第三章 导数及其应用（举一反三综合训练）（全国通用）【上好课】2027年高考数学一轮复习举一反三系列

**基本信息** 以导数概念为起点，整合几何意义、函数性质及综合应用，覆盖高频考点，通过多地区模拟题构建“概念-推理-应用”逻辑链，培养数学思维与应用意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|第1题|瞬时速度计算|导数定义→物理意义| |几何意义|第4、13题|切线方程及相切问题|导数几何意义→方程求解| |函数性质|第2、3、9题|单调性、极值判断|导数与函数性质的逻辑推理| |综合应用|第7、8、15-19题|恒成立、零点及证明题|导数工具→复杂问题转化|

第三章 导数及其应用（举一反三综合训练） （全国通用） （考试时间：120分钟；满分：150分） 注意事项： 1.本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（2026·甘肃白银·三模）如果质点按规律（距离单位：m，时间单位：s）运动，则质点在2s末的瞬时速度为（    ） A．8 m/s B．7m/s C．6 m/s D．5 m/s 【答案】B 【解题思路】利用瞬时变化率的定义即可求得该质点在2s末的瞬时速度. 【解答过程】， 则质点在2s末的瞬时速度为7m/s. 故选：B. 2．（5分）（2026·四川成都·模拟预测）已知定义域为的函数的导函数为，且函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（   ） A．有极小值，极大值 B．有极小值，极大值 C．有极小值，极大值和 D．有极小值，极大值 【答案】B 【解题思路】根据给定的函数图象，分析判断值为正或负的x取值区间作答. 【解答过程】观察图象知，当时，或且， 当时，或， 而当时，，当时，，因此当或时，， 当时，，当且仅当时取等号， 则在和上单调递减，在上单调递增， 所以有极小值，极大值，A，C，D不正确；B正确. 故选：B. 3．（5分）（2026·四川泸州·一模）若函数在单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先对函数求导，根据导数的函数性质结合零点取值得出已知条件恒成立时需满足的条件，再讨论的符号得出的取值范围． 【解答过程】函数，求导得， 当时，，在R上单调递增，不合题意； 令，解得或， 若函数在单调递减，则在恒成立， 当时，，， 当时，，， 的取值范围为. 故选：C． 4．（5分）（2026·广东江门·模拟预测）曲线在点处的切线方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】求函数的导函数，再求导函数在时的值，结合导数的几何意义求切线斜率，利用点斜式求切线方程． 【解答过程】因为，所以，故， 所以曲线在点处的切线斜率， 故曲线在点处的切线方程为，即， 故选：A. 5．（5分）（2026·湖南·模拟预测）已知，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据的形式构造新函数，根据的形式构造函数，利用导数判断所构造函数的单调性，利用单调性进行运算判断即可. 【解答过程】构造新函数， 当时，，函数单调递减， 于是由， 所以有， 所以， 构造新函数， 当时，，函数单调递增， 由， 故，所以，故， 故选：D. 6．（5分）（2026·山东泰安·模拟预测）已知函数是定义在上的可导函数，且满足，，当时，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先判断函数的周期性，从而得到导数的周期性，再根据导函数的对称性和周期性可求 . 【解答过程】由可得， 所以函数周期是，且的周期也是. 因为，故， 故的图象关于直线对称. 对求导得，. 则 故选：B. 7．（5分）（2026·海南·模拟预测）已知当时，函数恒成立，求实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由题易知时不成立，时，由指对同构转化为，令，即，运用单调性解不等式得到在上恒成立，利用参变分离，接着求函数最值即可. 【解答过程】当时，，所以不符合题意； 当由，即， 令，， 所以在上单调递增， ，即， 在上恒成立， ，令， ， 所以时，，单调递增， 时，，单调递减， 即， , 故选：B. 8．（5分）（2026·陕西西安·模拟预测）已知函数，函数有三个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由有三个零点，可转化为与图象有三个不同的交点，作出图象，可得a的范围，根据韦达定理可得，，根据对数的性质，可得，即可得的表达式，构造函数，利用导数求得单调性，可求出最值，即可得答案. 【解答过程】当时，，为开口向下，对称轴为的抛物线， 因为有三个零点，不妨令， 所以有三个不相等的根， 即与图象有三个不同的交点， 作出图象，如图所示    所以， 因为为方程，即的两个不相等实根， 所以， 因为为方程的根，所以， 所以， 令， 则， 所以在上单调递增， 所以，即， 所以. 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（25-26高三上·安徽·阶段检测）已知函数，则（    ） A．在区间上单调递减 B．在区间上单调递增 C．图象在处的切线方程为 D．的极小值为 【答案】ACD 【解题思路】通过求导分析函数单调性、极值、切线方程，从而确定正确答案. 【解答过程】， 当时，，单调递减；当时，，单调递减，A选项正确. 当时，，单调递增，B选项错误. 当时，，， 所以图象在处的切线方程为， 整理得，C选项正确. 由单调性可知，当时，取得极小值，，D选项正确. 故选：ACD. 10．（6分）（2026·湖南长沙·三模）已知函数及其导函数的定义域均为，若，函数和均为偶函数，则（    ） A． B． C．函数的图象关于点对称 D． 【答案】BD 【解题思路】根据是偶函数得出函数关于轴对称，即，两边求导得出导函数关于点中心对称；为偶函数，则，得出，由中心对称得出，进而得出，故是周期为4的周期函数；再根据上述性质求出判断选项A；由周期性判断选项B；由的性质判断选项C；求出一个周期内的和，再利用导函数的周期性计算判断选项D． 【解答过程】是偶函数，则，两边对求导得， 则导函数关于点中心对称，令，得， 为偶函数，则， 则导函数关于轴对称，故， 由中心对称性，， 联立可得， 令，则， 则，故是周期为4的周期函数； 选项A：由，令得， 已知，故，故A错误； 选项B：是周期为4的周期函数，故，故B正确； 选项C：关于轴对称，无法证明关于点中心对称，故C错误； 选项D：，，，， 一个周期内的和为：， 又，， 故，故D正确． 故选：BD. 11．（6分）（2026·贵州遵义·模拟预测）设，则下列说法正确的是（     ） A．当时，在上单调递增 B．当时，曲线在处的切线方程为 C．当时，有唯一极小值点 D．若有两个零点，则 【答案】ACD 【解题思路】求导，可得，即可判断A；利用导数的几何意义可求切线方程判断B；令，可得，构造函数，求导，可得在上有唯一解，设为，进而可得的单调性可判断C；利用极小值小于0，进而计算可求得判断D. 【解答过程】由，得， 对于A，当时，又，所以， 所以在上单调递增，故A正确； 对于B，当时，，可得， 所以，， 所以曲线在处的切线方程为，即，故B错误； 对于C，令，得， 又，所以，所以，所以， 令，求导得， 因为，所以，所以， 当时，方程在上有唯一解，设为， 当时，，即， 所以，所以在上单调递减， 当时，，即， 所以，所以在上单调递增， 所以在处取得极小值，且是唯一极小值，故C正确； 对于D，当时，在是单调递增，至多一个零点，故不符合题意； 当时，由C选项分析可得在上单调递减，在上单调递增， 当时，；当时，； 所以要使在上有两个零点，则需极小值， 即，所以，所以， 所以，所以 令，函数在上单调递增，又， 所以，所以，故D正确. 故选：ACD. 第II卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（2026·吉林长春·模拟预测）已知函数，若，则__________． 【答案】 【解题思路】根据导函数的奇偶性，代入求值即可. 【解答过程】由，得， 又， 所以为奇函数，所以. 故答案为：. 13．（5分）（2026·福建厦门·三模）已知曲线在点处的切线与曲线相切，则__________． 【答案】 【解题思路】先求出的导函数，将切点的横坐标代入求出的是切线的斜率，利用点斜式得到的切线方程，这个切线方程就是曲线的切线方程，求的导函数，则这个等于切线的斜率，从中求出曲线的切线的切点的横坐标，将其代入切线方程，从而得到曲线的切线的切点，将这个切点代入得到值. 【解答过程】由，求导可得，将切点的横坐标代入， 得到切线的斜率，则切线方程为，即， 由，求导可得， 由曲线在点处的切线与曲线相切， 则曲线的切线为， 令，解得， 将代入，可得，得到曲线上切线的切点为， 将代入，可得，解得． 故答案为:． 14．（5分）（2026·河南南阳·三模）已知函数，，若恒成立，则的最小值是__________． 【答案】 【解题思路】对不等式进行变形得 ，构造函数，原不等式等价于，利用导数研究的单调性，进而可得自变量之间的关系，再利用导数研究恒成立问题即可. 【解答过程】恒成立，即，即， 即， 令，则恒成立，所以单调递增， ， 令，则 ， 令，解得，当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减， 所以，故，即．则的最小值是． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（2026·云南玉溪·模拟预测）已知函数． (1)若为函数的极值点，求的值； (2)若在定义域上不单调，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由为函数的极值点，得，从而求出的值； （2）设在定义域上单调，求出的取值范围，由此可得结论. 【解答过程】（1）由题意得， 因为为函数的极值点，所以，解得， 经检验，当时，为函数的极值点，所以． （2）因为的定义域为，， 设在单调， ①函数在上单调递增，则在上恒成立， 即在上恒成立， 在上恒成立， 又当时，，当且仅当时等号成立， 所以， ②函数在上单调递减，则在上恒成立， 即在上恒成立，矛盾 所以若在单调，则， 故若在定义域上不单调，则的取值范围为． 16．（15分）（2026·宁夏银川·模拟预测）已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递减，在上单调递增 (2) 【解题思路】（1）对求导，讨论的值确定导数的正负，讨论函数的单调性；（2）首先将不等式恒成立问题转化为恒成立， 令求最值. 【解答过程】（1）由题可知， 当时，，函数在上单调递增； 当时，若，，若，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增. （2）当时，不等式恒成立， 即对任意恒成立， 即对任意恒成立， 设，， ， 令，，， 所以在上单调递增. 由于，， 由零点存在定理，存在，使得，即， 所以当时，，，当时，，， 即在上单调递减，在上单调递增， 所以. 因为，所以， 令，， ，即在上单调递增， 所以，即， 所以，所以， 所以，即实数的取值范围为. 17．（15分）（2026·安徽合肥·三模）已知函数，其中，函数的最小值为2，为的导函数． (1)求的值； (2)若在上单调递增，求的取值范围； (3)若在的极小值点为，证明：． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【解题思路】（1）利用基本不等式求最小值，结合的最小值，得到参数的值； （2）由在上单调递增，可知在上恒成立，再通过求导得到函数单调性，找到最小值，解不等式得到的范围. （3）由（2）知在有极小值点，则.分析函数的单调性，结合，解得的范围，又有，从而得到极小值点的范围，最后通过放缩得到 【解答过程】（1），因为，所以， 当且仅当时等号成立，又的最小值为2， 所以，解得． （2）由（1）知，则， 令，则， 因为，所以在内单调递增， （ⅰ）时，，所以在内单调递增，，所以单调递增，即满足题意； （ⅱ）时，，记的根为，则， 即，所以在递减，在递增． 最小值为， 令，即，解得 综上，． （3）由（2）知时，，又， 当时，指数函数呈爆炸性增长，从而， 所以，使． 所以在递增，在递减，在递增． 因为，令，则． 令，则，所以在递减． 则，又，所以， 所以． 所以， 所以， 故. 18．（17分）（2026·贵州安顺·模拟预测）已知函数. (1)若，求曲线在处的切线方程. (2)当时，设为函数的导函数. （i）讨论函数的单调性； （ii）令，若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)（i）当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减. （ii） 【解题思路】（1）根据导数的几何意义求解即可； （2）（i）求导，分、、三种情况讨论函数的单调性即可； （ii）转化问题为对任意恒成立，设，，先证明，当且仅当时等号成立，进而得到，进而求解即可. 【解答过程】（1）当时，，则. 即，而， 所以曲线在处的切线方程为，即. （2）（i）当时，， 令， 则. 令，得或. ①当，即时， 若，则或；若，则. 所以在和上单调递增，在上单调递减. ②当，即时，恒成立，在上单调递增. ③当，即时， 若，则或；若，则. 所以在和上单调递增，在上单调递减. 综上所述，当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减. （ii）由，得， 即对任意恒成立， 设，， 令，，设，则， 令，得，令，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 则，即，当且仅当时等号成立， 由于在上单调递增， 且时，，时，， 则存在唯一，使得， 所以，当且仅当时等号成立， 则，又，则实数的取值范围为. 19．（17分）（2026·山东济宁·三模）设函数． (1)当时，求在点处的切线方程； (2)若函数存在零点，且． （ⅰ）求实数的取值范围； （ⅱ）设为的极值点，证明：． 【答案】(1) (2)（i）；（ii）证明见解析 【解题思路】（1）当时，求出、的值，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程； （2）（i）求得，对实数的取值进行分类讨论，分析函数在定义域上的单调性，可得，即可解得实数的取值范围； （ii）要证，只需证，即证，根据可得，即证，构造函数，其中，利用导数分析函数在上的单调性，证明出即可. 【解答过程】（1）当时，，则， 所以，， 故所求切线的方程为，即. （2）（i）因为，该函数的定义域为，且， ， 当时，则对任意的，，，则， 此时函数在上单调递增，则函数在上有且只有一个零点，不符合题意； 当时，令，则， 所以函数在上单调递增， 当时，；当时，. 所以存在唯一的，使得， 当时，；当时，. 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，由题意可知，函数在上单调递增， 故当时，，此时函数不存在正零点； 当时，由题意可知函数在上单调递减，在上单调递增， 则，当时，. 故存在，使得，符合题意， 此时函数在上单调递减，只需，解得. 综上所述，实数的取值范围是. （ii）由（i）可知，且函数在上为增函数， 要证，只需证，即证， 又因为，则， 即证，即证， 构造函数，其中， 则 ， 令，其中， 则， 因为，则，， 所以，故函数在上为增函数， 当时，，所以，故函数在上为增函数， 因为，则，故. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 导数及其应用（举一反三综合训练） （全国通用） （考试时间：120分钟；满分：150分） 注意事项： 1.本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（2026·甘肃白银·三模）如果质点按规律（距离单位：m，时间单位：s）运动，则质点在2s末的瞬时速度为（    ） A．8 m/s B．7m/s C．6 m/s D．5 m/s 2．（5分）（2026·四川成都·模拟预测）已知定义域为的函数的导函数为，且函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（   ） A．有极小值，极大值 B．有极小值，极大值 C．有极小值，极大值和 D．有极小值，极大值 3．（5分）（2026·四川泸州·一模）若函数在单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（5分）（2026·广东江门·模拟预测）曲线在点处的切线方程为（　　） A． B． C． D． 5．（5分）（2026·湖南·模拟预测）已知，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 6．（5分）（2026·山东泰安·模拟预测）已知函数是定义在上的可导函数，且满足，，当时，，则（    ） A． B． C． D． 7．（5分）（2026·海南·模拟预测）已知当时，函数恒成立，求实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．（5分）（2026·陕西西安·模拟预测）已知函数，函数有三个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（25-26高三上·安徽·阶段检测）已知函数，则（    ） A．在区间上单调递减 B．在区间上单调递增 C．图象在处的切线方程为 D．的极小值为 10．（6分）（2026·湖南长沙·三模）已知函数及其导函数的定义域均为，若，函数和均为偶函数，则（    ） A． B． C．函数的图象关于点对称 D． 11．（6分）（2026·贵州遵义·模拟预测）设，则下列说法正确的是（     ） A．当时，在上单调递增 B．当时，曲线在处的切线方程为 C．当时，有唯一极小值点 D．若有两个零点，则 第II卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（2026·吉林长春·模拟预测）已知函数，若，则__________． 13．（5分）（2026·福建厦门·三模）已知曲线在点处的切线与曲线相切，则__________． 14．（5分）（2026·河南南阳·三模）已知函数，，若恒成立，则的最小值是__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（2026·云南玉溪·模拟预测）已知函数． (1)若为函数的极值点，求的值； (2)若在定义域上不单调，求的取值范围． 16．（15分）（2026·宁夏银川·模拟预测）已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围. 17．（15分）（2026·安徽合肥·三模）已知函数，其中，函数的最小值为2，为的导函数． (1)求的值； (2)若在上单调递增，求的取值范围； (3)若在的极小值点为，证明：． 18．（17分）（2026·贵州安顺·模拟预测）已知函数. (1)若，求曲线在处的切线方程. (2)当时，设为函数的导函数. （i）讨论函数的单调性； （ii）令，若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围. 19．（17分）（2026·山东济宁·三模）设函数． (1)当时，求在点处的切线方程； (2)若函数存在零点，且． （ⅰ）求实数的取值范围； （ⅱ）设为的极值点，证明：． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $