第三章 一元函数的导数及其应用（综合训练）（上海专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

**基本信息** 聚焦导数概念、性质及应用的系统性整合，通过基础计算、性质探究、实际建模及综合创新题型，构建“概念-性质-应用”逻辑链条，发展推理能力与应用意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念应用|填空1-6、选择13|导数计算、切线斜率、单调区间|从导数定义到几何意义，衔接物理运动的平均/瞬时速度| |性质探究|填空7-12、选择14-16|极值、最值、方程解、导函数图像分析|以导数符号判定单调性为核心，关联函数极值与零点个数关系| |实际应用|解答17、19|火箭运动、含参函数单调性|将物理模型、几何优化问题转化为导数应用，体现模型观念| |综合创新|解答20-21|函数零点、不等式恒成立、不动点新定义|综合导数工具与逻辑推理，解决多参数、跨知识整合问题|

第三章 一元函数的导数及其应用（综合训练） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1．已知，则_____． 【答案】 【详解】由题意得：，所以. 2．已知函数，则曲线在处的切线斜率为_________. 【答案】 【详解】因为，则，所以， 解得，所以曲线在处的切线斜率为. 3．函数的严格减区间为______． 【答案】 【详解】∵函数的定义域为, ∴，. 令，解得. ∴的严格减区间为. 4．函数，的最小值是______． 【答案】 【详解】因为，，则， 令，则，解得；令，则，解得； 可知在内单调递增，在内单调递减， 且，，即， 所以函数在上的最小值为. 5．已知函数为奇函数，当时，，若在上单调递增，则的取值范围是______. 【答案】 【详解】因为函数为奇函数，所以关于点中心对称. 又在上单调递增，则在区间上也单调递增. 当时，，对称轴为； 当时，的图象开口向下，且， 此时在区间上单调递减，不合题意，所以， 解得，所以的取值范围是. 6．若动直线与函数，的图象分别交于点，当两点距离最近时，的值为__________. 【答案】 【详解】因函数的定义域为，依题意，， 由图知，当取定时，的函数值恒大于的函数值， 因，则， 设，则， 则当时，，当时，， 故函数在上单调递减，在上单调递增， 则当时取得最小值， 即当两点距离最近时，的值为 . 7．吹一个球形的气球时，气球半径将随空气容量的增加而增大，当时，气球的瞬时膨胀率（即气球半径关于气球内空气容量的瞬时变化率）为___________． 【答案】 【详解】利用球的体积公式直接可得， 所以，即， 所以， 当时，， 即时，气球的瞬时膨胀率（即气球半径关于气球内空气容量的瞬时变化率）为. 8．若关于x的方程在区间上有解，则实数a的取值范围是________． 【答案】 【详解】由题意可得，原方程可变形为， 所以方程在上有解等价于属于函数在上的值域， 对求导得：， 令，则或， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以在处取得极小值，极小值为， 又因为，， 因此在上的最小值为，最大值为，故的取值范围是. 9．若函数在区间存在最大值，则的取值范围为__________. 【答案】 【详解】因为，所以，令，得或， 所以函数在和上单调递增，在上单调递减， 所以函数在处取到极大值4. 要使函数在区间存在最大值，则，解得， 所以满足条件的. 10．某校开展阳光体育活动，羽毛球筒的盖子如图呈圆锥漏斗形状，已知圆锥的母线长是，它的值是固定的，该圆锥的高为，当盖子体积最大时，______． 【答案】 【详解】已知圆锥的母线长是，高为， 由题意可知，所以，其中是圆锥底面圆的半径， 则圆锥体积，对求导得， 令，即，解得，即， 当时，，单调递增；当时，，单调递减； 因此在时取极大值，也是最大值， 因此当盖子体积最大时，. 11．已知函数(常数)在处有极值，且关于的方程有3个不同的实根，则实数的取值范围为_______ 【答案】 【详解】因为，则， 故，得； 当时，，， 当或时，，所以在和是单调递增， 当时，，所以在上单调递减， 所以是极值点，所以符合题意， 由在和上单调递增，在上单调递减， 又，， 当时，，当时，， 所以关于x的方程有3个不同的实根，所以， 所以实数m的取值范围为． 12．小申同学要在边长为10的正方形纸片上剪出一个等腰梯形的图案，如图所示，腰、与正方形内的抛物线分别相切于、两点，其中的顶点为的中点.若当点到的距离为4时，，则等腰梯形的面积最小值为________（结果保留2位小数）. 【答案】 【详解】 如图建系，设抛物线方程为，则抛物线的对称轴为轴. 因为腰、与正方形内的抛物线分别相切于、两点，且梯形为等腰梯形， 则关于轴对称. 若关于轴对称，则无法平行，则与题意矛盾. 当点到的距离为4时，，则， 代入抛物线，解得，则， 即，设，则， 设， ， 则直线的方程为， 令，解得，令，解得， 故， 当且仅当时，即时，等号成立， 故当时，取最小值. 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。） 13．若物体在上抛运动过程中的位移d（单位：m）与时间t（单位：s）满足函数关系，则下列说法错误的是（    ） A．在时间段内的平均速度为5m/s B．时的瞬时速度为5m/s C．经过了2s物体的位移最大 D．物体初速度为10m/s 【答案】C 【详解】对于选项A，平均速度计算公式为，当时，；当时，，因此，A说法正确，不符合题意. 对于选项B，瞬时速度为位移函数对时间的导数，可得，代入得，B说法正确，不符合题意. 对于选项C，位移函数的图象是开口向下的抛物线，其顶点横坐标为，即时位移最大，时，，位移为0，故C说法错误，符合题意. 对于选项D，初速度为时的瞬时速度，代入导数公式得，D说法正确，不符合题意. 14．函数的导函数的图象如图所示，下列说法错误的是（    ） A．在处切线的斜率大于零 B．点是函数的极值点 C．在区间上单调递增 D．点是函数的极小值点 【答案】B 【详解】由图可得当时，； 当时，，当且仅当时. 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数在处切线的斜率大于零，函数在处不能取极值， 函数在区间上单调递增,是函数的极小值点，所以B错误，ACD正确. 15．设函数的定义域为，（）是的极大值点，以下结论一定正确的是（     ）． A．对任意， B．是的极小值点 C．是的极小值点 D．是的极小值点 【答案】D 【详解】对于A，极值是一个局部性概念，因此不能确定在整个定义域上是否最大，故A错误； 对于B，函数与函数的图像关于轴对称，因此是的极大值点，故B错误； 对于C，函数与函数的图像关于轴对称，因此是的极小值点，故C错误； 对于D，函数与函数的图像关于原点对称，因此是的极小值点，故D正确． 16．函数与其导函数都是定义在上的连续函数，且只有有限个零点．记函数的极值点个数为，的极值点个数为．对于以下命题：①，必为奇数；②．判断正确的是（    ）． A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①②都是真命题 D．①②都是假命题 【答案】C 【详解】由， 得， 令，得或， 而， 所以，则的图象关于点对称， 则在附近的导数值异号，即为函数的一个极值点， 由于只有有限个零点，不妨设的零点为， 由，得， 当时，方程无解；当时，解得； 而当时，解得， 而函数在上单调递减，在上单调递增，且， 且附近的导数值必定异号，即这两个解均为极值点. 综上所述，. 由，得， 令，得或， 设，则， 令，得；令，得， 则函数在上单调递减，在上单调递增，且， 而函数在上单调递增，且时，， 由于只有有限个零点，不妨设的零点为， 由，得， 当时，方程无解，此时函数在附近的导数值异号； 当时，解得； 而当时，方程一定有2个不相等的实数解，满足， 在附近的导数值异号，即这两个解均为极值点， 而，即函数在附近的导数值异号， 为的极值点， 综上所述，，故①②都是真命题. 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．（14分）竖直向上发射的火箭熄火时上升速度达到，此后其位移（单位：）与时间（单位：）近似满足函数关系． (1)分别求火箭在、这些时间段内的平均速度； (2)求火箭在时的瞬时速度； 【详解】（1）平均速度公式为 在 时间段内： ，， 则 在 时间段内： ， 则……（8分） （2）瞬时速度为位移函数的导数：， 当 时，.……（14分） 18．（14分）已知函数的解析式为. (1)求函数的严格单调区间； (2)求函数在闭区间上的最大值与最小值. 【详解】（1）函数的定义域为R，求导得， 当或时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数的严格递增区间为，严格递减区间为.……（7分） （2）当时，由（1）得函数在上单调递减，在上单调递增， 而， 所以函数在闭区间上的最大值与最小值分别为.……（14分） 19．（14分）已知函数，其中． (1)若，求的极小值； (2)令，讨论函数的单调性． 【详解】（1）当时，，的定义域为， 则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，取得极小值．……（7分） （2）的定义域为， . 令，则， 当时，恒成立，所以即在上单调递增． 当时，由，得，由，得， 所以即在上单调递减，在上单调递增. 综上所述：当时，在单调递增； 当时，在单调递减，在上单调递增.……（14分） 20．（18分）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若函数在定义域内有两个不同零点，求实数的取值范围； (3)对任意，当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【详解】（1）由， 得，，， 所以切线方程为 ，即.……（4分） （2）有两个不同零点等价于直线 与 有两个交点， 由，得： 时 ，单调递减， 时 ，单调递增，此时 在处取最小值 ， 又 ，， 故直线与有两个交点时，故. 即函数在定义域内有两个不同零点，实数的取值范围是；……（10分） （3）由，故 ， 原不等式化为 . 由，， 知在上单调递增， 又在上单调递增， 且，得， 即. 令，则在上单调递减， 即 恒成立， 即对恒成立. 令，求导得：， 当时，，在上单调递增， 时，，在 上单调递减， ， 故 ，得. 故实数的取值范围是.……（18分） 21．（18分）对于函数，若实数满足，则称为的不动点．已知，且的不动点的集合为．以和分别表示集合中的最小元素和最大元素． (1)若，求的元素个数及； (2)当恰有一个元素时，的取值集合记为． （ⅰ）求集合； （ⅱ）若，数列满足，．求证：对任意，． 【详解】（1）当时，，其定义域为. 由得. 设，则， 当时，；当时，； 所以在单调递增，在单调递减， 注意到，所以在恰有一个零点，且， 又，所以，所以在恰有一个零点， 即在恰有一个不动点，在恰有一个不动点， 所以，所以的元素个数为， 又因为，所以.……（4分） （2）（i）当时，由（1）知，有两个元素，不符合题意； 当时，，其定义域为， 由得. 设，则， 设，则， ①当时，，所以在单调递增， 又，所以在恰有一个零点， 即在恰有一个不动点，符合题意； ②当，故恰有两个零点. 又因为，所以， 当时，；当时，； 当时，； 所以在单调递增，在单调递减，在单调递增； 注意到，所以在恰有一个零点， 且， 又时，，所以在恰有一个零点， 从而至少有两个不动点，不符合题意； 所以的取值范围为，即集合.……（11分） （ⅱ）由（i）知，，所以， 此时，，， 由（i）知，在单调递增， 所以当时，，所以，即， 故若，则，因此若存在正整数使得，则，从而， 重复这一过程有限次后可得，与矛盾，从而，， 下面我们先证明当时，， 设，， 所以，所以在单调递减， 所以，即当时，， 从而当时，， 从而，即， 故，即， 由于，，所以，，故， 故时，， 所以，.……（18分） 10 / 10学 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章 一元函数的导数及其应用（综合训练） 数学·参考答案 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8 . 9. 10 . 11. 12. 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。） 13 14 15 16 C B D C 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．（14分） 【详解】（1）平均速度公式为 在 时间段内： ，， 则 在 时间段内： ， 则……（8分） （2）瞬时速度为位移函数的导数：， 当 时，.……（14分） 18．（14分） 【详解】（1）函数的定义域为R，求导得， 当或时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数的严格递增区间为，严格递减区间为.……（7分） （2）当时，由（1）得函数在上单调递减，在上单调递增， 而， 所以函数在闭区间上的最大值与最小值分别为.……（14分） 19．（14分） 【详解】（1）当时，，的定义域为， 则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，取得极小值．……（7分） （2）的定义域为， . 令，则， 当时，恒成立，所以即在上单调递增． 当时，由，得，由，得， 所以即在上单调递减，在上单调递增. 综上所述：当时，在单调递增； 当时，在单调递减，在上单调递增.……（14分） 20．（18分） 【详解】（1）由， 得，，， 所以切线方程为 ，即.……（4分） （2）有两个不同零点等价于直线 与 有两个交点， 由，得： 时 ，单调递减， 时 ，单调递增，此时 在处取最小值 ， 又 ，， 故直线与有两个交点时，故. 即函数在定义域内有两个不同零点，实数的取值范围是；……（10分） （3）由，故 ， 原不等式化为 . 由，， 知在上单调递增， 又在上单调递增， 且，得， 即. 令，则在上单调递减， 即 恒成立， 即对恒成立. 令，求导得：， 当时，，在上单调递增， 时，，在 上单调递减， ， 故 ，得. 故实数的取值范围是.……（18分） 21．（18分） 【详解】（1）当时，，其定义域为. 由得. 设，则， 当时，；当时，； 所以在单调递增，在单调递减， 注意到，所以在恰有一个零点，且， 又，所以，所以在恰有一个零点， 即在恰有一个不动点，在恰有一个不动点， 所以，所以的元素个数为， 又因为，所以.……（4分） （2）（i）当时，由（1）知，有两个元素，不符合题意； 当时，，其定义域为， 由得. 设，则， 设，则， ①当时，，所以在单调递增， 又，所以在恰有一个零点， 即在恰有一个不动点，符合题意； ②当，故恰有两个零点. 又因为，所以， 当时，；当时，； 当时，； 所以在单调递增，在单调递减，在单调递增； 注意到，所以在恰有一个零点， 且， 又时，，所以在恰有一个零点， 从而至少有两个不动点，不符合题意； 所以的取值范围为，即集合.……（11分） （ⅱ）由（i）知，，所以， 此时，，， 由（i）知，在单调递增， 所以当时，，所以，即， 故若，则，因此若存在正整数使得，则，从而， 重复这一过程有限次后可得，与矛盾，从而，， 下面我们先证明当时，， 设，， 所以，所以在单调递减， 所以，即当时，， 从而当时，， 从而，即， 故，即， 由于，，所以，，故， 故时，， 所以，.……（18分） 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 一元函数的导数及其应用（综合训练） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1．已知，则_____． 2．已知函数，则曲线在处的切线斜率为_________. 3．函数的严格减区间为______． 4．函数，的最小值是______． 5．已知函数为奇函数，当时，，若在上单调递增，则的取值范围是______. 6．若动直线与函数，的图象分别交于点，当两点距离最近时，的值为__________. 7．吹一个球形的气球时，气球半径将随空气容量的增加而增大，当时，气球的瞬时膨胀率（即气球半径关于气球内空气容量的瞬时变化率）为___________． 8．若关于x的方程在区间上有解，则实数a的取值范围是________． 9．若函数在区间存在最大值，则的取值范围为__________. 10．某校开展阳光体育活动，羽毛球筒的盖子如图呈圆锥漏斗形状，已知圆锥的母线长是，它的值是固定的，该圆锥的高为，当盖子体积最大时，______． 11．已知函数(常数)在处有极值，且关于的方程有3个不同的实根，则实数的取值范围为_______ 12．小申同学要在边长为10的正方形纸片上剪出一个等腰梯形的图案，如图所示，腰、与正方形内的抛物线分别相切于、两点，其中的顶点为的中点.若当点到的距离为4时，，则等腰梯形的面积最小值为________（结果保留2位小数）. 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。） 13．若物体在上抛运动过程中的位移d（单位：m）与时间t（单位：s）满足函数关系，则下列说法错误的是（    ） A．在时间段内的平均速度为5m/s B．时的瞬时速度为5m/s C．经过了2s物体的位移最大 D．物体初速度为10m/s 14．函数的导函数的图象如图所示，下列说法错误的是（    ） A．在处切线的斜率大于零 B．点是函数的极值点 C．在区间上单调递增 D．点是函数的极小值点 15．设函数的定义域为，（）是的极大值点，以下结论一定正确的是（     ）． A．对任意， B．是的极小值点 C．是的极小值点 D．是的极小值点 16．函数与其导函数都是定义在上的连续函数，且只有有限个零点．记函数的极值点个数为，的极值点个数为．对于以下命题：①，必为奇数；②．判断正确的是（    ）． A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①②都是真命题 D．①②都是假命题 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．（14分）竖直向上发射的火箭熄火时上升速度达到，此后其位移（单位：）与时间（单位：）近似满足函数关系． (1)分别求火箭在、这些时间段内的平均速度； (2)求火箭在时的瞬时速度； 18．（14分）已知函数的解析式为. (1)求函数的严格单调区间； (2)求函数在闭区间上的最大值与最小值. 19．（14分）已知函数，其中． (1)若，求的极小值； (2)令，讨论函数的单调性． 20．（18分）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若函数在定义域内有两个不同零点，求实数的取值范围； (3)对任意，当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 21．（18分）对于函数，若实数满足，则称为的不动点．已知，且的不动点的集合为．以和分别表示集合中的最小元素和最大元素． (1)若，求的元素个数及； (2)当恰有一个元素时，的取值集合记为． （ⅰ）求集合； （ⅱ）若，数列满足，．求证：对任意，． 10 / 10学 学科网（北京）股份有限公司 $