精品解析：河南省信阳市浉河中学2025-2026学年八年级上学期12月检测数学试卷

八年级数学答案 一．选择题（每小题3分，共30分） 1. 对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑、器物、绘画、标识等作品的设计上，使对称之美惊艳了千年的时光．下列四个图案中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的定义，如果沿某一条直线对折，左右两边能完全重合，则这个图形就是轴对称图形． 根据轴对称图形的定义即可解答． 【详解】解：根据轴对称图形的定义可得：选项A、C、D是轴对称图形，选项B不是轴对称图形． 故选B． 2. 要使分式有意义，则x的取值应满足（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据分式的分母不为0即可求解． 【详解】依题意得：， ∴， 故选：C． 【点睛】此题主要考查分式的有意义的条件，解题的关键是熟知分母不为零． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，合并同类项，解题的关键是熟整式的运算法则． 【详解】解：A、 不是同类项，不能合并，故不正确； B、，原计算不正确； C、，原计算正确； D、，原计算不正确； 故选C． 4. 尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线，下列作图中正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据过直线外一点向直线作垂线即可． 【详解】已知：直线AB和AB外一点C． 求作：AB的垂线，使它经过点C． 作法：（1）任意取一点K，使K和C在AB的两旁． （2）以C为圆心，CK的长为半径作弧，交AB于点D和E． （3）分别以D和E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧交于点F， （4）作直线CF． 直线CF就是所求的垂线． 故选B． 【点睛】此题主要考查了过一点作直线的垂线，熟练掌握基本作图方法是解决问题的关键． 5. 点的坐标是，则点关于轴的对称点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了关于轴、轴对称的点的坐标规律，关键是熟练掌握点的变化规律． 关于轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．关于轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变． 【详解】∵点的坐标为， ∴点的横坐标为，纵坐标为， 即的坐标为． 故选：A． 6. 已知一个等腰三角形的一边长等于3cm，一边长等于7cm，那么它的周长为（　　） A. 13cm B. 17cm C. 13cm或17cm D. 18cm 【答案】B 【解析】 【分析】等腰三角形有两条边长为3cm和7cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形． 【详解】解：分两种情况： 当腰为3时，3+3＜7，所以不能构成三角形； 当腰为7时，3+7＞7，所以能构成三角形，周长是：3+7+7＝17． 故选B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；解题时注意：没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这是解题的关键． 7. 如图，在和中，点B、D、C在同一直线上，已知，，添加以下条件后，仍不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，全等三角形的判定方法（即、、、和）是解题的关键．注意：、不能判定两个三角形全等．判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角相等时，角必须是两边的夹角．根据全等三角形的判定方法逐一判断即可． 【详解】解：∵，， A、添加，利用能判定，故该选项不符合题意； B、添加，则，利用能判定，故该选项不符合题意； C、添加，利用能判定，故该选项不符合题意； D、添加，利用不能判定，故该选项符合题意； 故选：D． 8. 如图，△ABC的面积为8cm2，AP垂直∠B的平分线BP于P，则△PBC的面积为（ ） A. 3cm2 B. 4cm2 C. 5cm2 D. 6cm2 【答案】B 【解析】 【分析】延长AP交BC于E，根据AP垂直∠B的平分线BP于P，即可求出△ABP≌△BEP，又知△APC和△CPE等底同高，可以证明两三角形面积相等，即可证明三角形PBC的面积． 【详解】延长AP交BC于E， ∵AP垂直∠B的平分线BP于P， ∠ABP=∠EBP， 又知BP=BP，∠APB=∠BPE=90°， ∴△ABP≌△BEP， ∴S△ABP=S△BEP，AP=PE， ∴△APC和△CPE等底同高， ∴S△APC=S△PCE， ∴S△PBC=S△PBE+S△PCE=S△ABC=4cm2， 故选B． 【点睛】本题主要考查面积及等积变换的知识点．证明出三角形PBC的面积和原三角形的面积之间的数量关系是解题的难点． 9. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，（），且，则点C的横坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查坐标与图形，全等三角形的判定和性质，掌握“一线三等角”模型证明三角形全等是解题的关键． 根据题意，分别作轴，轴，根据“一线三等角”模型证明，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作轴于点，过点作轴于点， ∵，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在，中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵点在轴的负半轴上， ∴点的横坐标为， 故选：． 10. 如图，在中，，点为线段上一动点（不与点，重合），连接，作，交线段于点，下列结论：①；②若，则；③当时，则为中点；④当为等腰三角形时，；其中正确的有（ ） A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和．通过等腰三角形的性质得到，利用角度的转换即可得到，故①正确；当时，可证明，即可得到，故②正确；当时，可得，利用等腰三角形三线合一的性质可得D为中点，故③正确；根据三角形外角的性质，可得，则可得到或，即可求出的度数为或，故可得④不正确． 【详解】解：∵， ， ，， ，故①正确； 若， 由①得， ， ，故②正确； 若，则可得， ∵， D为中点，故③正确； 根据三角形外角的性质，可得， 故， 当时， ； 当， ，故④不正确， 所以正确的为①②③． 故选：A． 二．填空题（每小题3分，共15分） 11. 分解因式：＝__________. 【答案】x(x-1) 【解析】 【分析】确定公因式是x，然后提取公因式即可． 【详解】解：=x（x-1）． 故答案为：x(x-1). 12. 若，，则的值为________． 【答案】54 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法和幂的乘方逆运算计算即可； 【详解】∵，， ∴； 故答案是54． 【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法和幂的乘方，准确计算是解题的关键． 13. 定义一种新运算：，若，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题中所给新定义运算可分类进行求解． 【详解】解：由题意可知：当时，则， 解得：， 经检验当时，， ∴是原方程的解； 当时，则， 解得：， 经检验当时，， ∵， ∴不是原方程的解； 故答案为． 【点睛】本题主要考查分式方程的解法，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键． 14. 如图，已知的三条内角平分线相交于点I， 三边的垂直平分线相交点O，若， 则_________ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了线段的垂直平分线性质和角平分线性质，熟练进行逻辑推理是解题关键．连接，根据点O为各边中垂线的交点，可得，再根据的三条内角平分线相交于点I，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵点O为各边中垂线的交点， ， ，，， 又， ， ， 的三条内角平分线相交于点I， ， 故答案为：． 15. △ABC中，∠ACB＝60°，AC＝4，BC＝13，以AB为边作等边△ABD，过D作DE⊥BC于E，则BE的长为____． 【答案】2.5或8.5 【解析】 【分析】作辅助线，构建全等三角形，如图1，证明△ABC≌△DAG，则∠HGC=∠C=60°，DG=AC=4，再证明△GHC是等边三角形，计算DH=13，BH=4；在Rt△DHE中，∠HDE=30°， 根据直角三角形30°角的性质求 ，从而得EC的长；延长AC至G，使AG=BC=13，连接GD，CD，设AD，BC交于F，根据等边三角形的性质得到AD=BD，∠ABD=∠C=60°，根据全等三角形的性质得到∠ADG=∠BDC，DG=CC，推出△CDG是等边三角形，根据直角三角形的性质即可得到答案． 【详解】解：如图1，延长CA至G，使AG=BC=13，连接GD并延长，交CB的延长线于H， ∵△ADB是等边三角形， ∴AD=AB，∠DAB=60°， ∴∠DAG+∠BAC=120°， ∵∠C=60°， ∴∠ABC+∠BAC=120°， ∴∠DAG=∠ABC， 在△ABC和△DAG中， ∵BC=AG，∠ABC=∠DAC，AB=AD ∴△ABC≌△DAG（SAS）， ∴∠HGC=∠C=60°，DG=AC=4， ∴△GHC是等边三角形， ∴GH=GC=HC=13+4=17，∠DHC=60°， ∴DH=13，BH=4， ∵DE⊥BC， ∴∠DEH=90°， 在Rt△DHE中，∠HDE=30°， ∴ ， ∴BE=EH-BH=6.5-4=2.5； 如图2，延长AC至G，使AG=BC=13，连接GD，CD，设AD，BC交于F， ∵△ADB是等边三角形， ∴AD=BD，∠ABD=∠C=60°， ∵∠AFC=∠BFD， ∴∠CAD=∠CBD， 在△ADG和△BDC中， ∵AD=BD，∠DAG=∠DBC，AG=BC， ∴△ADG≌△BDC（SAS）， ∴∠ADG=∠BDC，DG=CC， ∴∠BDC-∠ADC=∠ADG-∠ADC，即∠ADB=∠CDG=60°， ∴△CDG是等边三角形， ∴∠DCG=60°， ∴∠BCD=60°， ∵DE⊥BC， ∴∠DEC=90°， ∴∠EDC=30°， ∵CD=CG=AG-AC=BC-AC=9 ∴ ， ∴BE=BC-CE=8.5， 综上所述，BE的长为2.5或8.5． 故答案为：2.5或8.5 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定、直角三角形30°角的性质、等边三角形的性质和判定，作辅助线构建两三角形全等是本题的关键，证明△GHC是等边三角形是突破口． 三．解答题（共8小题，共75分） 16. 计算： （1）． （2）先化简，再求值：，其中x，y满足． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题考查整式的混合运算与化简求值，涉及知识点：幂的运算、整式的乘除、平方差公式、绝对值与偶次幂的非负性．解题方法是先按运算法则化简整式，再利用非负性求字母值代入计算；解题关键是准确应用幂的法则与公式，易错点是符号处理或公式展开错误． （1）先算幂的乘方，再依次进行乘除、乘法分配律运算，最后合并； （2）先利用公式化简括号内的式子，再结合非负性求，代入求值． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ， ∵，，， ∴，， ∴，， ∴原式． 17. 化简： ，并在，0，2中选择一个合适的a值代入求值． 【答案】，1 【解析】 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值． 【详解】解：原式•• ， 当或2时，原式没有意义； 当时，原式1． 【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 18. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点C与点A关于y轴对称． （1）写出点C的坐标； （2）画出关于y轴对称的； （3）已知横坐标与纵坐标都是整数的点叫作格点，若平面内有一格点E，使得与全等，写出所有点E的坐标（点B与点E不重合）． 【答案】（1） （2） 如图，即为所求． （3）点E的坐标为或或 【解析】 【分析】本题考查作图-轴对称变换、全等三角形的判定，熟练掌握轴对称的性质、全等三角形的判定是解答本题的关键． （1）关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等，由此可得答案； （2）根据轴对称的性质作图即可； （3）结合全等三角形的判定确定点E的位置，即可得出答案． 【小问1详解】 解：点C与点关于y轴对称， 点C的坐标为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，点，，均满足题意， 点E的坐标为或或． 19. 已知：如图，△ABC中，D是AB上一点，DE⊥BC于E，DF⊥AC于F，点G在AC上，且DG＝DB，FG＝BE． 求证：CD平分∠ACB． 【答案】 证明：∵DE⊥BC于E，DF⊥AC于F， ∴∠DEB＝∠DFG＝90°， 在Rt△DBE与Rt△DGF中 ， ∴Rt△DBE≌Rt△DGF（HL）， ∴DE＝DF， ∴CD平分∠ACB． 【解析】 【分析】由题中条件易证Rt△DBE≌Rt△DGF，可得DE＝DF，再根据角平分线的判定定理可得CD平分∠ACB. 【详解】略 【点睛】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据HL(如果两个直角三角形的斜边和一条直角边分别对应相等,那么这两个直角三角形全等)证明Rt△DBE≌Rt△DGF． 20. 如图，是等边三角形，点D、E分别在上，且，与相交于点F，作垂足为G，． （1）求证：； （2）求的长． 【答案】（1） 证明：∵为等边三角形， ∴，， 在和中， ， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质， 等边三角形的性质，含30 度角的直角三角形的性质，解题的关键是熟练的掌握全等三角形的判定和性质， 等边三角形的性质，含30 度角的直角三角形的性质． （1）根据等边三角形的性质可得，，即可求证； （2）根据全等三角形的性质可得，从而得到，进而得到，再由直角三角形的性质解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 21. 如图，在中，，，，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别在边上匀速移动，它们的速度分别为，，当点P到达点B时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为． （1）当t为何值时，为等边三角形？ （2）当t为何值时，为直角三角形？ 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题考查了含角的直角三角形、等边三角形以及分类讨论的思想方法，利用“直角三角形中，角所对的边等于斜边的一半”及“有一个角是的等腰三角形是等边三角形”，得到关于t的一次方程是解决本题的关键． 用含t的代数式表示出． （1）由于，当时，可得到关于t的一次方程，求解即得结论； （2）分两种情况进行讨论：当时，当时．利用直角三角形中，含角的边间关系，得到关于t的一次方程，求解得结论． 【小问1详解】 解：在中， ，， ． ， ． 当时，为等边三角形． 即，解得． ∴当时，为等边三角形； 【小问2详解】 解：若为直角三角形， ①当时，， 即 ； ②当时，， 即， ． 即当或时，为直角三角形． 22. 数形结合是数学学习的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题． （1）请写出图1，图2，阴影部分的面积分别能解释的乘法公式： 图1：___________； 图2：___________． 【拓展探究】 （2）用4个全等的长和宽分别为a，b的长方形拼摆成一个如图3的正方形，请你通过计算阴影部分的面积，直接写出这三个代数式，，之间的等量关系是__________． 【解决问题】 （3）如图4，C是线段上的一点，分别以，为边向两边作正方形和正方形．已知，两正方形的面积和为25，求的面积． 【知识迁移】 （4）当时，则的值是__________．（直接写出结果） 【答案】（1），；（2）；（3）6；（4） 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式在几何图形中的应用．利用数形结合的思想是解题关键． （1）根据整个图形面积（或阴影面积）及几个小图形面积的关系列式即可得到答案； （2）根据整个图形面积及几个小图形面积的关系列式即可得到答案； （3）根据图形得到两个正方形边长和及面积和求解即可得到答案； （4）根据条件先求解，结合，再进一步求解即可． 【详解】解：（1）图1阴影的面积等于边长为的正方形的面积， 即； 图2阴影的面积等于边长为的正方形的面积， 即； （2）图3阴影的面积等于边长为的正方形的面积，也等于边长为的正方形的面积减去4个长方形的面积 即； （3）由题意可知，， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴； （4）∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ； 故答案为：． 23. 【初步感知】 （1）如图1，已知为等边三角形，点D为边上一动点（点D不与点B，点C重合）．以为边向右侧作等边，连接．求证：； 【类比探究】 （2）如图2，若点D在边的延长线上，随着动点D的运动位置不同，线段，，之间的数量关系为__________，请证明你的结论． 【拓展应用】 （3）如图3，在等边中，，点P是边上一定点且，若点D为射线上动点，以为边向右侧作等边，连接，．请问：是否有最小值？若有，请求出其最小值；若没有，请说明理由． 【答案】（1）证明：和是等边三角形， ，，． ， ，即． 在和中， ， ． （2）解：， 和是等边三角形， ，，． ， ，即． 在和中， ， ． ， ， ． （3）有；8 【解析】 【分析】本题考查三角形综合，全等三角形的判定，等边三角形的判定与性质，掌握相关知识是解题的关键． （1）由和是等边三角形，推出，，，又因为，则，即，利用证明即可； （2）证明，得出，结合，则； （3）在射线上截取，连接，易证，则，，得出是等边三角形，则，即点E在角平分线上运动，在射线上截取，连接，证明，得出，推出，由三角形三边关系可得，，即当点E与点C重合时，时，有最小值． 【详解】（1） 略 （2） 略 （3）解：有最小值，在射线上截取，连接，   ， ∵和是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ， ，， ∵， ∴， 是等边三角形， ， ∴，， 即点E在角平分线上运动， 在射线上截取，连接， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 由三角形三边关系可得，，即当点E与点C重合时，时，有最小值， ∵，， ∴， ∴ 的最小值为8． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学答案 一．选择题（每小题3分，共30分） 1. 对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑、器物、绘画、标识等作品的设计上，使对称之美惊艳了千年的时光．下列四个图案中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 要使分式有意义，则x的取值应满足（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线，下列作图中正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 点的坐标是，则点关于轴的对称点的坐标是（ ） A. B. C. D. 6. 已知一个等腰三角形的一边长等于3cm，一边长等于7cm，那么它的周长为（　　） A. 13cm B. 17cm C. 13cm或17cm D. 18cm 7. 如图，在和中，点B、D、C在同一直线上，已知，，添加以下条件后，仍不能判定的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，△ABC的面积为8cm2，AP垂直∠B的平分线BP于P，则△PBC的面积为（ ） A. 3cm2 B. 4cm2 C. 5cm2 D. 6cm2 9. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，（），且，则点C的横坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，点为线段上一动点（不与点，重合），连接，作，交线段于点，下列结论：①；②若，则；③当时，则为中点；④当为等腰三角形时，；其中正确的有（ ） A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②③④ 二．填空题（每小题3分，共15分） 11. 分解因式：＝__________. 12. 若，，则的值为________． 13. 定义一种新运算：，若，则的值为______． 14. 如图，已知的三条内角平分线相交于点I， 三边的垂直平分线相交点O，若， 则_________ 15. △ABC中，∠ACB＝60°，AC＝4，BC＝13，以AB为边作等边△ABD，过D作DE⊥BC于E，则BE的长为____． 三．解答题（共8小题，共75分） 16. 计算： （1）． （2）先化简，再求值：，其中x，y满足． 17. 化简： ，并在，0，2中选择一个合适的a值代入求值． 18. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点C与点A关于y轴对称． （1）写出点C的坐标； （2）画出关于y轴对称的； （3）已知横坐标与纵坐标都是整数的点叫作格点，若平面内有一格点E，使得与全等，写出所有点E的坐标（点B与点E不重合）． 19. 已知：如图，△ABC中，D是AB上一点，DE⊥BC于E，DF⊥AC于F，点G在AC上，且DG＝DB，FG＝BE． 求证：CD平分∠ACB． 20. 如图，是等边三角形，点D、E分别在上，且，与相交于点F，作垂足为G，． （1）求证：； （2）求的长． 21. 如图，在中，，，，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别在边上匀速移动，它们的速度分别为，，当点P到达点B时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为． （1）当t为何值时，为等边三角形？ （2）当t为何值时，为直角三角形？ 22. 数形结合是数学学习的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题． （1）请写出图1，图2，阴影部分的面积分别能解释的乘法公式： 图1：___________； 图2：___________． 【拓展探究】 （2）用4个全等的长和宽分别为a，b的长方形拼摆成一个如图3的正方形，请你通过计算阴影部分的面积，直接写出这三个代数式，，之间的等量关系是__________． 【解决问题】 （3）如图4，C是线段上的一点，分别以，为边向两边作正方形和正方形．已知，两正方形的面积和为25，求的面积． 【知识迁移】 （4）当时，则的值是__________．（直接写出结果） 23. 【初步感知】 （1）如图1，已知为等边三角形，点D为边上一动点（点D不与点B，点C重合）．以为边向右侧作等边，连接．求证：； 【类比探究】 （2）如图2，若点D在边的延长线上，随着动点D的运动位置不同，线段，，之间的数量关系为__________，请证明你的结论． 【拓展应用】 （3）如图3，在等边中，，点P是边上一定点且，若点D为射线上动点，以为边向右侧作等边，连接，．请问：是否有最小值？若有，请求出其最小值；若没有，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $