精品解析：江西省南昌市青山湖学校2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试卷

九年级数学第一次阶段性质量调研评估试题 说明：1、考试范围：第21章，第22章22.1、22.2； 2．考试时间120分钟，满分120分． 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息； 2．请将答案正确填写在答题卡上． 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列方程中，属于一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义即形如的整式方程判断． 【详解】A. ，次数不是2次，不符合题意； B. ，不是整式方程，不符合题意； C. ，有两个未知数，不符合题意； D. ，不符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义即形如的整式方程，熟练掌握定义是解题的关键． 2. 二次函数图象的顶点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了把二次函数的一般式化为顶点式，判断点所在的象限，先整理得，则顶点坐标为，因为横坐标为正数，纵坐标为负数，所以顶点所在的象限是第四象限，据此即可作答． 【详解】解：依题意，， ∴顶点坐标为， ∵顶点坐标的横坐标为正数，纵坐标为负数， ∴顶点所在的象限是第四象限， 故选：D． 3. 近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年2月份售价为35万元，4月份售价为28.35万元，设该款汽车这两月售价的月平均降价率是，则所列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，由题意可得3月份的售价为万元，4月份的售价为万元，由此列方程即可． 【详解】解：设该款汽车这两月售价的月平均降价率是，根据题意，得 ． 故选：D 4. 关于x的一元二次方程 的根的情况说法正确的是（ ） A. 只有一个实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无实数根 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了已知一元二次方程根的情况求参数的取值范围，解题的关键是熟练掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．据此即可解答． 【详解】解：∵ 在 中， ． ∴这个一元二次方程无实数根． 故选D． 5. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查抛物线和直线的性质，用假设法来搞定这种数形结合题是一种很好的方法．本题可先由一次函数，图象得到字母系数的正负，再与二次函数的图象相比是否一致． 【详解】解：A、由抛物线可知，，由直线可知，，故本选项符合题意； B、由抛物线可知，，由直线可知，，故本选项不符合题意； C、由抛物线可知，，由直线可知，，故本选项不符合题意； D、由抛物线可知，，由直线可知，，但图象过点，求得，矛盾，故本选项不符合题意． 故选：A． 6. 在平面直角坐标系中，拋物线的顶点为，且经过点，其部分图象如图所示，下面结论中：①；②；③；④；⑤若点在此拋物线上，则；正确的个数是（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数图象确定相应方程根的情况等知识．熟练掌握二次函数的图象与性质，根据二次函数图象确定相应方程根的情况是解题的关键． 由图象可知，，对称轴为直线，即，可判断①②的正误；当时，，则，可判断③的正误；有两个不相等的实数根，即，可判断④的正误；点关于对称轴对称的点坐标为，当时，，可判断⑤的正误． 【详解】解：由图象可知，，对称轴为直线，即，①②正确，故符合要求； 当时，， ∴，③正确，故符合要求； 有两个不相等的实数根，即，④正确，故符合要求； 点关于对称轴对称的点坐标为， 当时，，⑤正确，故符合要求； 故选：D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 若关于x的方程是一元二次方程，则m的取值范围是__________ 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义： 只含有一个未知数， 并且未知数的最高次数是 2 的整式方程叫一元二次方程可得，再解即可 ． 【详解】解： 由题意得：， 解得：， 故答案为： 8. 一元二次方程化为一般形式是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的一般式，将等式左边利用多项式乘以多形式的法则展开，将方程转化为的形式即可． 【详解】解：， 整理，得：； 故答案为：． 9. 已知二次函数的顶点坐标为，并且经过平移后能与抛物线重合，那么这个二次函数的解析式是_______． 【答案】． 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的平移，二次函数的图像和性质，由二次函数的图象经过平移后能与抛物线重合可得出这个二次函数的解析式是．再由顶点坐标为，即可得出二次函数的解析式． 【详解】解：∵二次函数的图象经过平移后能与抛物线重合， ∴这个二次函数的解析式是． 又∵这个二次函数的顶点坐标为， ∴这个二次函数的解析式是． 故答案为： 10. 若a，b是方程的两个实数根，则的值为________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式和根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，．掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．也考查了一元二次方程的解，求代数式的值，运用了整体代入的思想．先根据一元二次方程根的定义得到，则化为，再利用根与系数的关系得，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴ ， 故答案为：2． 11. 若二次函数的图象经过点，，，则，，的大小关系是______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，根据得出开口方向向上，对称轴，越靠近对称轴的所对应的函数值越小，据此即可作答． 【详解】解：∵， ∴开口方向向上，对称轴，越靠近对称轴的所对应的函数值越小， ∵点，，，且， ∴， 故答案为：． 12. 抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），点在抛物线上，且点的横坐标为2，若点为轴上非原点的一点，且为等腰三角形，则点的坐标为______． 【答案】或或 【解析】 【分析】令，求得点的坐标，依据分类讨论的思想方法，利用为等腰三角形和等腰三角形的性质进行分类讨论，解答即可得出结论．本题主要考查了二次函数的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：令，则， 解得：或． 抛物线与轴交于，两点，点在点的左侧， ． 点的横坐标为2 ①当时，如图， 过点作于点， ，， ，，， ． 在和中， ， ， ． ，， ， ， ； 结合是等腰三角形，且 ； ②当时，如图， 过点作轴于点， ，， ，，， 设点， 点为轴的正半轴上的一点， ，， ， ， ， ， 解得：， ． ③当时，如图 此时点P与O重合，与题意不符合，故舍去． 综上，当为等腰三角形，则点的坐标为或或． 故答案为：或或． 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 计算： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的常用方法（直接开平方法、配方法、公式法、换元法、因式分解法等）是解题关键． （1）方程可以配方为，利用配方法解方程即可得； （2）方程可以因式分解为，利用因式分解法解方程即可得． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ， ， ． 【小问2详解】 解：， ， 或， ． 14. 若关于x的一元二次方程x2－bx＋3＝0有一个根是x＝1，求b的值及方程的另一根． 【答案】b的值为4，方程另一根为x=3． 【解析】 【分析】将x=1代入方程x2﹣bx+3=0得到b的值，再根据根与系数的关系求出另一根． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣bx+3=0有一个根是x=1， ∴1﹣b+3=0， 解得：b=4， 把b=4代入方程得：x2﹣4x+3=0， 设另一根为m，可得1+m=4， 解得：m=3， 则b的值为4，方程另一根为x=3． 【点睛】本题主要考查了一元二方程的根，一元二次方程根与系数的关系，记牢公式并灵活运用是解题关键． 15. 已知关于的一元二次方程有两个实数根，． （1）求实数的取值范围； （2）若方程的两个实数根，满足，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系： （1）根据判别式可知，据此求解即可； （2）根据根与系数的关系得到，再由完全平方公式得到，据此求解即可． 【小问1详解】 解：∵关于的一元二次方程有两个实数根，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵关于的一元二次方程有两个实数根，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）． ∴ 16. 已知关于的二次函数的图象的对称轴是直线，其最大值是，经过点，交轴于点，请仅用无刻度直尺按下列要求作图． （1）在图1中作二次函数图象上的点； （2）在图2中二次函数图象的对称轴上找一点，使的周长最短． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出函数解析式，再得出点的具体位置； （2）求的周长最小，是固定值，即最小，即找到的对称点，连接另一个点和对称点，点即是与对称轴的交点． 【小问1详解】 解：根据题意可得：解得：， 即二次函数 ∴， ∵对称轴为直线， 在图上找到点关于对称轴对称的点即是点； 【小问2详解】 如图，连接，点为和直线的交点，连接， 由（1）得：，， ∴关于对称， ∴ ∴的周长 当在上时，的周长最短， 令的解析式为， 将点点代入解析式得：，解得：， 的解析式为， 当时，， 故点 17. 已知二次函数图象上部分点横坐标、纵坐标的对应值如下表： x … 0 1 2 3 4 … y … 0 5 … （1）画出函数图象； （2）当______时，随的增大而减小； （3）当时，的取值范围为______ 【答案】（1） 解：画出图形如图所示． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）据表格数据，描点、连线，画出函数图象，即可作答； （2）根据图象即可求得； （3）根据表格数据，结合图象即可求解． 本题考查了二次函数的图象和性质以及待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是：根据给定点的坐标画出函数图象，利用待定系数法求出函数解析式，数形结合． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：观察函数图象可知：当时，随的增大而减小； 故答案为：； 【小问3详解】 解：当时，的取值范围为． 故答案为：． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，一块长为、宽为的长方形土地，在上面修筑了同样宽的三条道路（图中阴影部分），空白的部分种上各种花草．要使种花草的土地面积为，你能求出道路的宽吗？ 【答案】道路的宽为 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，根据面积列出方程，利用因式分解法求解即可． 【详解】解：能求出道路的宽，理由如下： 设道路的宽为， 由题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：道路的宽为． 19. 已知函数 ． （1）当m为何值时，此函数是一次函数； （2）当m为何值时，此函数是二次函数． 【答案】（1） （2）且 【解析】 【分析】此题主要考查一次函数与二次函数的定义，解题的关键是熟练掌握形如的函数关系称为一次函数；形如的函数关系称为二次函数是解题的关键． （1）根据一次函数的定义即可求解； （2）根据二次函数的定义即可求解． 【小问1详解】 解：∵函数是一次函数， ∴． 解得：． 【小问2详解】 解：∵函数是二次函数， ∴， 解得：且． 20. 阅读下列材料： 方程两边同时除以，得，即．因为，所以． 根据以上材料解答下列问题： （1）已知方程，则_____；_____． （2）若m是方程的根，求的值． 【答案】（1）4，18 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义，完全平方公式，分式的求值： （1）仿照题意求解即可； （2）根据一元二次方程解的定义得到，进而得到，再仿照题意求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：4；18； 【小问2详解】 解：∵m是方程的根， ∴， ∴（时不满足原方程）， ∴， ∴， ∴， ∴． 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 某商城在2024年元旦节期间举行促销活动，一种热销商品进货价为每个14元，标价为每个20元． （1）商城举行了“感恩老客户”活动，对于老客户，商城连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以每个16.2元的价格售出，求商城每次降价的百分率； （2）市场调研表明：当每个商品售价为20元时，平均每天能够售出40个，当销售单价每降1元时，平均每天就能多售出10个．在保证每个商品的售价不低于进价的前提下，商城要想获得最大利润，每个商品应降价多少元？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）要想获得最大利润，每个商品降价1元，最大利润是250元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用-平均增长率问题，二次函数的应用，找准等量关系，正确构造二次函数是解题的关键． （1）设商城每次降价的百分率为x，根据题意，得，解方程即可． （2）设降价x元，则每个盈利元，每天可售出个，每天的总利润为w元，利用每天销售获得的总利润＝每件的销售利润×每天的销售量，构造二次函数，根据抛物线的最值，结合每个商品的售价不低于进价，解之即可得出x的值即可求得． 【小问1详解】 解：设商城每次降价的百分率为x， 根据题意，得， 解得（舍去）， 答：商城每次降价的百分率为． 【小问2详解】 解：设降价y元，则每个盈利元，每天可售出个，每天的总利润为w元， 根据题意，得 ， ∴当时，利润最大，为250元， 答：要想获得最大利润，每个商品降价1元，最大利润是250元． 22. 某班“数学兴趣小组”对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整． （1）自变量的取值范围是全体实数，与的几组对应值列表如下： 0 1 2 3 0 0 其中，=______． （2）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分． （3）观察函数图象，写出两条函数的性质． （4）进一步探究函数图象发现： ①方程：有______个实数根； ②关于的方程有2个实数根时，的取值范围是______． 【答案】（1） （2） 解：描点、连线画出如下函数图象， （3）此函数关于y轴对称；函数有最小值； （4）①3；②或 【解析】 【分析】（1）当时，代入计算即可求解； （2）描点即可画出函数图象； （3）任意指出函数的两条性质即可，如函数的对称性质；函数的最小值为；时，随的增大而增大，答案不唯一； （4）①利用平移的性质，从图象上看函数与轴有3个交点，即可求解； ②关于的方程有2个实数根，即函数的图象与有2个交点，观察图象即可求解． 【小问1详解】 解：当时， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：函数的最小值为； 时，随的增大而增大； 函数关于y轴对称； 【小问4详解】 解：①将向上平移3个单位，得， 从图象上看函数的图象与轴有3个交点，故对应方程有3个根， 故答案为：3； ②关于的方程有2个实数根，即函数的图象与有2个交点， 观察图象，当或时，函数的图象与有2个交点， 故关于的方程有2个实数根时，或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查的是抛物线与轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征． 六、（本大题共12分） 23. 已知二次函数的图象与轴的交于、两点，与轴交于点． （1）求二次函数的表达式及点坐标； （2）是二次函数图象上位于第三象限内的点，求面积的最大值及此时点的坐标； （3）是二次函数图象对称轴上的点，在二次函数图象上是否存在点．使以为顶点的四边形是平行四边形？若有，请求出点的坐标． 【答案】（1），； （2）面积最大值为，； （3）点的坐标为或或． 【解析】 【分析】（）利用待定系数法求出二次函数表达式，进而可求出点坐标； （）连接，求出直线的表达式为，过点作轴的垂线，交于点，得，可知当取最大值时，的面积最大，设，则，可得，，即得，最后利用二次函数的性质解答即可求解； （）先求出的长及二次函数的对称轴，再分为平行四边形的边和对角线两种情况，根据平行四边形的性质解答即可求解； 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数的几何应用，掌握二次函数的性质及运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【小问1详解】 解：把，代入得， ， 解得， ∴二次函数的表达式为， 当时，， 解得，， ∴； 【小问2详解】 解：连接， 设直线的表达式为，把、代入得， ， 解得， ∴直线的表达式为， 过点作轴的垂线，交于点， 则， ∴当取最大值时，的面积最大， 设，则， ∵点位于第三象限， ∴，， ∴， ∴当时，的面积最大，最大值为， 此时，点的坐标为； 【小问3详解】 解：∵， ∴， 由得，抛物线的对称轴为直线， ∵以为顶点的四边形是平行四边形， 当为平行四边形的边时，， 设点的横坐标为， ∵轴， ∴， 解得或， ∵点在抛物线上， ∴点的坐标为或； 当为平行四边形的对角线时， 则， 解得， ∴点的坐标为； 综上，点的坐标为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学第一次阶段性质量调研评估试题 说明：1、考试范围：第21章，第22章22.1、22.2； 2．考试时间120分钟，满分120分． 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息； 2．请将答案正确填写在答题卡上． 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列方程中，属于一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 2. 二次函数图象的顶点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年2月份售价为35万元，4月份售价为28.35万元，设该款汽车这两月售价的月平均降价率是，则所列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 关于x的一元二次方程 的根的情况说法正确的是（ ） A. 只有一个实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无实数根 5. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（　　） A. B. C. D. 6. 在平面直角坐标系中，拋物线的顶点为，且经过点，其部分图象如图所示，下面结论中：①；②；③；④；⑤若点在此拋物线上，则；正确的个数是（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 若关于x的方程是一元二次方程，则m的取值范围是__________ 8. 一元二次方程化为一般形式是_________． 9. 已知二次函数的顶点坐标为，并且经过平移后能与抛物线重合，那么这个二次函数的解析式是_______． 10. 若a，b是方程的两个实数根，则的值为________． 11. 若二次函数的图象经过点，，，则，，的大小关系是______ 12. 抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），点在抛物线上，且点的横坐标为2，若点为轴上非原点的一点，且为等腰三角形，则点的坐标为______． 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 计算： （1）； （2） 14. 若关于x的一元二次方程x2－bx＋3＝0有一个根是x＝1，求b的值及方程的另一根． 15. 已知关于的一元二次方程有两个实数根，． （1）求实数的取值范围； （2）若方程的两个实数根，满足，求的值． 16. 已知关于的二次函数的图象的对称轴是直线，其最大值是，经过点，交轴于点，请仅用无刻度直尺按下列要求作图． （1）在图1中作二次函数图象上的点； （2）在图2中二次函数图象的对称轴上找一点，使的周长最短． 17. 已知二次函数图象上部分点横坐标、纵坐标的对应值如下表： x … 0 1 2 3 4 … y … 0 5 … （1）画出函数图象； （2）当______时，随的增大而减小； （3）当时，的取值范围为______ 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，一块长为、宽为的长方形土地，在上面修筑了同样宽的三条道路（图中阴影部分），空白的部分种上各种花草．要使种花草的土地面积为，你能求出道路的宽吗？ 19. 已知函数 ． （1）当m为何值时，此函数是一次函数； （2）当m为何值时，此函数是二次函数． 20. 阅读下列材料： 方程两边同时除以，得，即．因为，所以． 根据以上材料解答下列问题： （1）已知方程，则_____；_____． （2）若m是方程的根，求的值． 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 某商城在2024年元旦节期间举行促销活动，一种热销商品进货价为每个14元，标价为每个20元． （1）商城举行了“感恩老客户”活动，对于老客户，商城连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以每个16.2元的价格售出，求商城每次降价的百分率； （2）市场调研表明：当每个商品售价为20元时，平均每天能够售出40个，当销售单价每降1元时，平均每天就能多售出10个．在保证每个商品的售价不低于进价的前提下，商城要想获得最大利润，每个商品应降价多少元？最大利润是多少？ 22. 某班“数学兴趣小组”对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整． （1）自变量的取值范围是全体实数，与的几组对应值列表如下： 0 1 2 3 0 0 其中，=______． （2）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分． （3）观察函数图象，写出两条函数的性质． （4）进一步探究函数图象发现： ①方程：有______个实数根； ②关于的方程有2个实数根时，的取值范围是______． 六、（本大题共12分） 23. 已知二次函数的图象与轴的交于、两点，与轴交于点． （1）求二次函数的表达式及点坐标； （2）是二次函数图象上位于第三象限内的点，求面积的最大值及此时点的坐标； （3）是二次函数图象对称轴上的点，在二次函数图象上是否存在点．使以为顶点的四边形是平行四边形？若有，请求出点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $