专题03不等式（期中复习讲义）八年级数学上学期新教材浙教版

专题03 不等式 01 期中考情透视 02 复习目标锚定 03 知识体系构建 04 核心考点精讲 考点一 不等式的定义 考点二 不等式的性质 考点三 解不等式（组） 考点四 不等式（组）的应用 05 重难题型突破 题型一 不等式的定义 题型二 不等式的性质 题型三 解不等式（组） 题型四 用数轴表示不等式的解集 题型五 不等式的整数解 题型六 根据不等式解的情况求参数 题型七 已知不等式解集求参数 题型八 不等式与方程综合 题型九 绝对值型不等式 题型十 解特殊的不等式 题型十一 一元一次不等式的应用 题型十二 不等式组的应用 06 限时分层演练 基础固本练 / 综合进阶练 考点与题型 常考考点：不等式的概念与列不等式；不等式的三条基本性质（尤其性质 3，两边同乘或除以负数时不等号方向必须改变）；一元一次不等式的解法与解集在数轴上的表示；一元一次不等式组的解法与解集确定（同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无处找）；不等式（组）的实际应用（至多至少、方案设计）；含参数不等式（已知解集或数轴表示反求字母的取值范围）。题型以选择、填空、解答并重，“解不等式组并求整数解”是高频解答题，约 20%—28%。 难易度 难度系数约 0.72。基础题是解一元一次不等式（组）并在数轴上表示解集；中档题集中在含参数问题与“求整数解／最大（小）整数解”；应用题（方案选择、费用比较）是本章与实际情境结合的主要得分点。典型失分点有三处：去分母或系数化为 1 时忘记变号、数轴上空心圈与实心点画错、应用题设元后漏写单位与取值检验。注意：浙江各地八上期中有的考完本章，有的只考到第 2 章，请以本校考查范围为准。 识记 ① 能说出不等式的定义，会用 , , , , 表示不等关系，能根据“至少”“至多”“不超过”“超过”等关键词正确列不等式。 ② 能说出不等式的三条基本性质，特别记住性质 3：不等式两边同乘（或除以）同一个负数，不等号方向必须改变。 ③ 能说出一元一次不等式的定义（只含一个未知数、未知数的次数是 1、左右两边都是整式）与解、解集的概念。 ④ 能说出一元一次不等式组解集的确定方法：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无处找。 理解 ① 理解不等式的解与方程的解的区别：解一般是一个范围而不是一个数，理解解集在数轴上“空心圈”与“实心点”的不同含义。 ② 理解解一元一次不等式与解一元一次方程步骤的异同，能说明“系数化为 1 时是否变号”取决于系数的正负。 ③ 理解不等式的性质与等式的性质的差异，能判断给定的变形是否正确并说明理由。 ④ 理解应用题的完整过程：设未知数 → 列不等式（组） → 求解 → 结合实际取整数解并检验。 应用 ① 能正确求解一元一次不等式（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1），并在数轴上表示解集。 ② 能求解一元一次不等式组，并按题目要求求出整数解、正整数解或最大（小）整数解。 ③ 能解决含参数的不等式问题：由已知解集（或解集在数轴上的表示）反求字母的取值范围。 ④ 能列不等式（组）解决实际应用问题，如方案设计、“最多／最少”问题、购买与租车的费用比较等。 考点一 不等式的定义 （1）不等式的概念：用“＞”或“＜”号表示大小关系的式子，叫做不等式，用“≠”号表示不等关系的式子也是不等式． （2）凡是用不等号连接的式子都叫做不等式．常用的不等号有“＜”、“＞”、“≤”、“≥”、“≠”．另外，不等式中可含未知数，也可不含未知数． 考点二 不等式的性质 知识点02 不等式的性质 （1）不等式的基本性质 ①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，即： 若a＞b，那么a±m＞b±m； ②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即： 若a＞b，且m＞0，那么am＞bm或＞； ③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即： 若a＞b，且m＜0，那么am＜bm或＜； （2）不等式的变形：①两边都加、减同一个数，具体体现为“移项”，此时不等号方向不变，但移项要变号；②两边都乘、除同一个数，要注意只有乘、除负数时，不等号方向才改变． ⚠️规律方法 1．应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论． 2．不等式的传递性：若a＞b，b＞c，则a＞c． 考点三 解不等式（组） 根据不等式的性质解一元一次不等式 基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1． 以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向． 注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式． 解一元一次不等式组 （1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集． （2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组． （3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集． 方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分． 解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． 在数轴上表示不等式的解集 用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”： 一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点； 二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”． ⚠️规律方法 某不等式求得的解集为x＞a，其验证方法可以先将a代入原不等式，则两边相等，其次在x＞a的范围内取一个数代入原不等式，则原不等式成立． 考点四 不等式（组）的应用 （1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案． （2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵． （3）列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤： ①弄清题中数量关系，用字母表示未知数． ②根据题中的不等关系列出不等式． ③解不等式，求出解集． ④写出符合题意的解． 题型一 不等式的定义 【例1】（25-26八年级下·陕西西安·期末）“不大于”用不等式表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：“不大于”表示小于等于，故不大于用不等式表示为． 💡破题要诀 ① 定义：用不等号（>、<、≥、≤、≠）连接而成的式子。 ② 关键词对照表：大于→>；小于→<；不大于→≤；不小于→≥；不超过→≤；至少→≥；至多→≤；超过→>。 ③ 一元一次不等式的三个条件：只含一个未知数、未知数的次数是 1、两边都是整式。 ④ 特别注意是否含等号：「至少」「不超过」都要带等号。 ⑤ 列式后把不等式读一遍，确认与实际语义一致。 迁移应用 【变式1-1】（21-22八年级下·贵州毕节·期中）下列各式中，是不等式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：用不等号连接的式子是不等式． A选项，是等式，不符合题意； B选项，含不等号，是不等式，符合题意； C选项，是代数式，不符合题意； D选项，是等式，不符合题意． 【变式1-2】（25-26七年级下·福建泉州·期末）惊蛰，古称“启蛰”，是二十四节气之一，标志着仲春时节的开始，今年惊蛰这一天泉州市的最低气温是，最高气温是，则当天气温（）满足的不等关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：最低气温是，最高气温是， ． 【变式1-3】（21-22七年级下·云南西双版纳·阶段检测）x的与7的差不大于5，用不等式表示为___________． 【答案】 【分析】先表示出的，再表示出与的差，明确“不大于”的含义为小于等于，即可列出不等式． 【详解】解：由题意得． 题型二 不等式的性质 【例2】（2026·江苏淮安·中考真题）实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数轴确定，的正负、大小及绝对值大小关系． 【详解】解：由数轴可知，且， ， ，，， 观察四个选项可知：只有选项D的结论是正确的． 💡破题要诀 ① 性质一：两边加（或减）同一个数或式子，不等号方向不变。 ② 性质二：两边乘（或除以）同一个正数，不等号方向不变。 ③ 性质三（最高频错点）：两边乘（或除以）同一个负数，不等号方向必须改变。 ④ 传递性：若 且 ，则 。 ⑤ 不要随意在两边乘（除）含字母的式子，因为不知道它的正负，必须分类讨论。 迁移应用 【变式2-1】（26-27八年级上·广西南宁·开学考试）如果，那么下列各式中正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴，，故A、B错误； ∵， ∴，故C错误； ∵， ∴，故D正确． 【变式2-2】（25-26八年级下·陕西西安·期中）若，且，则的值可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，且， ∴， 只有C选项中的是负数，符合题意． 【变式2-3】（26-27八年级上·广东湛江·开学考试）若，则下列不等式不一定成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式性质逐一判断选项即可． 【详解】解：∵， ∴，，均成立， 取，，满足， 此时，，即， ∴不一定成立． 题型三 解不等式（组） 【例3】（26-27九年级上·广东深圳·开学考试）不等式组的解集是________． 【答案】 【分析】分别求解两个一元一次不等式，再根据不等式组解集的法则确定最终解集． 【详解】解：解不等式①，得 ， 解不等式②，得 ． 根据“同小取小”的法则，可得不等式组的解集为． 💡破题要诀 ① 五步法：去分母 → 去括号 → 移项 → 合并同类项 → 系数化为 1。 ② 去分母时，不含分母的项也要同乘公分母——这是最常见的漏乘。 ③ 去括号时括号前是负号，里面各项都要变号。 ④ 移项要变号，不要照抄符号。 ⑤ 最后一步系数化为 1：先看清系数的正负，负数必须改变不等号方向。 ⑥ 不等式组：分别解出每一个，再取它们的公共部分。 迁移应用 【变式3-1】（24-25八年级下·山东聊城·阶段检测）解不等式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】解一元一次不等式的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1． 【详解】（1）解：去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得． （2）解：去括号，得， 移项，合并同类项，得， 系数化为1，得． 【变式3-2】（26-27八年级上·黑龙江绥化·开学考试）解不等式：． 【答案】 【分析】根据解一元一次不等式的步骤：去分母、去括号、合并同类项，系数化为，即可求解． 【详解】解：， 去分母得，， 去括号得，， 移项、合并同类项得，， 系数化为得，． 【变式3-3】（26-27八年级上·浙江宁波·阶段检测）解下列不等式（组） (1)解不等式：； (2)解不等式组：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）按照解一元一次不等式的步骤求解即可． （2）需要分别求出每个不等式的解集，然后取交集． 【详解】（1）解：， 去括号得：， 移项：， 合并同类项得：， 解得：. （2）解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为：． 题型四 用数轴表示不等式的解集 【例4】（25-26七年级下·陕西汉中·期末）不等式的解集在数轴上表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据解一元一次不等式的步骤计算即可得出解集，再表示在数轴上即可． 【详解】解：， ， ， 解得， 将解集表示在数轴上如下图： 💡破题要诀 ① 先定界点：有等号（≥、≤）画实心点，无等号（>、<）画空心圈。 ② 再定方向： 或 向右画； 或 向左画。 ③ 不等式组取公共部分的口诀：大大取大；小小取小；大小小大中间找；大大小小无处找。 ④ 画完数轴后还要用不等式把解集写出来，图文缺一不可。 ⑤ 有等号的两个解集刚好接上时，公共部分就是那一个点。 迁移应用 【变式4-1】（26-27八年级上·甘肃张掖·开学考试）在数轴上表示不等式的解集，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】数轴表示不等式解集的原则：小于向左，大于向右；无等号画空心圆圈，有等号画实心圆点． 【详解】略 【变式4-2】（26-27九年级上·湖南长沙·阶段检测）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别解不等式组中的两个不等式，两个不等式解集的公共部分即为不等式组的解集，把不等式组的解集表示在数轴上即可． 【详解】解：， 解不等式①：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：， 解不等式②：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：， 不等式组的解集为， 把不等式组的解集表示在数轴上，如下图所示： ． 【变式4-3】（26-27八年级上·黑龙江绥化·开学考试）下列在数轴上表示的不等式组的解集，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】定边界，定方向，在数轴上表示出不等式组的解集即可. 【详解】解：∵， ∴， 在数轴上表示解集如图： 题型五 不等式的整数解 【例5】（25-26八年级下·陕西汉中·期末）不等式的负整数解有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：由得， ∴该不等式的负整数解为，，，共3个． 💡破题要诀 ① 先正常解出解集，得到形如 的范围。 ② 在数轴上把这个范围画出来，把范围内的整数点逐个圈出。 ③ 端点能否取要看有没有等号：有等号就取，无等号就跳过。 ④ 求「整数解的个数」时，个数 = 最大整数解 - 最小整数解 + 1。 ⑤ 求「最小整数解」「最大整数解」时，先确定哪一端是开区间，再从可取的那一端数起。 迁移应用 【变式5-1】（26-27九年级上·江西九江·阶段检测）解不等式组，并将它的解集在下面的数轴上表示出来． 【答案】，数轴表示如下所示： 【分析】分别求出两个不等式的解集，再取公共部分得到不等式组解集，最后在数轴上表示． 【详解】解：解不等式①：， ， ， ； 解不等式②：， ， ， ， ， ∴不等式组的解集为：． 数轴表示：在数轴上，在处画空心圆圈，在处画实心圆点，连接两点之间的线段． 【变式5-2】（26-27九年级上·重庆·阶段检测）解不等式组：，并写出不等式组的所有整数解． 【答案】 不等式组的解集为，所有整数解为 【详解】解：由①，得； 由②，得； ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的整数解为. 【变式5-3】（26-27九年级上·重庆渝北·阶段检测）解不等式组，在数轴上画出解集，并求出它的整数解之和． 【答案】解集为， 数轴表示如图： 整数解之和为 【分析】分别求出两个不等式的解集，取公共部分得到不等式组的解集，在数轴上表示解集，再找出范围内的整数解，最后求和． 【详解】解：， 解不等式①，得 ； 解不等式②，得 ， 不等式组的解集为． 数轴画法：在数轴上，处画实心圆点，处画空心圆圈，两点之间连线． 该范围内的整数解为：， 整数解之和：， 不等式组整数解之和为． 【变式5-4】（25-26七年级下·黑龙江伊春·期末）写出不等式的所有非负整数解：_______________． 【答案】，， 【分析】先求不等式的解集，再在解集中找出所有非负整数即可． 【详解】解：， 移项得， 合并同类项得， 系数化为得， ∵非负整数是大于等于的整数， ∴满足的所有非负整数为，，． 题型六 根据不等式解的情况求参数 【例6】（26-27八年级上·内蒙古巴彦淖尔·开学考试）如果不等式组恰有2个整数解，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据解不等式组的方法，解出题目所给的不等式组的解，再根据不等式组恰有2个整数解即可求出a的取值范围. 【详解】解：， 解得：， 解得：， ∵不等式组有解， ∴不等式组的解集为， ∵不等式组恰有2个整数解， ∴不等式组的2个整数解为， ∴a的取值范围是. 💡破题要诀 ① 先解含参数的不等式，得到形如 或 的解集。 ② 再与题目给出的解集形式对照，令两者一致求出参数。 ③ 「有解 / 无解」问题用数轴判断：画草图看两个解集能否相交。 ④ 端点能否取等号必须单独讨论——这是最容易丢分的一步。 ⑤ 「恰有 3 个整数解」类：先画出数轴，把整数点标出来，再对端点列不等式。 迁移应用 【变式6-1】（25-26七年级下·甘肃平凉·期末）若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】不等式组无解，则两个不等式的解集没有公共部分，由此求解． 【详解】解：解不等式，得. ∵不等式组无解， ∴． 【变式6-2】（25-26七年级下·四川乐山·期末）已知不等式组无解，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】先分别解出两个不等式的解集，再根据不等式组无解的条件列出关于的不等式，求解得到的取值范围． 【详解】解：解不等式 ，得：， 解不等式，得：， ∵不等式组无解 ∴根据不等式组解集“大大小小找不到”的原则，可得： 解得：． 【变式6-3】（25-26七年级下·江西宜春·期末）若关于的不等式组无解，则的取值范围是____________． 【答案】 【分析】先分别求解不等式组中两个不等式的解集，再根据不等式组无解的条件列出关于的不等式，求解得到的取值范围． 【详解】解： 解不等式①，得 解不等式②，得 ∵不等式组无解 ∴，解得． 【变式6-4】（21-22八年级下·宁夏银川·期中）若不等式组有解，则实数的取值范围是______． 【答案】 【分析】先分别解出两个不等式的解集，再根据不等式组有解的条件确定的取值范围； 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∵不等式组有解， ∴． 题型七 已知不等式解集求参数 【例7】（25-26七年级下·河南周口·期中）若关于的不等式的解集为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】不等式两边同时除以同一个负数，不等号方向改变，根据已知解集的不等号方向判断系数的符号，进而求解即可． 【详解】解：∵不等式变形后解集为，不等号方向发生改变， ∴根据不等式的性质，不等式两边除以负数时不等号方向改变，可得， 解得． 此时，原不等式化为，即，与已知解集相符， 故的取值范围是。 💡破题要诀 ① 先按常规步骤解含参不等式，得到 这类形式。 ② 再与已知解集对照，令对应部分相等，解出参数。 ③ 若已知的是不等式组的解集，先判断哪一边是「瓶颈」（决定公共部分的那一侧）。 ④ 别忘了讨论未知数系数为 0 的特殊情形（此时不等式可能恒成立或无解）。 ⑤ 解出参数后代回原不等式重解一遍，核对解集是否吻合。 迁移应用 【变式7-1】（25-26七年级下·黑龙江伊春·期末）若不等式组的解集是，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵不等式组的解集是， ∴． 【变式7-2】（25-26七年级下·青海玉树·期末）已知关于的不等式组的解集为，则的值为________． 【答案】 【分析】先解不等式组，结合已知解集得到和的值，再计算即可． 【详解】解：解得， ∵不等式组的解集为， ∴，， ∴， ∴． 【变式7-3】（25-26七年级下·广东汕头·期末）若不等式组的解集是，则_________________． 【答案】 【分析】先求出不等式组的解集，再根据解集是求出，即可求出． 【详解】解：解得， 解得， ∴不等式组的解集为， ∵不等式组的解集是， ∴， 解得：， ∴． 题型八 不等式与方程综合 【例8】（25-26七年级下·山东滨州·期末）已知关于的不等式组的解集为，且关于、的二元一次方程组有正整数解．则所有满足条件的整数的和为（     ） A．19 B．20 C．21 D．22 【答案】A 【分析】先解一元一次不等式组，根据已知解集确定的取值范围，再解二元一次方程组，根据方程组有正整数解确定符合条件的整数，最后计算所有满足条件的的和，得到正确选项． 【详解】解：解不等式， 去分母得， 整理得， ． 解不等式得． 不等式组的解集为， ． 解方程组， 由第一个方程得， 代入第二个方程得， 整理得， 解得． 将代入，得． 方程组的解为正整数，且为整数， 是的正因数， 的正因数有． 当时，，不满足，舍去； 当时，，不满足，舍去； 当时，，满足条件，此时均为正整数； 当时，，满足条件，此时均为正整数． 所有满足条件的整数的和为． 💡破题要诀 ① 第一步解方程（组）：把未知数用参数表示出来。 ② 第二步代入不等式：把表达式代进题给的不等关系，得到关于参数的不等式。 ③ 第三步补隐含条件：如未知数是正整数、三角形边长为正、分母不为 0。 ④ 第四步解出参数范围；若题目要求整数参数，再在范围内取整数。 ⑤ 最后把求得的参数代回检验，确认原方程的解确实满足所有条件。 迁移应用 【变式8-1】（25-26七年级下·山东日照·期末）若关于的不等式组的解集为，且关于、的二元一次方程组的解满足，则满足条件的所有整数的和为__________． 【答案】 【分析】先解一元一次不等式组，再根据不等式组的解集为，从而可得，进而可得，然后再把两个二元一次方程相加可得，再结合已知可得，从而可得，进而可得，最后进行计算即可解答． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵不等式组的解集为， ∴， ∴， ， ③+④得： ， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴，而为整数， ∴， ∴满足条件的所有整数a的和． 【变式8-2】（25-26七年级下·河南驻马店·期末）已知关于的不等式组的解集为，且关于，的二元一次方程组有正整数解．则所有满足条件的整数的值为__________． 【答案】5和14 【分析】先解不等式组，根据已知解集确定的取值范围，再解二元一次方程组，根据方程组的解为正整数确定符合条件的整数. 【详解】解：解不等式， 去分母得， 合并同类项得， 系数化为得， 解不等式得， 不等式组的解集为， ， 解方程组， 由第一个方程得， 代入第二个方程得， 整理得， 解得， 将代入 得， 方程组的解为正整数，且为整数， 是的正因数，的正因数有， 当时，，不满足，舍去.； 当时，，不满足，舍去.； 当时，，满足条件，此时 均为正整数，符合要求.； 当 时，，满足条件，此时均为正整数，符合要求， .故满足条件的整数为和. 【变式8-3】（25-26七年级下·重庆·期末）若关于的一元一次不等式组的解集为，关于，的二元一次方程组的解满足，则所有满足条件的整数的值之和是_____________． 【答案】20 【分析】求出不等式组中两个不等式的解集，根据不等式组的解集列出不等式可求出a的一个取值范围；把方程组中的两个方程的左右两边分别相减可推出，根据方程组的解的情况列出不等式求出a的另一个取值范围，进而确定a的取值范围，从而确定所有满足题意的整数a的值，再求和即可得到答案． 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∵关于的一元一次不等式组的解集为， ∴， ∴； 得， ∴， ∵关于，的二元一次方程组的解满足， ∴， ∴， ∴， ∴符合题意的整数a的值为， ∴所有满足条件的整数的值之和是． 【变式8-4】（25-26七年级下·重庆·期中）已知关于的不等式组的解集为，且使得关于、的二元一次方程组有正整数解．则所有满足条件的整数的和为________． 【答案】19 【分析】先解不等式组，根据已知解集确定的取值范围，再解二元一次方程组，根据方程组的解为正整数确定符合条件的整数，最后计算所有满足条件的的和． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式得， 不等式组的解集为， ∴， 解方程组， 由第一个方程得， 代入第二个方程得， 解得， 将代入 得， 方程组的解为正整数，且为整数， ∴是的正因数，的正因数有， 当时，，不满足，舍去； 当时，，不满足，舍去； 当时，，满足条件，此时 均为正整数； 当 时，，满足条件，此时均为正整数； 所有满足条件的整数的和为，故答案为． 题型九 绝对值型不等式 【例9】（广西梧州市岑溪市2025-2026学年下学期七年级期末数学试卷）【实践与探究】 【定义概念】如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫做绝对值不等式． 【提出问题】求绝对值不等式的解集．小明同学的思路如下： 的几何意义是数轴上表示数a的点到原点的距离．所以，如图①，可以理解为数轴上表示数a的点到原点的距离大于2．所以，绝对值不等式的解集是或．以此类推，如图②，绝对值不等式的解集是． 【解决问题】 (1)绝对值不等式的解集是 ； 【迁移应用】 (2)求绝对值不等式的解集； (3)已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，求m的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）根据绝对值的几何意义，由（）得，直接写出解集； （2）依据绝对值不等式（）转化为或，解一元一次不等式得到结果； （3）先利用加减消元法求出，再结合绝对值不等式解法建立关于的不等式，求解得到的取值范围． 【详解】（1）解：如图，可以理解为数轴上表示数的点到原点的距离小于或等于． 所以不等式的解集为； （2）解：， 或， 解得：或； （3）解：关于x，y的二元一次方程组， 得，， ， ， ， 或， 解得或． 💡破题要诀 ① 记住两条核心结论（ 时）： 等价于 ； 等价于 或 。 ② 口诀记忆：「小于号夹中间，大于号分两边」。 ③ 遇到 先做整体替换（令 ），化成标准形再套结论。 ④ 含等号时端点并入（ 时取到端点， 时也取到端点）。 ⑤ 时： 无解；（）解集为全体实数。 迁移应用 【变式9-1】（25-26七年级下·山西吕梁·期末）阅读与思考 请仔细阅读下面材料并完成相应的任务． 【定义概念】我们定义：形如（为非负数）的不等式称为绝对值不等式．能使一个绝对值不等式成立的所有未知数的值称为这个绝对值不等式的解集．利用绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式： （ⅰ）解不等式．如图1，从数轴上可以发现，大于而小于2的数的绝对值小于2，所以的解集应为． （ⅱ）满足的数用数轴表示如图2所示，也就是说，小于的数或大于2的数的绝对值大于2，所以的解集应为或． 任务： 【简单运用】 (1)不等式的解集是______； (2)不等式的解集是______； 【拓展探究】 (3)已知绝对值不等式的解集为，则______；______； (4)请求出绝对值不等式的解集 【答案】(1) (2)或 (3)5；7 (4)或 【分析】（1）（2）利用绝对值的几何意义进行求解即可； （3）先利用绝对值的几何意义进行求解，再列方程组求解即可； （4）先对不等式进行整理，再利用绝对值的几何意义进行求解即可； 【详解】（1）解：不等式的解集是； （2）解：不等式的解集是或； （3）解：绝对值不等式， ，解得， ，解得； （4）解：，则， 或， 解得或． 【变式9-2】（25-26七年级下·云南昆明·阶段检测）【阅读材料】 我们知道的几何意义是在数轴上的数对应的点与原点的距离即．也就是说表示在数轴上的数与数0对应的点之间的距离．这个结论可以推广为表示在数轴上的数与数对应的点之间的距离． 例1：若则表示到原点距离小于3的数；从如图1所示的数轴上看：大于而小于3的数它们到原点距离小于3，所以的解集是； 若则表示到原点距离大于3的数；从如图2所示的数轴上看：小于的数和大于3的数它们到原点距离大于3，所以的解集是或． 例2：那么式子可理解为：数轴上表示这个数的点到表示1这个数的点的距离．于是解不等式则是要在数轴上找出到1的距离小于等于2的所有点；观察数轴可以看出，在数轴上到1距离小于等于2的点对应的数都在和3之间（包含和3两个点）这样我们就可以得到不等式的解集为：； 【解决问题】 (1)不等式的解集为_________；不等式的解集为________． (2)求不等式的解集； (3)求不等式的解集； (4)不论取所有的数都有恒成立求的取值范围． 【答案】(1)，或 (2)或 (3) (4) 【分析】（1）根据绝对值的几何意义即可求解； （2）根据表示数轴上点与点之间的距离可以将绝对值不等式问题转化为数轴上的距离问题求解； （3）对于形如的不等式：可以理解为数轴上表示的点到表示的点和表示的点的距离之和与的大小关系来求解； （4）首先将不等式变形为要使此不等式对任意实数恒成立则不等式左边的最小值必须大于右边的常数从而可以得出关于的不等式，求出的范围即可． 【详解】（1）解：不等式的几何意义是：数轴上点到原点的距离小于或等于，从原点向左、向右各延伸个单位得到点和点，因此满足条件的点在和之间（包含端点）所以解集为； 不等式的几何意义是：数轴上点到原点的距离大于，从原点向左、向右各延伸个单位得到点和点距离大于的点在的左侧或的右侧， 所以解集为或． （2）解：不等式的几何意义是：数轴上点到点的距离大于， 以点为中心向左移动个单位到达，向右移动个单位到达， 点到点的距离大于意味着点在点的左边或者在点的右边， 所以不等式的解集为或． （3）解：不等式的几何意义是：数轴上点到点的距离与到点的距离之和小于， 令， 当时， ， 所以， 当时，， 方程无解， 当时， ， 所以， 所以不等式的解集为， （4）解：将不等式变形为， 要使此不等式对任意实数恒成立则不等式左边的最小值必须大于右边的常数， 表达式的几何意义是数轴上点到点和点的距离之和， 所以当点位于点和点之间时（即）该距离之和取得最小值， 最小值为点和点之间的距离，即， 所以的最小值为， 所以， 解得， 所以的取值范围是． 【点睛】本题考查了绝对值的意义，关键是理解和运用绝对值的几何意义，将代数问题转化为几何问题． 题型十 解特殊的不等式 【例10】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）阅读以下例题：解不等式： 解：①当，则， 即可以写成：解不等式组得： ②当若，则， 即可以写成：解不等式组得：． 综合以上两种情况：原不等式的解集为：或． 以上解法的依据为：当，则同号． 请你模仿例题的解法，解不等式： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查了因式分解式不等式的求解，解题的关键在于熟练掌握两式之积大于0，则两式为同号，两式之积小于0则两式为异号． （1）利用两式之积大于0，推出两式同号，分别列出两个不等式组，按照不等式的大大取大，小小取小即可求出原不等式的解集． （2）利用两式之积小于0，推出两式异号，分别列出两个不等式组，按照不等式的大小小大取中间，即可求出原不等式的解集． 【详解】（1）解：①当，则， ，解不等式组得． ②当若，则， ，解不等式组得． 原不等式的解集为：或． （2）解：①当，则， ， 不等式组无解． ②当若，则， ，解不等式组得． 原不等式的解集为：． 💡破题要诀 ① 系数含字母时必须三类讨论：、、，一个都不能少。 ② 时：解集方向不变； 时：解集方向改变。 ③ 时看常数项：若常数项使不等式成立则解集为全体实数，否则无解。 ④ 连不等式 拆成不等式组分别解再取公共部分。 ⑤ 「无解」意味着两个解集没有公共部分，用数轴判断最直观。 迁移应用 【变式10-1】（21-22七年级下·陕西安康·期末）阅读下列关于不等式的解题思路： 由两实数的乘法法则“两数相乘，同号得正”可得： ①或②， 解不等式组①得， 解不等式组②得， 等式的解集为或 请利用上面的解题思路解答下列问题： (1)求出的解集； (2)求不等式的解集． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据实数的乘法法则以及解一元一次不等式组解决此题． （2）根据实数的除法法则以及解一元一次不等式组解决此题． 【详解】（1）由两数相乘，异号为负，得： ①或②， 解不等式组①，无解；解不等式组②， 的解集为 （2）由两数相除，同号为正，得： ①或②， 解不等式组①，；解不等式组②， 不等式的解集为或 【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解决本题的关键． 【变式10-2】（21-22七年级下·吉林长春·期末）我们在数学学习中，经常利用转化的思想方法解决问题，比如，我们通过“消元”的方法将二元一次方程组转化为一元一次方程，从而求解．下面我们就利用“转化”的思想方法尝试解决新的问题． 先阅读下面的例题，再按要求完成下列问题． 例：解不等式． 解：由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”得①或② 解不等式组①，得． 解不等式组②，得． 所以不等式的解集为或． 根据例题方法解决下面问题： (1)解不等式． 解：由有理数的乘法法则“两数相乘，异号得负”，得①或②___________． 解不等式组①，得___________． 解不等式组②，得___________． 所以不等式的解集为___________． (2)应用：不等式：的解集为___________． 【答案】(1) ， ，无解，； (2)或 【分析】（1）仿照例题的方法，进行计算即可； （2）仿照例题的方法，利用有理数的除法原则“两数相除，同号得正”，进行计算即可． 【详解】（1）解：由有理数的乘法原则“两数相乘，异号得负”，得 或 解不等式组，得 解不等式组，得无解 不等式的解集为 故答案为 ， ，无解， （2）解：由有理数的除法原则“两数相除，同号得正”，得 或 解不等式组，得 解不等式组，得 故答案为或 【点睛】本题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组，熟练掌握例题的方法是解题关键． 【变式10-3】（21-22七年级下·江苏连云港·期末）先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题： 例题：解一元二次不等式． 解：∵，∴可化为． 由有理数的乘法法则：两数相乘，同号得正，得 ①② 解不等式组①，得；解不等式组②，得， ∴的解集为或， 即一元二次不等式的解集为或． (1)一元二次不等式的解集为_______； (2)试解一元二次不等式； (3)试解不等式． 【答案】(1)或 (2)一元二次不等式的解集为0＜x＜5 (3)的解集为1＜x＜4 【分析】（1）利用平方差公式进行因式分解； （2）利用提公因式法对不等式的左边进行因式分解，再求解可得； （3）需要分类讨论：①     ②据此求解可得． 【详解】（1）解：由原不等式得：（x+3）（x-3）＞0 ∴ 或 解得：x＞3或x＜-3． 故答案为：或 ； （2）∵， ∴可化为． 由有理数的乘法法则：两数相乘，异号得负，得 ①     ② 解不等式组①，得0＜x＜5； 解不等式组②，无解， ∴的解集为0＜x＜5， 即一元二次不等式的解集为：0＜x＜5． （3）由有理数的除法法则：两数相除，异号得负，得 ①     ② 解不等式组①，得1＜x＜4； 解不等式组②，无解， ∴的解集为1＜x＜4． 【点睛】本题考查不等式组的解法，一元一次不等式组的应用．利用了转化的思想，这种转化思想的依据为：两数相乘（除），同号得正，异号得负的符号法则． 题型十一 一元一次不等式的应用 【例11】（26-27九年级上·湖南长沙·阶段检测）在2025年湖南省足球超级联赛（湘超）如火如荼进行之际，联赛组委会正式推出系列官方特许产品，以湘超联赛吉祥物“湘湘”为主题形象的文创产品深受大家喜爱，将湖湘文化特色与足球运动激情完美融合．某班委会准备购买毛绒玩具、钥匙扣两种文创产品作为元旦活动的奖品．已知毛绒玩具的单价比钥匙扣的单价多30元，且购买4个毛绒玩具比购买6个钥匙扣的费用多40.4元． (1)求毛绒玩具和钥匙扣的单价； (2)若需购买毛绒玩具和钥匙扣共10个，且总费用不超过500元，则最多能购买毛绒玩具多少个？ 【答案】(1)毛绒玩具的单价为69.8元，钥匙扣的单价为39.8元 (2)最多能购买毛绒玩具3个 【分析】（1）设毛绒玩具的单价为元，则钥匙扣的单价为元，根据题意列方程求解即可； （2）设能购买毛绒玩具个，则能购买钥匙扣个，根据题意列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设毛绒玩具的单价为元，则钥匙扣的单价为元， 由题意得：， 解得：， ， 答：毛绒玩具的单价为69.8元，钥匙扣的单价为39.8元； （2）解：设能购买毛绒玩具个，则能购买钥匙扣个， 由题意得：， 解得：， 答：最多能购买毛绒玩具3个． 💡破题要诀 ① 审：圈出关键词（至少、至多、不超过、超过、不低于），翻译成不等号。 ② 设：设未知数，并注明它代表什么、单位是什么。 ③ 列：根据题意列出不等式，注意「至少」对应 ≥、「不超过」对应 ≤。 ④ 解：解出未知数的取值范围。 ⑤ 验并答：检验答案是否符合实际（人数、件数必须为非负整数），再写答语。 迁移应用 【变式11-1】（25-26七年级下·广西崇左·期末）【链接生活】为积极响应全民健身的号召，某县阳光社区决定举办一次绕锦绣生态湖健步走的活动，活动结束后，社区委员会为参加活动的居民准备了，两种食品作为午餐．这两种食品每包质量均为克，每包的营养成分如下表： 食物品种 热量 蛋白质 脂肪 碳水化合物 钠 千焦 克 克 克 毫克 千焦 克 克 克 毫克 【解决问题】 (1)若要从这两种食品中摄入千焦热量和克蛋白质，应选用，两种食品各多少包？ (2)对于减肥的人群来说，对碳水化合物的摄入量要加以控制．若每份午餐选用这两种食品共包，要使每份午餐中的碳水化合物含量不高于克，则最多选择种食品多少包？ 【答案】(1)应选用A种食品2包，B种食品3包 (2)最多选择A种食品3包 【分析】（1）设A、B两种食品的包数为未知数，结合总热量与总蛋白质的摄入量列二元一次方程组求解； （2）设A种食品的包数为未知数，结合碳水化合物含量的限制列一元一次不等式求解． 【详解】（1）解：设选用A种食品x包，B种食品y包， 根据题意，得 解得 答：应选用A种食品2包，B种食品3包； （2）解：设选择A种食品m包，则选择B种食品包， 根据题意，得 解得 ∵m为非负整数， ∴m的最大值为3， 答：最多选择A种食品3包． 【变式11-2】（26-27九年级上·广东深圳·开学考试）随着科技的飞速发展，人工智能（AI）已成为当今社会的热点话题，从自动驾驶汽车到智能家居，从医疗诊断到金融分析，AI正在改变着我们的生活方式和工作模式．深圳市某快递公司为了提高工作效率，计划购买A，B两种型号的机器人来搬运货物，已知每台A型机器人比每台B型机器人每天少搬运10吨，且每台A型机器人搬运900吨货物所用的时间与每台B型机器人搬运1000吨货物所用的时间相同． (1)每台A型机器人和每台B型机器人每天分别搬运货物多少吨？ (2)该公司计划采购A，B两种型号的机器人共25台，且每天搬运的货物不低于2345吨，那么最多购买A型机器人多少台？ 【答案】(1)每台A型机器人每天搬运货物90吨，每台B型机器人每天搬运货物100吨 (2)最多购买A型机器人15台 【分析】（1）设每台A型机器人每天搬运货物x吨，每台B型机器人每天搬运货物吨，根据题意列分式方程求解即可； （2）设购买A型机器人y台，则购买B型机器人台，根据题意列一元一次不等式，然后解不等式，结合y为非负整数求解即可． 【详解】（1）解：设每台A型机器人每天搬运货物x吨，则每台B型机器人每天搬运货物吨， 根据题意，得 解得 经检验，是所列方程的解， ∴ 答：每台A型机器人每天搬运货物90吨，每台B型机器人每天搬运货物100吨； （2）解：设购买A型机器人y台，则购买B型机器人台， 根据题意，得 解得， ∵y取非负整数， ∴y的最大值为15， 答：最多购买A型机器人15台． ． 【变式11-3】（26-27九年级上·广东深圳·开学考试）【问题背景】 某城市规划团队研究新建购物中心吸引力问题时，发现可以用数学模型来量化，其中F表示居民每季度的平均购物次数（单位：次），S表示购物中心的占地面积（单位：万）；d表示购物中心到居民区的距离（单位：）；k为常数且． 【模型应用】 (1)已知当万， 时，次，则______； (2)甲、乙两个购物中心占地面积分别为2万和4.5万，它们到同一居民区的距离之比为，每季度居民到乙中心的平均购物次数比到甲中心多20次，求甲、乙两个购物中心到此居民区的距离； 【模型修正】 实际调研发现，当距离km时，居民的购物意愿下降速度明显加快．因此，团队对模型进行优化，提出分段模型（k与基础模型一致）： 【模型分析】 (3)现规划在某居民区附近新建一个占地面积约35万的购物中心，且到居民区距离d限定在，建成后居民每季度平均购物次数的期望值不少于70次，求整数d的值． 【答案】(1) (2)甲购物中心到此居民区的距离为，乙购物中心到此居民区的距离为 (3)整数的值为，， 【分析】（1）代入已知条件求解常数； （2）根据距离比设参数，结合的数量关系列分式方程求解； （3）分段根据的范围列不等式，找出符合条件的整数． 【详解】（1）解：将，，代入，得， 解得； （2）解：设甲购物中心到此居民区的距离为，乙购物中心到此居民区的距离为， 已知， 则居民到甲的平均购物次数， 居民到乙的平均购物次数， 由题意得， 解得， 经检验是原分式方程的解， 因此，， 答：甲购物中心到此居民区的距离为，乙购物中心到此居民区的距离为； （3）解：已知，，，要求， 分两种情况讨论： 当时，， 解得， 结合， 得整数都满足条件； 当时， ， 解得， 即， 结合， 得满足条件的整数，不满足条件； 综上，满足条件的整数为． 题型十二 不等式组的应用 【例12】（25-26七年级下·浙江杭州·期末）校运动会前，数学兴趣小组对400米跑道（由两条直道和两个半圆弯道构成）和米接力赛进行了研究． (1)若弯道直径比直道短12米．若跑道内圈周长为400米，取3．求弯道直径（结果保留整数）． (2)若每条跑道宽为米，为使米接力时每队跑的距离都是400米，第2道的起跑线应比第1道前移多少米？（结果保留和） (3)在米接力赛中，接力区总长是30米，前20米为预跑区，后10米为传接棒区．甲匀速冲向接力区，乙在接力区起点处静止．当甲距乙20米时，乙由静止开始匀加速起跑（匀加速运动中，若初速度为0，末速度为，则平均速度为），乙用10米距离加速到恒定速度，之后保持匀速跑．已知甲的速度比乙的恒定速度快2米/秒．为保证在传接棒区内完成交接，求乙的恒定速度的取值范围． 【答案】(1)弯道直径约为米 (2)第2道的起跑线应比第1道前移米 (3)米/秒米/秒 【分析】（1）先设弯道直径为米，则直道为米，再根据题意列出方程，最后解方程即可； （2）先设第1道弯道半径为米，则第道弯道半径为米，再根据相邻跑道弯道部分的长度差，进行计算即可； （3）根据追及问题的时间关系，结合接力区的限制条件，建立不等式组求解即可． 【详解】（1）解：设弯道直径为米，则直道为米， 由题意得，， 解得，． 结果保留整数， ． 答：弯道直径约为米． （2）解：设第1道弯道半径为米，则第道弯道半径为米， 第2道比第1道多跑的距离为：（米） 答：第2道的起跑线应比第1道前移米． （3）解：设乙的恒定速度为米/秒，则甲的速度为米/秒， 乙加速跑10米所用的时间为：（秒）， 设乙追上甲时，乙在匀速阶段跑了米， 则乙的总路程为米，总时间为（秒）， 甲的总路程为米，总时间为（秒）， 根据时间相等，得， 整理得，， ． 要保证在传接棒区（米至米）内完成交接， ， 解得，． 答：乙的恒定速度的取值范围是米/秒米/秒． 💡破题要诀 ① 设一个未知数（通常设为「购买甲种 件」），用它表示另一种物品的数量。 ② 列不等式组：一般有两类约束——数量约束和费用（或载重、容积）约束，两条都要列。 ③ 解不等式组，得到 的取值范围。 ④ 由 的整数解列出所有可行方案，逐一编号写清楚。 ⑤ 选最优方案时，先写出费用关于 的一次函数，利用增减性判断（ 时 越小越省），不要逐个硬算。 迁移应用 【变式12-1】（25-26八年级上·福建厦门·期末）“智能引领未来，科技赋能生活”，为提高清洁效率，某体育馆购置一台智能洗地机器人（如图），但因机器人处理顽固污渍能力有限，该体育馆计划采用“人机协同”的清洁模式，即在机器人完成基础清洁后，由人工进行顽固污渍的处理．具体流程如下： 机器人按规划路线完成基础清洁，同步识别并向系统上报顽固污渍点信息； 系统生成污渍分布图，将污渍点按空间分布位置生成多个任务包和任务预估处理工时； 系统智能分配任务包给清洁工，清洁工按照任务包提供的污渍点信息完成清洁工作． 由于近期赛事安排紧凑，为了进一步提高清洁效率，体育馆又购置了一台同品牌的洗地机器人（工作效率更高但未超过原机器人的1.5倍），并将人工清洁外包给甲、乙两个清洁团队． 已知该体育馆一共有两层，第一层需清扫的面积为平方米，第二层需清扫的面积为平方米，其中． 任务一  计算机器人的工作效率 原购置的洗地机器人每小时清洁面积相当于一个清洁工的6倍，用这台机器人清洁2400平方米场地所需时间比一个清洁工清洁1200平方米场地少用2小时．求原购置的机器人每小时清洁面积． 任务二  比较机器人的清洁时长 体育馆安排新购置机器人清洁面积大的楼层，而原机器人清洁面积小的楼层，请计算说明哪台机器人先完成基础清洁任务． 任务三  设计人工清洁方案 某场比赛结束，两台机器人完成清洁工作后，系统生成4个任务包，并将任务分配给相应的清洁团队，如表1．甲、乙两个团队收费标准如表2，其中基础费只收取一次，工时费不足0.5小时按0.5小时算． 表1 任务包编号 位置 系统分配团队 处理工时（min） 观众席 甲 75 比赛场地 乙 40 出入通道 甲、乙合作 35 内场角落 乙 70 表2 团队 基础收费（元） 工时费（元/小时） 甲 500 1200 乙 800 1000 请设计人工清洁方案，使完成时间最少，并尽量减少外包费用．（转场时间忽略不计） （要求：每个任务包由系统分配的团队完成；每个团队的工时从开始工作算起到本团队所有任务结束；甲乙合作的任务需两个团队同时开始；设计的清洁方案需包含清洁流程、完成时间和外包费用；所有的任务包的任务都要完成）． 【答案】 任务一：原购置的机器人每小时清洁平方米； 任务二：原机器人先完成基础清洁任务； 任务三： 解：依据完成时间最少为优先原则，最佳人工清洁方案为： 清扫流程：甲乙两个团队先合作完成任务包后，甲团队完成任务包，乙团队完成和任务包； 完成时间： ；甲工时为，乙工时为； 外包费用： ，，（元） 【分析】本题考查分式方程的实际应用，不等式的实际应用，方案选择问题． 任务一：设原购置的机器人每小时清洁平方米，根据题意列方程求解即可； 任务二：通过比较各楼层的清扫面积，可得新购置机器人清洁第一层，原机器人清洁第二层，设原机器人的工作效率为，新购置的机器人的工作效率为，比较清扫时间即可； 任务三：依据完成时间最少为优先原则，尽量减少费用，先合作，再分工，减少等待时间，可确定最佳方案，计算完成时间和外包费用即可． 【详解】任务一： 解：设原购置的机器人每小时清洁平方米， 根据题意可得 解得， 经检验，是原分式方程的解， ∴原购置的机器人每小时清洁平方米． 任务二： 解： ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴新购置机器人清洁第一层，原机器人清洁第二层， 设原机器人的工作效率为，新购置的机器人的工作效率为， 根据题意可得， 又∵， ∴， ∵ ， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴原机器人先完成基础清洁任务． 任务三：略 【变式12-2】（25-26七年级下·河北张家口·期末）2025年9月3日，我国自主研制的首型舰载固定翼预警机空警-600亮相于纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵活动．某玩具店以此为契机，迅速推出，两种飞机模型．，两种飞机模型每个的进价分别为80元和60元，下表是该玩具店近两天的销售情况． 销售时段 销售数量 销售收入 种 种 第一天 4个 5个 955元 第二天 2个 6个 810元 (1)，两种飞机模型的销售单价分别是多少？ (2)该玩具店准备用不超过1400元再次购买这两种飞机模型共20个，且种飞机模型不少于8个，则该玩具店有哪几种购买方案？ (3)在（2）的条件下，请你帮该玩具店设计利润最大的进货方案（20个飞机模型全部售完），并求出最大利润． 【答案】(1)种飞机模型的单价为120元，种飞机模型的单价为95元 (2)方案有三种，方案1：购买种飞机模型8个，种飞机模型12个；方案2：购买种飞机模型9个，种飞机模型11个；方案3：购买种飞机模型10个，种飞机模型10个 (3)该玩具店利润最大的进货方案为购买种飞机模型10个，种飞机模型10个，最大利润为750元 【分析】（1）根据表格中近两天的销售情况，设未知数，列二元一次方程组求解单价； （2）设模型数量，根据总进价上限、数量要求列不等式组，取整数解得到购买方案； （3）先算出单个利润，分别计算各方案利润，对比选出利润最大方案． 【详解】（1）解：设种飞机模型的销售单价为元，种飞机模型的销售单价为元，由题意可得： ， 解得， 答：种飞机模型的单价为120元，种飞机模型的单价为95元； （2）解：设购入个种飞机模型，则购入个种飞机模型， 由题意得：， 解得：， ∵是整数， ∴或或， ∴方案有三种： 方案1：购买种飞机模型8个，种飞机模型12个； 方案2：购买种飞机模型9个，种飞机模型11个； 方案3：购买种飞机模型10个，种飞机模型10个； （3）解：∵种飞机模型的单个利润为：（元）， 种飞机模型的单个利润为：（元）， ∴方案1的总利润为：（元）， 方案2的总利润为：（元）， 方案3的总利润为：（元）， ∵， ∴该玩具店利润最大的进货方案为购买种飞机模型10个，种飞机模型10个，最大利润为750元． 【变式12-3】（25-26七年级下·山西临汾·期末）为建设数字化智慧教室，某校总务处计划批量采购智能学习平板与迷你错题打印机两款现代科技学习设备，用于各班自习室配备．商家给出两次批量采购的报价明细固定不变，两次采购数量、对应总费用统计如下表 采购批次 智能学习平板（台） 迷你错题打印机（台） 本次采购总费用（元） 第一批采购 2 3 3740 第二批采购 5 2 8360 (1)请求出智能学习平板、迷你错题打印机的单价分别为多少元？ (2)学校第三批采购计划一次性采购两种设备总数一共40台，财务处规定采购迷你错题打印机数量不能少于15台，且本次所有设备总花费不能超过40000元．求最多可以采购多少台智能学习平板？ 【答案】(1)智能学习平板的单价为1600元，迷你错题打印机的单价为180元 (2)最多可以采购23台智能学习平板 【分析】（1）设智能学习平板的单价为元，迷你错题打印机的单价为元，根据表格数据建立方程组，解方程组即可； （2）设采购台智能学习平板，则采购台迷你错题打印机，根据题意建立不等式组，解不等式组，结合为正整数解答即可． 【详解】（1）解：设智能学习平板的单价为元，迷你错题打印机的单价为元， 由题意得：， 解得， 答：智能学习平板的单价为1600元，迷你错题打印机的单价为180元． （2）解：设采购台智能学习平板，则采购台迷你错题打印机， 由题意得：， 解得， ∵为正整数， ∴的最大值为23， 答：最多可以采购23台智能学习平板． 【变式12-4】（25-26七年级下·江西宜春·期末）根据以下素材，探索完成任务： 制定某汽车销售公司的购买方案 背景 新能源汽车多数采用电能作为动力来源，减少了二氧化碳气体的排放．随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜欢的交通工具．现某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车进行销售． 素材1 据了解，购进2辆A型号新能源汽车、5辆B型号新能源汽车共需125万元，购进1辆A型号新能源汽车、6辆B型号新能源汽车共需115万元． 素材2 该汽车销售公司计划购进A、B两种型号的新能源汽车共10辆，且费用不少于170万元，不超过180万元． 素材3 该汽车销售公司计划每辆A型号新能源汽车在进价的基础上提高0.8万元销售，每辆B型号新能源汽车在进价的基础上提高销售． 问题解决 (1)任务1：A、B两种型号的新能源汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)任务2：帮助该公司求出所有购买方案． (3)任务3：若任务2中所有购买方案的车都能全部卖出，采用哪种购买方案能获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】(1)A型号新能源汽车每辆进价为25万元，B型号新能源汽车每辆进价为15万元 (2)方案一：购进A型号新能源汽车2辆，购进B型号新能源汽车8辆；方案二：购进A型号新能源汽车3辆，购进B型号新能源汽车7辆 (3)采用购车方案二能获得最大利润，最大利润为6.6万元 【分析】（1）设A型号新能源汽车每辆进价为万元，B型号新能源汽车每辆进价为万元，根据素材1列出方程组，求解即可； （2）设购进A型号新能源汽车辆，则购进B型号新能源汽车辆．根据素材2列出不等式组，求出整数解即可； （3）根据（2）中的方案求出利润，比较即可解答。 【详解】（1）解：设A型号新能源汽车每辆进价为万元，B型号新能源汽车每辆进价为万元． 由题意可列方程组， 解得， 答：A型号新能源汽车每辆进价为25万元，B型号新能源汽车每辆进价为15万元． （2）解：设购进A型号新能源汽车辆，则购进B型号新能源汽车辆． 由题意可列不等式组， 解得． 因为为正整数， 所以或， 所以有两种购车方案． 方案一：购进A型号新能源汽车2辆，购进B型号新能源汽车8辆； 方案二：购进A型号新能源汽车3辆，购进B型号新能源汽车7辆． （3）解：方案一获利：（万元） 方案二获利：（万元） 因为6.6万元万元，所以方案二能获得最大利润． 答：采用购车方案二能获得最大利润，最大利润为6.6万元． 【变式12-5】（2026七年级下·江苏·专题练习）为鼓励节约用水，居民生活用水采用阶梯收费．水价分三个等级：第一级为月用水量17m3以下（包括17m3）；第二级为月用水量超过17m3但不超过30m3；第三级为月用水量超过30m3（不包括30m3）．下面是某居民收到的一张2025年7月份的生活用水消费明细（不完整）． 居民生活用水消费明细 计费日期2025﹣7﹣1至2025﹣7﹣31 自来水费 污水处理费 用水量/m3 单价/（元/m3） 金额/元 用水量/m3 单价/（元/m3） 金额/元 阶段一：17 2 34 阶段一：17 1 17 阶段二： 2.5 阶段二： 1 本期实付金额（大写） （注：居民生活用水水费=自来水费+污水处理费） 已知该居民6月份和7月份的用水量总和为42m3，且7月份的用水量超过6月份，但不超过6月份的2倍． (1)设该居民7月份的用水量为xm3，求x的取值范围； (2)该居民7月份的生活用水水费最多需要缴纳多少元； (3)若该居民7月份的生活用水水费比6月份多41元，求该居民7月份的用水量． 【答案】(1) (2)89.5元 (3) 【分析】（1 ）设该居民7月份的用水量为，则该居民6月份的用水量为，根据“7月份的用水量超过6月份，但不超过6月份的2倍”，可列出关于x的一元一次不等式组，解之可得出x的取值范围； （2 ）求出当7月份用水量是时的水费即可； （3 ）根据该居民7月份的生活用水水费比6月份多41元，可列出关于x的一元一次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】（1）解：设该居民7月份的用水量为，则该居民6月份的用水量为， 根据题意得：， 解得：． 答：x的取值范围为； （2）解：根据题意得： （元）． 答：该居民7月份的生活用水水费最多需要缴纳89.5元； （3）解：当时，水费差为， 令 解得：，不符合题意，舍去； 当时，， 解得：． 答：该居民7月份的用水量为． 【变式12-6】（25-26七年级下·四川乐山·期末）下面是某数学兴趣小组探究用方程解决实际问题的讨论片段，请仔细阅读，并解决相应的问题． 为增强学生体质，某中学专门开设了“阳光大课间活动”，学校现决定购买排球个，篮球个，共花费元，已知 ，求排球和篮球的单价． 小嘉通过查看例题的解析发现： 解：设排球的单价为元，篮球的单价为元． 则根据题意有，…… (1)根据题意，例题中被覆盖的条件是_______（填正确的序号）． ①排球的单价比篮球的单价低元； ②排球的单价比篮球的单价高元． (2)请按照例题解析的思路，将省略部分补充完整． (3)老师在例题的条件下，增设了一个问题：为让更多的学生参与运动，学校决定再购进此类排球和篮球共个，总费用不超过元，且购买排球不超过个，学校共有哪几种购买方案？ 【答案】(1)① (2)设排球的单价为元，篮球的单价为元 则根据题意有， 解得， 排球和篮球的单价分别是元和元． (3)学校共有种购买方案，分别是：①再购买排球个，篮球个；②再购买排球个，篮球个；③再购买排球个，篮球个 【分析】（1）根据所列方程得到被覆盖的条件； （2）根据所列方程组，解方程组，求出、的值即可； （3）设再购买排球个，则再购买篮球个，根据“总费用不超过元，且购买排球不超过个”，即可得出关于的一元一次不等式组，解不等式组即可得出的取值范围，结合为正整数，即可得出购买方案． 【详解】（1）解：∵排球的单价为元，篮球的单价为元，所列方程组为， ∴被覆盖的条件是排球的单价比篮球的单价低元， ∴正确的序号为①． （2）略 （3）解：设再购买排球个，则再购买篮球个， 由题意得，， 解得， 为整数， 或或， 学校共有种购买方案，分别是： ①再购买排球个，篮球个； ②再购买排球个，篮球个； ③再购买排球个，篮球个 基础固本练（限时：15分钟） 1．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）若，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了不等式，熟练掌握不等式的性质是解答本题的关键．运用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论． 根据不等式的性质进行判断即可． 【详解】解：A、由，得到，原写法错误，不符合题意； B、由，得到，原写法正确，符合题意； C、由，得到，原写法错误，不符合题意； D、由，得到，原写法错误，不符合题意； 故选：B． 2．（25-26八年级上·浙江台州·期中）“的倍小于”用不等式表示为_______． 【答案】/ 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，关键是要抓住题目中的关键词，如“大于（小于）、不超过（不低于）、是正数（负数）”“至少”、“最多”等等，正确选择不等号． 的倍表示为，小于4表示为，即可列不等式． 【详解】解：的倍表示为，小于4表示为，因此不等式为， 故答案为：． 3．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）若三角形的三边长分别是2，x，10，且x是不等式的正整数解，该三角形的周长是________． 【答案】21或22 【分析】本题考查了解一元一次不等式，以及三角形的三边关系，根据三角形三边关系得到，解不等式得到，则，x为正整数，故或10，代入求周长． 【详解】解：∵三角形的三边长分别是2，x，10， ∴，即 解不等式， 去分母得， 整理得． 所以． ∵x为正整数， ∴或10． 当时，周长为； 当时，周长为． 故答案为：21或22． 4．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）对于任意实数a、b，定义关于@的运算是：． (1)①________（填，，，，）；②若，则x的取值范围是________． (2)若不等式组恰好有3个整数解，求m的取值范围． 【答案】(1)①=；② (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，根据不等式组的解集求参数，熟知解一元一次不等式的方法是解题的关键． （1）①根据新定义计算判断即可；②根据题意可得不等式，解之即可得到答案； （2）根据新定义可得不等式，求出此不等式的解集，再根据不等式组的解集情况得出不等式求解即可． 【详解】（1）解：①根据题意得：，， ∴； 故答案为：； ②解：∵， ∴， 解得； （2）即 由①得， 有3个整数解， ， ． 5．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）近年来新能源汽车产业及市场迅猛增长，为了缓解新能源汽车充电难的问题，某小区计划新建地上和地下两类充电桩．已知新建1个地上充电桩和2个地下充电桩需要万元；新建个地上充电桩和个地下充电桩需要万元． (1)该小区新建1个地上充电桩和1个地下充电桩各需多少万元？ (2)若该小区计划用不超过万元的资金新建个充电桩，且地下充电桩的数量不少于地上充电桩数量的2倍，则共有几种建造方案？并列出所有方案． 【答案】(1)该小区新建1个地上充电桩需要0.2万元，1个地下充电桩需要0.3万元 (2) 共有3种建造方案， 方案1：新建18个地上充电桩，42个地下充电桩； 方案2：新建19个地上充电桩，41个地下充电桩； 方案3：新建20个地上充电桩，40个地下充电桩． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：①找准等量关系，正确列出二元一次方程组；②根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设该小区新建个地上充电桩需要万元，个地下充电桩需要万元，根据题意列出二元一次方程组求解即可； （2）设新建m个地上充电桩，则新建个地下充电桩，根据题意列出不等式组求解即可． 【详解】（1）解：设该小区新建一个地上充电桩需万元，一个地下充电桩需万元， 根据题意得：， 解得：， 答：该小区新建一个地上充电桩需万元，一个地下充电桩需万元； （2）解：设新建m个地上充电桩，则新建个地下充电桩， 根据题意得：， 解得：， 又m为正整数， m可以为18，19，20． 6．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）小启和小正在学习《一元一次不等式》这一章节的时候，面对这样一个代数命题：“有两个数和．若．则一定有”，两人提出了如下问题： (1)小启说：“这个命题一看就是假命题．”请你帮他们举一个反例说明． (2)小正说：“这个命题只要加一个条件就正确了，如：有两个数a和b．若，则一定有．”小启说：“这样一改肯定是真命题，可是不太好证明啊．”请你用所学的知识帮助他们证明这个命题． 【答案】(1)例如：，，，，，得到． (2) 证明：∵， ∴，， ∴． 【分析】本题考查举例说明假命题，不等式的性质． （1）根据题意举反例即可； （2）由不等式的性质可得，，即可证得结论． 【详解】（1）略 （2）略 7．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）（1）解不等式：，并把解集表示在数轴上． （2）解不等式组． 【答案】（1）， 把解集表示在数轴上，如图所示： （2）． 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集等知识点，正确熟练地进行计算是解题的关键． （1）移项、合并同类项、系数化为，即可求出不等式的解集，然后把解集表示在数轴上即可； （2）依据题意，先分别解组成不等式组的不等式，从而可以得出解集． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， ∴． （2）由题意，解不等式， ∴． ∴． 解不等式， ∴． ∴． ∴原不等式组的解集为． 8．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）围棋起源于中国，古代称为“弈”，是棋类鼻祖，距今已有4000多年的历史．某商家销售A，B两种材质的围棋，每套进价分别为210元、180元，如表是近两个月的销售情况： 销售时段 销售数量 销售收入 A种材质 B种材质 第一个月 3套 5套 1800元 第二个月 4套 10套 3100元 (1)求A，B两种材质的围棋每套的售价； (2)若商家再采购A，B两种材质的围棋共30套，购买金额不超过5780元，求A种材质的围棋最多能采购多少套？ 【答案】(1)A种材质的围棋每套的售价为250元，B种材质的围棋每套的售价为210元； (2)A种材质的围棋最多能采购12套． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设A种材质的围棋每套的售价为x元，B种材质的围棋每套的售价为y元，利用销售总价等于销售单价乘以销售数量，结合近两个月的销售情况，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设A种材质的围棋采购了m套，则B种材质的围棋采购了套，利用进货总价等于进货单价乘以购进数量，结合进货总价不超过5780元，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，再取其中的最大整数值，即可得出结论． 【详解】（1）解：设A种材质的围棋每套的售价为x元，B种材质的围棋每套的售价为y元， 根据题意得：， 解得：． 答：A种材质的围棋每套的售价为250元，B种材质的围棋每套的售价为210元； （2）解：设A种材质的围棋采购了m套，则B种材质的围棋采购了套， 根据题意得：， 解得：， 又∵m为非负整数， ∴m的最大值为12． 答：A种材质的围棋最多能采购12套． 9．（24-25八年级上·浙江嘉兴·期中）解不等式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查一元一次不等式的解法； （1）通过移项和合并同类项将不等式化为标准形式，然后系数化为1求解； （2）通过移项和合并同类项将不等式化为标准形式，然后系数化为1求解． 【详解】（1）解：， ∴ ， ∴ ； （2）解：， ∴ ， ∴ ， ∴ （不等式两边同时除以负数，不等号方向改变）， ∴ ． 10．（25-26八年级上·浙江台州·期中）解下列不等式． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式是解题的关键． （1）按移项、合并同类项、化系数为1的步骤解不等式即可求解． （2）按去括号、移项、合并同类项、化系数为1的步骤解不等式即可求解． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 11．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）（1）解不等式，并把解集表示在数轴上； （2）解不等式组，并写出满足该不等式的负整数解． 【答案】（1）， 将解集表示在数轴上如下： （2），负整数解为 【分析】本题考查的是解一元一次不等式与一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． （1）移项、合并即可得出不等式的解集，再将解集表示在数轴上即可； （2）分别求出每个不等式的解集，再依据口诀“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”确定不等式组的解集，继而求出负整数解即可． 【详解】解：（1）移项，得， 合并同类项，得， （2） 解①，得， 解②，得， 则不等式组的解集为， 所以负整数解为． 12．（25-26八年级上·浙江台州·期中）定义一种新运算，例如：． (1)计算：； (2)请根据上述定义解不等式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查新定义与一元一次不等式，理解题意后按要求进行计算是解题关键． （1）根据题意，展开后计算即可； （2）按照新定义将不等式左边展开，然后按照一元一次不等式的要求解不等式即可． 【详解】（1）解：， （2）解：， 由题意得，， 去括号得，， 移项后合并同类项得，， 解得，． 综合进阶练（限时：15分钟） 1．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）某运行程序如图所示，从“输入实数x”到“结果是否”为一次程序操作，若输入x后，程序运行了两次后输出结果，则符合的整数x的个数为（   ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，熟练掌握根据程序运行逻辑列出不等式组是解题的关键． 根据程序运行两次后输出结果的条件，列出关于的不等式组，求解不等式组后确定符合条件的整数的个数． 【详解】解：∵程序运行了两次后输出结果， ∴第一次运行结果，第二次运行结果， 即， 解，得， 解，得， ∴不等式组的解集为， 则符合条件的整数为、、、、，共个， 故选：B． 2．（24-25八年级上·浙江金华·期中）某厂为了提高生产力，计划新购置、两种型号的生产设备共台．已知型每台万元，每月可以生产吨产品；型每台万元，每月可以生产吨产品．购买一台型设备比购买一台型设备多万元，则买台型设备比购买台型设备少万元．根据以上信息，解答下列问题： (1)求出、的值． (2)若计划购置总费用不超过万元，且两种型号设备都要购买，该厂有哪些购买方案？ (3)在（2）的条件下，若每月生产产品不得低于吨，为了节约资金，请你为该厂设计一种最省钱的购买方案． 【答案】(1) (2)型设备台，型设备台；型设备台，型设备台；型设备台，型设备台；型设备台，型设备台 (3)选购型设备台，型设备台 【分析】本题主要考查二元一次方程组，一元一次不等式的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据题意可列二元一次方程组，求解即可得到结果． （2）设型设备台，型设备台，根据题意可列一元一次不等式，求解可得的值，对应四种采购方案． （3）根据题意可列一元一次不等式，求解可得的两个值，分别计算当，时，对应的总资金，即可得出最省钱的购买方案． 【详解】（1）解：根据题意可列， 解得， ∴，． （2）解：设型设备台，型设备台， 根据题意可列：， 解得：， 取正整数， ， 有四种方案： ①型设备台，型设备台； ②型设备台，型设备台； ③型设备台，型设备台； ④型设备台，型设备台； （3）解：由题意得：， 解得：， ， 取正整数， 或， 当时，型设备台， ∴需要资金：（万元）， 当时，型设备台， ∴需要资金：（万元）， 应选购型设备台，型设备台． 3．（25-26八年级上·浙江温州·阶段检测）小敏到某服装商场进行社会调查，了解到该商场为了激励营业员的工作积极性，实行“月总收入基本工资计件奖金”的方法．并获得如下信息： 营业员 A B 月销售件数 300 400 月总收入（元） 3700 4000 假设营业员的月基本工资为元，销售每件服装奖励元． (1)求、的值． (2)若营业员小潮某月的总收入不低于3800元，那么小潮当月至少要卖服装多少件？ (3)商场为了多销售服装，对顾客推荐一种购买方式：如果购买甲3件，乙2件，丙1件共需392元；如果购买甲1件，乙2件，丙3件共需288元．某顾客想购买甲、乙、丙各一件共需______元．（直接写出答案） 【答案】(1)x的值为2800，y的值为3 (2)至少要卖334件 (3)170元 【分析】本题考查二元一次方程组，一元一次不等式和三元一次方程组的实际应用，找到等量关系和不等关系是解题的关键． （1）根据“月总收入基本工资计件奖金”列出二元一次方程组，即可求解； （2）设小潮当月卖服装m件，根据“小潮某月的总收入不低于3800元”列出一元一次不等式，再根据m实际意义，即可求解； （3）设甲单价为a元，乙单价为b元，丙单价为c元，列出方程组，整理得出，即为所求解． 【详解】（1）根据题意得：， 解得， 则x的值为2800，y的值为3； （2）设小潮当月卖服装m件， 根据题意得：， 解得， 又 为正整数， 的最小值为334， 则小潮当月至少要卖服装334件； （3）设甲单价为a元，乙单价为b元，丙单价为c元， 根据题意得：， 整理得， 即购买甲、乙、丙各一件共需170元． 故答案为170． 4．（25-26八年级上·浙江温州·期中）某中学八年级共有师生698名，计划包车到研学基地参加社会实践活动，某长运公司有型、型两种客车，它们的载客量和日租金如表： 车型 每辆载客量／人 每辆租金／元 型客车 60 1000 型客车 45 800 学校根据实际情况，计划租用，型两种客车共14辆．设租用型客车辆，根据要求回答下列问题： (1)用含的式子完成表： 车型 车辆数／辆 载客量／人 租金／元 型客车 ______ 型客车 ______ ______ (2)请问至少需租用型客车多少辆？ (3)若要保证租车费用不超过12500元，请问有哪几种租车方案？ 【答案】(1) 填表如下： 车型 车辆数辆 载客量人 租金元 型客车 型客车 (2)至少租型客车5辆 (3)有两个方案，分别为：方案一：A车5辆B车9辆；方案二：A车6辆B车8辆 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用、列代数式，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键． （1）依据题意，根据所给信息可以填表得解； （2）依据题意，由总载客量需满足师生总数698人，则，结合为车辆数（整数），从而可以判断得解； （3）依据题意，由总租金元，则，故；又结合（2）中，，且为整数，可得或6，进而可以判断得解． 【详解】（1）略 （2）解：由题意，总载客量需满足师生总数698人， ． ． ． 为车辆数（整数）， 最小取5． 至少需租用型客车5辆． （3）解：由题意，总租金元， ． ． 又结合（2）中，，且为整数， 或6． 共有2种租车方案：租用型客车5辆，型客车辆；租用型客车6辆，型客车辆． 5．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）据考古发现，慈溪先民们食用野生杨梅的历史已经有7000年以上，驯化种植野生杨梅树的历史已经有4500多年，最早文献记载杨梅是西汉司马相如所著《上林赋》中的“樗（chu）枣杨梅”一词，也已有2200多年．慈溪杨梅最有名的品种为“荸荠种”，市场上卖的杨梅有小筐和大筐两种包装，何老师购买了1筐小筐和2筐大筐杨梅给数学老师们品尝，共花费275元；老师们吃完后赞不绝口，于是郑老师购买了2筐小筐杨梅，杨老师买了3筐大筐杨梅分给同学们品尝，两位老师共花费450元（每次购买两种包装的杨梅售价都不变）． (1)问小筐和大筐两种包装分别是每筐多少元？ (2)现在付老师要购买两种包装共16筐杨梅送给外地的朋友，要求小筐杨梅不少于大筐杨梅的2倍，但不超过大筐杨梅的4倍，请你帮助付老师设计一下购买方案并写出付老师所需费用． 【答案】(1)小筐每筐75元，大筐每筐100元。 (2)购买方案有两种：①小筐12筐，大筐4筐，费用1300元；②小筐11筐，大筐5筐，费用1325元． 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用，正确找出各小问中的数量关系是解答本题的关键． （1）设小筐每筐价格为x元，大筐每筐价格为y元，根据“何老师买了1筐小筐和2筐大筐杨梅共花费275元；郑老师购买了2筐小筐杨梅，杨老师买了3筐大筐杨梅，两位老师共花费450元”列出二元一次方程组，求解即可； （2）设小筐杨梅m筐，则购买大筐筐，根据“小筐杨梅不少于大筐杨梅的2倍，但不超过大筐杨梅的4倍”列不等式组求解，再确定购买方案． 【详解】（1）解：设小筐每筐价格为x元，大筐每筐价格为y元，根据题意得， ， 解得， 答：所以小筐每筐75元，大筐每筐100元； （2）解：设小筐杨梅m筐，则购买大筐筐，根据题意得， ， 解得， ∵是正整数， ∴或12， 当时，； 当时，； 购买方案①：小筐12筐，大筐4筐，费用（元）； 方案②：小筐11筐，大筐5筐，费用（元）． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 不等式 01 期中考情透视 02 复习目标锚定 03 知识体系构建 04 核心考点精讲 考点一 不等式的定义 考点二 不等式的性质 考点三 解不等式（组） 考点四 不等式（组）的应用 05 重难题型突破 题型一 不等式的定义 题型二 不等式的性质 题型三 解不等式（组） 题型四 用数轴表示不等式的解集 题型五 不等式的整数解 题型六 根据不等式解的情况求参数 题型七 已知不等式解集求参数 题型八 不等式与方程综合 题型九 绝对值型不等式 题型十 解特殊的不等式 题型十一 一元一次不等式的应用 题型十二 不等式组的应用 06 限时分层演练 基础固本练 / 综合进阶练 考点与题型 常考考点：不等式的概念与列不等式；不等式的三条基本性质（尤其性质 3，两边同乘或除以负数时不等号方向必须改变）；一元一次不等式的解法与解集在数轴上的表示；一元一次不等式组的解法与解集确定（同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无处找）；不等式（组）的实际应用（至多至少、方案设计）；含参数不等式（已知解集或数轴表示反求字母的取值范围）。题型以选择、填空、解答并重，“解不等式组并求整数解”是高频解答题，约 20%—28%。 难易度 难度系数约 0.72。基础题是解一元一次不等式（组）并在数轴上表示解集；中档题集中在含参数问题与“求整数解／最大（小）整数解”；应用题（方案选择、费用比较）是本章与实际情境结合的主要得分点。典型失分点有三处：去分母或系数化为 1 时忘记变号、数轴上空心圈与实心点画错、应用题设元后漏写单位与取值检验。注意：浙江各地八上期中有的考完本章，有的只考到第 2 章，请以本校考查范围为准。 识记 ① 能说出不等式的定义，会用 , , , , 表示不等关系，能根据“至少”“至多”“不超过”“超过”等关键词正确列不等式。 ② 能说出不等式的三条基本性质，特别记住性质 3：不等式两边同乘（或除以）同一个负数，不等号方向必须改变。 ③ 能说出一元一次不等式的定义（只含一个未知数、未知数的次数是 1、左右两边都是整式）与解、解集的概念。 ④ 能说出一元一次不等式组解集的确定方法：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无处找。 理解 ① 理解不等式的解与方程的解的区别：解一般是一个范围而不是一个数，理解解集在数轴上“空心圈”与“实心点”的不同含义。 ② 理解解一元一次不等式与解一元一次方程步骤的异同，能说明“系数化为 1 时是否变号”取决于系数的正负。 ③ 理解不等式的性质与等式的性质的差异，能判断给定的变形是否正确并说明理由。 ④ 理解应用题的完整过程：设未知数 → 列不等式（组） → 求解 → 结合实际取整数解并检验。 应用 ① 能正确求解一元一次不等式（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1），并在数轴上表示解集。 ② 能求解一元一次不等式组，并按题目要求求出整数解、正整数解或最大（小）整数解。 ③ 能解决含参数的不等式问题：由已知解集（或解集在数轴上的表示）反求字母的取值范围。 ④ 能列不等式（组）解决实际应用问题，如方案设计、“最多／最少”问题、购买与租车的费用比较等。 考点一 不等式的定义 （1）不等式的概念：用“＞”或“＜”号表示大小关系的式子，叫做不等式，用“≠”号表示不等关系的式子也是不等式． （2）凡是用不等号连接的式子都叫做不等式．常用的不等号有“＜”、“＞”、“≤”、“≥”、“≠”．另外，不等式中可含未知数，也可不含未知数． 考点二 不等式的性质 知识点02 不等式的性质 （1）不等式的基本性质 ①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，即： 若a＞b，那么a±m＞b±m； ②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即： 若a＞b，且m＞0，那么am＞bm或＞； ③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即： 若a＞b，且m＜0，那么am＜bm或＜； （2）不等式的变形：①两边都加、减同一个数，具体体现为“移项”，此时不等号方向不变，但移项要变号；②两边都乘、除同一个数，要注意只有乘、除负数时，不等号方向才改变． ⚠️规律方法 1．应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论． 2．不等式的传递性：若a＞b，b＞c，则a＞c． 考点三 解不等式（组） 根据不等式的性质解一元一次不等式 基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1． 以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向． 注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式． 解一元一次不等式组 （1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集． （2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组． （3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集． 方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分． 解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． 在数轴上表示不等式的解集 用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”： 一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点； 二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”． ⚠️规律方法 某不等式求得的解集为x＞a，其验证方法可以先将a代入原不等式，则两边相等，其次在x＞a的范围内取一个数代入原不等式，则原不等式成立． 考点四 不等式（组）的应用 （1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案． （2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵． （3）列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤： ①弄清题中数量关系，用字母表示未知数． ②根据题中的不等关系列出不等式． ③解不等式，求出解集． ④写出符合题意的解． 题型一 不等式的定义 【例1】（25-26八年级下·陕西西安·期末）“不大于”用不等式表示为（     ） A． B． C． D． 💡破题要诀 ① 定义：用不等号（>、<、≥、≤、≠）连接而成的式子。 ② 关键词对照表：大于→>；小于→<；不大于→≤；不小于→≥；不超过→≤；至少→≥；至多→≤；超过→>。 ③ 一元一次不等式的三个条件：只含一个未知数、未知数的次数是 1、两边都是整式。 ④ 特别注意是否含等号：「至少」「不超过」都要带等号。 ⑤ 列式后把不等式读一遍，确认与实际语义一致。 迁移应用 【变式1-1】（21-22八年级下·贵州毕节·期中）下列各式中，是不等式的是（     ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26七年级下·福建泉州·期末）惊蛰，古称“启蛰”，是二十四节气之一，标志着仲春时节的开始，今年惊蛰这一天泉州市的最低气温是，最高气温是，则当天气温（）满足的不等关系为（     ） A． B． C． D． 【变式1-3】（21-22七年级下·云南西双版纳·阶段检测）x的与7的差不大于5，用不等式表示为___________． 题型二 不等式的性质 【例2】（2026·江苏淮安·中考真题）实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 💡破题要诀 ① 性质一：两边加（或减）同一个数或式子，不等号方向不变。 ② 性质二：两边乘（或除以）同一个正数，不等号方向不变。 ③ 性质三（最高频错点）：两边乘（或除以）同一个负数，不等号方向必须改变。 ④ 传递性：若 且 ，则 。 ⑤ 不要随意在两边乘（除）含字母的式子，因为不知道它的正负，必须分类讨论。 迁移应用 【变式2-1】（26-27八年级上·广西南宁·开学考试）如果，那么下列各式中正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26八年级下·陕西西安·期中）若，且，则的值可能是（     ） A． B． C． D． 【变式2-3】（26-27八年级上·广东湛江·开学考试）若，则下列不等式不一定成立的是（     ） A． B． C． D． 题型三 解不等式（组） 【例3】（26-27九年级上·广东深圳·开学考试）不等式组的解集是________． 💡破题要诀 ① 五步法：去分母 → 去括号 → 移项 → 合并同类项 → 系数化为 1。 ② 去分母时，不含分母的项也要同乘公分母——这是最常见的漏乘。 ③ 去括号时括号前是负号，里面各项都要变号。 ④ 移项要变号，不要照抄符号。 ⑤ 最后一步系数化为 1：先看清系数的正负，负数必须改变不等号方向。 ⑥ 不等式组：分别解出每一个，再取它们的公共部分。 迁移应用 【变式3-1】（24-25八年级下·山东聊城·阶段检测）解不等式： (1)； (2)． 【变式3-2】（26-27八年级上·黑龙江绥化·开学考试）解不等式：． 【变式3-3】（26-27八年级上·浙江宁波·阶段检测）解下列不等式（组） (1)解不等式：； (2)解不等式组：． 题型四 用数轴表示不等式的解集 【例4】（25-26七年级下·陕西汉中·期末）不等式的解集在数轴上表示为（     ） A． B． C． D． 💡破题要诀 ① 先定界点：有等号（≥、≤）画实心点，无等号（>、<）画空心圈。 ② 再定方向： 或 向右画； 或 向左画。 ③ 不等式组取公共部分的口诀：大大取大；小小取小；大小小大中间找；大大小小无处找。 ④ 画完数轴后还要用不等式把解集写出来，图文缺一不可。 ⑤ 有等号的两个解集刚好接上时，公共部分就是那一个点。 迁移应用 【变式4-1】（26-27八年级上·甘肃张掖·开学考试）在数轴上表示不等式的解集，正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式4-2】（26-27九年级上·湖南长沙·阶段检测）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（26-27八年级上·黑龙江绥化·开学考试）下列在数轴上表示的不等式组的解集，正确的是（     ） A． B． C． D． 题型五 不等式的整数解 【例5】（25-26八年级下·陕西汉中·期末）不等式的负整数解有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 💡破题要诀 ① 先正常解出解集，得到形如 的范围。 ② 在数轴上把这个范围画出来，把范围内的整数点逐个圈出。 ③ 端点能否取要看有没有等号：有等号就取，无等号就跳过。 ④ 求「整数解的个数」时，个数 = 最大整数解 - 最小整数解 + 1。 ⑤ 求「最小整数解」「最大整数解」时，先确定哪一端是开区间，再从可取的那一端数起。 迁移应用 【变式5-1】（26-27九年级上·江西九江·阶段检测）解不等式组，并将它的解集在下面的数轴上表示出来． 【变式5-2】（26-27九年级上·重庆·阶段检测）解不等式组：，并写出不等式组的所有整数解． 【变式5-3】（26-27九年级上·重庆渝北·阶段检测）解不等式组，在数轴上画出解集，并求出它的整数解之和． 【变式5-4】（25-26七年级下·黑龙江伊春·期末）写出不等式的所有非负整数解：_______________． 题型六 根据不等式解的情况求参数 【例6】（26-27八年级上·内蒙古巴彦淖尔·开学考试）如果不等式组恰有2个整数解，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 💡破题要诀 ① 先解含参数的不等式，得到形如 或 的解集。 ② 再与题目给出的解集形式对照，令两者一致求出参数。 ③ 「有解 / 无解」问题用数轴判断：画草图看两个解集能否相交。 ④ 端点能否取等号必须单独讨论——这是最容易丢分的一步。 ⑤ 「恰有 3 个整数解」类：先画出数轴，把整数点标出来，再对端点列不等式。 迁移应用 【变式6-1】（25-26七年级下·甘肃平凉·期末）若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式6-2】（25-26七年级下·四川乐山·期末）已知不等式组无解，则的取值范围是________． 【变式6-3】（25-26七年级下·江西宜春·期末）若关于的不等式组无解，则的取值范围是____________． 【变式6-4】（21-22八年级下·宁夏银川·期中）若不等式组有解，则实数的取值范围是______． 题型七 已知不等式解集求参数 【例7】（25-26七年级下·河南周口·期中）若关于的不等式的解集为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 💡破题要诀 ① 先按常规步骤解含参不等式，得到 这类形式。 ② 再与已知解集对照，令对应部分相等，解出参数。 ③ 若已知的是不等式组的解集，先判断哪一边是「瓶颈」（决定公共部分的那一侧）。 ④ 别忘了讨论未知数系数为 0 的特殊情形（此时不等式可能恒成立或无解）。 ⑤ 解出参数后代回原不等式重解一遍，核对解集是否吻合。 迁移应用 【变式7-1】（25-26七年级下·黑龙江伊春·期末）若不等式组的解集是，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式7-2】（25-26七年级下·青海玉树·期末）已知关于的不等式组的解集为，则的值为________． 【变式7-3】（25-26七年级下·广东汕头·期末）若不等式组的解集是，则_________________． 题型八 不等式与方程综合 【例8】（25-26七年级下·山东滨州·期末）已知关于的不等式组的解集为，且关于、的二元一次方程组有正整数解．则所有满足条件的整数的和为（     ） A．19 B．20 C．21 D．22 💡破题要诀 ① 第一步解方程（组）：把未知数用参数表示出来。 ② 第二步代入不等式：把表达式代进题给的不等关系，得到关于参数的不等式。 ③ 第三步补隐含条件：如未知数是正整数、三角形边长为正、分母不为 0。 ④ 第四步解出参数范围；若题目要求整数参数，再在范围内取整数。 ⑤ 最后把求得的参数代回检验，确认原方程的解确实满足所有条件。 迁移应用 【变式8-1】（25-26七年级下·山东日照·期末）若关于的不等式组的解集为，且关于、的二元一次方程组的解满足，则满足条件的所有整数的和为__________． 【变式8-2】（25-26七年级下·河南驻马店·期末）已知关于的不等式组的解集为，且关于，的二元一次方程组有正整数解．则所有满足条件的整数的值为__________． 【变式8-3】（25-26七年级下·重庆·期末）若关于的一元一次不等式组的解集为，关于，的二元一次方程组的解满足，则所有满足条件的整数的值之和是_____________． 【变式8-4】（25-26七年级下·重庆·期中）已知关于的不等式组的解集为，且使得关于、的二元一次方程组有正整数解．则所有满足条件的整数的和为________． 题型九 绝对值型不等式 【例9】（广西梧州市岑溪市2025-2026学年下学期七年级期末数学试卷）【实践与探究】 【定义概念】如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫做绝对值不等式． 【提出问题】求绝对值不等式的解集．小明同学的思路如下： 的几何意义是数轴上表示数a的点到原点的距离．所以，如图①，可以理解为数轴上表示数a的点到原点的距离大于2．所以，绝对值不等式的解集是或．以此类推，如图②，绝对值不等式的解集是． 【解决问题】 (1)绝对值不等式的解集是 ； 【迁移应用】 (2)求绝对值不等式的解集； (3)已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，求m的取值范围． 💡破题要诀 ① 记住两条核心结论（ 时）： 等价于 ； 等价于 或 。 ② 口诀记忆：「小于号夹中间，大于号分两边」。 ③ 遇到 先做整体替换（令 ），化成标准形再套结论。 ④ 含等号时端点并入（ 时取到端点， 时也取到端点）。 ⑤ 时： 无解；（）解集为全体实数。 迁移应用 【变式9-1】（25-26七年级下·山西吕梁·期末）阅读与思考 请仔细阅读下面材料并完成相应的任务． 【定义概念】我们定义：形如（为非负数）的不等式称为绝对值不等式．能使一个绝对值不等式成立的所有未知数的值称为这个绝对值不等式的解集．利用绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式： （ⅰ）解不等式．如图1，从数轴上可以发现，大于而小于2的数的绝对值小于2，所以的解集应为． （ⅱ）满足的数用数轴表示如图2所示，也就是说，小于的数或大于2的数的绝对值大于2，所以的解集应为或． 任务： 【简单运用】 (1)不等式的解集是______； (2)不等式的解集是______； 【拓展探究】 (3)已知绝对值不等式的解集为，则______；______； (4)请求出绝对值不等式的解集 【变式9-2】（25-26七年级下·云南昆明·阶段检测）【阅读材料】 我们知道的几何意义是在数轴上的数对应的点与原点的距离即．也就是说表示在数轴上的数与数0对应的点之间的距离．这个结论可以推广为表示在数轴上的数与数对应的点之间的距离． 例1：若则表示到原点距离小于3的数；从如图1所示的数轴上看：大于而小于3的数它们到原点距离小于3，所以的解集是； 若则表示到原点距离大于3的数；从如图2所示的数轴上看：小于的数和大于3的数它们到原点距离大于3，所以的解集是或． 例2：那么式子可理解为：数轴上表示这个数的点到表示1这个数的点的距离．于是解不等式则是要在数轴上找出到1的距离小于等于2的所有点；观察数轴可以看出，在数轴上到1距离小于等于2的点对应的数都在和3之间（包含和3两个点）这样我们就可以得到不等式的解集为：； 【解决问题】 (1)不等式的解集为_________；不等式的解集为________． (2)求不等式的解集； (3)求不等式的解集； (4)不论取所有的数都有恒成立求的取值范围． 题型十 解特殊的不等式 【例10】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）阅读以下例题：解不等式： 解：①当，则， 即可以写成：解不等式组得： ②当若，则， 即可以写成：解不等式组得：． 综合以上两种情况：原不等式的解集为：或． 以上解法的依据为：当，则同号． 请你模仿例题的解法，解不等式： (1)； (2)． 💡破题要诀 ① 系数含字母时必须三类讨论：、、，一个都不能少。 ② 时：解集方向不变； 时：解集方向改变。 ③ 时看常数项：若常数项使不等式成立则解集为全体实数，否则无解。 ④ 连不等式 拆成不等式组分别解再取公共部分。 ⑤ 「无解」意味着两个解集没有公共部分，用数轴判断最直观。 迁移应用 【变式10-1】（21-22七年级下·陕西安康·期末）阅读下列关于不等式的解题思路： 由两实数的乘法法则“两数相乘，同号得正”可得： ①或②， 解不等式组①得， 解不等式组②得， 等式的解集为或 请利用上面的解题思路解答下列问题： (1)求出的解集； (2)求不等式的解集． 【变式10-2】（21-22七年级下·吉林长春·期末）我们在数学学习中，经常利用转化的思想方法解决问题，比如，我们通过“消元”的方法将二元一次方程组转化为一元一次方程，从而求解．下面我们就利用“转化”的思想方法尝试解决新的问题． 先阅读下面的例题，再按要求完成下列问题． 例：解不等式． 解：由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”得①或② 解不等式组①，得． 解不等式组②，得． 所以不等式的解集为或． 根据例题方法解决下面问题： (1)解不等式． 解：由有理数的乘法法则“两数相乘，异号得负”，得①或②___________． 解不等式组①，得___________． 解不等式组②，得___________． 所以不等式的解集为___________． (2)应用：不等式：的解集为___________． 【变式10-3】（21-22七年级下·江苏连云港·期末）先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题： 例题：解一元二次不等式． 解：∵，∴可化为． 由有理数的乘法法则：两数相乘，同号得正，得 ①② 解不等式组①，得；解不等式组②，得， ∴的解集为或， 即一元二次不等式的解集为或． (1)一元二次不等式的解集为_______； (2)试解一元二次不等式； (3)试解不等式． 题型十一 一元一次不等式的应用 【例11】（26-27九年级上·湖南长沙·阶段检测）在2025年湖南省足球超级联赛（湘超）如火如荼进行之际，联赛组委会正式推出系列官方特许产品，以湘超联赛吉祥物“湘湘”为主题形象的文创产品深受大家喜爱，将湖湘文化特色与足球运动激情完美融合．某班委会准备购买毛绒玩具、钥匙扣两种文创产品作为元旦活动的奖品．已知毛绒玩具的单价比钥匙扣的单价多30元，且购买4个毛绒玩具比购买6个钥匙扣的费用多40.4元． (1)求毛绒玩具和钥匙扣的单价； (2)若需购买毛绒玩具和钥匙扣共10个，且总费用不超过500元，则最多能购买毛绒玩具多少个？ 💡破题要诀 ① 审：圈出关键词（至少、至多、不超过、超过、不低于），翻译成不等号。 ② 设：设未知数，并注明它代表什么、单位是什么。 ③ 列：根据题意列出不等式，注意「至少」对应 ≥、「不超过」对应 ≤。 ④ 解：解出未知数的取值范围。 ⑤ 验并答：检验答案是否符合实际（人数、件数必须为非负整数），再写答语。 迁移应用 【变式11-1】（25-26七年级下·广西崇左·期末）【链接生活】为积极响应全民健身的号召，某县阳光社区决定举办一次绕锦绣生态湖健步走的活动，活动结束后，社区委员会为参加活动的居民准备了，两种食品作为午餐．这两种食品每包质量均为克，每包的营养成分如下表： 食物品种 热量 蛋白质 脂肪 碳水化合物 钠 千焦 克 克 克 毫克 千焦 克 克 克 毫克 【解决问题】 (1)若要从这两种食品中摄入千焦热量和克蛋白质，应选用，两种食品各多少包？ (2)对于减肥的人群来说，对碳水化合物的摄入量要加以控制．若每份午餐选用这两种食品共包，要使每份午餐中的碳水化合物含量不高于克，则最多选择种食品多少包？ 【变式11-2】（26-27九年级上·广东深圳·开学考试）随着科技的飞速发展，人工智能（AI）已成为当今社会的热点话题，从自动驾驶汽车到智能家居，从医疗诊断到金融分析，AI正在改变着我们的生活方式和工作模式．深圳市某快递公司为了提高工作效率，计划购买A，B两种型号的机器人来搬运货物，已知每台A型机器人比每台B型机器人每天少搬运10吨，且每台A型机器人搬运900吨货物所用的时间与每台B型机器人搬运1000吨货物所用的时间相同． (1)每台A型机器人和每台B型机器人每天分别搬运货物多少吨？ (2)该公司计划采购A，B两种型号的机器人共25台，且每天搬运的货物不低于2345吨，那么最多购买A型机器人多少台？ 【变式11-3】（26-27九年级上·广东深圳·开学考试）【问题背景】 某城市规划团队研究新建购物中心吸引力问题时，发现可以用数学模型来量化，其中F表示居民每季度的平均购物次数（单位：次），S表示购物中心的占地面积（单位：万）；d表示购物中心到居民区的距离（单位：）；k为常数且． 【模型应用】 (1)已知当万， 时，次，则______； (2)甲、乙两个购物中心占地面积分别为2万和4.5万，它们到同一居民区的距离之比为，每季度居民到乙中心的平均购物次数比到甲中心多20次，求甲、乙两个购物中心到此居民区的距离； 【模型修正】 实际调研发现，当距离km时，居民的购物意愿下降速度明显加快．因此，团队对模型进行优化，提出分段模型（k与基础模型一致）： 【模型分析】 (3)现规划在某居民区附近新建一个占地面积约35万的购物中心，且到居民区距离d限定在，建成后居民每季度平均购物次数的期望值不少于70次，求整数d的值． 题型十二 不等式组的应用 【例12】（25-26七年级下·浙江杭州·期末）校运动会前，数学兴趣小组对400米跑道（由两条直道和两个半圆弯道构成）和米接力赛进行了研究． (1)若弯道直径比直道短12米．若跑道内圈周长为400米，取3．求弯道直径（结果保留整数）． (2)若每条跑道宽为米，为使米接力时每队跑的距离都是400米，第2道的起跑线应比第1道前移多少米？（结果保留和） (3)在米接力赛中，接力区总长是30米，前20米为预跑区，后10米为传接棒区．甲匀速冲向接力区，乙在接力区起点处静止．当甲距乙20米时，乙由静止开始匀加速起跑（匀加速运动中，若初速度为0，末速度为，则平均速度为），乙用10米距离加速到恒定速度，之后保持匀速跑．已知甲的速度比乙的恒定速度快2米/秒．为保证在传接棒区内完成交接，求乙的恒定速度的取值范围． 💡破题要诀 ① 设一个未知数（通常设为「购买甲种 件」），用它表示另一种物品的数量。 ② 列不等式组：一般有两类约束——数量约束和费用（或载重、容积）约束，两条都要列。 ③ 解不等式组，得到 的取值范围。 ④ 由 的整数解列出所有可行方案，逐一编号写清楚。 ⑤ 选最优方案时，先写出费用关于 的一次函数，利用增减性判断（ 时 越小越省），不要逐个硬算。 迁移应用 【变式12-1】（25-26八年级上·福建厦门·期末）“智能引领未来，科技赋能生活”，为提高清洁效率，某体育馆购置一台智能洗地机器人（如图），但因机器人处理顽固污渍能力有限，该体育馆计划采用“人机协同”的清洁模式，即在机器人完成基础清洁后，由人工进行顽固污渍的处理．具体流程如下： 机器人按规划路线完成基础清洁，同步识别并向系统上报顽固污渍点信息； 系统生成污渍分布图，将污渍点按空间分布位置生成多个任务包和任务预估处理工时； 系统智能分配任务包给清洁工，清洁工按照任务包提供的污渍点信息完成清洁工作． 由于近期赛事安排紧凑，为了进一步提高清洁效率，体育馆又购置了一台同品牌的洗地机器人（工作效率更高但未超过原机器人的1.5倍），并将人工清洁外包给甲、乙两个清洁团队． 已知该体育馆一共有两层，第一层需清扫的面积为平方米，第二层需清扫的面积为平方米，其中． 任务一  计算机器人的工作效率 原购置的洗地机器人每小时清洁面积相当于一个清洁工的6倍，用这台机器人清洁2400平方米场地所需时间比一个清洁工清洁1200平方米场地少用2小时．求原购置的机器人每小时清洁面积． 任务二  比较机器人的清洁时长 体育馆安排新购置机器人清洁面积大的楼层，而原机器人清洁面积小的楼层，请计算说明哪台机器人先完成基础清洁任务． 任务三  设计人工清洁方案 某场比赛结束，两台机器人完成清洁工作后，系统生成4个任务包，并将任务分配给相应的清洁团队，如表1．甲、乙两个团队收费标准如表2，其中基础费只收取一次，工时费不足0.5小时按0.5小时算． 表1 任务包编号 位置 系统分配团队 处理工时（min） 观众席 甲 75 比赛场地 乙 40 出入通道 甲、乙合作 35 内场角落 乙 70 表2 团队 基础收费（元） 工时费（元/小时） 甲 500 1200 乙 800 1000 请设计人工清洁方案，使完成时间最少，并尽量减少外包费用．（转场时间忽略不计） （要求：每个任务包由系统分配的团队完成；每个团队的工时从开始工作算起到本团队所有任务结束；甲乙合作的任务需两个团队同时开始；设计的清洁方案需包含清洁流程、完成时间和外包费用；所有的任务包的任务都要完成）． 【变式12-2】（25-26七年级下·河北张家口·期末）2025年9月3日，我国自主研制的首型舰载固定翼预警机空警-600亮相于纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵活动．某玩具店以此为契机，迅速推出，两种飞机模型．，两种飞机模型每个的进价分别为80元和60元，下表是该玩具店近两天的销售情况． 销售时段 销售数量 销售收入 种 种 第一天 4个 5个 955元 第二天 2个 6个 810元 (1)，两种飞机模型的销售单价分别是多少？ (2)该玩具店准备用不超过1400元再次购买这两种飞机模型共20个，且种飞机模型不少于8个，则该玩具店有哪几种购买方案？ (3)在（2）的条件下，请你帮该玩具店设计利润最大的进货方案（20个飞机模型全部售完），并求出最大利润． 【变式12-3】（25-26七年级下·山西临汾·期末）为建设数字化智慧教室，某校总务处计划批量采购智能学习平板与迷你错题打印机两款现代科技学习设备，用于各班自习室配备．商家给出两次批量采购的报价明细固定不变，两次采购数量、对应总费用统计如下表 采购批次 智能学习平板（台） 迷你错题打印机（台） 本次采购总费用（元） 第一批采购 2 3 3740 第二批采购 5 2 8360 (1)请求出智能学习平板、迷你错题打印机的单价分别为多少元？ (2)学校第三批采购计划一次性采购两种设备总数一共40台，财务处规定采购迷你错题打印机数量不能少于15台，且本次所有设备总花费不能超过40000元．求最多可以采购多少台智能学习平板？ 【变式12-4】（25-26七年级下·江西宜春·期末）根据以下素材，探索完成任务： 制定某汽车销售公司的购买方案 背景 新能源汽车多数采用电能作为动力来源，减少了二氧化碳气体的排放．随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜欢的交通工具．现某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车进行销售． 素材1 据了解，购进2辆A型号新能源汽车、5辆B型号新能源汽车共需125万元，购进1辆A型号新能源汽车、6辆B型号新能源汽车共需115万元． 素材2 该汽车销售公司计划购进A、B两种型号的新能源汽车共10辆，且费用不少于170万元，不超过180万元． 素材3 该汽车销售公司计划每辆A型号新能源汽车在进价的基础上提高0.8万元销售，每辆B型号新能源汽车在进价的基础上提高销售． 问题解决 (1)任务1：A、B两种型号的新能源汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)任务2：帮助该公司求出所有购买方案． (3)任务3：若任务2中所有购买方案的车都能全部卖出，采用哪种购买方案能获得最大利润？最大利润是多少？ 【变式12-5】（2026七年级下·江苏·专题练习）为鼓励节约用水，居民生活用水采用阶梯收费．水价分三个等级：第一级为月用水量17m3以下（包括17m3）；第二级为月用水量超过17m3但不超过30m3；第三级为月用水量超过30m3（不包括30m3）．下面是某居民收到的一张2025年7月份的生活用水消费明细（不完整）． 居民生活用水消费明细 计费日期2025﹣7﹣1至2025﹣7﹣31 自来水费 污水处理费 用水量/m3 单价/（元/m3） 金额/元 用水量/m3 单价/（元/m3） 金额/元 阶段一：17 2 34 阶段一：17 1 17 阶段二： 2.5 阶段二： 1 本期实付金额（大写） （注：居民生活用水水费=自来水费+污水处理费） 已知该居民6月份和7月份的用水量总和为42m3，且7月份的用水量超过6月份，但不超过6月份的2倍． (1)设该居民7月份的用水量为xm3，求x的取值范围； (2)该居民7月份的生活用水水费最多需要缴纳多少元； (3)若该居民7月份的生活用水水费比6月份多41元，求该居民7月份的用水量． 【变式12-6】（25-26七年级下·四川乐山·期末）下面是某数学兴趣小组探究用方程解决实际问题的讨论片段，请仔细阅读，并解决相应的问题． 为增强学生体质，某中学专门开设了“阳光大课间活动”，学校现决定购买排球个，篮球个，共花费元，已知 ，求排球和篮球的单价． 小嘉通过查看例题的解析发现： 解：设排球的单价为元，篮球的单价为元． 则根据题意有，…… (1)根据题意，例题中被覆盖的条件是_______（填正确的序号）． ①排球的单价比篮球的单价低元； ②排球的单价比篮球的单价高元． (2)请按照例题解析的思路，将省略部分补充完整． (3)老师在例题的条件下，增设了一个问题：为让更多的学生参与运动，学校决定再购进此类排球和篮球共个，总费用不超过元，且购买排球不超过个，学校共有哪几种购买方案？ 基础固本练（限时：15分钟） 1．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）若，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·浙江台州·期中）“的倍小于”用不等式表示为_______． 3．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）若三角形的三边长分别是2，x，10，且x是不等式的正整数解，该三角形的周长是________． 4．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）对于任意实数a、b，定义关于@的运算是：． (1)①________（填，，，，）；②若，则x的取值范围是________． (2)若不等式组恰好有3个整数解，求m的取值范围． 5．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）近年来新能源汽车产业及市场迅猛增长，为了缓解新能源汽车充电难的问题，某小区计划新建地上和地下两类充电桩．已知新建1个地上充电桩和2个地下充电桩需要万元；新建个地上充电桩和个地下充电桩需要万元． (1)该小区新建1个地上充电桩和1个地下充电桩各需多少万元？ (2)若该小区计划用不超过万元的资金新建个充电桩，且地下充电桩的数量不少于地上充电桩数量的2倍，则共有几种建造方案？并列出所有方案． 6．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）小启和小正在学习《一元一次不等式》这一章节的时候，面对这样一个代数命题：“有两个数和．若．则一定有”，两人提出了如下问题： (1)小启说：“这个命题一看就是假命题．”请你帮他们举一个反例说明． (2)小正说：“这个命题只要加一个条件就正确了，如：有两个数a和b．若，则一定有．”小启说：“这样一改肯定是真命题，可是不太好证明啊．”请你用所学的知识帮助他们证明这个命题． 7．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）（1）解不等式：，并把解集表示在数轴上． （2）解不等式组． 8．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）围棋起源于中国，古代称为“弈”，是棋类鼻祖，距今已有4000多年的历史．某商家销售A，B两种材质的围棋，每套进价分别为210元、180元，如表是近两个月的销售情况： 销售时段 销售数量 销售收入 A种材质 B种材质 第一个月 3套 5套 1800元 第二个月 4套 10套 3100元 (1)求A，B两种材质的围棋每套的售价； (2)若商家再采购A，B两种材质的围棋共30套，购买金额不超过5780元，求A种材质的围棋最多能采购多少套？ 9．（24-25八年级上·浙江嘉兴·期中）解不等式： (1)； (2)． 10．（25-26八年级上·浙江台州·期中）解下列不等式． (1) (2) 11．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）（1）解不等式，并把解集表示在数轴上； （2）解不等式组，并写出满足该不等式的负整数解． 12．（25-26八年级上·浙江台州·期中）定义一种新运算，例如：． (1)计算：； (2)请根据上述定义解不等式． 综合进阶练（限时：15分钟） 1．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）某运行程序如图所示，从“输入实数x”到“结果是否”为一次程序操作，若输入x后，程序运行了两次后输出结果，则符合的整数x的个数为（   ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 2．（24-25八年级上·浙江金华·期中）某厂为了提高生产力，计划新购置、两种型号的生产设备共台．已知型每台万元，每月可以生产吨产品；型每台万元，每月可以生产吨产品．购买一台型设备比购买一台型设备多万元，则买台型设备比购买台型设备少万元．根据以上信息，解答下列问题： (1)求出、的值． (2)若计划购置总费用不超过万元，且两种型号设备都要购买，该厂有哪些购买方案？ (3)在（2）的条件下，若每月生产产品不得低于吨，为了节约资金，请你为该厂设计一种最省钱的购买方案． 3．（25-26八年级上·浙江温州·阶段检测）小敏到某服装商场进行社会调查，了解到该商场为了激励营业员的工作积极性，实行“月总收入基本工资计件奖金”的方法．并获得如下信息： 营业员 A B 月销售件数 300 400 月总收入（元） 3700 4000 假设营业员的月基本工资为元，销售每件服装奖励元． (1)求、的值． (2)若营业员小潮某月的总收入不低于3800元，那么小潮当月至少要卖服装多少件？ (3)商场为了多销售服装，对顾客推荐一种购买方式：如果购买甲3件，乙2件，丙1件共需392元；如果购买甲1件，乙2件，丙3件共需288元．某顾客想购买甲、乙、丙各一件共需______元．（直接写出答案） 4．（25-26八年级上·浙江温州·期中）某中学八年级共有师生698名，计划包车到研学基地参加社会实践活动，某长运公司有型、型两种客车，它们的载客量和日租金如表： 车型 每辆载客量／人 每辆租金／元 型客车 60 1000 型客车 45 800 学校根据实际情况，计划租用，型两种客车共14辆．设租用型客车辆，根据要求回答下列问题： (1)用含的式子完成表： 车型 车辆数／辆 载客量／人 租金／元 型客车 ______ 型客车 ______ ______ (2)请问至少需租用型客车多少辆？ (3)若要保证租车费用不超过12500元，请问有哪几种租车方案？ 5．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）据考古发现，慈溪先民们食用野生杨梅的历史已经有7000年以上，驯化种植野生杨梅树的历史已经有4500多年，最早文献记载杨梅是西汉司马相如所著《上林赋》中的“樗（chu）枣杨梅”一词，也已有2200多年．慈溪杨梅最有名的品种为“荸荠种”，市场上卖的杨梅有小筐和大筐两种包装，何老师购买了1筐小筐和2筐大筐杨梅给数学老师们品尝，共花费275元；老师们吃完后赞不绝口，于是郑老师购买了2筐小筐杨梅，杨老师买了3筐大筐杨梅分给同学们品尝，两位老师共花费450元（每次购买两种包装的杨梅售价都不变）． (1)问小筐和大筐两种包装分别是每筐多少元？ (2)现在付老师要购买两种包装共16筐杨梅送给外地的朋友，要求小筐杨梅不少于大筐杨梅的2倍，但不超过大筐杨梅的4倍，请你帮助付老师设计一下购买方案并写出付老师所需费用． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $