16.3 乘法公式（预习讲义）2026-2027学年人教版数学八年级上册

本讲义聚焦初中数学“乘法公式”核心知识点，系统梳理平方差公式、完全平方公式及添括号法则，前承整式乘法一般法则（如多项式乘法特殊情形），后接整式混合运算与化简求值，构建从公式理解到应用的学习支架。 该资料亮点在于通过图形面积验证公式（如阴影部分面积推导平方差公式）培养几何直观（数学眼光），题型分层设计（例+变式+巩固）提升推理意识（数学思维），课中辅助教师精准教学，课后助力学生查漏补缺，强化知识应用。

第十六章 整式的乘法 03讲 乘法公式 题型归纳 【题型1. 运用平方差公式进行运算 2】 【题型2. 平方差公式的应用 2】 【题型3. 运用完全平方公式进行运算 4】 【题型4. 完全平方公式的应用 5】 【题型5. 完全平方公式中字母求参问题 7】 【题型6. 乘法公式中的化简求值 8】 【题型7. 整式的混合运算 9】 【巩固练习 10】 知识清单 知识点1 平方差公式 1.平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 【提示】 平方差公式是多项式乘法（a+b）（p+q）中p=a，q=－b的特殊情形. 知识点2 完全平方公式 1.完全平方公式：两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍. 【提示】 （a+b）2=a2+2ab+b2是多项式乘法（a+b）（p+q）中p=a，q=b的特殊情形. 知识点3 添括号 1.方法：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号. 题型专练 题型1. 运用平方差公式进行运算 【例1】下列各式中，不能用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 【例2】计算_____． 【变式1】计算：________． 【变式2】已知，，则的值是________． 【变式3】若，则的值是_____． 【变式4】定义新运算：，则的运算结果为______． 题型2. 平方差公式的应用 【例1】如图，将图1中阴影部分的小长方形变换到图2位置，根据两个图形的面积关系得到的数学公式是（   ） A． B． C． D． 【例2】如图，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（），把余下的部分剪成两个直角梯形后，再拼成一个等腰梯形． ​ (1)通过计算左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式：______________； (2)利用上述乘法公式计算：； 【变式1】从边长为的正方形内去掉一个边长为的小正方形(如图1)，然后将剩余部分剪拼成一个矩形(如图2)，上述操作所能验证的等式是_________． 【变式2】如图，有一个边长为米的正方形池塘，为了创建文明农村，需在南北方向上扩大米，东西方向上减少米，从而得到一个长方形池塘． (1)求改造后的长方形池塘的面积； (2)改造后的长方形池塘的面积比原正方形池塘的面积变大还是变小了，请通过计算说明． 【变式3】数学中的许多规律不仅可以通过数的运算发现，也可以通过图形的面积发现 (1)如图①，在边长为a的正方形纸片上剪去一个边长为的小正方形．小明和小红分别用了两种不同的方法计算图中阴影部分的面积．小明的方法：若阴影部分看成大正方形与小正方形的面积差，则阴影部分的面积用代数式表示为____________________；小红的方法：若沿图①中的虚线将阴影部分剪开拼成新的长方形（图②），则阴影部分的面积用代数式表示为______________________________； (2)【发现规律】 猜想：这三个代数式之间的数量关系是______________________________； (3)【运用规律】 运用上述规律计算：． 题型3. 运用完全平方公式进行运算 【例1】计算______． 【变式1】计算：________ 【变式2】计算： （1）___________；    （2）=___________． 【变式3】已知，．则________，________ 题型4. 完全平方公式的应用 【例1】如图，根据标注，该图可验证的乘法公式是（    ） A． B． C． D． 【例2】如图，某中学校园内有一个长为米，宽为米的长方形小广场，学校计划在中间留一块边长为米的正方形场地修建一座雕像，并将空余场地（阴影部分）进行绿化．求绿化的面积．（用含的代数式表示） 【变式1】如图1和图2所示，先在边长为的正方形纸片中剪下一个边长为的正方形，再将剩余部分（即图1中的阴影部分）剪拼成一个长方形（即图2）． （1）若图2的一边长为，则“？”所对应的边长为___________（用含的式子表示）； （2）若图2是一个正方形，那么___________． 【变式2】对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，可以得到一个数学等式．例如由图1可以得到，这样就用图形面积验证了完全平方公式． (1)类似的，写出图2中所表示的数学等式为______； (2)如图3，用不同的代数式表示大正方形的面积，由此得到的数学等式为______； (3)利用上面（2）的结论解决问题：若，求的值； (4)利用此方法也可以求出一些不规则图形的面积．如图4，将两个边长分别为和的正方形拼在一起，三点在同一直线上，连接和，若这两个正方形的边长满足，，请求出阴影部分的面积． 【变式3】认真观察下面两个拼图，列出等量关系式表示阴影部分的面积．               (1)图1表示的等量关系式可以是____________________；图2表示的等量关系式可以是____________________； (2)如图3，在六边形中，对角线和相交于点．四边形和四边形都为正方形，，正方形和正方形的面积和为，求阴影部分的面积． 【变式4】阅读材料：我们学习了完全平方式，并知道完全平方式具有非负性．我们可以利用完全平方式的知识，将一般的二次代数式，转化为完全平方式的形式，这个过程叫做“配方”．通过配方，我们可以求代数式的最大（小）值． 例如：求代数式的最小值． 解：我们可以先将代数式配方：， 再利用完全平方式的非负性：， ，的最小值是2． (1)请直接写出x为何值时代数式有最小值，最小值是多少？ (2)求代数式的最大值； (3)某中学数学兴趣小组在临夏中心广场“品牌新天地”前设计了一个长方形花圃，营造迎接新年的氛围，在一块两面靠墙（假设墙长无限）的空地上用花盆摆成长方形，另外两边用总长为的栅栏围成．如图，设，请问：当x取何值时，花圃的面积最大？最大面积是多少？ 题型5. 完全平方公式中字母求参问题 【例1】如果是一个完全平方式，那么的值是（   ） A． B． C． D．以上选项都错 【例2】若，则的值为__________； 【变式1】若是一个完全平方式，且为一个常数，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式2】若多项式是某一个多项式的平方，则常数项的值为_____． 【变式3】若代数式是一个两数和（差）的平方式，则=______． 题型6. 乘法公式中的化简求值 【例1】先化简，再求值：，其中． 【例2】先化简，再求值：，其中． 【变式1】先化简，再求值：，其中 【变式2】先化简，再求值． (1)，其中，． (2)，其中，． 【变式3】先化简，再求值： (1)，其中； (2)，其中，． 题型7. 整式的混合运算 【例1】计算： (1)； (2)． 【例2】计算： (1)； (2)． 【变式1】计算： (1)； (2)． 【变式2】计算： (1)； (2)． 【变式3】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式4】计算： (1) (2) 【变式5】运用乘法公式计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 巩固练习 1．（25-26七年级下·江苏常州·期中）下列各式，能用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·江苏常州·期中）如果是关于的完全平方式，则常数的值为（   ） A． B．1 C．1或 D．1或 3．（2026·江苏连云港·模拟预测）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·陕西西安·期中）已知，则代数式的值是（    ） A．23 B．34 C．45 D．75 5．（25-26七年级下·广东深圳·期中）对于任意四个有理数a，b，c，d，可以组成两个有理数对与．我们规定：．例如：．若是一个完全平方式，则常数的值是（   ） A．11 B． C． D．11或 6．（25-26七年级下·广东深圳·期中）如图，将两张长为a，宽为b的长方形纸片按图1，图2两种方式放置，图1和图2中两张长方形纸片重叠的部分分别记为①和②，正方形中未被这两张长方形纸片覆盖的部分用阴影表示，①和②的面积分别记为和若知道下列条件，不能求出值的是（   ） A．长方形纸片的周长和面积 B．②的长与宽之差 C．图1与图2阴影部分的面积差 D．长方形纸片和②的面积差 7．（25-26七年级下·浙江宁波·期中）定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”． 如果将它们按照从小到大的顺序依次排列，就会形成一组“和谐数列”：，，，则一定是的倍数； 若，则不是“和谐数”； ，为正整数，且，若和都是“和谐数”，则也是“和谐数”． 则上述结论正确的个数是（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 8．（25-26七年级下·江苏南京·期中）若，，则________． 9．（25-26七年级下·湖南岳阳·期中）若是完全平方式，则____ 10．（2026·广东梅州·一模）已知，则___________． 11．（25-26七年级下·浙江湖州·期中）如图，长方形的周长为12（其中），如图2所示，以为边向上作正方形，再以为边向右作正方形，若图2中空白图形的面积和为12，则原长方形的面积为______． 12．（25-26七年级下·湖南永州·期中）如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“柳子数”．如：，，则8，16均为“柳子数”，在不超过2026的正整数中，所有的“柳子数”之和为_____． 13．（25-26七年级下·江苏徐州·期中）计算： (1) (2) 14．（25-26七年级下·江西九江·期中）先化简，后求值，其中． 15．（2026·江西景德镇·二模）先化简，再求值：，其中，． 16．（25-26七年级下·湖南湘潭·期中）先化简，再求值：，其中，． 17．（25-26七年级下·河南平顶山·期中）请认真阅读小明的化简过程，完成以下任务： …第一步 …第二步 …第三步 (1)小明从第 步开始出错； (2)请写出正确的解题过程，并计算当时原式的值； (3)为减少错误，请给小明提供一条解决此类问题的建议． 18．（25-26七年级下·江苏南京·期中）如图，有A，B，C三种类型的卡片． (1)选取1张A型卡片，2张B型卡片，1张C型卡片，恰好拼成一个大正方形． ①请画出所拼大正方形的示意图； ②通过用不同方法表示大正方形的面积，可得到乘法公式为_________． (2)若用若干张A，B，C卡片（每种类型的卡片至少一张），恰好拼成一个大正方形，则使用的所有卡片的张数之和一定是一个完全平方数．请说明理由． 19．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）定义，如． (1)若，求x的值； (2)若的值与x无关，求m，n的值． 20．（25-26七年级下·广东深圳·期中）数形结合是解决数学问题的重要思想方法，借助图形能直观推导和解释许多数学问题． 如图-1，将边长为的正方形分割成四部分，用两种不同的方法计算阴影部分（小正方形）的面积，可以得到代数恒等式：． 如图-2，是用长为、宽为的四个全等长方形拼成一个大正方形，用两种不同的方法计算阴影部分（小正方形）的面积，可以得到另一个代数恒等式：基于上述内容，解决以下问题： (1)若，则___________； (2)若满足，求的值： (3)图-3是某市首届航空航天国防科普展中的平面图，面积为192平方米的长方形展厅中设置两个长方形展区，中间重合部分搭建长方形互动体验台米，米．阴影部分为参观区域，参观区域总周长为46米，求展厅的长比宽多多少米？ 21．（25-26七年级下·山西太原·阶段检测）数学兴趣小组开展探究活动，研究了“正整数能否表示为（均为自然数）”的问题．指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下（为正整数）： 奇数 4的倍数 表示结果 … … 一般结论 _______________ 按如表规律，完成下列问题： (1)（_____________）（_____________）；_____________； (2)兴趣小组还猜测：像，，，，…这些形如（为正整数）的正整数不能表示为（均为自然数）．师生一起研讨，分析过程如下，请你完善以下证明过程： 假设，其中均为自然数．分下列三种情形分析： ①若均为偶数，设，其中均为自然数， 则为4的倍数． 而不是4的倍数，矛盾． 故不可能均为偶数． ②若均为奇数，设，其中均为自然数．…… ③若一个是奇数一个是偶数，则和均为奇数．所以为奇数，而是偶数，矛盾，故不可能一个是奇数一个是偶数．由①②③可知，猜测正确． 阅读以上内容，请独立尝试继续完成在情形②的证明． 1 / 48 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十六章 整式的乘法 03讲 乘法公式 题型归纳 【题型1. 运用平方差公式进行运算 2】 【题型2. 平方差公式的应用 4】 【题型3. 运用完全平方公式进行运算 7】 【题型4. 完全平方公式的应用 9】 【题型5. 完全平方公式中字母求参问题 14】 【题型6. 乘法公式中的化简求值 16】 【题型7. 整式的混合运算 19】 【巩固练习 24】 知识清单 知识点1 平方差公式 1.平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 【提示】 平方差公式是多项式乘法（a+b）（p+q）中p=a，q=－b的特殊情形. 知识点2 完全平方公式 1.完全平方公式：两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍. 【提示】 （a+b）2=a2+2ab+b2是多项式乘法（a+b）（p+q）中p=a，q=b的特殊情形. 知识点3 添括号 1.方法：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号. 题型专练 题型1. 运用平方差公式进行运算 【例1】下列各式中，不能用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是平方差公式，熟知两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差是解答此题的关键． 根据平方差公式的特征对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A．，能用平方差公式计算，故本选项不符合题意； B． ，能用平方差公式计算，故本选项不符合题意； C．，不能用平方差公式计算，故本选项符合题意； D．，能用平方差公式计算，故本选项不符合题意； 故选：C． 【例2】计算_____． 【答案】 【分析】根据平方差公式计算即可． 本题考查了平方差公式的应用，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， 故答案为：． 【变式1】计算：________． 【答案】/ 【分析】本题主要考查平方差公式，直接运用平方差公式进行计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【变式2】已知，，则的值是________． 【答案】24 【分析】本题考查了因式分解的应用．根据平方差公式直接计算即可求解． 【详解】解：∵，， ∴ ， 故答案为：24． 【变式3】若，则的值是_____． 【答案】 【分析】此题考查了因式分解的应用和求代数式的值，准确因式因式分解是关键．把原式变形整体代入即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴ 故答案为： 【变式4】定义新运算：，则的运算结果为______． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了平方差公式，定义新运算， 先根据新定义运算，再结合平方差公式解答． 【详解】解：原式． 故答案为：． 题型2. 平方差公式的应用 【例1】如图，将图1中阴影部分的小长方形变换到图2位置，根据两个图形的面积关系得到的数学公式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平方差公式与几何图形，数形结合是解决问题的关键． 通过题意，分别表示出图1和图2中阴影部分的面积即可得到答案． 【详解】解：图1中阴影部分的小长方形变换到图2位置成为边长为的正方形， 图1中阴影部分的长方形长为、宽为，则面积为； 图2中阴影部分的是边长为的大正方形面积减掉边长为的小正方形面积，则面积为； 由于两个阴影部分面积相等，则得， 故选：C． 【例2】如图，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（），把余下的部分剪成两个直角梯形后，再拼成一个等腰梯形． ​ (1)通过计算左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式：______________； (2)利用上述乘法公式计算：； 【答案】(1) (2)4 【分析】本题主要考查乘法公式的探究，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）计算两个图形的面积，利用面积相等得到等式，从而得到公式． （2）利用乘法公式拆分平方差计算，再利用平方差公式计算即可． 【详解】（1）解：∵两个图形的面积相等，右侧等腰梯形的高为大小正方形边长之差， ∴左侧图形面积为大小正方形面积之差，即； 右侧等腰梯形面积为， ∴． （2）解： ． 【变式1】从边长为的正方形内去掉一个边长为的小正方形(如图1)，然后将剩余部分剪拼成一个矩形(如图2)，上述操作所能验证的等式是_________． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式的运用，解此题的关键是用算式表示图形的面积，用的数学思想是转化思想，即把实际问题转化成用数学式子表示出来．分别求出从边长为的正方形内去掉一个边长为的小正方形后剩余部分的面积和拼成的矩形的面积，根据剩余部分的面积相等即可得出算式，即可选出选项． 【详解】解：从边长为的正方形内去掉一个边长为的小正方形，剩余部分的面积是：， 拼成的矩形的面积是：， ∴根据剩余部分的面积相等得：， 故答案为：． 【变式2】如图，有一个边长为米的正方形池塘，为了创建文明农村，需在南北方向上扩大米，东西方向上减少米，从而得到一个长方形池塘． (1)求改造后的长方形池塘的面积； (2)改造后的长方形池塘的面积比原正方形池塘的面积变大还是变小了，请通过计算说明． 【答案】(1) (2)改造后的长方形池塘的面积与原来正方形面积相比变小了 【分析】本题主要考查了列代数式、整式的乘法及平方差公式等知识，解题的关键是能够根据题意列出代数式，并根据公式法则进行准确计算． （1）将改造后的长方形的长和宽表示出来，即可求出长方形的面积； （2）将改造前后的图形面积计算出来，再进行比较即可得出答案． 【详解】（1）解：由题可得，改造后池塘的长为，宽为， 改造后的面积为：． （2）解：原来的面积为：， ， 改造后的长方形池塘的面积与原来正方形面积相比变小了． 【变式3】数学中的许多规律不仅可以通过数的运算发现，也可以通过图形的面积发现 (1)如图①，在边长为a的正方形纸片上剪去一个边长为的小正方形．小明和小红分别用了两种不同的方法计算图中阴影部分的面积．小明的方法：若阴影部分看成大正方形与小正方形的面积差，则阴影部分的面积用代数式表示为____________________；小红的方法：若沿图①中的虚线将阴影部分剪开拼成新的长方形（图②），则阴影部分的面积用代数式表示为______________________________； (2)【发现规律】 猜想：这三个代数式之间的数量关系是______________________________； (3)【运用规律】 运用上述规律计算：． 【答案】(1)； (2) (3)1275 【分析】（1）大正方形面积为，小正方形的面积为，作差即可； 把长方形的长和宽分别用含有a、b的代数式表示出来，再按照长方形面积公式计算即可； （2）根据第（1）小题发现的规律写出等量关系即可； （3）每两个数为一组按照根据第（2）小题写出的规律进行变形，问题即可解决． 【详解】（1）解：小明的方法：大正方形面积为，小正方形的面积为， ∴阴影部分的面积为； 小红的方法：长方形的长为，宽为， ∴阴影部分的面积为． （2）解：这三个代数式之间的数量关系为： ； （3）解： ． 【点睛】本题是一道综合性题目，通过代数计算填表和面积法两种方式发现规律：平方差公式．然后再运用规律进行计算，提高了学生应用数学的能力，解题的关键是发现规律． 题型3. 运用完全平方公式进行运算 【例1】计算______． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式，解题的关键是掌握，进行解答，即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【变式1】计算：________ 【答案】 【分析】本题考查整式的混合运算，正确掌握多项式乘以多项式计算法则及完全平方公式是解题的关键． 利用完全平方公式进行计算即可． 【详解】解： ； 故答案为： 【变式2】计算： （1）___________；    （2）=___________． 【答案】 【分析】本题考查平方差公式，完全平方公式，掌握平方差公式和完全平方公式是解题的关键． （1）运用平方差公式进行求解即可； （2）运用完全平方公式进行求解即可． 【详解】解：（1）． 故答案为： （2）． 故答案为： 【变式3】已知，．则________，________ 【答案】 4 /0.5 【分析】本题考查了完全平方公式的变形与求值，熟练掌握完全平方公式和整体代入的思想是解题关键． 利用完全平方公式化简，计算即可求值． 【详解】解： ， ． 得：，即， 得：，即， 故答案为：4，． 题型4. 完全平方公式的应用 【例1】如图，根据标注，该图可验证的乘法公式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过分析图形中各部分的边长，分别用两种方式表示阴影部分的面积，从而推导出对应的乘法公式．本题主要考查了完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式的形式以及通过图形面积验证公式的方法是解题的关键． 【详解】解：表示阴影部分面积的第一种方式：阴影部分是边长为的正方形，其面积为． 表示阴影部分面积的第二种方式： 大正方形边长为，面积为；两个长方形的长为、宽为，面积和为；小正方形边长为，面积为． ∴阴影部分面积还可以表示为． 所以，该图可验证的乘法公式是， 故选：C ． 【例2】如图，某中学校园内有一个长为米，宽为米的长方形小广场，学校计划在中间留一块边长为米的正方形场地修建一座雕像，并将空余场地（阴影部分）进行绿化．求绿化的面积．（用含的代数式表示） 【答案】绿化的面积平方米 【分析】本题考查整式加减法的实际应用，列代数式，掌握相关知识是解决问题的关键．根据图形，阴影面积等于外面的大长方形面积减去里面的小正方形面积，列式计算即可． 【详解】解： 平方米 答：绿化的面积平方米． 【变式1】如图1和图2所示，先在边长为的正方形纸片中剪下一个边长为的正方形，再将剩余部分（即图1中的阴影部分）剪拼成一个长方形（即图2）． （1）若图2的一边长为，则“？”所对应的边长为___________（用含的式子表示）； （2）若图2是一个正方形，那么___________． 【答案】 / 1 【分析】本题考查了多项式除以单项式，完全平方公式在几何图形中的应用，几何问题(一元一次方程的应用)，解题关键是掌握完全平方公式． （1）根据图形列出算式，再利用完全平方公式计算，然后利用多项式除以单项式计算出“？”所对应的边长为； （2）根据图2是一个正方形，列出一元一次方程求解． 【详解】（1）解：图1的阴影部分面积为 ， ∵将剩余部分（即图1中的阴影部分）剪拼成一个长方形（即图2），图2的一边长为， ∴“？”所对应的边长为， 故答案为：； （2）∵图2是一个正方形， ∴，解得：， 故答案为：． 【变式2】对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，可以得到一个数学等式．例如由图1可以得到，这样就用图形面积验证了完全平方公式． (1)类似的，写出图2中所表示的数学等式为______； (2)如图3，用不同的代数式表示大正方形的面积，由此得到的数学等式为______； (3)利用上面（2）的结论解决问题：若，求的值； (4)利用此方法也可以求出一些不规则图形的面积．如图4，将两个边长分别为和的正方形拼在一起，三点在同一直线上，连接和，若这两个正方形的边长满足，，请求出阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了完全平方公式、列代数式等知识点，灵活运用完全平方公式进行解题是解答本题的关键． （1）根据大长方形的面积等于两个小长方形的面积之和，即可求解； （2）根据大正方形的面积等于四个小长方形的面积与小正方形的面积之和，即可求解； （3）由（2）可知：，即可求解； （4）由图可知：阴影部分的面积，化简后即可求解； 【详解】（1）解：由图可知：， 故答案为：； （2）解：由图可知：， 故答案为：； （3）解：由（2）可知：， ∴， 解得：， 故答案为： （4）解：由图可知：阴影部分的面积 【变式3】认真观察下面两个拼图，列出等量关系式表示阴影部分的面积．               (1)图1表示的等量关系式可以是____________________；图2表示的等量关系式可以是____________________； (2)如图3，在六边形中，对角线和相交于点．四边形和四边形都为正方形，，正方形和正方形的面积和为，求阴影部分的面积． 【答案】(1)； (2)14 【分析】本题考查了完全平方公式在几何图形中的应用； （1）观察图1可知：阴影部分的面积等于边长为的正方形的面积减去长为宽为的个长方形的面积，图阴影部分的面积等于边长为的正方形的面积减去个长为宽为的长方形的面积，然后列出代数式进行计算； （2）设正方形和正方形的边长分别为，根据题意可得，，进而根据完全平方公式变形，即可求解． 【详解】（1）解：图1表示的等量关系式可以是，图2表示的等量关系式可以是； 故答案为：；． （2）解：设正方形和正方形的边长分别为， ∵正方形和正方形的面积和为， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴ ∴阴影部分的面积为 【变式4】阅读材料：我们学习了完全平方式，并知道完全平方式具有非负性．我们可以利用完全平方式的知识，将一般的二次代数式，转化为完全平方式的形式，这个过程叫做“配方”．通过配方，我们可以求代数式的最大（小）值． 例如：求代数式的最小值． 解：我们可以先将代数式配方：， 再利用完全平方式的非负性：， ，的最小值是2． (1)请直接写出x为何值时代数式有最小值，最小值是多少？ (2)求代数式的最大值； (3)某中学数学兴趣小组在临夏中心广场“品牌新天地”前设计了一个长方形花圃，营造迎接新年的氛围，在一块两面靠墙（假设墙长无限）的空地上用花盆摆成长方形，另外两边用总长为的栅栏围成．如图，设，请问：当x取何值时，花圃的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】(1)当时，代数式有最小值，最小值是6 (2)代数式的最大值是29 (3)当时，花圃的面积最大，最大面积是 【分析】本题考查了完全平方公式、非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键． （1）仿照题干，利用完全平方式的非负性解答即可； （2）将代数式配方为，可得出答案； （3）设，则，花圃的面积，再利用完全平方式的非负性解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴当时，代数式有最小值，最小值是6； （2）解： ， ∵， ∴， ∴， ∴代数式的最大值是29； （3）解：设，则， ∴花圃的面积， ∵， ∴， ∴当时，花圃的面积最大，最大面积是． 题型5. 完全平方公式中字母求参问题 【例1】如果是一个完全平方式，那么的值是（   ） A． B． C． D．以上选项都错 【答案】C 【分析】根据完全平方公式的结构特征，即可求出的值． 【详解】解：完全平方公式为，是一个完全平方式，， ， 即， ． 【例2】若，则的值为__________； 【答案】 【分析】利用完全平方公式展开等式左边，根据多项式相等的对应关系得到关于的方程，求解方程即可得到的值． 【详解】解：根据完全平方公式展开等式左边得 ， ∵， ∴， 解得． 故答案为：． 【变式1】若是一个完全平方式，且为一个常数，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了多项式乘以多项式，完全平方公式，将原式展开后，设，通过比较系数法求常数a的值． 【详解】∵，且该式为完全平方式， ∴设， 比较系数得：， ∴， 又， ∴． 故选：D． 【变式2】若多项式是某一个多项式的平方，则常数项的值为_____． 【答案】36 【详解】本题考查完全平方公式，根据乘积二倍项确定常数项的值． 因为多项式是某一个多项式的平方，所以可设为， 比较系数得，解得， 所以． 故答案为：36． 【变式3】若代数式是一个两数和（差）的平方式，则=______． 【答案】±6 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，将代数式配成完全平方公式，再根据对应系数相等解答即可． 【详解】解：根据题意，得， ∴． 故答案为：． 题型6. 乘法公式中的化简求值 【例1】先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】本题考查整式的化简求值，解题的关键是熟练运用整式的加减运算以及乘除运算，本题属于基础题型． 原式利用多项式乘多项式法则，完全平方公式，平方差公式展开，合并同类项，再计算多项式除以单项式，最后将m，n的值代入计算． 【详解】解： ， 当时，原式． 【例2】先化简，再求值：，其中． 【答案】，0 【分析】本题考查了单项式乘以多项式，平方差公式，完全平方公式，准确掌握公式和法则是化简计算的关键．根据单项式乘以多项式法则，乘法公式化简，合并同类项即可． 【详解】∵ = = =， 当时， 原式 ． 【变式1】先化简，再求值：，其中 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据整式的混合运算法则化简，然后将代入计算即可；灵活运用整式的混合运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 当时，原式． 【变式2】先化简，再求值． (1)，其中，． (2)，其中，． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据多项式除以单项式、平方差公式化简，再把a，b的值代入计算即可； （2）先利用平方差公式和完全平方公式化简，再代入a，b的值计算即可． 【详解】（1）解： ， 当，时， 原式； （2）解： ， 当，， 原式． 【变式3】先化简，再求值： (1)，其中； (2)，其中，． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了整式的混合运算，同底数幂的乘法、积的乘方逆运算等知识点，正确计算是解题的关键． （1）先计算单项式乘以多项式，再进行合并，然后代入求值； （2）先通过整式的混合运算法则进行化简，再利用同底数幂的乘法逆运算和积的乘方逆运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ， 当时，原式； （2）解： ， ∵，， ∴． 题型7. 整式的混合运算 【例1】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】根据多项式乘以多项式的方法展开即可；利用完全平方公式和平方差公式展开，再合并同类项即可. 【详解】（1）解：； ． （2） ． 【例2】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算，幂的运算，整式的加法计算，熟练掌握运算法则是解题的关键． (1)分别进行同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方运算，再进行合并同类项即可； (2)分别由完全平方公式和多项式乘以多项式法则计算，再进行合并即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式1】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了幂的运算，整式的乘法运算和完全平方公式，解题的关键是熟练掌握以上运算法则． （1）根据同底数幂运算法则、幂的乘方运算法则及积的乘方运算法则分别计算，再合并即可； （2）先算整式乘法，再合并即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式2】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了完全平方公式和平方差公式的运用，准确的计算是解决本题的关键． （1）将原式变为，再利用平方差公式和完全平方公式求解即可； （2）将原式变为，再利用完全平方公式求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式3】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了整式的混合运算，实数的运算，完全平方公式，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）利用单项式乘多项式的法则进行计算，即可解答． （2）利用多项式除以单项式的法则进行计算，即可解答． （3）利用完全平方公式，平方差公式进行计算，即可解答． （4）先化简各式，然后再进行计算即可解答． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 【变式4】计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了幂的乘方、同底数幂乘法、同底数幂除法、整式的混合运算等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键． （1）先计算幂的乘方，再计算同底数幂乘法、除法计算，最后合并同类项即可； （2）先运用完全平方公式、平方差公式计算，然后合并同类项即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【变式5】运用乘法公式计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题考查的是乘法公式的应用； （1）把原式化为，再利用平方差公式计算即可； （2）把原式化为，再利用完全平方公式计算即可； （3）把原式化为，再利用完全平方公式计算即可； （4）先利用平方差公式，再利用完全平方公式计算即可； （5）直接利用完全平方公式计算即可； （6）把原式化为，再利用平方差，完全平方公式公式计算即可； 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：； （6）解： ； 巩固练习 1．（25-26七年级下·江苏常州·期中）下列各式，能用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】平方差公式的适用特点为两个二项式相乘，两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数，符合该特点即可用平方差公式计算，据此判断各选项即可． 【详解】解∵ 选项A中，存在相同项，相反项与，符合平方差公式的要求，能用平方差公式计算． 选项B中，两项均互为相反数，没有相同项，不符合要求． 选项C中 ，不存在完全相同的项，也不存在互为相反数的对应项，不符合要求． 选项D中，两项均互为相反数，没有相同项，不符合要求． 2．（25-26七年级下·江苏常州·期中）如果是关于的完全平方式，则常数的值为（   ） A． B．1 C．1或 D．1或 【答案】D 【分析】根据题意可确定两平方项为，则一次项为，则，据此可得答案． 【详解】解：∵是关于的完全平方式， ∴一次项为， ∴， ∴或． 3．（2026·江苏连云港·模拟预测）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、，故A计算正确； B、，故B计算错误； C、，故C计算错误； D、，故D计算错误． 4．（25-26七年级下·陕西西安·期中）已知，则代数式的值是（    ） A．23 B．34 C．45 D．75 【答案】B 【分析】先将所求代数式展开，再利用完全平方公式整理为已知等式的平方和形式，代入已知条件计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 5．（25-26七年级下·广东深圳·期中）对于任意四个有理数a，b，c，d，可以组成两个有理数对与．我们规定：．例如：．若是一个完全平方式，则常数的值是（   ） A．11 B． C． D．11或 【答案】D 【分析】根据已知条件中的定义，列出算式进行化简，再根据完全平方式的结构特征，列出关于的方程，解方程即可． 【详解】解： 是一个完全平方式， ，或者， 解得或． 6．（25-26七年级下·广东深圳·期中）如图，将两张长为a，宽为b的长方形纸片按图1，图2两种方式放置，图1和图2中两张长方形纸片重叠的部分分别记为①和②，正方形中未被这两张长方形纸片覆盖的部分用阴影表示，①和②的面积分别记为和若知道下列条件，不能求出值的是（   ） A．长方形纸片的周长和面积 B．②的长与宽之差 C．图1与图2阴影部分的面积差 D．长方形纸片和②的面积差 【答案】D 【分析】设正方形的边长为，分别表示出和，可得，再运用整式的运算分别验证每个选项的正误． 【详解】解：如图，设正方形的边长为， 可得，，，， ，， ， ，， ， ， A、长方形纸片的周长为，面积为，即知道和，根据完全平方变形公式可得，即知道，故A不符合题意； B、②的长与宽之差为，即知道，故B不符合题意； C、，，，， 图1阴影部分面积为，图2阴影部分面积为，，即知道，故C不符合题意； D、长方形纸片和②的面积差为，不能得到的值，故D符合题意． 7．（25-26七年级下·浙江宁波·期中）定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”． 如果将它们按照从小到大的顺序依次排列，就会形成一组“和谐数列”：，，，则一定是的倍数； 若，则不是“和谐数”； ，为正整数，且，若和都是“和谐数”，则也是“和谐数”． 则上述结论正确的个数是（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【分析】先根据“和谐数”的定义推导得出任意正的“和谐数”都是的正整数倍，再分别对三个结论逐一化简验证即可． 【详解】解：根据“和谐数”的定义，设任意一个“和谐数”为，其中为正整数， 化简：， 任意“和谐数”都是的正整数倍， 验证结论：， 是正整数， 是的倍数，故正确； 验证结论： ， ， ，是的倍数， 是“和谐数”，故错误； 验证结论：设，是正整数， 是“和谐数”， ，得， “和谐数”是的倍数， 是的倍数，， 是的倍数， 是奇数，即是奇数， 是“和谐数”， 是的倍数，得是奇数； 是奇数，是奇数， ，一个是奇数一个是偶数，乘积是偶数，即（为正整数）， ，即是的正整数倍，故是“和谐数”，故正确； 综上，正确的结论有，共个． 8．（25-26七年级下·江苏南京·期中）若，，则________． 【答案】 【分析】利用完全平方公式将所求代数式展开，再将已知条件整体代入计算即可． 【详解】解：， 将，，可得． 9．（25-26七年级下·湖南岳阳·期中）若是完全平方式，则____ 【答案】 【分析】根据所给多项式可确定两平方项为，则一次项为，据此可得答案． 【详解】解：∵是完全平方式， ∴一次项为， ∴ 10．（2026·广东梅州·一模）已知，则___________． 【答案】2 【分析】先把运用完全平方公式展开，再结合，得出，算出，最后代入计算，即可作答． 【详解】解：依题意， ∵ ∴ 解得 ∴． 11．（25-26七年级下·浙江湖州·期中）如图，长方形的周长为12（其中），如图2所示，以为边向上作正方形，再以为边向右作正方形，若图2中空白图形的面积和为12，则原长方形的面积为______． 【答案】8 【分析】本题考查完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式的变形是解题的关键． 设长方形的长为、宽长为，则，利用空白图形的面积和求出，利用完全平方公式变形得到，进而求出的值，从而求出原长方形的面积． 【详解】解：设长方形的长为、宽长为， ， ， 以为边向上作正方形，再以为边向右作正方形， 空白图形的面积和为：， ， 即， ， ， ， ， 原长方形的面积为：． 12．（25-26七年级下·湖南永州·期中）如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“柳子数”．如：，，则8，16均为“柳子数”，在不超过2026的正整数中，所有的“柳子数”之和为_____． 【答案】257048 【分析】根据“柳子数”的定义，设出两个连续奇数分别为，，推导得到“柳子数”的表达式为，结合不超过2026的条件确定的范围，再化简求和即可求解． 【详解】解：设两个连续奇数分别为，，其中为正整数， 由平方差公式得， 令，解得， ∴所有不超过的“柳子数”之和为：． 13．（25-26七年级下·江苏徐州·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 14．（25-26七年级下·江西九江·期中）先化简，后求值，其中． 【答案】， 【分析】先计算括号内整式的乘法运算，再合并同类项，最后计算多项式除以单项式，再把代入化简后的结果计算即可. 【详解】解： ． 当时，原式. 15．（2026·江西景德镇·二模）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【详解】解： ， 当时，原式． 16．（25-26七年级下·湖南湘潭·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】，5 【详解】解： ， 当，时，原式． 17．（25-26七年级下·河南平顶山·期中）请认真阅读小明的化简过程，完成以下任务： …第一步 …第二步 …第三步 (1)小明从第 步开始出错； (2)请写出正确的解题过程，并计算当时原式的值； (3)为减少错误，请给小明提供一条解决此类问题的建议． 【答案】(1)一 (2)见解析，27 (3)应该牢记乘法公式，去括号时若括号前是减号，括号内各项都要变号（答案不唯一，言之有理即可） 【详解】（1）解：小明从第一步开始出错，完全平方公式展开不正确； （2）解： …第一步 …第二步 …第三步 当时，原式 （3）解：应该牢记乘法公式，去括号时若括号前是减号，括号内各项都要变号（答案不唯一，言之有理即可） 18．（25-26七年级下·江苏南京·期中）如图，有A，B，C三种类型的卡片． (1)选取1张A型卡片，2张B型卡片，1张C型卡片，恰好拼成一个大正方形． ①请画出所拼大正方形的示意图； ②通过用不同方法表示大正方形的面积，可得到乘法公式为_________． (2)若用若干张A，B，C卡片（每种类型的卡片至少一张），恰好拼成一个大正方形，则使用的所有卡片的张数之和一定是一个完全平方数．请说明理由． 【答案】(1)①见详解；② (2)理由见详解 【分析】（1）结合三种卡片的数量以及每种卡片的面积即可求解； （2）先假设拼接后大正方形的边长，然后利用乘法公式确定大正方形的面积，再结合三种卡片的面积即可确定所需每种卡片的数量，继而求解． 【详解】（1）解：①所拼大正方形的示意图如图所示： ②． （2）解：设拼接后的大正方形的边长为，则大正方形的面积为 ． 因为1张A型卡片的面积为，1张B型卡片的面积为，1张C型卡片的面积为， 所以拼接后的大正方形包含了张A型卡片，张B型卡片，张C型卡片, 所以使用的所有卡片的张数之和为，即它是一个完全平方数． 19．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）定义，如． (1)若，求x的值； (2)若的值与x无关，求m，n的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据新定义得到，求解即可； （2）根据新定义计算，进而根据的值与x无关得到，，求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解： ， ∵的值与x无关， ∴，， ∴， ∴． 20．（25-26七年级下·广东深圳·期中）数形结合是解决数学问题的重要思想方法，借助图形能直观推导和解释许多数学问题． 如图-1，将边长为的正方形分割成四部分，用两种不同的方法计算阴影部分（小正方形）的面积，可以得到代数恒等式：． 如图-2，是用长为、宽为的四个全等长方形拼成一个大正方形，用两种不同的方法计算阴影部分（小正方形）的面积，可以得到另一个代数恒等式：基于上述内容，解决以下问题： (1)若，则___________； (2)若满足，求的值： (3)图-3是某市首届航空航天国防科普展中的平面图，面积为192平方米的长方形展厅中设置两个长方形展区，中间重合部分搭建长方形互动体验台米，米．阴影部分为参观区域，参观区域总周长为46米，求展厅的长比宽多多少米？ 【答案】(1) (2)46 (3)比宽多4米 【分析】（1）直接把代入计算，即可作答． （2）因为代入，整理得，再代入计算，即可作答． （3）设米，米，结合面积为192平方米的长方形展厅中设置两个长方形展区，参观区域总周长为46米，得出，整理得出，最后把数值代入计算，即可作答． 【详解】（1）解： ， ； （2）解：依题意，设， 则， ∴ ， 的值为46： （3）解：设米，米， 由题意得，， 即 ∴， ， ， ， 即比宽多4米． 21．（25-26七年级下·山西太原·阶段检测）数学兴趣小组开展探究活动，研究了“正整数能否表示为（均为自然数）”的问题．指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下（为正整数）： 奇数 4的倍数 表示结果 … … 一般结论 _______________ 按如表规律，完成下列问题： (1)（_____________）（_____________）；_____________； (2)兴趣小组还猜测：像，，，，…这些形如（为正整数）的正整数不能表示为（均为自然数）．师生一起研讨，分析过程如下，请你完善以下证明过程： 假设，其中均为自然数．分下列三种情形分析： ①若均为偶数，设，其中均为自然数， 则为4的倍数． 而不是4的倍数，矛盾． 故不可能均为偶数． ②若均为奇数，设，其中均为自然数．…… ③若一个是奇数一个是偶数，则和均为奇数．所以为奇数，而是偶数，矛盾，故不可能一个是奇数一个是偶数．由①②③可知，猜测正确． 阅读以上内容，请独立尝试继续完成在情形②的证明． 【答案】(1)6，5； (2)见解析 【分析】（1）根据规律即可求解；根据规律即可求解； （2）先利用完全平方公式展开，再合并同类项，最后提取公因式即可． 【详解】（1）解：由表格可得，奇数的一般规律为： ∴当时，解得： ∴ 故答案为：，； 由表格可得：的倍数的规律为： 故答案为：． （2）解：②若均为奇数， 设 ，其中均为自然数． ∴ ． ∵为的倍数，而不是的倍数，矛盾， ∴不可能均为奇数． 1 / 48 学科网（北京）股份有限公司 $