期中真题重组卷02（上海专用，沪教版必修一第1～3章）高一数学上学期模拟卷

2026-2027学年高一上学期期中模拟卷 数学·全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版必修第一册第1章~第3章（集合与逻辑、等式与不等式、幂函数与对数）。 第一部分（填空题 共54分） 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1．（上海市上海大学附属中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试卷）已知全集，集合，则______. 【答案】 【详解】因为全集，集合， 所以. 故答案为：. 2．（浙江省嘉兴八校联盟2026-2027学年高一上学期10月期中联考数学试卷）计算：_________. 【答案】10 【详解】 3．（上海市上海中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试题）设为实数，则“”是“”的________条件． 【答案】必要不充分 【详解】因为，得，显然， 所以“”是“”的必要不充分条件. 4．（上海市上海大学附属中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试卷）若（a>0），则m=___________. 【答案】 【详解】，． 故答案为：． 5．（浙江省嘉兴八校联盟2026-2027学年高一上学期10月期中联考数学试卷）函数，则_________. 【答案】 【详解】已知， 由，得：， 由，得：， 由，得：. 6．（云南省石屏县第一中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试卷）已知，则的最小值为__________. 【答案】 【详解】因为，所以， 所以 ， 当且仅当， 即时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为： 7．（江西省南昌中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试题）已知正实数，，满足，则的最小值为_____. 【答案】/ 【详解】由已知可得，，，， 因为， 当且仅当，即时等号成立， ∴， 当且仅当，即时，两个等号同时成立， ∴. 故答案为： 8．（广西玉林市八校2025-2026学年高一上学期11月联合调研测试数学试卷）已知函数(且)的图象恒过定点，幂函数的图象过点，则_________ 【答案】 【详解】， 设，则，故， . 故答案为： 9．（江苏省启东中学创新班2025-2026学年高一上学期期中考试数学试卷）已知函数，若关于x的不等式的解集为空集，则实数a的取值范围是_____． 【答案】 【详解】因为， 又因为不等式的解集为空集， 所以， 解得 所以实数a的取值范围是 故答案为： 10．（上海市上海大学附属中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试卷）中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为，，，三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，则此三角形面积的最大值为__________． 【答案】 【详解】由，，可得， 则， 当且仅当时，取得等号， 所以此三角形面积的最大值为． 故答案为：． 11．（上海市上海中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试题）关于实数x的不等式的解集是________． 【答案】 【详解】， 即等价于且， 根据“穿针引线法”，可得解集为. 12．（上海市上海中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试题）若“”的必要非充分条件是“或”，则实数m的取值范围是________． 【答案】 【详解】记的解集为集合，， 则为的解集，； 是的必要非充分条件，，得，即对任意，都有恒成立. ，， ，化简得； 令，，，且； ， 当时，取得最大值，即， ，，且， 当时，取得最小值，即； 对任意，恒成立， ，即; 实数的取值范围是. 第二部分（选择题 共18分） 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。） 13．（浙江省嘉兴八校联盟2026-2027学年高一上学期10月期中联考数学试卷）设集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据交集的含义知. 14．（浙江省嘉兴八校联盟2026-2027学年高一上学期10月期中联考数学试卷）已知，，，则实数，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于指数函数，由于底数，则其在定义域内单调递增． 由于，则． 对于对数函数，由于底数，则其在定义域内单调递减． 由于，则． 已知，，，故． 15．（广东湛江市廉江市实验学校2025-2026学年度第一学期期中考试高一数学试卷（B卷））当时，函数和的图象只可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于A，由一次函数的图象知，，此时函数为减函数，A正确； 对于B，由一次函数的图象知，，此时函数为增函数，B错误； 对于C，由一次函数的图象知，，此时函数为减函数，C错误； 对于D，由一次函数的图象知，，此时函数为增函数，D错误. 故选：A 16．（上海市上海中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试题）已知关于的方程有两个不相等的实数根，，则的最大值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【详解】由题设，得， 且，， ， 又因为，所以，则， 所以， 当且仅当时，即时取等号，所以， 即的最大值为. 故选：C. 第三部分（简答题 共78分） 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．（浙江省嘉兴八校联盟2026-2027学年高一上学期10月期中联考数学试卷）已知集合，集合. (1)当时，求； (2)若，求实数y的取值范围. 【详解】（1）当时，，则，（6分） （2）当时，满足，此时：，解得，（9分） 当时，由知或解得或，（12分） 综上所述，实数y的取值范围为（14分） 18．（浙江省嘉兴八校联盟2026-2027学年高一上学期10月期中联考数学试卷）某医药研究所测试某种新药的血液浓度，测得血液中药物浓度（单位：）与服药后时间（单位：小时）之间的关系满足如图所示的曲线.当时，曲线是二次函数图象的一部分；当时，曲线是函数，（且）图象的一部分.临床表明，当药物浓度不低于时治疗有效. (1)求的函数关系式； (2)求该药物的有效治疗时长（结果保留位小数）. 【详解】（1）由题意知，当时，曲线是二次函数图象的一部分， 抛物线顶点坐标为，且曲线过点， 设二次函数为，则，解得，（3分） 则可得，； 又当时，曲线是函数，（且）图象的一部分， 且曲线过点，则，即，又，所以， 则可得，；（6分） 综上可得. （2）由题意知，当药物浓度大于等于4时治疗有效， 当时，令， 解得：，（10分） 当时，令， 解得：，（13分） 综上可得，， ∵，（14分） ∴该药物的有效治疗时长约为小时. 19．（云南省石屏县第一中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试卷）为了充分挖掘乡村发展优势，某新农村打造“有机水果基地”．经调查发现，某水果树的单株产量（单位：千克）与施用发酵有机肥（单位：千克）满足如下关系：，单株发酵有机肥及其它成本总投入为元．已知该水果的市场售价为25元/千克，且销路畅通供不应求，记该水果树的单株利润为（单位：元）． (1)求函数的解析式； (2)当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？ 【详解】（1）由题意，，（4分） 故；（6分） （2）当时，， 其对称轴为，故当时，函数取得最大值；（9分） 当时，， 当且仅当，即时取等号，所以的最大值为390．（13分） 因为， 所以当施用肥料为5千克时，该水果树的单株利润最大，最大利润为390元．（14分） 20．（上海市中原中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试卷）若实数、、满足，则称比远离． (1)若比远离，求的取值范围； (2)对任意正数，，证明：； (3)对任意两个不相等的正数，，证明：比远离． 【详解】（1）由比远离， 则，（2分） 解得或， 所以的取值范围是；（4分） (2)证明：由，， 则，，，当且仅当时，上述不等式等号成立，（8分） 所以，当且仅当时等号成立；（10分） (3)证明：若证比远离， 即证，（12分） 则，且， 所以即证，（14分） 即证， 又， 所以，（16分） 即， 即比远离.（18分） 21．（上海市上海中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试题）给定正整数，设集合．对于，称为的第i个坐标分量．若且同时满足以下条件，则称S是的好子集：①集合S中的元素个数不少于4；②对于S中任意的三个元素，，，存在使得，，的第m个坐标分量都是1． (1)若是的好子集，直接写出，； (2)求的好子集S的元素个数的最大值； (3)当取到（2）中的最大值时，求出好子集S的具体形式． 【详解】（1）因为是好子集，故中第m个坐标分量都是1， 故的第一个坐标分量是1，同理的第一个坐标分量是1，（2分） 而、与相异， 故为或.（4分） （2）中有个元素．（6分） 若元素与同时属于集合S， 则任选集合S中的另一个元素，那么，，中的第1，2，…，n个分量均不会同时为1， 从而S不是的好子集．（8分） 因此当S是的好子集时，其元素个数．           取，则S是的好子集，且．    （10分）    综上，的好子集S的元素个数的最大值为． （3）当时，S中的元素必有某一个坐标分量的值均为1， 即，．（12分） 证明：由（2）知，，中的元素与恰有一个属于集合S， 则对于的好子集S中任意两个元素，， 都有元素 ．（14分） 若不然，假设存在S中的两个元素x，y，使得，则 ． 但元素x，y，的第k个坐标分量，，不可能同时为1， 这与S是的好子集矛盾！因此．（16分） 设S中所有元素的乘积为，则由命题知． 由于元素，故 所以z必定存在某个分量，此时S中所有元素的第i个分量均为1．（18分） 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一上学期期中模拟卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版必修第一册第1章~第3章（集合与逻辑、等式与不等式、幂函数与对数）。 第一部分（填空题 共54分） 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1．（上海市上海大学附属中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试卷）已知全集，集合，则______. 2．（浙江省嘉兴八校联盟2026-2027学年高一上学期10月期中联考数学试卷）计算：_________. 3．（上海市上海中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试题）设为实数，则“”是“”的________条件． 4．（上海市上海大学附属中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试卷）若（a>0），则m=___________. 5．（浙江省嘉兴八校联盟2026-2027学年高一上学期10月期中联考数学试卷）函数，则_________. 6．（云南省石屏县第一中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试卷）已知，则的最小值为__________. 7．（江西省南昌中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试题）已知正实数，，满足，则的最小值为_____. 8．（广西玉林市八校2025-2026学年高一上学期11月联合调研测试数学试卷）已知函数(且)的图象恒过定点，幂函数的图象过点，则_________ 9．（江苏省启东中学创新班2025-2026学年高一上学期期中考试数学试卷）已知函数，若关于x的不等式的解集为空集，则实数a的取值范围是_____． 10．（上海市上海大学附属中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试卷）中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为，，，三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，则此三角形面积的最大值为__________． 11．（上海市上海中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试题）关于实数x的不等式的解集是________． 12．（上海市上海中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试题）若“”的必要非充分条件是“或”，则实数m的取值范围是________． 第二部分（选择题 共18分） 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。） 13．（浙江省嘉兴八校联盟2026-2027学年高一上学期10月期中联考数学试卷）设集合，，则（   ） A． B． C． D． 14．（浙江省嘉兴八校联盟2026-2027学年高一上学期10月期中联考数学试卷）已知，，，则实数，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 15．（广东湛江市廉江市实验学校2025-2026学年度第一学期期中考试高一数学试卷（B卷））当时，函数和的图象只可能是（    ） A． B． C． D． 16．（上海市上海中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试题）已知关于的方程有两个不相等的实数根，，则的最大值为（    ） A． B．2 C． D． 第三部分（简答题 共78分） 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．（浙江省嘉兴八校联盟2026-2027学年高一上学期10月期中联考数学试卷）已知集合，集合. (1)当时，求； (2)若，求实数y的取值范围. 18．（浙江省嘉兴八校联盟2026-2027学年高一上学期10月期中联考数学试卷）某医药研究所测试某种新药的血液浓度，测得血液中药物浓度（单位：）与服药后时间（单位：小时）之间的关系满足如图所示的曲线.当时，曲线是二次函数图象的一部分；当时，曲线是函数，（且）图象的一部分.临床表明，当药物浓度不低于时治疗有效. (1)求的函数关系式； (2)求该药物的有效治疗时长（结果保留位小数）. 19．（云南省石屏县第一中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试卷）为了充分挖掘乡村发展优势，某新农村打造“有机水果基地”．经调查发现，某水果树的单株产量（单位：千克）与施用发酵有机肥（单位：千克）满足如下关系：，单株发酵有机肥及其它成本总投入为元．已知该水果的市场售价为25元/千克，且销路畅通供不应求，记该水果树的单株利润为（单位：元）． (1)求函数的解析式； (2)当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？ 20．（上海市中原中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试卷）若实数、、满足，则称比远离． (1)若比远离，求的取值范围； (2)对任意正数，，证明：； (3)对任意两个不相等的正数，，证明：比远离． 21．（上海市上海中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试题）给定正整数，设集合．对于，称为的第i个坐标分量．若且同时满足以下条件，则称S是的好子集：①集合S中的元素个数不少于4；②对于S中任意的三个元素，，，存在使得，，的第m个坐标分量都是1． (1)若是的好子集，直接写出，； (2)求的好子集S的元素个数的最大值； (3)当取到（2）中的最大值时，求出好子集S的具体形式． 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一上学期期中模拟卷 数学·参考答案 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1． 2．10 3．必要不充分 4． 5． 6． 7．/ 8． 9． 10． 11． 12． 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。） 13 14 15 16 A B A C 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．【详解】（1）当时，，则，（6分） （2）当时，满足，此时：，解得，（9分） 当时，由知或解得或，（12分） 综上所述，实数y的取值范围为（14分） 18．【详解】（1）由题意知，当时，曲线是二次函数图象的一部分， 抛物线顶点坐标为，且曲线过点， 设二次函数为，则，解得，（3分） 则可得，； 又当时，曲线是函数，（且）图象的一部分， 且曲线过点，则，即，又，所以， 则可得，；（6分） 综上可得. （2）由题意知，当药物浓度大于等于4时治疗有效， 当时，令， 解得：，（10分） 当时，令， 解得：，（13分） 综上可得，， ∵，（14分） ∴该药物的有效治疗时长约为小时. 19．【详解】（1）由题意，，（4分） 故；（6分） （2）当时，， 其对称轴为，故当时，函数取得最大值；（9分） 当时，， 当且仅当，即时取等号，所以的最大值为390．（13分） 因为， 所以当施用肥料为5千克时，该水果树的单株利润最大，最大利润为390元．（14分） 20．【详解】（1）由比远离， 则，（2分） 解得或， 所以的取值范围是；（4分） (2)证明：由，， 则，，，当且仅当时，上述不等式等号成立，（8分） 所以，当且仅当时等号成立；（10分） (3)证明：若证比远离， 即证，（12分） 则，且， 所以即证，（14分） 即证， 又， 所以，（16分） 即， 即比远离.（18分） 21．【详解】（1）因为是好子集，故中第m个坐标分量都是1， 故的第一个坐标分量是1，同理的第一个坐标分量是1，（2分） 而、与相异， 故为或.（4分） （2）中有个元素．（6分） 若元素与同时属于集合S， 则任选集合S中的另一个元素，那么，，中的第1，2，…，n个分量均不会同时为1， 从而S不是的好子集．（8分） 因此当S是的好子集时，其元素个数．           取，则S是的好子集，且．    （10分）    综上，的好子集S的元素个数的最大值为． （3）当时，S中的元素必有某一个坐标分量的值均为1， 即，．（12分） 证明：由（2）知，，中的元素与恰有一个属于集合S， 则对于的好子集S中任意两个元素，， 都有元素 ．（14分） 若不然，假设存在S中的两个元素x，y，使得，则 ． 但元素x，y，的第k个坐标分量，，不可能同时为1， 这与S是的好子集矛盾！因此．（16分） 设S中所有元素的乘积为，则由命题知． 由于元素，故 所以z必定存在某个分量，此时S中所有元素的第i个分量均为1．（18分） 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $