精品解析：江西南昌市解放路学校2026-2027学年九年级上学期10月阶段检测数学试题

九年级数学学科阶段性教学诊断试题卷 一．选择题（每题3分，共6小题） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 关于x的一元二次方程中，二次项系数是（ ） A. 3 B. 4 C. D. 3. 用配方法解一元二次方程，下列配方正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 若关于x的一元二次方程（a≠0）有一解为，则一元二次方程必有一解为（ ） A. B. C. D. 5. 模型的能力与其训练数据量密切相关．假设在某研发阶段，模型的初始训练数据量为360万亿个标记．研发团队通过两次数据扩容，使最终的训练数据量达到640万亿个标记，求这两次数据扩容的平均增长率．设两次数据扩容的平均增长率为x，则可列方程（ ） A. B. C. D. 6. 二次函数的部分图象如图所示，与轴交于，对称轴为直线．以下结论：；若，，在该函数图象上，且；对于任意实数，都有成立；方程（，为常数）的所有根的和为．其中正确结论的个数为（ ） A. B. C. D. 二．填空题（每题3分，共6小题） 7. 请写一个以“”和“5”为根的一元二次方程___________________ ． 8. 已知，是方程的两个实数根，则=________． 9. 二次函数的图象的开口方向是向________（填“上”或“下”） 10. 抛物线的顶点坐标是________． 11. 《增删算法统宗》是我国古代数学著作，其中记载了“圆中方形”问题，其大意为“有一块圆形的田，中间有一块正方形水池，测量出除水池外圆内可耕地的面积恰好为72平方步，从水池边到圆周，每边相距3步远，在这个图形中，应该能求出正方形的边长和圆的直径”．如图，设正方形的边长是x步，则可列出的方程是___________． 12. 已知二次函数和，若满足：两个函数与x轴有且仅有三个交点，且两个函数与x轴的交点不重合，请写出这三个交点的坐标____________________ ． 三．解答题（13题至17题每题6分，18题至20题每题8分，21题至22题每题9分，最后一题12分，共11小题） 13. 若是关于的二次函数，求的值． 14. 解方程： （1）； （2）． 15. 嘉嘉解一元二次方程的过程如图所示： 解方程 解： ……………第一步 或 ……………第二步 ， …………………第三步 （1）嘉嘉的解法从第________步开始出现错误，她采用的方法为________；（填写“公式法”、“配方法”、“因式分解法”） （2）请用正确的方法解方程． 16. 已知关于x的二次函数的图象，请仅用无刻度直尺按下列要求作图． （1）在图1中作点B关于对称轴对称的点P； （2）在图2中二次函数图象的对称轴上找一点Q，使的周长最短． 17. 将抛物线化成的形式，并直接写出它的对称轴． 18. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若、是方程的两根，且，求的值． 19. 已知二次函数的图象经过点． （1）求该函数图象的顶点坐标； （2）若该函数的图象向右平移3个单位长度后经过点，求m的值． 20. 综合与实践 项目主题：劳动基地扩建方案 项目背景：学校计划扩建某劳动基地，综合实践活动小组以设计“劳动基地扩建方案”为主题开展了一次项目学习． 信息获取： 信息1，如图，原劳动基地为矩形，的长为，的长为； 信息2，如图，扩建后的新劳动基地仍为矩形，的最大长度为，的最大长度为． 问题解决： （1）若新劳动基地的面积为，且，求和的长． （2）当时，新劳动基地的面积可以为吗？请说明理由． 21. 根据题意解答下列各题 （1）用配方法解一元二次方程除了课本的方法，也可以用下面的配方方式： 将两边同时乘以并移项，得到，两边再同时加上，得．请用这样的方法解方程：； （2）华裔数学家罗博深在2019年提出了一种全新的一元二次方程解法，对于，将等式左边进行因式分解，得到以下形式： （从这里可以看出方程的解为，） 即 因为，所以、的平均数为，不妨设，， 利用，得，所以，即能求出的值． 举例如下：解一元二次方程，由于，所以方程的两个根为，而，解得，所以方程的解为，． 请运用此方法解方程：. 22. 小向根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．下面是小向的探究过程，请补充完整． 下表是与的几组对应值： … 0 1 2 3 4 … … 5 … （1）_____，_____； （2）在如图所示的平面直角坐标系中，描出表中的点，并用平滑的曲线连接起来，画出该函数的图象； （3）结合画出的函数图象，请直接写出当时的取值范围． 23. 如图，已知抛物线和都经过原点，顶点分别为A、B，与x轴的另一个交点分别为M、N，连接，如果和互相平分，则抛物线和为“兄弟抛物线”． （1）判断抛物线与是否为“兄弟抛物线”？并说明理由． （2）求抛物线的“兄弟抛物线”． （3）顺次连接A、N、B、M（如图2），若四边形恰好是矩形，请写出这对“兄弟抛物线”的表达式（写出一对即可）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学学科阶段性教学诊断试题卷 一．选择题（每题3分，共6小题） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】从是否为整式方程、未知数个数、未知数最高次数三个维度逐一判断各选项． 【详解】解：选项A：中未知数最高次数为1，不符合题意； 选项B：不是整式方程，且含有两个未知数和，不符合题意； 选项C：是整式方程，只含一个未知数，且的最高次数为2，符合题意； 选项D：中未知数最高次数为3，不符合题意； 故答案为C． 2. 关于x的一元二次方程中，二次项系数是（ ） A. 3 B. 4 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先将给定一元二次方程整理为一般形式 ，其中 即为二次项系数，整理后即可得到结果 【详解】解：原方程为 移项得 根据一元二次方程一般形式定义，二次项为，其系数为 3. 用配方法解一元二次方程，下列配方正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将方程常数项移到等号右侧，在等式两边加一次项系数一半的平方，再利用完全平方公式整理即可解答． 【详解】解：∵， ∴． ∴． ∴． 4. 若关于x的一元二次方程（a≠0）有一解为，则一元二次方程必有一解为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，将第二个方程变形，使其与原方程的结构一致，利用已知解代入求解． 【详解】解：原方程有一解，代入得． 将第二个方程整理为：， ， 令，则方程变为， 与原方程形式相同，则解相同． 则，即，解得． 因此，第二个方程必有一解为， 故选：A． 5. 模型的能力与其训练数据量密切相关．假设在某研发阶段，模型的初始训练数据量为360万亿个标记．研发团队通过两次数据扩容，使最终的训练数据量达到640万亿个标记，求这两次数据扩容的平均增长率．设两次数据扩容的平均增长率为x，则可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的增长率问题，解决本题的关键是由等量关系建立等式． 根据初始数据量、平均增长率及两次扩容后的最终数据量，利用增长率的增长规律列方程即可． 【详解】解：∵初始训练数据量为360万亿，每次平均增长率为x， ∴第一次扩容后的数据量为万亿， ∴第二次扩容后的数据量为万亿， 又∵最终数据量达到640万亿， ∴可列方程． 故选：D． 6. 二次函数的部分图象如图所示，与轴交于，对称轴为直线．以下结论：；若，，在该函数图象上，且；对于任意实数，都有成立；方程（，为常数）的所有根的和为．其中正确结论的个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先得出，，然后通过函数图象可得当时，，即可判断；通过二次函数的性质即可判断；当时，有最小值，可得时，，从而判断；先画出图象，再结合图象即可判断． 【详解】解：∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∵与轴交于， ∴， 根据图象可知：当时，， ∴， ∴，故正确； ∵关于对称轴的对称点为，时，随的增大而减小，， ∴，故错误； 根据图象可知：当时，有最小值， 则当时，， ∴，故错误； 由方程（，为常数）的根是抛物线与直线的交点，如图， ∵对称轴为直线， ∴当有个交点时，方程（，为常数）的所有根的和为， 当有个交点时，方程（，为常数）的所有根的和为， 当有个交点时，方程（，为常数）的所有根的和为，故错误， 综上可得：正确，共个． 二．填空题（每题3分，共6小题） 7. 请写一个以“”和“5”为根的一元二次方程___________________ ． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】利用根与系数的关系，先计算两根之和与两根之积，再构造一元二次方程． 【详解】解：∵方程两根为和 ∴两根之和为，两根之积为， ∴所求一元二次方程可以为． 8. 已知，是方程的两个实数根，则=________． 【答案】5 【解析】 【分析】利用根与系数的关系求解即可． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴ ． 9. 二次函数的图象的开口方向是向________（填“上”或“下”） 【答案】 下 【解析】 【分析】根据二次函数二次项系数的正负即可判断开口方向，二次项系数大于0时开口向上，小于0时开口向下． 【详解】解：∵二次函数的二次项系数， ∴二次函数的图象开口方向向下． 10. 抛物线的顶点坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】抛物线解析式为顶点式，可直接根据顶点式的特征得到顶点坐标. 【详解】解：抛物线的顶点坐标是. 11. 《增删算法统宗》是我国古代数学著作，其中记载了“圆中方形”问题，其大意为“有一块圆形的田，中间有一块正方形水池，测量出除水池外圆内可耕地的面积恰好为72平方步，从水池边到圆周，每边相距3步远，在这个图形中，应该能求出正方形的边长和圆的直径”．如图，设正方形的边长是x步，则可列出的方程是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据圆的直径与正方形边长之间的关系，可得出圆的直径为步，根据除水池外圆内可耕地的面积恰好为72平方步，即可列出关于的一元二次方程，此题得解．找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：从水池边到圆周，每边相距3步远，且正方形的边长是步， 圆的直径为步． 根据题意得：． 故答案为：． 12. 已知二次函数和，若满足：两个函数与x轴有且仅有三个交点，且两个函数与x轴的交点不重合，请写出这三个交点的坐标____________________ ． 【答案】，， 【解析】 【分析】两个二次函数与轴总共有三个交点，的判别式恒大于零，因此一定与轴有两个不同交点，要得到三个交点，只能是与轴仅有一个交点，且该交点不在的交点中，由此计算即可． 【详解】解：对于二次函数，其判别式 对于二次函数，其判别式 ∵， ∴恒成立，与轴恒有两个不同交点， ∵这两个函数与轴没有公共交点， ∴要使两个函数与轴有且仅有三个交点，则与轴只有一个交点， 则，得，解得， 此时，与轴交点为， 将代入得，令，则 解得 因此与轴交点为和， ∴三个交点的坐标为，，． 三．解答题（13题至17题每题6分，18题至20题每题8分，21题至22题每题9分，最后一题12分，共11小题） 13. 若是关于的二次函数，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】根据形如的函数是二次函数，以此计算即可． 本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次项系数不为零，最高次项的次数是2是解题的关键． 【详解】解：∵是关于的二次函数， ∴ 解得，， 又∵， ∴， ∴. 14. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先移项，把右边式子移到左边，再因式分解，提取公因式，转化为两个一次因式乘积等于0的形式，再分别求解． （2）采用配方法，把常数项移到等式右侧，等式两边同时加上一次项系数一半的平方，配成完全平方式，再开方求解；也可以用公式法代入求根公式计算． 【小问1详解】 解：， ， ， 或， ，； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ，． 15. 嘉嘉解一元二次方程的过程如图所示： 解方程 解： ……………第一步 或 ……………第二步 ， …………………第三步 （1）嘉嘉的解法从第________步开始出现错误，她采用的方法为________；（填写“公式法”、“配方法”、“因式分解法”） （2）请用正确的方法解方程． 【答案】（1）一；因式分解法 （2）解：∵， ∴， ∴，即， ∴，即， ∴或， 解得：，． 【解析】 【分析】（1）对照第一步展开后的二次三项式与原方程左边不一致，即可判断出错误发生在第一步；根据 “化为两个一次因式乘积等于零” 的形式即可确定所用方法为因式分解法； （2）将原方程转化为，然后利用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：∵，与原方程左边不相等， ∴嘉嘉的解法从第一步开始出现错误； 又∵嘉嘉将原方程转化为“两个一次因式的乘积等于零” 的形式， ∴嘉嘉所用方法为因式分解法； 【小问2详解】 略． 16. 已知关于x的二次函数的图象，请仅用无刻度直尺按下列要求作图． （1）在图1中作点B关于对称轴对称的点P； （2）在图2中二次函数图象的对称轴上找一点Q，使的周长最短． 【答案】（1）如图中，点P即为所求 （2）如图中，点Q即为所求 【解析】 【分析】（1）根据对称性，连接交对称轴于点，连接并延长交抛物线于点即可； （2）根据对称性，的周长为，当三点共线时，的周长最短，故连接交对称轴于点，即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 17. 将抛物线化成的形式，并直接写出它的对称轴． 【答案】，对称轴是直线 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数顶点式的特点，运用配方法将二次函数一般式化为顶点式即可求解，掌握二次函数顶点式的特点是解题的关键． 【详解】解： ， 抛物线的对称轴为直线． 18. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若、是方程的两根，且，求的值． 【答案】（1） 证明：关于的一元二次方程， ， 方程总有两个不相等的实数根； （2）k的值为 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程相关问题，涉及一元二次方程判别式与根的情况，一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程等知识，熟练掌握一元二次方程相关知识是解决问题的关键． （1）根据一元二次方程判别式与根的情况，证明即可得到答案； （2）由一元二次方程根与系数的关系得，根据题意，代入，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由一元二次方程根与系数的关系得， ， ， 解得：． 19. 已知二次函数的图象经过点． （1）求该函数图象的顶点坐标； （2）若该函数的图象向右平移3个单位长度后经过点，求m的值． 【答案】（1） 顶点坐标为 （2） 【解析】 【分析】（1）把点代入函数，即可求出，再把一般式化为顶点式，即可得到该函数图象的顶点坐标； （2）根据二次函数图象平移“右减左加”的规律得到平移后的解析式，将已知点代入即可求出的值． 【小问1详解】 解：将点代入，得 ，  解得， ∴二次函数的解析式为， 对解析式配方得  ， ∴该函数图象的顶点坐标为； 【小问2详解】 解：将函数图象向右平移3个单位长度， ∴平移后解析式为  ， 将点代入上式，得． 20. 综合与实践 项目主题：劳动基地扩建方案 项目背景：学校计划扩建某劳动基地，综合实践活动小组以设计“劳动基地扩建方案”为主题开展了一次项目学习． 信息获取： 信息1，如图，原劳动基地为矩形，的长为，的长为； 信息2，如图，扩建后的新劳动基地仍为矩形，的最大长度为，的最大长度为． 问题解决： （1）若新劳动基地的面积为，且，求和的长． （2）当时，新劳动基地的面积可以为吗？请说明理由． 【答案】（1）的长为，的长为 （2）不可以， 理由：设，则， 根据题意，得， 整理，得， 解得，（不合题意，舍去）， 当时，，不合题意，舍去， 当时，新劳动基地的面积不可以为． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）依题意，先设，结合的长为，的长为，且新劳动基地的面积为，且，进行列式，解出方程，即可作答． （2）依题意，先设，则，因为新劳动基地的面积可以为，故，再结合的最大长度为，的最大长度为进行作答即可． 【小问1详解】 解：设， 根据题意，得， 整理，得， 解得，（不合题意，舍去）； ，； 答：的长为，的长为； 【小问2详解】 略 21. 根据题意解答下列各题 （1）用配方法解一元二次方程除了课本的方法，也可以用下面的配方方式： 将两边同时乘以并移项，得到，两边再同时加上，得．请用这样的方法解方程：； （2）华裔数学家罗博深在2019年提出了一种全新的一元二次方程解法，对于，将等式左边进行因式分解，得到以下形式： （从这里可以看出方程的解为，） 即 因为，所以、的平均数为，不妨设，， 利用，得，所以，即能求出的值． 举例如下：解一元二次方程，由于，所以方程的两个根为，而，解得，所以方程的解为，． 请运用此方法解方程：. 【答案】（1）；，； （2）， 【解析】 【分析】（1）利用完全平方公式将等号左边因式分解即可得到答案；将方程两边同时乘以12再加25，再利用完全平方公式将等号左边因式分解即可求解方程； （2）根据例题直接求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ， 两边同时乘以12再加25，移项得： ． ． ，； 【小问2详解】 ． ． 方程的两个根为， 而，解得， ，． 22. 小向根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．下面是小向的探究过程，请补充完整． 下表是与的几组对应值： … 0 1 2 3 4 … … 5 … （1）_____，_____； （2）在如图所示的平面直角坐标系中，描出表中的点，并用平滑的曲线连接起来，画出该函数的图象； （3）结合画出的函数图象，请直接写出当时的取值范围． 【答案】（1）， （2） 如图所示，即为所求； （3） 【解析】 【分析】（1）根据表格求出当、时，y的值即可； （2）描点，连线，画出函数图像即可； （3）根据图象即可求解． 【小问1详解】 解：当时，,即； 当时，，即； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由函数图象可知，当时，． 23. 如图，已知抛物线和都经过原点，顶点分别为A、B，与x轴的另一个交点分别为M、N，连接，如果和互相平分，则抛物线和为“兄弟抛物线”． （1）判断抛物线与是否为“兄弟抛物线”？并说明理由． （2）求抛物线的“兄弟抛物线”． （3）顺次连接A、N、B、M（如图2），若四边形恰好是矩形，请写出这对“兄弟抛物线”的表达式（写出一对即可）． 【答案】（1） 解：抛物线与是“兄弟抛物线”，理由如下： 对于，顶点坐标为； 当时，， ∴抛物线经过原点，与x轴的另一个交点坐标为； 对于，顶点坐标为； 当时，， ∴抛物线经过原点，与x轴的另一个交点坐标为； ∴A与B，M与N都关于原点O成中心对称， ∴和互相平分， ∴抛物线与是“兄弟抛物线”； （2） （3）抛物线的解析式为，抛物线的解析式为． 【解析】 【分析】（1）根据新定义进行判断即可； （2）求出的顶点以及抛物线与x轴的另一个交点M的坐标，根据新定义结合待定系数法求出函数解析式即可； （3）根据兄弟抛物线的定义，可得兄弟抛物线的二次项的系数互为相反数，一次项系数相等且不等于零，常数项都是零，来写出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：抛物线的顶点， 当时，， ∴抛物线过原点且与x轴的另一个交点， 由新定义可知，抛物线的顶点，与x轴的另一个交点， ∴设抛物线为，将代入，得， 解之，得； ∴； 【小问3详解】 解：根据四边形恰好是矩形可得， 当时，则是等边三角形， 设的解析式为，， 则点，点，代入，得， 解之，得， ∴抛物线的解析式为，抛物线的解析式为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $