高一数学上学期期中模拟卷（沪教版必修第一册第1章～第3章：集合与逻辑+等式与不等式+幂、指数与对数，高效培优·强化卷）

学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年高一数学上学期期中模拟卷 数学·参考答案 一、填空题（本大题共12题，第16题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 4（小2烟 5 1.{《0,),(2,0} 2.3 3.4 5.{xx>3 6.18 7.（-0,-3U(2,+0) 8.4 9.a≥5且b≥5 10.（-2,2] 11.15V2 12.0 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分每题有且仅有一个正 确选项。) 13 14 15 16 D A A C 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分） 17.(14分) 1og,15=lg15-lg5+lg3_1-lg2+lg3_1-a+b 【详解】(1) 1g2 1g2 1g2 a;…(7分) (2)因为3”=6=2，则x=l0g,2,y=1og62,则x 1-log,3↓-lbg,6 2-1-2log,3-log,6-log,9-log,6-log,-log,3-1 3 所以，xy …(14分) 18.(14分) x-3 【详解】(1)因为x+2<0,得(x-3x+2)<0,解得-2<x<3, 所以4={-2<x<3到 .…(6分) (2)因为x-4<2 所以a-2<x<a+2 1/4 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B={xa-2<x<a+2} 所 又因为B≤A,且a+2>a-2,即B≠0， [a-22-2 所以a+2≤3，所以0≤a≤1， 所以实数a的取值范围是 a0≤a≤1 …(14分) 19.(14分) b+m、b 【详解】()a+m之a:证明： 利用作差法证明 b+m b ab+am-ab-bm m(a-b) a+m a a(a+m) a(a+m) a>b>0,m>0 m(a-b)）>0 a(a+m) b+m、b 所以a+m之a,不等式成立…(7分) (2)证明：因为a,b,c为三角形的三边长，所以a<b+cb<a+cc<a+b a a+a 2a 由(1)知b+c(b+c)+ab+c+a, b b+b 2b a+c(a+c)+bb+c+a」 C+c 2c a+b (a+b)+c b+c+a. 将上述三个不等式相加可得： a +b+c<2a+2b+2c=2. b+c a+c a+b a+b+c a+b +C<2…(14分) 所以b+ca+ca+b 2/4 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 20.(18分) x+y=1→上+L=1 【详解】(1)正实数y满足x+y=炒，xy y x, -ex*小1-e+3+3*2兰-*2 2x-y1+1=1 当且仅当yx且yx时取等号，解得x2+2 222,y-2x=2x2+5-1+5 2 .2x+y +2√2 的最小值为 …(6分) 2学+专-1，日1-+6侣)yg a 62è2， b2x2 a'y2 22四当取汽时男 2++bx+@ a2+ ≥+y+22+y2+2y=(x+y. a2+b2≥(x+y :M=Vm-1+√3-m …(12分) m-120 (3):M=m+3-m,3-m≥0，解得1≤m≤3， .M2=(Vm-+3-m=2+2(3-m)(m-可」 限品查不号大为ma-)--一吖- 当且仅当3-m=m-1时等号成立，解得m=2, .M2=2+2V3-m)(m-1)≤2+21=4 :M>0,.M≤2， 3/4 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.M最大值为2，此时m的值为2…(18分) 21.(18分) 【详解】不是闭集合；B为闭集合，理由如下： ∈A2∈44+2=6EA A 因为 ,所以不是闭集合： 任取x,yeB,设x=3m,y=3n,m,neZ, 则+y=3m+3n=3m+川且m+ne乙， 所以x+y∈B,同理，x-y∈B,故B为闭集合…(6分) (2)不一定，理由如下： C={xx=2k,k∈ZD={xx=3k,k∈Z 不妨令 则由(1)可知，C,D为闭集合，易知2,3ECUD,2+3=5CUD, 因此，CUD不一定是闭集合…(12分) 3)证明：不妨假设CUD=R,则由CcR,得存在aeR且aC,故aeD. 同理，存在b∈R且b生D,故b∈C. 因为a+b∈R=CUD,所以a+b∈C或a+b∈D 若a+heC,则击C为闭失合且beC,得a=a+)-beC,与aC矛后. 若a+beD,则由D为闭集合且a∈D, b=(a+b)-a∈D,与beD矛盾. 综上 (CUD)=R不成立，故 (CUD)ER .…（18分) 4/4 2026-2027学年高一数学上学期期中模拟卷 考试版 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版必修第一册第1章~第3章集合与逻辑+等式与不等式+幂、指数与对数。 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1．集合用列举法表示为________． 2．设集合，，若，则________. 3．若为方程的两个根，则___________． 4．方程的解集为___________． 5．已知全集，集合，则______. 6．若（a>0），则m=___________. 7．不等式的解集为________ 8．已知，，且，则的最小值为________． 9．用反证法证明命题“若，则或”时，第一步应该假设的内容为__________. 10．若不等式对一切恒成立，则a的取值范围是______． 11．如图所示，为了美化校园环境，学校计划修建一个总面积为900m2的矩形花圃（记为矩形），中间，，三个区域将种植三种不同的花卉，其中，区域为两个全等的直角梯形，区域为与，等高的等腰三角形，图中阴影部分将铺设小路，其中矩形四周的小路宽度为1m，与三角形的腰平行的两条小路在水平方向的宽度也为1m，则当___________m时，花卉的总种植面积最大.    12．定义，已知，则集合中所有元素乘积为__________． 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。） 13．下列运算中正确的是（    ） A． B． C． D． 14．“”是“关于x的实系数方程没有实数根”的（    ）条件 A．必要不充分 B．充分不必要 C．充要 D．既不充分也不必要 15．若存在，使得不等式成立，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 16．若实数满足，，则下列结论中错误的是（   ） A． B． C．的最小值为 D．的最小值为 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．（14分）（1）已知，，试用、表示， （2）已知，求的值. 18．（14分）设全集为R，集合，集合． (1)求集合A； (2)若，求实数a的取值范围． 19．（14分）假设克糖水中含有克糖，若再添加克糖（其中，），生活常识告诉我们：添加的糖完全溶解后，糖水会更甜． (1)根据这个生活常识，提炼出一个不等式，并证明； (2)利用（1）提炼的不等式证明：若为三角形的三边长，则． 20．（18分）已知正实数满足，求的最小值．其中一种解法是：，当且仅当且时即时取等号．学习上述解法并解决下列问题： (1)若正实数满足，求的最小值： (2)若实数满足，求证：； (3)求代数式的最大值，并求出使得最大的的值． 21．（18分）给定数集，若对于任意、，有，，则称集合为闭集合. (1)判断集合，集合是否为闭集合； (2)若集合、为闭集合，则是否一定为闭集合？请说明理由； (3)已知集合、为闭集合，且，，证明：. 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一数学上学期期中模拟卷 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版必修第一册第1章~第3章集合与逻辑+等式与不等式+幂、指数与对数。 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1．集合用列举法表示为________． 【答案】 【详解】可化为，由，有，解得. 又由，得可能取值为，，． ，得，满足条件；，，不满足条件； ，得，满足条件．综上，集合用列举法表示为． 2．设集合，，若，则________. 【答案】3 【详解】由，则，故，解得， 则，故，即有. 3．若为方程的两个根，则___________． 【答案】4 【详解】因为为方程的两个根， 则， 则. 故答案为：4. 4．方程的解集为___________． 【答案】 【详解】方程成立的条件是， 所以或， 所以解集为. 故答案为：. 5．已知全集，集合，则______. 【答案】 【详解】因为全集，集合， 所以. 故答案为：. 6．若（a>0），则m=___________. 【答案】 【详解】，． 故答案为：． 7．不等式的解集为________ 【答案】 【详解】原不等式等价于，即， 即 因此，原不等式的解集为． 故答案为： 8．已知，，且，则的最小值为________． 【答案】4 【详解】，，， 当且仅当，即时，等号成立. 故答案为：4 9．用反证法证明命题“若，则或”时，第一步应该假设的内容为__________. 【答案】且 【详解】由反证法解题思路，应假设且， 故答案为：且 10．若不等式对一切恒成立，则a的取值范围是______． 【答案】 【详解】①当，即时， 不等式为恒成立，所以满足题意； ②当时，需满足， 解得. 综上，的取值范围是. 故答案为：. 11．如图所示，为了美化校园环境，学校计划修建一个总面积为900m2的矩形花圃（记为矩形），中间，，三个区域将种植三种不同的花卉，其中，区域为两个全等的直角梯形，区域为与，等高的等腰三角形，图中阴影部分将铺设小路，其中矩形四周的小路宽度为1m，与三角形的腰平行的两条小路在水平方向的宽度也为1m，则当___________m时，花卉的总种植面积最大.    【答案】 【详解】设，则， 由于，为直角梯形，而为等腰三角形， 花卉的总种植面积， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当时，花卉的总种植面积最大. 故答案为：. 12．定义，已知，则集合中所有元素乘积为__________． 【答案】 【详解】因为，所以， 又，所以， 所以集合中所有元素乘积为， 故答案为： 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。） 13．下列运算中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，故A错.，故B错.当时，无意义，故C错.，故选D. 14．“”是“关于x的实系数方程没有实数根”的（    ）条件 A．必要不充分 B．充分不必要 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】A 【详解】因为关于x的实系数方程没有实数根时， 所以，得， 所以当时，方程不一定没有实根，而当没有实根时，成立， 所以“”是“关于x的实系数方程没有实数根”的必要不充分条件， 故选：A 15．若存在，使得不等式成立，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】不等式， 因为，取等号条件是与异号或有一个为0， 所以要使得不等式成立， 则， 解得， 故选：A. 16．若实数满足，，则下列结论中错误的是（   ） A． B． C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】C 【详解】因为，所以同号， 又，所以同正. 对于A，由得，故A正确． 对于B，由不等式可得， 所以，当且仅当时等号成立，故B正确． 对于C， ， 当且仅当，即时等号成立， （或由二维柯西不等式可得，当且仅当时等号成立），故C错误． 对于D， ， 因为，当且仅当，即时等号成立， 所以，故D正确. 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．（14分）（1）已知，，试用、表示， （2）已知，求的值. 【详解】（1）；……（7分） （2）因为，则，，则，， 所以，.……（14分） 18．（14分）设全集为R，集合，集合． (1)求集合A； (2)若，求实数a的取值范围． 【详解】（1）因为，得，解得， 所以 ．……（6分） （2）因为，所以， 所以， 又因为，且，即， 所以，所以， 所以实数的取值范围是.……（14分） 19．（14分）假设克糖水中含有克糖，若再添加克糖（其中，），生活常识告诉我们：添加的糖完全溶解后，糖水会更甜． (1)根据这个生活常识，提炼出一个不等式，并证明； (2)利用（1）提炼的不等式证明：若为三角形的三边长，则． 【详解】(1)；证明： 利用作差法证明 ， 所以，不等式成立.……（7分） (2)证明：因为为三角形的三边长，所以 由（1）知， ， ， 将上述三个不等式相加可得： ， 所以……（14分） 20．（18分）已知正实数满足，求的最小值．其中一种解法是：，当且仅当且时即时取等号．学习上述解法并解决下列问题： (1)若正实数满足，求的最小值： (2)若实数满足，求证：； (3)求代数式的最大值，并求出使得最大的的值． 【详解】（1）正实数满足，，， 当且仅当且时取等号，解得， 的最小值为.……（6分） （2）证明：，， ，当且仅当时等号成立， ， . ……（12分） （3），，解得， ， 根据均值不等式可得， 当且仅当时等号成立，解得， ， ，， 最大值为，此时的值为.……（18分） 21．（18分）给定数集，若对于任意、，有，，则称集合为闭集合. (1)判断集合，集合是否为闭集合； (2)若集合、为闭集合，则是否一定为闭集合？请说明理由； (3)已知集合、为闭集合，且，，证明：. 【详解】(1)不是闭集合；为闭集合，理由如下： 因为，，，所以不是闭集合； 任取，，设，，，， 则且， 所以，同理，，故为闭集合.……（6分） (2)不一定，理由如下： 不妨令，， 则由（1）可知，，为闭集合，易知2，，， 因此，不一定是闭集合.……（12分） (3)证明：不妨假设，则由，得存在且，故. 同理，存在且，故. 因为，所以或. 若，则由为闭集合且，得，与矛盾. 若，则由为闭集合且，得，与矛盾. 综上，不成立，故.……（18分） 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $