综合检测卷09 集合、常用逻辑用语、不等式、函数、导数及其应用、三角函数与解三角形、平面向量与复数-2027届高考数学一轮复习

**基本信息** 覆盖七大基础模块的综合检测，以题串联概念应用与逻辑推理，强化知识网络构建与跨模块迁移能力。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |复数与集合|选择1-2题、解答15题|基础运算与元素分析|复数概念→集合关系→综合应用| |向量与逻辑用语|选择3题、填空13题、解答16题|充要条件判断与向量运算|向量线性运算→数量积→逻辑推理| |函数与导数|选择4/6/8题、填空12题、解答19题|奇偶性、最值、恒成立问题|函数性质→导数应用→方程零点| |三角函数与解三角形|选择5/7题、填空14题、解答17-18题|图像性质与边角计算|三角变换→正余弦定理→面积与长度| |不等式|选择9题|解集分析与参数范围|不等式解法→参数讨论→综合应用|

综合检测卷09　集合、常用逻辑用语、不等式、函数、导数及其应用、三角函数与解三角形、平面向量与复数 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（25-26·广东深圳·期末）设为虚数单位．若复数满足，则的值为（     ） A． B． C．1 D． 2．（25-26高二下·吉林·期末）已知集合，，则的元素个数为（     ） A．16 B．12 C．8 D．4 3．（25-26·北京东城·期末）已知非零向量，，满足，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（2026高三·全国·专题练习）函数的最小值是（    ） A．8 B．6 C．9 D．4 5．（25-26·海南省直辖县级单位·期末）在中，点在边上，且，，，的面积为，则的长为（    ） A． B． C． D． 6．（2026高三·全国·专题练习）已知函数为偶函数，且满足，且当时，，则（     ） A．， B．， C．， D．， 7．（2026高三·全国·专题练习）已知函数为函数的零点，直线为函数图像的对称轴，且在区间上是单调函数，则的最大值为（    ） A．9 B．7 C．5 D．3 8．（2026高三下·全国·专题练习）若恒成立，则实数的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（2026高三·全国·专题练习）已知关于的不等式的解集为，则（    ） A． B． C．不等式的解集是 D．不等式的解集为 10．（25-26·浙江绍兴·阶段检测）已知的面积为，若，，则（     ） A．的外接圆半径 B． C． D．的内切圆半径为 11．（25-26高三上·广东佛山·阶段检测）函数，关于的方程，下列说法正确的是（     ） A．函数的值域为 B．函数的单调减区间为， C．当时，则方程有6个不相等的实数根 D．若方程有3个不相等的实数根，则的取值范围是 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（25-26高二下·山东东营·期末）已知函数的导函数为，且，则_______． 13．（25-26·江苏南京·阶段检测）已知向量．若向量的夹角为钝角，则实数的取值范围为______． 14．（25-26高二上·福建莆田·开学考试）已知的内角的对边分别为，且，则面积的最大值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26·青海西宁·期末）完成下列各题： (1)若复数为纯虚数，求实数的值； (2)在复数集中解方程：； (3)若复数在复平面上对应的点位于第二象限，求的取值范围． 16．（25-26高二下·山东青岛·期末）已知向量，，. (1)求向量与的夹角的大小； (2)求向量在方向上的投影； (3)若，求实数k的值. 17．（25-26·上海·期末）已知函数． (1)求的单调递增区间； (2)求函数在时的值域； (3)对任意的，不等式恒成立，求m的取值范围． 18．（25-26·重庆·期中）在中，内角所对的边分别是，且，． (1)求角； (2)若，求边上的角平分线长； (3)若为锐角三角形，求边上的中线的取值范围． 19．（25-26高二下·辽宁辽阳·期末）已知函数在处取极小值2． (1)求的值； (2)求曲线过点的切线方程； (3)若函数，且在上有三个零点，求实数的取值范围． 2 / 15 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $ 综合检测卷09　集合、常用逻辑用语、不等式、函数、导数及其应用、三角函数与解三角形、平面向量与复数 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（25-26·广东深圳·期末）设为虚数单位．若复数满足，则的值为（     ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【详解】因为，所以，解得，即， 即 ，则选项B正确. 2．（25-26高二下·吉林·期末）已知集合，，则的元素个数为（     ） A．16 B．12 C．8 D．4 【答案】A 【详解】，， 则， 则的元素个数为16. 3．（25-26·北京东城·期末）已知非零向量，，满足，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】因为，所以， 当时，，所以， 即，所以，所以； 当时，， 所以. 所以“”是“”的充分必要条件. 4．（2026高三·全国·专题练习）函数的最小值是（    ） A．8 B．6 C．9 D．4 【答案】A 【分析】利用配凑法结合基本不等式即可求解. 【详解】， ，，， 由基本不等式可得：， 当且仅当，即时，等号成立，故选A. 5．（25-26·海南省直辖县级单位·期末）在中，点在边上，且，，，的面积为，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先在等腰直角中求出、，结合面积比可求得，进而得到的长度，最后在中用余弦定理计算的长， 【详解】 在中，因为，，所以为等腰直角三角形， 又因为，所以，则面积， 又因为的面积为，所以， 又因为，所以，即， 因此， 在中，由余弦定理得， 故. 6．（2026高三·全国·专题练习）已知函数为偶函数，且满足，且当时，，则（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】由函数的关系式得到函数的周期性，结合函数的奇偶性得到函数值相等，利用二次函数的对称轴求得，结合奇偶性和函数关系，求得函数值，代入解析式求得参数. 【详解】，则，， 即，即的周期为， 故， 在上满足，说明的对称轴为，则，解得， 又根据知，而， 则，于是， 即，解得 7．（2026高三·全国·专题练习）已知函数为函数的零点，直线为函数图像的对称轴，且在区间上是单调函数，则的最大值为（    ） A．9 B．7 C．5 D．3 【答案】D 【分析】由零点与对称轴的位置关系推出为正奇数， 再根据单调区间长度得，逐一排除使区间内出现对称轴的情况即可求解. 【详解】由题意得， 两式相减得， 整理得，所以为正奇数， ，解得，所以， 已知为对称轴，且余弦函数对称轴之间的距离为， 所以对称轴，若在区间上是单调函数， 则不存在整数使位于区间， 当时，取，得位于区间内，故舍去， 当时，取，得位于区间内，故舍去， 当时， 区间内没有对称轴，满足单调性，故. 8．（2026高三下·全国·专题练习）若恒成立，则实数的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把不等式化成，由恒成立，可得到需满足恒成立与恒成立，分离变量，利用导数可得答案. 【详解】， 恒成立， 即， ，， 要使恒成立， 只需对恒成立， 即， 设，则， 当时， ，函数单调递增， 当时， ，函数单调递减， ； 再令， ，则， 当时， ，函数单调递增， 当时， ，函数单调递减， . 综上可得，. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（2026高三·全国·专题练习）已知关于的不等式的解集为，则（    ） A． B． C．不等式的解集是 D．不等式的解集为 【答案】ACD 【分析】根据一元二次方程与不等式的关系得，，再结合一元一次不等式和一元二次不等式的解法，依次讨论各选项即可得答案. 【详解】∵关于的不等式的解集为， ∴，和3是关于的方程的两根，A选项正确； 由根与系数的关系得，则， ∴，B选项错误； ∴不等式可化为，即，解得，C选项正确； 不等式可化为，即，解得或， D选项正确． 10．（25-26·浙江绍兴·阶段检测）已知的面积为，若，，则（     ） A．的外接圆半径 B． C． D．的内切圆半径为 【答案】ACD 【分析】对于A，利用射影定理把转化为边，再结合正弦定理边角互化，约去直接求出外接圆半径；对于B，由正弦定理得到边角等量关系，联立面积与已知三角等式推出，再对平方后代入的值进行计算判断正误；对于C，已得，即，利用互余，通过同角平方关系验证等式两边相等；对于D，得到与斜边，运用三角形内切圆半径与三角形面积的关系，代入面积数值解方程求出内切圆半径． 【详解】设的外接圆半径为，内切圆的半径为， 对于A，由，得，，， 又，所以，即， 因为，所以， 所以，解得，A正确； 对于B，由，得，，， 由的面积为，得，所以， 又，所以， 因为，所以，即， 因为，所以，，则， 所以，即， 又， 所以，B错误； 对于C，，， 所以，C正确； 对于D，由，，，得， 因为的面积， 所以，解得，D正确． 11．（25-26高三上·广东佛山·阶段检测）函数，关于的方程，下列说法正确的是（     ） A．函数的值域为 B．函数的单调减区间为， C．当时，则方程有6个不相等的实数根 D．若方程有3个不相等的实数根，则的取值范围是 【答案】ACD 【分析】先根据分段函数和导数相关知识判断函数单调性与渐近线，从而画出函数图像，进而直接判断A和B；通过方程的根与图像的公共点之间的联系进行转化，并结合图像即可判断C和D. 【详解】当时，，则在单调递减，且渐近线为轴和，恒有. 当时，，. 当，，在单调递增； 当时，，在单调递减. 故，且恒有. 综上可知，，作出函数大致图象，如下图. 由图像可知函数的值域为，故A正确. 函数的单调递减区间由图可知为，，故B错误. 当时，则方程可化为或， 由，得或，有两个实数根； 由图象可知，由，有4个不相等的实数根，且均不为0，也不为， 所以当时，则方程有6个不相等的实数根，故C正确. 若关于的方程有3个不相等的实数根， 即与共有3个不相等的实数根. 又因为已有两个不相等的实数根0，， 则方程有且仅有一个根，且不为0，. 所以与有且仅有一个公共点， 由图象可知，满足题意，即的取值范围是，故D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（25-26高二下·山东东营·期末）已知函数的导函数为，且，则_______． 【答案】 【详解】由求导得， 令，则得，解得， 所以，. 13．（25-26·江苏南京·阶段检测）已知向量．若向量的夹角为钝角，则实数的取值范围为______． 【答案】 【分析】先由两向量夹角为钝角得到数量积小于，再注意数量积小于还包含两向量反向共线、夹角为的特殊情形，需要将其排除． 【详解】因为 若，的夹角为钝角，则，所以，解得 还需排除两向量反向共线的情形． 若，其中，则 由，解得，从而． 此时，两向量夹角为，不是钝角，故应舍去． 因此实数的取值范围为 14．（25-26高二上·福建莆田·开学考试）已知的内角的对边分别为，且，则面积的最大值为______． 【答案】 【分析】根据余弦定理求得，利用正弦定理和三角恒等变换化简可得，结合正弦函数的图象与性质即可求解. 【详解】由，，则， 即，又， 又，得. 由正弦定理得， 所以， 故 ， 又，所以， 则，得， 所以，当且仅当时取等号， 又的面积， 所以的面积的最大值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26·青海西宁·期末）完成下列各题： (1)若复数为纯虚数，求实数的值； (2)在复数集中解方程：； (3)若复数在复平面上对应的点位于第二象限，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用纯虚数实部为、虚部不为列方程组求解； （2）计算判别式，负数开方引入虚数单位，套用求根公式得复数根； （3）根据复平面第二象限横纵坐标符号列不等式组，解出参数范围． 【详解】（1）由，得或， 又，所以； （2）方程的判别式， 所以． （3）由复数在复平面上对应的点位于第二象限， 得，解得， 所以的取值范围是． 16．（25-26高二下·山东青岛·期末）已知向量，，. (1)求向量与的夹角的大小； (2)求向量在方向上的投影； (3)若，求实数k的值. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）已知向量，， ， ，， 则， 又，， 即向量与的夹角的大小为. （2）已知向量，， ，， 所以向量在方向上的投影为. （3）由题意可得， ，， 可得，即. 17．（25-26·上海·期末）已知函数． (1)求的单调递增区间； (2)求函数在时的值域； (3)对任意的，不等式恒成立，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）化简得，由，求单调递增区间； （2）由得，求出在上的值域，得解； （3）由，得，当时，不等式恒成立；当时，转化为恒成立，求出，得. 【详解】（1）， 由，得. 所以的单调递增区间为. （2）当时， 因为在上单调递增，在上单调递减， 且， 所以在上的值域为. （3）当时，， 故. ， ①当时，不等式恒成立； ②当时，得恒成立， 令，则，， 在上单调递增，最大值为， 所以， 综上得的取值范围为. 18．（25-26·重庆·期中）在中，内角所对的边分别是，且，． (1)求角； (2)若，求边上的角平分线长； (3)若为锐角三角形，求边上的中线的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由诱导公式化简得到，得到； （2）由三角形面积公式和余弦定理得到角平分线长； （3）由向量基本定理和数量积公式可得，由正弦定理和三角恒等变换得到，从而得到中线的取值范围 【详解】（1）由， 因为， 所以， 由，得，又，则． （2）如图： 由余弦定理，，因为， 所以，又，所以， 由，得， 整理得． （3）因为是边上的中线，则， 两边取平方，， 由（2）已得，代入可得， 由正弦定理，， 则， 所以 ， 因为为锐角三角形，则有，解得， 则， 由正弦函数的图象性质，可得， 故得，从而， 故边上的中线的取值范围为． 19．（25-26高二下·辽宁辽阳·期末）已知函数在处取极小值2． (1)求的值； (2)求曲线过点的切线方程； (3)若函数，且在上有三个零点，求实数的取值范围． 【答案】(1)3 (2)或者 (3) 【分析】（1）利用极值的性质建立方程组，求解参数，进而得到的取值即可. （2）合理设出切点，结合切线的性质建立方程，最后求解切线斜率，得到切线方程即可. （3）将零点问题转化为交点问题，再得到，进而求解参数取值范围即可. 【详解】（1），，解得或， 当时，可得， 令，可得，令，可得， 则在上单调递增，在上单调递减， 此时函数在处取极大值，不符合题意， 当时，可得， 令，可得，令，可得， 则在上单调递增，在上单调递减， 此时函数在处取极小值，在处取极大值，符合题意，. （2）设切点为，得到， 而，， 可得， 代入点，得到， 化简得，解得或者， 切线斜率为0时，切线方程为， 在切线斜率为1时，切线方程为， 综上可得，切线方程为或者. （3）函数，且在上有三个零点， 方程在上有三个不等的实根， 函数与的图象在上有三个不同的交点， 由（1）知在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 则在处取极小值2，在处取得极大值， 又，，，解得. 2 / 15 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $