4.3.2 第2课时 等比数列的前n项和公式应用课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

4.3.2 第2课时 等比数列的前n项和公式应用 作者编号：32003 1.掌握等比数列前n 项和公式在几何中的应用.(重点) 2.能够运用等比数列前n项和公式解决实际问题.(难点) 3.能够利用递推公式解决一些实际问题.(难点) 学习目标 作者编号：32003 情景导入 侏罗纪蜘蛛网: 侏罗纪蜘蛛网是一种非常有规则的蜘蛛网，如图，左图的蜘蛛网可以看成是由无数个如右图所示的正方形环绕而成，且每一个正方形的四个顶点都恰好在它的外围一层正方形四条边的三等分点上，设外围第一个正方形的边长是m，有人说，如此下去，蜘蛛网的长度也是无限的增大，那么侏罗纪蜘蛛网的长度真的是无限长的吗？ 研究侏罗纪蜘蛛网的长度，需要用到数列的哪些知识呢？ 作者编号：32003 例题讲解 例10 如图，正方形 的边长为，取正方形 各边的中点 作第2个正方形 ，然后再取正方形各边的中点，作第3个正方形 ，依此方法一直继续下去. (1) 求从正方形开始，连续10个正方形的面积之和； (2) 如果这个作图过程可以一直继续下去，那么所有这些正方形的面积之和将趋近于多少？ 分析：可以利用数列表示各正方形的面积，根据条件可知，这是一个等比数列. 解：设第一个正方形的面积为，后续面积依次为,,则=25, 由于第个正方形的顶点是第个正方形各边的中点，所以= 因此{} 是以25为首项，为公比的等比数列. 作者编号：32003 例题讲解 设{}的前项和为. (1)=== 所以,前10个正方形的面积之和为c. (2)当无限增大时，无限趋近于所有正方形的面积和 而== 随着的无限增大,将趋近于0,将趋近于50. 所以,所有这些正方形的面积之和将趋近于50. 作者编号：32003 等比数列前n项和公式Sn＝ (q≠1)有什么样的函数特征？ ①当q≠1时， 即Sn是n的指数型函数. ②当q＝1时，Sn＝na1，即Sn是n的正比例函数. qn的系数与常数项互为相反数. 知识总结 作者编号：32003 例题讲解 例11 去年某地产生的生活垃圾为20万吨，其中14万吨垃圾以填埋方式处理，6万吨垃圾以环保方式处理.预计每年生活垃圾的总量递增5%，同时，通过环保方式处理的垃圾量每年增加1.5万吨.为了确定处理生活垃圾的预算，请你测算一下从今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量(精确到0.1万吨). 分析：由题意可知，每年生活垃圾的总量构成等比数列，而每年以环保方式处理的垃圾量构成等差数列.因此，可以利用等差数列、等比数列的知识进行计算. 作者编号：32003 = = =() 解：假设从今年起每年生活垃圾的总量{}，每年环保方式处理垃圾量{}， 年内通过填埋方式处理的垃圾总量为 ，则 =20, =6+1.5 当时， 所以，从今年起5年内，通过填埋方式处理的垃圾总量约为 63.5万吨. 作者编号：32003 规律总结 (1)求形如cn＝an±bn的前n项和公式，其中{an}与{bn}是等差数列或等比数列； (2) 将等差数列和等比数列分开： Tn＝ c1 + c2 +… + cn ＝ (a1 + a2 +… + an )± (b1 + b2 +… + bn ) (3) 利用等差数列和等比数列前n项和公式来计算Tn. 数列求和方法：分组求和法 作者编号：32003 变式训练 1.某牛奶厂2015年初有资金1000万元,由于引进了先进的生产设备，资金年平均增长率可达到50%，每年年底扣除下一年的消费基金后，剩余资金投入生产.这家牛奶厂每年应扣除多少消费基金，才能实现经过5年资金达到2000万元的目标(精确到1万元)？ 作者编号：32003 例题讲解 例12. 某牧场今年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率为8% ，且在每年年底卖出100头牛。设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为 （1）写出一个递推公式，表示与之间的关系； （2）将（1）中的递推公式表示成 的形式，其中, 为常数； （3）求=的值（精确到1）. 分析: (1)可以利用每年存栏数的增长率为8%和每年年底卖出100头建立cn+1与cn的关系；(2)这是待定系数法的应用，可以将它还原为(1)中的递推公式形式, 通过比较系数,得到方程组； (3)利用(2)的结论可得出解答. 作者编号：32003 例题讲解 作者编号：32003 规律总结 作者编号：32003 变式训练 作者编号：32003 等比数列的判定 (1)定义法：＝q(常数)(n∈N*)⇔{an}是等比数列；＝q(常数)(n≥2，n∈N*)⇔{an}是等比数列． (2)等比中项法：＝anan＋2(n∈N*)⇔{an}是等比数列． (3)通项公式法：an＝(Aq≠0)⇔{an}是等比数列． (4)前n项和公式法：Sn＝Aqn－A(Aq≠0且q≠1)⇔{an}是等比数列. 注意：（3）（4）不能作为证明方法． 知识拓展 作者编号：32003 延伸：若{an}是公比为q的等比数列，S偶, S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则S偶, S奇之间有什么关系？ (1)若等比数列{an}的项数有2n项，则 (2)若等比数列{an}的项数有2n＋1项，则 S奇＝a1＋a3＋… ＋ a2n-1 ＋a2n+1 ＝a1＋(a3＋… a2n-1 ＋a2n+1) ＝a1＋q(a2＋a4＋…＋a2n) ＝a1＋qS偶 S奇＝a1＋qS偶 S偶＝a2＋a4＋…＋a2n S奇＝a1＋a3＋…＋a2n－1 S偶＝a2＋a4＋…＋a2n ⇔ S偶＝qS奇 ⇔ 作者编号：32003 小试牛刀 已知等比数列 共有32项，其公比 ，且奇数项之和比偶数项之和少60，则数列 的所有项之和是( @3@ ) A. B. C. D. D 解：设等比数列 <m></m> 的奇数项之和为 <m></m> ，偶数项之和为 <m></m> , 则 <m></m> 故数列 <m></m> 的所有项之和是 <m></m> . 又S奇 +60=S偶，则S奇 +60=3S奇, ∴S奇= 30，S偶= 90 作者编号：32003 等比数列前项和的性质： (1)等比数列中，若项数为，则；若项数为则. (2)若等比数列的前项和为，则，，，成等比数列 (其中，，，均不为0). (3)若一个非常数数列的前项和(，，)，则数列为等比数列， 即(，，，)数列为等比数列. 课堂总结 作者编号：32003 设A＝－，则Sn＝Aqn－A. 解析：设这家牛奶厂每年应扣除x万元消费基金 ， 则2015年底剩余资金是:1000(1+50%)-x ; 2016年底剩余资金是: [ 1000(1+50%)-x] (1+50%)-x =1000(1+50%)2- (1+50%) x -x ; …… 5年后资金达到:1000(1+50%)5- (1+50%)4 x-(1+50%)3 x-(1+50%)2 x- (1+50%) x. 由题意得:1000(1+50%)5- (1+50%)4 x-(1+50%)3 x-(1+50%)2 x- (1+50%) x -x≥ 2000 . 解得: x ≤ 424 所以该牛奶厂每年应扣除424 万元的消费基金才能达到目标. 解: (1)由题意, 得c1=1200, 并且 cn＋1＝1.08cn-100. ① (2) 将cn+1-k= r(cn-k)化为 ：cn+1=rcn-rk + k ② 比较①②的系数可得: (3) 由(2)可知 {cn-1250}是以-50为首项，1.08为公比的等比数列， ≈ 1250×10-724.3 = 11775.7 ≈ 11776. 则 (c1-1250)+(c2-1250)+(c3-1250)+ … +(c10-1250) ∴ S10 = c1+c2+c3+…+c10 解得: 所以(1)中的递推公式可以化为: cn+1-1250=1.08( cn-1250) = (c1+c2+c3+…+c10)-10×1250 第1步　假设递推公式可改写为: an＋1＋t＝p(an＋t)； 第4步　写出数列 {an} 通项公式. 递推公式an＋1＋t＝p(an＋t)可化为: 第2步 由待定系数法,解得: t = ； 第3步 写出等比数列 通项公式； 形如an＋1＝pan＋q的通项公式 注意：1°其中p，q为常数； 2°且pq (p－1) ≠0 . 可用待定系数法求 形如an＋1＝pan＋q的通项公式，步骤如下： 2.已知等比数列{an}的前n项和Sn,若Sn = 2an+1,求Sn. 解析:等比数列{an}的前n项和Sn, 当n≥2时, an = Sn- Sn-1 ∵Sn = 2an+1,∴Sn+1 = 2 an+1 +1 ∴Sn+1 = 2(Sn+1 - Sn) +1 ∴2Sn =Sn+1 +1 则2Sn -2= Sn+1 -1 ∴2(Sn -1) = Sn+1 -1 ∴ =2 又∵S1 = 2 a1 +1 ∴ S1 = -1 ∴ S1-1 = -2 ， 则数列{ Sn -1}是以首项为-2,公比为2的等比数列 ∴ Sn -1=-2×2 n-1 则 Sn = -2 n+1 $