4.2.1 第1课时 等差数列的概念及通项公式-《学霸笔记·同步精讲》2026-2027学年高中数学选择性必修第二册教师用书配套课件（人教版）

4.2.1　等差数列的概念 第一课时　等差数列的概念及通项公式 第四章　数列 1 课标要求 1.理解等差数列、等差中项的概念（数学抽象）. 2.掌握等差数列的通项公式，并能运用通项公式解决一些简单的问题（逻辑推理、数学运算）. 情境导入 　北京天坛圜丘坛的地面由石板铺成，从内到外每一圈的石板数依次为9，18，27，36，45，54，※.你能猜出※代表的数字吗？ 目 录 CONTENTS 知识点一　等差数列的概念 知识点二　等差中项 知识点三　等差数列的通项公式 小结与自测 课时作业 知识点一　等差数列的概念 目录 5 问题　观察下列三个问题中的数列： （1）全国统一鞋号中，成年女鞋的各种尺码（表示以cm为单位的鞋底的 长度）由大到小可排列为25，24.5，24，23.5，23，22.5； 提示：对于（1），24.5－25＝－0.5，…；对于 （2）在过去的300多年里，人们记下了哈雷彗星出现的时间：1682， 1758，1834，1910，1986； 提示：对于（2），1758－1682＝76，…；对于 数学·选择性必修第二册 目录 （3）为增强体质，学校增加了体育训练的项目，下面记录了某班5名男生 1分钟内引体向上的个数：10，10，10，10，10. 以上数列有什么共同特征？ 提示：对于（3），10－10＝0，….观察可知这3个数列从第 二项起，每一项与它前一项的差都等于同一个常数. 数学·选择性必修第二册 目录 文字语言 一般地，如果一个数列从第 项起，每一项与它的 ⁠ 的差都等于 ，那么这个数列就叫做等差数列，这个 叫做等差数列的公差，公差通常用字母 表示 符号语言 an＋1－an＝d（d为常数，n∈N*） 提醒：（1）作差的顺序为后项减去它前面相邻的一项，不可颠倒；（2） 差必须是同一个常数；（3）公差可以是正数、负数、零. 2　 前一 项 同一个常数　 常数 　 d　 数学·选择性必修第二册 目录 【微思考】 等差数列的定义中，为什么要“从第2项起”？ 提示：第1项前面没有项，无法与后续条件中“与前一项的差”相吻合. 数学·选择性必修第二册 目录 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）常数列是等差数列. （　√　） （2）等差数列的公差不能为负数. （　×　） （3）若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数 列是等差数列. （　×　） （4）若数列{an}满足an＋1－an＝1（n＞1，n∈N*），则数列{an}是等差 数列. （　×　） √ × × × 数学·选择性必修第二册 目录 2. 已知数列 是等差数列，且a1＝2，a3＝6，则该等差数列的公差d＝ （　　） A. B. 1 C. D. 2 解析：由等差数列的定义可知a2－a1＝a3－a2，所以a2＝4，故公差d＝a2－a1＝2. √ 数学·选择性必修第二册 目录 3. 判断下列各组数列是不是等差数列.如果是，写出首项a1和公差d. （1）1，3，5，7，9，…； 解：是，a1＝1，d＝2. （2）9，6，3，0，－3，…； 解：是，a1＝9，d＝－3. （3）1，3，4，5，6，…； 解：不是. （4）7，7，7，7，7，…； 解：是，a1＝7，d＝0. （5）1， ， ， ， ，…. 解：不是. 数学·选择性必修第二册 目录 规律方法 利用定义判断等差数列的策略 　　从第二项起，检验每一项减去它的前一项所得的差是否都等于同一个 常数，若是同一个常数，则是等差数列，否则不是等差数列. 数学·选择性必修第二册 目录 知识点二　等差中项 目录 14 问题　（1）如果1，x，3这三个数是等差数列，你能求出x的值吗？ 提示：由等差数列的定义可知x－1＝3－x，即2x＝1＋3，x＝2. （2）若三个数a，b，c满足2b＝a＋c，则a，b，c一定是等差数列 吗？反之，是不是也成立？ 提示：若a，b，c满足2b＝a＋c，即b－a＝c－b，故a，b，c为等差 数列.反之，若a，b，c成等差数列，则有2b＝a＋c成立. 数学·选择性必修第二册 目录 提醒：（1）任意两个实数都有等差中项，且唯一；（2）等差中项的几何 意义是两个实数的平均数，即A＝ ；（3）等差数列{an}中，an是an－ k和an＋k的等差中项，注意序号间的关系. 数学·选择性必修第二册 目录 （1）若a＝ ，b＝ ，则a，b的等差中项为（　　） A. B. C. D. 解析：由题知a，b的等差中项为 （ ＋ ）＝ （ － ＋ ＋ ）＝ . √ 数学·选择性必修第二册 目录 （2）在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c，使这五个数成等差数列， 求此数列. 解：∵－1，a，b，c，7成等差数列， ∴b是－1与7的等差中项，∴b＝ ＝3. 又a是－1与3的等差中项，∴a＝ ＝1. 又c是3与7的等差中项，∴c＝ ＝5. ∴该数列为－1，1，3，5，7. 数学·选择性必修第二册 目录 规律方法 等差中项的应用策略 （1）求两个数x，y的等差中项A，即根据等差中项的定义得A＝ ； （2）证三项成等差数列，只需证中间一项为两边两项的等差中项即可， 即若a，b，c成等差数列，则有a＋c＝2b；反之，若a＋c＝2b，则 a，b，c成等差数列. 数学·选择性必修第二册 目录 训练1　（1）已知a＋3是2a－1和2a＋1的等差中项，则3a－5和4a＋6的 等差中项为 ⁠； 解析：因为a＋3是2a－1和2a＋1的等差中项，所以2（a＋3）＝2a－1＋ 2a＋1，解得a＝3，则3a－5＝4，4a＋6＝18，所以3a－5和4a＋6的等 差中项为 ＝11. 11 数学·选择性必修第二册 目录 （2）已知 ， ， 是等差数列，求证： ， ， 也是等差数 列. 证明：∵ ， ， 成等差数列， ∴ ＝ ＋ ，即2ac＝b（a＋c）. ∵ ＋ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ， ∴ ， ， 成等差数列. ∵ ， ， 成等差数列， ∴ ＝ ＋ ，即2ac＝b（a＋c）. ∵ ＋ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ， ∴ ， ， 成等差数列. 数学·选择性必修第二册 目录 知识点三　等差数列的通项公式 目录 22 问题　你能根据等差数列的定义an－an－1＝d（n≥2），推导出等差数列 的通项公式吗？ 提示：法一（归纳法）　由题意知，an＝ ＋d，故有a2＝a1＋d，a3 ＝a2＋d＝a1＋2d，a4＝a3＋d＝a1＋3d，…，归纳可得an＝a1＋（n－ 1）d（n≥2）.当n＝1时，上式也成立，故an＝a1＋（n－1）d. 法二（累加法）　a2－a1＝d，a3－a2＝d，a4－a3＝d，…，an－an－1＝ d，左右两边分别相加可得，an－a1＝（n－1）d，即an＝a1＋（n－1）d. 法三（迭代法）　因为{an}是等差数列，所以an＝an－1＋d＝an－2＋d＋d ＝an－2＋2d＝an－3＋d＋2d＝an－3＋3d＝…＝a1＋（n－1）d. 数学·选择性必修第二册 目录 首项为a1，公差为d的等差数列{an}的通项公式为an＝ ⁠ ⁠. a1＋（n－1） d　 数学·选择性必修第二册 目录 角度1　等差数列基本量的计算 （链接教材P14例1）在等差数列{an}中. （1）已知a5＝－1，a8＝2，求a1与d； 解：∵a5＝－1，a8＝2， ∴ 解得 数学·选择性必修第二册 目录 （2）已知a1＋a6＝12，a4＝7，求an. 解：设数列{an}的公差为d， 由已知得， 解得 ∴an＝1＋（n－1）×2＝2n－1. 数学·选择性必修第二册 目录 角度2　等差数列通项公式的应用 （链接教材P15例2）已知等差数列10，7，4，…. （1）求这个数列的第10项； 解：记数列为{an}，则由题意知a1＝10，公差d＝7－10＝－3， 因此数列的通项公式为an＝10＋（n－1）×（－3）＝－3n＋13. 当n＝10时，有a10＝－3×10＋13＝－17， 因此第10项为－17. 数学·选择性必修第二册 目录 （2）－56是不是这个数列中的项？－40呢？如果是，求出是第几项；如 果不是，说明理由. 解：设－56是数列中的第n项， 则－3n＋13＝－56，解得n＝23， 所以－56是数列的第23项. 设－40是数列中的第k项， 则－3k＋13＝－40，解得k＝ ∉N*， 由此可知－40不是此数列中的项. 数学·选择性必修第二册 目录 规律方法 等差数列通项公式的求法与应用技巧 （1）等差数列的通项公式可由首项与公差确定，所以要求等差数列的通 项公式，只需求出首项与公差即可； （2）等差数列{an}的通项公式an＝a1＋（n－1）d中共含有四个参数， 即a1，d，n，an，如果知道了其中的任意三个参数，那么就可以由通项 公式求出第四个参数，即“知三求一”. 数学·选择性必修第二册 目录 训练2　（1）2 026是等差数列4，6，8，…的（　　） A. 第1 009项 B. 第1 010项 C. 第1 011项 D. 第1 012项 解析：∵此等差数列的公差d＝2，a1＝4，∴an＝4＋（n－1）×2＝2n＋2，令2 026＝2n＋2，解得n＝1 012. √ 数学·选择性必修第二册 目录 （2）在等差数列{an}中， ①已知a4＝10，a14＝70，求an； ②已知a3＝0，a7－2a4＝－1，求公差d； ③已知{an}的前3项依次为2，6，10，求a15. 数学·选择性必修第二册 目录 解：①由题意得 解得 所以an＝a1＋（n－1）d＝6n－14. ②由题意得解得 ③由题意得，d＝6－2＝4，把a1＝2，d＝4代入an＝a1＋（n－1）d，得 an＝2＋（n－1）×4＝4n－2，所以a15＝4×15－2＝58. 数学·选择性必修第二册 目录 小结与自测>> 目录 33 数学·选择性必修第二册 目录 1. 〔多选〕（2026·无锡月考）下列数列是等差数列的有（　　） A. 8，8，8，8 B. －2，－1，0，1 C. 1，2，4，6 D. 1，1，2，3 解析：A选项中的数列是常数列，是等差数列，公差为0；B选项中的数列是公差为1的等差数列；C选项中的数列的第3项与第2项的差为2，第2项与第1项的差为1，因此该数列不是等差数列；D选项中的数列的第2项与第1项的差为0，从第3项开始，每一项与它的前一项的差是1，因此该数列不是等差数列. √ √ 数学·选择性必修第二册 目录 2. （2026·长沙质检）若a是a2与1的等差中项，则a＝（　　） A. 1 B. 0或1 C. －2或1 D. － 或1 解析：　由a是a2与1的等差中项得2a＝a2＋1，解得a＝1. √ 数学·选择性必修第二册 目录 3. 已知等差数列{an}的前三项分别为a－1，a＋1，2a＋1，则该数列的 通项公式为（　　） A. an＝2n－5 B. an＝2n－3 C. an＝2n－1 D. an＝2n＋1 解析：　设该等差数列的公差为d，因为等差数列{an}的前三项分别为a －1，a＋1，2a＋1，所以2（a＋1）＝a－1＋2a＋1，解得a＝2，所以 a1＝1，d＝2，所以an＝a1＋（n－1）d＝2n－1. √ 数学·选择性必修第二册 目录 4. 在等差数列{an}中，a1＝2，a15＝58. （1）求数列{an}的通项公式； 解：设等差数列{an}的公差为d， 则a15＝a1＋14d＝58，因为a1＝2， 于是得d＝4，an＝a1＋（n－1）d＝4n－2， 所以数列{an}的通项公式是an＝4n－2. （2）判断96是不是数列{an}中的项？ 解：由（1）知，an＝4n－2，令4n－2＝96，得n＝ 不是正整数， 所以96不是数列{an}中的项. 数学·选择性必修第二册 目录 课时作业>>（时间：60分钟　满分：106分）[备注：单选、填空题5分，多选题6分] 目录 39 1. 已知在等差数列{an}中，a1＝1，d＝3，则当an＝298时，n＝（　　） A. 90 B. 96 C. 98 D. 100 解析：　由题意知1＋3（n－1）＝298，解得n＝100. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目录 2. 已知数列{an}是等差数列，若a1＝2，a4＝2a3，则公差d＝（　　） A. 0 B. 2 C. －1 D. －2 解析：因为数列{an}是等差数列，公差为d，若a1＝2，a4＝2a3，则2＋3d＝2（2＋2d），解得d＝－2.故选D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目录 3. 已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝an＋6，则a5＝（　　） A. 25 B. 30 C. 32 D. 64 解析：由an＋1＝an＋6得an＋1－an＝6，所以{an}是以6为公差的等差数列，又a1＝1，所以a5＝a1＋（5－1）×6＝1＋24＝25，故选A. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目录 4. 一个等差数列的前4项是a，x，b，2x（b≠0，x≠0），则 ＝（　　） A. B. C. D. 解析：∵b是x，2x的等差中项，∴b＝ ＝ ，又∵x是a，b的等差中项，∴2x＝a＋b，∴a＝ ，∴ ＝ . √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目录 5. 等差数列20，17，14，11，…中第一个负数项是（　　） A. 第7项 B. 第8项 C. 第9项 D. 第10项 解析：∵a1＝20，d＝－3，∴an＝20＋（n－1）×（－3）＝23－3n，∴a7＝2＞0，a8＝－1＜0.故数列中第一个负数项是第8项. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目录 6. 〔多选〕下列通项公式表示的数列为等差数列的是（　　） A. an＝3n＋1 B. an＝n2＋1 C. an＝1 D. an＝1－2n 解析：对于A，∵an＋1－an＝3（n＋1）＋1－（3n＋1）＝3，为常数，∴此数列为等差数列，A正确；对于B，an＋1－an＝（n＋1）2＋1－（n2＋1）＝2n＋1，不是一个常数，故该数列不是等差数列，B不正确；对于C，an＋1－an＝1－1＝0，为常数，该数列是等差数列，C正确；对于D，an＋1－an＝1－2（n＋1）－（1－2n）＝－2，为常数，该数列是等差数列，D正确.故选A、C、D. √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目录 7. 〔多选〕在等差数列{an}中，a1＝ ，a4＋a5＝ ，ak＝33，则（　　） A. k＝49 B. k＝50 C. an＝ D. an＝ 解析：设等差数列{an}的公差为d，则a4＋a5＝2a1＋7d＝ ，又a1＝ ，则d＝ ，an＝ ＋（n－1）× ＝ ，故ak＝ ＝33，解得k＝50. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目录 8. 在数列{an}中，若 ＝ ＋ ，a1＝8，则数列{an}的通项公式 为 ⁠. 解析：由题意得 － ＝ ，故数列{ }是首项为 ＝2 ， 公差为 的等差数列，所以 ＝2 ＋ （n－1）＝ n＋ ，故 an＝2（n＋1）2. an＝2（n＋1）2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目录 9. 已知△ABC的三边a，b，c成等差数列， ， ， 也成等差数 列，则△ABC的形状为 ⁠. 解析：因为a，b，c成等差数列， ， ， 也成等差数列，所以 则4b＝（ ＋ ）2＝a＋c＋2 ，即a＋c＝ 2 ，所以（ － ）2＝0，故a＝c＝b，所以△ABC为等边三角形. 等边三角形 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目录 10. （13分）在等差数列{an}中，a1＋a5＝8，a4＝7. （1）求该数列的第10项； 解：设数列{an}的公差为d， 则 解得 （1）a10＝a1＋9d＝－2＋27＝25. （2）问112是数列{an}的第几项？ 解： an＝－2＋（n－1）×3＝3n－5， 由112＝3n－5，解得n＝39. 所以112是数列{an}的第39项. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目录 （3）在80到110之间有多少项？ 解：由80＜3n－5＜110， 解得28 ＜n＜38 ， 所以n的取值为29，30，…，38，共10项. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目录 11. 已知a＞0，b＞0，并且 ， ， 成等差数列，则a＋9b的最小值为 （　　） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 解析：由等差中项的定义可得 ＋ ＝1，故a＋9b＝（a＋9b）·（＋ ）＝1＋ ＋ ＋9≥10＋2 ＝16（当且仅当a＝4，b＝ 时取等号）. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目录 12. 若首项为－21的等差数列{an}从第8项起开始为正数，则公差d的取值 范围是（　　） A. （3，＋∞） B. （－∞， ） C. ［3， ） D. （3， ］ 解析：由题意可知an＝－21＋（n－1）d.∵从第8项起开始为正数， ∴a7＝－21＋6d≤0，a8＝－21＋7d＞0，解得3＜d≤ . √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目录 13. 〔多选〕在数列{an}中，已知a2＝2，a6＝0，且数列 是等差数 列，公差为d，则（　　） A. a4＝ B. a3＝1 C. d＝ D. d＝ √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目录 解析：由题意得 解得 因此 ＝ ＋3d＝ ，故a4＝ ， ＝ ＋2d＝ ，解得a3＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目录 14. （15分）在等差数列{an}中，a1＋a3＝8，且 ＝a2·a9. （1）求数列{an}的首项和公差； 解：设等差数列{an}的公差为d，由已知可得 ⇒ 或 即数列{an} 的首项是4，公差为0或首项是1，公差为3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目录 （2）设bn＝ ，若bm＋ ＝ ，求正整数m的值. 解：由（1）可知an＝4或an＝1＋3（n－1）＝3n－2，当an＝4时， bn＝ ＝1， 又bm＋ ＝ ，而1＋1＝2＞1，不满足题意； 当an＝3n－2时，bn＝ ＝ ， 又bm＋ ＝ ，所以 ＋ ＝ ， 整理得m2－5m－6＝0，因为m为正整数，所以m＝6. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目录 15. （15分）设数列{an}是等差数列，且公差为d.若数列{an}中任意不同 的两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”. （1）若等差数列{an}中，a1＝4，d＝2，求证：数列{an}是“封闭数 列”； 解：证明：因为a1＝4，d＝2，所以an＝4＋2（n－1）＝2n＋2， 所以对任意的s，t∈N*，s≠t，有as＋at＝（2s＋2）＋（2t＋2）＝2 （s＋t＋1）＋2. 因为s＋t＋1∈N*，所以as＋at是数列{an}中的项. 所以数列{an}是“封闭数列”. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目录 （2）若an＝2n－7，试判断等差数列{an}是否为“封闭数列”，并说 明理由. 解：数列{an}不是“封闭数列”.理由如下： 因为an＝2n－7，所以a1＝－5，a2＝－3， 所以a1＋a2＝－8. 令an＝－8，即2n－7＝－8，可得n＝－ ∉N*. 所以数列{an}不是“封闭数列”. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目录 $