四川省威远中学校2026-2027学年高二上学期第一次学情调研数学试题

威远中学校2028届高二上期第一次学情调研 数学试卷 一、单选题(本题共计 8 个小题,每个小题只有一个选项正确,每小题 5 分,共计 40 分) 1.直线的倾斜角为( ) A. B. C. D. 2.以为圆心,为半径的圆的方程为( ) A. B. C. D. 3.若直线与垂直,则( ) A.4 B.1 C.4 D.1 4.直线与间的距离是( ) A.1 B. C.2 D. 5.在空间直角坐标系中,点,点关于轴对称的点为,则( ) A. B. C. D.2 6.已知点为圆外一点,则实数的取值范围为( ) A. B. C. D. 7.已知两点,,若圆上存在点P使得,则实数m的取值范围是( ) A. B. C. D. 8.实数,满足,则的最小值为( ) A.3 B. C. D.6 二、多选题(本题共计 3 个小题,每小题 6 分,共计 18 分) 9.平面内过点且在两坐标轴上的截距相等的直线有( ) A. B. C. D. 10.下列说法正确的是( ) A.已知,,则A,B,C三点共线. B.已知,,则在上的投影向量为, C.已知三棱锥,点P为平面上的一点,且,则 D.若直线的方向向量为,平面的法向量为,则 11.已知圆关于直线和直线对称,圆经过点,点是直线 上的一动点,过点作圆的两条切线,切点分别为.则下列说法正确的是( ) A.圆的标准方程 B.四边形周长的最小值为 C.直线过定点 D.若是圆上一点,的取值与无关,则实数的取值范围是 三、填空题(本题共计 3 个小题,每小题 5 分,共计 15 分) 12.已知圆与圆外切,则a的值为 13.已知实数x,y满足,则的取值范围为。 14.已知实数满足,, 则的最大值是 。 四、解答题(本题共计 5 个小题,共计 77 分) 15.(本题 13 分) 三角形的顶点是, (1)若直线l过点C且与边AB所在直线平行,求直线l的方程. (2)求边上的高所在直线的方程; (3)求边的垂直平分线在直线的方程; 16.(本题 15 分) 如图,在四棱锥中,平面,,,,, 点M是棱的中点. (1)求证:平面; (2)求平面与平面夹角的余弦值; 17.(本题 15 分) 已知圆的圆心在直线上,点,都在圆上. (1)求圆的方程; (2)求过点且与圆相切的直线方程. 18.(本题 17 分) 已知圆C的圆心C在直线上,圆心C在y轴右侧且圆心C到y轴的距离为1,圆C被直线截得的弦长为4. (1)求圆C的方程; (2)设点D在圆C上运动,且点T满足,(O为坐标原点)记点T的轨迹为E. ①求曲线E的方程; ②过点的直线与曲线E交于A,B两点,问在x轴正半轴上是否存在定点N, 使得x轴平分∠ANB?若存在,求出点N的坐标;若不存在,请说明理由. 19. (本题 17 分) 如图,,,都是等边三角形,点D,E分别在平面的上方和下方, 点为中点. (1)求证:A,D,O,E四点共面; (3)若,求直线与平面所成角的正弦值的最大值. 威远中学校2028届高二上期第一次学情调研 数学试卷答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 A A B B C D D D BC BC ABD 6.D【详解】由点在圆外,则,得.又表示圆,得,得.综上:,即实数的取值范围为.故选:D 7.由点及,得点在以为直径的圆上, 其圆心,半径,而圆的圆心,半径, 又点在圆上,因此,即,则, 又点与点都不重合,即,则,即,所以实数m的取值范围 是. 8.D【详解】设,,, 表示直线上的动点到直线和点的距离之和, 令关于直线的对称点,则,可得, 所以关于直线的对称点,则, 当且仅当时取等号,故所求最小值是到的距离为. 选择:D 9.当截距均为时,设直线方程为,则,解得, 所以所求直线方程为,即;当截距均不为时,设直线方程为,则,解得,所以所求直线方程为,即;综上可得所求直线方程为或.故选:BC 10.BC【详解】对于A,由,,因为,所以与不共线,即三点不共线,故A错误;对于B,在上的投影向量为,故B正确; 对于C,因为为平面上的一点,所以四点共面,所以,即,故C正确;对于D,由题易得,则,故D错误.故选:BC. 11.ABD【详解】A:圆关于直线和对称,因此圆心是这两条线的交点. 联立方程:解得,即圆心.圆C经过点,半径为圆心到的距离,因此圆的标准方程为,A正确; B:四边形的周长为(为切线长). 切线长因此周长为 要使周长最小,需最小(在直线上). 的最小值为圆心到直线的距离: 此时周长最小值为,B正确; C:设满足以为直径的圆的方程为 与圆的方程相减得公共弦(即切点弦)的方程 整理得代入 变形为代入上式,整理得,联立,可得, 说明直线所过定点为错误; :由, 表示圆上的点到直线、距离和的倍, 要使的取值与无关,只需圆在两条直线之间,如上图, 又到的距离,即直线与圆相离, 若过圆心,则,即直线过圆心,则为,显然, 所以,只需在圆的另一侧与圆相切或相离即可,即且, 所以,即D选项正确. 12.圆的圆心为,半径为;圆的圆心为,半径为; 两圆的圆心距,而两圆外切,故,解得. 13.【详解】将整理为,此方程表示圆心为,半径为2的圆, 设点是圆上一点,令,,则与圆有公共点, 所以,解得.故答案为: 14.【详解】由题意,可知在圆上,由,可得,则,因, 而和可理解为点到直线的距离和. 如图,取中点,连接,分别作于点,于点,于点, 则,且. 又,即点的轨迹方程为, 要使最大值,需使取最大值, 由图知,显然当线段经过圆心时,的值最大.由点到直线的距离为,故,此时, 故. 15题、一二问各4分,第三问5分 16.(1)取的中点为,连接,略……1分 由于为的中点,所以且,又且, 因此,且,所以四边形为平行四边形,略……4分 故,平面,平面,所以平面;……6分 (2)建立如图所示的空间直角坐标系,. 因为平面,平面,所以, 又因为,,平面, 所以平面,即平面的一个法向量为,……9分 设平面的法向量为,, 由,令,得,所以,……12分 平面与平面夹角的余弦值为;……15分 【详解】(1)设圆心,由题,……4分 解得,所以,圆的方程为:;……8分 (2)当的斜率不存在时,方程为,圆心到直线距离等于2,此时与圆相切,符合题意;……10分 当的斜率存在时,设方程为,此时圆心到直线的距离等于半径2, 即:, ……13分 解得:,此时方程为:, 综上可得方程为和,……15分 18.【详解】(1)由题意可设圆C的圆心C的坐标为,∵圆C的圆心C在直线上, ∴,解得:,即圆心为,∴圆心到直线l的距离为, 设圆C的半径为r,则弦长为,由已知得 所以,所以圆C的标准方程为; ……5分 (2)①设,,则,, 由得:,所以 D在圆C上运动, 整理可得点T的轨迹方程E为: ……10分 ②当直线AB⊥x轴时,x轴平分∠ANB,当直线AB斜率存在且不为零时,设直线AB的 方程为,联立化简可得, 方程的判别式, 设,,,则, ……13分 若x轴平分∠ANB,则,所以, 又,,所以, 所以,所以 所以解得,∴存在时,能使x轴平分∠ANB.……17分 19.(1)连接DO、AO、EO,因为,,都是等边三角形, 所以,……4分 又在平面内交于点O,在平面内交于点O, 所以平面,平面, ……7分 因为过O只有一个平面与垂直,且平面与平面有公共点O, 所以平面与平面是同一平面,即A,D,O,E四点共面;……10分 (2)连接DO、AO、EO,AD,以OA,OB分别为x、y轴, 以过点O且垂直于平面ABC的直线为Z轴,建立空间直角坐标系,……11分 则,因为是等边三角形,边长,点为中点,所以,所以又,, 设平面的法向量, 取得,所以,……14分 因为是等边三角形,边长,点为中点, 所以,又, 由(1)得为二面角平面角,设,则点, 故, 设直线与平面所成角为,则 ,其中, 当时,取得最大值为,所以直线与平面所成角的正弦值的最大值. ……17分 答案第1页(共2页) 第7页(共9页) 学科网(北京)股份有限公司 $