）若为边上任意一点，直接写出点P在线段上的对应点坐标． 【答案】(1)如图，即为所求． (2)（ⅰ）如图，即为所求． ； （ⅱ）． 【知识点】画旋转图形、画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形、求位似图形的对应坐标 【分析】本题考查作图-位似变换、作图-旋转变换，熟练掌握位似的性质、旋转的性质是解答本题的关键． （1）根据旋转的性质作图，即可得出答案； （2）（ⅰ）根据位似的性质作图，即可得出答案； （ⅱ）根据位似的性质，即可得出答案． 【详解】（1）略 （2）解：（ⅰ）略 （ⅱ）点在线段上的对应点坐标． 7．如图，在网格中，点是格点，是格点三角形（顶点在网格线交点上），且点是点以点为位似中心的对应点．    (1)画出以点为位似中心的位似图形； (2)与的面积比是_____________． 【答案】(1) 如图所示，即为所求．    (2) 【知识点】画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形、在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比 【分析】（1）根据题意画出位似图形，即可求解； （2）根据面积比等于相似比的平方，相似比等于位似比，即可求解． 【详解】（1）略 （2）与的面积比为， 故答案为：． 【点睛】本题考查位似图形的画图和相似比的计算，掌握对应的方法是本题关键． 8．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）如图，三个顶点的坐标分别为． (1)画出绕原点顺时针旋转的，则点的坐标为_______； (2)以点为位似中心，在第一象限内，将放大为原来的2倍，得到，请在网格中画出的坐标为_______． 【答案】(1) 如图，绕原点顺时针旋转得到，即为所求： 点的坐标为； (2)如图，即为所求，的坐标为． 【知识点】求绕原点旋转90度的点的坐标、求位似图形的对应坐标、在坐标系中画位似图形 【分析】本题考查了平面直角坐标系中图象的旋转，作位似图形等知识． （1）连接，根据旋转三要素得到，即可确定位置，依次确定位置，即可得到，并确定点的坐标为； （2）连接并延长两倍，即可确定位置，依次确定位置，即可得到，并确定点的坐标为． 【详解】（1）略 （2）略 9．（24-25九年级上·安徽淮北·期中）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为． (1)以坐标原点O为位似中心，位似比为，将作位似变换，得到，请在图中画出． (2)设是内的任意一点，写出其经过上述变换后得到的对应点的坐标． 【答案】(1) 如图，即为所作， (2)或 【知识点】求位似图形的对应坐标、在坐标系中画位似图形 【分析】此题主要考查了位似变换，解题的关键是正确得出对应点位置． （1）直接利用位似比得出对应点位置，进而得出答案； （2）利用位似图形的性质得出坐标． 【详解】（1）略 （2）解：是内的任意一点，以坐标原点O为位似中心，位似比为，将作位似变换得到或． 10．（25-26九年级上·安徽安庆·阶段检测）平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． (1)画出，使它与关于轴对称： (2)以点为位似中心，在网格中画出的位似图形，且与的相似比为； (3)设点为内一点，则依上述变换后点在内的对应点的坐标是________． 【答案】(1) 所作如图所示： (2)所作如图所示； (3) 【知识点】坐标与图形变化——轴对称、求位似图形的对应坐标、在坐标系中画位似图形 【分析】本题主要考查轴对称图形与坐标及位似，熟练掌握轴对称的性质及位似的性质是解题的关键； （1）先得出点A、B、C关于x轴的对称点，然后问题可求解； （2）根据位似的性质可进行作图； （3）根据位似的性质可进行求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：由（2）可知：点为内一点，则依上述变换后点在内的对应点的坐标是； 故答案为． 11．（24-25九年级下·安徽六安·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)画出关于轴对称的图形； (2)以点为位似中心，在原点的异侧画出与位似，且位似比为的位似图形，并写出点的坐标； (3)若点为边上的一点，写出经过第（），（）两题的变换后对应点的坐标． 【答案】(1) 解：如图，即为所求； (2) 解：如图，即为所求，； (3)． 【知识点】画轴对称图形、求位似图形的对应坐标、在坐标系中画位似图形 【分析】本题考查了作图——位似变换、作图——轴对称变换，熟练掌握轴对称的性质、位似的性质是解题的关键． （）根据轴对称的性质作图即可； （）根据位似的性质作图，即可得出答案； （）结合轴对称的性质、位似的性质可得答案． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：经过（）题变换后点的对应点的坐标为，经过（）题变换后的对应点坐标为． 12．（2026·安徽合肥·二模）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，格点（网格线的交点）A，B，C的坐标分别为，，． (1)画出的重心G，并写出重心G的坐标； (2)以原点O为位似中心，将按位似比将放大得到并画出其图形； (3)填空：的面积为_________． 【答案】(1)图见解析，重心G的坐标为 (2)图见解析 (3)12 【知识点】重心的有关性质、画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形、求位似图形的对应坐标、利用网格求三角形面积 【分析】本题考查平面直角坐标系中的几何变换与计算，掌握重心的定义、位似变换以及利用网格算不规则三角形的面积是解题的关键． （1）三角形的重心是是三条中线的交点，三角形重心的坐标公式：三角形重心的横坐标是三个顶点横坐标之和的平均数，纵坐标是三个顶点纵坐标之和的平均数； （2）以原点O为位似中心，位似比为k（此处为2）的变换，对应点的坐标变为原来的k倍； （3）网格中不规则三角形面积的计算：通常采用“割补法”或“铅垂法”（即构造外接矩形，用矩形面积减去周围直角三角形面积的方法）进行计算． 【详解】（1）解：如图，连接三条边的中线交于点G，设重心G的坐标为， 则 ， ； （2）解：由A，B，C的坐标分别为，，可得： 以原点O为位似中心，按位似比放大得到的坐标分别为，，，如图，在平面直角坐标系中顺次连接这三个点即可得到； （3）解：方法一：利用位似图形的面积等于位似比的平方， ， ； 方法二：直接计算， ． 13．已知是坐标原点，A、的坐标分别为，． (1)以原点为位似中心，位似比为，在轴的左侧，画出放大后的图形； (2)的面积为_________． (3)若点在线段上，点对应点的坐标为_________． 【答案】(1) 如图所示： (2)10 (3) 【知识点】画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形、求位似图形的对应坐标、利用网格求三角形面积 【分析】本题主要考查了位似变换、坐标与图形等知识点，掌握位似比与坐标的关系是解题的关键． （1）根据位似图形的性质得出，然后再顺次连接即可； （2）根据坐标系，用长方形的面积减去三个三角形的面积即可解答； （3）利用（1）中位似比得出对应点坐标关系即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：的面积为：． （3）解：点在线段上，点D对应点的坐标为． 故答案为：． 14．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段检测）在如图的方格纸中，与是关于点P为位似中心的位似图形． (1)在图中标出位似中心P的位置； (2)以原点O为位似中心，在第三象限画出的一个位似，使它与的位似比为； (3)已知的面积为2.5，则的面积为_______． 【答案】(1) 解：如图所示，点为所作； (2) 解：如图所示，为所作； (3)10 【知识点】在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比、在坐标系中画位似图形、在坐标系中画位似中心 【分析】本题考查作图位似变换，位似变换的性质：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或． （1）连接两组对应点，并延长，延长线的交点即为位似中心； （2）延长、，并使、，连接即可； （3）根据位似比得出面积比，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：∵与的位似比为， ∴， ∵的面积为2.5， ∴， 故答案为：10． 15．（24-25九年级上·安徽宿州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1，的顶点均在网格格点上，且点，，． (1)以原点O为位似中心，在第一象限画出，使得与位似，且位似比为； (2)在（1）的条件下，与的面积比为______； (3)若点为上一点，写出点M的对应点的坐标为______． 【答案】(1) 解：如图所示， 即为所求． (2) (3) 【知识点】求位似图形的对应坐标、在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比、在坐标系中画位似图形 【分析】本题考查了作图-位似变换，位似图形的性质，位似图形的坐标变换，画位似图形的一般步骤为：确定位似中心；分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形． （1）依据位似中心的位置以及位似比的大小，即可得到； （2）根据位似图形的性质面积比等于相似比的平方，求解即可； （3）依据对应点的坐标的关系：横坐标比等于纵坐标比等于相似比，即可得到点M在中的对应点的坐标． 【详解】（1）略 （2）解：∵与位似，且位似比为； ∴，相似比为， ∴， 即与的面积比为． 故答案为：． （3）解：∵与位似，且位似比为； ∴点为上一点，写出点M的对应点的坐标为． 故答案为：． 16．如图，已知是坐标原点，点，的坐标分别为，． (1)以点为位似中心，在轴的左侧作，使它与位似，且位似比为； (2)如果周长为，则的周长为 ； (3)若线段上有一点，请直接写出点的对应点的坐标 ． 【答案】(1) 如图所示，即为所求， (2) (3) 【知识点】求位似图形的对应坐标、在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比、在坐标系中画位似图形 【分析】本题考查位似图形．熟练掌握位似图形的定义和性质，是解题的关键． （1）根据位似图形的性质，画出即可； （2）根据位似比等于相似比，周长比等于相似比，即可得出结论； （3）根据以原点为位似中心的图形上的点的坐标规律，写出点的坐标即可． 【详解】（1）解：略； （2）解：以点为位似中心在轴的左侧将放大到原来的倍得到， ，相似比为， ，的周长比为， 的周长为， 的周长为， 故答案为：； （3）解：从这两个相似三角形坐标位置关系来看，对应点的坐标正好是原坐标乘以的坐标， ， 故答案为：． 17．（2026·安徽阜阳·二模）在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为． (1)将绕点顺时针旋转得到，画出，并写出点的坐标； (2)以点为位似中心，将放大得到，相似比为，在网格图中画出． 【答案】(1)作图见解析， (2)作图见解析 【知识点】画旋转图形、求绕原点旋转90度的点的坐标、画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形 【分析】（1）将的三个顶点绕点顺时针旋转后连线即可得到，在网格图中写出点的坐标； （2）连接，反向延长倍得到，连接三个点即可得到． 【详解】（1）解：如图所示： 即为所求，点的坐标为； （2）解：如图所示： 即为所求． 18．（2026·安徽·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、． (1)画出将向左平移3个单位，再向上平移1个单位后的； (2)以原点为位似中心，相似比为2，在轴的左侧，画出将放大后的； (3)已知与是关于某一点为位似中心的位似图形，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【知识点】求一次函数解析式、平移(作图)、在坐标系中画位似图形、在坐标系中画位似中心 【分析】（1）根据平移规律，画图即可． （2）根据位似图形的性质画图即可． （3）作直线，交于点P，点P即为位似中心． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解：如图，作直线，交于点P，点P即为位似中心， ，， 直线的解析式为， 设直线的解析式为， 将代入，得：， 解得， 直线的解析式为， 将与联立，得：， 解得， 点的坐标为． 19．（2026·安徽阜阳·二模）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)将向左平移5个单位长度得到，画出； (2)以原点为位似中心，在第三象限内画一个，使它与的相似比为，并直接写出坐标． (3)用无刻度直尺作的角平分线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析，坐标为 (3)见解析 【知识点】角平分线的有关计算、平移(作图)、求位似图形的对应坐标、在坐标系中画位似图形 【分析】（1）根据向左平移横坐标减相应单位，纵坐标不变计算出、、的坐标，描点连线得到． （2）根据以原点为位似中心，相似比为且在第三象限，原顶点横、纵坐标都乘以得到对应位似顶点坐标，再描点连线得到，同时可直接得出的坐标． （3）借助网格找到能辅助构造角平分线的点，连接与该点得到角平分线． 【详解】（1）解：如图，A、B、C向左平移5个单位长度，得到、、， 首尾顺次连接各点，即得； （2）解：如图，A、B、C各点的横纵坐标乘以，得到、、的坐标， 描出各点，首尾顺次连接各点，即得， 坐标为； （3）解：取边与格线的交点P，线段即为所作． 20．（25-26九年级上·安徽淮北·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，． (1)画出关于轴对称的； (2)以点为位似中心，在第一象限中画出将按的相似比放大后的位似图形； (3)利用网格和无刻度的直尺作出的中线（保留作图痕迹）． 【答案】(1) 如图：即为所求． (2)如图，为所作． (3)如图，为所作． 【知识点】矩形性质理解、画轴对称图形、画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形、无刻度直尺作图 【分析】本题主要考查了轴对称作图、位似变换、矩形的性质、中线等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）先利用关于x轴对称点的性质确定的对应点，然后顺次连接即可； （2）先利用位似图形的性质确定的对应点，然后顺次连接即可； （3）取格点M、N，连接与相交于点D，则即为所求作的中线． 【详解】（1）解：略． （2）解：略． （3）解：证明：如图：四边形是矩形，、是对角线且相交于点D， 所以，点D为的中点，即是的中线． 21．（25-26九年级上·安徽滁州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． (1)画出关于x轴对称的； (2)以M点为位似中心，相似比为2，在第一象限中画出放大后的； (3)利用网格和无刻度的直尺作出的中线（保留作图痕迹）． 【答案】(1) 如图，为所作三角形； (2)如图，为所作三角形； (3)如图，为的中线． 【知识点】坐标与图形变化——轴对称、画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形 【分析】（1）利用关于x轴对称点的性质得出对应点位置进而得出答案； （2）利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案； （3）取格点E、F，连接与相交于点D，则即为所求作的中线． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 【点睛】本题考查了位似变换：画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心；②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；④顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．也考查了轴对称变换和平行四边形的性质．熟练掌握轴对称的性质和位似图形的性质，以及平行四边形的性质是解题的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 位似变换压轴 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、位似中心与位似比的确定 题型二、位似与相似综合（周长、面积、线段） 题型三、位似与动态几何（动点轨迹） 题型四、位似作图与图形构造 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 通法一　位似中心的确定 找位似中心就是找“对应点连线的交点”。任取两组对应顶点（如A与A′、B与B′）分别连线，两条连线的交点即位似中心；若在坐标系中，则先求出两直线的解析式再解方程组。 通法二　位似比的求法 位似比＝对应点到位似中心的距离之比＝对应边之比。坐标情形下，若位似中心为原点，位似比k可由对应顶点坐标之比确定（同向取正、反向取负）。 通法三　坐标系中位似坐标变换 锁定位似中心后，把图形上每个点按同一规律变换：原点为位似中心时P(x，y)→（kx，ky）或（−kx，−ky）；非原点位似中心O(a，b)时，用公式x′＝a＋k(x−a)，y′＝b＋k(y−b)（同向取+k，反向取−k）。非原点中心位似是压轴的高频设坑点，切勿把原点公式直接硬套。 通法四　位似问题向相似问题的转化 位似是相似的特殊情形。题目仅给“位似”而未给坐标时，可先还原为一般相似（对应角相等、对应边成比例），把位似比当作相似比使用；涉及面积、周长时直接套用面积比＝k²、周长比＝|k|。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、位似中心与位似比的确定 【典例1】．（2024九年级上·安徽安庆·期末）如图，在平面直角坐标中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为1：3，点A，B，E在x轴上，若正方形BEFG的边长为5，则C点坐标为_________． 题型模版 思路点拨： 位似中心是两对应点连线的交点，用坐标法求两直线的交点。 【变式1】．在平面直角坐标系中，将一个图形以原点为位似中心，经过位似变换，使其扩大为原来的3倍，则该图形上各点坐标可能的变化是（     ） A．横、纵坐标分别加3 B．纵坐标不变，横坐标变为原来的3倍 C．横、纵坐标分别乘3 D．横、纵坐标分别变为原来的 【变式2】．（25-26九年级上·安徽亳州·阶段检测）如图，与是位似图形，是位似中心，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【变式3】．（26-27九年级上·安徽·课后作业）如图，与是位似图形，点O为位似中心．求证：． 题型二、位似与相似综合（周长、面积、线段） 【典例2】．（2024九年级上·安徽六安·阶段检测）已知，如图，五边形． (1)以点A为位似中心，作出五边形右边的位似图形五边形，使五边形与五边形的位似比为2；（保留作图痕迹，不写作法） (2)若五边形的周长为，则五边形的周长为_____． 题型模版 思路点拨： 周长比＝位似比＝2:5，面积比＝位似比的平方＝4:25。 【变式1】．（24-25九年级上·安徽宣城·阶段检测）如图，四边形与四边形是位似图形，点是位似中心，是的中点，则下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】．（24-25九年级上·安徽安庆·期中）如图所示，与位似，点是位似中心.已知，且的面积为16，则的面积是（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【变式3】．如图，与位似，位似中心为点O，，的面积为4，则的面积为________． 题型三、位似与动态几何（动点轨迹） 【典例3】．（2026·安徽阜阳·三模）如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中有和格点（网格线的交点）O． (1)以点O为位似中心，在网格内将放大为原来的2倍，得到，画出放大后的； (2)将绕点O顺时针旋转，得到，请你画出，并直接写出边在旋转过程中扫过的面积． 题型模版 思路点拨： 设P(x，y)，用坐标表示P′，再消去参数得轨迹方程。 【变式1】．（2026·安徽合肥·模拟预测）如图，在小正方形边长都相等的网格中建立平面直角坐标系，线段的端点的坐标分别为，． (1)将线段平移得到线段，使得点A的对应点的坐标为，请在图中画出线段； (2)以原点O为位似中心，把线段AB缩小到原来的一半得到线段，请在第三象限内画出线段； (3)线段上有一点，请用无刻度直尺确定出点P的位置． 【变式2】．（2026·安徽宿州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)在所给网格中，以点为位似中心，画出的位似图形，使它与的相似比为； (2)画出以点为旋转中心，将绕点按逆时针旋转后得到的； (3)直接写出点移动到点所经过的路径的长为__________． 【变式3】．（2026·安徽马鞍山·二模）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的三个顶点和点O都是格点． (1)将先向右平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度得到，请你画出． (2)以O为位似中心，作，使与的相似比为2． (3)用无刻度直尺过点向画垂线段． 题型四、位似作图与图形构造 【典例4】．（25-26九年级上·安徽宿州·期末）如图，在平面直角坐标系中，把以格点为顶点的三角形称为格点三角形（每个小方格都是边长为1的正方形）．图中是格点三角形，点、、的坐标分别是，，． (1)仅用直尺，画出中边上的高；（不写作法，保留作图痕迹） (2)以为位似中心，在第一象限画出放大为原来的2倍的． 题型模版 思路点拨： 分别把O与各顶点连线并延长，在延长线上按位似比取对应点。 【变式1】．（2026·安徽芜湖·三模）在边长为1的小正方形网格坐标系中，顶点均为格点，点，对应位似点． (1)描出AC中点D，写出点D坐标； (2)以原点O为位似中心，将放大得到，画出图形． 【变式2】．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为． (1)以原点O为位似中心，在第一象限内将放大为原来的2倍得到，作出，写出的坐标； (2)请用无刻度直尺在线段作出点D，使得（保留作图痕迹）． 【变式3】．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图，在边长为1个单位长度的正方形网格中，的顶点均在格点（网格线的交点）上．（要求使用无刻度的直尺画图） (1)在图1中，将以点C为位似中心放大2倍得到，请画出； (2)在图2中，在线段上画一个点P，使． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、解答题 1．（25-26九年级上·安徽滁州·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)以点O为对称中心，画出关于原点O中心对称的图形（其中A与，B与，C与是对应点）； (2)以点为位似中心，将放大2倍得到（其中A与，B与，C与是对应点），且点在第二象限，并写出点的坐标． 2．（25-26九年级上·安徽宿州·阶段检测）在平面直角坐标系中，的各顶点坐标分别为，，． (1)以点为位似中心，将放大到原来的2倍得到（与在点的异侧），并直接写出点的坐标； (2)请用无刻度的直尺画出高（保留作图痕迹，不必叙述理由）． 3．（25-26九年级上·安徽六安·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)先将向左平移8个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到，请画出； (2)在轴的左侧画出以原点为位似中心，且与的相似比为2：1的位似图形，并写出点的坐标． 4．（25-26九年级上·安徽滁州·阶段检测）如图，三个顶点的坐标分别为，，． (1)以原点为位似中心，在第一象限内将放大为原来的倍得到，作出； (2)请用无刻度直尺作出的角平分线（保留作图痕迹）． 5．（25-26九年级上·安徽安庆·期末）如图，在边长为1个单位长度的正方形网格中，的顶点均在格点（网格线的交点）上． (1)将以点为位似中心放大2倍得到，请画出； (2)使用无刻度的直尺作外接圆的圆心（无需写做法，但要保留清晰的作图痕迹）． 6．（24-25九年级上·安徽阜阳·期末）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，已知格点（顶点是网格线的交点）的一个顶点A在x轴上． (1)以A为旋转中心，将线段绕点A旋转得到线段，画出线段； (2)以O为位似中心，将放大为原来的2倍． （ⅰ）在所给的网格图中画出放大后的（其中的对应边为）； （ⅱ）若为边上任意一点，直接写出点P在线段上的对应点坐标． 7．如图，在网格中，点是格点，是格点三角形（顶点在网格线交点上），且点是点以点为位似中心的对应点．    (1)画出以点为位似中心的位似图形； (2)与的面积比是_____________． 8．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）如图，三个顶点的坐标分别为． (1)画出绕原点顺时针旋转的，则点的坐标为_______； (2)以点为位似中心，在第一象限内，将放大为原来的2倍，得到，请在网格中画出的坐标为_______． 9．（24-25九年级上·安徽淮北·期中）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为． (1)以坐标原点O为位似中心，位似比为，将作位似变换，得到，请在图中画出． (2)设是内的任意一点，写出其经过上述变换后得到的对应点的坐标． 10．（25-26九年级上·安徽安庆·阶段检测）平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． (1)画出，使它与关于轴对称： (2)以点为位似中心，在网格中画出的位似图形，且与的相似比为； (3)设点为内一点，则依上述变换后点在内的对应点的坐标是________． 11．（24-25九年级下·安徽六安·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)画出关于轴对称的图形； (2)以点为位似中心，在原点的异侧画出与位似，且位似比为的位似图形，并写出点的坐标； (3)若点为边上的一点，写出经过第（），（）两题的变换后对应点的坐标． 12．（2026·安徽合肥·二模）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，格点（网格线的交点）A，B，C的坐标分别为，，． (1)画出的重心G，并写出重心G的坐标； (2)以原点O为位似中心，将按位似比将放大得到并画出其图形； (3)填空：的面积为_________． 13．已知是坐标原点，A、的坐标分别为，． (1)以原点为位似中心，位似比为，在轴的左侧，画出放大后的图形； (2)的面积为_________． (3)若点在线段上，点对应点的坐标为_________． 14．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段检测）在如图的方格纸中，与是关于点P为位似中心的位似图形． (1)在图中标出位似中心P的位置； (2)以原点O为位似中心，在第三象限画出的一个位似，使它与的位似比为； (3)已知的面积为2.5，则的面积为_______． 15．（24-25九年级上·安徽宿州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1，的顶点均在网格格点上，且点，，． (1)以原点O为位似中心，在第一象限画出，使得与位似，且位似比为； (2)在（1）的条件下，与的面积比为______； (3)若点为上一点，写出点M的对应点的坐标为______． 16．如图，已知是坐标原点，点，的坐标分别为，． (1)以点为位似中心，在轴的左侧作，使它与位似，且位似比为； (2)如果周长为，则的周长为 ； (3)若线段上有一点，请直接写出点的对应点的坐标 ． 17．（2026·安徽阜阳·二模）在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为． (1)将绕点顺时针旋转得到，画出，并写出点的坐标； (2)以点为位似中心，将放大得到，相似比为，在网格图中画出． 18．（2026·安徽·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、． (1)画出将向左平移3个单位，再向上平移1个单位后的； (2)以原点为位似中心，相似比为2，在轴的左侧，画出将放大后的； (3)已知与是关于某一点为位似中心的位似图形，请直接写出点的坐标． 19．（2026·安徽阜阳·二模）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)将向左平移5个单位长度得到，画出； (2)以原点为位似中心，在第三象限内画一个，使它与的相似比为，并直接写出坐标． (3)用无刻度直尺作的角平分线． 20．（25-26九年级上·安徽淮北·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，． (1)画出关于轴对称的； (2)以点为位似中心，在第一象限中画出将按的相似比放大后的位似图形； (3)利用网格和无刻度的直尺作出的中线（保留作图痕迹）． 21．（25-26九年级上·安徽滁州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． (1)画出关于x轴对称的； (2)以M点为位似中心，相似比为2，在第一象限中画出放大后的； (3)利用网格和无刻度的直尺作出的中线（保留作图痕迹）． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $