专题12 选择填空压轴题能力强化集训26大题型（期中专项训练·冲刺版）九年级数学上学期新教材人教版

专题12 选择填空压轴题能力强化集训26大题型 题型1 换元法解一元二次方程 题型14 二次函数与周长、面积问题 题型2 配方法的应用 题型15 二次函数与角度问题 题型3利用一元二次方程求最值 题型16 二次函数与特殊三角形问题 题型4 利用一元二次方程的根求取值范围 题型17 二次函数与特殊四边形问题 题型5利用根与系数的关系降次求值 题型18 反比例函数的图像与性质的运用 题型6 根的判别式与根与系数关系的综合应用 题型19 反比例函数k的几何意义的综合应用 题型7一元二次方程中的新定义问题 题型20反比例函数与几何的综合应用 题型8 二次函数图像与系数 a、b、c 符号判断（多结论选择） 题型21 坐标与旋转规律问题 题型9 二次函数图象的共存问题 题型22 旋转性质的综合 题型10二次函数增减性与区间最值 题型23 圆的性质的综合运用 题型11 二次函数动点运动图象的判断 题型24求圆中的最值 题型12 利用二次函数动点运动图象求值 题型25 动点的运动轨迹长度（或面积）计算 题型13抛物线与线段交点个数求参 题型26 正多边形与圆的综合应用 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 换元法解一元二次方程（共3小题） 1．（25-26九年级上·四川攀枝花·期末）已知关于的方程（a、b、c均为常数，且）的解是，，那么方程的解是（　　） A． B． C． D．，方程无实数解 【答案】A 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，整体思想的运用，熟练掌握整体思想的应用是关键． 通过变量替换，令，将新方程转化为原方程形式，利用已知解求解关于的方程． 【详解】令，则方程化为, ∵方程的解为，， ∴或， ∴或， 解得或 ∴新方程的解为， 故选：A． 2．（25-26九年级上·山东枣庄·阶段检测）已知实数满足，则的值为（   ） A．或1 B．或6 C．6 D．1 【答案】D 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程． 将看做一个整体，代入求解，再根据判断即可． 【详解】， 设， ∵实数满足， ∴， ∴， 解得：，（舍去）， ∴的值为． 故选：D． 3．（2025·江苏连云港·模拟预测）设，是一个直角三角形两条直角边的长，且，则这个直角三角形的斜边为________． 【答案】 【分析】本题考查换元法，解一元二次方程，勾股定理，掌握相关知识是解决问题的关键．通过换元法，设 ，将原方程转化为一元二次方程求解，得到 ，再根据勾股定理得出斜边长． 【详解】解：设 ， 则原方程化为 ， 即 ， ， 解得 或 ， 由于 ，故舍去 ， ∴， 在直角三角形中，斜边长的平方等于两直角边的平方和， 故斜边长为． 故答案为 ． 题型2 配方法的应用（共3小题） 4．（26-27九年级上·安徽安庆·阶段检测）已知实数，，满足，且，那么，，中最大的数为（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【分析】根据作差法，分别比较和的大小关系，即可求解； 【详解】解： ，， ， ； ， ； 最大． 5．已知a，b，c是不等边△ABC的三边长，满足a2＋b2＝6a＋8b－25，则最长边c的范围（     ） A．1＜c＜7 B．4≤c＜7 C．4＜c＜7 D．1＜c≤4 【答案】C 【分析】由a2+b2=6a+8b-25，得a，b的值，然后利用三角形的三边关系求得c的取值范围即可． 【详解】∵a2+b2=6a+8b-25， ∴（a-3）2+（b-4）2=0， ∴a=3，b=4； ∴4-3＜c＜4+3， ∵c是最长边， ∴4＜c＜7． 故选C． 【点睛】本题考查了配方法的应用、非负数的性质及三角形的三边关系，解题的关键是对方程的左边进行配方，难度不大． 6．若a，b，c满足，则 ； 【答案】 【分析】先配成平方和等于0的性质，再利用平方的非负性求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 即，， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：54． 【点睛】本题主要考查平方的非负性，配方法的应用，算术平方根等知识，将原方程配成平方和等于0的形式，是解题的关键． 题型3利用一元二次方程求最值（共3小题） 7．已知实数x，y满足，则x+y的最大值为 ． 【答案】4 【分析】用含x的代数式表示y，计算x+y并进行配方即可. 【详解】∵ ∴ ∴ ∴当x=-1时，x+y有最大值为4 故答案为4 【点睛】本题考查的是求代数式的最大值，解题的关键是配方法的应用. 8．设实数满足，则的最大值为 . 【答案】6 【分析】先将已知等式配成一个完全平方的形式，再令，将完全平方式转化为一个只含a和b的等式，然后将问题转化为已知一元二次方程的根的情况，求未知参数问题，最后利用根的判别式求解即可. 【详解】 两边同乘以2得： 整理得： 令，则 代入得： 化简得： 由题意可知，关于a的一元二次方程有实数根 则方程的根的判别式 解得：，即 所以的最大值为6 故答案为：6. 【点睛】本题是一道难题，考查了求代数式的极值的知识，在已知条件转换变形后，将其看成一个一元二次方程的实数根的情况来分析是解题关键. 9．（26-27九年级上·福建厦门·阶段检测）已知，，，，则的最小值是（     ） A．76 B．11 C．0 D． 【答案】A 【分析】可判断m、n是关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根，利用根与系数的关系得到，则可推出，利用二次函数的性质可得答案． 【详解】解：对于关于x的一元二次方程， ， ∵， ∴； 当时， ∵，， ∴m、n是关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，的值随a的增大而增大， ∴当时，有最小值，最小值为． 题型4 利用一元二次方程的根求取值范围（共3小题） 10．定义新运算：，例如：．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了已知一元二次方程根的情况求参数的取值范围，解题的关键是熟练掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 先根据题目所给新定义运算法则，得出，再根据“该方程有两个不相等的实数根”得出，列出不等式求解即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵该方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：． 故选：C． 11．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）关于的一元二次方程有两个正实数根，则的取值范围为（   ） A．且 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，注意正根的条件是根的和与积均大于零是解题的关键． 根据一元二次方程有两个正实数根的条件，需满足二次项系数不为零、判别式非负、根的和与积均为正，依次列不等式求解即可． 【详解】∵ 方程 有两个正实数根， ∴ ，且判别式 ，解得 ， 又根的和 ，根的积 ， ∵ 分子均为正， ∴ ， 综上，． 故选 D． 12．设关于x的方程在范围内有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质，一元二次方程的解，根据题意可得与的交点在范围内，且有2个不同交点，可得不等式组，解不等式组，即可求解． 【详解】解：设， 依题意， 解不等式①得：或， 解不等式②得：， 解不等式③得：， 解不等式④得：， ∴不等式组的解集为：． 故选：D． 题型5利用根与系数的关系降次求值（共3小题） 13．已知和是方程的两个根，则的值为（    ） A． B．2021 C． D．2023 【答案】A 【分析】由和是方程的两个根，根据根于系数关系可得，，由一元二次方程根的定义可得，即可求解； 【详解】 和是方程的两个根， ， ， ，， 故选A． 【点睛】该题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，熟记一元二次方程根与系数关系公式是解答该题的关键． 14．已知，是方程的两根，则代数式的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由根与系数的关系可得：a+b=1，再由a与b是方程的两根可得a2=a+1，b2=b+1，把a3与b3采用降次的方法即可求得结果的值． 【详解】∵a与b是方程的两根 ∴a+b=1，a2-a-1=0，b2-b-1=0 ∴a2=a+1，b2=b+1 ∵，同理： ∴ 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解的概论、一元二次方程根与系数的关系，求代数式的值，灵活进行整式的运算是解题的关键． 15．已知是方程的一个根，则 ． 【答案】 【分析】由方程根的定义可得，变形为．再将等号两边同时乘并变形得，代入逐步化简即可． 【详解】∵是方程的一个根． ∴，即． 将等号两边同时乘得： ，即． ∴． 故答案为：-2021． 【点睛】本题考查一元二次方程解的定义以及代数式求值．熟练掌握整体代入的思想是解答本题的关键． 题型6 根的判别式与根与系数关系的综合应用（共3小题） 16．（2026·四川宜宾·二模）已知、是关于的方程的两个实数根，若，则等于（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】先根据一元二次方程有两个实根，要求判别式非负，再利用完全平方公式将变形，结合根与系数的关系列方程求解，最后根据判别式范围舍去不符合的解即可． 【详解】解：∵方程有两个实数根， ∴判别式 即 解得： 由根与系数的关系，得， ∵，且 ∴ 整理得 解得或 ∵，，舍去，符合要求 ∴． 17．已知关于的方程，，是此方程的两个实数根，给出四个结论：①；②；③；④若且，则，则正确结论的序号是（     ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】利用一元二次方程的判别式判断根的情况，结合根与系数的关系逐个验证结论即可，用到完全平方公式变形等初中知识点． 【详解】解：①∵关于的方程，，是此方程的两个实数根， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根，即，①正确； ②∵关于的方程，，是此方程的两个实数根， ∴ ∵， ∴，②正确； ③∵，且 ，， ∴ ∵， ∴，③错误； ④原方程变形为， 由，可得， ∴，， ∴，④正确； 综上，正确结论是①②④． 18．（25-26八年级下·安徽合肥·期末）对于一元二次方程（），下列说法： ①若，则； ②若方程有两个不相等的实数根，则方程必有两个不相等的实数根； ③若c是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则； ⑤若方程有两个不相等的实数根，则方程也一定有两个不相等的实数根． 其中正确的个数有（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题根据一元二次方程根的定义，一元二次方程判别式与根的关系，逐个判断五个说法的正误，统计正确个数即可得到答案． 【详解】解：①若，则是方程的根，方程有实根，因此判别式，故①正确； ②若方程有两个不相等的实数根，则该方程判别式，即； 对于方程，其判别式， ，， 因此方程必有两个不相等的实数根，故②正确； ③若是方程的一个根，代入得，整理得； 当时，等式成立，但不一定等于，故③错误； ④若是方程的根，则，两边同乘得， 配方整理得，故④正确； ⑤若方程有两个不相等的实数根，则； 当时，方程变为，是一元一次方程，只有一个实数根，故⑤错误； 综上，正确的说法共个． 题型7一元二次方程中的新定义问题（共3小题） 19．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．以下关于倍根方程的说法：①方程是倍根方程；②若p，q满足，则关于x的方程是倍根方程；③若是倍根方程，则．其中正确的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查解一元二次方程，新定义的倍根方程的意义，理解倍根方程的意义和正确求出方程的解是解决问题的关键． ①求出方程的解，再判断是否为倍根方程； ②当p，q满足，则，求出两个根，再根据代入可得两个根之间的关系，进而判断是否为倍根方程； ③根据倍根方程和其中一个根，可求出另一个根，进而得到m、n之间的关系，然后代入验证即可判断． 【详解】解：①解方程 ， ∴或， 解得，，，得，， 方程不是倍根方程； 故①不正确； ②∵，则：， ，， ， 因此是倍根方程， 故②正确； ③若是倍根方程，， 因此或， 当时，， 当时，， ， 故③正确； 故选：C． 20．（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）关于x的一元二次方程新定义：若关于x的一元二次方程：与，称为“同族二次方程”．如与就是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程：与是“同族二次方程”．那么代数式取的最大值是（   ） A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 【答案】A 【分析】此题考查了配方法的应用以及一元二次方程的定义，利用“同族二次方程”定义列出关系式，再利用多项式相等的条件列出关于a与b的方程组，求出方程组的解得到a与b的值，进而利用非负数的性质确定出代数式的最大值即可． 【详解】解：与是“同族二次方程”， ， ，解得：， ， 代数式取的最大值是， 故选：A． 21．（25-26九年级上·陕西咸阳·阶段检测）新定义：关于的一元二次方程如果有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的一元二次方程为“倍根方程”．如方程是“倍根方程”．若关于的一元二次方程是“倍根方程”．则代数式的值为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了解一元二次方程以及分式的求值，能够正确解出一元二次方程是解题关键． 先解出一元二次方程，然后通过“倍根方程”的定义进行分类讨论即可． 【详解】解：， 解得：， ∵方程是“倍根方程”， ∴当时，， 此时； 当时，， 此时， 综上所述，代数式的值为或． 故选：C 题型8 二次函数图像与系数 a、b、c 符号判断（多结论选择）（共3小题） 22．（26-27九年级上·湖北襄阳·阶段检测）如图，抛物线与x轴交于点和B，与y轴交于点C．下列结论：①；②；③；④；其中正确的结论个数为（     ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】由抛物线开口方向得出，由对称轴的位置得出，由抛物线与轴交点的位置得出，即可判断①；由，即可判断②；由抛物线经过点，且开口向上，即可判断③；由，，即可判断④． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴， ∵抛物线与轴交于负半轴， ∴， ∵抛物线的对称轴大于且小于， ∴， ∴， ∴， ∴①错误； ∵，， ∴， ∴， ∴②错误； ∵抛物线经过点，且开口向上， ∴当时，， ∴当时，， ∴③正确； ∵抛物线经过点， ∴， 又∵， ∴，即， ∴④正确； 综上：正确的结论有2个． 23．（26-27九年级上·浙江温州·阶段检测）如图，抛物线与交于点，且分别与轴交于点，．过点作轴的平行线，分别交抛物线于点，． 则以下结论中正确的个数是（    ） ①无论取何值，总是负数；②；③四边形为正方形； ④当时，随着的增大，的值先增大后减小． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】先利用交点坐标求出的值确定解析式，再根据二次函数性质及坐标计算逐一判断四个结论． 【详解】解：把代入得， ， 解得， ． ①， ， ，故正确； ②令，得， 解得， ， ， 令，得， 解得， ， ， ，故②正确； ③令，得， ， ， 与互相垂直平分且， 四边形为正方形，故③正确； ④， ， 随的增大而减小，故④不正确． 综上所述，正确的结论有3个． 24．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，二次函数（，，为常数，）的图象与轴交于点，对称轴是直线，有以下结论：①；②若点和点都在抛物线上，则；③（为任意实数）④，其中正确的有（     ） A．①② B．③④ C．①③ D．②④ 【答案】B 【分析】根据二次函数图象的性质、二次函数图象与系数的关系以及与坐标轴的交点问题逐项分析判断即可． 【详解】解：由图可知，该抛物线的开口向下，与y轴正半轴交于一点，对称轴在y轴的左边， ∴，，， ∴， ∴，故①错误； ∵抛物线的对称轴为直线，且点和点都在抛物线上， 而，，， ∴，故②错误； 由图象知，当时，为最大值， 当时，， ∴对于任意实数m，都有， ∴，故③正确； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∵当时，， ∴，则，故④正确， 综上，正确的有③④，故选项B符合题意． 题型9 二次函数图象的共存问题（共3小题） 25．如图，在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）与一次函数y＝acx+b的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】B． 【分析】先由二次函数y＝ax2+bx+c的图象得到字母系数的正负，再与一次函数y＝acx+b的图象相比较看是否一致． 【详解】解：A、由抛物线可知，a＞0，b＜0，c＜0，则ac＜0，由直线可知，ac＞0，b＞0，故本选项不合题意； B、由抛物线可知，a＞0，b＞0，c＞0，则ac＞0，由直线可知，ac＞0，b＞0，故本选项符合题意； C、由抛物线可知，a＜0，b＞0，c＞0，则ac＜0，由直线可知，ac＜0，b＜0，故本选项不合题意； D、由抛物线可知，a＜0，b＜0，c＞0，则ac＜0，由直线可知，ac＞0，b＞0，故本选项不合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数和一次函数的图象，解题的关键是明确一次函数和二次函数性质． 26．一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图像如图所示，则二次函数的图像可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数和一次函数图像，二次函数的性质，观察图像可知：，，，得出二次函数的图像开口向上，对称轴，与y轴的交点在y轴的负半轴，即可得出答案． 【详解】解：观察图像可知：，，， ∴二次函数的图像开口向上，对称轴，与y轴的交点在y轴的负半轴， 故选：B． 27．一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图像如图所示，则二次函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数和一次函数图像，二次函数的性质，观察图像可知：，，，得出二次函数的图像开口向上，对称轴，与y轴的交点在y轴的负半轴，即可得出答案． 【详解】解：一次函数的图象过第一、二、四象限， ∴， ∴对称轴， ∴二次函数的图象开口向下，对称轴在y轴右侧， ∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴， ∴二次函数的图象与y轴交于负半轴． 满足上述条件的函数图象只有A选项， 故选：A. 题型10二次函数增减性与区间最值（共3小题） 28．（26-27九年级上·湖北武汉·阶段检测）已知当时，二次函数的最小值为，则的值为（     ） A．或 B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】由二次函数顶点纵坐标小于，可知给定区间不包含对称轴，分区间在对称轴左、右两侧两种情况讨论求解． 【详解】解：将配方得 ∵抛物线开口向上，顶点纵坐标为， ∴区间不包含对称轴， 分两种情况： ①当，即时，区间在对称轴左侧，随增大而减小， ∴当时，取最小值，代入得， 解得或， ∵， ∴ ②当，即时，区间在对称轴右侧，随增大而增大， ∴当时，取最小值，代入得， 解得或， ∵， ∴ 综上，的值为或． 29．（26-27九年级上·安徽铜陵·阶段检测）已知二次函数（n为常数），当时，函数值y的最大值与最小值之和为15，则n的值为________． 【答案】0 【分析】根据题意和二次函数的性质，在的范围内，当时函数值取得最小值，当时函数值取得最大值，根据函数值的最大值与最小值之和为15列方程，可以求得的值． 【详解】解：二次函数（n为常数）， 该函数的对称轴为直线，图象开口向上， 当时，函数值的最大值与最小值之和为15， 当时取得最小值，当时取得最大值， ， 解得或8， ， ． 30．（26-27九年级上·浙江绍兴·阶段检测）已知二次函数，当时，二次函数的最大值与最小值的差都是一个定值，则m能取到的最大值与最小值的和为_________． 【答案】7 【分析】先求出二次函数的对称轴和关键点函数值，根据最值差为定值确定的取值范围，再计算的最大值与最小值的和． 【详解】解：∵二次函数中， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， 当时，， 顶点在处，顶点纵坐标为， ∵抛物线关于对称，到对称轴的距离为， ∴与函数值相等的对称点横坐标为， 此时，和处函数值相等． ∵时，最大值与最小值的差为定值，说明最大值和最小值都不随改变， ∵开口向上，要使最小值固定，顶点必须在区间内，即，此时最小值恒为顶点纵坐标； 要使最大值固定，最大值不能超过处的函数值，即， 若，最大值变为处的函数值，随改变而改变，差不再是定值， ∴的取值范围是， ∴能取到的最小值为，最大值为，二者和为． 题型11 二次函数动点运动图象的判断（共3小题） 31．（26-27九年级上·福建厦门·阶段检测）已知有两个腰长分别为4和8的等腰直角三角形，按如图所示摆放在同一条直线上，使点A与点D重合，大直角三角形保持固定，把小直角三角形从左向右平移，直到完全移出大三角形后停止．设小直角三角形平移的距离为x，两个三角形的重叠部分面积为y，则y关于x的函数图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分和两种情况，分别确定重叠部分的形状，求出与的函数关系式，进而判断图象． 【详解】解：小等腰直角三角形的面积为． 当时，小三角形完全在大三角形内部，重叠部分面积等于小三角形面积，即； 当时，小三角形右侧移出大三角形，重叠部分为等腰直角三角形，其直角边长为，． 综上所述，关于的函数图象在时为水平线段，在时为开口向上的抛物线的一部分，且随增大减小，变化率逐渐变小． 即y关于x的函数图象大致是． 32．如图，点和点同时从正方形的顶点出发，点沿着运动，点沿着运动，速度都为，终点都是点．若，则的面积S（cm2）与运动时间之间的函数关系的大致图象是（    ） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了动点问题的函数图象．当时，；当时，，结合图形，即可求解． 【详解】解：当时，如图， ∴，， ∴，此时抛物线开口向上． 当时，如图， ∴，， ∵，四边形是正方形， ∴， ∴，， ∴， ∴ ，此时抛物线的开口向下． 综上，选项A符合题意， 故选：A． 33．如图，在矩形中，，动点由点出发，沿的路径匀速运动，过点作对角线的垂线，垂足为，设的面积为，则下列图象中，能表示与的函数关系的图象大致是（   ） A． B． C．D． 【答案】B 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，涉及矩形性质、含的直角三角形性质、三角形面积公式等知识，数形结合，分类讨论，准确得到与的函数关系式是解决问题的关键． 根据题意，分点在上和点在上，作出图形，运用含的直角三角形性质求出长度，由三角形面积公式表示出与的函数关系式，根据二次函数图象与性质分析即可得到答案． 【详解】解：当点在上时，如图所示： 在矩形中，，则， ， 在中，， 设的面积为， ， 则，， 是二次函数，图象为抛物线，开口向上，对称轴为轴，符合要求的是B选项中的图； 当点在上时，如图所示： 在矩形中，，则， 设的面积为， ， ， 在中，，，则， 则，， 是二次函数，图象为抛物线，开口向下，对称轴为，符合要求的是B选项中的图； 综上所述，能表示与的函数关系的图象大致是， ， 故选：B． 题型12 利用二次函数动点运动图象求值（共3小题） 34．如图①，是等腰三角形，是底边的中点，动点从点出发，沿边匀速运动，运动到点时停止．设点的运动路程为，的长为，与的函数图象如图②所示，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了函数与几何图形相结合的变换，勾股定理，合理从图中获取相关信息是解题的关键． 从图形变化中获取和的长，连接，利用勾股定理求出的长，再利用等面积法列式运算即可． 【详解】由题图①可知，当时，，此时点与点重合， ∴， ∵是底边的中点， ∴， ∵当时，此时点E与点C重合， ∴， ∴， 如图，连接AD，则， ∴， ∴， 由题图②可知，m为函数的最小值， ∴点到的距离为， ∴， ∴， 解得：， 故选：C． 35．（26-27九年级上·浙江宁波·阶段检测）如图，直线直线，垂足为点，点和点分别是直线和直线上两定点，点从点出发，以每秒个单位长度，沿直线水平向右运动，同时点从点出发，以每秒个单位长度，沿直线竖直向上运动，设运动时间为，面积为．如图，关于的函数图象与轴交于点，图象与轴只有一个交点，且经过和，点和点是关于抛物线的对称轴对称的两点，下列选项正确的是（     ） A．点坐标为 B．当时，或 C． D．点在该函数图象上 【答案】B 【分析】设， ，则，，得到关于的函数关系式，根据抛物线与轴只有一个交点得到和的关系，进而把代入抛物线解析式可得抛物线解析式，进而判断所给选项是否正确即可． 【详解】解：设，， ，， ， 图象与轴只有一个交点， ， ， 函数经过， ， 解得：（取正值）， ， 当时，， 点的坐标为，故A选项错误，不符合题意； 当时，， 解得： ， 当时，或， 故B选项正确，符合题意； 当时，， 点和点是关于抛物线的对称轴对称的两点， ， 故C选项错误，不符合题意； 当时，， 故D选项错误，不符合题意． 36．（2026·浙江温州·二模）如图1，在正方形中，是边上一点，动点从处出发沿向目的地运动，同时动点从处出发沿向目的地运动，它们同时到达终点．设为（单位：），的面积为（单位：），关于的函数图象如图2所示，当点在线段上运动时，该时段函数图象的最高点坐标为．下列选项错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先设正方形边长为，根据动点从到的路程为、动点从沿到的路程为且二者同时到达终点，得出的速度是的倍，即的运动路程为；再分三段讨论的运动位置：当在上运动时，写出的面积表达式，代入、求出的长度，即可判断选项；当在上运动时，写出对应的面积表达式，代入、和已求得的，求出正方形边长，即可判断选项B；当在上运动时，此时在线段上，写出面积的二次函数表达式并化为顶点式，得到顶点坐标即该时段函数图象的最高点，即可判断选项C和D． 【详解】解：设正方形边长为，则动点从到的路程为，动点从沿到的路程为， ∵二者同时到达终点， ∴点的速度是点的倍，即的运动路程为， 当在上运动（即）时，的纵坐标为， 的面积， 将，代入，得 ， 解得， ∴选项A正确，该选项不符合题意； 当在上运动（即）时，的纵坐标为， 的面积， 将，，代入，得 ， 解得，即正方形边长， ∴选项B正确，该选项不符合题意； 当在上运动（即）时，的纵坐标为， 此时在线段上，， 的面积， 这是开口向下的二次函数，顶点坐标为， ∴，， ∴选项C正确，该选项不符合题意； 选项D错误，该选项符合题意． 题型13抛物线与线段交点个数求参（共3小题） 37．（25-26九年级上·辽宁朝阳·阶段检测）抛物线与轴没有交点，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】若抛物线与轴无交点，则，然后列不等式求解即可． 【详解】解：∵抛物线与轴没有交点， ∴一元二次方程无实数根， ∴ ， 解得． 38．（26-27九年级上·浙江金华·阶段检测）已知二次函数，若的顶点坐标为、、，且此函数图象与只有两个交点，则的取值范围是_____． 【答案】或 【分析】先求出二次函数对称轴，得的顶点在对称轴上，、关于对称轴对称，分顶点在三角形内部和顶点在三角形下方两种情况讨论，计算得到的取值范围． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴对称轴为直线，顶点坐标为． ∵，，， ∴，关于直线对称，在直线上，在对称轴上的范围是． 二次函数开口向上，分情况讨论： 1. 当顶点在内部时，抛物线与、各有1个交点，共2个交点，满足条件． 此时满足， 解得， 解得， 即． 2. 当顶点在下方时，即，得． 若抛物线恰好过、两点，此时交点只有、两个，满足条件． 将代入解析式得：， 解得． 验证得时，抛物线与只有两个交点、，符合条件． 当时，抛物线与共4个交点，不符合；当时，抛物线与无交点，不符合． 综上，的取值范围是或． 39．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段检测）已知直线与抛物线． (1)若它们没有交点，则的取值范围是_______； (2)若当时它们有交点，则的取值范围是______． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次函数的性质以及直线与抛物线的位置关系，数形结合是解题的关键． （1）先将抛物线化为顶点式，确定其顶点坐标和开口方向，再结合直线与抛物线的位置关系来确定a的取值范围； （2）先求出抛物线在这个区间内的最大值和最小值，再根据直线与抛物线有交点的条件来确定a的取值范围． 【详解】（1）解：抛物线， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵， ∴抛物线开口向上， ∵直线与抛物线没有交点， ∴当时，直线在抛物线的下方，二者没有交点， ∴的取值范围是， 故答案为：． （2）解：由（1）知抛物线，顶点坐标为，且开口向上， 当时，y有最小值， 当时，， 当时，， ∵， ∴当时，，y有最大值1， ∵直线与抛物线，当时它们有交点， ∴a的取值范围是， 故答案为：． 题型14 二次函数与周长面积问题（共3小题） 40．已知抛物线具有如下性质：抛物线上任意一点到定点F（0，2）的距离与到x轴的距离相等，点M的坐标为（3，6），P是抛物线上一动点，则△PMF周长的最小值是（   ） A．5 B．9 C．11 D．13 【答案】C 【分析】如图所示过点P作PE⊥x轴于点E，由抛物线上任意一点到定点F（0，2）的距离与到x轴的距离相等，得到PE=PF，则△PMF的周长=FM+PM+PF，则要使△PMF周长最小，则PM+PF最小，即PM+PE最小，故当P、M、E三点共线时，PM+PE的值最小，最小为ME，由此求解即可． 【详解】解：如图所示过点P作PE⊥x轴于点E， ∵抛物线上任意一点到定点F（0，2）的距离与到x轴的距离相等， ∴PE=PF， ∴△PMF的周长=FM+PM+PF， ∴要使△PMF周长最小，则PM+PF最小，即PM+PE最小， ∴当P、M、E三点共线时，PM+PE的值最小，最小为ME， ∵M坐标为（3，6）， ∴ME=6， ∴PF+PM=6 ∵F（0，2）， ∴ ∴△PMF周长的最小值=ME+FM=6+5=11， 故选C． 【点睛】本题主要考查了二次函数的最短路径问题，两点距离公式，解题的关键在于能够准确读懂题意得到PE=PF． 41．如图，抛物线y=-x2+2x+1交x轴于A，B两点，交y轴于点C，点D为抛物线的顶点，点C关于抛物线的对称轴的对称点为点E，点G，F分别在x轴和y轴上，则四边形EDFG周长的最小值为______． 【答案】 【分析】根据抛物线解析式求得点D（1，2）、点E（2，1），作点D关于y轴的对称点D′（-1，2）、作点E关于x轴的对称点E′（2，-1），从而得四边形EDFG的周长=DE+DF+FG+GE=DE+D′F+FG+GE′，当点D′、F、G、E′四点共线时，周长最短，据此根据两点间的距离公式可得答案． 【详解】解：如图， 在y=-x2+2x+1中，当x=0时，y=1，即点C（0，1）， ∵y=-x2+2x+1=-（x-1）2+2， ∴对称轴为x=1，顶点D（1，2）， 则点C关于对称轴的对称点E的坐标为（2，1）， 作点D关于y轴的对称点D′（-1，2），作点E关于x轴的对称点E′（2，-1）， 连接D′、E′，D′E′与x轴的交点G、与y轴的交点F即为使四边形EDFG的周长最小的点， 四边形EDFG的周长=DE+DF+FG+GE =DE+D′F+FG+GE′ =DE+D′E′ =， ∴四边形EDFG的周长的最小值为：． 故答案是：． 【点睛】本题主要考查抛物线与x轴的交点、轴对称-最短路线问题，根据轴对称的性质得出点F、G的位置是解题的关键． 42．（26-27九年级上·安徽安庆·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线和相交于，两点，点为抛物线上，之间的动点，点为抛物线上，之间的动点（点，不与，重合），则四边形面积的最大值为（     ） A．18 B．16 C．12 D．10 【答案】B 【分析】过点作轴交于点，过点作轴交于点，利用割补法表示出的面积，再由求解即可． 【详解】解：过点作轴交于点，过点作轴交于点， 设直线，代入点，可得， 解得 ∴直线 设，则 ∴ ∵ ∴， ∴当时，取得最大值为， 设，则， ∴， 同理可求当时，取得最大值为， ∵， ∴当且仅当时，取得最大值为． 题型15 二次函数与角度问题（共3小题） 43．（2024·广东河源·一模）如图，抛物线交轴于点，，交轴于点，抛物线的对称轴交轴于点，交线段于点，点是抛物线上一点，且，则的长为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数，，是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．先利用待定系数法求出抛物线解析式为，直线的解析式为，则，再证明等腰直角三角形得到，所以，则利用轴可设，当时，，然后方程确定点坐标，从而得到的长． 【详解】解：设抛物线解析式为， 把代入得， 解得， 抛物线解析式为， 即， 设直线的解析式为， 把，分别代入得， 解得， 直线的解析式为， 抛物线的对称轴为直线， ， ， 等腰直角三角形， ， ， ， 轴， 设， 当时，， 解得，， 点坐标为，或，， ． 故选：D． 44．（24-25九年级上·福建福州·阶段检测）已知抛物线在轴上方的图象上存在一点，使得与轴的夹角为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的综合应用，解直角三角形，过点作轴，则：，进而得到，设，则：，得到，进而得到点在直线上，推出直线与有交点，进行求解即可． 【详解】解：过点作轴， ∴， ∴， 设，则：， ∴， ∴点在直线上， ∴直线与有交点， 联立：，得：， ∴， ∴， ∴， 当时，对于，对于， ∴， ∴； ∴； 故选D． 45．（25-26九年级上·浙江衢州·阶段检测）如图，抛物线与轴交于点，（点在点的右边），与轴交于点，点在抛物线上，则______，点在直线上，若，则点的坐标是______． 【答案】 或 【分析】先根据题意画出图形，先求出点坐标，当点在线段上时：是△DCE的外角，，而，所以此时，有，可求出所在直线的解析式，设点坐标，再根据两点距离公式，，得到关于的方程，求解的值，即可求出点坐标；当点在线段的延长线上时，根据题中条件，可以证明，得到为直角三角形，延长至，取，此时，，从而证明是要找的点，应为，为等腰直角三角形， 点和关于点对称，可以根据点坐标求出点坐标． 【详解】解：在中，当时，，则有， 令，则有， 解得：，， ∴，， 根据点坐标，有， 所以点坐标，    设所在直线解析式为，其过点、， 得， 解得， ∴所在直线的解析式为， 当点在线段上时，设， ， 而， ∴， ∴， 因为：，，， 有， 解得：，， 所以点的坐标为：， 当在的延长线上时， 在中，，，， ∴， ∴， 如图延长至，取，    则有为等腰三角形，， ∴， 又∵， ∴， 则为符合题意的点， ∵， ∴， 的横坐标：，纵坐标为； 综上点的坐标为：或， 故答案为：；或． 【点睛】本题考查了二次函数与一次函数综合应用，待定系数法求解析式，勾股定理，轴对称性质，等腰三角形的性质，两点间的距离等知识，熟练掌握一次函数与二次函数的图象和性质，分情况找到点的位置是解题的关键． 题型16 二次函数与特殊三角形问题（共3小题） 46．（2026九年级上·浙江·专题练习）在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于点A、B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，若为直角三角形，则m的值为（   ） A． B． C．0 D． 【答案】C 【分析】先化简抛物线解析式，求出A、B、C三点的坐标，判断直角位置，只有可能为直角，再利用勾股定理列方程求解，舍去不符合题意的解即可得到的值． 【详解】解：∵， 令，得，解得，， ∵点A在点B左侧，∴，，可得， 令，得， ∴，C不与A、B重合，故， 若为直角三角形，分情况讨论： 若， ∵在轴上， ∴轴，A的横坐标等于C的横坐标为0，即，得， 此时，C与A重合，舍去； 若，同理得，， 此时，C与B重合，舍去； 因此只有，由勾股定理得， 计算得，，， 代入等式得：， 解得或， 舍去不符合题意的，得． 47．（24-25九年级上·福建泉州·阶段检测）如图，在第一象限内作射线，与轴的夹角为，在射线上取一点，过点作轴于点，得到．在抛物线上取点，在轴上取点，使得以，O，为顶点的三角形与全等，则不符合条件的的面积是（   ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】由于两三角形的对应边不能确定，故应分四种情况进行讨论： ①当A、P重合，∠时，此时，可联立直线和抛物线的解析式，即可得A点坐标，由三角形的面积公式即可得出结论； ②，即直线，联立抛物线的解析式可得P点坐标，进而可求出的长，由于，那么、，由此得到点A的坐标，由三角形的面积公式即可得出结论； ③当时，此时，得到点A的坐标，由三角形的面积公式即可得出结论； ④当，此时，得到点A的坐标，由三角形的面积公式即可得出结论． 【详解】解：①如图1，当A、P重合，∠时，此时， ∵， ∴， 设，则，， ∴． 设直线， ∴， ∴， ∴直线，联立抛物线的解析式， ∴， 解得或 故， ∴； ②作轴于点Q，当∠时，此时； 同理可求直线，联立抛物线的解析式， 得，解得或， ∴ ∴； ③如图3，当时，此时； 同理可求直线，联立抛物线的解析式， 得，，解得或， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ④如图4，当，此时； 同理可求直线，联立抛物线的解析式， 得，解得或， ∴P， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上所述，的面积为：． 故选A． 【点睛】本题考查的是二次函数综合题，涉及到全等三角形的判定和性质以及函数图象交点坐标的求法，解题关键是一定要注意进行分类讨论． 48．如图，已知抛物线与x轴交于A和B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D点．若点M是抛物线上一点，点N在y轴上，连接，当是以为直角的等腰直角三角形时，点M的坐标为（　　） A． B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，过M点作于H点，如图，先确定，设，易得为等腰直角三角形，所以，则或，利用M点纵坐标的表示方法得到即或，然后分别解方程求出m，从而得到M点的坐标． 【详解】解：过M点作于H点，如图， 当时，， ∴， 设， ∴是以为直角的等腰直角三角形， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴或， 即或， 解方程得（舍去），，此时M点的坐标为； 解方程得（舍去），，此时M点的坐标为； 综上所述，M点的坐标为或． 故选：C． 题型17 二次函数与特殊四边形问题（共3小题） 49．（26-27九年级上·天津南开·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上运动，过点作轴于点，以为对角线作矩形，连接，则对角线的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】矩形对角线相等，把求的最小值转化成求抛物线上点到轴的最小距离即可． 【详解】解：四边形为矩形， ， ， 抛物线开口向上，顶点坐标为， 轴， 的最小值为， 的最小值为． 50．（2025·广东揭阳·三模）如图，抛物线：与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点．将抛物线绕点旋转，得到新的抛物线，它的顶点为，与轴的另一个交点为．若以，，，为顶点的四边形是矩形．则的值为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据，，，为顶点的四边形是矩形，得到；根据抛物线的对称性，得，于是等边三角形，根据，得到，计算解答即可． 【详解】解：连接， 根据，，，为顶点的四边形是矩形，得到； 根据抛物线的对称性，得， 故等边三角形， 故，， 又， 故， 又, 故， 故， ， 解得， 故选：C． 【点睛】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，抛物线的对称性，勾股定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 51．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴正半轴交于点，四边形为正方形，当抛物线的顶点在边上时，的值为_______． 【答案】 【分析】首先根据抛物线解析式求出点的坐标，利用抛物线的对称性求出的长，进而根据正方形的性质求出点的坐标及边所在直线的解析式，再求出抛物线的顶点坐标，根据顶点在边上建立关于的方程求解即可． 【详解】解：令，则， ∴， ∵抛物线与轴正半轴交于点， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴点与点关于直线对称， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∴点的纵坐标为，即边在直线上， ∵， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵抛物线的顶点在边上， ∴， 解得，（舍去）， ∴的值为． 题型18 反比例函数的图像与性质的运用（共3小题） 52．（26-27九年级上·重庆江北·阶段检测）在反比例函数中，若，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据反比例函数的性质求解即可． 【详解】解：∵反比例函数中，，， ∴反比例函数在内，y随x的增大而减小， ∵当时，，当时，， ∴． 53．已知反比例函数，当时，的最大值是4，则当时，有（    ） A．最小值 B．最小值 C．最大值 D．最大值 【答案】B 【分析】由函数经过第二象限，可确定k＜0，则在−2≤x≤−1上，y值随x值的增大而增大，即可确定函数的解析式为y＝−，由此可求解． 【详解】解：∵当−2≤x≤−1时，y的最大值是4， ∴反比例函数经过第二象限， ∴k＜0， ∴在−2≤x≤−1上，y值随x值的增大而增大， ∴当x＝−1时，y有最大值−k， ∵y的最大值是4， ∴−k＝4， ∴k＝−4， ∴y＝−， 当x≥2时，y＝−有最小值−2， 故选：B． 【点睛】本题考查反比例函数的图象及性质；熟练掌握反比例函数的图象及性质，通过所给条件确定k＜0是解题的关键． 54．（26-27九年级上·江苏扬州·阶段检测）设反比例函数（k为常数，）．已知当时，的最大值为，则当时，的最大值为（     ） A．3 B．2 C．1 D． 【答案】B 【分析】先根据已知区间的最大值判断的符号，求出的值，再结合反比例函数的增减性求目标区间的最大值． 【详解】解：∵当时，的最大值为， ∴， ∵反比例函数中时，每个象限内随的增大而减小， ∴在中，取最小值时，取得最大值， 将，代入，得， ∴反比例函数解析式为， ∵当时，，随的增大而减小， ∴取最小值3时，取得最大值，为． 题型19 反比例函数k的几何意义的综合应用（共3小题） 55．（2026·四川雅安·一模）如图，反比例函数在第一象限内的图象与矩形的两边相交于，两点，．若矩形的面积为，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用反比例函数图象上点的坐标特征，用表示出矩形的长和宽，结合矩形面积建立关于的方程求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∵四边形是矩形，点在轴上，点在轴上， ∴点的横坐标为，点的纵坐标为， ∵点，在反比例函数的图象上， ∴点的纵坐标为，点的横坐标为， ∴，， ∵矩形的面积为， ∴， ∴， ∵图象在第一象限， ∴， ∴． 56．（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，D为矩形（边分别在x，y轴的正半轴上）对角线上的点，且．经过点D的反比例函数的图象分别与相交于点E，F，连接．若的面积是12，则的面积为（     ） A．12 B．13 C． D． 【答案】D 【分析】设点A坐标为，点C坐标为，则点B坐标为，得到点D，E，F的坐标，然后求出和的长，然后根据三角形面积公式求出的值，再根据解答即可． 【详解】解：设点A坐标为，点C坐标为，则点B坐标为． ∵， ∴点D坐标可表示为， ∵点D在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数解析式为， ∵点E，F在反比例函数的图象上， ∴点F坐标为，点E的坐标为， ∴，， ∴， 解得， ∴ ． 57．（26-27九年级上·吉林长春·阶段检测）如图，点，是反比例函数图象上的点，点，分别在轴，轴正半轴上．若四边形为菱形，轴，，则等于（     ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】连接，过点B作轴于点E，由菱形的性质及面积可得，证得四边形为矩形，即可得出答案． 【详解】解：连接交于点，过点B作轴于点E， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴ ， ∴， ∵轴，轴，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴． 题型20反比例函数与几何的综合应用（共3小题） 58．（26-27九年级上·重庆九龙坡·阶段检测）如图，是等腰三角形，过原点，底边轴，双曲线过，两点，过点作轴交双曲线于点，若，则的值是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点A作于点E，设点，则点，根据是等腰三角形，可得，从而得到点C的坐标为，点D的纵坐标为，进而得到，再由，即可求解． 【详解】解：如图，过点A作于点E，设与y轴交于点F， 设点，则点， ∴，， ∵是等腰三角形， ∴， ∴． ∵底边轴， ∴点C的坐标为， ∵轴， ∴点D的横坐标为， ∴点D的纵坐标为， ∴， ∵， ∴， 解得：． 59．（26-27九年级上·安徽亳州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点，均在反比例函数的图象上，则的值为（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过作轴于点，过作于点，通过证明，得到，，根据点均在反比例函数的图象上，得到点，，代入，解得，代入即可得到答案． 【详解】解：过作轴于点，过作于点，则， 四边形是正方形， ，， ， ， 在与中， ， ， ，， 正方形的顶点，均在反比例函数的图象上， ， ， ， 解得（负值不合题意，已舍去）， ． 60．如图，在平面直角坐标系中，线段的端点A、B的坐标分别为、，动点C在双曲线上，且满足，当长度最小时，k的值为（     ） A．2 B．3 C．4.5 D．6 【答案】B 【分析】取的中点D，连接，求出点坐标，斜边上的中线求出的长，根据，得到当O，C，D三点共线时，取得最小值，求出的解析式，设点C坐标为，根据两点间距离公式列出方程求出点坐标，即可得出结果． 【详解】解：取的中点D，连接，如图所示： ∵线段的端点A、B的坐标分别为， ∴点D坐标为，， ∵， ∴， ∵， ∴当O，C，D三点共线时，取得最小值， 设直线的解析式为，代入点，得， 解得， ∴直线的解析式为， 设点C坐标为， ∴， 解得或（舍去）， ∴点C坐标为， 将C点坐标代入双曲线，得． 题型21 坐标与旋转规律问题（共3小题） 61．（24-25九年级下·湖北黄石·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，将边长为的正方形绕点O顺时针旋转后得到正方形，依此方式，绕点O连续旋转2025次得到正方形，那么点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方形和旋转的性质，图形的坐标变化规律，三角函数的计算．由正方形的性质可得点A的坐标为，再根据旋转的性质可得，据此可得每旋转8次，点A的对应点循环出现一次，即可求解，由旋转的性质得到图形的坐标变化规律是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是正方形，且边长为， ∴点A的坐标为， ∵， ∴每旋转8次，点A的对应点循环出现一次， ∵， ∴点的坐标与点的坐标相同， 由旋转知， ∴点的横、纵坐标均为，即， ∴点的坐标为， 故选B． 62．（26-27九年级上·四川·期中）雪花也称银粟，是天空中的水汽经凝华而来的固态降水，多呈六角形，是一种美丽的结晶．美术课要求绘制雪花，小华利用数学知识作出如下操作：建立如图所示的平面直角坐标系，绘制菱形，且顶点B的坐标为，点A在第一象限，，将菱形绕原点O沿顺时针方向旋转，每次旋转，旋转第一次得到四边形（点与点A重合），则旋转第次得到的点的坐标（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过作轴于H，连接，根据旋转性质得到每6次一个循环，旋转第次得到的点的坐标与的坐标相同．根据菱形的性质和含30度角的直角三角形的性质，结合勾股定理求得的坐标，根据对称性质可得与关于原点对称，进而求得的坐标即可． 【详解】解：过作轴于H，连接， ∵将菱形绕原点O沿顺时针方向旋转，每次旋转， ∴每6次一个循环， ∵， ∵四边形是菱形，B的坐标是，， ∴，， ∴， ∴， ∴的坐标为， 由题意得，与关于x轴对称，与B关于x轴对称，与关于原点对称， ∴的坐标为， ∴旋转第次得到的点的坐标为． 63．（26-27九年级上·全国·单元测试）如图，等腰的顶点在轴上，顶点在轴上，已知，，，且轴，将绕点顺时针旋转，每次旋转，第2026次旋转后，点的对应点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出点的坐标，再由旋转可知，每旋转四次，点对应点的坐标循环出现，据此可解决问题． 【详解】解：，， ，． 在中， ． ，且轴， 点的坐标为． ， 每旋转四次，点对应点的坐标循环出现． 余2， 点的坐标与点的坐标相同． 将绕点顺时针旋转，如图所示， 分别过点和点作轴的垂线，垂足分别为和， 由旋转可知， ，， ， ． 在和中， ， ， ，． ，， ，， ， 点的坐标为， 同理可得的坐标为 点的坐标为． 题型22 旋转性质的综合（共3小题） 64．（2026九年级·天津·专题练习）如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点B，C的对应点分别为的延长线与边相交于点，连接．若，则线段的长为（   ） A． B． C．4 D． 【答案】D 【分析】连接，交于点，先证出，根据全等三角形的性质可得，再证出垂直平分，则可得，，然后利用勾股定理和三角形的面积公式求出的长，由此即可得． 【详解】解：如图，连接，交于点， 由旋转的性质得：，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴，， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴． 65．（26-27八年级上·广东深圳·阶段检测）如图，在正方形中，点P是正方形内的一点，且，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将绕点顺时针旋转得到，利用旋转的性质、勾股定理及其逆定理求解． 【详解】解：将绕点顺时针旋转得到，连接， 由题意得，，， 由旋转性质可知， ∴，，，， 在中，，， 在中，，， ∴ ， ∴， ∴． 66．（26-27九年级上·辽宁辽阳·阶段检测）如图，在正方形中，若，则①；② ；③平分，平分；④．正确结论有(        )个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】利用旋转变换构造全等三角形，结合正方形性质和勾股定理逐一判断四个结论，将绕点逆时针旋转得到，证明，进而判断①②，对于③，由得，将绕点逆时针旋转得到，连接，证明得到，进而根据勾股定理，即可判断④． 【详解】解：对于①，如图， 将绕点逆时针旋转得到，则，，，， ， ,即三点共线， 在和中， ，故①正确 对于②，，故②正确 对于③，由得，即平分同理可证平分，故③正确 对于④，如图， 将绕点逆时针旋转得到，则，， 在和中， 在中， ，故④正确 综上所述，正确的结论有4个． 题型23 圆的性质的综合运用（共3小题） 67．如图，的半径为6cm，是弦，于点C，将劣弧沿弦折叠，交于点D，若D是的中点，则的长为 ．      【答案】 【分析】连接，延长交弧于，可证，从而可求，由，即可求解． 【详解】解：如图，连接，延长交弧于，    由折叠得：， 是的中点， ， ， ， ， ， 在中 ， ． 故答案：． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质，垂径定理，勾股定理，掌握相关的性质，构建出由弦、弦心距、半径组成的直角三角形是解题的关键． 68．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝AD，∠BCD＝120°，E、F分别为BC、CD上一点，∠EAF＝30°，EF＝3，DF＝1．则BE的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】延长CB到H，使BH=DF=1，连接AH，则可证得△ABH≌△ADF，从而AH=AF，∠BAH=∠DAF，易证△AHE≌△AFE，可得HE=EF=3，则可求得BE的长． 【详解】延长CB到H，使BH=DF=1，连接AH，如图 ∵四边形ABCD内接于⊙O ∴∠ABC+∠ADC=180゜ ∵∠ABH+∠ABC=180゜ ∴∠ABH=∠ADF 在△ABH和△ADF中 ∴△ABH≌△ADF ∴AH=AF，∠BAH=∠DAF ∵∠BAD+∠BCD=180゜，∠BCD=120゜ ∴∠BAD=180゜-∠BCD=60゜ ∵∠EAF=30゜ ∴∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=30゜ ∴∠EAH=∠BAE+∠BAH=30゜ 在△AHE和△AFE中 ∴△AHE≌△AFE ∴HE=EF=3 ∴BE=HE-BH=3-1=2 故选：B 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，全等三角形的判定与性质，构造辅助线得到全等三角形的问题的关键与难点． 69．（25-26九年级下·重庆·期中）如图，是等腰的外接圆，，．连接并延长交于点，的角平分线交于点，交于点，连接，则的长度为_____． 【答案】 【分析】先利用等腰三角形三线合一与勾股定理，求出外接圆半径与相关线段长度；再根据角平分线性质与圆周角定理，推导出弧相等，得到；最后利用三角形中位线定理求出，进而计算，再通过勾股定理求． 【详解】解：如图，设与交于点，连接交于，连接、， ∵，为的直径， ∴，．， 在中， ， 设的半径为，则，． 在中，即 解， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴，且为中点， ， ∵为中点，为中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴，， 在中， ． 题型24求圆中的最值（共3小题） 70．如图，已知的半径为6，C、D在直径的同侧半圆上，，，动点P在直径上，则的最小值是______． 【答案】 【分析】过点作的垂线，并延长交于点，连接，过点作于点，先求出，则当三点共线时，的值最小，最小值为的长，即的最小值为的长，再解直角三角形求出的长，最后根据等腰三角形的三线合一求解即可． 【详解】解：如图，过点作的垂线，并延长交于点，连接，过点作于点， ∵是的直径，弦， ∴垂直平分，， ∴， ∴， 由两点之间线段最短可知，当三点共线时，的值最小，最小值为的长，即的最小值为的长， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵的半径为6， ∴， ∴， ∴在中，， 又∵，， ∴， 即的最小值是． 【点睛】本题的难点在于综合利用垂径定理和两点之间线段最短确定最小值． 71．（2025九年级上·福建泉州·专题练习）正的边长为，的半径为，是上动点，点在上且，则的最大值为________________． 【答案】/ 【分析】本题考查了圆的基本概念、等边三角形的性质、勾股定理、三角形中位线定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 取的中点，连接、，根据题意得，根据等边三角形的性质得到，，，根据勾股定理求出的长，根据三角形中位线定理得到，再根据两点之间线段最短的性质即可求出的最大值． 【详解】解：如图，取的中点，连接、， ∵的半径为，是上动点， ∴， ∵正的边长为，点是的中点， ∴，，， ∴， ∵点是的中点，， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴的最大值为． 故答案为：． 72．如图，点A、B的坐标分别为A（2，0），B（0，2），点C为坐标平面内一点，BC＝1，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最小值为 ． 【答案】-． 【分析】先证点C在半径为1的⊙B上，可知，C在BD与圆B的交点时，OM最小，根据三角形的中位线定理可得结论． 【详解】解：∵A（2，0），B（0，2）， ∴OA=OB=2， ∵点C为坐标平面内一点，BC=1， ∴C在⊙B上，且半径为1， 如图，在x轴上取OD=OA=2，连接CD， ∵M为线段AC的中点，OD=OA， ∴OM是△ACD的中位线， ∴OM=CD， 当OM最小时，即CD最小，而D，B，C三点共线时， 当C在线段DB上时，OM最小， ∵OB=OD=2，∠BOD=90°， ∴BD=OB=2， ∴CD=2-1， ∴OM=CD=-， 即OM的最小值为-， 故答案为：-． 【点睛】本题考查了坐标和图形的性质，三角形的中位线定理等知识，确定OM为最小值时点C的位置是关键． 题型25 动点的运动轨迹长度（或面积）计算（共3小题） 73．如图，，分别是射线上的动点，的长始终为，点为的中点，则点的运动路径长为    【答案】 【分析】根据垂直的定义可知是直角三角形，再根据直角三角形的性质可知，最后利用弧长公式即可解答． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∵， ∴， ∴点的运动路径长为弧， ∴弧的长度：， 故答案为．      【点睛】本题考查了垂直的定义，直角三角形的性质，弧长公式，掌握直角三角形的性质是解题的关键． 74．（26-27九年级上·浙江宁波·阶段检测）如图，的半径为，点为平面上一定点，，点为上任意一点．连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段；当点沿着圆周转动时，点所经过的路径长为（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过旋转构造等腰直角三角形，结合平行四边形判定确定点C的轨迹圆半径及圆心角，然后再利用弧长公式求解即可． 【详解】解：如图：连接，作点D，使得为等腰直角三角形，，且D在的逆时针方向，将绕点O逆时针旋转得到， ∴， ∵将线段绕点逆时针旋转，得到线段， ∴， ∴， ∴ 四边形为平行四边形， ∴， ∴点C在以D为圆心，为半径的圆上运动， ∵点沿着圆周转动，即旋转， ∴旋转，即旋转， ∴点C转过的圆心角为， ∴点C经过的路径长为． 75．如图，半圆的直径，弦，弦在半圆上滑动，点从点开始滑动，到点与点重合时停止滑动，若是的中点，则在整个滑动过程中线段扫过的面积为___________．    【答案】 【分析】根据勾股定理的逆定理可得是直角三角形，进而得出，再根据旋转可得旋转的圆心角为，半径，根据扇形面积的计算方法进行计算即可。 【详解】解：连接，如下图：    ∵， ∴ ∴， 又∵点为的中点， ∴， 弦在半圆上滑动，点从点开始滑动，到点与点重合时停止滑动，就绕着点逆时针旋转，扫过的部分为下图中的阴影部分，    由题意可得：， ∴，， 又∵， ∴， ∴ 扫过的部分的面积就是， 故答案为： 【点睛】本题考查勾股定理及逆定理，扇形面积的计算，掌握扇形面积的计算方法以及勾股定理的逆定理是正确解答的前提． 题型26 正多边形与圆的综合应用（共3小题） 76．已知四个正六边形如图摆放在图中，顶点A，B，C，D，E，F在圆上．若两个大正六边形的边长均为2，则小正六边形的边长是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】在边长为2的大正六边形中，根据正六边形和圆的性质可求出ON和半径OD，进而得出小正六边形MF的长，再根据正六边形的性质求出半径GF，即边长FH即可． 【详解】解：如图，连接AD交PM于O，则点O是圆心，过点O作ON⊥DE于N，连接MF，取MF的中点G，连接GH，GQ， 由对称性可知，OM＝OP＝EN＝DN＝1， 由正六边形的性质可得ON＝2， ∴ODOF， ∴MF1， 由正六边形的性质可知，△GFH、△GHQ、△GQM都是正三角形， ∴FHMF， 故选：D． 【点睛】本题考查正多边形和圆，掌握正六边形和圆的性质是解决问题的关键． 77．如图，正方形ABCD和正△AEF都内接于⊙O，EF与BC、CD分别相交于点G、H，则的值是（ ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】设的半径是，则，根据是的平分线，求出，进而得出，再根据相似比求出，从而得到的值． 【详解】解：连接、、，如图所示： 设的半径是，则， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，即的值是， 故选：C． 【点睛】本题考查正多边形与圆的关系．解答本题的关键是熟练掌握正多边形的有关概念，并准确运用他们求线段长． 78．如图，是正八边形的外接圆，的半径是1，则下列四个结论中正确的是 ． ①的长为；②；③为等边三角形；④． 【答案】①②④ 【分析】先求出正八边形的中心角，得到，即可求出弧的长①正确错误；由勾股定理求得可得②正确；由，可得③错误；由于，可得，于是得到④正确． 【详解】解：， ， 弧的长为， ①正确； ，， ， ， 即， ②正确； ， ③错误； ， ， ， ， ④正确； 故答案为：①②④． 【点睛】本题主要考查了正多边形和圆，勾股定理，三角形的面积公式，熟练掌握正多边形的中心角和边数的关系是解决问题的关键． 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12 选择填空压轴题能力强化集训26大题型 题型1 换元法解一元二次方程 题型14 二次函数与周长、面积问题 题型2 配方法的应用 题型15 二次函数与角度问题 题型3利用一元二次方程求最值 题型16 二次函数与特殊三角形问题 题型4 利用一元二次方程的根求取值范围 题型17 二次函数与特殊四边形问题 题型5利用根与系数的关系降次求值 题型18 反比例函数的图像与性质的运用 题型6 根的判别式与根与系数关系的综合应用 题型19 反比例函数k的几何意义的综合应用 题型7一元二次方程中的新定义问题 题型20反比例函数与几何的综合应用 题型8 二次函数图像与系数 a、b、c 符号判断（多结论选择） 题型21 坐标与旋转规律问题 题型9 二次函数图象的共存问题 题型22 旋转性质的综合 题型10二次函数增减性与区间最值 题型23 圆的性质的综合运用 题型11 二次函数动点运动图象的判断 题型24求圆中的最值 题型12 利用二次函数动点运动图象求值 题型25 动点的运动轨迹长度（或面积）计算 题型13抛物线与线段交点个数求参 题型26 正多边形与圆的综合应用 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 换元法解一元二次方程（共3小题） 1．（25-26九年级上·四川攀枝花·期末）已知关于的方程（a、b、c均为常数，且）的解是，，那么方程的解是（　　） A． B． C． D．，方程无实数解 2．（25-26九年级上·山东枣庄·阶段检测）已知实数满足，则的值为（   ） A．或1 B．或6 C．6 D．1 3．（2025·江苏连云港·模拟预测）设，是一个直角三角形两条直角边的长，且，则这个直角三角形的斜边为________． 题型2 配方法的应用（共3小题） 4．（26-27九年级上·安徽安庆·阶段检测）已知实数，，满足，且，那么，，中最大的数为（    ） A． B． C． D．不能确定 5．已知a，b，c是不等边△ABC的三边长，满足a2＋b2＝6a＋8b－25，则最长边c的范围（     ） A．1＜c＜7 B．4≤c＜7 C．4＜c＜7 D．1＜c≤4 6．若a，b，c满足，则 ； 题型3利用一元二次方程求最值（共3小题） 7．已知实数x，y满足，则x+y的最大值为 ． 8．设实数满足，则的最大值为 . 9．（26-27九年级上·福建厦门·阶段检测）已知，，，，则的最小值是（     ） A．76 B．11 C．0 D． 题型4 利用一元二次方程的根求取值范围（共3小题） 10．定义新运算：，例如：．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 11．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）关于的一元二次方程有两个正实数根，则的取值范围为（   ） A．且 B． C． D． 12．设关于x的方程在范围内有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型5利用根与系数的关系降次求值（共3小题） 13．已知和是方程的两个根，则的值为（    ） A． B．2021 C． D．2023 14．已知，是方程的两根，则代数式的值是（    ） A． B． C． D． 15．已知是方程的一个根，则 ． 题型6 根的判别式与根与系数关系的综合应用（共3小题） 16．（2026·四川宜宾·二模）已知、是关于的方程的两个实数根，若，则等于（    ） A． B． C．或 D．或 17．已知关于的方程，，是此方程的两个实数根，给出四个结论：①；②；③；④若且，则，则正确结论的序号是（     ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 18．（25-26八年级下·安徽合肥·期末）对于一元二次方程（），下列说法： ①若，则； ②若方程有两个不相等的实数根，则方程必有两个不相等的实数根； ③若c是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则； ⑤若方程有两个不相等的实数根，则方程也一定有两个不相等的实数根． 其中正确的个数有（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 题型7一元二次方程中的新定义问题（共3小题） 19．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．以下关于倍根方程的说法：①方程是倍根方程；②若p，q满足，则关于x的方程是倍根方程；③若是倍根方程，则．其中正确的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 20．（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）关于x的一元二次方程新定义：若关于x的一元二次方程：与，称为“同族二次方程”．如与就是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程：与是“同族二次方程”．那么代数式取的最大值是（   ） A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 21．（25-26九年级上·陕西咸阳·阶段检测）新定义：关于的一元二次方程如果有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的一元二次方程为“倍根方程”．如方程是“倍根方程”．若关于的一元二次方程是“倍根方程”．则代数式的值为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 题型8 二次函数图像与系数 a、b、c 符号判断（多结论选择）（共3小题） 22．（26-27九年级上·湖北襄阳·阶段检测）如图，抛物线与x轴交于点和B，与y轴交于点C．下列结论：①；②；③；④；其中正确的结论个数为（     ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 23．（26-27九年级上·浙江温州·阶段检测）如图，抛物线与交于点，且分别与轴交于点，．过点作轴的平行线，分别交抛物线于点，． 则以下结论中正确的个数是（    ） ①无论取何值，总是负数；②；③四边形为正方形； ④当时，随着的增大，的值先增大后减小． A．1 B．2 C．3 D．4 24．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，二次函数（，，为常数，）的图象与轴交于点，对称轴是直线，有以下结论：①；②若点和点都在抛物线上，则；③（为任意实数）④，其中正确的有（     ） A．①② B．③④ C．①③ D．②④ 题型9 二次函数图象的共存问题（共3小题） 25．如图，在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）与一次函数y＝acx+b的图象可能是（　　） A． B． C． D． 26．一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图像如图所示，则二次函数的图像可能是（    ） A． B． C． D． 27．一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图像如图所示，则二次函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 题型10二次函数增减性与区间最值（共3小题） 28．（26-27九年级上·湖北武汉·阶段检测）已知当时，二次函数的最小值为，则的值为（     ） A．或 B． C．或 D．或 29．（26-27九年级上·安徽铜陵·阶段检测）已知二次函数（n为常数），当时，函数值y的最大值与最小值之和为15，则n的值为________． 30．（26-27九年级上·浙江绍兴·阶段检测）已知二次函数，当时，二次函数的最大值与最小值的差都是一个定值，则m能取到的最大值与最小值的和为_________． 题型11 二次函数动点运动图象的判断（共3小题） 31．（26-27九年级上·福建厦门·阶段检测）已知有两个腰长分别为4和8的等腰直角三角形，按如图所示摆放在同一条直线上，使点A与点D重合，大直角三角形保持固定，把小直角三角形从左向右平移，直到完全移出大三角形后停止．设小直角三角形平移的距离为x，两个三角形的重叠部分面积为y，则y关于x的函数图象大致是（    ） A． B． C． D． 32．如图，点和点同时从正方形的顶点出发，点沿着运动，点沿着运动，速度都为，终点都是点．若，则的面积S（cm2）与运动时间之间的函数关系的大致图象是（    ） A．B．C． D． 33．如图，在矩形中，，动点由点出发，沿的路径匀速运动，过点作对角线的垂线，垂足为，设的面积为，则下列图象中，能表示与的函数关系的图象大致是（   ） A． B． C．D． 题型12 利用二次函数动点运动图象求值（共3小题） 34．如图①，是等腰三角形，是底边的中点，动点从点出发，沿边匀速运动，运动到点时停止．设点的运动路程为，的长为，与的函数图象如图②所示，则的值为（    ） A． B． C． D． 35．（26-27九年级上·浙江宁波·阶段检测）如图，直线直线，垂足为点，点和点分别是直线和直线上两定点，点从点出发，以每秒个单位长度，沿直线水平向右运动，同时点从点出发，以每秒个单位长度，沿直线竖直向上运动，设运动时间为，面积为．如图，关于的函数图象与轴交于点，图象与轴只有一个交点，且经过和，点和点是关于抛物线的对称轴对称的两点，下列选项正确的是（     ） A．点坐标为 B．当时，或 C． D．点在该函数图象上 36．（2026·浙江温州·二模）如图1，在正方形中，是边上一点，动点从处出发沿向目的地运动，同时动点从处出发沿向目的地运动，它们同时到达终点．设为（单位：），的面积为（单位：），关于的函数图象如图2所示，当点在线段上运动时，该时段函数图象的最高点坐标为．下列选项错误的是（     ） A． B． C． D． 题型13抛物线与线段交点个数求参（共3小题） 37．（25-26九年级上·辽宁朝阳·阶段检测）抛物线与轴没有交点，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 38．（26-27九年级上·浙江金华·阶段检测）已知二次函数，若的顶点坐标为、、，且此函数图象与只有两个交点，则的取值范围是_____． 39．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段检测）已知直线与抛物线． (1)若它们没有交点，则的取值范围是_______； (2)若当时它们有交点，则的取值范围是______． 题型14 二次函数与周长面积问题（共3小题） 40．已知抛物线具有如下性质：抛物线上任意一点到定点F（0，2）的距离与到x轴的距离相等，点M的坐标为（3，6），P是抛物线上一动点，则△PMF周长的最小值是（   ） A．5 B．9 C．11 D．13 41．如图，抛物线y=-x2+2x+1交x轴于A，B两点，交y轴于点C，点D为抛物线的顶点，点C关于抛物线的对称轴的对称点为点E，点G，F分别在x轴和y轴上，则四边形EDFG周长的最小值为______． 42．（26-27九年级上·安徽安庆·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线和相交于，两点，点为抛物线上，之间的动点，点为抛物线上，之间的动点（点，不与，重合），则四边形面积的最大值为（     ） A．18 B．16 C．12 D．10 题型15 二次函数与角度问题（共3小题） 43．（2024·广东河源·一模）如图，抛物线交轴于点，，交轴于点，抛物线的对称轴交轴于点，交线段于点，点是抛物线上一点，且，则的长为（    ） A． B． C．或 D． 44．（24-25九年级上·福建福州·阶段检测）已知抛物线在轴上方的图象上存在一点，使得与轴的夹角为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 45．（25-26九年级上·浙江衢州·阶段检测）如图，抛物线与轴交于点，（点在点的右边），与轴交于点，点在抛物线上，则______，点在直线上，若，则点的坐标是______． 题型16 二次函数与特殊三角形问题（共3小题） 46．（2026九年级上·浙江·专题练习）在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于点A、B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，若为直角三角形，则m的值为（   ） A． B． C．0 D． 47．（24-25九年级上·福建泉州·阶段检测）如图，在第一象限内作射线，与轴的夹角为，在射线上取一点，过点作轴于点，得到．在抛物线上取点，在轴上取点，使得以，O，为顶点的三角形与全等，则不符合条件的的面积是（   ） A． B． C．或 D． 48．如图，已知抛物线与x轴交于A和B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D点．若点M是抛物线上一点，点N在y轴上，连接，当是以为直角的等腰直角三角形时，点M的坐标为（　　） A． B．或 C．或 D．或 题型17 二次函数与特殊四边形问题（共3小题） 49．（26-27九年级上·天津南开·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上运动，过点作轴于点，以为对角线作矩形，连接，则对角线的最小值为（     ） A． B． C． D． 50．（2025·广东揭阳·三模）如图，抛物线：与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点．将抛物线绕点旋转，得到新的抛物线，它的顶点为，与轴的另一个交点为．若以，，，为顶点的四边形是矩形．则的值为（   ） A．2 B． C． D． 51．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴正半轴交于点，四边形为正方形，当抛物线的顶点在边上时，的值为_______． 题型18 反比例函数的图像与性质的运用（共3小题） 52．（26-27九年级上·重庆江北·阶段检测）在反比例函数中，若，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 53．已知反比例函数，当时，的最大值是4，则当时，有（    ） A．最小值 B．最小值 C．最大值 D．最大值 54．（26-27九年级上·江苏扬州·阶段检测）设反比例函数（k为常数，）．已知当时，的最大值为，则当时，的最大值为（     ） A．3 B．2 C．1 D． 题型19 反比例函数k的几何意义的综合应用（共3小题） 55．（2026·四川雅安·一模）如图，反比例函数在第一象限内的图象与矩形的两边相交于，两点，．若矩形的面积为，则的值是（     ） A． B． C． D． 56．（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，D为矩形（边分别在x，y轴的正半轴上）对角线上的点，且．经过点D的反比例函数的图象分别与相交于点E，F，连接．若的面积是12，则的面积为（     ） A．12 B．13 C． D． 57．（26-27九年级上·吉林长春·阶段检测）如图，点，是反比例函数图象上的点，点，分别在轴，轴正半轴上．若四边形为菱形，轴，，则等于（     ） A．4 B．6 C．8 D．10 题型20反比例函数与几何的综合应用（共3小题） 58．（26-27九年级上·重庆九龙坡·阶段检测）如图，是等腰三角形，过原点，底边轴，双曲线过，两点，过点作轴交双曲线于点，若，则的值是（） A． B． C． D． 59．（26-27九年级上·安徽亳州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点，均在反比例函数的图象上，则的值为（     ）． A． B． C． D． 60．如图，在平面直角坐标系中，线段的端点A、B的坐标分别为、，动点C在双曲线上，且满足，当长度最小时，k的值为（     ） A．2 B．3 C．4.5 D．6 题型21 坐标与旋转规律问题（共3小题） 61．（24-25九年级下·湖北黄石·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，将边长为的正方形绕点O顺时针旋转后得到正方形，依此方式，绕点O连续旋转2025次得到正方形，那么点的坐标是（    ） A． B． C． D． 62．（26-27九年级上·四川·期中）雪花也称银粟，是天空中的水汽经凝华而来的固态降水，多呈六角形，是一种美丽的结晶．美术课要求绘制雪花，小华利用数学知识作出如下操作：建立如图所示的平面直角坐标系，绘制菱形，且顶点B的坐标为，点A在第一象限，，将菱形绕原点O沿顺时针方向旋转，每次旋转，旋转第一次得到四边形（点与点A重合），则旋转第次得到的点的坐标（     ） A． B． C． D． 63．（26-27九年级上·全国·单元测试）如图，等腰的顶点在轴上，顶点在轴上，已知，，，且轴，将绕点顺时针旋转，每次旋转，第2026次旋转后，点的对应点的坐标是（     ） A． B． C． D． 题型22 旋转性质的综合（共3小题） 64．（2026九年级·天津·专题练习）如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点B，C的对应点分别为的延长线与边相交于点，连接．若，则线段的长为（   ） A． B． C．4 D． 65．（26-27八年级上·广东深圳·阶段检测）如图，在正方形中，点P是正方形内的一点，且，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 66．（26-27九年级上·辽宁辽阳·阶段检测）如图，在正方形中，若，则①；② ；③平分，平分；④．正确结论有(        )个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型23 圆的性质的综合运用（共3小题） 67．如图，的半径为6cm，是弦，于点C，将劣弧沿弦折叠，交于点D，若D是的中点，则的长为 ．      68．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝AD，∠BCD＝120°，E、F分别为BC、CD上一点，∠EAF＝30°，EF＝3，DF＝1．则BE的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 69．（25-26九年级下·重庆·期中）如图，是等腰的外接圆，，．连接并延长交于点，的角平分线交于点，交于点，连接，则的长度为_____． 题型24求圆中的最值（共3小题） 70．如图，已知的半径为6，C、D在直径的同侧半圆上，，，动点P在直径上，则的最小值是______． 71．（2025九年级上·福建泉州·专题练习）正的边长为，的半径为，是上动点，点在上且，则的最大值为________________． 72．如图，点A、B的坐标分别为A（2，0），B（0，2），点C为坐标平面内一点，BC＝1，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最小值为 ． 题型25 动点的运动轨迹长度（或面积）计算（共3小题） 73．如图，，分别是射线上的动点，的长始终为，点为的中点，则点的运动路径长为    74．（26-27九年级上·浙江宁波·阶段检测）如图，的半径为，点为平面上一定点，，点为上任意一点．连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段；当点沿着圆周转动时，点所经过的路径长为（     ）． A． B． C． D． 75．如图，半圆的直径，弦，弦在半圆上滑动，点从点开始滑动，到点与点重合时停止滑动，若是的中点，则在整个滑动过程中线段扫过的面积为___________．    题型26 正多边形与圆的综合应用（共3小题） 76．已知四个正六边形如图摆放在图中，顶点A，B，C，D，E，F在圆上．若两个大正六边形的边长均为2，则小正六边形的边长是（    ） A． B． C． D． 77．如图，正方形ABCD和正△AEF都内接于⊙O，EF与BC、CD分别相交于点G、H，则的值是（ ） A． B． C． D．2 78．如图，是正八边形的外接圆，的半径是1，则下列四个结论中正确的是 ． ①的长为；②；③为等边三角形；④． 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $