专题01 集合与逻辑及其综合应用（高效培优期中专项训练）高一数学沪教版必修第一册

专题01 集合与逻辑及其综合应用 考点01 子集及子集个数 考点02 集合的包含关系及参数求解 考点03 集合的基本运算及参数求解 考点04 集合的包含关系与基本运算综合 考点05 韦恩图与容斥原理 考点06 命题真假判断及其综合运算 考点07 充分条件与必要条件及其综合运算 考点08 反证法证明 考点09 新定义集合 考点10 元素个数最值／存在性 考点01 子集及子集个数 1．（24-25高一上·上海浦东新·期中）若规定由整数组成的集合，，的子集为的第个子集，其中，则的第2024个子集是______． 【答案】 【详解】因为， 所以的第2024个子集是. 故答案为： 2．（24-25高一上·上海·期中）已知集合有且仅有两个子集，则实数a的值为______． 【答案】或 【详解】由题意可知集合中只有一个元素，故方程有且只有一个实数根， 当时，方程可化为得，符合题意， 当，方程只有一个实数根时，， 得， 故或. 故答案为：或 3．（25-26高一上·上海·期中）若集合有2个子集，则实数的值为_______． 【答案】或 【详解】因为集合有个子集，所以方程有且只有一个根. 当时，方程可化为，解得，满足条件； 当时，若方程有且只有一个根，则，解得； 综上，实数的值为或. 故答案为：或. 4．（25-26高一上·上海·期中）已知集合，集合是集合的三元子集，即，中的元素满足，则符合要求的集合有______个． 【答案】1012 【详解】由，得，即， 整理得，而，则，， 因此，由，得， 又，，所以符合要求的集合的个数为. 故答案为：1012 5．（24-25高一上·上海·期中）已知集合恰有两个子集，则实数取值集合为__________. 【答案】 【详解】由题意可知：方程有且仅有一解， 等价于有一个不等于3的实数解， 1.当时，解为，满足题意； 2.当时，只有一解时， 则，解得， 若，则，解得，符合题意； 3.当时，且有两解但3是方程的解， 故，解得； 综上所述，实数取值集合为. 故答案为：. 6．（25-26高一上·上海松江·期中）已知由自然数组成的元集合，非空集合，且对任意，都有，当时，则所有满足条件的集合的元素的和为__________. 【答案】288 【详解】当时，， 由是的非空子集，且时，，得中有偶数个元素， 当中有两个元素时，集合可以为，，，，元素总和为：； 当中有四个元素时，集合可以为集合，，，中任取两个的并集， 集合共有6种情况，元素总和为：； 当中有六个元素时，集合可以为集合，，，中任取三个的并集，集合共有4种情况，元素总和为：； 当中有八个元素时，，元素之和为：，所以所有满足条件的集合的元素和为：. 故答案为：288. 7．（25-26高一上·上海·期中）集合有8个元素，设M的所有非空子集为（，2，…，255），每一个中所有元素乘积为，则__________. 【答案】 【详解】的所有非空子集为分为以下几种情况， ①含0的子集个，这些子集均满足乘积为0， ②不含0，不含，但含有其他元素的子集，有（去掉空集）个， ③不含0，含有且含有其他元素的子集，有个， ④只含的子集一个，此时乘积为， 其中②③中的集合是一一对应的，且为相反数，其乘积之和为0， 综上，. 故答案为： 考点02 集合的包含关系及参数求解 8．（24-25高一上·上海·期中）设集合，，若，则对应的实数对有（   ） A．无数对 B．2对 C．3对 D．4对 【答案】D 【详解】由得，所以， 因为，所以，或，或， 当时，即，，此时，成立，即； 当时，即，，此时，成立，即； 当时，则或-3， 当时，即，，此时，成立，即； 当时，即，，此时，成立，即； 综上，共有4对， 故选：D. 9．（25-26高一上·上海奉贤·期中）对于集合，给出如下三个结论：①如果，那么；②如果，那么；③如果，，那么.其中正确结论的个数是（             ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【详解】对于①：因为，所以，故，故①正确； 对于②：因为，所以为偶数，且不能被4整除， 若，则存在，得， 因为和同奇或同偶， 若和同奇，则为奇数，矛盾，不符合， 若和同偶，则能被4整除，矛盾，不符合， 所以，故②正确； 对于③：因为，， 所以存在使得， 所以， 因为，所以，故③正确. 故选：D. 10．（24-25高一上·上海·期中）若集合，，且，则实数组成的集合是______. 【答案】 【详解】由题意，， 又， 若，则，满足题意； 若，则，所以或. 故答案为：. 11．（24-25高一上·上海·期中）已知全集，，，且，求m的取值范围． 【答案】 【详解】，，， ①时，，解得， ②时，或， 解得： 综上，或. 所以m的取值范围是. 12．（25-26高一上·上海松江·期中）已知集合，，，若，，或，则称集合具有“包容”性. (1)判断集合和集合是否具有“包容”性，并说明理由； (2)若集合具有“包容”性，求的值. 【详解】(1)对于集合，集合中的， 所以，集合不具有“包容”性； 对于集合， 该集合中的任何两个相同或不同的元素，相加或相减，得到的两数中至少有一个属于集合， 所以，集合具有“包容”性. （2）若集合具有“包容”性，记， 则，易得，从而必有， 不妨令，则且， 则，且， 当时，若得， 此时具有包容性. 若，得舍去；若无解， 当时，则， 由且，可知无解，故， 所以. 13．（25-26高一上·上海·期中）给定正整数，设集合．对于，称为的第i个坐标分量．若且同时满足以下条件，则称S是的好子集：①集合S中的元素个数不少于4；②对于S中任意的三个元素，，，存在使得，，的第m个坐标分量都是1． (1)若是的好子集，直接写出，； (2)求的好子集S的元素个数的最大值； (3)当取到（2）中的最大值时，求出好子集S的具体形式． 【答案】(1)，或， (2) (3)当时，S中的元素必有某一个坐标分量的值均为1， ，． 【详解】（1）因为是好子集，故中第m个坐标分量都是1， 故的第一个坐标分量是1，同理的第一个坐标分量是1， 而、与相异， 故为或. （2）中有个元素． 若元素与同时属于集合S， 则任选集合S中的另一个元素，那么，，中的第1，2，…，n个分量均不会同时为1， 从而S不是的好子集． 因此当S是的好子集时，其元素个数．           取，则S是的好子集，且．        综上，的好子集S的元素个数的最大值为． （3）当时，S中的元素必有某一个坐标分量的值均为1， 即，． 证明：由（2）知，，中的元素与恰有一个属于集合S， 则对于的好子集S中任意两个元素，， 都有元素 ． 若不然，假设存在S中的两个元素x，y，使得，则 ． 但元素x，y，的第k个坐标分量，，不可能同时为1， 这与S是的好子集矛盾！因此． 设S中所有元素的乘积为，则由命题知． 由于元素，故 所以z必定存在某个分量，此时S中所有元素的第i个分量均为1． 考点03 集合的基本运算及参数求解 14．（25-26高一上·上海·期中）已知集合，，则______. 【答案】 【详解】，，， 又，故可以取全体实数，， 根据交集的定义可得. 故答案为：. 15．（25-26高一上·上海·期中）已知集合，，若，则实数的取值范围为______． 【答案】 【详解】因为集合，，且， 当是空集时，，所以； 当不是空集时，集合中是非负数， 所以，无解； 综上，实数的取值范围为． 故答案为：. 16．（25-26高一上·上海·期中）设，，且，则实数组成的集合是_______. 【答案】 【详解】由， 当时，，满足，故； 当时，，由可得：， 所以或解得或， 即实数组成的集合是， 故答案为： 17．（25-26高一上·上海·期中）已知集合，，若，则__________. 【答案】 【详解】因为，所以，且， 当时，，此时满足，故符合条件； 当时，，则，因为， 所以或，所以或； 综上所述，的取值为， 故答案为：. 18．（25-26高一上·上海闵行·期中）设集合，，若中的元素个数有且仅有1个，则正实数的取值范围为______. 【答案】. 【详解】集合，， 若中的元素个数有且仅有1个， 当时，， 所以当时，，所以， 当时，，所以， 则正实数的取值范围为. 故答案为：. 19．（24-25高一上·上海·期中）已知集合.若存在正数，使得对任意.都有时成立，则实数的值为__________ 【答案】或 【详解】因为，则只需考虑下列三种情况： ①当时，因为，则， 且，可得， 又因为，则且， 可得：， 则，解得； ②当即时，与①构造方程相同，即，不合题意，舍去； ③当，即时，可得：且， 可得，解得； 综上所述：或. 故答案为：或. 20．（25-26高一上·上海浦东新·期中）已知集合，，全集，求，及. 【答案】；，或 【详解】由全集，且集合， 则， 又由或， 则，或. 21．（25-26高一上·上海·期中）集合， (1)求A、B； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1），等价于，解得， 集合， ，，解得， 集合． （2）， 或， 或． 22．（25-26高一上·上海·期中）设集合，． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)或； (2)或 【详解】（1）由条件可知，， 当时，，得， 当时，，得， 综上可知，或； （2）当时，，得， 当时，或， 得或， 综上可知，或. 23．（25-26高一上·上海·期中）设全集为，，集合． (1)若，求； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）根据题意可得：，则 （2） 若，有，解得； 若，，解得 综上所述：的取值范围为 24．（25-26高一上·上海松江·期中）已知集合，集合. (1)若集合，且满足，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）因为， 所以，解得， 由韦达定理可得， 所以， 又因为， 所以，解得或， 又因为， 所以； （2）因为， 所以且， 又因为， 所以， 当时，， 解得； 当为单元素集时， 则有，解得， 此时，满足； 当时， 即方程的两个根为， 所以，解得； 综上，， 所以实数的取值范围为. 25．（25-26高一上·上海·期中）已知集合． (1)若，求集合； (2)若，求实数的取值范围； (3)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【详解】（1）当时， 则． （2）因为， ， 又，则，所以，解得：， 所以实数的取值范围为：； （3）由可得：， 当时，，此时，而， 若，则满足题意， 当时，，不等式解集为，此时满足， 所以符合题意； 当时，，此时，而， 若，则或，解得或，则或， 综上所述：实数的取值范围为：或. 考点04 集合的包含关系与基本运算综合 26．（25-26高一上·上海·期中）已知全集，，，或，且，求实数的取值范围． 【答案】 【详解】由全集，，， 当，即时，，， 又因为 或，且，成立； 所以； 当，即时，或， 则， 又因为 或，且， 所以或，解得或， 此时或， 综上：实数的取值范围是. 27．（25-26高一上·上海·期中）已知集合，其中为实数，集合. (1)若，求； (2)若非空集合，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）若，由，得，解得，所以. 由，得，即，所以， 解得，，所以； （2）由（1）得， 因为集合为非空集合，所以， 由，得，解得，所以， 又，所以，解得，又，所以， 所以实数的取值范围. 28．（25-26高一上·上海·期中）已知集合或，. (1)求； (2)若，当时，求实数的取值范围； (3)若，当时，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)； (3). 【详解】（1）因为，，所以. （2）当时，，满足； 当时，，由得，解得； 当时，，由得，解得. 综上，实数的取值范围是. （3）当时，，解得； 当时，，由得或，即或. 结合，得或. 综上，实数的取值范围是. 考点05 韦恩图与容斥原理 29．（25-26高一上·上海·期中）维恩（Venn）图是辅助研究复杂集合关系的重要工具．已知全集，集合、为的子集，满足，，，则下列判断正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】由题意画出Venn图，如下：    对于A：若，，则不符合题意； 对于C：若，，则，不符合题意； 对于D：若，，则，不符合题意； 对于B：经验证符合题意， 故选：B 30.学业水平测试按照考生原始成绩从高分到低分分为，，，，五个等级，某班共有名学生且全部选考物理、化学两科，这两科的学业水平测试成绩如图所示.该班学生中，这两科等级均为的学生共有人.这两科中只有一科等级为的学生，其另外一科等级一定为．则该班（） 等级科目 物理 化学 A．物理化学等级都是的学生至多有人 B．物理化学等级都是的学生至少有人 C．这两科只有一科等级为且最高等级为的学生至多有人 D．这两科只有一科等级为且最高等级为的学生至少有人 【答案】C 【详解】两科等级均为的学生有人， 因为仅有一科等级为的学生，其另外一科等级为， 所以物理等级为，化学等级为的有人人； 化学等级为，物理等级为的有人； 对于A，物理等级为的共有人，则化学等级也为的至多有人，A错误； 对于B，物理等级为的共有人，则化学等级也为的至少有人，B错误； 对于C，两科只有一科等级为且最高等级为的学生至多有人，C正确； 对于D，两科只有一科等级为且最高等级为的学生至少有人，D错误. 故选：C. 31．（25-26高一上·上海·期中）为解决上下班的交通问题，调查了某地100名职工，其中78人持有交通卡，52人拥有自行车，而持有交通卡又有自行车的有37人，则既无交通卡又无自行车的共有______人. 【答案】7 【详解】作出韦恩图，如图所示：    可知持有交通卡或有自行车的人数为， 所以既无交通卡又无自行车的人数为. 故答案为：7. 32.行知中学高一某班学生参加物理和数学竞赛辅导班的选拔，已知该班学生参加物理竞赛辅导选拔的人数是该班全体人数的八分之三；参加数学竞赛辅导选拔的人数比参加物理竞赛辅导选拔的人数多3人；两个科目都参加选拔的人数比两个科目都不参加的学生人数少7人；则该班参加数学竞赛辅导选拔的人数是__________. 【答案】18 【详解】记该班全体学生形成集合U，该班学生人数为n，参加物理竞赛辅导选拔的人形成集合A，则， 参加数学竞赛辅导选拔的人形成集合B，则，两个科目都参加选拔的人数为， 于是得， 两个科目都不参加的学生人数为，依题意，， 即有，解得，则， 所以该班参加数学竞赛辅导选拔的人数是18. 故答案为：18 33．（25-26高一上·上海徐汇·期中）已知集合，，全集为. (1)若，求阴影部分表示的集合. (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，等价于， 解得，即； 若，因为，等价于， 解得，即. 由Venn图可知阴影部分表示的集合为， 因为，可得， 所以阴影部分表示的集合为. （2）由（1）可得：， 因为，则， 所以，解得：， 所以实数的取值范围为 考点06 命题真假判断及其综合运算 34．（25-26高一上·上海·期中）下列叙述正确的个数为（　　） ①对于任何一个集合，总有； ②，集合，则“”是“”的充要条件； ③设，关于的方程的解集是； ④在周长为常数的所有矩形中，正方形的面积最大； A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】对于①，空集是任何集合的子集，则，①正确； 对于②，，，则， 反之，若，则，， 因此“”是“”的充要条件，②正确； 对于③，当时，方程的解集是，③错误； 对于④，设矩形的周长为，其长宽分别为，则， 矩形面积， 当且仅当时取等号，此时该矩形为正方形，④正确； 所以正确的个数为3. 故选：C 35．（25-26高一上·上海·期中）以某些整数为元素的集合具有以下两个性质：①中的元素有正整数，也有负整数；②若，，则，在下列两个命题中，判断正确的是（    ） 命题：若，则，其中为正整数；命题：0一定属于集合． A．命题为真命题，命题为真命题 B．命题为真命题，命题为假命题 C．命题为假命题，命题为真命题 D．命题为假命题，命题为假命题 【答案】A 【详解】对任意正整数，因为，则有，，，，所以命题为真命题， 由命题为真命题，可设，且，， 因为，为正整数，所以，因为x为正整数，，所以，所以，命题为真命题． 故选：A． 36．（25-26高一上·上海·期中）已知集合，，． (1)若，求实数、的值； (2)若，记，．若与有且仅有一个为真，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）显然，而，则，，解得， ，因此，， 解得，，，符合题意， 所以. （2）当时，， 由，得或或或， 当时，，解得；当时，，无解； 当时，，解得；当时，，无解， 因此命题， 由，，得或，解得或， 因此命题或， 由与有且仅有一个为真，得真假或假真，即或，解得， 所以实数的取值范围是. 37．（25-26高一上·上海松江·期中）已知命题：不等式对任意恒成立.命题：集合满足. (1)若命题为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题中至少有一个为真命题，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)R. 【难度】0.65 【详解】（1）因命题：不等式对任意恒成立，而， 当且仅当，即时等号成立， 所以. 所以实数的取值范围为 （2）若命题为真命题，由，，， ①当，即，，符合； ②当，即或， 当时，，不符合； 当时，，符合； ③当，即或，设方程的两根为. 当时，，所以，，此时，所以不符合题意； 当时，，所以，，此时，所以符合题意； 综上可得，命题为真命题时，. 所以命题中至少有一个为真命题，实数的取值范围为. 所以实数的取值范围为R. 考点07 充分条件与必要条件及综合运算 38．（25-26高一上·上海·期中）若，，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件 【答案】B 【详解】若，则可能的情况有，故充分性不成立； 若，则，故必要性成立，所以是的必要不充分条件. 故选：B 39．（25-26高一上·上海·期中）已知，则“”是“”的（   ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要 【答案】B 【详解】充分性：当时，此时，，等式不成立， 故不能保证成立，充分性不成立. 必要性：当时，两边同时平方得：， 即，即，故能推出，故必要性成立. 综上，是的必要非充分条件. 故选：B. 40．（25-26高一上·上海·期中）若“”的必要非充分条件是“或”，则实数m的取值范围是________． 【答案】 【详解】记的解集为集合，， 则为的解集，； 是的必要非充分条件，，得，即对任意，都有恒成立. ，， ，化简得； 令，，，且； ， 当时，取得最大值，即， ，，且， 当时，取得最小值，即； 对任意，恒成立， ，即; 实数的取值范围是. 41．（25-26高一上·上海·期中）已知集合，. (1)当时，求集合； (2)若“”是“”成立的充分非必要条件，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时， 所以. （2）因为“”是“”成立的充分非必要条件，则，且， 易知 所以，解得，符合题意； 综上所述，m的取值范围为. 考点08 反证法证明 42．（23-24高一上·上海·期中）在正向证明问题十分困难时，运用反证法往往是一条捷径. (1)求证：是无理数； (2)已知抛物线，求证：中至少有一个不小于. 【详解】(1)证明：假设是有理数，可设，互质，且， 可得，可知为2的倍数，则为8的倍数， 可知为2的倍数，即2为的公约数， 这与互质相矛盾，所以是无理数. (2)证明：因为，则， 可得， 假设均小于，即， 则， 即，即假设不成立，所以中至少有一个不小于. 43．（23-24高一上·上海浦东新·期中）设，而为S的一个8元子集．求证： (1)存在非零自然数k，使得方程至少有3组不同的解； (2)对于S的7元子集，（1）中的结论不再总是成立. 【详解】(1)不妨设， 记，，共13个数. 假设不存在满足条件的k， 则这13个数中至多两个1、两个2、两个3、两个4、两个5、两个6， 从而①， 又因为 ，这与①矛盾. 故假设不成立，结论成立. 即存在非零自然数k，使得方程至少有三组不同的解. (2)例如， 则（正数）：1，3，5，6，9，10，15各两个，2，4，7，12，13，14，16各1个， 即没有三个相等的值，所以于S的7元子集，（1）中的结论不再总是成立. 44．（23-24高一上·上海黄浦·期中）（1）设，，求证：； （2）已知，，且.证明：或. 【详解】（1）证明：要证， 即证， 即证 即证 即证， 因为 所以得证； （2）证明：由题，， 假设且 即，所以， 所以与矛盾， 所以假设不成立，所以或. 考点09 新定义集合 45．（25-26高一上·上海·期中）若集合具有性质：“对任意，与至少有一个属于”，则称集合为型集合．已知集合为型集合，且 ，则（    ） A．1025 B．3075 C．4050 D．4100 【答案】C 【详解】由集合为型集合，则， 因为对任意，与至少有一个属于， 则，所以， 又因为，则， 根据集合元素的互异性，可得，所以. 故选：C. 46．（25-26高一上·上海浦东新·期中）给定集合，若对于任意，，有，且，则称集合为闭集合，下列结论正确的个数是（   ） ①集合为闭集合； ②集合为闭集合； ③若集合，为闭集合，则为闭集合； ④若集合，为闭集合，且，，则存在，使得. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【详解】对于①：， 当，时，， 但，不满足闭集合的定义，故①错误； 对于②：， 任意，可设，，， 则，， 由，， 所以，且，故集合为闭集合．故②正确； 对于③：设， 任意，可设，，， 则，， 由，， 所以，且，则集合为闭集合． 由②分析可知也为闭集合． ， 当，时，， 但，即不是闭集合，故③错误； 对于④：设，若，则，， 则都为闭集合，又，且， 不存在，使得，即不存在，使得，故④错误； 故选：B. 47．（25-26高一上·上海·期中）设，已知A、B是两个数集．若对任意，都存在，使得，则称A是B的一个“邻集”．有下列两个命题：①是Q的一个邻集；②若A是B的一个邻集，则B也是A的一个邻集．则（   ） A．①真②假 B．①假②真 C．①真②真 D．①假②假 【答案】A 【详解】由于任意实数均可被有理数逼近，故①真； 注意到邻集的定义关于A，B不对称，如，时，A是B的一个邻集，而B不是A的一个邻集，故②假. 故选：A 48．（25-26高一上·上海·期中）已知，用表示非空集合A中元素个数，定义，集合，，若，则a的可能的取值有（    ）个. A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【详解】由题意可知，，故， 由题中定义可得，或. 由题意可知，为关于的方程的一根. 当时，则，则方程只有一个实根，可得， 此时，方程无实根，则满足条件； 当时，则关于的方程有三个根，必有， 此时，关于的方程的两根分别为，，分以下两种情况讨论： ①若是方程的一根时，则，解得. 当时，则，合乎题意； 当时，则，合乎题意； ②当方程有两个相等的实根，则，解得. 当时，，合乎题意； 当时，，合乎题意. 综上，a的可能的取值为 故选：D. 49．（25-26高一上·上海·期中）设集合，集合，若的子集中任意两个元素之和不是整数的平方，则称为“人文集”.当能被分成两个交集为空集的“人文集”，且这两个“人文集”的并集恰为时，的最大值是（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】B 【详解】假设时能被分成两个交集为空集的“人文集”和，且和的并集恰为， 即， 不妨设，因为，所以，则， 因为，所以， 因为，所以， 因为，所以， 因为，即，与假设矛盾， 所以假设时不能被分成两个交集为空集的“人文集”， 且这两个“人文集”的并集恰为. 当，时，，对应的子集为， 可以取两个“人文集”. 当，时，对应的子集为， 可以取两个“人文集”. 当，时，，对应的子集为， 可以取两个“人文集”. 当时，集合中的元素均为分母是无理数、分子是有理数的实数，可得其中任意两个元素之和不为整数，则都符合“人文集”的要求； 则设， 此时取，则此时两个交集为空集的“人文集”和，且和的并集恰为； 综上，的最大值是. 故选：B. 50．（25-26高一上·上海松江·期中）若，则，就称为“影子关系”集合，在集合的所有非空子集中，“影子关系”集合的个数为__________. 【答案】7 【详解】由“影子关系”集合定义可知，集合的所有非空子集中， 为影子关系的集合有 . 故答案为：7 51．（25-26高一上·上海·期中）定义，已知，则集合中所有元素乘积为__________． 【答案】 【详解】因为，所以， 又，所以， 所以集合中所有元素乘积为， 故答案为： 52．（24-25高一上·上海·期中）若三个非零且互不相等的实数满足和，则称构成一组“有序好数对”；已知集合，则由中的三个元素组成的所有“有序好数对”的个数为__________. 【答案】30 【详解】由三个非零且互不相等的实数，，满足满足且满足， 可得 消去，并整理得， 所以（舍去），，于是有． 在集合中，三个元素组成的所有数对必为整数对， 所以必为2的倍数，且，， 故这样的数对共30组． 故答案为：． 53．（25-26高一上·上海浦东新·期中）若集合具有以下两条性质，则称集合为一个“好集合”. （1）且； （2）若、，则，且当时，有.给出以下命题： ①集合是“好集合”； ②是“好集合”； ③是“好集合”； ④设集合是“好集合”，若、，则； ⑤设集合是“好集合”，若、，则； 其中真命题的序号是_____. 【答案】③④⑤ 【详解】对于①，由集合，若，可得， 所以集合不满足性质（2），所以集合不是个“好集合”，所以①是假命题； 对于②，取，此时，但，所以不是“好集合”，所以②是假命题； 对于③，对于实数集，其中且，且任意，则， 且当时，有，所以实数集是“好集合”，所以③是真命题； 对于④，集合是“好集合”，由，，根据“好集合”的定义， 可得， 因为，可得，所以④是真命题； 对于⑤，若集合是“好集合”，任取， 若中有和时，显然； 设均不含和，由“好集合”的定义知， 所以，所以， 由④可得，同理可得， 若或，显然； 若或，则， 所以，所以， 由，则，所以⑤是真命题. 故答案为：③④⑤ 54．（25-26高一上·上海·期中）对非空集合中的每个元素，都乘以再求和，称为集合的交叉数，例如，则集合的交叉数为．若集合，则的所有非空子集的交叉数的总和为______． 【答案】 【详解】由题意可知，元素在集合的所有非空子集中分别出现次数是一样的， 它们每一个出现的次数都相当于另外5个元素组成的集合的子集个数，故其出现次数均为次， 则这些交叉数的总和是： . 故答案为：96. 55．（25-26高一上·上海·期中）已知全集，非空集合，若在平面直角坐标系中，对S中的任意点，与关于轴、轴以及直线对称的点也均在S中，则以下命题： ①若，则； ②若，则中至少有8个元素； ③若，则中元素的个数可以为奇数． 其中正确命题的序号为______． 【答案】① 【详解】S中的点在平面直角坐标系内形成的图形关于轴、轴和直线均对称， 所以当，则有，，， 进而有：，，，， ①若，则，故①正确； ②若，则，，，能确定4个元素，故②不正确； ③根据题意可知，，若，能确定4个元素， 当，也能确定个，当，能确定4个或8个， 所以若，则S中元素的个数一定为偶数，故③错误； 综上：①正确． 故答案为：①． 56．（25-26高一上·上海·期中）给定数集，若对于任意、，有，，则称集合为闭集合. (1)判断集合，集合是否为闭集合； (2)若集合、为闭集合，则是否一定为闭集合？请说明理由； (3)已知集合、为闭集合，且，，证明：. 【详解】(1)不是闭集合；为闭集合，理由如下： 因为，，，所以不是闭集合； 任取，，设，，，， 则且， 所以，同理，，故为闭集合. (2)不一定，理由如下： 不妨令，， 则由（1）可知，，为闭集合，易知2，，， 因此，不一定是闭集合. (3)证明： 不妨假设，则由，得存在且，故. 同理，存在且，故. 因为，所以或. 若，则由为闭集合且，得，与矛盾. 若，则由为闭集合且，得，与矛盾. 综上，不成立，故. 57．（25-26高一上·上海·期中）已知集合中存在三个元素，同时满足①；②；③为偶数，那么称集合具有性质.已知集合，对于集合的非空子集，若中存在三个互不相同的元素，使得均属于，则称集合是集合的“期待子集”. (1)试判断集合是否具有性质并说明理由； (2)若集合，判断“集合具有性质”是“集合是集合的期待子集”的什么条件，并加以证明. 【详解】(1)集合不具有性质，理由如下： （i）从集合中任取三个元素均为奇数时，为奇数，不满足条件③， （ii）从集合中任取三个元素有一个为2，另外两个为奇数时. 由于，中小于2的数只有1个，所以不能取2. 当时，，则，，所以，所以，不满足条件②； 当时，，因为中大于2的元素都是奇数，所以，所以，即，不满足③. 综上所述，可得集合不具有性质. (2) 集合是集合的“期待子集”的充要条件是集合具有性质，证明： 先证充分性： 当集合是集合的“期待子集”时，存在三个互不相同的，使得均属于， 不妨设，令，则且，即满足条件①， 因为，所以，即满足条件②， 因为，所以为偶数，即满足条件③， 所以当集合是集合的“期待子集”时，集合具有性质. 再证必要性： 当集合具有性质，则存在，同时满足①；②；③为偶数， 由知. 令，则由条件①得， 由条件②得， 由条件③得均为整数， 因为， 所以，且均为整数，所以， 因为，所以均属于， 所以当集合具有性质时，集合是集合的“期待子集”. 综上所述，集合是集合的“期待子集”的充要条件是集合具有性质. 58．（25-26高一上·上海·期中）设集合．如果集合满足：对任意、，与至少有一个属于，则称集合为“单封集”． (1)判断集合与是否为“单封集”，请直接写出结论． (2)若是“单封集”，且，，求． (3)若是“单封集”，证明：，并求出的值． 【答案】(1)C是；D不是 (2)4050 (3) 【详解】（1）对于集合： 因为，，所以集合不为“单封集”； 对于集合： 因为，，，，，，， 所以集合为“单封集”. （2）因为集合是“单封集”，且，， 可得， 因为，则，可得， 由集合的互异性可知：，所以. （3）因为具有性质，且， 则，则 且，则， 又因为， 则，可得， 则，即， 可得， 所以. 考点10 元素个数及最值／存在性 59．（25-26高一上·上海·期中）已知集合，集合，若对于中的任意两个不同的元素和，都有，则中元素个数的最大值是（    ）． A．676 B．675 C．672 D．671 【答案】A 【详解】对于中的任意两个不同的元素和，都有 不妨设，都有. 要想M所含元素个数最大，则要尽可能小，故需使得的最小值为3. 将1~2027这2027个元素按如下分组： ，，……，，， 故应在前组中按周期每组取一个元素，且第一组中不能取3， 第一组中取1时，可得或这样的集合， 第一组取2可得， 其中任意两元素差值都大于2，满足题意， 故M所含元素个数的最大值为. 故选：A 60．（25-26高一上·上海·期中）若集合，其中、…、为非空集合，，，则称集合为集合的一个划分.例如：集合、、均为集合的一个2划分.设为有理数集的一个2划分，且满足对任意，任意，都有.则对于、有： ①中的元素存在最大值，中的元素不存在最小值； ②中的元素不存在最大值，中的元素存在最小值； ③中的元素不存在最大值，中的元素不存在最小值； ④中的元素存在最大值，中的元素存在最小值； 对于以上四种情况，可能成立的序号有（    ） A．①② B．①②③ C．②③④ D．①②④ 【答案】B 【详解】①可能成立，如， ②可能成立，如， ③可能成立，如， ④不可能成立，证明如下：假设④成立，不妨设中元素的最大值为， 中元素的最小值为，由题可知：，所以， 因为为中元素的最大值，所以， 因为为中元素的最小值，所以， 又因为，所以，与矛盾， 所以假设不成立，即④不可能成立； 故选：B 61．（24-25高一上·上海·期中）设是均含有2个元素的集合，且，记，则B中元素个数的最小值是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【详解】，， 与的元素不同，则元素个数为4， 若中元素个数的最小值是4，则只能是，，与矛盾， 若从中选择1个元素，再加入一个新元素，这样元素个数为5个， 这5个元素适当排列，得到，，，， 例如，，， 取，，，，符合题意， 则中元素个数的最小值是， 故选：B． 62．（25-26高一上·上海·期中）设集合，并定义集合，集合，那么满足但的元素的个数为________． 【答案】 【详解】由题可得，解得，则， 由，设，则，所以，又因为，，所以， 因为共个相同元素， 所以满足但的元素的个数为个. 故答案为：. 63．（25-26高一上·上海·期中）给定有限集，记为集合内元素的个数．对正整数（），设，，则的最大值与最小值之和为______． 【答案】 【详解】依题意，， 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则， 因此当为3的正整数倍时，取得最大值，当时，取得最小值， 所以的最大值与最小值之和为. 故答案为： 64．（25-26高一上·上海金山·期中）已知集合，集合、、满足：①每个集合都恰有4个元素；②.集合中元素的最大值与最小值之和称为集合的特征数，记为，则的最大值与最小值的积为___________. 【答案】 【详解】因为、、满足:①每个集合都恰有4个元素；②， 所以、、一定各包含4个不同数值， 根据题意、、的最小元素必有，最大元素必有， 要使最小，则、、中最小元素分别为，而除外的另两个最大元素要尽量小， 如的最小元素为，最大元素为，此时要使、中最大元素尽可能小， 则，必属于，此时还剩下的最大数为， 则必为、中的最大元素，不妨令，要使中最大元素尽可能小， 则、必属于，此时还剩下的最大数为，即中最大元素为， 如，特征数为； ，特征数为；，特征数为； 此时最小，最小值为； 同理，当集合中元素的最小值分别是1，4，7，最大值是12，11，10时， 特征数的和最大，如：，特征数为； ，特征数为；，特征数为； 则最大，最大值为， 故的最大值与最小值的积为. 故答案为：. 65．（25-26高一上·上海·期中）如果正整数集的子集满足： ①； ②任意，存在，使得，则称为集． (1)分别判断与是否为集（直接写出结论）； (2)当时，对于集，设，求证：； (3)当时，若，求集中所有元素的和的最小值． 【详解】（1）不是集，是集. 因为A的元素3和5都不存在两个元素和与之相等，所以A不是集； 由于，符合集定义，所以B是集. （2）证明：因为是集，且. 因为是集合中最大的元素，且，所以，即. 又因为，所以，即. 同理，.相加可得， 即， 因为，所以，所以. （3）因为，且是集，所以7可以表示为集合中其他两个元素的和. 由于，所以集合中至少有4个元素. 由，且7是最大元素，； 若集合中含有元素6，则必有3，若有3，则必有2，此时； 若集合中含有元素5，则必有2和3，此时； 若集合中含有元素4，则必有2和3，此时； 所以集合中所有元素的和的最小值为. 66．（24-25高一上·上海·期中）对给定的正整数，令.对任意、，定义与的距离，设是的至少含有两个元素的子集，集合中的最小值称为的特征值，记作. (1)设，，直接写出集合、的特征值； (2)当时，求证：存在集合满足对任意，都存在唯一的，使得，且中不同元素之间的距离为4049； (3)当时，且，求中元素个数的最大值（用表示）. 【详解】（1）由题意可知：对任意，，且，均有， 对于集合：对任意，，且， 均有，所以； 集合取或或， 可得，所以. 所以，. （2）对任意，，则，且，， 对任意，定义， 则， 且对任意，则， 令集合，由可知满足中不同元素之间的距离为4049， 由题意可知：对任意，且，均有， 若，则令，即满足； 若，则令，则，即满足 综上所述：存在集合满足对任意，都存在唯一的，使得，且中不同元素之间的距离为4049. （3）由题意可知：对任意，，且，均有， 对任意的， 即， 则，故， 即对任意，均能对应一个元素， 令集合，则， 则且和的元素个数相同， 又因为中共有个元素，其中至多一半属于，故中至多有个元素； 设是偶数，此时 {是奇数}， 都有中的元素个数为， 易得与奇偶性相同， 可知为偶数，又，则，所以， 注意到，且它们的距离为2， 故此时满足题意； 综上所述：中元素个数的最大值为. 67（24-25高一上·上海·期中）若集合，其中、、…、均为非空集合，，则称集合为集合的一个划分， (1)写出集合的所有不同的2划分； (2)设为有理数的一个2划分，且满足对任意、都有，则下列两种情况是否可能成立？若可能成立，请举出一个例子；若不能成立，请说明理由； ①中的元素不存在最大值，并且中的元素不存在最小值； ②中的元素存在最大值，并且中的元素存在最小值； (3)设集合，对集合的任意一个3划分，证明：存在，存在、，使得． 【详解】(1) (2)①可能成立， ②不可能成立，证明如下:假设②成立，不妨设中元素的最大值为中元素的最小值为，由题可知:，所以，因为为中元素的最大值，所以， 因为为中元素的最小值，所以，因为，所以， 这与矛盾，所以假设不成立，即②不可能成立； (3)证明：由于集合中有16个元素，所以中至少有一个集合至少包含6个元素， 不妨设中至少包含6个元素，设，且， 假设对任意，对任意，都有， 那么， 又因为， 所以， 则中必有一个集合至少包含中的3个元素， 不妨设这3个元素为，由假设可知:， 对任意，存在， 都有， 又因为，而，与假设矛盾， 所以假设不成立，所以存在，存在，使得 68．（24-25高一上·上海·期中）设集合是至少有两个元素的实数集，集合且，称集合为集合的积集. (1)当时，写出集合的积集； (2)若是由4个正实数构成的集合，求其积集中元素个数的最小值； (3)判断是否存在5个正实数构成的集合，使其积集，并说明理由. 【详解】（1）因为，故集合中所有可能的元素有，即， 所以. （2）设，不妨设，因， 所以中元素个数大于等于5个， 又当时，，此时中元素个数等于5个， 此时积集中元素个数的最小值为5. (3)不存在，理由如下： 法1：假设存在5个正实数构成的集合， 使其积集，不妨设， 则.，， 所以，，，， 设，则，，，， 所以，但集合中不存在元素4，所以矛盾，假设不成立， 故不存在5个正实数构成的集合A，使其生成集. 法2：不存在，理由如下：假设存在5个正实数构成的集合， 使其积集，不妨设， 则， 所以集合A的生成集B有三种情况：， 或. 当时，则必有，所以 又因为，或6，所以或72，矛盾； 当时，则必有，所以 又因为，矛盾； 时，则必有，所以 又因为，或12，所以或60，矛盾； 所以假设不成立，故不存在5个正实数构成的集合A， 使其生成集. 69．（24-25高一上·上海·期中）定义集合，对任意的，，定义，设是的至少含有两个元素的子集，集合中的最小值称为的特征，记作． (1)当时，直接写出下述两个集合的特征：， (2)当时，设且，求中元素个数的最大值； (3)当时，设且，求中元素个数的最大值． 【答案】(1)； (2) (3) 【详解】（1）由题意,. （2）根据题意，中的元素的形式为，其中， 可将作为两个元素之间的差异或距离，为了简单起见，不妨将简化为一个由和排列而成的位数的形式； 当时，一共有个元素，根据集合的互异性，代入公式计算得到，即其特征值. 可列举为可以用各位数字相减的方式计算两个元素之间的距离. 当时，，即元素间的最小距离变为，可以通过添加或者的方式将四位数变为五位数， 此时可以给原本的距离为的两个元素分别添加不同的数字的方式保持集合中元素的数量不减少，并将最小距离变为. 故满足题意的集合中元素个数最大为. （3）由小问2可得，满足，且的集合中元素数量最大为16. 下面考虑，，与之前操作同理，通过增加一位数的方式为距离为的两元素之间的距离增加为， 以此类推，当，时，进行同样操作即可保证元素个数不减少. 又由可知，通过增加位数进行的操作不会使得元素之间距离变小， 即满足，的集合中元素在进行添加位数的操作之前必定满足，， 满足，的集合中的元素个数不会大于满足，的集合中元素的个数， 故满足，最大值为. 70．（24-25高一上·上海·期中）已知非空实数集满足：若，则;若，则. (1)若，直接写出中一定包含的元素； (2)若由三个元素组成，且所有元素之和为，求； (3)若由2024个元素组成，求的元素个数的最大值. 【答案】(1); (2); (3)674 【详解】（1）由题意可得：，则，于是，则， 则，则，则， 所以中一定包含的元素为. （2）因为，则, 令，则,,, 因为，，，可都化为， 因为，故无解， 故为中的三个元素， 因为所有元素之和为，所以， 整理得：，即， 解得或或， 所以. （3）当，则，，，， 而无解，所以，，，均无解. 所以数集以形式出现,4个数为一组出现，组与组之间无公共元素，, 而数集以形式出现,3个数为一组出现，组与组之间无公共元素，, 于是数集,的元素个数分别是以4和3为最小正周期循环，且当时，， 而4和3互素，因此数集,中各组最多只能有1个公共元素， 设集合中共有个元素，满足是4的整数倍，其中有个元素在中，满足， 由同一周期内元素不相等，得这个元素在集合中归属于不同组内，则集合中有个元素，同时在内还有个元素，并满足是3的整数倍，， 显然， 解得，当时，符合条件的整数， 所以的元素个数的最大值是674个. 2 / 25 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 集合与逻辑及其综合应用 考点01 子集及子集个数 考点02 集合的包含关系及参数求解 考点03 集合的基本运算及参数求解 考点04 集合的包含关系与基本运算综合 考点05 韦恩图与容斥原理 考点06 命题真假判断及其综合运算 考点07 充分条件与必要条件及其综合运算 考点08 反证法证明 考点09 新定义集合 考点10 元素个数最值／存在性 考点01 子集及子集个数 1．（24-25高一上·上海浦东新·期中）若规定由整数组成的集合，，的子集为的第个子集，其中，则的第2024个子集是______． 2．（24-25高一上·上海·期中）已知集合有且仅有两个子集，则实数a的值为______． 3．（25-26高一上·上海·期中）若集合有2个子集，则实数的值为_______． 4．（25-26高一上·上海·期中）已知集合，集合是集合的三元子集，即，中的元素满足，则符合要求的集合有______个． 5．（24-25高一上·上海·期中）已知集合恰有两个子集，则实数取值集合为__________. 6．（25-26高一上·上海松江·期中）已知由自然数组成的元集合，非空集合，且对任意，都有，当时，则所有满足条件的集合的元素的和为__________. 7．（25-26高一上·上海·期中）集合有8个元素，设M的所有非空子集为（，2，…，255），每一个中所有元素乘积为，则__________. 考点02 集合的包含关系及参数求解 8．（24-25高一上·上海·期中）设集合，，若，则对应的实数对有（   ） A．无数对 B．2对 C．3对 D．4对 9．（25-26高一上·上海奉贤·期中）对于集合，给出如下三个结论：①如果，那么；②如果，那么；③如果，，那么.其中正确结论的个数是（             ） A．0 B．1 C．2 D．3 10．（24-25高一上·上海·期中）若集合，，且，则实数组成的集合是______. 11．（24-25高一上·上海·期中）已知全集，，，且，求m的取值范围． 12．（25-26高一上·上海松江·期中）已知集合，，，若，，或，则称集合具有“包容”性. (1)判断集合和集合是否具有“包容”性，并说明理由； (2)若集合具有“包容”性，求的值. 13．（25-26高一上·上海·期中）给定正整数，设集合．对于，称为的第i个坐标分量．若且同时满足以下条件，则称S是的好子集：①集合S中的元素个数不少于4；②对于S中任意的三个元素，，，存在使得，，的第m个坐标分量都是1． (1)若是的好子集，直接写出，； (2)求的好子集S的元素个数的最大值； (3)当取到（2）中的最大值时，求出好子集S的具体形式． 考点03 集合的基本运算及参数求解 14．（25-26高一上·上海·期中）已知集合，，则______. 15．（25-26高一上·上海·期中）已知集合，，若，则实数的取值范围为______． 16．（25-26高一上·上海·期中）设，，且，则实数组成的集合是_______. 17．（25-26高一上·上海·期中）已知集合，，若，则__________. 18．（25-26高一上·上海闵行·期中）设集合，，若中的元素个数有且仅有1个，则正实数的取值范围为______. 19．（24-25高一上·上海·期中）已知集合.若存在正数，使得对任意.都有时成立，则实数的值为__________ 20．（25-26高一上·上海浦东新·期中）已知集合，，全集，求，及. 21．（25-26高一上·上海·期中）集合， (1)求A、B； (2)． 22．（25-26高一上·上海·期中）设集合，． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 23．（25-26高一上·上海·期中）设全集为，，集合． (1)若，求； (2)若，求的取值范围． 24．（25-26高一上·上海松江·期中）已知集合，集合. (1)若集合，且满足，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围 25．（25-26高一上·上海·期中）已知集合． (1)若，求集合； (2)若，求实数的取值范围； (3)若，求实数的取值范围． 考点04 集合的包含关系与基本运算综合 26．（25-26高一上·上海·期中）已知全集，，，或，且，求实数的取值范围． 27．（25-26高一上·上海·期中）已知集合，其中为实数，集合. (1)若，求； (2)若非空集合，求实数的取值范围. 28．（25-26高一上·上海·期中）已知集合或，. (1)求； (2)若，当时，求实数的取值范围； (3)若，当时，求实数的取值范围. 考点05 韦恩图与容斥原理 29．（25-26高一上·上海·期中）维恩（Venn）图是辅助研究复杂集合关系的重要工具．已知全集，集合、为的子集，满足，，，则下列判断正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 30.学业水平测试按照考生原始成绩从高分到低分分为，，，，五个等级，某班共有名学生且全部选考物理、化学两科，这两科的学业水平测试成绩如图所示.该班学生中，这两科等级均为的学生共有人.这两科中只有一科等级为的学生，其另外一科等级一定为．则该班（） 等级科目 物理 化学 A．物理化学等级都是的学生至多有人 B．物理化学等级都是的学生至少有人 C．这两科只有一科等级为且最高等级为的学生至多有人 D．这两科只有一科等级为且最高等级为的学生至少有人 31．（25-26高一上·上海·期中）为解决上下班的交通问题，调查了某地100名职工，其中78人持有交通卡，52人拥有自行车，而持有交通卡又有自行车的有37人，则既无交通卡又无自行车的共有______人. 32.行知中学高一某班学生参加物理和数学竞赛辅导班的选拔，已知该班学生参加物理竞赛辅导选拔的人数是该班全体人数的八分之三；参加数学竞赛辅导选拔的人数比参加物理竞赛辅导选拔的人数多3人；两个科目都参加选拔的人数比两个科目都不参加的学生人数少7人；则该班参加数学竞赛辅导选拔的人数是__________. 33．（25-26高一上·上海徐汇·期中）已知集合，，全集为. (1)若，求阴影部分表示的集合. (2)若，求实数的取值范围. 考点06 命题真假判断及其综合运算 34．（25-26高一上·上海·期中）下列叙述正确的个数为（　　） ①对于任何一个集合，总有； ②，集合，则“”是“”的充要条件； ③设，关于的方程的解集是； ④在周长为常数的所有矩形中，正方形的面积最大； A．1 B．2 C．3 D．4 35．（25-26高一上·上海·期中）以某些整数为元素的集合具有以下两个性质：①中的元素有正整数，也有负整数；②若，，则，在下列两个命题中，判断正确的是（    ） 命题：若，则，其中为正整数；命题：0一定属于集合． A．命题为真命题，命题为真命题 B．命题为真命题，命题为假命题 C．命题为假命题，命题为真命题 D．命题为假命题，命题为假命题 36．（25-26高一上·上海·期中）已知集合，，． (1)若，求实数、的值； (2)若，记，．若与有且仅有一个为真，求实数的取值范围． 37．（25-26高一上·上海松江·期中）已知命题：不等式对任意恒成立.命题：集合满足. (1)若命题为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题中至少有一个为真命题，求实数的取值范围. 考点07 充分条件与必要条件及综合运算 38．（25-26高一上·上海·期中）若，，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件 39．（25-26高一上·上海·期中）已知，则“”是“”的（   ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要 40．（25-26高一上·上海·期中）若“”的必要非充分条件是“或”，则实数m的取值范围是________． 41．（25-26高一上·上海·期中）已知集合，. (1)当时，求集合； (2)若“”是“”成立的充分非必要条件，求实数m的取值范围. 考点08 反证法证明 42．（23-24高一上·上海·期中）在正向证明问题十分困难时，运用反证法往往是一条捷径. (1)求证：是无理数； (2)已知抛物线，求证：中至少有一个不小于. 43．（23-24高一上·上海浦东新·期中）设，而为S的一个8元子集．求证： (1)存在非零自然数k，使得方程至少有3组不同的解； (2)对于S的7元子集，（1）中的结论不再总是成立. 44．（23-24高一上·上海黄浦·期中）（1）设，，求证：； （2）已知，，且.证明：或. 考点09 新定义集合 45．（25-26高一上·上海·期中）若集合具有性质：“对任意，与至少有一个属于”，则称集合为型集合．已知集合为型集合，且 ，则（    ） A．1025 B．3075 C．4050 D．4100 46．（25-26高一上·上海浦东新·期中）给定集合，若对于任意，，有，且，则称集合为闭集合，下列结论正确的个数是（   ） ①集合为闭集合； ②集合为闭集合； ③若集合，为闭集合，则为闭集合； ④若集合，为闭集合，且，，则存在，使得. A．0 B．1 C．2 D．3 47．（25-26高一上·上海·期中）设，已知A、B是两个数集．若对任意，都存在，使得，则称A是B的一个“邻集”．有下列两个命题：①是Q的一个邻集；②若A是B的一个邻集，则B也是A的一个邻集．则（   ） A．①真②假 B．①假②真 C．①真②真 D．①假②假 48．（25-26高一上·上海·期中）已知，用表示非空集合A中元素个数，定义，集合，，若，则a的可能的取值有（    ）个. A．2 B．3 C．4 D．5 49．（25-26高一上·上海·期中）设集合，集合，若的子集中任意两个元素之和不是整数的平方，则称为“人文集”.当能被分成两个交集为空集的“人文集”，且这两个“人文集”的并集恰为时，的最大值是（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 50．（25-26高一上·上海松江·期中）若，则，就称为“影子关系”集合，在集合的所有非空子集中，“影子关系”集合的个数为__________. 51．（25-26高一上·上海·期中）定义，已知，则集合中所有元素乘积为__________． 52．（24-25高一上·上海·期中）若三个非零且互不相等的实数满足和，则称构成一组“有序好数对”；已知集合，则由中的三个元素组成的所有“有序好数对”的个数为__________. 53．（25-26高一上·上海浦东新·期中）若集合具有以下两条性质，则称集合为一个“好集合”. （1）且； （2）若、，则，且当时，有.给出以下命题： ①集合是“好集合”； ②是“好集合”； ③是“好集合”； ④设集合是“好集合”，若、，则； ⑤设集合是“好集合”，若、，则； 其中真命题的序号是_____. 54．（25-26高一上·上海·期中）对非空集合中的每个元素，都乘以再求和，称为集合的交叉数，例如，则集合的交叉数为．若集合，则的所有非空子集的交叉数的总和为______． 55．（25-26高一上·上海·期中）已知全集，非空集合，若在平面直角坐标系中，对S中的任意点，与关于轴、轴以及直线对称的点也均在S中，则以下命题： ①若，则； ②若，则中至少有8个元素； ③若，则中元素的个数可以为奇数． 其中正确命题的序号为______． 56．（25-26高一上·上海·期中）给定数集，若对于任意、，有，，则称集合为闭集合. (1)判断集合，集合是否为闭集合； (2)若集合、为闭集合，则是否一定为闭集合？请说明理由； (3)已知集合、为闭集合，且，，证明：. 57．（25-26高一上·上海·期中）已知集合中存在三个元素，同时满足①；②；③为偶数，那么称集合具有性质.已知集合，对于集合的非空子集，若中存在三个互不相同的元素，使得均属于，则称集合是集合的“期待子集”. (1)试判断集合是否具有性质并说明理由； (2)若集合，判断“集合具有性质”是“集合是集合的期待子集”的什么条件，并加以证明. 58．（25-26高一上·上海·期中）设集合．如果集合满足：对任意、，与至少有一个属于，则称集合为“单封集”． (1)判断集合与是否为“单封集”，请直接写出结论． (2)若是“单封集”，且，，求． (3)若是“单封集”，证明：，并求出的值． 考点10 元素个数及最值／存在性 59．（25-26高一上·上海·期中）已知集合，集合，若对于中的任意两个不同的元素和，都有，则中元素个数的最大值是（    ）． A．676 B．675 C．672 D．671 60．（25-26高一上·上海·期中）若集合，其中、…、为非空集合，，，则称集合为集合的一个划分.例如：集合、、均为集合的一个2划分.设为有理数集的一个2划分，且满足对任意，任意，都有.则对于、有： ①中的元素存在最大值，中的元素不存在最小值； ②中的元素不存在最大值，中的元素存在最小值； ③中的元素不存在最大值，中的元素不存在最小值； ④中的元素存在最大值，中的元素存在最小值； 对于以上四种情况，可能成立的序号有（    ） A．①② B．①②③ C．②③④ D．①②④ 61．（24-25高一上·上海·期中）设是均含有2个元素的集合，且，记，则B中元素个数的最小值是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 62．（25-26高一上·上海·期中）设集合，并定义集合，集合，那么满足但的元素的个数为________． 63．（25-26高一上·上海·期中）给定有限集，记为集合内元素的个数．对正整数（），设，，则的最大值与最小值之和为______． 64．（25-26高一上·上海金山·期中）已知集合，集合、、满足：①每个集合都恰有4个元素；②.集合中元素的最大值与最小值之和称为集合的特征数，记为，则的最大值与最小值的积为___________. 65．（25-26高一上·上海·期中）如果正整数集的子集满足： ①； ②任意，存在，使得，则称为集． (1)分别判断与是否为集（直接写出结论）； (2)当时，对于集，设，求证：； (3)当时，若，求集中所有元素的和的最小值． 66．（24-25高一上·上海·期中）对给定的正整数，令.对任意、，定义与的距离，设是的至少含有两个元素的子集，集合中的最小值称为的特征值，记作. (1)设，，直接写出集合、的特征值； (2)当时，求证：存在集合满足对任意，都存在唯一的，使得，且中不同元素之间的距离为4049； (3)当时，且，求中元素个数的最大值（用表示）. 67（24-25高一上·上海·期中）若集合，其中、、…、均为非空集合，，则称集合为集合的一个划分， (1)写出集合的所有不同的2划分； (2)设为有理数的一个2划分，且满足对任意、都有，则下列两种情况是否可能成立？若可能成立，请举出一个例子；若不能成立，请说明理由； ①中的元素不存在最大值，并且中的元素不存在最小值； ②中的元素存在最大值，并且中的元素存在最小值； (3)设集合，对集合的任意一个3划分，证明：存在，存在、，使得． 68．（24-25高一上·上海·期中）设集合是至少有两个元素的实数集，集合且，称集合为集合的积集. (1)当时，写出集合的积集； (2)若是由4个正实数构成的集合，求其积集中元素个数的最小值； (3)判断是否存在5个正实数构成的集合，使其积集，并说明理由. 69．（24-25高一上·上海·期中）定义集合，对任意的，，定义，设是的至少含有两个元素的子集，集合中的最小值称为的特征，记作． (1)当时，直接写出下述两个集合的特征：， (2)当时，设且，求中元素个数的最大值； (3)当时，设且，求中元素个数的最大值． 70．（24-25高一上·上海·期中）已知非空实数集满足：若，则;若，则. (1)若，直接写出中一定包含的元素； (2)若由三个元素组成，且所有元素之和为，求； (3)若由2024个元素组成，求的元素个数的最大值. 2 / 25 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $