专题提优：平面向量及其应用综合训练-2027届高三数学一轮复习

专题提优：平面向量及其应用-2026-2027学年高三数学上学期 一、单选题 1．向量，满足，，，则（     ） A．1 B． C．2 D． 2．已知平面向量，不共线，若，则（    ） A． B． C． D． 3．在中，，，，则（    ） A． B． C． D． 4．已知点 ， 及直线上一点，外接圆的直径为，则 （    ） A． B．1 C． D．2 5．某居民小区里有一块边长分别为6 m，8 m，10 m的三角形草坪（记为），点D，E在的边上，线段把草坪分成面积相等的两部分．如果沿铺设灌溉水管，则水管的最短长度为（     ） A． B． C． D． 6．在锐角中，角，，所对的边分别为，，．已知，且，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 7．已知，，均为非零向量，其中，不共线且满足，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 8．我国自主研制的JF-22超高速风洞，是航空航天高端研发的国之重器．在风洞平面流场研究中，取平面内一组不共线的单位气流矢量，作为平面基底，风洞内某位置的合气流矢量可以唯一表示为，已知基底矢量与的夹角为，且合气流矢量与基底矢量相互垂直，则（   ） A． B． C． D．3 二、多选题 9．已知点A，B在以O为圆心，以为半径的圆O上，，则的值（     ） A．与的长度有关 B．与的长度无关 C．与的大小有关 D．与的大小无关 10．在中，角，，所对的边分别为，，，且，则（     ） A． B．若，则 C．若，，则 D．若，则的面积的最小值为 11．我国高铁技术在世界上领先.如图，一高铁通过某湖泊两岸的C、D两点.在一笔直的公路上选取点A，测得点C在点A的北偏东15°方向上，点D在点A的北偏东60°方向上，沿该公路向正东方向行驶到达点B，此时测得点C在点B的北偏西45°方向上，点D在点B的北偏西30°方向上，其中A、B、C、D在同一平面内，则（    ） A．为直角三角形 B． C． D．的面积为 三、填空题 12．已知向量，满足，，，则________． 13．已知平面单位向量，满足．若对任意单位向量，不等式与中至少有一个成立，则实数的最小值为_______________． 14．在中，内角，，所对的边分别为，，，满足，其中， （1）若，则_________； （2）若，，则_________． 四、解答题 15．在中，，，分别是内角，，所对的边，且满足， (1)求角的值： (2)若，边上的中线，求的面积． 16．已知平面向量，． (1)若，求实数m的值和； (2)若，求实数m的值和． 17．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，． (1)求角A的大小； (2)若边上的中线长为，求的面积S； (3)若是锐角三角形，以为边作正三角形（A与D位于边两侧），求的取值范围． 18．阅读下面内容并解决相关问题（注：，，分别为三个内角，，的对边，为的面积）． (1)教材必修二55页“阅读与思考”栏目介绍了我国南宋数学家秦九韶在《数书九章》中给出三角形面积的求法“三余求积”：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，斜四约之，为实一为从隅，开平方得积．”写成公式，就是，请利用证明该公式． (2)布洛卡点是三角形内部的特殊点，由法国数学家亨利·布洛卡于19世纪提出，其定义如下：设是内一点，若，则称点为的布洛卡点，角为的布洛卡角，如图，已知，． （ⅰ）求的值； （ⅱ）判断的形状． 19．如图所示，设，是平面内相交成角的两条轴，，分别是与，轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为放射坐标系，若在放射坐标系下，，则把有序数对叫作向量的放射坐标，记为，若满足，则称为放射坐标系下的“完美向量”.已知在放射坐标系下，，. (1)求以及（用表示）； (2)求向量放射坐标；若时，直接写出两组“完美向量”的放射坐标； (3)设，对任意实数，恒成立，求的取值范围，求的最大值. 第1页（共4页） ◎ 第2页（共4页） 第1页（共4页） ◎ 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 《专题提优：平面向量及其应用-2026-2027学年高三数学上学期》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D A C B B C C BD ABC 题号 11 答案 ABD 1．A 【详解】因为，所以， 即，所以. 2．D 【分析】根据平面向量基本定理，由，不共线，零向量用，线性表示时，系数必须都为0，即可求出的值. 【详解】由平面向量，不共线，又，则，解得，所以. 3．A 【详解】由余弦定理可得， 则，解得. 4．C 【分析】由圆过 知圆心在 轴上，设出圆心与 的坐标，求出点 的坐标，再求数量积. 【详解】由，知线段的垂直平分线为轴，故外接圆的圆心在轴上，设. 设，因为直径，为的中点， 所以， 即 于是，， 故. 5．B 【分析】分别讨论在各个边的情况，结合三角形面积公式与基本不等式即可求得水管的最短长度. 【详解】由，可得是直角三角形，其面积， 不妨设， ①若在上，如图： 设， 则有，解得， ，即，当且仅当时等号成立； ②若在上，如图： 设， 则有，解得， ，即， 当且仅当时等号成立； ③若在上，如图： 设， 则有，解得， ，即， 当且仅当时等号成立； 因为，所以的最小值为，即水管的最短长度为. 6．B 【分析】根据正弦定理将边化角，再结合和差角公式可得到，根据锐角三角形列不等式组求得，再将所求式子利用三角恒等变换公式整理为正弦型函数，利用正弦型函数性质求取值范围即可. 【详解】，即：，，， 由正弦定理得：，即：， ，或，解得：或（舍）， 又为锐角三角形，则， ，解得. ， 又，，， ，即的取值范围. 7．C 【分析】由题知，再结合数量积的运算律分别讨论充分性与必要性即可判断. 【详解】因为 均为非零向量， 不共线，且 ， 所以， 充分性：若 ，则，即， 整理得，即，所以 必要性：若 ，则，即， 所以，即，所以 又 ，所以 ， 所以，“”是“”的充分必要条件. 8．C 【详解】由，得， 因为，是单位向量，所以， 又与的夹角为，所以， 所以，解得，所以， ，所以. 9．BD 【分析】取的中点，则，结合数量积定义判断结论. 【详解】取的中点，则，， 所以， 所以的值与的长度无关，与的大小无关. 10．ABC 【详解】对于A，，由正弦定理得， 又，，即， 又，A选项正确. 对于B，中，由正弦定理得， ，又，代入整理得，B选项正确. 对于C，在中，由余弦定理得，即， 整理解得，C选项正确. 对于D，由余弦定理得，整理得， 又，即，当且仅当时等号成立， ，故的面积的最大值为，D选项错误. 11．ABD 【分析】A 选项：通过方位角求出△ABD的两个内角，由内角和得直角，判定直角三角形；B 选项：在△ABC中利用正弦定理，代入已知边与内角直接计算AC；C 选项：在△ACD中用余弦定理计算CD，实际结果为 25km，选项数值错误；D 选项：先求BC、BD边长与夹角∠CBD，再用两边夹一角的面积公式计算. 【详解】由题意可知，，， ，， 所以，A正确； 在中，， 由正弦定理得，所以（km），B正确； 由，得， 在中， ，， 则（km），C错误； 在中，由正弦定理得，则， 又，， 所以，D正确． 12．/ 【详解】由，得. 展开平方：， 代入，得，，得. 所以. 13． 【分析】条件"对任意单位向量 ， 与 中至少有一个成立"的几何意义是：单位圆上的任意一点，至少落在以 的终点为圆心、半径为 的圆与以 的终点为圆心、半径为 的圆的并集之内. 【详解】 由 ，两边平方得 ， 其中 为 与 的夹角，解得 ，. 如图建立坐标系，令 ，则由夹角 得 . 单位圆上一点 ，到两圆心的距离平方分别为 ， . 要使单位圆上每一点至少被一个圆覆盖，只需保证单位圆上离两圆心均最远的临界点到两圆心的距离不超过 . 令两距离相等，即， 化简得 ，即 .结合几何位置取 ，此时 ，. 代入得， . 故该临界点到两圆心的距离均为 .若 ，则此点不满足任何一个不等式，与题设矛盾. 综上， 的最小值为 . 【点睛】"至少一个成立"的向量不等式问题，本质是圆覆盖问题，找两圆覆盖边界的交点（临界点）是求最小半径的关键。 14． / 【分析】利用正弦定理及三角形内角三角函数关系可得. （1）将代入可得即可求； （2）将代入可得，利用同角三角函数关系可求，从而可计算，再利用正弦定理及面积公式即可. 【详解】因为，， 所以. 又因为 所以， 则，即. 所以 （1）若，则，即. 又因为，所以，则. （2）若，则，即. 又因为，所以. 所以. 因为，所以. 所以. 15．(1) (2) 【分析】（1）应用正弦定理边角转化结合两角和正弦公式计算求解； （2）方法一：应用角的关系结合余弦定理及面积公式计算求解；方法二：应用向量关系平方得出边长关系结合向量的数量积公式计算求解得，最后应用面积公式求解. 【详解】（1）因为，所以由正弦定理得， 则， 即，故， 因为，所以，即， 因为，所以，故， 又因为，所以． （2）（方法一） 延长到，使得，又，故四边形为平行四边形， 所以，， 又由得， 所以在中，由余弦定理得， 即， 整理得，即，解得， 所以．    （方法二） 因为是边上的中线，所以． 两边同时平方得：． 已知，，即，， 且． 代入可得． 整理得，即，解得， 所以． 16．(1)， (2)， 【分析】（1）由向量共线的坐标运算即可得到，再由向量的模长公式代入计算即可得到结果；（2）由向量垂直的坐标运算即可得到，再由向量的夹角公式代入计算即可得到结果. 【详解】（1）由可得，解得， 则， 所以. （2）， 由可得，解得， 则，， ，， 所以. 17．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据余弦定理，由角化边，求出三角形边长的关系，进而根据余弦定理解三角形； （2）根据向量数量积的运算律，求出中线长和三角形边长之间的关系，进而根据列出方程组，求出，根据三角形正弦面积公式，求出结果； （3）根据三角形的形状，判断点的运动轨迹，判断线段的最长和最短时的情况，根据三角形外接圆的性质求出结果. 【详解】（1）由可得，化简得， 所以，即. （2）可知，因为，所以， 设边上的中线长为，则， 可得，即，可得， 可得，解得， 则. （3）因为是锐角三角形，所以，解得， 如图所示，作外接圆，因为，所以外接圆是定圆，外接圆半径为， 过作，，因为，所以点在上运动， 连接并延长至，交圆于，过作于， 可知，所以， 在中，， 所以，即，解得， 当在时，取得最小值，此时，可得， 当在时，取得最大值，此时， 所以的取值范围. 18．(1)， 根据余弦定理可得， 代入可得． (2)（ⅰ）12；（ⅱ）为等边三角形． 【分析】（1），结合余弦定理可证明公式； （2）（ⅰ）利用面积分割法结合余弦定理，通过三式相加消元，求出的值；（ⅱ）结合公式，利用完全平方不等式的非负性，即可判断三角形形状． 【详解】（1）略. （2）（ⅰ） 因为，所以代入可得， 即， 因为，所以， 由余弦定理可得， 在中，， 在中，， 在中，， 三式相加可得： ， 化简可得. （ⅱ），， 代入可得， 两边平方可得， 化简可得：， 即，所以，即，因此为等边三角形． 19．(1)，. (2)放射坐标为，可取如下两个完美向量，其放射坐标为. (3)，的最大值为. 【分析】（1）根据放射坐标的定义结合数量积可求以及； （2）根据放射坐标的定义结合平面向量的线性运算可求放射坐标，根据“完美向量”的定义结合特殊角的三角函数可求“完美向量”的坐标； （3）根据数量积结合二次函数的性质可求，再根据数量积求出，结合前者可求的最大值. 【详解】（1）因为，故，，其中， 又，则， 则， 其中. （2），故. 设完美向量的坐标为，则， 故或，其中， 故或，其中， 同理，或，其中， 故可取如下两个完美向量，其放射坐标为. （3）因为对任意实数，恒成立， 故，故， 由（1）可得，， 同理， 故， 整理得对任意的恒成立， 所以， 故，故， 而，故. 又， ， 而，故，故的最大值为. 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $