综合检测卷07 集合、常用逻辑用语、不等式、函数、导数及其应用、三角函数与解三角形、平面向量-2027届高考数学一轮复习

**基本信息** 该综合检测卷整合集合、函数、三角、向量等核心模块，以题载知，通过基础辨析与综合应用考查数学思维与知识逻辑。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |集合与常用逻辑用语|2题|集合运算、充要条件判断|概念生成：集合关系→逻辑用语应用| |函数与导数|7题|单调性、零点、导数应用|原理推导：导数性质→函数综合问题解决| |三角函数与解三角形|5题|三角变换、解三角形、性质探究|应用拓展：三角公式→实际问题求解| |平面向量|3题|投影向量、几何运算|知识联结：向量运算→几何关系转化|

综合检测卷07　集合、常用逻辑用语、不等式、函数、导数及其应用、三角函数与解三角形、平面向量 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（2026·陕西·三模）已知集合，，则中的元素个数为（     ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【详解】， ， ，即中的元素个数为. 2．（25-26高三上·江苏苏州·阶段检测）已知点，，．则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出、的坐标，再结合投影向量的计算公式求解即可． 【详解】由题可知，， 则在上的投影向量为 ． 3．（25-26高三上·江苏南通·阶段检测）已知，是的内角，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据余弦函数的单调性判断即可. 【详解】因为是的内角，且，所以. 因为在上单调递减，所以，故充分性成立； 反之，在上单调递减，. 若，则，故必要性成立， 所以在中，“”是“”的充要条件. 4．（25-26高二下·贵州遵义·期中）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用两角和差的正切公式可得，利用两角和差公式以及倍角公式结合齐次式问题运算求解. 【详解】因为， 所以 . 5．（25-26高三上·广东深圳·期末）中，设角，，的对边分别为，，．若，，，则的值为（     ） A．或 B． C． D． 【答案】A 【详解】由题设，且必为锐角，则， 对于可能为锐角，也有可能为钝角，则，均满足题设， 由， 若时，， 若时，， 综上，为或. 6．（25-26高二下·安徽宿州·期末）若函数在上单调递减，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依题可知时，恒成立，分离常数后得，构造函数，利用函数的导数得到函数的单调性，从而求得函数最小值，即可求得实数的取值范围. 【详解】函数定义域，导数， 由题意可知当时，导数恒成立， 即，所以在时恒成立. 令函数， 则， 令函数，则导数， 当时，，所以函数在上单调递增， 所以当，，所以函数在上单调递增， 所以， 所以. 7．（2026高三·全国·专题练习）已知函数为函数的零点，直线为函数图像的对称轴，且在区间上是单调函数，则的最大值为（    ） A．11 B．9 C．7 D．5 【答案】B 【分析】根据已知可得，为正奇数且，结合为的零点，为图像的对称轴，求出符合题意的解析式，并结合在上单调，可得的最大值． 【详解】因为为的零点，为图象的对称轴， 所以,即，所以,即为正奇数. 因为在上单调，则，即， 解得：，当时，, 因为，所以，此时. 当时，， 所以当时，单增；当时，单减， 即在不单调，不满足题意； 当时，, 因为，所以，此时. 当时，， 此时在单调递减，符合题意； 故的最大值为9. 8．（25-26高三上·四川广安·阶段检测）设奇函数的定义域为，且满足：（1）；（2）当时，，则下列说法不正确的是（    ） A．的图象存在对称轴 B． C．当时， D．方程有四个实数根 【答案】D 【分析】根据给定条件，求出对称轴判断A；确定函数的周期并求出函数值判断B；结合周期性求出指定区间上的解析式判断C；将方程根的个数转化为直线与函数图象的交点个数求解判断D. 【详解】对于A，由，得直线是的图象对称轴，A正确； 对于B，由函数是奇函数，得，则4是函数的一个周期， 而当时，，因此，B正确； 对于C，当时，，则， 因此当时，，，C正确； 对于D，方程，于是方程的实根个数 即为函数的图象与直线的交点个数， 由是奇函数，得当时，，当时，， 则，又函数的一个周期为4， 在同一坐标系内作出函数的图象与直线， 观察图象知，函数的图象与直线有五个交点， 即方程有五个实数根，D错误. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高三上·贵州遵义·期中）下列等式计算正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】利用三角恒等变换公式依次化简选项即可求解. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，,故B正确； 对于C，,故C正确； 对于D，,故D正确. 10．（25-26高三上·广东潮州·期末）已知向量，，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则与夹角为 D． 【答案】AD 【分析】A，利用向量垂直时数量积为的性质求解.B，通过向量平行性质求解.C，通过数量积和模求解向量夹角.D，用坐标表示出后利用坐标求模的范围. 【详解】选项A，因为，所以，，解得，A正确. 选项B，因为，所以设，解得或，B错误. 选项C，时，，，，， 所以，所以夹角是，C错误. 选项D，，， 函数为开口向上的二次函数，对称轴为， 所以当时，， 所以，D正确. 11．（25-26高三上·福建·期末）已知函数，则（    ） A．有三个零点 B．有两个极值点 C．点是曲线的对称中心 D．曲线有三条过点的切线 【答案】BC 【分析】利用导数研究的单调性、极值及零点存在定理可判断A；利用极值点的定义可判断B，利用奇函数的性质及图象平移可判断C；利用导数几何意义求解可判断D． 【详解】对于B，由题， 令，得或；令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以是极值点，故B正确； 对于A，由B可知的极大值，极小值， 因为在单调递增，且， 所以函数在定义域上有且仅有两个零点，故A错误； 对于C，令，该函数的定义域为， 则是奇函数，是的对称中心， 将的图象向下移动个单位得到的图象， 所以点是曲线的对称中心，故C正确； 对于D，设切点为，则切线的斜率为， 切线的方程为， 代入，可得， 整理得，即即 解方程得：或 则过点的切线方程有两条，D错误． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（25-26高三上·海南海口·阶段检测）若函数的定义域是，则实数的取值范围是________． 【答案】 【分析】将题设条件等价转换成不等式恒成立进行求解． 【详解】依题意得，对任意的，都有恒成立， 所以，故得，即对任意的恒成立， 则，即，解得， 故实数的取值范围是． 13．（25-26高三下·甘肃金昌·阶段检测）已知函数在内有零点，则实数的取值范围是________． 【答案】 【分析】先通过导数判断函数在区间上的单调性，再结合零点存在定理列不等式求解的取值范围. 【详解】对求导得：. 当时，且，故，因此在上单调递减. 因为在内有零点，结合单调函数的零点存在性质，可得： ， 计算端点函数值： ，， 代入不等式得： ，解得，即. 14．（25-26高三上·江苏南通·阶段检测）设锐角的内角，，的对边分别为，，，若，则________，的最小值为________． 【答案】 7 【分析】第一空，由余弦定理、正弦定理，边化角化简即可求解；第二空，结合基本不等式即可求解. 【详解】因为， 由余弦定理得， 再由正弦定理得， 又 ，所以， 在中，所以，， 所以，所以，又，所以， 故； 则 ， 因为为锐角三角形， 所以，解得，所以， 则， 当时，取等号， 故的最小值为7. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高三上·贵州遵义·期中）（1）计算； （2）已知． （ⅰ）化简； （ⅱ）关于的方程有解，求的取值范围． 【答案】 (1) (2) (ⅰ) ，定义域 ；(ⅱ) 【分析】（1）由对数的运算性质和幂的运算性质可直接得到计算结果； （2）（i）由诱导公式可直接得到化简结果，注意求函数的定义域，需要考虑分母不为零和正切函数自身的定义域； （ii）运用“参变分离法”，原方程有解就是新方程有解，求函数的值域即可解决问题. 【详解】（1）； （2）（i）， 其中，，所以， 即，其定义域为； （ii）， 由题意可知，方程有解， 令， 则的取值范围就是函数的值域， ， 令，则且， 于是可化为， 所以且， 所以函数的值域为， 即的取值范围是. 16．（25-26高三上·山东青岛·期末）如图，在中，是上的一点，是的中点，过点的直线与边，分别相交于点，．设，． (1)若，，求的值． (2)在（1）的条件下，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由平面向量基本定理可得； （2）由，，三点共线可得，再结合基本不等式可得. 【详解】（1）因为，所以， 又因为是的中点，所以， 又， 所以，，所以； （2）因为，， 由（1）知，， 又，，三点共线，所以，即， 所以， 当且仅当时等号成立， 故的最小值为. 17．（25-26高三上·贵州遵义·期中）已知，（，），函数，若的图象上相邻两条对称轴之间的距离为． (1)求函数的解析式； (2)求函数的单调递减区间，最值和最值点． 【答案】(1) (2) 单调递减区间为 ；最大值为 ，最大值点为 ；最小值为 ，最小值点为 【分析】（1）由平面向量数量积的计算公式和三角恒等变换的“二倍角公式”、“辅助角公式”即可求出函数的解析式； （2）使用三角函数的“整体代换法”，将函数化归为，结合函数的图象和性质即可求出函数的单调递减区间、最值和最值点. 【详解】（1）， 因为的图象上相邻两条对称轴之间的距离为，所以，所以，因为，所以，即函数的解析式为； （2）令，，则，， 所以函数的单调递减区间为， 当，即时，取得最大值，最大值为； 当，即时，取得最小值，最小值为； 所以函数的最大值为，最大值点为；最小值为，最小值点为. 18．（25-26高二下·安徽合肥·期末）已知函数． (1)若的值域为，求实数的取值范围． (2)当时，若在上单调递增，求实数的取值范围． (3)设函数．若，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由对数函数的值域可得真数对应的二次函数的判别式大于等于，从而可得所求取值范围； （2）令，并结合定义域可得函数单调递增区间，从而可得所求取值的范围； （3）将不等式转化为，由单调性可得，所以只需，进而转化为，方法一：根据二次函数的在闭区间的最值问题分类讨论可得；方法二：通过参数分离可得及，分别求两个函数的最值可得. 【详解】（1）因为函数的值域为，所以能取到大于的所有值， 所以，解得或， 因此实数的取值范围为． （2）当时，． 令，得或， 又， 当时，单调递减，当时，单调递增， 所以在上单调递增， 因为题中在上单调递增，所以实数的取值范围为． （3）因为，使得成立，所以． 因为在时单调递减， 所以， 即，即成立． 方法一：设，其图象的对称轴为直线． 当时，只需，解得； 当时，只需，解得； 当时，只需，无解． 综上，得，即实数的取值范围为． 方法二：成立，等价于成立， 所以． 记，则在上单调递增， 所以，所以. 成立，等价于成立，所以． 记，则（当且仅当时取等号）， 所以，所以， 综上，，即实数的取值范围为． 19．（25-26高二下·内蒙古呼和浩特·期末）已知函数． (1)若，求函数的最小值； (2)讨论的单调性； (3)若在上恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2)当时，在 上单调递增；当时，在单调递减，在单调递增. (3) 【分析】（1）求导后判断单调性，确定极小值点，代入求最小值； （2）对参数 分类讨论，根据导数符号确定单调区间； （3）先由对数有意义得 ，化简不等式为含参数的分式函数恒正，分情况讨论参数范围. 【详解】（1）函数的定义域为，求导得 . 当 时，. 当 时，，单调递减； 当时，，单调递增. 故在 处取最小值，代入得. 因此函数的最小值为. （2）对导数分类讨论： 若，则对任意都有，即，故在上单调递增； 若，时，，单调递减； 时，，单调递增. 综上，当时，在 上单调递增； 当时，在单调递减，在单调递增. （3）由题意，已知，则有意义需. 不等式 在 恒成立，化简不等式得， 消去同类项整理得，对任意恒成立. 令 . 若，则，故恒成立； 若，则，成立； 若，则 ，当时，，，不满足恒成立. 综上，的取值范围为. 2 / 14 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 综合检测卷07　集合、常用逻辑用语、不等式、函数、导数及其应用、三角函数与解三角形、平面向量 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（2026·陕西·三模）已知集合，，则中的元素个数为（     ） A．5 B．4 C．3 D．2 2．（25-26高三上·江苏苏州·阶段检测）已知点，，．则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·江苏南通·阶段检测）已知，是的内角，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（25-26高二下·贵州遵义·期中）若，则（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高三上·广东深圳·期末）中，设角，，的对边分别为，，．若，，，则的值为（     ） A．或 B． C． D． 6．（25-26高二下·安徽宿州·期末）若函数在上单调递减，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（2026高三·全国·专题练习）已知函数为函数的零点，直线为函数图像的对称轴，且在区间上是单调函数，则的最大值为（    ） A．11 B．9 C．7 D．5 8．（25-26高三上·四川广安·阶段检测）设奇函数的定义域为，且满足：（1）；（2）当时，，则下列说法不正确的是（    ） A．的图象存在对称轴 B． C．当时， D．方程有四个实数根 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高三上·贵州遵义·期中）下列等式计算正确的有（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高三上·广东潮州·期末）已知向量，，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则与夹角为 D． 11．（25-26高三上·福建·期末）已知函数，则（    ） A．有三个零点 B．有两个极值点 C．点是曲线的对称中心 D．曲线有三条过点的切线 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（25-26高三上·海南海口·阶段检测）若函数的定义域是，则实数的取值范围是________． 13．（25-26高三下·甘肃金昌·阶段检测）已知函数在内有零点，则实数的取值范围是________． 14．（25-26高三上·江苏南通·阶段检测）设锐角的内角，，的对边分别为，，，若，则________，的最小值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高三上·贵州遵义·期中）（1）计算； （2）已知． （ⅰ）化简； （ⅱ）关于的方程有解，求的取值范围． 16．（25-26高三上·山东青岛·期末）如图，在中，是上的一点，是的中点，过点的直线与边，分别相交于点，．设，． (1)若，，求的值． (2)在（1）的条件下，求的最小值． 17．（25-26高三上·贵州遵义·期中）已知，（，），函数，若的图象上相邻两条对称轴之间的距离为． (1)求函数的解析式； (2)求函数的单调递减区间，最值和最值点． 18．（25-26高二下·安徽合肥·期末）已知函数． (1)若的值域为，求实数的取值范围． (2)当时，若在上单调递增，求实数的取值范围． (3)设函数．若，使得成立，求实数的取值范围． 19．（25-26高二下·内蒙古呼和浩特·期末）已知函数． (1)若，求函数的最小值； (2)讨论的单调性； (3)若在上恒成立，求的取值范围． 2 / 14 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $