专题11一元一次不等式应用及不等式组期中复习讲义(核心重点+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年浙教版八年级数学上册

专题11一元一次不等式应用及不等式组期中复习讲义 1.一元一次不等式应用：能读懂实际问题，抓住 “至少、至多、不低于、不超过” 等不等关键词，找准不等关系，设未知数列出一元一次不等式；会检验结果，结合实际意义取舍解，常结合方案选择、利润、采购分配等题型。 2.理解一元一次不等式组、不等式组的解集的概念，知道不等式组的解集是各个不等式解集的公共部分；掌握利用数轴确定不等式组解集的方法，熟记四种基本解集情况。 3.会规范解一元一次不等式组，先分别求解每个不等式，再借助数轴找公共解集；能在数轴上正确画出不等式组的解集，区分空心圈、实心点。 4.会求不等式组的特殊解，如整数解、正整数解、非负整数解；能根据不等式组解集情况、有无解、整数解个数，反求参数的取值范围，掌握含参不等式组的分析思路。 5.会用不等式组解决实际应用题，多个限制条件时，列出不等式组，求出解集后选取符合现实条件的方案。 6.掌握数形结合思想，借助数轴直观分析解集；理清易错点：①找不等关系时把不等号写反；②求公共解集时找错重叠部分；③含参问题忽略端点值能否取到；④实际问题忘记变量为正整数等隐含条件。 题型 考察方向 难度 题型一 列一元一次不等式 ★★ 题型二 用一元一次不等式解决实际问题 ★★★ 题型三 用一元一次不等式解决几何问题 ★★★ 题型四 一元一次不等式组的定义 ★ 题型五 求不等式组的解集 ★★ 题型六 解特殊不等式组 ★★★ 题型七 求一元一次不等式组的整数解 ★★★ 题型八 由一元一次不等式组的解集求参数 ★★★★ 题型九 不等式组和方程组结合的问题 ★★★★ 题型十 列一元一次不等式组 ★★★ 题型十一 不等式组的行程问题 ★★★ 题型十二 不等式组的工程问题 ★★★ 题型十三 不等式组的经济问题 ★★★★ 题型十四 不等式组的分配问题 ★★★★ 题型十五 不等式组的方案选择问题 ★★★★ 题型十六 不等式组的阶梯收费问题 ★★★★ 拔高题 5题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点01：一元一次不等式的应用 1.解题通用步骤（7 步） 审：读懂题意，分清已知量、未知量，找出描述不等关系的关键词； 设：设未知数，一般直接设所求量； 找：梳理不等关系（核心步骤，区别于方程的等量关系）； 列：根据不等关系列出一元一次不等式； 解：解一元一次不等式，求出解集； 验：结合实际意义筛选符合条件的解（人数、物品、车辆等只能取正整数，长度、重量为正数）； 答：规范写出完整答句。 2.常见关键词与对应不等号 不等号的读法及其意义： 符号 读法 意义 “≠” 不等于 表示两个量不相等，但无法确定谁大谁小，只说明二者存在差异 “＜” 小于 表示左边的量严格小于右边的量，不包含相等的情况 “＞” 大于 表示左边的量严格大于右边的量，不包含相等的情况 “≤” 小于或等于 即 “不大于”，表示左边的量小于右边，或与右边相等，两种情况满足其一即可 “≥” 大于或等于 即 “不小于”，表示左边的量大于右边，或与右边相等，两种情况满足其一即可 知识点02：一元一次不等式组相关概念 1.一元一次不等式组定义 由几个含有同一个未知数的一元一次不等式合在一起，组成一元一次不等式组。 判定三要素：①只一个未知数；②未知数次数为 1；③左右两边整式；④多个不等式联立。 2.不等式组的解集 组成不等式组的所有不等式解集的公共部分，叫做不等式组的解集；没有公共部分则不等式组无解。 3.解不等式组：求不等式组解集的全过程。 知识点03：解不等式组标准步骤 1.分别解组内每一个一元一次不等式，写出各自解集； 2.在同一条数轴上画出两个（多个）解集； 3.观察数轴，找出重叠的公共区域； 4.写出不等式组最终解集； 5.按需找出整数解、正整数解等。 知识点04:一元一次不等式组（四大解集模型）设 (a＜b) 知识点05：含参数的不等式组（重难点） 题型：已知不等式组有解 / 无解、整数解个数，求参数取值范围； 解题思路： 不含参数的不等式先求解； 结合数轴，对比参数分界点； 重点判断分界点是否取等号（空心 / 实心）； 核心技巧：借助数轴数形结合，避免漏等、多解。 知识点06:用一元一次不等式解决问题 核心解题步骤（6 步） 1.审：读题，分清已知量、未知量，找不等关系（抓关键词：大于、小于、不大于、至少、不超过、最多、不足等）。 2.设：设未知数（不设 “最多 / 至少”，直接设未知量，如 “设可买x件”）。 3.列：根据不等关系，列出一元一次不等式。 4.解：解一元一次不等式。 5.验：检验解集是否符合实际意义（如人数、件数为正整数，长度、重量为正数等）。 6.答：写出完整答案，明确 “最多 / 至少 / 不超过” 等结论。 题型 核心公式 销售利润 单件利润 = 售价−进价；总利润 = 单件利润 × 销量 经济方案 总费用 = 单价 × 数量 + 固定成本 行程 路程 = 速度 × 时间 分配 总量 = 单份数量 × 份数 ± 余量 知识点07:高频易错汇总 1.系数化为 1、去分母时乘负数，忘记变号； 2.去分母漏乘不含分母的常数项； 3.数轴实心、空心混用，画线方向出错； 4.应用题关键词看错，不等号选用错误； 5.参数题型端点等号判断出错； 6.实际问题忽略未知数为正整数。 题型一、列一元一次不等式 1．将关系“的一半不小于1”用不等式表示是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解题关键是明确“不小于”对应不等号． 【详解】解：的一半为，“不小于”即，得． 2．商家以200元/罐的价格购进一批茶叶，并在进价的基础上提价进行售卖，设售出的数量为x罐，若要使总销售额不低于13万元，则根据题意可列不等式为______． 【答案】 【分析】先统一单位，计算出每罐茶叶的售价，再根据总销售额的关系，结合“不低于”的含义列出不等式． 【详解】解：统一单位，13万元元， ∵ 每罐茶叶进价为200元，在进价基础上提价售卖， ∴ 每罐茶叶的售价为元， ∵ 售出数量为罐，要求总销售额不低于130000元，“不低于”表示大于等于，总销售额每罐售价售出数量， ∴ 可列不等式为． 3．李轩每天从甲地到乙地锻炼身体，甲、乙两地相距2千米．已知李轩步行的平均速度为100米/分，跑步的平均速度为200米/分，若他要在15分钟的时间内到达乙地，至少需要跑步多少分钟？设李轩需要跑步x分钟，则可列出的不等式为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】统一单位后，根据路程和不小于总路程列不等式． 【详解】解：千米米， 跑步分钟的路程为米，步行分钟的路程为米， 由题意得． 题型二、用一元一次不等式解决实际问题 4．某种商品进价为800元，标价1200元，由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于，则至少可以打（     ） A．6折 B．7折 C．8折 D．9折 【答案】C 【详解】解：设打折，由题意得， ∴， ∴， 解得． 5．如图，某商店将定价为30元的折叠式小台灯，按下列方式优惠销售：若购买不超过5台，按原价付款；若一次性购买5台以上，超过部分打八折．小亮现有246元，想购买该小台灯送给同学，那么他最多可以购买______台． 【答案】9 【分析】设他可以购买台，根据题意列出不等式，解不等式可得答案． 【详解】解：∵ 不打折的情况下可以购买8台，即购买数超5台， 设他可以购买台， 根据题意，得 解得， ∵x为整数， ∴x最大取9， 故他最多可以购买9台． 6．某客运站开展优质服务活动，雷锋号窗口每分钟服务1位顾客，窗口开始售票时，已有10位顾客在等待购票，窗口工作5分钟后，有1位新顾客到达且预计以后此后每隔2分钟有1位新顾客到达，预计从第位新顾客开始不用排队等候，则的值为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】根据第m位新顾客到达时窗口已服务完此前所有到达顾客的条件列不等式求解即可． 【详解】解：第位新顾客的到达时间为分钟，此时窗口已服务完位顾客，此前到达的顾客共位，不用排队需满足已服务人数此前到达人数， 即， 解得：， ∴从第6位新顾客开始不用排队等候． 题型三、用一元一次不等式解决几何问题 7．在三角形中，最大的内角不小于（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设三角形的三个内角分别为，，，且，根据得到，求解即可解答． 【详解】解：设三角形的三个内角分别为，，，且， ∵， 又， ∴， 解得， ∴最大的内角不小于． 8．如图，A点的初始位置位于数轴上表示1的点，现对A点做如下移动：第1次向左移动3个单位长度至B点，第2次从B点向右移动6个单位长度至C点，第3次从C点向左移动9个单位长度至D点，第4次从D点向右移动12个单位长度至E点，…，依此类推．这样第_____次移动到的点到原点的距离为2020． 【答案】1346 【分析】根据前几次移动得出的数据，得到移动次数为奇数和偶数时的规律，即可求解． 【详解】解：第1次点A向左移动3个单位长度至点B，则B表示的数，1﹣3＝﹣2； 第2次从点B向右移动6个单位长度至点C，则C表示的数为﹣2+6＝4； 第3次从点C向左移动9个单位长度至点D，则D表示的数为4﹣9＝﹣5； …； 由以上数据可知，当移动次数为奇数时，点在数轴上所表示的数满足：﹣（3n+1）， 当移动次数为偶数时，点在数轴上所表示的数满足：， 当移动次数为奇数时，﹣（3n+1）＝﹣2020，n＝（舍去）， 当移动次数为偶数时，＝2020，n＝1346． 故答案为：1346． 【点睛】本题考查与数字相关的规律问题，根据前几次的数据得出规律的代数式是解题的关键． 9．某种药品说明书上，贴有如图所示的标签，则一次服用这种药品的剂量范围是，则的值分别为（   ） 用法用量：口服，每天．分次服用． 规格：□□□□□□ 贮藏：□□□□□□ A． B． C． D． 【答案】D 【分析】用每天服用的最低剂量除以最多次数，用最高剂量除以最少次数． 【详解】解：每天最少服用30药品，最多服用3次，则每次最少服用， 同理每天最多服用60药品，最少服用2次，则每次最多服用. ∴x=10，y=30， 故选：D. 【点睛】本题考查一元一次不等式，关键是理解题意，用最小的药品剂量除以最大的次数得到每次最小的服用量，用最大的药品剂量除以最小的次数得到每次最大的服用量． 题型四、一元一次不等式组的定义 10．2026年6月5日是我国二十四节气中的芒种，某地当天最低气温是，最高气温是，则该地气温的变化范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵该地当天最低气温是，最高气温是， ∴气温满足最低气温最高气温即． 11．下列不等式组中，一元一次不等式组的个数是（   ） ①，②，③④，⑤ A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查一元一次不等式组的定义，熟练掌握定义并灵活运用是解题的关键．根据一元一次不等式组的定义，含有两个或两个以上的不等式，不等式中的未知数相同，并且未知数的最高次数是一次，对各选项判断后再计算个数即可． 【详解】解：根据一元一次不等式组的定义，①②④都只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，所以都是一元一次不等式组； ③含有一个未知数，但未知数的最高次数是2，⑤含有两个未知数，所以②⑤都不是一元一次不等式组． 故有①②④三个一元一次不等式组． 故选：B． 12．下列四个选项中是一元一次不等式组的是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元一次不等式组的定义：几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一次不等式组可得答案． 【详解】A、不是一元一次不等式组，故此选项错误； B、不是一元一次不等式组，故此选项错误； C、不是一元一次不等式组，故此选项错误； D、是一元一次不等式组，故此选项正确； 故选D． 【点睛】此题主要考查了一元一次不等式组的定义，关键是熟练掌握定义． 题型五、求不等式组的解集 13．不等式组的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元一次不等式组的解法，先分别计算两个不等式的解集，再取它们的公共解集即可． 【详解】解：解不等式，移项得． 解不等式，移项得， 系数化为得， 不等式组的解集为． 14．不等式组的解集为________． 【答案】 【分析】先分别求解两个不等式的解集，再取两个解集的公共部分得到不等式组的最终解集． 【详解】解：， 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为． 15．定义一种运算：，则不等式的解集是（    ） A．或 B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】根据新定义的运算规则，分和两种情况列出不等式，分别求解后取并集即可得到解集． 【详解】解：由定义可知，需分两种情况讨论： 情况1：当时， 解不等式得，即， 此时，原不等式化为， 解得， 结合前提，得此情况解集为； 情况2：当时， 解不等式得，即， 此时，原不等式化为， 解得， 结合前提，得此情况解集为； 综上，原不等式的解集为或． 题型六、解特殊不等式组 16．已知实数满足，且，设，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】根据得到，通过解不等式得出x的取值范围，表达出即可求出k的取值范围． 【详解】解：由得：， ∵ ∴ 解得 又∵ ∴ ∴ ∴ 即 故答案为： 【点睛】本题考查了根据已知参数的取值范围，求代数式的取值范围，解题的关键是对已知条件进行变形． 17．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集． 【详解】 解不等式①得：x≤﹣1，解不等式②得：x＞2，在数轴上表示为： 则不等式组的为空集． 故选B． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 18．若方程组的解为，则方程组的解为．利用上面的解题经验，解决下面问题：若不等式组的解集为，则不等式组的解集为__________． 【答案】 【分析】将待解不等式组变形为与已知不等式组结构一致的形式，对照已知解集求解即可； 【详解】解：对不等式组变形，同时加上得， 整理得， ∵不等式组的解集为， ∴， ∴． 题型七、求一元一次不等式组的整数解 19．不等式组的整数解的个数为（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】先分别求解两个一元一次不等式，得到不等式组的解集，再找出解集内的整数，统计整数解的个数即可． 【详解】解：， 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为， ∵为整数， ∴的整数解为0，1，2，共3个． 20．若关于x的不等式组有且只有五个整数解，则k的取值范围是_______． 【答案】 【分析】先分别求出每个不等式的解集，再结合不等式组有且只有五个整数解，得出，最后解出k的取值范围． 【详解】解：解不等式得， 解不等式，得：， ∵不等式组有且只有5个整数解， 即， ∴， 解得． 21．关于的不等式组恰有个整数解，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先解不等式组得解集，根据4个整数解确定的取值范围． 【详解】解：， 解不等式得：． 解不等式得：． ∴不等式组的解集为． ∵不等式组恰有4个整数解． ∴整数解为． ∴． 题型八、由一元一次不等式组的解集求参数 22．若不等式组的解集是，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵不等式组的解集是， ∴． 23．已知不等式组无解，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】先分别解出两个不等式的解集，再根据不等式组无解的条件列出关于的不等式，求解得到的取值范围． 【详解】解：解不等式 ，得：， 解不等式，得：， ∵不等式组无解 ∴根据不等式组解集“大大小小找不到”的原则，可得： 解得：． 24．若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于x的分式方程的解是负整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（     ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】B 【分析】先根据不等式组的解集确定的取值范围，再结合分式方程的解为负整数且分母不为0的条件筛选符合要求的整数，最后计算它们的和． 【详解】解：， 解，得， 解，得， ∵不等式组的解集为， ∴， 解得； 解得， ∵分式方程的解为负整数，且， ∴且， 解得且， ∴，且， ∵为整数， ∴满足条件的为，和为． 题型九、不等式组和方程组结合的问题 25．关于x的方程5x-2m =-4-x的解在2与10之间，则m得取值范围是（    ） A．m>8 B．m<32 C．8<m<32 D．m<8或 m>32 【答案】C 【分析】先解出x的，根据解在2与10之间即可求得m的值； 【详解】， 得：， ∵解在2与10之间， ∴， ∴． 故答案选C． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程与不等式的结合，准确分析是解题的关键． 26．若关于，的方程组的解满足，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】观察方程组两个方程的系数，将第二个方程减去第一个方程，可直接得到目标式关于k的表达式，再代入已知不等式即可求出k的取值范围． 【详解】解：， ②−①得， 整理得， ∵， ∴， 解得:． 27．已知关于的方程组的解都为非负数，若，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了不等式组和方程组相结合的问题，先解方程组得到，再根据方程组的解为非负数得到，则，再由已知条件得到，据此求解即可． 【详解】解： 得：，解得， 把代入②得：，解得， ∴方程组的解为， ∵关于的方程组的解都为非负数， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故选：D． 题型十、列一元一次不等式组 28．南昌市春季某日最高气温是，最低气温是，则济南当日气温的变化范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了将实际问题抽象出一元一次不等式组，抓住关键词语、列出不等式组是解答本题的关键．先根据最高气温与最低气温列出不等式组，然后再确定其解集即可解答． 【详解】解：由题意得，， ∴济南当日气温的变化范围是， 故选：C． 29．实验中学为参加社会实践活动的同学安排宿舍，若每间4人，则有20人无法安排，若每间8人，则有一间不空也不满．设宿舍有x间，可列不等式组_________________． 【答案】 【分析】每间4人，则有20人无法安排，若每间8人，则有一间不空也不满．设宿舍有x间，列出不等式组即可． 【详解】解：设宿舍有x间，寄宿学生的人数为人， 由题意可得． 30．七年级某班级部分同学去植树，若每人平均植树8棵，则还剩7棵；若每人平均植树9棵，则有1位同学植树的棵数不到8棵．设同学人数为x人，则下列各选项能准确表示同学人数与植树棵数关系的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】抓住总棵数不变的特点，根据最后1位同学的植树棵数范围列不等式组. 【详解】解：总植树棵数为棵. 每人植9棵时，位同学植9棵，剩余1位同学的植树棵数为. ∵该同学植树棵数不到8棵， ∴. ∵位同学均参与植树，该同学棵数大于0， ∴. 则不等式组为：. 题型十一、不等式组的行程问题 31．某市地铁收费标准如下：不超过2元；超过到（含）4元；超过到（含）6元；超过的部分，每增加1元可再乘坐．一位乘客单次乘坐地铁购票花费了7元（无优惠），设他乘坐地铁的里程为，则的取值范围是____________． 【答案】 【分析】根据给定的地铁收费标准，先确定6元对应的最大乘坐里程，再计算7元对应的最大乘坐里程，即可得到的取值范围． 【详解】解：由题意得，6元最多可乘坐，花费7元比6元多1元，可额外再乘坐， 因此7元最多可乘坐的里程为 ， 因此的取值范围是． 32．如图，A，B两地间的公路长，其中有一段长的施工道路，M距离A地甲、乙两辆轿车分别从A，B两地出发，沿该公路相向而行，乙车比甲车晚出发在非施工道路其限速情况如图所示，甲车始终以的速度行驶，乙车始终以的速度行驶；在施工道路，两车均以的速度行驶． (1)若 ①甲车出发时，甲车行至______处，乙车行至______处；填“M”“N”或“的中点” ②甲车行至的中点时，乙车行驶的时间为______h (2)已知两车在P处相遇． ①若P与N重合，求V的值； ②若P在非施工道路上不与M，N重合，直接写出V的取值范围． 【答案】(1)①M，N；② (2)①，②或 【分析】①根据题意，分别得到，，，，根据甲乙两车的速度，即可得到两车行驶的距离，即可得到结果； ②根据甲车在段和段的速度不同，得到甲车的行驶时间，结合乙车比甲车晚出发，得到乙车所用时间； ①两车在P处相遇与N重合，分别求出甲乙所用的时间，从而得到乙车的速度； ②分类讨论相遇点在上，分别表示甲乙所行驶的路程，根据总路程为，得到等式，表示出速度，同时结合限速的要求，得到结果． 本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，以及路程、速度、时间之间的关系的应用，正确理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：①依题意，，，， ， 甲车从A地出发，始终以的速度行驶， 甲车2小时共行驶了， 甲车出发2小时，行至M处， 乙车从B地出发，比甲车晚出发小时，以的速度行驶， 乙车共行驶了， 乙车行至N处， 故答案为：M，N； ②甲车行至的中点时，所用时间为：， 此时乙车行驶所用时间：， 故答案为：； （2）①两车在P处相遇，P与N重合， 甲车所用时间为， 此时乙车所用时间为， 乙车的速度为； ②P在非施工道路上不与M，N重合， 若P在上，设甲的行驶时间为t，则， 此时甲行驶路程为，乙行驶的路程为， ， ， ， 解得， 限速为， ， 若P在上，设甲的行驶时间为t，， 则， 此时甲行驶路程为，乙行驶的路程为， ， ， ， 解得， 限速为， ， 综上所述或． 33．如图①，对某条笔直道路的三个路口的红绿灯情况进行观测发现：路口A，C的绿灯持续时间为40秒，红灯持续时间为40秒；路口B的绿灯持续时间为30秒，红灯持续时间为30秒．各路口红绿灯随时间 （秒）的变化情况如图②所示，例如当 时，路口A为绿灯，路口B为红灯，路口C为绿灯．已知路口A到路口B，C的距离分别为600米和1000米．（为了研究方便，黄灯时间和路口宽度忽略不计） 请根据上述信息，解决下列问题： (1)甲驾驶汽车在道路上以15米/秒的速度匀速行驶，且恰好在绿灯刚亮起时（即 ）通过A路口，请判断其是否能不停车通过B路口，并说明理由； (2)乙驾驶汽车在道路上以速度 （米/秒）匀速行驶，且恰好在绿灯亮起10秒时（即 ）通过A路口，若其能在100秒前（含100秒，即 ）不停车连续通过B，C两个路口，求其行驶速度 的取值范围； (3)对于匀速行驶的汽车，是否存在速度 （米/秒），使得该车在 秒内（含0秒和20秒）任意时刻通过A路口后，都能在180秒前（含180秒，即 ）不停车连续通过B，C两个路口．若存在，请直接写出 的取值范围；若不存在，请说明理由． （说明：不停车通过路口是指到达路口时，路口为绿灯状态．） 【答案】(1)能不停车通过B路口，理由如下： 甲到达B路口的时间是（秒）， 由图②可知，路口B处于绿灯状态， ∴甲驾驶汽车能不停车通过B路口； (2) (3)或 【分析】（1）求出甲到达B路口的时间，根据图②判断即可； （2）设乙驾驶汽车离开A路口的路程为s，要使其在100秒前能不停车连续通过B，C两个路口，则要求汽车在30秒到60秒之间通过B路口，60秒到100秒之间通过C路口，据此列出不等式组，求解即可； （3）分汽车在B路口第1个绿灯时经过B路口，且不停车连续通过B，C两个路口；和在B路口第2个绿灯时经过B路口，且不停车连续通过B，C两个路口，两种情况，分别列出不等式组求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：设乙驾驶汽车离开A路口的路程为s， ∴． ∵要使其在100秒前能不停车连续通过B，C两个路口，则要求汽车在30秒到60秒之间通过B路口，60秒到100秒之间通过C路口， ∴，且， 解得 且 ， ∴满足条件的行驶速度v的取值范围为； （3）解：当汽车在0秒时经过A路口，且在B路口第1个绿灯时经过B路口，且不停车连续通过B，C两个路口，则 ，解得； 当汽车在20秒时经过A路口，且在B路口第1个绿灯时经过B路口，且不停车连续通过B，C两个路口，则 ，解得 ； ∴汽车在B路口第1个绿灯时经过B路口，且不停车连续通过B，C两个路口，速度v应满足． 当汽车在0秒时经过A路口，且在B路口第2个绿灯时经过B路口，且不停车连续通过B，C两个路口，则 ，解得； 当汽车在20秒时经过A路口，且在B路口第2个绿灯时经过B路口，且不停车连续通过B，C两个路口，则 ，解得； ∴汽车在B路口第2个绿灯时经过B路口，且不停车连续通过B，C两个路口，速度v应满足． 综上所述，v的取值范围为或． 题型十二、不等式组的工程问题 34．“智能引领未来，科技赋能生活”，为提高清洁效率，某体育馆购置一台智能洗地机器人（如图），但因机器人处理顽固污渍能力有限，该体育馆计划采用“人机协同”的清洁模式，即在机器人完成基础清洁后，由人工进行顽固污渍的处理．具体流程如下： 机器人按规划路线完成基础清洁，同步识别并向系统上报顽固污渍点信息； 系统生成污渍分布图，将污渍点按空间分布位置生成多个任务包和任务预估处理工时； 系统智能分配任务包给清洁工，清洁工按照任务包提供的污渍点信息完成清洁工作． 由于近期赛事安排紧凑，为了进一步提高清洁效率，体育馆又购置了一台同品牌的洗地机器人（工作效率更高但未超过原机器人的1.5倍），并将人工清洁外包给甲、乙两个清洁团队． 已知该体育馆一共有两层，第一层需清扫的面积为平方米，第二层需清扫的面积为平方米，其中． 任务一  计算机器人的工作效率 原购置的洗地机器人每小时清洁面积相当于一个清洁工的6倍，用这台机器人清洁2400平方米场地所需时间比一个清洁工清洁1200平方米场地少用2小时．求原购置的机器人每小时清洁面积． 任务二  比较机器人的清洁时长 体育馆安排新购置机器人清洁面积大的楼层，而原机器人清洁面积小的楼层，请计算说明哪台机器人先完成基础清洁任务． 任务三  设计人工清洁方案 某场比赛结束，两台机器人完成清洁工作后，系统生成4个任务包，并将任务分配给相应的清洁团队，如表1．甲、乙两个团队收费标准如表2，其中基础费只收取一次，工时费不足0.5小时按0.5小时算． 表1 任务包编号 位置 系统分配团队 处理工时（min） 观众席 甲 75 比赛场地 乙 40 出入通道 甲、乙合作 35 内场角落 乙 70 表2 团队 基础收费（元） 工时费（元/小时） 甲 500 1200 乙 800 1000 请设计人工清洁方案，使完成时间最少，并尽量减少外包费用．（转场时间忽略不计） （要求：每个任务包由系统分配的团队完成；每个团队的工时从开始工作算起到本团队所有任务结束；甲乙合作的任务需两个团队同时开始；设计的清洁方案需包含清洁流程、完成时间和外包费用；所有的任务包的任务都要完成）． 【答案】 任务一：原购置的机器人每小时清洁平方米； 任务二：原机器人先完成基础清洁任务； 任务三： 解：依据完成时间最少为优先原则，最佳人工清洁方案为： 清扫流程：甲乙两个团队先合作完成任务包后，甲团队完成任务包，乙团队完成和任务包； 完成时间： ；甲工时为，乙工时为； 外包费用： ，，（元） 【分析】本题考查分式方程的实际应用，不等式的实际应用，方案选择问题． 任务一：设原购置的机器人每小时清洁平方米，根据题意列方程求解即可； 任务二：通过比较各楼层的清扫面积，可得新购置机器人清洁第一层，原机器人清洁第二层，设原机器人的工作效率为，新购置的机器人的工作效率为，比较清扫时间即可； 任务三：依据完成时间最少为优先原则，尽量减少费用，先合作，再分工，减少等待时间，可确定最佳方案，计算完成时间和外包费用即可． 【详解】任务一： 解：设原购置的机器人每小时清洁平方米， 根据题意可得 解得， 经检验，是原分式方程的解， ∴原购置的机器人每小时清洁平方米． 任务二： 解： ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴新购置机器人清洁第一层，原机器人清洁第二层， 设原机器人的工作效率为，新购置的机器人的工作效率为， 根据题意可得， 又∵， ∴， ∵ ， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴原机器人先完成基础清洁任务． 任务三：略 35．某地打造运河风光带，交由，两个工程队合作完成一段总长300米的河道清理工程．已知工程队每日清理15米，工程队每日清理8米，，两队施工天数均为正整数． (1)若，两队各自施工的天数之和为27天，求，两队分别施工多少天； (2)若完工时队施工天数少于队，求队至多施工多少天； (3)队施工天，队先按原有效率施工天，之后提升清理效率，改为每日清理10米，继续施工天．若两队合作完成全部清理任务，，，均为正整数且，求工程队的施工天数． 【答案】(1)A队施工12天，B队施工15天 (2)A队至多施工12天 (3)A工程队施工天数为16天 【分析】（1）设A队施工天，则B队施工天，由题意得：，然后进行求解即可； （2）设队施工天，B队施工天，由题意得：，则有，然后可得，进而问题可求解； （3）由题意易得，则有，然后可得，进而问题可求解． 【详解】（1）解：设A队施工天，则B队施工天，由题意得： ， 解得：； 答：A队施工12天，B队施工15天 （2）解：设队施工天，B队施工天，由题意得： ， ∴， ∵完工时队施工天数少于队， ∴， 解得：， ∵是正整数，且是的倍数， ∴的最大值为； 答：A队至多施工12天 （3）解：由题意得： ， 得：， ∴， ∵，即，， ∴， 解得：， ∵取正整数， ∴， 答：A工程队施工天数为16天． 36．为实现区域教育均衡发展，重庆市计划今后几年对我区各乡镇中、小学校全部进行改造．根据预算，共需资金1 300万元．改造一所中学和一所小学共需资金135万元；改造两所中学和一所小学共需资金215万元． (1)改造一所中学和一所小学所需的资金分别是多少万元？ (2)若我区要改造的乡镇中学不超过8所，则要改造的小学有多少所？ (3)重庆市计划今年对我区乡镇中、小学共10所进行改造，改造资金由市财政和区财政共同承担．若今年市财政拨付的改造资金不超过550万元；区财政投入的改造资金不少于110万元，其中区财政投入到中、小学的改造资金分别为每所15万元和10万元．请你通过计算求出有哪几种改造方案？ 【答案】(1)改造一所中学需资金80万元，改造一所小学需资金55万元 (2)要改造的小学有12所 (3)四种改造方案∶方案一∶改造2所中学，8所小学；方案二∶改造3所中学，7所小学；方案三∶改造4所中学，6所小学；方案四∶改造5所中学，5所小学 【分析】（1）设改造一所中学需资金x万元，改造一所小学需资金y万元，根据改造一所中学和一所小学共需资金135万元；改造两所中学和一所小学共需资金215万元，列出方程组进行求解即可； （2）设要改造的小学有m所，根据要改造的乡镇中学不超过8所，列出不等式进行求解即可； （3）设改造中学a所，则改造小学所，由今年市财政拨付的改造资金不超过550万元；区财政投入的改造资金不少于110万元，列出不等式组进行求解即可． 【详解】（1）设改造一所中学需资金x万元，改造一所小学需资金y万元，根据题意，得，解得， 答∶改造一所中学需资金80万元，改造一所小学需资金55万元． （2）设要改造的小学有m所，根据题意，得， 解得． ∵m为正整数，且在范围内，使为整数的值只有， ∴． 答∶要改造的小学有12所． （3）设改造中学a所，则改造小学所，根据题意， 得，解得． ∵a取整数， ∴a的值为2，3，4，5． ∴对应的值分别为8，7，6，5， ∴有以下四种改造方案∶ 方案一∶改造2所中学，8所小学； 方案二∶改造3所中学，7所小学； 方案三∶改造4所中学，6所小学； 方案四∶改造5所中学，5所小学． 【点睛】本题考查二元一次方程组，一元一次不等式和一元一次不等式组的实际应用，正确的列出方程组和不等式组是解题的关键． 题型十三、不等式组的经济问题 37．滨海小城计划建设一些共享单车租赁点．已知建设一个小型租赁点的成本是5000元，建设一个大型租赁点的成本是8000元，若小城计划投入资金不超过50000元，建设大、小两种租赁点一共8个（两种租赁点都至少有一个），则有多少种建设方案？ 【答案】有3种建设方案 【分析】设建设个大型租赁点，则建设个小型租赁点，根据题意列不等式求出范围，找出其中的正整数解即可求解． 【详解】解：设建设个大型租赁点，则建设个小型租赁点． 根据题意，得     解得，     又因为为正整数，所以可以取1，2，3．    因此，共有3种建设方案： ①建设1个大型租赁点，7个小型租赁点； ②建设2个大型租赁点，6个小型租赁点； ③建设3个大型租赁点，5个小型租赁点． 38．2026年5月24日神舟二十三号载人飞船发射任务圆满成功，七年级（1）班很多同学都是航天爱好者，他们计划采购甲、乙两款神舟二十三号仿真飞船模型用于班级收藏．已知购买1件甲种模型和1件乙种模型共需40元；购买2件甲种模型和3件乙种模型一共花费95元． (1)求甲、乙两种飞船模型的销售单价； (2)班委会决定一共采购两款模型共计15件，且总采购预算低于320元，则最多能购进______________件甲种飞船模型； (3)供货商针对甲模型推出阶梯优惠：采购数量不超过5件按原价销售，采购数量超出5件时，超出部分每件优惠6元，乙模型售价保持不变．若仍一共采购15件模型． ①当购买甲模型为7件时，所花费用需要______________元； ②班委会决定同时购买两种模型，所用资金高于280元且不超过295元．请通过计算说明共有多少种购买方案？ 【答案】(1)甲种模型的销售单价为元、乙种模型的销售单价元； (2)9 (3)①；②共4种方案 【分析】（1）题目给出两组甲乙搭配购买的总价等量关系，可设单价建立二元一次方程组求解； （2）设甲采购数量为未知数，结合总件数表示乙的数量，根据总预算低于元列不等式，取满足条件的最大整数； （3）①甲采购7件超出5件，分段计算甲的费用，再结合乙的采购数量算出乙费用，两者相加得到总花费；②分甲采购量不超过5件、超过5件两种优惠情况列出总费用表达式，结合资金范围解不等式，筛选合法整数取值得到方案数． 【详解】（1）解：设甲种模型的销售单价为、乙种模型的销售单价为， ， 解得：， 答：甲种模型的销售单价为元、乙种模型的销售单价为元； （2）解：设购进甲种模型件，则购进乙种模型件， 由题意得：， 解得：， 因为为正整数， 所以的最大值为； （3）解：①当购买甲模型为7件时， 前5件按原价：元； 超出的2件每件优惠6元：元； 乙模型的数量为， 费用：元， 所花费用需要：元； ②设购买甲种模型件，则乙种模型件， 当时， ， 解得：， ， 故此情况无解； 当时， ， 解得：， 为正整数，故，共4种方案． 39．阅读利用不等式的基本性质说明下列结论正确性的内容，并解答下面提出的问题： 例：如果，，那么． 解：，． ，． ． (1)请说明：如果，，，都是正数，且，，那么． (2)【应用】已知：，且，．求的取值范围． (3)【拓展】一家家具生产企业，生产学生用的课桌椅，一张桌子的售价比一把椅子高50元，若一张桌子的售价不低于120元，一把椅子的售价不超过90元，求出售一套桌椅（一张桌子+一把椅子）定价的范围（定价用表示）． 【答案】(1)解：，是正数， ． ，是正数， ． ； (2) (3) 【分析】（1）根据不等式的性质得．，进而可得； （2）由得，结合求出．由得，结合求出，进而可求出的取值范围； （3）设每张椅子的价格为元，根据题意列不等式组求出，进而得出一套桌椅的取值范围，由得，得出求解即可． 【详解】（1）略； （2）解：， ． 又， ， ． 又， ， ． 又， ， ． 又， ． ； （3）解：设每张椅子的价格为元， 由题意得，． 解得， ∴， ∴， ， ． ． ． 答：出售一套桌椅定价的范围． 题型十四、不等式组的分配问题 40．某班班主任刘老师打算把一些书分给几名同学，如果每人分本，那么剩余本；如果前面的每名同学分本，那么最后一人分到了书但是不到本．则共有多少名同学． 【答案】 共有名同学 【分析】结合题意列出一元一次不等式组即可得解． 【详解】解：设共有名同学，则这些书有本， ， 解得， 为整数， ， 共有名同学． 41．学校组织八年级学生参观科技馆，共有45人参加．现有甲、乙两种客车：甲种客车每辆载客30人，租金400元；乙种客车每辆载客12人，租金200元．学校准备租3辆车（两种车都要租）． (1)设租甲种客车 辆，用 含 的不等式表示“总座位数不少于45”，并求 的所有可能取值； (2)怎样安排租车方案最省钱？最少租金是多少元？ 【答案】(1)用 含 的不等式表示“总座位数不少于45”为， 或 (2)租甲种客车1辆、乙种客车2辆最省钱，最少租金为800元 【分析】（1）根据题意列不等式组，求得整数解，即可求解； （2）设总租金为 元，列出代数式，根据（1）的结论，代入的值，即可求解． 【详解】（1）解：设租甲种客车 辆，用 含 的不等式表示“总座位数不少于45”为：， 由题意得 ， 解得 ． 因为 为整数， 所以 或 ． （2）解：设总租金为 元，则 ． 时，； 时，． 所以租甲种客车1辆、乙种客车2辆最省钱，最少租金为800元 42．根据以下素材，完成任务： 背景 学校举办“跳蚤市场”爱心义卖活动，小伟和同学们在网上购买手工甲、乙两类diy材料包，分别制作A“哪吒之魔童闹海”、B“励志学习”两种手工钻石贴画装饰摆件，在义卖活动中推销自己的手工作品． 素材1 已知购进2套甲类diy材料包和1套乙类diy材料包共需21元，购进5套甲类diy材料包和3套乙类diy材料包共需55元． 素材2 已知制作1件A装饰摆件需1套甲类diy材料包，制作1件B装饰摆件需1套乙类diy材料包．小伟和同学们共筹集到资金310元购买甲、乙两类diy材料包，计划制作A，B两种手工钻石贴画装饰摆件共50件，且B种装饰摆件的数量不高于A种装饰摆件数量的2倍． 素材3 在义卖活动中，两种手工钻石贴画装饰摆件的售价为：A种装饰摆件16元/件，B种装饰摆件10元/件． 问题解决 任务1 求购买甲、乙两类diy材料包每套各需要多少元？ 任务2 问购买甲、乙两类diy材料包共有哪几种方案？ 任务3 请你帮小伟和同学们设计销售完A、B两种手工钻石贴画装饰摆件获利最大的制作方案？最大利润是多少元？ 【答案】任务1：甲类diy材料包每套元，乙类diy材料包每套元； 任务2：共有4种方案：购买甲类diy材料包17套，购买乙类diy材料包33套， 购买甲类diy材料包18套，购买乙类diy材料包32套， 购买甲类diy材料包19套，购买乙类diy材料包31套， 购买甲类diy材料包20套，购买乙类diy材料包30套； 任务3：制作A种装饰摆件20件，B种装饰摆件30件时，获利最大，最大利润是元． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用． 任务1：设甲类diy材料包每套x元，乙类diy材料包每套y元，列二元一次方程组求解即可； 任务2：设购买甲类diy材料包z套，则购买乙类diy材料包套，根据题意列一元一次不等式组计算即可； 任务3：先求出A、B两种装饰摆件的单件利润，再根据利润高的越多获利越大结合任务2作答即可． 【详解】解：任务1：设甲类diy材料包每套x元，乙类diy材料包每套y元， ∵购进2套甲类diy材料包和1套乙类diy材料包共需21元，购进5套甲类diy材料包和3套乙类diy材料包共需55元， ∴， 解得：， ∴甲类diy材料包每套元，乙类diy材料包每套元； 任务2：设购买甲类diy材料包z套， ∵制作1件A装饰摆件需1套甲类diy材料包，制作1件B装饰摆件需1套乙类diy材料包， ∴制作A，B两种手工钻石贴画装饰摆件共50件共需diy材料包50套， ∴购买乙类diy材料包套， ∵共筹集到资金310元，B种装饰摆件的数量不高于A种装饰摆件数量的2倍 ∴， 解得：， 即共有4种方案：购买甲类diy材料包17套，购买乙类diy材料包33套， 购买甲类diy材料包18套，购买乙类diy材料包32套， 购买甲类diy材料包19套，购买乙类diy材料包31套， 购买甲类diy材料包20套，购买乙类diy材料包30套； 任务3：∵A种装饰摆件16元/件，B种装饰摆件10元/件， ∴A种装饰摆件利润为元/件，B种装饰摆件元/件， 可知A种装饰摆件利润更大，即A种装饰越多利润越大， ∴制作A种装饰摆件20件，B种装饰摆件30件时，获利最大，最大利润是（元）． 题型十五、不等式组的方案选择问题 43．随着技术越来越成熟，工业生产逐步智能化，某企业为提高生产效率，采购了相同数量的A型、B型两种智能机器人，购买A型机器人的总费用为120万元，购买B型机器人的总费用为90万元．B型机器人单价比A型机器人单价低3万元． (1)求A型、B型两种机器人的单价； (2)该企业计划从采购的这批机器人中选择12台配备到某生产线，要求A、B两种型号的机器人各至少配备4台，且购买这12台机器人的总费用不超过126万元，求出所有配备方案． 【答案】(1)A型机器人单价为12万元，B型机器人单价为9万元 (2)方案一：A型机器人4台，B型机器人8台；方案二：A型机器人5台，B型机器人7台；方案三：A型机器人6台，B型机器人6台 【分析】本题考查分式方程的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，正确的列出分式方程和不等式组，是解题的关键： （1）设A型机器人单价为万元，则B型机器人单价为万元，根据采购了相同数量的A型、B型两种智能机器人，购买B型机器人的总费用为90万元，购买A型机器人的总费用为120万元，列出方程进行求解即可； （2）设配备A型机器人台，则配备B型机器人台，根据购买这12台机器人的总费用不超过126万元，A、B两种型号的机器人各至少配备4台，列出不等式组进行求解即可． 【详解】（1）解：设A型机器人单价为万元，则B型机器人单价为万元， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原分式方程的根，且符合题意， 所以． 答：A型机器人单价为12万元，B型机器人单价为9万元． （2）解：设配备A型机器人台，则配备B型机器人台， 根据题意，得， 解得， ∵要求两种型号的机器人各至少配备4台，且y为正整数， ∴y的取值为4，5，6，共有3种方案： 方案一：A型机器人4台，B型机器人8台； 方案二：A型机器人5台，B型机器人7台； 方案三：A型机器人6台，B型机器人6台． 44．学校书法社团要购买甲、乙两种毛笔共支，甲种毛笔每支元，乙种毛笔每支元，总费用不超过元． (1)设购买甲种毛笔支，列出关于的不等式，并求的取值范围； (2)若甲种毛笔至少购买支，那么共有哪几种购买方案？哪种方案总费用最低？最低费用是多少元？ 【答案】(1)不等式为，的取值范围是且为整数. (2)共有种购买方案： 方案：购买甲种毛笔支，乙种毛笔支； 方案：购买甲种毛笔支，乙种毛笔支； 方案：购买甲种毛笔支，乙种毛笔支； 方案：购买甲种毛笔支，乙种毛笔支； 方案：购买甲种毛笔支，乙种毛笔支； 方案：购买甲种毛笔支，乙种毛笔支； 购买甲种毛笔支、乙种毛笔支的方案总费用最低，最低费用为元. 【分析】（1）根据购买毛笔总费用不超过元列出一元一次不等式，结合实际意义确定的取值范围； （2）结合甲种毛笔至少购买支的条件，确定可取的整数，列出全部购买方案；列出总费用关于的函数，利用一次函数的增减性求出最低总费用. 【详解】（1）解：设购买甲种毛笔支，则购买乙种毛笔支， 根据 “总费用不超过元”，总费用甲种毛笔总费用乙种毛笔总费用， 可列不等式：， ， ， ， ， 结合实际意义：毛笔支数不能为负数， ，且为整数（毛笔数量为非负整数）， 则的取值范围：且为整数； （2）解：已知“甲种毛笔至少购买支”，即， 结合（1）的结论，且为整数，可得可取、、、、、，共种购买方案： 方案：购买甲种毛笔支，乙种毛笔支； 方案：购买甲种毛笔支，乙种毛笔支； 方案：购买甲种毛笔支，乙种毛笔支； 方案：购买甲种毛笔支，乙种毛笔支； 方案：购买甲种毛笔支，乙种毛笔支； 方案：购买甲种毛笔支，乙种毛笔支 设总费用为元，则总费用的表达式为：， ， 随的增大而增大， 当取最小值时，总费用最低， 代入计算最低费用：（元）， 答：共有种购买方案；购买甲种毛笔支、乙种毛笔支的方案总费用最低，最低费用为元． 45．“全民阅读”深入人心，读书好，好读书，读好书，让人终身受益．为满足同学们的读书需求，学校图书馆准备采购名人传记和故事会两类图书，经了解，本名人传记和本故事会共需元，本名人传记与本故事会的费用一样（注：每本名人传记的单价相同，每本故事会的单价相同）． (1)求每本名人传记和故事会各多少元？ (2)若学校要求购买名人传记比故事会多本，故事会和名人传记总数不低于本，总费用不超过元，请问有几种购书方案？ (3)在（2）的条件下，若学校实际购买时，名人传记单价上调元/本，故事会单价下调元/本，此时购买这两种书籍所需最少费用为元，则的值是________． 【答案】(1)每本名人传记元，每本故事会元 (2)共有种购书方案，分别为： 方案：购买故事会本，名人传记本； 方案：购买故事会本，名人传记本； 方案：购买故事会本，名人传记本； 方案：购买故事会本，名人传记本； 方案：购买故事会本，名人传记本； 方案：购买故事会本，名人传记本． (3) 【分析】（1）设每本名人传记元，每本故事会元，根题意列方程组即可求解； （2）设购买故事会本，则购买名人传记本，根据题意列不等式组，即可求解； （3）根据题意得，由，，，可得当时，费用最少，即可求解． 【详解】（1）解：设每本名人传记元，每本故事会元， 根据题意可得， 解得， 答：每本名人传记元，每本故事会元； （2）解：设购买故事会本，则购买名人传记本， 根据题意得， 解得， 共有种购书方案，分别为： 方案：购买故事会本，名人传记本； 方案：购买故事会本，名人传记本； 方案：购买故事会本，名人传记本； 方案：购买故事会本，名人传记本； 方案：购买故事会本，名人传记本； 方案：购买故事会本，名人传记本； （3）调价后，名人传记的单价为元，故事会的单价为元， 根据题意得买两种书的总费用为：， ，，， 当时，费用最少， ， 解得． 题型十六、不等式组的阶梯收费问题 46．为践行“四季莫负春光日，人生不负少年时”的教育理念，我校七年级拟于5月29号组织60名老师和1160名学生前往浏阳博士村开展研学活动．活动前年级组准备租用A、B两种型号的客车(每种型号的客车至少租用5辆)．A型车每辆租金是500元，B型车每辆租金是600元，若2辆A型车和1辆B型车坐满后共载客140人，3辆A型车和4辆B型车坐满后共载客335人． (1)每辆A型车、B型车坐满后各载多少人？ (2)若年级组计划租用A型车和B型车共28辆，要求B型车数量不超过A型车数量的3倍，请问一共有多少种租车方案？哪种租车方案租金费用最少？最小租金费用为多少元？ 【答案】(1)每辆型车坐满后载客人，每辆型车坐满后载客人； (2)一共有种租车方案，当租用辆型车、辆型车时，租金费用最少，最小租金费用为元． 【分析】题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用； （1）设每辆型车坐满后载客人，每辆型车坐满后载客人，根据辆型车和辆型车坐满后共载客人，辆型车和辆型车坐满后共载客人”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设租用辆型车，则租用辆型车，根据租用的两种客车的共载客量不少于人且租用型车数量不超过型车数量的倍，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，结合，均为不小于的正整数，可得出，进而可得出共有种租车方案，由即型车每辆租金小于型车每辆租金，可得出当租用型车越多时，总租金越小，结合的取值范围，即可找出租金最少的租车方案，再求出此时的总租金即可． 【详解】（1）解：设每辆型车坐满后载客人，每辆型车坐满后载客人， 根据题意得：， 解得：． 答：每辆型车坐满后载客人，每辆型车坐满后载客人； （2）设租用辆型车，则租用辆型车， 根据题意得：， 解得：， 又，均为不小于的正整数， ， 种， 一共有种租车方案． ， 即型车每辆租金小于型车每辆租金， 当租用型车越多时，总租金越小， 当时，辆，总租金为元． 答：一共有种租车方案，当租用辆型车、辆型车时，租金费用最少，最小租金费用为元． 47．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，重庆市采用价格调控的方式达到节水的目的．重庆市自来水的收费价格见价目表．注：水费按月结算．若某户居民1月份用水8立方米，则应交水费：（元）． 价目表 每月用水量 单价 不超出6立方米的部分 2元/立方米 超出6立方米不超出10立方米的部分 4元/立方米 超出10立方米的部分 8元/立方米 (1)若小明家2月份用水立方米，则应交水费________元； (2)若小明家3月用水量为立方米，当时，小明家应交水费______元，当时，小明家应交水费_______元；（请用含的代数式表示） (3)若小明家3月份，4月份共用水12立方米（4月份用水量多于3月份），共交水费38元，则小明家3，4月份各用水多少立方米？ 【答案】(1)； (2)，； (3)3月份用水立方米，4月份用水立方米． 【分析】本题主要考查了分段计费问题，涉及有理数运算、列代数式及一元一次方程的应用．熟练掌握分段计算费用的方法，根据不同用水量范围准确列出算式或方程是解题的关键． （1）根据价目表，将12.5立方米的用水量按不同单价分段计算，分别算出各段水费再求和． （2）当时，水费由6立方米按2元/立方米和超出6立方米部分按4元/立方米计算；当时，水费由6立方米按2元/立方米、4立方米（6到10立方米）按4元/立方米、超出10立方米部分按8元/立方米计算，据此列代数式． （3）分情况讨论3月用水量的范围，根据不同范围的水费计算方式列方程求解． 【详解】（1）解：应交水费：（元）， 故答案为：； （2）解：当时， 水费为（元） 当时， 水费为（元） 故答案为：，； （3）解：设3月份用水立方米，则4月份用水立方米，由题意得， ，即． 当，即时， 水费为． 令， 解得（舍去）． 若，即， 水费为． 令， 解得． ∴3月份用水立方米，4月份用水立方米． 48．为鼓励节约用水，居民生活用水采用阶梯收费．水价分三个等级：第一级为月用水量17m3以下（包括17m3）；第二级为月用水量超过17m3但不超过30m3；第三级为月用水量超过30m3（不包括30m3）．下面是某居民收到的一张2025年7月份的生活用水消费明细（不完整）． 居民生活用水消费明细 计费日期2025﹣7﹣1至2025﹣7﹣31 自来水费 污水处理费 用水量/m3 单价/（元/m3） 金额/元 用水量/m3 单价/（元/m3） 金额/元 阶段一：17 2 34 阶段一：17 1 17 阶段二： 2.5 阶段二： 1 本期实付金额（大写） （注：居民生活用水水费=自来水费+污水处理费） 已知该居民6月份和7月份的用水量总和为42m3，且7月份的用水量超过6月份，但不超过6月份的2倍． (1)设该居民7月份的用水量为xm3，求x的取值范围； (2)该居民7月份的生活用水水费最多需要缴纳多少元； (3)若该居民7月份的生活用水水费比6月份多41元，求该居民7月份的用水量． 【答案】(1) (2)89.5元 (3) 【分析】（1 ）设该居民7月份的用水量为，则该居民6月份的用水量为，根据“7月份的用水量超过6月份，但不超过6月份的2倍”，可列出关于x的一元一次不等式组，解之可得出x的取值范围； （2 ）求出当7月份用水量是时的水费即可； （3 ）根据该居民7月份的生活用水水费比6月份多41元，可列出关于x的一元一次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】（1）解：设该居民7月份的用水量为，则该居民6月份的用水量为， 根据题意得：， 解得：． 答：x的取值范围为； （2）解：根据题意得： （元）． 答：该居民7月份的生活用水水费最多需要缴纳89.5元； （3）解：当时，水费差为， 令 解得：，不符合题意，舍去； 当时，， 解得：． 答：该居民7月份的用水量为． 解答题 49．解不等式组，并写出满足条件的整数解． 【答案】不等式组的解集为，满足条件的整数解为，，． 【分析】先求出不等式组的解集，再写出满足条件的整数解即可． 【详解】解： 解不等式得， 解不等式得， 不等式组的解集为， 满足条件的整数解为，，． 50．已知关于，的方程组的解满足不等式组，求满足条件的整数的值． 【答案】满足的整数解有 【分析】根据关于，的二元一次方程组求得，再根据不等式组求出的取值范围，最终确定整数的值． 【详解】解：由题意，得， ①②，得， ②①，得， ∵， ∴，解得， 取整数， ∴满足的整数解有． 51．【阅读材料】： 解答“已知，且，，试确定的取值范围”有如下解法： 解题思想一：“消元” ， ① （用含的代数式表示）， ． ，，即 ② ． 又，． 解题思想二：“配凑” 上式三边先同时乘2，得 ③ ， 再同时加1，得， 的取值范围是． (1)【完善材料】材料中①为________，②为________，③为________； (2)【方法应用】若，且，，请确定的取值范围； (3)【拓展提升】若（是大于3的整数），且，，当的取值范围内恰有16个整数时，则的值为_____________． 【答案】(1)① ；；③； (2)； (3)8 【分析】（1）根据材料中的解题思路和不等式的性质来确定①、②、③的值； （2）根据材料中的解题思想，通过消元法、配凑法确定的取值范围； （3）根据已知条件，通过消元表示出，再根据的取值范围内恰有个整数来确定n的值． 【详解】（1）解：解题思想一：“消元” ，（用含y的代数式表示）， ，即， 又∵， ， 解题思想二：“配凑”上式三边先同时乘2，得③， 再同时加1，得， ∴的取值范围是． （2）解：∵， ， ， ， 即， 又∵， ， ， ，即， ∴的取值范围是； （3）解：∵， ， ， ， ， 又∵， ， ， ， ∴的取值范围是， ∵的取值范围内恰有个整数，且是大于3的整数， ． 52．小海在学习《积木可以叠多远？》时发现若干块长、宽、高分别对应相同且材质均匀、质量相等的积木叠在一起并逐块延伸，积木不倾倒的条件是积木组合的重心水平位置不能超过最下方一块积木的右边缘，因此他很快能求出每块积木最远延伸距离．每块积木长度为，以最下方一块积木的左边缘为原点，向右为正方向，每块积木的重心初始水平位置均为． (1)请把小海的研究方法补充完整： 如图1，沿平行于积木长边的方向向右推动最上面的积木（即积木①），推动距离为，于是得到积木①的重心水平位置______（用含和的代数式表示），由于积木不倾倒的条件是积木①的重心水平位置不能超过积木②的右边缘，即______，所以积木①的最远延伸距离是______（用含的代数式表示）． (2)按照小海的方法继续探究： 如图2，保持积木①、②相对位置不变，沿平行于积木长边的方向向右推动积木②，推动距离为，于是得到： 积木①的重心水平位置， 积木②的重心水平位置， 因此积木①、②组合重心的水平位置，由于积木不倾倒的条件是______（用数学表达式描述），所以积木②的最远延伸距离是______（用含的代数式表示）． (3)如图3，保持积木①、②、③的相对位置不变，沿平行于积木长边的方向向右推动积木③，求积木③的最远延伸距离（用含的代数式表示） 【答案】(1)；； (2)； (3) 【分析】（1）根据题干信息进行求解即可； （2）根据题意得出，即，整理得出，根据，即可得出答案； （3）先得出，根据，得出，求出,即可得出答案． 【详解】（1）解：∵以最下方一块积木的左边缘为原点，向右为正方向，每块积木的重心初始水平位置均为， ∴沿平行于积木长边的方向向右推动最上面的积木（即积木①），推动距离为，积木①的重心水平位置； ∵积木不倾倒的条件是积木①的重心水平位置不能超过积木②的右边缘， ∴， 解得：， ∴积木①的最远延伸距离是； （2）解：根据题意得：积木不倾倒的条件是， 即， 整理得：， 把代入得：， 解得：， ∴最大值为； （3）解：保持积木①、②、③的相对位置不变，沿平行于积木长边的方向向右推动积木③，推动距离为， 此时积木①、②、③的重心水平位置分别为： ， ， ， 积木①、②、③组合重心的水平位置， 由于积木不倾倒的条件是积木组合的重心水平位置不超过最下方一块积木（积木④）的右边缘，即， ∴， 即， ， 将，代入上式得： ， 解得：, 答：积木③的最远延伸距离为． 53．如图，在中，，，．D为的中点，动点P从A点出发，先以的速度沿运动，到达点B后再以的速度沿向终点C运动．设点P的运动时间为，的面积为． (1)当_____s时，点P运动到点B； (2)当点P在边上运动时，若以P、B、D为顶点的三角形是等腰三角形，求t的值； (3)当点P在B、D之间运动时，_____；当点P在D、C之间运动时，_____；（用含t的代数式表示） (4)当时，请直接写出t的取值范围． 【答案】(1)3 (2) (3)， (4)t的取值范围为或或 【分析】（1）根据时间等于路程除以速度求解即可； （2）求出，根据已知条件得出是等腰直角三角形，列式解方程即可； （3）分点P在上运动和点P在上运动两种情况，分别列式即可； （4）分点P在上，点P在上，点P在上三种情况讨论，分别根据三角形的面积公式列式，再分，，三种情况讨论，分别根据列不等式，求解即可． 【详解】（1）解：∵，以的速度沿运动， ∴点P运动到点B的时间为． （2）解：∵，D为的中点， ∴， ∵以P、B、D为顶点的三角形是等腰三角形，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵点P以的速度沿运动，， ∴，则， 解得：． （3）解：∵，点P到达点B后再以的速度沿向终点C运动． ∴点P运动到点D的时间为，点P运动到点C的时间为， ∴当点P在上运动时，， 当点P在上运动时，． （4）解：当点P在上时，即， 根据题意，得， ∵， ∴，解得：， ∴； 当点P在上时，即， 根据题意，得， ∴，解得：， ∴； 当点P在上时，即， 根据题意，得， ∴，解得：， ∴， 综上所述，t的取值范围为或或． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11一元一次不等式应用及不等式组期中复习讲义 1.一元一次不等式应用：能读懂实际问题，抓住 “至少、至多、不低于、不超过” 等不等关键词，找准不等关系，设未知数列出一元一次不等式；会检验结果，结合实际意义取舍解，常结合方案选择、利润、采购分配等题型。 2.理解一元一次不等式组、不等式组的解集的概念，知道不等式组的解集是各个不等式解集的公共部分；掌握利用数轴确定不等式组解集的方法，熟记四种基本解集情况。 3.会规范解一元一次不等式组，先分别求解每个不等式，再借助数轴找公共解集；能在数轴上正确画出不等式组的解集，区分空心圈、实心点。 4.会求不等式组的特殊解，如整数解、正整数解、非负整数解；能根据不等式组解集情况、有无解、整数解个数，反求参数的取值范围，掌握含参不等式组的分析思路。 5.会用不等式组解决实际应用题，多个限制条件时，列出不等式组，求出解集后选取符合现实条件的方案。 6.掌握数形结合思想，借助数轴直观分析解集；理清易错点：①找不等关系时把不等号写反；②求公共解集时找错重叠部分；③含参问题忽略端点值能否取到；④实际问题忘记变量为正整数等隐含条件。 题型 考察方向 难度 题型一 列一元一次不等式 ★★ 题型二 用一元一次不等式解决实际问题 ★★★ 题型三 用一元一次不等式解决几何问题 ★★★ 题型四 一元一次不等式组的定义 ★ 题型五 求不等式组的解集 ★★ 题型六 解特殊不等式组 ★★★ 题型七 求一元一次不等式组的整数解 ★★★ 题型八 由一元一次不等式组的解集求参数 ★★★★ 题型九 不等式组和方程组结合的问题 ★★★★ 题型十 列一元一次不等式组 ★★★ 题型十一 不等式组的行程问题 ★★★ 题型十二 不等式组的工程问题 ★★★ 题型十三 不等式组的经济问题 ★★★★ 题型十四 不等式组的分配问题 ★★★★ 题型十五 不等式组的方案选择问题 ★★★★ 题型十六 不等式组的阶梯收费问题 ★★★★ 拔高题 5题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点01：一元一次不等式的应用 1.解题通用步骤（7 步） 审：读懂题意，分清已知量、未知量，找出描述不等关系的关键词； 设：设未知数，一般直接设所求量； 找：梳理不等关系（核心步骤，区别于方程的等量关系）； 列：根据不等关系列出一元一次不等式； 解：解一元一次不等式，求出解集； 验：结合实际意义筛选符合条件的解（人数、物品、车辆等只能取正整数，长度、重量为正数）； 答：规范写出完整答句。 2.常见关键词与对应不等号 不等号的读法及其意义： 符号 读法 意义 “≠” 不等于 表示两个量不相等，但无法确定谁大谁小，只说明二者存在差异 “＜” 小于 表示左边的量严格小于右边的量，不包含相等的情况 “＞” 大于 表示左边的量严格大于右边的量，不包含相等的情况 “≤” 小于或等于 即 “不大于”，表示左边的量小于右边，或与右边相等，两种情况满足其一即可 “≥” 大于或等于 即 “不小于”，表示左边的量大于右边，或与右边相等，两种情况满足其一即可 知识点02：一元一次不等式组相关概念 1.一元一次不等式组定义 由几个含有同一个未知数的一元一次不等式合在一起，组成一元一次不等式组。 判定三要素：①只一个未知数；②未知数次数为 1；③左右两边整式；④多个不等式联立。 2.不等式组的解集 组成不等式组的所有不等式解集的公共部分，叫做不等式组的解集；没有公共部分则不等式组无解。 3.解不等式组：求不等式组解集的全过程。 知识点03：解不等式组标准步骤 1.分别解组内每一个一元一次不等式，写出各自解集； 2.在同一条数轴上画出两个（多个）解集； 3.观察数轴，找出重叠的公共区域； 4.写出不等式组最终解集； 5.按需找出整数解、正整数解等。 知识点04:一元一次不等式组（四大解集模型）设 (a＜b) 知识点05：含参数的不等式组（重难点） 题型：已知不等式组有解 / 无解、整数解个数，求参数取值范围； 解题思路： 不含参数的不等式先求解； 结合数轴，对比参数分界点； 重点判断分界点是否取等号（空心 / 实心）； 核心技巧：借助数轴数形结合，避免漏等、多解。 知识点06:用一元一次不等式解决问题 核心解题步骤（6 步） 1.审：读题，分清已知量、未知量，找不等关系（抓关键词：大于、小于、不大于、至少、不超过、最多、不足等）。 2.设：设未知数（不设 “最多 / 至少”，直接设未知量，如 “设可买x件”）。 3.列：根据不等关系，列出一元一次不等式。 4.解：解一元一次不等式。 5.验：检验解集是否符合实际意义（如人数、件数为正整数，长度、重量为正数等）。 6.答：写出完整答案，明确 “最多 / 至少 / 不超过” 等结论。 题型 核心公式 销售利润 单件利润 = 售价−进价；总利润 = 单件利润 × 销量 经济方案 总费用 = 单价 × 数量 + 固定成本 行程 路程 = 速度 × 时间 分配 总量 = 单份数量 × 份数 ± 余量 知识点07:高频易错汇总 1.系数化为 1、去分母时乘负数，忘记变号； 2.去分母漏乘不含分母的常数项； 3.数轴实心、空心混用，画线方向出错； 4.应用题关键词看错，不等号选用错误； 5.参数题型端点等号判断出错； 6.实际问题忽略未知数为正整数。 题型一、列一元一次不等式 1．将关系“的一半不小于1”用不等式表示是（     ） A． B． C． D． 2．商家以200元/罐的价格购进一批茶叶，并在进价的基础上提价进行售卖，设售出的数量为x罐，若要使总销售额不低于13万元，则根据题意可列不等式为______． 3．李轩每天从甲地到乙地锻炼身体，甲、乙两地相距2千米．已知李轩步行的平均速度为100米/分，跑步的平均速度为200米/分，若他要在15分钟的时间内到达乙地，至少需要跑步多少分钟？设李轩需要跑步x分钟，则可列出的不等式为（     ） A． B． C． D． 题型二、用一元一次不等式解决实际问题 4．某种商品进价为800元，标价1200元，由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于，则至少可以打（     ） A．6折 B．7折 C．8折 D．9折 5．如图，某商店将定价为30元的折叠式小台灯，按下列方式优惠销售：若购买不超过5台，按原价付款；若一次性购买5台以上，超过部分打八折．小亮现有246元，想购买该小台灯送给同学，那么他最多可以购买______台． 6．某客运站开展优质服务活动，雷锋号窗口每分钟服务1位顾客，窗口开始售票时，已有10位顾客在等待购票，窗口工作5分钟后，有1位新顾客到达且预计以后此后每隔2分钟有1位新顾客到达，预计从第位新顾客开始不用排队等候，则的值为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 题型三、用一元一次不等式解决几何问题 7．在三角形中，最大的内角不小于（     ） A． B． C． D． 8．如图，A点的初始位置位于数轴上表示1的点，现对A点做如下移动：第1次向左移动3个单位长度至B点，第2次从B点向右移动6个单位长度至C点，第3次从C点向左移动9个单位长度至D点，第4次从D点向右移动12个单位长度至E点，…，依此类推．这样第_____次移动到的点到原点的距离为2020． 9．某种药品说明书上，贴有如图所示的标签，则一次服用这种药品的剂量范围是，则的值分别为（   ） 用法用量：口服，每天．分次服用． 规格：□□□□□□ 贮藏：□□□□□□ A． B． C． D． 题型四、一元一次不等式组的定义 10．2026年6月5日是我国二十四节气中的芒种，某地当天最低气温是，最高气温是，则该地气温的变化范围是（     ） A． B． C． D． 11．下列不等式组中，一元一次不等式组的个数是（   ） ①，②，③④，⑤ A．2 B．3 C．4 D．5 12．下列四个选项中是一元一次不等式组的是(　　) A． B． C． D． 题型五、求不等式组的解集 13．不等式组的解集为（     ） A． B． C． D． 14．不等式组的解集为________． 15．定义一种运算：，则不等式的解集是（    ） A．或 B． C．或 D．或 题型六、解特殊不等式组 16．已知实数满足，且，设，则的取值范围是_____． 17．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 18．若方程组的解为，则方程组的解为．利用上面的解题经验，解决下面问题：若不等式组的解集为，则不等式组的解集为__________． 题型七、求一元一次不等式组的整数解 19．不等式组的整数解的个数为（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 20．若关于x的不等式组有且只有五个整数解，则k的取值范围是_______． 21．关于的不等式组恰有个整数解，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 题型八、由一元一次不等式组的解集求参数 22．若不等式组的解集是，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 23．已知不等式组无解，则的取值范围是________． 24．若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于x的分式方程的解是负整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（     ） A．9 B．10 C．11 D．12 题型九、不等式组和方程组结合的问题 25．关于x的方程5x-2m =-4-x的解在2与10之间，则m得取值范围是（    ） A．m>8 B．m<32 C．8<m<32 D．m<8或 m>32 26．若关于，的方程组的解满足，则的取值范围是________． 27．已知关于的方程组的解都为非负数，若，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C． D． 题型十、列一元一次不等式组 28．南昌市春季某日最高气温是，最低气温是，则济南当日气温的变化范围是（  ） A． B． C． D． 29．实验中学为参加社会实践活动的同学安排宿舍，若每间4人，则有20人无法安排，若每间8人，则有一间不空也不满．设宿舍有x间，可列不等式组_________________． 30．七年级某班级部分同学去植树，若每人平均植树8棵，则还剩7棵；若每人平均植树9棵，则有1位同学植树的棵数不到8棵．设同学人数为x人，则下列各选项能准确表示同学人数与植树棵数关系的是（     ） A． B． C． D． 题型十一、不等式组的行程问题 31．某市地铁收费标准如下：不超过2元；超过到（含）4元；超过到（含）6元；超过的部分，每增加1元可再乘坐．一位乘客单次乘坐地铁购票花费了7元（无优惠），设他乘坐地铁的里程为，则的取值范围是____________． 32．如图，A，B两地间的公路长，其中有一段长的施工道路，M距离A地甲、乙两辆轿车分别从A，B两地出发，沿该公路相向而行，乙车比甲车晚出发在非施工道路其限速情况如图所示，甲车始终以的速度行驶，乙车始终以的速度行驶；在施工道路，两车均以的速度行驶． (1)若 ①甲车出发时，甲车行至______处，乙车行至______处；填“M”“N”或“的中点” ②甲车行至的中点时，乙车行驶的时间为______h (2)已知两车在P处相遇． ①若P与N重合，求V的值； ②若P在非施工道路上不与M，N重合，直接写出V的取值范围． 33．如图①，对某条笔直道路的三个路口的红绿灯情况进行观测发现：路口A，C的绿灯持续时间为40秒，红灯持续时间为40秒；路口B的绿灯持续时间为30秒，红灯持续时间为30秒．各路口红绿灯随时间 （秒）的变化情况如图②所示，例如当 时，路口A为绿灯，路口B为红灯，路口C为绿灯．已知路口A到路口B，C的距离分别为600米和1000米．（为了研究方便，黄灯时间和路口宽度忽略不计） 请根据上述信息，解决下列问题： (1)甲驾驶汽车在道路上以15米/秒的速度匀速行驶，且恰好在绿灯刚亮起时（即 ）通过A路口，请判断其是否能不停车通过B路口，并说明理由； (2)乙驾驶汽车在道路上以速度 （米/秒）匀速行驶，且恰好在绿灯亮起10秒时（即 ）通过A路口，若其能在100秒前（含100秒，即 ）不停车连续通过B，C两个路口，求其行驶速度 的取值范围； (3)对于匀速行驶的汽车，是否存在速度 （米/秒），使得该车在 秒内（含0秒和20秒）任意时刻通过A路口后，都能在180秒前（含180秒，即 ）不停车连续通过B，C两个路口．若存在，请直接写出 的取值范围；若不存在，请说明理由． （说明：不停车通过路口是指到达路口时，路口为绿灯状态．） 题型十二、不等式组的工程问题 34．“智能引领未来，科技赋能生活”，为提高清洁效率，某体育馆购置一台智能洗地机器人（如图），但因机器人处理顽固污渍能力有限，该体育馆计划采用“人机协同”的清洁模式，即在机器人完成基础清洁后，由人工进行顽固污渍的处理．具体流程如下： 机器人按规划路线完成基础清洁，同步识别并向系统上报顽固污渍点信息； 系统生成污渍分布图，将污渍点按空间分布位置生成多个任务包和任务预估处理工时； 系统智能分配任务包给清洁工，清洁工按照任务包提供的污渍点信息完成清洁工作． 由于近期赛事安排紧凑，为了进一步提高清洁效率，体育馆又购置了一台同品牌的洗地机器人（工作效率更高但未超过原机器人的1.5倍），并将人工清洁外包给甲、乙两个清洁团队． 已知该体育馆一共有两层，第一层需清扫的面积为平方米，第二层需清扫的面积为平方米，其中． 任务一  计算机器人的工作效率 原购置的洗地机器人每小时清洁面积相当于一个清洁工的6倍，用这台机器人清洁2400平方米场地所需时间比一个清洁工清洁1200平方米场地少用2小时．求原购置的机器人每小时清洁面积． 任务二  比较机器人的清洁时长 体育馆安排新购置机器人清洁面积大的楼层，而原机器人清洁面积小的楼层，请计算说明哪台机器人先完成基础清洁任务． 任务三  设计人工清洁方案 某场比赛结束，两台机器人完成清洁工作后，系统生成4个任务包，并将任务分配给相应的清洁团队，如表1．甲、乙两个团队收费标准如表2，其中基础费只收取一次，工时费不足0.5小时按0.5小时算． 表1 任务包编号 位置 系统分配团队 处理工时（min） 观众席 甲 75 比赛场地 乙 40 出入通道 甲、乙合作 35 内场角落 乙 70 表2 团队 基础收费（元） 工时费（元/小时） 甲 500 1200 乙 800 1000 请设计人工清洁方案，使完成时间最少，并尽量减少外包费用．（转场时间忽略不计） （要求：每个任务包由系统分配的团队完成；每个团队的工时从开始工作算起到本团队所有任务结束；甲乙合作的任务需两个团队同时开始；设计的清洁方案需包含清洁流程、完成时间和外包费用；所有的任务包的任务都要完成）． 35．某地打造运河风光带，交由，两个工程队合作完成一段总长300米的河道清理工程．已知工程队每日清理15米，工程队每日清理8米，，两队施工天数均为正整数． (1)若，两队各自施工的天数之和为27天，求，两队分别施工多少天； (2)若完工时队施工天数少于队，求队至多施工多少天； (3)队施工天，队先按原有效率施工天，之后提升清理效率，改为每日清理10米，继续施工天．若两队合作完成全部清理任务，，，均为正整数且，求工程队的施工天数． 36．为实现区域教育均衡发展，重庆市计划今后几年对我区各乡镇中、小学校全部进行改造．根据预算，共需资金1 300万元．改造一所中学和一所小学共需资金135万元；改造两所中学和一所小学共需资金215万元． (1)改造一所中学和一所小学所需的资金分别是多少万元？ (2)若我区要改造的乡镇中学不超过8所，则要改造的小学有多少所？ (3)重庆市计划今年对我区乡镇中、小学共10所进行改造，改造资金由市财政和区财政共同承担．若今年市财政拨付的改造资金不超过550万元；区财政投入的改造资金不少于110万元，其中区财政投入到中、小学的改造资金分别为每所15万元和10万元．请你通过计算求出有哪几种改造方案？ 题型十三、不等式组的经济问题 37．滨海小城计划建设一些共享单车租赁点．已知建设一个小型租赁点的成本是5000元，建设一个大型租赁点的成本是8000元，若小城计划投入资金不超过50000元，建设大、小两种租赁点一共8个（两种租赁点都至少有一个），则有多少种建设方案？ 38．2026年5月24日神舟二十三号载人飞船发射任务圆满成功，七年级（1）班很多同学都是航天爱好者，他们计划采购甲、乙两款神舟二十三号仿真飞船模型用于班级收藏．已知购买1件甲种模型和1件乙种模型共需40元；购买2件甲种模型和3件乙种模型一共花费95元． (1)求甲、乙两种飞船模型的销售单价； (2)班委会决定一共采购两款模型共计15件，且总采购预算低于320元，则最多能购进______________件甲种飞船模型； (3)供货商针对甲模型推出阶梯优惠：采购数量不超过5件按原价销售，采购数量超出5件时，超出部分每件优惠6元，乙模型售价保持不变．若仍一共采购15件模型． ①当购买甲模型为7件时，所花费用需要______________元； ②班委会决定同时购买两种模型，所用资金高于280元且不超过295元．请通过计算说明共有多少种购买方案？ 39．阅读利用不等式的基本性质说明下列结论正确性的内容，并解答下面提出的问题： 例：如果，，那么． 解：，． ，． ． (1)请说明：如果，，，都是正数，且，，那么． (2)【应用】已知：，且，．求的取值范围． (3)【拓展】一家家具生产企业，生产学生用的课桌椅，一张桌子的售价比一把椅子高50元，若一张桌子的售价不低于120元，一把椅子的售价不超过90元，求出售一套桌椅（一张桌子+一把椅子）定价的范围（定价用表示）． 题型十四、不等式组的分配问题 40．某班班主任刘老师打算把一些书分给几名同学，如果每人分本，那么剩余本；如果前面的每名同学分本，那么最后一人分到了书但是不到本．则共有多少名同学． 41．学校组织八年级学生参观科技馆，共有45人参加．现有甲、乙两种客车：甲种客车每辆载客30人，租金400元；乙种客车每辆载客12人，租金200元．学校准备租3辆车（两种车都要租）． (1)设租甲种客车 辆，用 含 的不等式表示“总座位数不少于45”，并求 的所有可能取值； (2)怎样安排租车方案最省钱？最少租金是多少元？ 42．根据以下素材，完成任务： 背景 学校举办“跳蚤市场”爱心义卖活动，小伟和同学们在网上购买手工甲、乙两类diy材料包，分别制作A“哪吒之魔童闹海”、B“励志学习”两种手工钻石贴画装饰摆件，在义卖活动中推销自己的手工作品． 素材1 已知购进2套甲类diy材料包和1套乙类diy材料包共需21元，购进5套甲类diy材料包和3套乙类diy材料包共需55元． 素材2 已知制作1件A装饰摆件需1套甲类diy材料包，制作1件B装饰摆件需1套乙类diy材料包．小伟和同学们共筹集到资金310元购买甲、乙两类diy材料包，计划制作A，B两种手工钻石贴画装饰摆件共50件，且B种装饰摆件的数量不高于A种装饰摆件数量的2倍． 素材3 在义卖活动中，两种手工钻石贴画装饰摆件的售价为：A种装饰摆件16元/件，B种装饰摆件10元/件． 问题解决 任务1 求购买甲、乙两类diy材料包每套各需要多少元？ 任务2 问购买甲、乙两类diy材料包共有哪几种方案？ 任务3 请你帮小伟和同学们设计销售完A、B两种手工钻石贴画装饰摆件获利最大的制作方案？最大利润是多少元？ 题型十五、不等式组的方案选择问题 43．随着技术越来越成熟，工业生产逐步智能化，某企业为提高生产效率，采购了相同数量的A型、B型两种智能机器人，购买A型机器人的总费用为120万元，购买B型机器人的总费用为90万元．B型机器人单价比A型机器人单价低3万元． (1)求A型、B型两种机器人的单价； (2)该企业计划从采购的这批机器人中选择12台配备到某生产线，要求A、B两种型号的机器人各至少配备4台，且购买这12台机器人的总费用不超过126万元，求出所有配备方案． 44．学校书法社团要购买甲、乙两种毛笔共支，甲种毛笔每支元，乙种毛笔每支元，总费用不超过元． (1)设购买甲种毛笔支，列出关于的不等式，并求的取值范围； (2)若甲种毛笔至少购买支，那么共有哪几种购买方案？哪种方案总费用最低？最低费用是多少元？ 45．“全民阅读”深入人心，读书好，好读书，读好书，让人终身受益．为满足同学们的读书需求，学校图书馆准备采购名人传记和故事会两类图书，经了解，本名人传记和本故事会共需元，本名人传记与本故事会的费用一样（注：每本名人传记的单价相同，每本故事会的单价相同）． (1)求每本名人传记和故事会各多少元？ (2)若学校要求购买名人传记比故事会多本，故事会和名人传记总数不低于本，总费用不超过元，请问有几种购书方案？ (3)在（2）的条件下，若学校实际购买时，名人传记单价上调元/本，故事会单价下调元/本，此时购买这两种书籍所需最少费用为元，则的值是________． 题型十六、不等式组的阶梯收费问题 46．为践行“四季莫负春光日，人生不负少年时”的教育理念，我校七年级拟于5月29号组织60名老师和1160名学生前往浏阳博士村开展研学活动．活动前年级组准备租用A、B两种型号的客车(每种型号的客车至少租用5辆)．A型车每辆租金是500元，B型车每辆租金是600元，若2辆A型车和1辆B型车坐满后共载客140人，3辆A型车和4辆B型车坐满后共载客335人． (1)每辆A型车、B型车坐满后各载多少人？ (2)若年级组计划租用A型车和B型车共28辆，要求B型车数量不超过A型车数量的3倍，请问一共有多少种租车方案？哪种租车方案租金费用最少？最小租金费用为多少元？ 47．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，重庆市采用价格调控的方式达到节水的目的．重庆市自来水的收费价格见价目表．注：水费按月结算．若某户居民1月份用水8立方米，则应交水费：（元）． 价目表 每月用水量 单价 不超出6立方米的部分 2元/立方米 超出6立方米不超出10立方米的部分 4元/立方米 超出10立方米的部分 8元/立方米 (1)若小明家2月份用水立方米，则应交水费________元； (2)若小明家3月用水量为立方米，当时，小明家应交水费______元，当时，小明家应交水费_______元；（请用含的代数式表示） (3)若小明家3月份，4月份共用水12立方米（4月份用水量多于3月份），共交水费38元，则小明家3，4月份各用水多少立方米？ 48．为鼓励节约用水，居民生活用水采用阶梯收费．水价分三个等级：第一级为月用水量17m3以下（包括17m3）；第二级为月用水量超过17m3但不超过30m3；第三级为月用水量超过30m3（不包括30m3）．下面是某居民收到的一张2025年7月份的生活用水消费明细（不完整）． 居民生活用水消费明细 计费日期2025﹣7﹣1至2025﹣7﹣31 自来水费 污水处理费 用水量/m3 单价/（元/m3） 金额/元 用水量/m3 单价/（元/m3） 金额/元 阶段一：17 2 34 阶段一：17 1 17 阶段二： 2.5 阶段二： 1 本期实付金额（大写） （注：居民生活用水水费=自来水费+污水处理费） 已知该居民6月份和7月份的用水量总和为42m3，且7月份的用水量超过6月份，但不超过6月份的2倍． (1)设该居民7月份的用水量为xm3，求x的取值范围； (2)该居民7月份的生活用水水费最多需要缴纳多少元； (3)若该居民7月份的生活用水水费比6月份多41元，求该居民7月份的用水量． 解答题 49．解不等式组，并写出满足条件的整数解． 50．已知关于，的方程组的解满足不等式组，求满足条件的整数的值． 51．【阅读材料】： 解答“已知，且，，试确定的取值范围”有如下解法： 解题思想一：“消元” ， ① （用含的代数式表示）， ． ，，即 ② ． 又，． 解题思想二：“配凑” 上式三边先同时乘2，得 ③ ， 再同时加1，得， 的取值范围是． (1)【完善材料】材料中①为________，②为________，③为________； (2)【方法应用】若，且，，请确定的取值范围； (3)【拓展提升】若（是大于3的整数），且，，当的取值范围内恰有16个整数时，则的值为_____________． 52．小海在学习《积木可以叠多远？》时发现若干块长、宽、高分别对应相同且材质均匀、质量相等的积木叠在一起并逐块延伸，积木不倾倒的条件是积木组合的重心水平位置不能超过最下方一块积木的右边缘，因此他很快能求出每块积木最远延伸距离．每块积木长度为，以最下方一块积木的左边缘为原点，向右为正方向，每块积木的重心初始水平位置均为． (1)请把小海的研究方法补充完整： 如图1，沿平行于积木长边的方向向右推动最上面的积木（即积木①），推动距离为，于是得到积木①的重心水平位置______（用含和的代数式表示），由于积木不倾倒的条件是积木①的重心水平位置不能超过积木②的右边缘，即______，所以积木①的最远延伸距离是______（用含的代数式表示）． (2)按照小海的方法继续探究： 如图2，保持积木①、②相对位置不变，沿平行于积木长边的方向向右推动积木②，推动距离为，于是得到： 积木①的重心水平位置， 积木②的重心水平位置， 因此积木①、②组合重心的水平位置，由于积木不倾倒的条件是______（用数学表达式描述），所以积木②的最远延伸距离是______（用含的代数式表示）． (3)如图3，保持积木①、②、③的相对位置不变，沿平行于积木长边的方向向右推动积木③，求积木③的最远延伸距离（用含的代数式表示） 53．如图，在中，，，．D为的中点，动点P从A点出发，先以的速度沿运动，到达点B后再以的速度沿向终点C运动．设点P的运动时间为，的面积为． (1)当_____s时，点P运动到点B； (2)当点P在边上运动时，若以P、B、D为顶点的三角形是等腰三角形，求t的值； (3)当点P在B、D之间运动时，_____；当点P在D、C之间运动时，_____；（用含t的代数式表示） (4)当时，请直接写出t的取值范围． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $