专题01认识三角形期中复习讲义(核心重点+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年浙教版八年级数学上册

专题01认识三角形期中复习讲义 1.理解三角形的概念，会识别三角形，规范使用三角形符号表示三角形，准确区分三角形的顶点、边、内角。会数图形中三角形的个数。 2.掌握三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于 180°；能直接利用定理求角度，结合平行线性质、角平分线、折叠模型进行角度计算与推理。 3.掌握三角形按角分类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，能够根据内角条件判断三角形的类型。 4.掌握三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；会判断三条线段能否构成三角形，确定第三边的取值范围，运用三边关系解决简单应用问题。 5.理解三角形角平分线、中线、高线的定义；能画出锐角、直角、钝角三角形的三条高，重点掌握钝角三角形两条在外部的高。 6.掌握三角形中线的性质：三角形的中线将三角形分成面积相等的两个小三角形；知道三条中线交于重心，能利用中线求线段长度、计算面积。 7.了解三角形三条高线交于垂心，会利用三角形的高进行面积相关计算。 8.易错与思想方法： 判断三边能否组成三角形，只需验证较短两边之和大于最长边； 钝角三角形的高容易画错，高不一定都在三角形内部； 角度综合题学会等量代换，折叠问题找准相等角； 区分角平分线、中线、高三种线段，不要混淆定义。 题型 考察方向 难度 题型一 三角形的识别与有关概念 ★ 题型二 三角形的个数问题 ★★ 题型三 与平行线有关的三角形内角和问题 ★★★ 题型四 与角平分线有关的三角形内角和问题 ★★★ 题型五 三角形折叠中的角度问题 ★★★★ 题型六 三角形内角和定理的应用 ★★ 题型七 三角形的分类 ★ 题型八 构成三角形的条件 ★ 题型九 确定第三边的取值范围 ★★ 题型十 三角形三边关系的应用 ★★ 题型十一 三角形角平分线的定义 ★ 题型十二 根据三角形中线求长度 ★★ 题型十三 根据三角形中线求面积 ★★ 题型十四 重心的概念 ★ 题型十五 画三角形的高 ★ 题型十六 与三角形的高有关的计算问题 ★★ 题型十七 垂心 ★ 拔高题 5题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点01:三角形基本概念与分类（基础必背） 1.三角形定义 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。 三要素：3 个顶点、3 条边、3 个内角 表示方法：顶点为A、B、C的三角形记作△ ABC 2. 三角形分类 知识点02:三角形三边关系（超级重点） · 定理：三角形任意两边之和 大于 第三边。a+b>c,a+c>b,b+c>a) · 推论：任意两边之差 小于 第三边。 |a-b|<c 高频易错点 1.必须同时满足两边和、两边差； 2.周长取值范围考题必考； 3.等腰三角形边长需分类讨论，并检验三边关系。 知识点03:三角形内角和定理 1. 定理内容 三角形的三个内角的和等于 180°。∠A+∠B+∠C=180∘ 2. 证明思路（重点） (1)过三角形的一个顶点作对边的平行线； (2)利用两直线平行，内错角相等，把三个内角转化为一个平角； (3)平角 = 180°，从而证明内角和为 180°。 ∵ EF∥BC（已知）， ∴ ∠EAB = ∠B（两直线平行，内错角相等）， ∠FAC = ∠C（两直线平行，内错角相等）。 又∵ ∠EAB + ∠BAC + ∠FAC = 180°（平角的定义）， ∴ ∠B + ∠BAC + ∠C = 180°（等量代换）。 即三角形三个内角的和等于 180°。 3.三角形内角取值规律 (1)任意三角形最多 1 个直角、最多 1 个钝角； (2)最少有两个锐角； (3)三个角都小于 90为锐角三角形；一个角等于 90 为直角三角形；一个角大于 90为钝角三角形。 知识点04:三角形的重要线段定义整理 三角形的高线：从三角形的一个顶点向对边作垂线，顶点与垂足之间的线段； 三角形的中线：联结三角形一个顶点与对边中点的线段； 三角形的角平分线：三角形的一个内角的角平分线与对边相交于一点，顶点与交点之间的线段； “三线的交点”一个三角形有3条中线.3条角平分线.3条高 区分易错：角平分线（线段）≠ 角的平分线（射线） 知识点05:三角形的重心 1. 定义 三角形的三条中线交于一点，这个交点叫做三角形的重心。 重心一定在三角形内部 2. 重心定理（性质） 重心到顶点的距离是它到对边中点距离的2 倍（即重心分中线为2:1）。 在△ABC 中，∵ O 是△ABC 的重心，AD、BE、CF 是中线， ∴ AO=2OD，BO=2OE，CO=2OF（或 AO:OD=BO:OE=CO:OF=2:1）。 核心总结表 项目 中位线 重心 定义 两边中点的连线 三条中线的交点 数量 3 条 1 个 核心性质 平行且等于第三边的一半 分中线为2:1 关键作用 证平行、算边长 算线段比、分面积 知识点06：高频易错点 常见错误认知 正确结论 错误原因 等腰三角形一定是锐角三角形 等腰三角形可以是锐角、直角、钝角三角形（如等腰直角三角形、顶角 120° 的等腰钝角三角形） 只见过锐角等腰三角形，思维固化 等腰三角形和等边三角形是两类独立三角形 等边三角形是特殊的等腰三角形，二者是包含关系，不能并列分类 不理解 “至少两边相等” 的定义 一个三角形可以同时有直角和钝角 三角形内角和 180°，直角 + 钝角＞180°，不可能同时存在 忽略内角和定理限制 所有三角形都有三条高，且全部在图形内部 钝角三角形两条高在三角形外部，只有一条高在内部 只会画锐角三角形的高，不熟悉钝角三角形高的画法 角平分线是一条射线 三角形的角平分线是线段；单纯角平分线才是射线 混淆角平分线与三角形角平分线的定义 任意三角形都具备 “三线合一” 只有等腰三角形底边对应的高、中线、顶角平分线才三线合一，普通三角形无此性质 概念记忆不完整，扩大性质适用范围 判断三角形类型时，只能用一种分类标准 同一个三角形可同时按角、按边双重分类（例：等腰直角三角形，既是等腰又是直角三角形） 不清楚两套分类标准相互独立、互不冲突 题型一、三角形的识别与有关概念 1．小华用三根火柴搭成下列图形，其中是三角形的是（    ） A． B． C． D． 2．在三边互不相等的三角形中，最长边的长为，最长的中线的长为，最长的高线的长为，则（     ） A． B． C． D． 3．若三角形的外角中有一个是锐角，则这个三角形是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 题型二、三角形的个数问题 4．图中三角形的个数是（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 5．如图，D，E，F，G是线段BC上的点． （1）以AC为边的三角形有____________； （2）图中共有______个三角形． 6．由18根完全相同的火柴棒摆成的图形如图所示，如果去掉其中的3根，那么就可以剩下7个三角形．以下去掉3根的方法正确的是（    ） A． B． C． D． 题型三、与平行线有关的三角形内角和问题 7．如图，将一副直角三角板如图放置，使含角的三角板的短直角边和含角的三角板的一条直角边重合，则的度数为（   ） A． B． C． D． 8．如图是从一个帆船模型抽象的几何图形，其中，若，，则的度数为__________． 9．如图，，点在的延长线上，下列结论一定成立的是（　　）    A． B． C． D． 题型四、与角平分线有关的三角形内角和问题 10．如图，在中，，，是的角平分线，则的度数为（   ） A．25° B．50° C．65° D．75° 11．如图，中，，．平分，则________ 12．如图所示，在中，，的三等分线分别交于点，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 题型五、三角形折叠中的角度问题 13．如图，在中，，，是边上一点，连接．将沿折叠后，点落到点处，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 14．如图，在中，，分别是，上的点，将沿折叠，使点落在的内部点处．若，则______． 15．如图，在中，，，分别为，上一点，将沿直线翻折至同一平面内，点落在点处，，分别交边于点，．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 题型六、三角形内角和定理的应用 16．如图，的值为（     ） A． B． C． D． 17．在显示的五角星图形中，的度数为_______°． 18．如图，，，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 题型七、三角形的分类 19．下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡，若按三个内角的大小分类，能判断三角形类型的是（     ） A． B． C． D． 20．如图，∠ACD＝90°，则图中的锐角三角形是_________，钝角三角形有______个． 21．三角形按边的相等关系分类如图所示，则下列说法错误的是（     ） A．M表示三边都不相等的三角形 B．M表示锐角三角形 C．P表示等腰三角形 D．N表示等边三角形 题型八、构成三角形的条件 22．以下列长度的三条线段为边，能组成三角形的是（     ） A．3，2，4 B．3，3，6 C．3，2，5 D．3，2，6 23．以下列长度的各组线段为边，不能组成三角形的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 24．【三角形的三边关系】小豫想制作一个三角形框架，他找到了 这样的两根木条（如图）： 小豫把其中一根木条锯成长度是整厘米数的两段，然后和另外一根木条围成一个三角形．请将可能组成的不同三角形的三条边（表格中分别用a，b，c表示，排列顺序与结果无关，数值相同即为同一个三角形）的长度填入表中．（表格不一定要全部填满） 三角形 a边 b边 c边 三角形 a边 b边 c边 1 5 2 6 3 7 4 8 题型九、确定第三边的取值范围 25．三角形一边长为，另一边长为，它的第三边的长可能是（    ） A． B． C． D． 26．已知2，，4是三角形的三边长，化简______． 27．设的三边分别为其中满足，则最长边c的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型十、三角形三边关系的应用 28．如图，为了估计一池塘岸边两点，之间的距离，小丽同学在池塘一侧选取了一点，测得，，那么点与点之间的距离可能是（   ） A． B． C． D． 29．用，，表示的三边，若的周长是7，，则的值为_____． 30．小红在学习完《三角形》后，她对各边长都是整数的三角形的个数进行了研究，结果如下表： 最长的边长 1 2 3 … n 三角形的个数 1 2 4 … m 若，则m的值是（     ） A．16 B．18 C．20 D．22 题型十一、三角形角平分线的定义 31．若是的角平分线（如图所示），则下列结论不正确的是（   ） A．平分 B． C． D． 32．如图，是的高线，是的角平分线．，，则的度数为 ________．    33．如图，在中，是边上的高，平分交边于点E，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 题型十二、根据三角形中线求长度 34．如图，在中，是边上的中线，的周长比的周长多．若，则的长为（     ） A． B． C． D． 35．在中，是中线，且，，则与的周长之差为___． 36．如图，分别是的中线，高线，已知的面积是8，，则BC的长是（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 题型十三、根据三角形中线求面积 37．如图，是的中线，是的中线，是的中线，若的面积为3，则的面积等于（     ） A．22 B．24 C．26 D．28 38．如图，在中，已知分别是的中点，且，那么阴影部分的面积为__________． 39．如图，把的三边、和分别向外延长一倍，将得到的点、、顺次连接成，若的面积是，则的面积是（    ） A． B． C． D． 题型十四、重心的概念 40．匀质三角形薄板的重心是三角形（     ）的交点 A．三条高 B．三条中线 C．三条角平分线 D．三边垂直平分线 41．在数学实验课上，小华想用铅笔支起一块质地均匀的三角形薄板，使薄板保持平衡，他想出了以下方法来确定这个平衡点的位置，其中做法正确的是（   ） A．画出三角形薄板的三条中线，取其交点 B．画出三角形薄板的三条高线，取其交点 C．画出三角形薄板的三条角平分线，取其交点 D．画出三角形薄板三边的垂直平分线，取其交点 42．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝4，P是△ABC的重心，连结BP，CP，则△BPC的面积为_____． 题型十五、画三角形的高 43．下列四个图形中，画出的边上的高的是（     ） A． B． C． D． 44．如图，H若是△ABC三条高AD，BE，CF的交点，则△BHA中边BH上的高是__________． 45．下面四个图形中，线段是的高的是（  ） A． B．   C．   D．   题型十六、与三角形的高有关的计算问题 46．如图，的中线，相交于点O，，垂足为F，且，，，，则四边形的面积是（    ） A． B．3 C．5 D．6 47．如图，在中，，，，，为边上的高，则的长为__________． 48．如图，中，，是边上一动点，过作于，于．则下列结论正确的是（    ） A．四边形面积不变 B．的值不变 C．的值有最小值 D．的值不变 题型十七、垂心 49．如果一个三角形的三条高所在直线的交点在三角形外部，那么这个三角形是（　　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 50．下列说法：①三角形任何两边之差小于第三边；②等腰三角形两腰上的高相等；③若 ≥1，则x＝2；④三角形的三条高不一定交于三角形内一点．其中正确的是（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 51．小红不小心把家里的一块圆形玻璃打碎了，需要配制一块同样大小的玻璃镜，工人师傅在一块如图所示的玻璃镜残片的边缘描出了点A，B，C，给出三角形ABC，则这块玻璃镜的圆心是（    ） A．AB，AC边上的中线的交点 B．AB，AC边上的垂直平分线的交点 C．AB，AC边上的高所在直线的交点 D．∠BAC与∠ABC的角平分线的交点 解答题 52．已知在中，，，且为奇数． (1)求的周长； (2)已知、、为三角形三边，化简：． 53．一个缺角的三角形残片如图所示． (1)不恢复这个缺角，你能画出边上的高所在的直线吗？你是如何画的？依据是什么？ (2)小明分别画出和的平分线，两线交于点，又找到边的中点，画直线，小明说他画出了第三个角的角平分线所在的直线．你认为他说的对吗？为什么？ 54．如图，在中，，，分别为边上的高和中线，且． (1)求的长； (2)求和的周长之差； (3)若E为边的三等分点，连接，与交于F点，记的面积为，的面积为，求的值． 55．如图，在折纸活动中，小明制作了一张三角形纸片ABC，点D，E分别在边AB，AC上．将沿着DE所在直线折叠并压平，使点A与点N重合． (1)若，求的度数． (2)若，求的度数． 56．如图1，已知直线，点、是上两点，点、是上两点，、相交于点，，，请回答下列问题： (1)则________；（直接写出结果即可） (2)如图2，点为延长线上一点，、分别为、的角平分线，且交于一点，求的度数； (3)若点为平面内一点，连接、，且，，请直接写出的度数． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01认识三角形期中复习讲义 1.理解三角形的概念，会识别三角形，规范使用三角形符号表示三角形，准确区分三角形的顶点、边、内角。会数图形中三角形的个数。 2.掌握三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于 180°；能直接利用定理求角度，结合平行线性质、角平分线、折叠模型进行角度计算与推理。 3.掌握三角形按角分类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，能够根据内角条件判断三角形的类型。 4.掌握三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；会判断三条线段能否构成三角形，确定第三边的取值范围，运用三边关系解决简单应用问题。 5.理解三角形角平分线、中线、高线的定义；能画出锐角、直角、钝角三角形的三条高，重点掌握钝角三角形两条在外部的高。 6.掌握三角形中线的性质：三角形的中线将三角形分成面积相等的两个小三角形；知道三条中线交于重心，能利用中线求线段长度、计算面积。 7.了解三角形三条高线交于垂心，会利用三角形的高进行面积相关计算。 8.易错与思想方法： 判断三边能否组成三角形，只需验证较短两边之和大于最长边； 钝角三角形的高容易画错，高不一定都在三角形内部； 角度综合题学会等量代换，折叠问题找准相等角； 区分角平分线、中线、高三种线段，不要混淆定义。 题型 考察方向 难度 题型一 三角形的识别与有关概念 ★ 题型二 三角形的个数问题 ★★ 题型三 与平行线有关的三角形内角和问题 ★★★ 题型四 与角平分线有关的三角形内角和问题 ★★★ 题型五 三角形折叠中的角度问题 ★★★★ 题型六 三角形内角和定理的应用 ★★ 题型七 三角形的分类 ★ 题型八 构成三角形的条件 ★ 题型九 确定第三边的取值范围 ★★ 题型十 三角形三边关系的应用 ★★ 题型十一 三角形角平分线的定义 ★ 题型十二 根据三角形中线求长度 ★★ 题型十三 根据三角形中线求面积 ★★ 题型十四 重心的概念 ★ 题型十五 画三角形的高 ★ 题型十六 与三角形的高有关的计算问题 ★★ 题型十七 垂心 ★ 拔高题 5题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点01:三角形基本概念与分类（基础必背） 1.三角形定义 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。 三要素：3 个顶点、3 条边、3 个内角 表示方法：顶点为A、B、C的三角形记作△ ABC 2. 三角形分类 知识点02:三角形三边关系（超级重点） · 定理：三角形任意两边之和 大于 第三边。a+b>c,a+c>b,b+c>a) · 推论：任意两边之差 小于 第三边。 |a-b|<c 高频易错点 1.必须同时满足两边和、两边差； 2.周长取值范围考题必考； 3.等腰三角形边长需分类讨论，并检验三边关系。 知识点03:三角形内角和定理 1. 定理内容 三角形的三个内角的和等于 180°。∠A+∠B+∠C=180∘ 2. 证明思路（重点） (1)过三角形的一个顶点作对边的平行线； (2)利用两直线平行，内错角相等，把三个内角转化为一个平角； (3)平角 = 180°，从而证明内角和为 180°。 ∵ EF∥BC（已知）， ∴ ∠EAB = ∠B（两直线平行，内错角相等）， ∠FAC = ∠C（两直线平行，内错角相等）。 又∵ ∠EAB + ∠BAC + ∠FAC = 180°（平角的定义）， ∴ ∠B + ∠BAC + ∠C = 180°（等量代换）。 即三角形三个内角的和等于 180°。 3.三角形内角取值规律 (1)任意三角形最多 1 个直角、最多 1 个钝角； (2)最少有两个锐角； (3)三个角都小于 90为锐角三角形；一个角等于 90 为直角三角形；一个角大于 90为钝角三角形。 知识点04:三角形的重要线段定义整理 三角形的高线：从三角形的一个顶点向对边作垂线，顶点与垂足之间的线段； 三角形的中线：联结三角形一个顶点与对边中点的线段； 三角形的角平分线：三角形的一个内角的角平分线与对边相交于一点，顶点与交点之间的线段； “三线的交点”一个三角形有3条中线.3条角平分线.3条高 区分易错：角平分线（线段）≠ 角的平分线（射线） 知识点05:三角形的重心 1. 定义 三角形的三条中线交于一点，这个交点叫做三角形的重心。 重心一定在三角形内部 2. 重心定理（性质） 重心到顶点的距离是它到对边中点距离的2 倍（即重心分中线为2:1）。 在△ABC 中，∵ O 是△ABC 的重心，AD、BE、CF 是中线， ∴ AO=2OD，BO=2OE，CO=2OF（或 AO:OD=BO:OE=CO:OF=2:1）。 核心总结表 项目 中位线 重心 定义 两边中点的连线 三条中线的交点 数量 3 条 1 个 核心性质 平行且等于第三边的一半 分中线为2:1 关键作用 证平行、算边长 算线段比、分面积 知识点06：高频易错点 常见错误认知 正确结论 错误原因 等腰三角形一定是锐角三角形 等腰三角形可以是锐角、直角、钝角三角形（如等腰直角三角形、顶角 120° 的等腰钝角三角形） 只见过锐角等腰三角形，思维固化 等腰三角形和等边三角形是两类独立三角形 等边三角形是特殊的等腰三角形，二者是包含关系，不能并列分类 不理解 “至少两边相等” 的定义 一个三角形可以同时有直角和钝角 三角形内角和 180°，直角 + 钝角＞180°，不可能同时存在 忽略内角和定理限制 所有三角形都有三条高，且全部在图形内部 钝角三角形两条高在三角形外部，只有一条高在内部 只会画锐角三角形的高，不熟悉钝角三角形高的画法 角平分线是一条射线 三角形的角平分线是线段；单纯角平分线才是射线 混淆角平分线与三角形角平分线的定义 任意三角形都具备 “三线合一” 只有等腰三角形底边对应的高、中线、顶角平分线才三线合一，普通三角形无此性质 概念记忆不完整，扩大性质适用范围 判断三角形类型时，只能用一种分类标准 同一个三角形可同时按角、按边双重分类（例：等腰直角三角形，既是等腰又是直角三角形） 不清楚两套分类标准相互独立、互不冲突 题型一、三角形的识别与有关概念 1．小华用三根火柴搭成下列图形，其中是三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了三角形的定义．三角形的定义为：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所成的图形．据此求解即可 【详解】解：因为三角形是由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所成的图形． 用三根火柴搭成下列图形，其中是三角形的是 ， 故选：C． 2．在三边互不相等的三角形中，最长边的长为，最长的中线的长为，最长的高线的长为，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】画出图形，高为顶点到对应边的最短线段，中线在三角形内，由此可解． 【详解】解：如图，   中，，E为的中点，为边的高， 则是最长的边， 是最长的中线，是最长的高， 由图可知， 因此． 故选A． 【点睛】本题考查与三角形有关的线段，根据题意画出示意图是解题的关键． 3．若三角形的外角中有一个是锐角，则这个三角形是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【答案】C 【分析】根据平角的定义求出与这个外角相邻的内角是钝角，然后作出判断即可． 【详解】∵三角形的外角中有一个角是锐角， ∴与这个外角相邻的内角是钝角， ∴这个三角形是钝角三角形． 故选C． 【点睛】本题考查了三角形的外角，根据平角定义求出与外角相邻的内角是钝角是解题的关键． 题型二、三角形的个数问题 4．图中三角形的个数是（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】三角形就是三条首尾顺次相接的线段构成的图形，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，图中的三角形有，共5个． 5．如图，D，E，F，G是线段BC上的点． （1）以AC为边的三角形有____________； （2）图中共有______个三角形． 【答案】 ，，，， 15 【解析】略 6．由18根完全相同的火柴棒摆成的图形如图所示，如果去掉其中的3根，那么就可以剩下7个三角形．以下去掉3根的方法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】按照选项依次分析即可求解． 【详解】解：A．去掉，如图： 图中共有6个三角形，该项不符合题意； B．去掉，如图： 图中共有4个三角形，该项不符合题意； C．去掉，如图： 图中共有7个三角形，该项符合题意； D．去掉，如图： 图中共有9个三角形，该项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查三角形计数，掌握三角形的定义是解题的关键． 题型三、与平行线有关的三角形内角和问题 7．如图，将一副直角三角板如图放置，使含角的三角板的短直角边和含角的三角板的一条直角边重合，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查三角形内角和及平行线的性质，熟练掌握三角形内角和及平行线的性质是解题的关键；如图，由题意易得，然后根据三角形内角和可进行求解． 【详解】解：如图， 由题意得：， ∴， ∴， ∴； 故选D． 8．如图是从一个帆船模型抽象的几何图形，其中，若，，则的度数为__________． 【答案】/35度 【详解】解：∵， ∴， ∴． 9．如图，，点在的延长线上，下列结论一定成立的是（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行线的性质，两直线平行，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，还涉及三角形内角和定理等知识，再逐项验证即可得到答案，熟记平行线的性质是解决问题的关键． 【详解】解：A、由于与是否平行，没有说明，内错角不一定相等，故不一定成立，不符合题意； B、在中，，故不成立，不符合题意； C、由于与是否平行，没有说明，内错角不一定相等，故不一定成立，不符合题意； D、由于，内错角相等，故一定成立，符合题意； 故选：D． 题型四、与角平分线有关的三角形内角和问题 10．如图，在中，，，是的角平分线，则的度数为（   ） A．25° B．50° C．65° D．75° 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形两锐角互余、角平分线定义、三角形内角和定理，掌握这些基本概念和性质是解题的关键． 先在中利用直角三角形两锐角互余求出的度数，再根据角平分线的定义求出，最后在中利用三角形内角和求出的度数． 【详解】解：∵在中， ∴ ∵是的角平分线 ∴ ∵在中， ∴． 故选：C． 11．如图，中，，．平分，则________ 【答案】 【分析】由三角形内角和定理可得，再结合角平分线的定义求解． 【详解】解：，，， ， 平分， ． 12．如图所示，在中，，的三等分线分别交于点，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形内角和等于，角平分线的定义．由，根据三角形内角和可求出，由题意得、分别是，的平分线，进而利用三角形内角和定理可求出的度数. 【详解】解：∵， ∴， ∵，的三等分线交于点E、D， ∴、分别是，的平分线， ∴， ∴． 故选：B． 题型五、三角形折叠中的角度问题 13．如图，在中，，，是边上一点，连接．将沿折叠后，点落到点处，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的内角和，折叠的性质，平行线的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 根据三角形的内角和得到，由折叠的性质得到，根据平行线的性质得到，根据三角形的内角和即可得到结论． 【详解】解：∵，， ∴， 由折叠的性质得， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 14．如图，在中，，分别是，上的点，将沿折叠，使点落在的内部点处．若，则______． 【答案】 【分析】根据折叠的性质可得，，由三角形内角和定理得，利用平角定义得，再代入计算即可． 【详解】解：由折叠的性质可得 ，， 在中，，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴． 15．如图，在中，，，分别为，上一点，将沿直线翻折至同一平面内，点落在点处，，分别交边于点，．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据平角定义可得，然后利用折叠的性质可得：，，从而利用三角形的内角和可得，进而可得，最后利用平角定义进行计算，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠得：，， ∵， ∴， ∴， ∴． 题型六、三角形内角和定理的应用 16．如图，的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 17．在显示的五角星图形中，的度数为_______°． 【答案】 【分析】利用三角形的外角性质将分散的五个角转化到一个三角形的内角中，再利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：如图，设与交于点，与交于点， 在中，， 在中，， 在中，， ． 18．如图，，，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，延长交于点， ， ， ， ， 由三角形内角和定理得． 题型七、三角形的分类 19．下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡，若按三个内角的大小分类，能判断三角形类型的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、该三角形只露出一个锐角，无法判断其他两个内角的度数，无法判断三角形类型； B、该三角形只露出一个钝角，可判断该三角形为钝角三角形； C、该三角形只露出一个锐角，无法判断其他两个内角的度数，无法判断三角形类型； D、该三角形只露出一个锐角，无法判断其他两个内角的度数，无法判断三角形类型． 20．如图，∠ACD＝90°，则图中的锐角三角形是_________，钝角三角形有______个． 【答案】 △ACE； 4. 【分析】三个角都是锐角的三角形是锐角三角形；有一个角是直角的三角形是直角三角形；有一个角是钝角的三角形是钝角三角形；有两条边相等的三角形是等腰三角形，三条边相等的三角形是等边三角形（是特殊的等腰三角形），根据三角形按角分类的方法进行逐项分类即可． 【详解】观察图形可知，△ACE是锐角三角形，； △CED、△CDB、△CEB、△ACB是钝角三角形，共4个. 故答案为△ACE，4． 【点睛】本题是考查三角形的分类． 21．三角形按边的相等关系分类如图所示，则下列说法错误的是（     ） A．M表示三边都不相等的三角形 B．M表示锐角三角形 C．P表示等腰三角形 D．N表示等边三角形 【答案】B 【分析】根据三角形按边的相等关系分类可直接选出答案． 【详解】解：三角形按边的相等关系分类：分为不等边三角形和等腰三角形，等腰三角形又分为底与腰不相等的等腰三角形和等边三角形， 由图可知，M表示三边均不相等的三角形，N表示等边三角形，P表示等腰三角形， 故选项A、C、D说法正确，不符合题意； 选项B是按角分类，故说法错误，符合题意． 题型八、构成三角形的条件 22．以下列长度的三条线段为边，能组成三角形的是（     ） A．3，2，4 B．3，3，6 C．3，2，5 D．3，2，6 【答案】A 【分析】验证较短两边之和大于最长边，即可判断三条线段能否组成三角形． 【详解】解：A．∵， ∴能组成三角形，故此选项符合题意； B．∵， ∴不能组成三角形，故此选项不合题意； C．∵， ∴不能组成三角形，故此选项不合题意； D．∵， ∴不能组成三角形，故此选项不合题意． 23．以下列长度的各组线段为边，不能组成三角形的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题考查了三角形三条边的关系．熟练掌握三角形三条边的关系是解答本题的关键． 根据三角形三条边的关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，逐一判断，即可得到答案． 【详解】A、∵，∴，，能构成三角形； B、∵，∴，，能构成三角形； C、∵，∴，，能构成三角形； D、∵，∴，，不能构成三角形． 故选：D． 24．【三角形的三边关系】小豫想制作一个三角形框架，他找到了 这样的两根木条（如图）： 小豫把其中一根木条锯成长度是整厘米数的两段，然后和另外一根木条围成一个三角形．请将可能组成的不同三角形的三条边（表格中分别用a，b，c表示，排列顺序与结果无关，数值相同即为同一个三角形）的长度填入表中．（表格不一定要全部填满） 三角形 a边 b边 c边 三角形 a边 b边 c边 1 5 2 6 3 7 4 8 【答案】 填表如下： 三角形 a边 b边 c边 1 6 6 8 2 7 5 8 3 8 4 8 4 9 3 8 【分析】本题考查三角形三边的关系，小豫只能锯木条，因为组成三角形的任意两边之和大于第三边,分别锯成,或者,或者,或者． 【详解】略 题型九、确定第三边的取值范围 25．三角形一边长为，另一边长为，它的第三边的长可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设第三边的长为， 根据三角形三边关系可得， ， 观察选项，只有满足， 因此第三边的长可能为． 26．已知2，，4是三角形的三边长，化简______． 【答案】4 【分析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；即可求a的取值范围，进而得到化简结果． 【详解】解：由三角形三边关系定理得， 即． ∴． 27．设的三边分别为其中满足，则最长边c的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了非负数的性质，解二元一次方程组，三角形的三边关系，掌握三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题关键．根据绝对值和平方的非负性，得到关于、的方程组，再根据三角形的三边关系求解即可． 【详解】解：， ，， ，， 又∵c为最长边 ， 故选：C． 题型十、三角形三边关系的应用 28．如图，为了估计一池塘岸边两点，之间的距离，小丽同学在池塘一侧选取了一点，测得，，那么点与点之间的距离可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题可利用三角形三边关系定理，确定的取值范围，再结合选项选出符合条件的答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴由三角形三边关系可得：， 即． 选项中只有满足． 29．用，，表示的三边，若的周长是7，，则的值为_____． 【答案】 【分析】本题考查了代数式求值． 利用三角形周长，将原表达式转化为关于、、 的形式，再结合已知条件，通过代数变换求解． 【详解】设，则 ，，， 则， 又，同理，， 所以， 由已知，且，，， 得， 代入得原式． 故答案为：． 30．小红在学习完《三角形》后，她对各边长都是整数的三角形的个数进行了研究，结果如下表： 最长的边长 1 2 3 … n 三角形的个数 1 2 4 … m 若，则m的值是（     ） A．16 B．18 C．20 D．22 【答案】C 【分析】本题利用三角形三边关系求解，已知最长边为，设另外两边满足，根据“任意两边之和大于第三边”得到，枚举所有符合条件的整数，求和即可得到三角形总个数． 【详解】设三角形另外两边长为,，满足 ∵最长边为，根据三角形三边关系得 按的取值枚举所有情况： 当时，，可取，共个； 当时，，可取，共个； 当时，，可取，共个； 当时，，可取，共个； 当时，不存在满足条件的整数； ∴总个数． 题型十一、三角形角平分线的定义 31．若是的角平分线（如图所示），则下列结论不正确的是（   ） A．平分 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形的角平分线，根据三角形的角平分线的定义进行判断即可． 【详解】解：∵是的角平分线， ∴平分， ∴，，故选项A，B，D正确； 不能得到，故选项C错误； 故选C． 32．如图，是的高线，是的角平分线．，，则的度数为 ________．    【答案】/70度 【分析】由高线可得，再由三角形的内角和可求得，从而可求得，由角平分线的定义可求得，即可求． 【详解】解：是的高线， ， ， ， ， ， 是的角平分线， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查三角形的内角和定理，角平分线的定义，解答的关键是结合图形分析清楚各角之间的关系． 33．如图，在中，是边上的高，平分交边于点E，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和定理．熟练掌握角平分线的定义，三角形内角和定理是解题的关键． 由题意知，，由平分，可得，则，根据，计算求解即可． 【详解】解：∵是边上的高， ∴， ∵平分，， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 题型十二、根据三角形中线求长度 34．如图，在中，是边上的中线，的周长比的周长多．若，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形的中线定义得到，再根据周长关系得到，进而可求解． 【详解】解：∵是边上的中线， ∴， ∵的周长比的周长多， ∴ ∴ ∵， ∴． 35．在中，是中线，且，，则与的周长之差为___． 【答案】6 【分析】本题考查了三角形中线的定义，根据三角形的中线定义得出，结合三角形周长公式，即可解答． 【详解】解：∵是的边上的中线， ∴， ∴和的周长的差 ， 则与的周长之差为， 故答案为：6． 36．如图，分别是的中线，高线，已知的面积是8，，则BC的长是（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】D 【分析】本题主要考查三角形面积、三角形的中线等知识点，掌握三角形面积公式以及中线的定义是解题的关键． 由代入可得，再由是的中线即可得即可解答． 【详解】解：∵是的高线，的面积是8，， ，解得：， ∴． 故选：D． 题型十三、根据三角形中线求面积 37．如图，是的中线，是的中线，是的中线，若的面积为3，则的面积等于（     ） A．22 B．24 C．26 D．28 【答案】B 【分析】根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形依次求解即可． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵是的中线， ∴， ∵是的中线， ∴， ∵的面积是3， ∴． 38．如图，在中，已知分别是的中点，且，那么阴影部分的面积为__________． 【答案】2 【分析】先得出，，则可得，再得出，由此即可得． 【详解】解：∵点是的中点， ∴，， ∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， 即阴影部分的面积为2． 39．如图，把的三边、和分别向外延长一倍，将得到的点、、顺次连接成，若的面积是，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，由题意得，，由三角形的中线性质即可得出的面积． 【详解】解：如图，连接， 由题意得：， ∴，，， ∴． 题型十四、重心的概念 40．匀质三角形薄板的重心是三角形（     ）的交点 A．三条高 B．三条中线 C．三条角平分线 D．三边垂直平分线 【答案】B 【详解】解：匀质三角形薄板的重心与三角形的重心重合，三角形的重心是三条中线的交点． 41．在数学实验课上，小华想用铅笔支起一块质地均匀的三角形薄板，使薄板保持平衡，他想出了以下方法来确定这个平衡点的位置，其中做法正确的是（   ） A．画出三角形薄板的三条中线，取其交点 B．画出三角形薄板的三条高线，取其交点 C．画出三角形薄板的三条角平分线，取其交点 D．画出三角形薄板三边的垂直平分线，取其交点 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的重心的概念和性质，掌握三角形的重心为三角形三边中线的交点是解题的关键．根据题意得：平衡点应是三角形的重心，据此即可解答． 【详解】解：∵平衡点应是三角形的重心， ∴平衡点是三角形三边中线的交点． 故选：A． 42．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝4，P是△ABC的重心，连结BP，CP，则△BPC的面积为_____． 【答案】4 【分析】△ABC的面积S＝AB×BC＝＝12，延长BP交AC于点E，则E是AC的中点，且BP＝BE，即可求解． 【详解】解：△ABC的面积S＝AB×BC＝＝12， 延长BP交AC于点E，则E是AC的中点，且BP＝BE，（证明见备注） △BEC的面积＝S＝6， BP＝BE， 则△BPC的面积＝△BEC的面积＝4， 故答案为：4． 备注：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1， 例：已知：△ABC，E、F是AB，AC的中点．EC、FB交于G． 求证：EG＝CG 证明：过E作EH∥BF交AC于H． ∵AE＝BE，EH∥BF， ∴AH＝HF＝AF， 又∵AF＝CF， ∴HF＝CF， ∴HF：CF＝， ∵EH∥BF， ∴EG：CG＝HF：CF＝， ∴EG＝CG． 【点睛】此题考查了重心的概念和性质：三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍． 题型十五、画三角形的高 43．下列四个图形中，画出的边上的高的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形高的定义，边上的高需过顶点C且垂直于所在直线． 【详解】解：根据三角形高的定义，的边上的高，应是过顶点C向边所在的直线作垂线段． A、过点A作的垂线，是边上的高，故此选项不符合题意； B、不符合三角形高的定义，故此选项不符合题意； C、过点B作的垂线，是边上的高，故此选项不符合题意； D、过点C作延长线的垂线，是边上的高，此选项符合题意，故此选项符合． 44．如图，H若是△ABC三条高AD，BE，CF的交点，则△BHA中边BH上的高是__________． 【答案】AE 【分析】根据三角形的高的概念即可得答案． 【详解】∵H若是△ABC三条高AD，BE，CF的交点， ∴BE⊥AC，即AE⊥BH， ∴△BHA中边BH上的高是AE， 故答案为：AE 【点睛】本题考查三角形的高的概念，从三角形的一个顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段叫三角形的高． 45．下面四个图形中，线段是的高的是（  ） A． B．   C．   D．   【答案】D 【分析】根据三角形高的定义进行判断． 【详解】解：线段AD是△ABC的高，则过点A作对边BC的垂线，则垂线段AD为△ABC的高． 选项A、B、C错误， 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形的高：三角形的高是指从三角形的一个顶点向对边作垂线，连接顶点与垂足之间的线段． 题型十六、与三角形的高有关的计算问题 46．如图，的中线，相交于点O，，垂足为F，且，，，，则四边形的面积是（    ） A． B．3 C．5 D．6 【答案】A 【分析】根据三角形中线的性质可得，即可得，得到，由此即可求得四边形的面积． 【详解】∵、均是的中线， ∴， ∴， ∴． 47．如图，在中，，，，，为边上的高，则的长为__________． 【答案】 【分析】利用直角三角形面积的两种计算公式（等面积法），即面积等于两直角边乘积的一半，也等于斜边与斜边上高的乘积的一半，建立等式求解． 【详解】解：在中，，，，， ∴， ∵为边上的高，， ∴， ∴． 48．如图，中，，是边上一动点，过作于，于．则下列结论正确的是（    ） A．四边形面积不变 B．的值不变 C．的值有最小值 D．的值不变 【答案】B 【分析】本题考查与三角形的高有关的计算，连接，作于点，等面积法得到，即可得出结果． 【详解】解：连接，作于点， 则：，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故的值不变， 四边形的面积，的值均随着点的变化而变化， 故选B． 题型十七、垂心 49．如果一个三角形的三条高所在直线的交点在三角形外部，那么这个三角形是（　　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【答案】C 【分析】直接根据钝角三角形的三条高线交于三角形的外部解答即可． 【详解】解：钝角三角形的三条高线交于三角形的外部， 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的三条高线交点的位置与三角形的形状的关系，即：锐角三角形的三条高线交于三角形的内部，直角三角形的三条高线交于三角形的直角的顶点，钝角三角形的三条高线交于三角形的外部． 50．下列说法：①三角形任何两边之差小于第三边；②等腰三角形两腰上的高相等；③若 ≥1，则x＝2；④三角形的三条高不一定交于三角形内一点．其中正确的是（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】根据三角形三边关系对①进行判断；根据等腰三角形的性质对②进行判断；解一元一次不等式对③进行判断；根据三角形高的定义对④进行判断． 【详解】①三角形任何两边之差小于第三边是正确的； ②等腰三角形两腰上的高相等是正确的； ③若≥1，则x≥2．原来的说法错误； ④三角形的三条高不一定交于三角形内一点是正确的． 故选B． 【点睛】考查了三角形的三边关系、三角形的高线的定义及等腰三角形的性质，解一元一次不等式,解题关键是熟记其相关定义和性质. 51．小红不小心把家里的一块圆形玻璃打碎了，需要配制一块同样大小的玻璃镜，工人师傅在一块如图所示的玻璃镜残片的边缘描出了点A，B，C，给出三角形ABC，则这块玻璃镜的圆心是（    ） A．AB，AC边上的中线的交点 B．AB，AC边上的垂直平分线的交点 C．AB，AC边上的高所在直线的交点 D．∠BAC与∠ABC的角平分线的交点 【答案】B 【详解】本题实质上是要确定三角形外接圆的圆心，三角形外接圆的圆心是三边垂直平分线的交点， 故选B． 解答题 52．已知在中，，，且为奇数． (1)求的周长； (2)已知、、为三角形三边，化简：． 【答案】(1)12 (2) 【详解】（1）解：由题意得：． 即：． 为奇数， ． 的周长为． （2）解：根据三角形的三边关系得： ． 53．一个缺角的三角形残片如图所示． (1)不恢复这个缺角，你能画出边上的高所在的直线吗？你是如何画的？依据是什么？ (2)小明分别画出和的平分线，两线交于点，又找到边的中点，画直线，小明说他画出了第三个角的角平分线所在的直线．你认为他说的对吗？为什么？ 【答案】(1)能画出边上的高所在的直线， 如图所示： ①分别过点、点作三角形的高线、，与相交于点， ②过点作，垂足为， ③即为边上的高所在的直线． 理由：、是三角形的高线，三角形的三条高线（或其延长线）相交于一点（垂心）， 点在边的高线上， 过点有且只有一条直线与垂直， 为边上的高所在的直线； (2)他说得不对，三角形的角平分线不一定经过该角对边的中点． 【分析】（1）分别过点和点作出三角形的两条高线，然后两条高线的交点作的垂线，该直线即为边上的高所在的直线； （2）三角形的角平分线不一定经过该角对边的中点． 【详解】（1）略 （2）略 54．如图，在中，，，分别为边上的高和中线，且． (1)求的长； (2)求和的周长之差； (3)若E为边的三等分点，连接，与交于F点，记的面积为，的面积为，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）的面积可表示为，也可表示为，由面积相等列等式，进行求解即可； （2）是边上的中线，故．的周长为，的周长为，进行相减计算即可； （3）分两种三等分情况．利用同加公共部分差不变的原理可得，，进而可得．分和两种情况，进行计算即可． 【详解】（1）解：在中，，，，，为边上的高， ， ； （2）解：为边上的中线， ， 的周长为：，的周长为：， 的周长的周长， ∴和的周长之差为； （3）解：①当时，如图1所示： 在中，，，， ， 为边上的中线， ， ， ∴， ， ， ， ∴， ； ②当时，如图2所示： 同理得：， ， ， ， ∴， ． 综上所述：的值为． 55．如图，在折纸活动中，小明制作了一张三角形纸片ABC，点D，E分别在边AB，AC上．将沿着DE所在直线折叠并压平，使点A与点N重合． (1)若，求的度数． (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，翻折变换的性质，平角的意义，渗透整体思想，掌握三角形的内角和是解决问题的关键． （1）直接利用三角形的内角和求得答案即可； （2）根据三角形的内角和等于求出，再根据翻折变换的性质可得． ，然后利用平角等于列式计算即可得解． 【详解】（1）解：， ． （2）解：， ． 由题意，得， ． 56．如图1，已知直线，点、是上两点，点、是上两点，、相交于点，，，请回答下列问题： (1)则________；（直接写出结果即可） (2)如图2，点为延长线上一点，、分别为、的角平分线，且交于一点，求的度数； (3)若点为平面内一点，连接、，且，，请直接写出的度数． 【答案】(1) (2) (3)，，， 【分析】（1）根据平行线的性质可得，根据三角形的性质，可得的度数，再根据平角的性质即可求解； （2）结合（1）中的计算可得的度数，根据角平分线的性质可得的度数，再根据三角形的内角和定理即可求解； （3）根据题意可得，根据图形的变换角度的关系，分类讨论，图形结合，角度的和差计算方法，三角形的内角和定理即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 在中，，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 由（1）可是，， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在中，， ∴， ∴的度数为； （3）解：据上述计算可得，， ∵，， ∴， 如图所示，则， 由（1）可知，， ∴， 在中，， ∴； 如图所示，， ∴， ∴在中，； 如图所示，，， ∴， ∴在中，； 如图所示，，， ∴， ∴在中，； 综上所述，的度数为：，，，． 【点睛】本题主要考查平行线的性质，角平分线的性质，三角形内角和定理，图形的旋转变换，掌握角平分线的性质，图形的变换的性质，三角形的内角和定理，分类讨论，图形结合分析的方法是解题的关键． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $