专题提优：导数及其应用综合训练-2027届高三数学一轮复习

专题提优：导数及其应用-2026-2027学年高三数学上学期 一、单选题 1．已知直线是曲线的一条切线，则（    ） A． B． C． D． 2．若函数在上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．已知，，，则a，b，c的大小关系为（       ） A． B． C． D． 4．“”是“函数存在极值”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知函数在上可导，导函数为，满足，且为偶函数，，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 6．已知函数，则 （    ） A． B．8 C． D．4 7．已知函数，则的值为（     ） A． B． C． D． 8．设函数的定义域为，若存在闭区间，使得函数满足：①在区间上是单调函数；②在上的值域是，则称区间是函数的“和谐区间”.下列函数中，不存在“和谐区间”的是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知函数，则（    ） A．有两个极值点 B．当时， C．有两个零点 D．若在区间上有最大值，则的取值范围为 10．设是定义在上的可导函数，其导函数为，且对任意，恒成立，则（     ） A． B．可能是常数函数 C． D． 11．已知函数，则（     ） A．函数的最小值为 B．是函数的一个周期 C．函数在上单调递增 D．， 三、填空题 12．已知，且，，则的最大值是__________． 13．已知函数的图象为，将关于直线对称得到函数的图象，已知，，则的最大值为__________． 14．已知函数的零点为，函数的零点为，其中，则的取值范围是______. 四、解答题 15．已知函数，． (1)求的单调区间； (2)若是的充分条件，求的取值范围． 16．已知函数（）． (1)若0为的极值点，求a的值； (2)若，求在上的最值； (3)当时，证明：． 17．已知函数，. (1)解不等式：； (2)当时，求证：. (3)若函数的图象与函数有两个交点，，试比较与的大小取为，取为，取为 18．已知函数. (1)当时，求在处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)设，求证：当时，恰有两个零点. 19．对于函数，记，（）．若是使无零点的最小正整数，则称是“阶单调函数”． (1)判断函数是几阶单调函数； (2)若函数（）是阶单调函数，记，当实数，变化时，求的最小值； (3)设，函数，当时，恒成立，且存在，使得，试用表示，并证明． 第1页（共4页） ◎ 第2页（共4页） 第1页（共4页） ◎ 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 《专题提优：导数及其应用-2026-2027学年高三数学上学期》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D D B A A A D AC AC 题号 11 答案 BCD 1．A 【分析】根据导数的几何意义，先由切线斜率求出切点横坐标，再将切点坐标代入曲线方程求. 【详解】设切点坐标为，因为，所以，解得. 将代入切线方程，得，因此切点坐标为. 将代入曲线方程得，解得 2．D 【分析】先分别分析分段函数两端的单调性，时单调递增，时求导恒成立，求出，再结合分段点处左段函数值不大于右段函数值的衔接条件，解得，取两者交集得到的取值范围. 【详解】由题意可知，在上单调递增， 当时，， 令，则，所以， 要使在上单调递增，则必有， 求解可得，所以的取值范围为. 3．D 【分析】构造且，则，再构造并应用导数研究其单调性比较对应函数值的大小，即可得. 【详解】由，，， 令，，则， 令，，则， 令，，则在上恒成立， 故在上单调递增，又，则在上恒成立， 将中换为可得，， 故在上恒成立，所以在上单调递增， 由复合函数单调性可知在上单调递增， 故，即. 4．B 【分析】先根据可导函数存在极值的充要条件：导函数存在两个不相等的实零点，求解函数存在极值时的取值范围，再结合充分必要条件的定义判断即可． 【详解】，， 必要性判断：∵函数存在极值， 有两个不相等的实数根，， 解得，可推出，必要性成立； 充分性判断：当时，恒成立， 则在上单调递增，不存在极值，充分性不成立． 因此“”是“函数存在极值”的必要不充分条件． 5．A 【分析】构造辅助函数，通过导数判断其单调性，结合偶函数的对称性推出，进而结合函数的单调性解不等式即可. 【详解】设，， 求导得. 又，则，因此，故在上单调递减. 因为为偶函数，故对任意成立. 令，得，因此. 故不等式等价于，即. 又在上单调递减，所以. 故不等式的解集为. 6．A 【分析】先求导，计算，再结合导数的定义求解即可. 【详解】因为，所以，， 所以． 7．A 【详解】，， . 8．D 【分析】逐项假设是“和谐区间”，先由单调性写出值域，再与对应端点比较，把问题转化为方程是否有解：A、B、C都能找出具体区间，而D化为，用的最小值为正说明无解. 【详解】对于A，在上单调递增，取， 则该区间上的值域为，存在“和谐区间”，A不符合题意. 对于B，在上单调递减，取， 则该区间上的值域为，存在“和谐区间”，B不符合题意. 对于C，的导函数为， 当时，故在上单调递增，取， 则该区间上的值域为，存在“和谐区间”，C不符合题意； 对于D，在上单调递增， 若是“和谐区间”，则该区间上的值域为， 故、，即方程有解. 令，则， 当时，当时， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得最小值， 即恒成立，方程无解，故函数不存在“和谐区间”，D符合题意. 9．AC 【分析】对于A，对函数求导，结合函数极值点的定义，即可求解；对于B，比较出与的大小，并结合A中求得的函数的单调性，即可判断；对于C，由A中求得的函数的单调性，并求出极值，结合函数零点存在定理，即可求解；对于D，由A分析得极值点情况，可知极大值即为最大值，结合求得的的单调性，构造关于的不等式，即可求解． 【详解】对于A，对求导， 可得． 令，解得或． 当时，，在区间上单调递增； 当时，，在区间上单调递减； 当时，，在区间上单调递增. 因此，为极大值点，为极小值点，共2个极值点，故A正确； 对于B，当时，， 即，且，因此． 因为在上单调递增，所以，B错误； 对于C，由函数的解析式， 可得，． 当时，，且在上单调递增， 因此在上有1个零点，加上处的零点，共2个零点，故C正确； 对于D，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增． 若在区间上有最大值，则最大值只能为极大值， 故需满足①极大值点在区间内， 即，解得； ②区间右端点对应的函数值不大于，即． 由C分析，可得． ． 因此等价于，解得， 结合，得的取值范围为，故D错误. 10．AC 【分析】通过已知条件，构造函数，并通过求导确定在上单调递减.对于A选项，通过单调性可得：，进而代入即可判断选项正误；对于B选项，若为常数函数，则对任意，，然后取特值，即可判断选项正误；对于C选项，通过单调性可得：，进而代入即可判断选项正误；对于D选项，通过单调性可得：，进而代入可得：，再通过构造函数，利用的单调性可得：，即，从而判断选项正误. 【详解】已知对任意，，则有. 则设，求导：， 因为，，所以. 故在上单调递减. 对于A选项，由于，则，即，整理得：，故A选项正确； 对于B选项，若为常数函数，则对任意，，当时，，故不成立，因此B选项错误； 对于C选项，由于，则，即，整理得：，故C选项正确； 对于D选项，由于，则，即，整理得：. 又令，求导， 当时，，故在单调递增. 由此可得：，即，可得：， 综上可得：，故D选项错误. 11．BCD 【分析】按照选项要求写出对应的函数，利用正弦函数的最值判断选项A，利用周期函数定义结合诱导公式判断选项B，利用导函数求函数单调性方法结合和差化积公式、三角函数判断选项C，利用经典不等式与绝对值不等式判断选项D. 【详解】对于A， ，要使函数的最小值为， 则函数和同时取到最小值， 由正弦函数性质可得函数和无法同时取到最小值， 所以函数的最小值不是，A错误； 对于B，， ， 故是函数的一个周期，B正确； 对于C，， 当，，故， 故在上恒成立，即在上单调递增，C正确； 对于D，令，，又， 故，即在上单调递增，， 当时，，即，当时，， 故时，，当时，， 综上所述，， ，放缩成立，D正确. 12． 【分析】设,对及进行分类讨论，结合的范围，并应用导数研究的单调性，由不等式恒成立确定参数的最大值即可. 【详解】设，则， 当时，，故，所以在上单调递增， 则，因为，所以， ， 故，即恒成立； 当时，， 若，则恒成立； 若，令， 则，所以在上单调递增， 又，， 所以存在，使，可得， 当，，所以在上单调递减； 当，，所以在上单调递增； 所以，解得， 此时，所以，从而， 因此的最大值为. 13． 【分析】利用图象关于直线对称求出；将题设化为指数、对数不等式，构造辅助函数并利用导数证明关键不等式，再由正切函数的单调性求出上界并验证能否取等． 【详解】设点在的图象上，则点在的图象上，故，解得，即（）． 由，设，． 原不等式化为，即． 令，则. 故，即． 于是， 由指数函数的单调性，得，即. 因为且，由正切函数在上单调递增，得，即． 当，时，有，等号成立． 此时，因此最大值为． 14． 【分析】写出零点方程，利用两个方程的同构关系，把与联系起来，再构造函数求取值范围. 【详解】因为函数的零点为，函数的零点为， 所以①，②， 在式①中令，则，代入①得， 设，则，， 则， 因为，，所以在上严格单调递增， 则转化为， 又，则，解得，则， 因为，这两个函数是关于的单调递增函数， 所以是关于的单调递增函数，且时， 则当时， 设，， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 则当时，取最大值，， 因为，所以， 则， 因为，所以，即， 因为，所以， 则的取值范围是. 15．(1)单调递减区间为和，单调递增区间为； (2) 【分析】（1）求导后因式分解，由比较两根的大小，得单调区间； （2）先求在上的最值，把“充分条件”转化为最值所满足的不等式组. 【详解】（1） 的定义域为，且 . 因，，两根与满足， 故当或时，，当时，. 所以的单调递减区间为和，单调递增区间为. （2）由（1）知在上单调递增，在上单调递减，故最大值为. 又，，而， 故在上的最小值为. “是 的充分条件”即当时恒有， 故，且， 解得且. 因，所以的取值范围是. 16．(1). (2)在上的最大值为；最小值为. (3)要证，即证，即证,函数的定义域为， 构造函数（）， 求导得， 当时，；当时，； 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，即，当且仅当取等号. 令，得：, 因为，所以, 构造函数, 求导得, 当时，；当时，； 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，即，当且仅当时取等号， 所以, 由于上述不等式链中，等号不能同时成立，理由如下： 若，则；此时，而，要取等号需； 若，此时，故第一个不等号 严格成立， 所以严格成立， 所以得证. 【分析】（1）利用极值点导数为零建立方程求出，并利用导数符号变化验证其为极值点； （2）代入值后，判断导函数在给定区间上的符号，得出函数单调性，进而求得最值； （3）通过将不等式转化为证明，巧妙利用常见切线不等式和 进行放缩，并说明等号不能同时成立完成证明. 【详解】（1）由题意知，函数的定义域为， 求导得， 因为为的极值点，所以，即，解得. 检验：当时，，设，， 故在 上单调递减， 又，所以当时，；当时，，此时为极大值点，符合题意. 所以的值为. （2）当时，，其定义域为， 求导得， 当时，，所以； 又，所以， 所以在区间上单调递减， 所以在上的最大值为； 最小值为. （3）略. 17．(1) (2)设，则， 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以，有，故，当且仅当时等号成立， 当时有，当且仅当时等号成立， 设，其中，，则， 则当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以，有，故，当且仅当时等号成立， 因为，所以，所以与等号不可同时成立， 即， 则， 所以. (3) 【分析】（1）构造函数，利用其单调性及最值证明不等式； （2）通过研究函数，的单调性及最值，证明不等式； （3）先消去参数，利用基本不等式得，进而证明，再构造函数，利用单调性证明，即. 【详解】（1）不等式，即且， 设，则， 设，则， 当时，，则在上单调递减， 当时，，则在上单调递增, 所以，因此在上单调递增， 因为，所以当时，有， 即不等式的解集为. （2）略 （3）由题意知，， 两式相加得，两式相减得，即 所以， 化简得，由基本不等式得，， 所以，当且仅当时等号成立， 不妨令，设，则， 以下证明， 设，则， 所以在上单调递增，则， 所以，，即， 所以，即， 设，则当时，，所以在上单调递增， 因为， 根据函数的单调性，有，即. 18．(1) (2)当时，在上单调递减，上单调递增.当时，在上单调递增.当时，在上单调递减. (3)时，. 令，则. 令，. ⅰ.时，恒成立， 在上单调递增. 又， ∴存在一个零点，，使. ⅱ.， 恒成立，在上单调递减. 又，. 存在零点，使. ，，，. 在上单调递增，上单调递减. 又，.， ∴存在一个零点，，使. ⅲ.， 恒成立.在单调递减. 恒成立.在没有零点. ⅳ.时， 下面来证明当时，. 设.在上单调递增， ，，恒成立. 综上所述，在只有两个零点. 又是由向右平移一个单位所得， 在只有两个零点. 【分析】（1）通过求导，确定切线斜率即可求解； （2）求导，通过讨论，，确定导数符号，即可求解； （3）令，通过二次求导，确定的单调性，进而可求证. 【详解】（1）当时， ，， ， 所以切线方程为. （2）， 当时，，在上单调递减. 当时，在上，有，在上，有， 故在上单调递减，上单调递增. 当时，，，在上单调递增. 当时，，，在上单调递减. 综上所述，当时，在上单调递减，上单调递增. 当时，在上单调递增. 当时，在上单调递减. （3）略 19．(1)阶单调函数 (2) (3) 由题意知，，． 因为当时，恒成立，且存在，使得， 即恒成立，且. 令，则在上恒成立，且． 因此是的最小值点，也是极小值点，所以．     由，得． 由，得． 所以，解得或． 又因为，因此. 下面证明： 因为且，所以角的终边在第三象限， 即（），因为，所以①． 又因为， 由，得， 即（），且在上恒成立，所以， 于是．② 综合①②，得，所以． 【分析】（1）根据“阶单调函数”的定义及零点存在性定理判断可得； （2）先由函数是阶单调函数，利用导数讨论得，进而将问题转化为曲线：上的点到直线：上的点的距离.再构造函数，用导数判断成立，得曲线在切线上方（除切点以外），再用点到直线间的距离公式计算可得. （3）令，由条件可得在上恒成立，且及，进而可得.证明：先由三角函数值的正负号可得角（），进而可得；又由，再结合条件可得，从而可得及. 【详解】（1）因为，得， 易得，所以不是阶单调函数． ，则，， 由零点存在性定理得在上存在零点，所以不是阶单调函数． ，因为，所以，无零点， 所以是阶单调函数． （2）由函数，的定义域为， 且，． 因为是阶单调函数，所以在上无零点． 若，当充分大时，必存在，， 所以有零点，不符合条件． 若，当充分大时，必存在，， 同理，不符合条件． 所以，． 验证：的零点为，，无零点，符合题意．     表示曲线：上的点到直线：上的点的距离． 由，可得，令，得，切点为， 则曲线上与直线平行的切线方程为． 设，则， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增； 所以函数在处取得极小值也是最小值， 即，所以，因此曲线在切线上方（除切点以外）． 直线在切线下方，故最短距离即为切点到直线的距离， 所以的最小值为． （3）略 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $