期中复习压轴专题01 选择、填空分类训练（12种类型65道）（压轴题专项训练，安徽专用）数学新教材沪科版九年级上册

期中复习压轴专题01 选择、填空分类训练 （新沪科版九年级，12种类型65道） 范围：第一章—第三章 知识点一 二次函数图象与各项系数符号【选择题压轴最高频】 1．（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）已知二次函数的图象如图所示，给出以下结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（    ）    A．①② B．②③ C．②④ D．②③④ 【答案】D 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的图象判断式子符号 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，二次函数的图象性质，根据函数的图象，得出开口方向向上，对称轴在轴的正半轴，二次函数与轴有两个交点，当时，，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：观察函数图象，得出开口方向向上，故， 观察函数图象，得出对称轴在轴的正半轴，故， 即， ∵， ∴， ∴，故①错误； ∵ ∴ ∴，故③正确； 观察函数图象，得出二次函数与轴有两个交点，即， 故②正确； 观察函数图象，得出当时，， 即 ∴ 故④正确； 故选：D 2．（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，给出下列结论：①；②；③；④对于任意的实数，总有．其中所有正确结论的序号是（　　） A．①② B．①②③ C．②③④ D．①②③④ 【答案】B 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的图象判断式子符号 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，解题的关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系．根据抛物线的开口方向，对称轴位置可判断①②，根据图象可得当时，可判断③，由图像可得时函数值最大，可得，进一步可判断④． 【详解】解：抛物线开口向下， ，故①正确，符合题意； 对称轴为， ，即，故②正确，符合题意； 由图可知，当时，， ，故③正确，符合题意； 抛物线开口方向向下，且对称轴为， 时，取最大值， 当时，， 当时，， ，故④错误，不符合题意； 综上所述，正确的由①②③． 故选：B． 3．（25-26九年级上·安徽亳州·期中）已知二次函数（）的图象如图所示，有下列4个结论：①；②当或时，函数y的值都等于0；③；④．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的图象判断式子符号 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，并结合系数和图象正确判断各结论． 先从函数图象上得到一些信息，确定出函数与系数的关系，然后再对各个结论进行判断． 【详解】解：根据函数图象，得，，对称轴在轴的右侧，即，则，与轴交于两点． ①，正确； ②当或时，函数y的值都等于0，正确； ③当时，，故错误； ④图象与有两个不同交点，则方程有两个不同的实数根，则，即，故错误； 正确结论的有2个， 故选：B． 4．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）抛物线（是常数，）经过，两点，且．下列四个结论：①；②若，则；③若，则关于的一元二次方程无实数解；④点，在抛物线上，若，，总有，则．其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的图象判断式子符号 【分析】本题考查二次函数的性质，包括对称轴、开口方向、函数值比较等，根据抛物线经过点，且，可求对称轴；由开口向下和点位置判断函数值范围；当时，计算顶点纵坐标最大值小于2，方程无解；由条件，，总有，推导对称轴位置要求，得m范围． 【详解】解：∵ 抛物线（是常数，）经过，两点， ∴ 对称轴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， 故结论①错误； ∵， ∴ 点与距离为， ∵，抛物线开口向下，顶点在y轴左侧，且纵坐标大于1， 当时，，此区间内函数值均大于1， 即， 故结论②正确； 当时，抛物线为， 代入点得， ∴， 设顶点纵坐标， 由①知，即， ∴， ∴， ∴， ∴ 方程无实数解， 故结论③正确； 设对称轴， ∵，开口向下，且总有时， ∴和均在对称轴右侧， 要求当时，， 即， ∴， 解得， 故结论④正确． 综上，正确结论有②③④，一共3个． 故选：C． 5．（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点在和之间，则下列正确的个数是（    ） ； ； 若此抛物线经过和两点，则． A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号 【分析】本题考查二次函数的图像及性质，由抛物线的开口方向判断与的关系，由抛物线与y轴的交点判断与的关系，然后根据抛物线对称性进行推理，进而对所得结论进行判断，熟练掌握二次函数的图像及性质，能从图像中获取信息是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线的开口方向向下， ∴， ∵对称轴在轴左侧， ∴对称轴为， ∵， ∴， ∵抛物线与轴的交点在轴的正半轴上， ∴， ∴，故错误； 由图像可知：当时，， ∴，故错误； ∵抛物线的对称轴为直线，开口向下， ∴图像上的点离对称轴越远则的值越小， ∵，， ∴， ∴，故错误； 综上可得：三个结论错误，个正确， 故选：A． 知识点二 二次函数区间最值、含参最值【填空压轴高频】 6．（25-26九年级上·安徽安庆·期中）若二次函数在的范围内的最大值为4，则实数的值为（   ） A．或5 B．或5 C．或7 D．或7 【答案】A 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、y=ax²+bx+c的最值 【分析】本题考查二次函数的最值问题，关键是通过顶点位置判断取值范围，结合端点值求解．对函数解析式配方，得出二次函数图象开口向下，顶点为，再根据在的范围内的最大值为4，得出或，求出时的自变量取值，再分两种情况求解即可． 【详解】解：∵， ∴二次函数图象开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为， ∵二次函数在的范围内的最大值为4， ∴或， 当时，， 整理得， 解得或， 当时，即 ，此时最大值在右端点， ∴， 解得：， 当时，此时最大值在左端点， ∴， 综上可知，实数的值为或5， 故选：A． 7．（25-26九年级上·安徽六安·期中）已知二次函数中，自变量满足，则下列说法正确的是（    ） A．当时，有最大值 B．当时，有最小值 C．当时，有最大值32 D．当时，有最小值 【答案】D 【知识点】y=ax²+bx+c的最值 【分析】本题考查了二次函数的最值问题，把二次函数解析式转化为顶点式是解本题的关键． 把二次函数解析式整理成顶点式，然后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】解：， ∴对称轴为， ∵， ∴当时，y随x的增大而减小， ∴当时，有最大值， 当时，有最小值， 故选：D． 8．（24-25九年级上·安徽淮北·期中）已知二次函数图象的顶点坐标为，且图象经过点，将二次函数的图象向右平移个单位，图象经过点，在平移后的图象上，当时，函数的最小值为，则n的值是（   ） A．或 B．或 C．1 D． 【答案】A 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的平移、y=a（x-h）²+k的图象和性质、y=ax²+bx+c的最值 【分析】本题考查二次函数的图象与性质、二次函数的平移及最值问题．首先确定平移后的函数解析式，再根据二次函数的性质得到最小值的位置，进而求解n的值即可． 【详解】解：原二次函数顶点为，设解析式为， 代入点得，即， 向右平移个单位后，解析式为， 代入点得方程， 解得， ∴平移后函数为，对称轴为直线，顶点坐标为， 解方程，得或， ∵当时，函数的最小值为， ∴必须包含或，且不跨越对称轴（否则最小值在顶点处为）， ∴或， 解得或， 故选：A． 9．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）已知二次函数（a为常数）．则该二次函数的对称轴是__________；当时，y的最小值是，则a的值为__________． 【答案】 【知识点】把y=ax²+bx+c化成顶点式、y=ax²+bx+c的图象与性质、y=ax²+bx+c的最值 【分析】将二次函数（为常数）化成顶点式，利用分类讨论的数学方法可以求得的值． 【详解】解：∵， ∴该二次函数的对称轴是直线， 根据可得：二次函数开口向上， 当时，的最小值是， 分类讨论： 当时，取得最小值，则，解得，（舍去）， 当时，取得最小值，则，解得，， 当时，取得最小值，则，解得，（舍去）， 故答案为：直线，． 【点睛】本题考查二次函数的最值，熟悉二次函数的性质是解答本题的关键． 10．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）已知二次函数． （1）若，则函数y的最小值为_____． （2）若当时，y的最大值是6，则a的值为_____． 【答案】 或/或 【知识点】把y=ax²+bx+c化成顶点式、y=ax²+bx+c的图象与性质、y=ax²+bx+c的最值 【分析】（1）由题意可知此时二次函数为，再将其变为顶点式即得出答案； （2）将该抛物线一般式改为顶点式，即得出该抛物线对称轴为直线，再分类讨论当时和当时，结合二次函数的图象和性质求解即可． 【详解】（1）当时，该二次函数为， ∵， ∴当时，y有最小值，最小值为． 故答案为：； （2）∵， ∴该二次函数的对称轴为直线． 当时，抛物线开口向上， ∴当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大． ∵x轴上到的距离比到的距离大， ∴当时，y有最大值， ∴， 解得：； 当时，抛物线开口向下， ∴当时， y有最大值，最大值为， ∴， 解得：． 综上可知a的值为或． 【点睛】本题考查二次函数的最值问题．熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键． 知识点三 反比例函数k几何意义综合（选择 / 填空） 11．（24-25九年级上·安徽安庆·期中）如图，函数的图像与平行于轴的直线分别相交于两点，且点在点的右侧，点在轴上，的面积为2，则（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】反比例函数与几何综合 【分析】本题考查了反比例函数的性质、反比例函数图像上点的坐标特征，根据函数的特征设，，再根据进行求解是解决问题的关键． 【详解】解：由题意可设，， 则， ∴， 故选：C． 12．（25-26九年级上·安徽安庆·期中）如图，过反比例函数的图象上点，分别作轴，轴的平行线交反比例函数的图象于，两点，以，为邻边的矩形被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为，，，．若，则k的值为（   ）    A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】本题考查了反比例函数值的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征、矩形性质，熟练掌握反比例函数值几何意义是关键． 设点，则点，点，点，根据值的几何意义，可得、的值，求出的值，得到的值，即可求出k的值． 【详解】解：设点，则点，点， 点． ，在反比例函数， ． ， ． ． ． ． 点在反比例函数的图象上， ． 故选：A． 13．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）如图所示，点在反比例函数的图象上，过点的直线与轴、轴分别交于点、，且，已知的面积为，则的值为 ______． 【答案】4 【知识点】一次函数与几何综合、反比例函数与几何综合 【分析】本题考查反比例函数系数k的几何意义、一次函数图象上点的坐标特征、反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．根据题意可以设出点A的坐标，从而得到点C和点B的坐标，再根据的面积为1，即可求得k的值． 【详解】解：设点A的坐标为， ∵过点C的直线与x轴，y轴分别交于点A，B，且，的面积为1， ∴点，点是的中点， ∴点B的坐标为， ∴， ∴， 解得， 故答案为：． 14．（25-26九年级上·安徽宣城·期中）如图，的直角边经过原点，顶点A，B在反比例函数的图象上，轴，垂足为D，若点A的坐标为，则的面积为______． 【答案】5 【知识点】反比例函数与几何综合、根据图形面积求比例系数（解析式）、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了反比例函数图象上点坐标的特征，勾股定理解三角形，结合图形，设点坐标是解答本题的关键． 根据题意得出点B的坐标为，，设，则，，利用勾股定理求解得出，结合图形即可求解． 【详解】解：∵点A的坐标为，点B也在反比例函数图象上， ∴点B的坐标为， ∴，, 设，则，， ∵， ∴，即 解得： ∴， ∴， ∴的面积为：， 故答案为：5． 15．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）如图所示，已知点是轴正半轴上的一点，过点作轴，分别交反比例函数和的图象于点，以为对角线作．若点在轴上，的面积为12，则的值为___________． 【答案】 【知识点】反比例函数与几何综合、根据图形面积求比例系数（解析式）、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查反比例函数系数的几何意义，理解反比例函数系数的几何意义是正确应用的前提．连接，根据同底等高的三角形面积相等，得到，由平行四边形的面积为12可求出，利用反比例函数系数的几何意义可得，进而求出答案． 【详解】解：连接， ∵轴， ， 又 ∵四边形是平行四边形，为对角线， ， 由反比例函数系数的几何意义得，， ， ， 解得：（舍去）， 故答案为：． 16．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）如图，反比例函数（）的图象与矩形在第一象限相交于，两点，，连接，，，若的面积为12，则的值为______． 【答案】 【知识点】反比例函数与几何综合、根据矩形的性质求线段长 【分析】本题考查了反比例函数与几何的综合问题，反比例函数图象上的点的坐标特征，利用割补法求解是解题的关键．先表示，再由建立方程求解． 【详解】解：∵， ∴，则， ∵四边形是矩形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：或（舍）， 故答案为：16． 知识点四 二次函数的应用（选择/填空压轴） 17．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）将进货价格为40元的商品按单价45元售出时，能卖出150个，已知该商品单价每上涨1元，其销售量就减少5个，设这种商品的售价上涨元时，获得的利润为元，则下列关系式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题关键是理解“单价每上涨1元，其销售量就减少5个”的含义．根据利润计算公式，每个商品的利润为售价减进货价，上涨元后每个商品的利润为元，销售数量因上涨元减少个，那么现在的销量为个，然后利用利润等于每个商品的利润乘以销售数量，列出式子即可． 【详解】解：设这种商品的售价上涨元时，获得的利润为元， 那么， 故选：B． 18．（25-26九年级上·安徽淮北·期中）某农户用一段长度为的旧围墙（围墙作为矩形一边，长度不可超出），再用总长的篱笆围成一个矩形菜园（篱笆仅围另外三边）．设矩形垂直于旧围墙的一边长为，菜园的面积为，则y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】图形问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查二次函数的实际应用，求出矩形的另一边长，根据矩形的面积公式，列出二次函数关系式，根据矩形与墙平行的一边的长度大于0，小于等于20，求出自变量的范围即可． 【详解】解：由题意，矩形的另一边长为， 则：， ∵， ∴， ∴； 故选B． 19．（25-26九年级上·安徽亳州·期中）如图是根据某拱桥形状建立的平面直角坐标系，从中得到函数，在正常水位时水面宽，当水位上升5m时，水面的宽为（  ）    A．16m B．18m C．20m D．24m 【答案】C 【知识点】y=ax²的图象和性质、拱桥问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用．由题意得，点A的横坐标为，据此求出，进而得到点C的纵坐标为，再求出即可得到答案． 【详解】解：由题意得，点A的横坐标为， 在中， 当时，， ∴， ∴点C的纵坐标为， 在中， 当时， 解得或， ∴， ∴（m）， 故选：C． 20．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，某学生推铅球，铅球出手（点处）的高度是，出手后的铅球沿一段抛物线运行，当运行到最高点时，运行高度，水平距离．设铅球落地点为，则铅球被推出的距离________m． 【答案】10 【知识点】投球问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题主要考查二次函数的应用．根据题意可知抛物线的顶点坐标，然后设抛物线的表达式为顶点式，再将代入即可求出函数关系式，令，求出x的值即可得出答案． 【详解】解：由题意知铅球运行的水平距离为时，达到最高，高度为，故抛物线的顶点坐标为； 设抛物线的函数关系式， 代入点， 解得， 故抛物线的函数关系式； 令， 即， 解得，（舍去）． 这名学生此次投掷成绩大约是． 故答案为：10． 21．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）已知抛物线与轴交于点（点在轴正半轴上），且． （1）的值为______； （2）若点为抛物线上一动点，作轴，交一次函数的图象于点，当时，的长度随的增大而增大，则的取值范围是______． 【答案】 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、抛物线与x轴的交点问题、线段周长问题(二次函数综合) 【分析】本题考查二次函数与坐标轴交点，二次函数的性质； （1）先求出，，再根据列方程求解即可； （2）设，则，表示出，根据当时，的长度随的增大而增大，列不等式求解即可． 【详解】解：（1）令，则，解得或， ∵点B在x轴正半轴上， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）∵抛物线的函数表达式为，点为抛物线上一动点， ∴， ∵轴，交一次函数的图象于点Q， ∴， ∴， ∵， ∴当时，的长度随m的增大而增大， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 知识点五 二次函数 + 反比例函数图像共存判断（选择压轴） 22．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）如图是抛物线（，，是常数且）的图象，则双曲线和直线在同一坐标系中的位置可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】一次函数、二次函数图象综合判断、反比例函数、二次函数图象综合判断 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、反比例函数的图象与性质、一次函数的图象与性质，由抛物线图象可得，当时，，即，即可判断反比例函数的图象；由抛物线图象可知，则；又抛物线与轴交于负半轴，则，即可判断一次函数的图象，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：根据抛物线图象可得，当时，，即，故双曲线分别位于第二、四象限； 由抛物线图象可知，，则， ∵抛物线与轴交于负半轴，则， ∴直线经过第二、三、四象限，故选项A符合题意． 故选：A． 23．（24-25九年级上·安徽阜阳·期中）反比例函数与二次函数在同一坐标轴中的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】反比例函数、二次函数图象综合判断 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象，以及二次函数的图象，熟练掌握二次函数、反比例函数中系数与图象位置之间关系是解题的关键． 根据二次函数、反比例函数中系数与图象位置之间关系解答即可． 【详解】解：A、抛物线开口方向向下，则，对称轴， 反比例函数的图象位于第二、四象限，故本选项正确，符合题意； B、抛物线开口方向向上，则，对称轴，故本选项错误，不符合题意； C、抛物线开口方向向上，则，对称轴，与反比例函数的图象位于第二、四象限矛盾，故本选项错误，不符合题意； D、抛物线应该经过原点，故本选项错误，不符合题意； 故选：A． 24．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）若，函数与在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】反比例函数、二次函数图象综合判断 【分析】本题考查二次函数与反比例函数图象，分为或两种情况得到反比例函数和二次函数图象的位置，逐项判断解答即可． 【详解】当时，反比例函数图象位于一、三象限，二次函数图象开口向下，与y轴交点位于x轴上方； 当时，反比例函数图象位于二、四象限，二次函数图象开口向上，与y轴交点位于x轴下方； 符合题意的图象为D选项， 故答案为：D． 25．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）反比例函数与二次函数（）在同一直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】反比例函数、二次函数图象综合判断 【分析】本题考查反比例函数、二次函数的图象与性质；先根据反比例函数图象确定的值，再分析二次函数图象是否符合，逐一判断即可 【详解】A、由反比例函数图象知：，因此二次函数图象应开口向上，且与轴交于负半轴，故此选项错误； B、由反比例函数图象知：，因此二次函数图象应开口向下，且与轴交于正半轴，故此选项正确； C、由反比例函数图象知：，因此二次函数图象应开口向下，且与轴交于正半轴，故此选项错误； D、由反比例函数图象知：，因此二次函数图象应开口向下，故此选项错误； 故选：B． 26．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）如图，同一平面直角坐标系中，抛物线与双曲线的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】反比例函数、二次函数图象综合判断 【分析】本题考查了二次函数的图象和双曲线的图象，先根据抛物线图象确定a与0的大小，再判断双曲线图象是否满足条件即可． 【详解】解：， ∴对称轴为， A、由抛物线图象可知，对称轴，所以双曲线的图象应该在第一、三象限，故选项A符合题意； B、由抛物线图象可知，所以双曲线的图象应该在第二、四象限，故选项B不符合题意； C、由抛物线图象可知，对称轴，故选项C不符合题意； D、由抛物线图象可知，所以双曲线的图象应该在第一、三象限，故选项D不符合题意； 故选：A． 27．（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】一次函数、二次函数图象综合判断、反比例函数、二次函数图象综合判断 【分析】本题考查的是由二次函数的图象判断各项系数的符号，一次函数与反比例函数的图象，熟记一次函数与反比例函数的图象的性质是解本题的关键． 由二次函数的图象可得：，，，可得一次函数的图象经过一、二、三象限，的图象在二，四象限，从而可得答案． 【详解】解：由二次函数的图象可得：，， ∵， ∴， ∴一次函数的图象经过一、二、三象限， 的图象在二，四象限， ∴A，C，D不符合题意，B符合题意； 故选：B． 知识点六 选择或补充条件使两个三角形相似（选择压轴） 28．（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）如图，点在的边上，添加下列一个条件不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】选择或补充条件使两个三角形相似 【分析】本题考查添加条件证明三角形相似．熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．根据相似三角形的判定方法（两边对应成比例且夹角相等、三边对应成比例或两角对应相等的两个三角形相似），逐一进行判断即可． 【详解】解：A．当时，再由，可得出，故此选项不符合题意； B．当时，再由，可得出，故此选项不符合题意；     C．当时，无法判定，故此选项符合题意； D．当，即时，再由，可得出，故此选项不符合题意． 故选：C． 29．（25-26九年级上·安徽安庆·期中）如图，在与中，，添加下列条件，不能得到与相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】选择或补充条件使两个三角形相似 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定定理．根据相似三角形的判定定理逐项判断即可． 【详解】解：A、若添加，可用两角对应相等的两个三角形相似，证明，故本选项不符合题意； B、添加，结合得，可用两角对应相等的两个三角形相似，证明，故本选项不符合题意； C、添加，已知的角不是成比例的两边的夹角，不能证明，本选项符合题意； D、添加，可用两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，证明，故本选项不符合题意． 故选：C． 30．（25-26九年级上·安徽池州·期中）如图，点在的边上，要判断，添加一个条件，不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】选择或补充条件使两个三角形相似 【分析】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：∵是公共角， ∴添加当或时，根据两角对应相等的两个三角形相似，能判断，故选项正确，不合题意； 当添加时，根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，能判断，故选项正确，不合题意； 当添加时，因为不是夹角，不能判断，故选项不正确，符合题意； 故选：． 31．（25-26九年级上·安徽六安·期中）如图，在中，点D，E分别在边AB，AC上，添加一个条件仍不能判定与相似的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】相似三角形的判定综合、选择或补充条件使两个三角形相似、利用两角对应相等判定相似、利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似、利用平行判定相似 【详解】解：∵， ∴A、添加，根据“两角相等的两个三角形相似”可以得到，选项不符合题意； B、添加，得到，根据“两角相等的两个三角形相似”可以得到，选项不符合题意； C、添加，根据“两组边对应成比例及夹角相等的两个三角形相似”可以得到，选项不符合题意； D、添加，不能判定与相似，选项符合题意． 32．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，的顶点E在的边上，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】选择或补充条件使两个三角形相似 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 根据相似三角形的判定对各选项进行判断作答即可． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴，能判定，故A不符合要求； ∵，， ∴，能判定，故B不符合要求； ∵，， ∴，能判定，故C不符合要求； ，，不能判定，故D符合要求； 故选：D． 知识点七 平移与翻折 33．（25-26九年级上·安徽淮北·期中）如图，在矩形中，E是的中点，的平分线交于点F，将沿折叠，点D恰好落在上的点M处，延长，交于点N．下列结论不一定成立的是（   ） A．垂直平分 B．平分 C． D． 【答案】C 【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合）、角平分线的性质定理、矩形与折叠问题、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了角平分线、中垂线、矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，相似的判定等，熟练掌握以上知识是解题的关键． 选项：根据沿折叠，点D恰好落在上的点M处，可得，．根据四边形是矩形，可得，根据角的等量代换可证是等腰三角形．结合的平分线利用等腰三角形三线合一的性质即可得到结论； 选项：根据平分，，，可得．根据，，证得，即可得到结论； 选项：根据四边形是矩形，可得，根据，可得 ，，即找不到第二对等角证明相似； 选项：根据， ，，可得 ．根据，即可得到结论． 【详解】解：将沿折叠，点D恰好落在上的点M处， ，． 四边形是矩形， ， ， 是等腰三角形． 的平分线交于点F， ， ， 垂直平分． 故选项正确； 的平分线交于点F， ，， ． ，， ， ， 平分． 故选项正确； ， ， ． ， 与不存在相似． 故选项错误； ， ，， ． ， ． 故选项正确； 故选：． 34．（24-25九年级上·安徽淮北·期中）如图，的面积为8，将沿方向平移，使的对应点满足，则平移前后两三角形重叠部分的面积是________． 【答案】 【知识点】利用平移的性质求解、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查平移的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定性质是解题的关键； 根据平移的性质，推出，根据对应边线段比等于相似比，求，再根据面积比等于相似比的平方，进行求解即可． 【详解】∵如图， 将沿方向平移， ∴，，， ， ， ∴， ∵，则， ， ∴， ， ， 故答案为：， 35．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）函数（，）的图象是由函数（，）的图象轴上方部分不变，下方部分沿轴向上翻折而成，如图所示，则下列结论正确的是________． ①；②；③；④将图象向上平移1个单位后与直线有3个交点． 【答案】①②④ 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的平移、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，二次函数图象的平移问题，求二次函数解析式，根据函数图象与x轴交点的横坐标求出对称轴为，进而可得，故①正确；由图象可得，当时，，可判段②；由函数图象与y轴的交点坐标为，的图象轴上方部分不变，下方部分沿轴向上翻折而成可知，故③错误；求出翻折前的二次函数解析式，然后根据平移的性质可得④正确． 【详解】解：由函数图象可得：与x轴的两个交点的横坐标为和3， ∴对称轴为直线，即， ∴整理得：，故①正确； 由图象可得，当时，，故②正确； ∵与y轴的交点坐标为，函数在的部分是由原函数下方部分沿轴向上翻折而成的， ∴，故③错误； 设抛物线的解析式为， 代入得：， 解得：， ∴， ∴， ∴函数在的最大值为4， ∵将函数向上平移1个单位后，函数在的最大值为5， ∴将图象向上平移1个单位后与直线有3个交点，故④正确； ∴正确的有①②④， 故答案为：①②④． 36．（25-26九年级上·安徽宿州·期中）如图，已知矩形，，，将沿翻折的，将沿翻折的，点F正好落在所在直线上，当时， ________，________． 【答案】 或6 【知识点】因式分解法解一元二次方程、用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题、相似三角形的判定与性质综合 【分析】根据矩形的折叠得到，，，，进一步证明，则，设，则，，得到，解方程并确定或，则，利用勾股定理即可求出． 【详解】解：将沿翻折的，将沿翻折的，点F正好落在所在直线上，四边形是矩形， ∴，， ， ∴， ∵ ∴， ， ∴， 设，则，， ， 解得或，经检验符合题意， ∴或， ∴， ， 故答案为：或， 【点睛】此题主要考查了矩形的折叠、相似三角形的判定和性质、勾股定理，方程的应用等知识，掌握以上知识是解题的关键． 37．（25-26九年级上·安徽·期中）在数学实践活动中，聪聪同学进行了如下操作：如图，将矩形纸片折叠，使与重合，折痕为 ，打开后再将纸片沿直线折叠，使点落在上的点处，得折痕，延长交于点．请完成下列探究： (1)若四边形是正方形， 则的大小为 __________； (2)当时，的值为___________． 【答案】 30°/30度 / 【知识点】含30度角的直角三角形、矩形与折叠问题、根据正方形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）由折叠可知，，，于是可得 ，由含度角的直角三角形性质得，根据平角的定义求得，再根据三角形内角和定理即可求解； （2）设， 由折叠可得， ， ， ，， ， 在中， 利用勾股定理求得， 则， 易证，利用相似三角形的性质求得 进而求出 再证， 利用相似三角形的性质求得求出 进而可求出，再进一步计算即可解答． 【详解】解：（1）∵四边形为正方形， ∴ ∵将矩形纸片折叠，使与重合，折痕为， ∴ ∴ ∵将正方形纸片沿直线折叠，使点落在上的点处，得折痕， ∴，， 在中， ∴ ∴ ∴即 故答案为：； （2）∵ ∴设 ∵四边形为矩形， ∴ ∵将矩形纸片折叠，使与重合，折痕为， ∴， ∴ ∴四边形为矩形， ∴ ∵将正方形纸片沿直线折叠，使点落在上的点处，得折痕， ∴ 在中， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴即 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴即 ∴ ∴ ∴ 故答案为： 【点睛】本题主要考查正方形的性质、折叠的性质、含30度角的直角三角形性质、矩形的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握折叠的性质是解题关键． 知识点八 相似+动点 38．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）如图，Rt中，，，，点在折线上运动，过点作的垂线，垂足为．连接，设，则关于的函数图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】动点问题的函数图象、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查动点问题的函数图象，勾股定理，相似三角形的判定和性质，根据勾股定理求出的长，然后根据面积和勾股定理求出、和的长，然后分为和两种情况利用相似三角形表示长，列出函数关系式判断即可． 【详解】解：如图，过点C作于点M， ∵，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 当时， ∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴； 当时， ∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴； 符合题意的图象为B选项， 故选：B． 39．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）如图，在四边形中，，，，动点，同时从点出发，点以每秒2个单位长度沿折线向终点运动；点以每秒1个单位长度沿线段向终点运动，当其中一点运动至终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为秒，的面积为个平方单位，则下列正确表示与的函数关系的图象是（） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】动点问题的函数图象、图形运动问题(实际问题与二次函数)、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，相似三角形的判定与性质，二次函数的图象，一次函数的图象，矩形的性质，勾股定理，30度直角三角形的性质，熟练掌握各定理是解题的关键．分当时，点在上，当时，点在上，当时，点在上，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：过点作于点，过点作于点， 则四边形是矩形， ，， 易证， ， ． 分三种情况： （1）如图1，当时，点在上，过点作于点， 则， ， ， ， ， 函数图象是开口向上的抛物线位于轴右侧的一部分； （2）如图2，当时，点在上， ， 函数图象是直线（随增大而增大）的一部分， （3）如图3，当时，点在上，过点作于点， 则， ， ， ， ， 函数图象是开口向下的抛物线位于对称轴直线右侧的一部分； 只有选项C的图象符合条件． 故选：C 40．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图1，点为矩形边上一点，，点P点Q同时从点B出发，点P沿运动到点C停止，点Q沿运动到点C停止，它们的运动速度都是．设P，Q出发t秒时，的面积为，已知y与t的函数关系的图象如图2．则下列结论：①；②当时，；③点H的坐标为；④若与相似，则秒，其中正确结论的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】动点问题的函数图象、图形运动问题(实际问题与二次函数)、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】根据图2结合，且P和Q速度相同，可得当P到达点E时，Q到达点C，即可求出的长；再根据点M的坐标可求出当时，与的函数关系式；利用勾股定理求出，进而求出，结合函数图象即可求出点H的坐标；当时，，此时是等腰三角形，从而判断④． 【详解】解：∵，且P和Q速度相同， ∴当P到达点E时，Q到达点C， 由图2可知此时，， 即，， ∴， 解得，故①正确，符合题意； 由图2易得， 设，将M坐标代入得， ∴，故②正确，符合题意； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点H的坐标为，故③正确，符合题意； 当时，，此时是等腰三角形， 而是直角三角形，很明显不相似，故④错误，不符合题意； 所以正确的结论有3个， 故选：C． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，相似三角形的性质与判定，二次函数的应用，根据图（2）判断出点到过点时，点到达点是解题的关键． 41．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图①，在矩形中，动点从点出发，沿的路线运动，当点到达点时停止运动．若，交边于点，设点运动的路程为，，已知关于的函数图象如图②所示，当时，的值为（    ） A．2 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【知识点】解一元二次方程——配方法、动点问题的函数图象、根据矩形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查矩形的性质、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答的关键．先由图②得到，，分当点E在边上时和当点E在边上时，两种情况，利用相似三角形的判定与性质求解即可． 【详解】解：由题意和图②得，，，， 当点E在边上时，，则； 当点E在边上时，如图： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得， 综上，当时，的值为或5， 故选：C． 42．（25-26九年级上·安徽淮北·期中）如图，在中，，，．点从点出发，以的速度沿向点匀速运动，点从点出发，以的速度沿向点匀速运动，当一个点到达终点时，另一点也随即停止运动，经过______秒后，的面积等于面积的；经过______秒与相似． 【答案】 或 【知识点】动态几何问题(一元二次方程的应用)、相似三角形——动点问题 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、相似三角形的判定与性质、三角形的面积，解题关键是审明题意找到相等关系； 设运动时间为秒①根据面积的关系列出方程即可；②分类讨论相似的两种情况列比例关系，解方程即可． 【详解】解：设运动时间是秒， ①∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵的面积等于面积的， ∴， 解得：（舍）， ②当时， ， ∴解得：； 当时， ， ∴解得：； 故答案为： ；或． 43．（24-25九年级上·安徽六安·期中）如图，，，，点在线段上运动，当点从点运动到点时， （1）当时，则__________； （2）设为线段的中点，在点的运动过程中，的最小值是__________． 【答案】 / 2 【知识点】用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定、直角三角形斜边上的中线的性质、勾股定理等知识，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． （1）证明，推出即可求解； （2）证明，推出，由得，求出的最小值，可得结论． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵， ， 即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵P为线段的中点， ∴， ∴， ∵， ， ， ∴的值最小时，的值最小，此时的值最小， ∵，，， ∴， 根据垂线段最短可知，当时，此时， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：2． 知识点九 黄金分割（小题压轴） 44．（24-25九年级上·安徽宿州·期中）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，黄金分割在日常生活中随处可见，例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好，若舞台长10米，主持人从舞台一侧进入，设他至少走米时恰好站在舞台的黄金分割点上主持节目，则满足的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、黄金分割 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用及黄金分割点的定义，根据黄金分割点的定义列式判断即可． 【详解】解：设他至少走x米时恰好站在舞台的黄金分割点上， 由题意得：， 整理得， 故选：A． 45．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）摄影师们通常会将主体放置在画面中的黄金分割点上，以获得更好的摄影效果．如图，P是的黄金分割点（），若线段的长为，则的长为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】黄金分割 【分析】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．由黄金分割点的定义求出的长，即可解决问题． 【详解】解：是的黄金分割点，线段的长为， ， ， 故选：B． 46．（25-26九年级上·安徽蚌埠·期中）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点G将一线段分为两线段，，使得其中较长的一段，是全长与较短的一段的比例中项，即满足，后人把这个数称为“黄金分割”数，把点G称为线段的“黄金分割”点．如图，在中，已知，，若D，E是边的两个“黄金分割”点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】三线合一、用勾股定理解三角形、黄金分割 【分析】本题考查了“黄金分割比”的定义、等腰三角形的性质、勾股定理的应用以及三角形的面积公式，求出和的长是解题的关键．作于点F，根据等腰三角形的性质求出的长，再根据黄金分割点的定义求出、的长度，得到中的长，利用三角形面积公式即可解题． 【详解】解：过点A作于点F，如图所示： ∵， ∴， 在，， ∵D和E是边的两个“黄金分割”点， ∴即， 解得， 同理， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 47．（24-25九年级上·安徽马鞍山·期中）在绚丽多姿的秋色叶类植物中，爬山虎有着油画般浓郁的色彩。我们学校墙上的五叶爬山虎树叶，蕴含着一种数学美：“黄金分割”．如图，为的黄金分割点，如果的长度为8cm，那么的长度是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】黄金分割 【分析】本题考查了黄金分割，根据黄金分割的定义得到，代入值即可求出． 【详解】解：∵P为的黄金分割点，的长度为， ∴， 故选：B． 48．（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）我们知道黄金数为，如图，C是线段的黄金分割点（）．若，则的长为______． 【答案】 【知识点】黄金分割 【分析】本题考查的是黄金分割，根据黄金比值是计算即可． 【详解】解：∵C是线段的黄金分割点（），， ∴， 故答案为：． 49．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）黄金分割是汉字结构最基本的规律．如图汉字“坤”端庄稳重、舒展美观．其中竖笔画起点为，终点为，交接处点恰好是线段的黄金分割点，即，若，则的长为_____． 【答案】/ 【知识点】黄金分割 【分析】本题考查黄金分割，黄金分割的定义是：把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大部分的比值，则这个比值即为黄金分割，其比值是． 根据黄金分割的定义列方程求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 即 解得：或（舍去）． 故答案为：． 知识点十 相似三角形的判定与性质综合（选择/填空） 50．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）如图，光线从点处射出射向轴上的点，经轴镜面反射，光线经过点，则的长度是（   ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【知识点】轴对称中的光线反射问题、相似三角形的判定与性质综合 【分析】过点B作轴于点C，推导出，得到，继而求出，代入求出即可． 【详解】解：过点B作轴于点C，如图 ∴， ∵利用光的反射定律（入射角等于反射角）， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 解得． 51．（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）如图，在正方形中，点在对角线上，且，过点作与的延长线交于点，与交于点．若，则的长为（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【知识点】根据正方形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】该题考查了正方形的性质，勾股定理，相似三角形的性质和判定，根据正方形的性质和勾股定理求出，证明，结合，得出，则．证明，则，根据，即可求解． 【详解】解：∵在正方形中，， ∴，， ， ∵， ， ， ． ， ， ， ， ． 故选：A． 52．（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）如图，在中，，高，正方形一边在上，点分别在上，交于点，则正方形边长为（   ） A． B．20 C． D．30 【答案】C 【知识点】根据正方形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，矩形的判定和性质．解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质的运用，注意：矩形的对边相等且平行，相似三角形的对应高的比等于相似比，题目是一道中等题，难度适中． 设正方形的边长，易证四边形是矩形，则，根据正方形的性质得出，推出，根据相似三角形的性质计算即可得解． 【详解】解：设正方形的边长， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵是的高， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴（相似三角形对应边上的高的比等于相似比）， ∵，高， ∴， ∴， 解得：， ∴正方形边长为， 故选：C． 53．（25-26九年级上·安徽六安·期中）如图，在中，，，，点在边上，点在线段上，于点，交于点，若，则的长为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，根据相似的性质得到DC=DH是解题关键． 过点D作交于点H，根据和可得，再由，根据相似三角形的性质列出方程即可求出． 【详解】解：过点D作交于点H， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， 设，则， 又∵， ∴，即， 解得：，即， 故选：B． 54．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）如图，中，，垂直平分，垂足为，，且，，则的长为__________． 【答案】 【知识点】线段垂直平分线的性质、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查勾股定理和三角形相似的判定与性质．利用勾股定理求出，根据得，根据相似三角形的性质写出比例线段即可求得答案． 【详解】解：∵，，，， ∴， ∵垂直平分，垂足为， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，即，解得． 故答案为：． 55．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）如图，点为等边边的中点，连接，取中点，作射线交于点，则__________． 【答案】 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键；过点D作，交于点H，则有，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：过点D作，交于点H，如图所示： ∴， ∴， ∵点D、E分别为、的中点， ∴， ∴， ∴； 故答案为． 知识点十一 锐角的三角函数 56．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”，若等腰是“倍长三角形”，则底角的正切值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角形三边关系的应用、三线合一、用勾股定理解三角形、求角的正切值 【分析】设，当时，不能组成三角形；当时，能组成三角形，过点A作于点D，即可得出，再根据勾股定理表示出，然后根据正切的定义解答即可． 【详解】解：∵等腰是“倍长三角形”，设， 当时，，不能组成三角形； 当时，能组成三角形， 过点A作于点D， ∴， ∴． 在中，， ∴． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系，等腰三角形的性质，勾股定理，正切，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 57．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）如图，在菱形中，对角线，交于点，若，，则的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长、求角的余弦值 【分析】根据菱形的性质结合已知，，可得，，，在中，运用勾股定理求得，即，最后运用余弦定义，求得． 【详解】解：∵在菱形中，对角线，交于点， ∴，，， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴在中， ， ∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 故选：A． 【点睛】本题重点考查了菱形的性质及余弦的定义，准确理解余弦的定义并且运用菱形的性质及勾股定理求得相关线段是解题的关键． 58．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）如图，在中，是上一点，若，则的长为（    ）． A．2 B． C． D．1 【答案】A 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、已知正切值求边长 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、正切的定义，由题意及勾股定理得出，，作于，则，证明出是等腰直角三角形，得到，结合正切的定义求出，最后由勾股定理计算即可，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线，构造直角三角形是解此题的关键． 【详解】解：在中，， ，， 如图，作于，则， ，， ， 是等腰直角三角形， ， ，， ， ， ， 故选：A． 59．（24-25九年级上·安徽·期中）如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点A(-4，0)、B(1，0)，与y轴交于点C(0，-4)，P是直线AC下方抛物线上的点，若△ACP的面积为6，则tan∠AOP的值为_____________    【答案】6或. 【知识点】图形问题(实际问题与二次函数)、求角的正切值 【分析】连接PA，PC，过P作PD⊥x轴，与AC交于点E，采用待定系数法求出二次函数与直线AC的解析式，设出P点坐标，求出E点纵坐标，然后采用“铅锤法”表示出△ACP的面积，解方程求出P点坐标，再根据正切的定义即可求解. 【详解】如图，连接PA，PC，过P作PD⊥x轴，与AC交于点E，    将A(-4，0)，B(1，0)，C(0，-4)代入抛物线解析式得， ，解得 ∴二次函数解析式为 设直线AC解析式为， 将A(-4，0)，C(0，-4)代入直线解析式得 ，解得 ∴直线AC解析式为 设P点坐标为， ∵PD⊥x轴， ∴E点横坐标为m， 将E点横坐标代入直线AC得，则E点坐标为， ∴PE= ∴S△ACP=， 解得或 当m=-1时，P点坐标为（-1，-6），tan∠AOP= 当m=-3时，P点坐标为（-3，-4），tan∠AOP= 故答案为：6或. 【点睛】本题考查三角函数和抛物线中的面积问题，熟练掌握待定系数法求函数解析式与，用“铅锤法”表示出△ACP的面积，以及正切函数的定义是解题的关键. 60．（25-26九年级上·安徽六安·期中）如图，在中，，，，，垂足为D，点E是线段上一点（不与点C、D重合），连接并延长交于点F． （1）的长为______； （2）若点F是的中点，则的值为______． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、与三角形中位线有关的求解问题、相似三角形的判定综合、求角的正切值 【分析】1）由勾股定理可得，再由三角形面积公式计算即可得解； （2）过点作于点，则，证明是的中位线，得出，证明，求出，从而可得，再由正切的定义即可得解． 【详解】解：（1）∵在中，，，， ∴由勾股定理可得：， ∵， ∴， ∴； 故答案为： （2）如图，过点作于点， ， ∵， ∴， ∵点F是的中点， ∴， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 知识点十二 解直角三角形的相关计算 61．（24-25九年级上·安徽宿州·期中）在中，，为边上的高，，，则的长为（    ） A．5 B．7 C．5或7 D． 【答案】C 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、解直角三角形的相关计算 【分析】在中，根据，，求得，然后分情况讨论即可求得的长． 【详解】解：在中，， 如图，当点C在点D右边时 如图，当点C在点D左边时 故的长为5或7 故选：C 【点睛】本题考查解直角三角形以及分类讨论，解题关键是正确画出分类讨论的三角形图形求解． 62．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）如图，菱形的边长为4，且于点为上一点，且的周长最小，则的周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长、解直角三角形的相关计算、线段问题(轴对称综合题) 【分析】首先确定出的周长的最小值就是的最小值，然后利用将军饮马问题的模型构造出的周长的最小值，再利用勾股定理求出，进而解决问题． 【详解】解：连接交于点，连接，， 四边形是菱形， 对角线所在直线是其一条对称轴，点，点关于直线对称，与是等边三角形， ， ， 是的中点， ， 的周长， 要求的周长的最小值可先求出的最小值即可， 而的最小值就是的长， 过点作，交的延长线于点， 四边形是菱形， ， ， 在中， ，， 在中， ，， ， 的周长的最小值为， 故选：B． 【点睛】本题考查轴对称最短路线问题，菱形的性质，勾股定理，特殊值的三角函数，掌握相关图形的性质和构造出最短路线是解题的关键． 63．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，在边长为4的等边中，点D是边上一动点，做于点E，于点F，设，四边形的面积为y，则y关于的函数图像为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、等边三角形的性质、解直角三角形的相关计算 【分析】该题主要考查了等边三角形的性质，锐角三角函数以及二次函数的图象，解题的关键是求出函数关系式． 连接，根据锐角三角函数表示出，，，再根据表示出y关于的函数表达式，即可求解； 【详解】解：连接， ∵是等边三角形， ∴， ∵，，，， 则在中，， 在中，， ∴ ， ，∴抛物线开口向下， 故当时，取得最大值， 故A选项符合题意， 故选：A． 64．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）如图，在中，，点D在上，将沿折叠，点B落在边的上方点E处，与相交于点F，若，则__________． 【答案】4 【知识点】用勾股定理解三角形、折叠问题、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查折叠的性质，勾股定理，解直角三角形，熟练掌握相关性质与判定是解题的关键．由勾股定理求出，根据平行线的性质得到，由折叠的性质得到，，，证明，由得到，则，由，解得，即可得到答案． 【详解】解：∵ ∴， ∵， ∴， ∵将沿折叠，点B落在边的上方点E处， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴， 故答案为：4． 65．（24-25九年级上·安徽·期中）已知，点D是线段上一动点（不与点A，B重合），过点D作于点E，以为边向右作正方形，连接并延长交于点H，连接，设． （1）的长为 _____；（用含x的代数式表示） （2）的长为 _____． 【答案】 或 【知识点】等腰三角形的性质和判定、根据正方形的性质求线段长、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）分两种情况画出图形，当H在上时，当H在的延长线上时，利用可得答案； （2）结合（1），分两种情况当H在上时，过A作于N；当H在的延长线上时，求出，，可得答案． 【详解】解：（1）当H在上时，如图1： ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵． ∵， ∴， ∴，解得∶， 当H在的延长线上时，同理， 故答案为：； （2）当H在上时，过A作于N，则如图1： ∴， 由（1）知， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴； 当H在的延长线上时，如图2： 同理可得，， ∴ 故答案为：或． 【点睛】本题考查三角形综合应用，涉及正方形性质及应用，解题的关键是分类讨论思想的应用. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中复习压轴专题01 选择、填空分类训练 （新沪科版九年级，12种类型65道） 范围：第一章—第三章 知识点一 二次函数图象与各项系数符号【选择题压轴最高频】 1．（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）已知二次函数的图象如图所示，给出以下结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（    ）    A．①② B．②③ C．②④ D．②③④ 2．（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，给出下列结论：①；②；③；④对于任意的实数，总有．其中所有正确结论的序号是（　　） A．①② B．①②③ C．②③④ D．①②③④ 3．（25-26九年级上·安徽亳州·期中）已知二次函数（）的图象如图所示，有下列4个结论：①；②当或时，函数y的值都等于0；③；④．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）抛物线（是常数，）经过，两点，且．下列四个结论：①；②若，则；③若，则关于的一元二次方程无实数解；④点，在抛物线上，若，，总有，则．其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点在和之间，则下列正确的个数是（    ） ； ； 若此抛物线经过和两点，则． A． B． C． D． 知识点二 二次函数区间最值、含参最值【填空压轴高频】 6．（25-26九年级上·安徽安庆·期中）若二次函数在的范围内的最大值为4，则实数的值为（   ） A．或5 B．或5 C．或7 D．或7 7．（25-26九年级上·安徽六安·期中）已知二次函数中，自变量满足，则下列说法正确的是（    ） A．当时，有最大值 B．当时，有最小值 C．当时，有最大值32 D．当时，有最小值 8．（24-25九年级上·安徽淮北·期中）已知二次函数图象的顶点坐标为，且图象经过点，将二次函数的图象向右平移个单位，图象经过点，在平移后的图象上，当时，函数的最小值为，则n的值是（   ） A．或 B．或 C．1 D． 9．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）已知二次函数（a为常数）．则该二次函数的对称轴是__________；当时，y的最小值是，则a的值为__________． 10．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）已知二次函数． （1）若，则函数y的最小值为_____． （2）若当时，y的最大值是6，则a的值为_____． 知识点三 反比例函数k几何意义综合（选择 / 填空） 11．（24-25九年级上·安徽安庆·期中）如图，函数的图像与平行于轴的直线分别相交于两点，且点在点的右侧，点在轴上，的面积为2，则（　　）    A． B． C． D． 12．（25-26九年级上·安徽安庆·期中）如图，过反比例函数的图象上点，分别作轴，轴的平行线交反比例函数的图象于，两点，以，为邻边的矩形被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为，，，．若，则k的值为（   ）    A．4 B．3 C．2 D．1 13．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）如图所示，点在反比例函数的图象上，过点的直线与轴、轴分别交于点、，且，已知的面积为，则的值为 ______． 14．（25-26九年级上·安徽宣城·期中）如图，的直角边经过原点，顶点A，B在反比例函数的图象上，轴，垂足为D，若点A的坐标为，则的面积为______． 15．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）如图所示，已知点是轴正半轴上的一点，过点作轴，分别交反比例函数和的图象于点，以为对角线作．若点在轴上，的面积为12，则的值为___________． 16．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）如图，反比例函数（）的图象与矩形在第一象限相交于，两点，，连接，，，若的面积为12，则的值为______． 知识点四 二次函数的应用（选择/填空压轴） 17．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）将进货价格为40元的商品按单价45元售出时，能卖出150个，已知该商品单价每上涨1元，其销售量就减少5个，设这种商品的售价上涨元时，获得的利润为元，则下列关系式正确的是（   ） A． B． C． D． 18．（25-26九年级上·安徽淮北·期中）某农户用一段长度为的旧围墙（围墙作为矩形一边，长度不可超出），再用总长的篱笆围成一个矩形菜园（篱笆仅围另外三边）．设矩形垂直于旧围墙的一边长为，菜园的面积为，则y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围正确的是（   ） A． B． C． D． 19．（25-26九年级上·安徽亳州·期中）如图是根据某拱桥形状建立的平面直角坐标系，从中得到函数，在正常水位时水面宽，当水位上升5m时，水面的宽为（  ）    A．16m B．18m C．20m D．24m 20．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，某学生推铅球，铅球出手（点处）的高度是，出手后的铅球沿一段抛物线运行，当运行到最高点时，运行高度，水平距离．设铅球落地点为，则铅球被推出的距离________m． 21．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）已知抛物线与轴交于点（点在轴正半轴上），且． （1）的值为______； （2）若点为抛物线上一动点，作轴，交一次函数的图象于点，当时，的长度随的增大而增大，则的取值范围是______． 知识点五 二次函数 + 反比例函数图像共存判断（选择压轴） 22．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）如图是抛物线（，，是常数且）的图象，则双曲线和直线在同一坐标系中的位置可能为（    ） A． B． C． D． 23．（24-25九年级上·安徽阜阳·期中）反比例函数与二次函数在同一坐标轴中的图象大致是（    ） A． B． C． D． 24．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）若，函数与在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（   ） A． B． C． D． 25．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）反比例函数与二次函数（）在同一直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 26．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）如图，同一平面直角坐标系中，抛物线与双曲线的图象大致为（   ） A． B． C． D． 27．（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 知识点六 选择或补充条件使两个三角形相似（选择压轴） 28．（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）如图，点在的边上，添加下列一个条件不能判定的是（   ） A． B． C． D． 29．（25-26九年级上·安徽安庆·期中）如图，在与中，，添加下列条件，不能得到与相似的是（    ） A． B． C． D． 30．（25-26九年级上·安徽池州·期中）如图，点在的边上，要判断，添加一个条件，不正确的是（   ） A． B． C． D． 31．（25-26九年级上·安徽六安·期中）如图，在中，点D，E分别在边AB，AC上，添加一个条件仍不能判定与相似的是（     ） A． B． C． D． 32．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，的顶点E在的边上，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（   ） A． B． C． D． 知识点七 相似+平移 33．（25-26九年级上·安徽淮北·期中）如图，在矩形中，E是的中点，的平分线交于点F，将沿折叠，点D恰好落在上的点M处，延长，交于点N．下列结论不一定成立的是（   ） A．垂直平分 B．平分 C． D． 34．（24-25九年级上·安徽淮北·期中）如图，的面积为8，将沿方向平移，使的对应点满足，则平移前后两三角形重叠部分的面积是________． 35．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）函数（，）的图象是由函数（，）的图象轴上方部分不变，下方部分沿轴向上翻折而成，如图所示，则下列结论正确的是________． ①；②；③；④将图象向上平移1个单位后与直线有3个交点． 36．（25-26九年级上·安徽宿州·期中）如图，已知矩形，，，将沿翻折的，将沿翻折的，点F正好落在所在直线上，当时， ________，________． 37．（25-26九年级上·安徽·期中）在数学实践活动中，聪聪同学进行了如下操作：如图，将矩形纸片折叠，使与重合，折痕为 ，打开后再将纸片沿直线折叠，使点落在上的点处，得折痕，延长交于点．请完成下列探究： (1)若四边形是正方形， 则的大小为 __________； (2)当时，的值为___________． 知识点八 相似+动点 38．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）如图，Rt中，，，，点在折线上运动，过点作的垂线，垂足为．连接，设，则关于的函数图象大致是（   ） A． B． C． D． 39．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）如图，在四边形中，，，，动点，同时从点出发，点以每秒2个单位长度沿折线向终点运动；点以每秒1个单位长度沿线段向终点运动，当其中一点运动至终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为秒，的面积为个平方单位，则下列正确表示与的函数关系的图象是（） A． B． C． D． 40．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图1，点为矩形边上一点，，点P点Q同时从点B出发，点P沿运动到点C停止，点Q沿运动到点C停止，它们的运动速度都是．设P，Q出发t秒时，的面积为，已知y与t的函数关系的图象如图2．则下列结论：①；②当时，；③点H的坐标为；④若与相似，则秒，其中正确结论的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 41．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图①，在矩形中，动点从点出发，沿的路线运动，当点到达点时停止运动．若，交边于点，设点运动的路程为，，已知关于的函数图象如图②所示，当时，的值为（    ） A．2 B．4 C．5 D．6 42．（25-26九年级上·安徽淮北·期中）如图，在中，，，．点从点出发，以的速度沿向点匀速运动，点从点出发，以的速度沿向点匀速运动，当一个点到达终点时，另一点也随即停止运动，经过______秒后，的面积等于面积的；经过______秒与相似． 43．（24-25九年级上·安徽六安·期中）如图，，，，点在线段上运动，当点从点运动到点时， （1）当时，则__________； （2）设为线段的中点，在点的运动过程中，的最小值是__________． 知识点九 黄金分割（小题压轴） 44．（24-25九年级上·安徽宿州·期中）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，黄金分割在日常生活中随处可见，例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好，若舞台长10米，主持人从舞台一侧进入，设他至少走米时恰好站在舞台的黄金分割点上主持节目，则满足的方程是（   ） A． B． C． D． 45．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）摄影师们通常会将主体放置在画面中的黄金分割点上，以获得更好的摄影效果．如图，P是的黄金分割点（），若线段的长为，则的长为（    ）． A． B． C． D． 46．（25-26九年级上·安徽蚌埠·期中）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点G将一线段分为两线段，，使得其中较长的一段，是全长与较短的一段的比例中项，即满足，后人把这个数称为“黄金分割”数，把点G称为线段的“黄金分割”点．如图，在中，已知，，若D，E是边的两个“黄金分割”点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 47．（24-25九年级上·安徽马鞍山·期中）在绚丽多姿的秋色叶类植物中，爬山虎有着油画般浓郁的色彩。我们学校墙上的五叶爬山虎树叶，蕴含着一种数学美：“黄金分割”．如图，为的黄金分割点，如果的长度为8cm，那么的长度是（   ） A． B． C． D． 48．（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）我们知道黄金数为，如图，C是线段的黄金分割点（）．若，则的长为______． 49．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）黄金分割是汉字结构最基本的规律．如图汉字“坤”端庄稳重、舒展美观．其中竖笔画起点为，终点为，交接处点恰好是线段的黄金分割点，即，若，则的长为_____． 知识点十 相似三角形的判定与性质综合（选择/填空） 50．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）如图，光线从点处射出射向轴上的点，经轴镜面反射，光线经过点，则的长度是（   ） A． B．1 C． D． 51．（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）如图，在正方形中，点在对角线上，且，过点作与的延长线交于点，与交于点．若，则的长为（   ） A． B． C．2 D．3 52．（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）如图，在中，，高，正方形一边在上，点分别在上，交于点，则正方形边长为（   ） A． B．20 C． D．30 53．（25-26九年级上·安徽六安·期中）如图，在中，，，，点在边上，点在线段上，于点，交于点，若，则的长为（  ） A． B． C． D． 54．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）如图，中，，垂直平分，垂足为，，且，，则的长为__________． 55．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）如图，点为等边边的中点，连接，取中点，作射线交于点，则__________． 知识点十一 锐角的三角函数 56．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”，若等腰是“倍长三角形”，则底角的正切值为（    ） A． B． C． D． 57．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）如图，在菱形中，对角线，交于点，若，，则的余弦值为（    ） A． B． C． D． 58．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）如图，在中，是上一点，若，则的长为（    ）． A．2 B． C． D．1 59．（24-25九年级上·安徽·期中）如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点A(-4，0)、B(1，0)，与y轴交于点C(0，-4)，P是直线AC下方抛物线上的点，若△ACP的面积为6，则tan∠AOP的值为_____________    60．（25-26九年级上·安徽六安·期中）如图，在中，，，，，垂足为D，点E是线段上一点（不与点C、D重合），连接并延长交于点F． （1）的长为______； （2）若点F是的中点，则的值为______． 知识点十二 解直角三角形的相关计算 61．（24-25九年级上·安徽宿州·期中）在中，，为边上的高，，，则的长为（    ） A．5 B．7 C．5或7 D． 62．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）如图，菱形的边长为4，且于点为上一点，且的周长最小，则的周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 63．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，在边长为4的等边中，点D是边上一动点，做于点E，于点F，设，四边形的面积为y，则y关于的函数图像为（     ） A． B． C． D． 64．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）如图，在中，，点D在上，将沿折叠，点B落在边的上方点E处，与相交于点F，若，则__________． 65．（24-25九年级上·安徽·期中）已知，点D是线段上一动点（不与点A，B重合），过点D作于点E，以为边向右作正方形，连接并延长交于点H，连接，设． （1）的长为 _____；（用含x的代数式表示） （2）的长为 _____. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $