精品解析：北京市清华大学附属中学2026-2027学年上学期九年级数学统练4

九年级上学期数学统练4 一．选择题（共24分，每题3分） 1. 如下图，将绕点顺时针旋转得到，则点的坐标是( ) A. B. C. D. 2. 若正比例函数与反比例函数的图象的一个交点是，则另一个交点的坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 已知点，都在反比例函数的图象上，则下列结论正确的是（　　） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 4. 在一次聚会上，每两个人之间都互相赠送了一份礼物，若一共送出了90份礼物，则参加聚会的人有（ ） A. 9人 B. 10人 C. 11人 D. 12人 5. 平面直角坐标系中，抛物线关于原点对称的拋物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 6. 若关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是（　　） A. B. 且 C. D. 且 7. 如图，在“探索二次函数（）的系数a，b，c对函数图象的影响”活动中，老师给出了坐标系中的四个点：，，，．同学们分别画出了经过这四个点中的三个点的若干个二次函数图象，当取得最大值时，图象经过这四个点中的（ ） A. B. C. D. 8. 如图是二次函数的图象，直线与抛物线交于，两点，，两点横坐标分别为，，根据函数图象信息有下列结论：①；②；③；④若对于的任意值都有，则；⑤当为定值时，若变大，则线段变长．其中正确的结论是（ ） A. ①②④ B. ①② C. ①④ D. ②④ 二．填空题（共24分，每题3分） 9. 已知反比例函数与的图象如图所示，则、的大小关系是______．（填“”，“”或“”） 10. 设是一元二次方程的两个实数根，则的值是___________． 11. 如图，点，，，，在上，，则所对的圆周角度数为________． 12. 如图，菱形的顶点A，分别在轴，轴上，轴，，，反比例函数的图象经过点，则的值为__________． 13. 如图，将绕点C顺时针转得到．若A、D、E在同一条直线上，，则______（用含有的式子表示．） 14. 点，在二次函数的图象上，若，．则与的大小关系是______．（填“＞”、“＜”或“＝”） 15. 如图，以为圆心，半径为的圆与轴交于、两点，与轴交于，两点，点为上一动点，于，当点在的运动过程中，线段的长度的最小值为________． 16. 已知，是关于x的方程的两个不等实数根，且满足，则k的值为_____ ． 三．解答题（共72分，第17~19题每题6分，第20~21题每题5分，第22题6分，第23题5分，第24题7分，第25~26题每题6分，第27题8分，第28题6分） 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 如图，在中,，将绕点A顺时针旋转得到，使点C的对应点E落在上，连接． （1）若，求的度数； （2）若，求的长． 19. 已知二次函数． （1）先补全表格，则______．然后在平面直角坐标系中用“列表、描点、连线”的方法画出该二次函数的图象： x … 0 1 2 3 … … 2 2 … （2）根据表格图象可知，当时，y的取值范围是______． （3）点和都在此函数的图象上，且点A与点B不重合，若，结合函数图象，直接写出n的取值范围． 20. 如图，交于点C，D，是半径，且于点F． （1）求证：； （2）若，求的半径． 21. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若方程的一根恰为另一根的倍，求的值． 22. 如图，已知一次函数与反比例函数的图像在第一、三象限分别交于，两点，连接． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）求的面积； （3）直接写出时x的取值范围． 23. 如图，小明同学要给长城风景画安装一个四周宽度相等的白色画框，制成一个矩形工艺品，该工艺品的长为，宽为．若该工艺品中间风景画的面积为，求白色画框的宽度是多少？ 24. 如图，是的直径，于点，连接交于点． （1）求证：． （2）若，求的长． 25. 为了探究某飞机某次着陆后滑行的距离（单位：）与滑行时间（单位：）之间的关系，测得几组数据如表： 滑行时间 滑行距离 （1）根据上述数据，在平面直角坐标系中描出表格中对应的点，并判断此次滑行的距离与滑行时间满足的是________函数关系（填“一次”或“二次”）； （2）求与的函数关系式； （3）飞机着陆后滑行________能停下来，此时滑行的距离是________． 26. 在平面直角坐标系中，已知抛物线，设该抛物线的对称轴为． （1）若，求该抛物线的对称轴； （2）已知，抛物线上，若对于，，都有，求的取值范围． 27. 已知，点B，C分别在射线，上，将线段绕点C顺时针旋转得到线段，点D在射线上，连接． （1）如图1，用等式表示与的数量关系，并证明； （2）如图2，当时，过点D作的垂线交射线于点E．连接，用等式表示线段与的数量关系，并证明． 28. 给定图形和点，，若图形上存在两个不重合的点，，使得点关于点的对称点与点关于点的对称点重合，则称点与点关于图形双对合.在平面直角坐标系中，已知点，，． （1）在点，，中，与点关于线段双对合的点是______； （2）点是轴上一动点，的直径为1． ①若点与点关于双对合，求的取值范围； ②当点运动时，若上存在一点与上任意一点关于双对合，直接写出点的横坐标的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级上学期数学统练4 一．选择题（共24分，每题3分） 1. 如下图，将绕点顺时针旋转得到，则点的坐标是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形变化，旋转的性质； 先根据旋转的性质得到点的对应点为点，点的对应点为点，再根据旋转的性质得到旋转中心在线段的垂直平分线，也在线段的垂直平分线，即两垂直平分线的交点为旋转中心． 【详解】解：将以某点为旋转中心，顺时针旋转得到， 点的对应点为点，点的对应点为点， 作线段和的垂直平分线，它们的交点为， 旋转中心的坐标为． 故选：B． 2. 若正比例函数与反比例函数的图象的一个交点是，则另一个交点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查正比例函数和反比例函数的交点问题，坐标与图形的变化—中心对称，根据正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称进行解答即可，也是解题关键． 【详解】解：∵正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称， ∴两函数的交点关于原点对称． ∵一个交点的坐标是， ∴另一个交点的坐标是． 故选D． 3. 已知点，都在反比例函数的图象上，则下列结论正确的是（　　） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了比较反比例函数值的大小．反比例函数的图象在一三象限，且在每个象限内，y随x到增大而减小．据此可判断． 【详解】解：反比例函数的图象分布在第一、三象限，在每个象限内，y随x增大而减小； A、两点在同一象限时，若，则，原说法错误，本选项不符合题意； B、两点在不同一象限时，若，则，原说法错误，本选项不符合题意； C、反比例函数图象是关于原点的中心对称图形，若，则，正确，本选项符合题意； D、两点在不同一象限时，若，则，原说法错误，本选项不符合题意； 故选：C． 4. 在一次聚会上，每两个人之间都互相赠送了一份礼物，若一共送出了90份礼物，则参加聚会的人有（ ） A. 9人 B. 10人 C. 11人 D. 12人 【答案】B 【解析】 【分析】设参加聚会的同学有x人，则每人需赠送出份礼物，根据所有人共送了90份礼物，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：设参加聚会的同学有x人，则每人需赠送出份礼物， 依题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴参加聚会的同学有10人． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 5. 平面直角坐标系中，抛物线关于原点对称的拋物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；求抛物线关于原点对称的解析式，只需将原函数中的x替换为，y替换为，然后求解新函数解析式即可． 【详解】解：∵原函数为关于原点对称时，则该函数上的任意一点的对称点为， ∴，即， ∴， 故选D． 6. 若关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是（　　） A. B. 且 C. D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义以及判别式的应用，根据题意得出，，求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴，， ∴m且． 故选：D． 7. 如图，在“探索二次函数（）的系数a，b，c对函数图象的影响”活动中，老师给出了坐标系中的四个点：，，，．同学们分别画出了经过这四个点中的三个点的若干个二次函数图象，当取得最大值时，图象经过这四个点中的（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式及求函数值等知识；数形结合是解题的关键． 首先确定抛物线可能经过A、D、C或者B、D、C或者A、B、D，画出图象后，根据图象得出当时，y的值最大，即可得出结果． 【详解】解：∵A、B、C的纵坐标相同， ∴抛物线不会同时经过A、B、C三点， ∴抛物线可能经过A、D、C或者B、D、C或者A、B、D， 如图所示三条抛物线分别经过A、D、C， B、D、C，A、B、D， 当经过A、D、C三点时，由图像得：当时，y的值最大，即取得最大值， 故选：C 8. 如图是二次函数的图象，直线与抛物线交于，两点，，两点横坐标分别为，，根据函数图象信息有下列结论：①；②；③；④若对于的任意值都有，则；⑤当为定值时，若变大，则线段变长．其中正确的结论是（ ） A. ①②④ B. ①② C. ①④ D. ②④ 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数图像的开口方向、对称轴、增减性、与坐标轴的交点以及图像所经过的点逐项判断即可； 【详解】解：∵该二次函数图像开口向上，对称轴在轴右侧，与轴交于负半轴； ∴，，， ∴；①正确； ∵该二次函数图像经过点，， ∴该二次函数的对称轴为直线， ∴ 解得：；②正确， ∵， ∴， 由图像可知：， ∴， 即：；③错误； ∵对于的任意值都有， ∴该抛物线与轴负半轴的交点的临界点为，此时抛物线开口最小，最大； ∵该二次函数的对称轴为直线， ∴，即：， ∵二次函数图像经过点， ∴， ∴该二次函数的表达式可化为：， 将代入得： 解得：，此时最大， ∴；④错误； ∵当变大时，抛物线的开口变小， ∴线段变短；⑤错误， 综上，正确的有①②． 二．填空题（共24分，每题3分） 9. 已知反比例函数与的图象如图所示，则、的大小关系是______．（填“”，“”或“”） 【答案】＜ 【解析】 【分析】令x=a（a＞0），求函数值，结合函数图像根据不等式的性质判断即可； 【详解】解：∵y2在y1上面，当x=a（a＞0）时，y2＞y1，即 ∴k2＞k1， 故答案为：＜． 【点睛】本题考查了反比例函数图象的性质，掌握不等式的性质是解题关键． 10. 设是一元二次方程的两个实数根，则的值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，根与系数的关系，根据题意，得到，，进而得到，整体代入法求出代数式的值即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴ ． 故答案为：． 11. 如图，点，，，，在上，，则所对的圆周角度数为________． 【答案】 【解析】 【分析】先连接，根据圆内接四边形的性质得到，再结合已知条件得出，即可解答． 【详解】解：如图，连接， 点，，，，在上， ∴四边形是圆内接四边形， ，即． ， ， 即所对的圆周角度数为． 12. 如图，菱形的顶点A，分别在轴，轴上，轴，，，反比例函数的图象经过点，则的值为__________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象，菱形的性质，正确理解反比例函数的图象是解题的关键．设菱形的对角线，相交于点E，则根据菱形的性质可求出点B的坐标，代入反比例函数关系式求解，即得答案． 【详解】设菱形的对角线，相交于点E， 则，， 轴， 轴， ， 把代入，得， ． 故答案为：5． 13. 如图，将绕点C顺时针转得到．若A、D、E在同一条直线上，，则______（用含有的式子表示．） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的性质与判定，掌握旋转的性质是解决本题的关键． 根据旋转的性质表达出和度数，利用三角形外角的性质得到即可． 【详解】解：将绕点顺时针旋转得到． ，，， 点，，在同一条直线上， ． ． 故答案为：． 14. 点，在二次函数的图象上，若，．则与的大小关系是______．（填“＞”、“＜”或“＝”） 【答案】 < 【解析】 【分析】先求出二次函数的开口方向与对称轴，根据开口向上的二次函数的性质，点到对称轴的距离越大，对应的函数值越大，通过比较两点到对称轴的距离大小，即可得到与的大小关系． 【详解】解：， ∴对称轴为直线，抛物线开口向上， ∴抛物线上的点到对称轴的距离越大，对应的函数值越大， ，， 点到对称轴的距离更大， ． 15. 如图，以为圆心，半径为的圆与轴交于、两点，与轴交于，两点，点为上一动点，于，当点在的运动过程中，线段的长度的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】先连接，作于点，连接，利用等边对等角得出，利用垂径定理得出，再利用勾股定理和特殊的三角函数值，得出，，进一步得出，，再根据含角的直角三角形的性质，得出，，最后根据点在以为直径的上，可得当点在的延长线上时，的长最小，即可解答． 【详解】解：如图，连接，作于点，连接， ． 以为圆心，半径为的圆与轴交于、两点，与轴交于，两点， ，， ． ， ，． 在中，，， ，， ， ． ， ， ，． ， ， 点在以为直径的上， 的半径为， 当点在的延长线上时，的长最小，此时最小值为． 16. 已知，是关于x的方程的两个不等实数根，且满足，则k的值为_____ ． 【答案】或##或 【解析】 【分析】先根据一元二次方程根与系数的关系得到两根之和与两根之积，结合判别式大于得到的取值范围，再根据已知条件分和两种情况求解，验证后得到符合题意的的值． 【详解】解：，是关于的方程的两个不等实数根， 由根与系数的关系得：，， ∵方程有两个不等实数根， ∴判别式，解得， ， ∴将代入等式得：，分两种情况讨论： 当时，，原等式可化为：，解得，则，，解得，满足，符合题意； 当时，，原等式可化为：， 解得，则， ，解得，满足，符合题意． 综上，k的值为或． 三．解答题（共72分，第17~19题每题6分，第20~21题每题5分，第22题6分，第23题5分，第24题7分，第25~26题每题6分，第27题8分，第28题6分） 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【小问1详解】 解：， ∵， ∴， ∴，； 【小问2详解】 解： ∴或 ∴，． 18. 如图，在中,，将绕点A顺时针旋转得到，使点C的对应点E落在上，连接． （1）若，求的度数； （2）若，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等，也考查了勾股定理： （1）先根据旋转的性质得到，，，则可计算出，再根据等腰三角形的性质与三角形内角和定理计算出，然后计算即可； （2）先利用勾股定理计算出，再根据旋转的性质得到，，，所以，然后在中利用勾股定理可计算出的长 【小问1详解】 解：∵绕点A顺时针旋转得到使点C的对应点E落在上， ∴ ∴， ∵ ∴， ∴； 【小问2详解】 解：在中， ∵， ∴， ∵绕点A顺时针旋转得到使点C的对应点E落在上， ∴，，， ∴， 在中，． 19. 已知二次函数． （1）先补全表格，则______．然后在平面直角坐标系中用“列表、描点、连线”的方法画出该二次函数的图象： x … 0 1 2 3 … … 2 2 … （2）根据表格图象可知，当时，y的取值范围是______． （3）点和都在此函数的图象上，且点A与点B不重合，若，结合函数图象，直接写出n的取值范围． 【答案】（1）3；函数图象，如图所示： （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）把代入得出，即可得出，先描点，再连线，画出二次函数图象即可； （2）根据函数图象，写出当时，y的取值范围即可； （3）根据函数图象，得出答案即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：根据函数图象可得：当时，； 【小问3详解】 解：当时，，即， 根据函数图象可知：当或时，， ∵点和都在此函数的图象上，且点A与点B不重合，且， ∴n的取值范围为或． 20. 如图，交于点C，D，是半径，且于点F． （1）求证：； （2）若，求的半径． 【答案】（1） 证明：∵为的弦， ， ， ， ， ； （2）5 【解析】 【分析】本题考查垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． （1）由垂径定理得，根据等腰三角形的性质可得，再根据线段的和差关系可得结论； （2）连接，结合垂径定理和勾股定理列方程求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接， 为的弦， ∴，， ， 设的半径是r， ， 解得， ∴的半径是5． 21. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若方程的一根恰为另一根的倍，求的值． 【答案】（1）证明：在方程中， ，，， . ∵ ， ∴ 该方程总有两个实数根 （2）的值为或 【解析】 【分析】（1）利用根的判别式进行证明； （2）令，利用根与系数的关系列出方程组，然后求解． 【小问1详解】 证明：略； 【小问2详解】 解：根据题意得，令， 在方程中，， 将代入方程组可得， ∴或， ∴的值为或． 22. 如图，已知一次函数与反比例函数的图像在第一、三象限分别交于，两点，连接． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）求的面积； （3）直接写出时x的取值范围． 【答案】（1）反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为 （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）把A代入反比例函数可求得m，即可得到反比例函数的解析式，再将代入可求得a，再根据待定系数法求得一次函数的解析式即可； （2）求出一次函数图像与x轴交点坐标，再利用三角形的面积公式计算即可； （3）根据图像得到一次函数图像在反比例函数图像上方的x取值范围即可． 【小问1详解】 解：把代入反比例函数，解得：， ∴反比例函数的解析式为， ∵点在反比例函数图像上， ∴，解得：， ∴， ∵一次函数的图像经过A和B， ∴，解得：， ∴一次函数的解析式为． 【小问2详解】 解：∵一次函数的解析式为， ∴令，解得：，即一次函数图像与x轴交点为， ∵，， ∴． 【小问3详解】 解：如图：∵，， ∴根据函数图像可得：的x的取值范围为或． 【点睛】本题是主要考查了一次函数与反比例函数的交点问题、待定系数法求函数解析式等知识点，正确确定反比例函数和一次函数的解析式是解答本题的关键． 23. 如图，小明同学要给长城风景画安装一个四周宽度相等的白色画框，制成一个矩形工艺品，该工艺品的长为，宽为．若该工艺品中间风景画的面积为，求白色画框的宽度是多少？ 【答案】画框的宽度是 【解析】 【分析】设画框的宽度为，根据矩形的面积公式列出一元二次方程，解方程即可得解． 【详解】解设画框的宽度为，由题意可知， ． 解得，． ∵，且，即， ∴． 答：画框的宽度是． 24. 如图，是的直径，于点，连接交于点． （1）求证：． （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：连接， 是的直径， ， ， ， ， ． 又， ， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，等腰三角形的性质和判定，勾股定理，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）要证明，可以证明，是的直径，则，又知，则，则，，则； （2）可证明为等边三角形，则由可知，则利用勾股定理可求，进而可求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接，交于点， ， 是等边三角形， ， ，且， ， 在Rt中，， ， ， ， ，即， （负值舍去）， ， ， ， ∴， ∴． 25. 为了探究某飞机某次着陆后滑行的距离（单位：）与滑行时间（单位：）之间的关系，测得几组数据如表： 滑行时间 滑行距离 （1）根据上述数据，在平面直角坐标系中描出表格中对应的点，并判断此次滑行的距离与滑行时间满足的是________函数关系（填“一次”或“二次”）； （2）求与的函数关系式； （3）飞机着陆后滑行________能停下来，此时滑行的距离是________． 【答案】（1）如图所示， 二次 （2） （3）； 【解析】 【分析】（1）利用描点法画出函数图象，得出抛物线； （2）利用待定系数法求解； （3）利用二次函数顶点式进行求解． 【小问1详解】 解：略； 【小问2详解】 解：设二次函数的解析式为（）， 将代入解析式得， ， 解得， ∴； 【小问3详解】 解：当飞机滑行最远时，为二次函数的最大值，即为抛物线的顶点纵坐标， ∵， ∴顶点坐标为， ∴飞机着陆后滑行能停下来，此时滑行的距离是． 26. 在平面直角坐标系中，已知抛物线，设该抛物线的对称轴为． （1）若，求该抛物线的对称轴； （2）已知，抛物线上，若对于，，都有，求的取值范围． 【答案】（1）直线 （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与性质，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键． （1）把代入，再将函数解析式化成顶点式，即可求解； （2）根据题意，得抛物线的开口向上，抛物线的对称轴为，由抛物线的性质得当时，y 随x增大而增大，当时，y 随x增大而减小，再根据，，则当点A在点B左侧时，则，当点A在点B右侧时，则．然后分类讨论即可求解． 【小问1详解】 解：当时，， ∴抛物线的对称轴为直线． 【小问2详解】 解：∵ ∴抛物线的开口向上， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴当时，随增大而增大，当时，随增大而减小， ∵，， 当点在点左侧时，即， ∴， 当点在点右侧时，即， ∴． ①当，即时，此时点在对称轴右侧或顶点处， 当点在点左侧时，即， 由图象知，恒成立， 即时符合题意； 当点在点右侧时，即， 则， ∵关于对称轴的对称点， 此时要使，应有：， 化简得：， 又∵， ∴应有， 即； 综上，； ②当，即时，此时点在对称轴左侧， 当点在点左侧时，即， 则， ∵关于对称轴的对称点， 此时要使，应有：， 化简得：， 又∵， ∴， 即； 当点在点右侧时，即， 由图象知，恒成立， ∴； 综上：； 由①②得，． ∵，， ∴ ∴ 27. 已知，点B，C分别在射线，上，将线段绕点C顺时针旋转得到线段，点D在射线上，连接． （1）如图1，用等式表示与的数量关系，并证明； （2）如图2，当时，过点D作的垂线交射线于点E．连接，用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【答案】（1）， 证明：∵A，C，D共线， ． ， ． ∵线段绕点C旋转得到线段， ． ． （2）与的数量关系是， 证明：． ． ． 作，且使， 连接，． ∵， ． ． ． ． ． ． 在和中， ， ． ，． ． ， ， 在和中， ， ， ， ∵在中，， ． ． 【解析】 【分析】（1）根据旋转的全等性质，补角的性质，等腰三角形的判定，等量代换解答即可． （2）作，且使，连接，．利用三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的性质，等量代换思想解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，等量代换，熟练掌握相关图形的性质和等量代换思想是解题的关键． 28. 给定图形和点，，若图形上存在两个不重合的点，，使得点关于点的对称点与点关于点的对称点重合，则称点与点关于图形双对合.在平面直角坐标系中，已知点，，． （1）在点，，中，与点关于线段双对合的点是______； （2）点是轴上一动点，的直径为1． ①若点与点关于双对合，求的取值范围； ②当点运动时，若上存在一点与上任意一点关于双对合，直接写出点的横坐标的取值范围． 【答案】（1）D，F； （2）①；②或． 【解析】 【分析】（1）根据双对合的定义逐一判断即可得到答案； （2）①由双对合定义可知随着直径的端点G，H在上运动，点在以点A为圆心，2为半径的圆上及其内部（不含点A），由此求出取值范围；②找出临界图形，计算可以求出取值范围． 【小问1详解】 由双对合定义可知：， ，， 轴， ，， ， O关于线段的双对合点是D，F； 故答案为D，F； 【小问2详解】 ①设是上任意一条直径，则． 设点是与点A关于双对合的点，将点A和点分别关于点G，H对称后重合的点记为，所以点G，H分别是和 的中点． 由三角形中位线的知识，可知． 随着点G，H在上运动，点在以点A为圆心，2为半径的圆上及其内部（不含点A），将它记为S．因为点A与点关于双对合， 所以当S与y轴相交时，可求得t 的值为和． 所以t 的取值范围是． ②当上的一点在上时，如图，则上离最近的点到的距离为：时存在，解得； 当上的一点在BC上时，则上的点离最近的点到的距离不大于1， 即K到的距离不大于， ，即与x轴的夹角为45°， 交点， 这时， 即； 当上的一点在上时，则上的点离最近的点到的距离大于1，不存在； 综上所述：或 【点睛】本题考查新定义，能正确理解新定义并转化为所学知识解决问题是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $