四川省威远中学校2024-2025学年高二上学期12月月考数学试题

威远中学2023级高二上学期12月月考 数 学 出题人：第一命题小组 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟. 第Ⅰ卷 （选择题 共58分） 1、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知直线，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 2．已知是三个不同的平面，是两条不同的直线，下列命题为真命题的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，则 3．圆台上、下底面半径分别是1，2，高为，这个圆台的体积是（    ） A． B． C． D． 4．已知方程表示焦点在轴上的椭圆,则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．设为直线上的动点，过点作圆：的切线，则切线长的最小值为（    ） A．2 B． C．3 D． 6．椭圆上一点在运动过程中，总满足关系式，那么该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 7．已知直线：和圆：，且圆上至少存在两点到直线的距离为1，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．已知方程有两个不等的实根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题（本题共3个小题，每题6分，有多个选项，不分选对得部分分，共18分） 9．已知圆与圆，下列说法正确的是（    ） A．与的公切线恰有4条 B．与相交弦的方程为 C．与相交弦的弦长为 D．若分别是圆上的动点，则 10．设椭圆C：的焦点为、，M在椭圆上，则（    ） A． B．的最大值为7，最小值为1 C．的最大值为16 D．△面积的最大值为10 11．如图，在棱长为2的正方体中，为正方体的中心，为的中点，为侧面正方形内一动点，且满足∥平面，则（    ） A．三棱锥的外接球表面积为 B．动点的轨迹是一条线段 C．三棱锥的体积是随点的运动而变化的 D．若过A，，三点作正方体的截面，为截面上一点，则线段长度的取值范围为 第II卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分，请把答案填在答题卡相应位置上. 12．三棱锥中，平面，则该三棱锥的外接球表面积等于 . 13．已知为圆上任意一点，则的最小值为 14．点P是椭圆上的一点，则点P到直线的距离最大值是 ． 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．(本小题满分13分）已知动点与两个定点，的距离的比是2. (1)求动点的轨迹的方程； (2)直线过点，且被曲线截得的弦长为，求直线的方程. 16．(本小题满分15分）如图，四棱锥的底面是正方形，侧面PAD是正三角形，，且侧面底面ABCD，E为侧棱PD的中点． (1)求证：平面EAC； (2)求三棱锥的体积． 17．(本小题满分15分）在平面直角坐标系中，已知两点的坐标分别为，，直线相交于点，且它们的斜率之积是. (1)求动点的轨迹方程； (2)若点的轨迹与直线相交于两个不同的点，线段的中点为.若直线的斜率为 ，求线段的长. 18．(本小题满分17分）图1是边长为的正方形ABCD，将沿AC折起得到如图2所示的三棱锥，且． (1)证明：平面平面ABC； (2)点M是棱PA上不同于P，A的动点，设，若平面PBC与平面MBC的夹角的余弦值为，求的值． 19．(本小题满分17分）已知椭圆的左、右焦点分别为、，过点且垂直于轴的弦长为，且 ．（从以下三个条件中任选一个，将其序号写在答题卡的横线上并作答．） ①椭圆的长轴长为；②椭圆与椭圆有相同的焦点；③，与椭圆短轴的一个端点组成的三角形为等边三角形． (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线经过，且与椭圆交于，两点，求面积的最大值． 威远中学2023级高二上学期12月月考数学参考答案 1．C【详解】当时，，即，则，即； 当时，，解得.所以“”是“”的充要条件. 2．C【详解】对于A，由，，得或与相交，故A错误； 对于B，若，，则m与n可能是异面直线、也可能是相交直线，也可能是平行直线，所以B错误； 对于C，若，由线面垂直的性质定理知，所以C正确； 对于D，若，则与可能相交，也可能平行，所以D错误. 3．D【详解】由题意． 4．C【详解】根据题意,要使方程表示焦点在轴上的椭圆,需满足,解得. 5．B【详解】圆心为，半径为，设切点为，要使得切线长最小，则最小，此时， 所以，所以， 6．B【详解】由题意，可知椭圆的焦点在轴上，且，所以椭圆的离心率为. 7．A【详解】圆的方程为：，则圆心为，要使圆上至少存在两点到直线的距离为1，则当圆心到直线的距离必须小于3，即，解得. 8．D【详解】关于的方程有两个不等的实数解，即有两个不相等的实数解，即函数与的图象有两个交点， 因为是以为圆心，1为半径的上半圆（除去点）， 又因为是过定点的直线，由图可知，当直线在和之间时符合要求， 当直线为时，，当直线为时，由点到直线的距离等于半径可得（正值舍去），所以实数的取值范围是. 9．BD【详解】由已知得圆的圆心，半径，圆的圆心，半径， ，故两圆相交，所以与的公切线恰有2条，故A错误； 做差可得与相交弦的方程为到相交弦的距离为，故相交弦的弦长为，故C错误；若分别是圆上的动点，则，故D正确. 10． ABC【详解】由椭圆方程知：，∴，故A正确.，，故B正确.，此时在椭圆左右顶点上，同时△面积也最大，为，故C正确，D错误. 11．ABD【详解】对于A：由题意可知：三棱锥的外接球即为正方体的外接球， 可知正方体的外接球的半径，所以三棱锥的外接球表面积为，故A正确； 对于B：如图分别取，的中点H，G，连接，，，．由正方体的性质可得，且平面，平面，所以∥平面， 同理可得：∥平面，且，平面，所以平面平面，而平面，所以平面，所以点F的轨迹为线段GH，故B正确； 对于C：由选项B可知，点F的轨迹为线段GH，因为平面，则点F到平面的距离为定值， 同时的面积也为定值，则三棱锥的体积为定值，故C不正确；对于D：如图，设平面与平面交于AN，N在上．因为截面平面，平面平面，所以．同理可证，所以截面为平行四边形，所以点N为的中点．在四棱锥中，侧棱最长，且．设棱锥的高为h，因为，所以四边形为菱形，所以的边上的高为面对角线的一半，即为，又，则，，所以，解得．综上，可知长度的取值范围是 12．.将三棱锥补成长方体，则三棱锥的外接球和长方体的外接球是一致的.设长方体外接球半径为，则：，所以，所以外接球的表面积为， 13．【详解】依题意可得，则表示圆上的点与点连线的斜率，显然当过点且与圆相切（除外）时，斜率取得最小值，设此时切线斜率为，则切线方程为，即.由圆心到切线的距离等于半径，得，解得 14．【详解】设，为OP与x轴正半轴的夹角，则点P到直线的距离为，其中，故. 15．【详解】（1）设点，动点与两个定点，的距离的比是，，即，则，化简得，所以动点的轨迹的方程为； （2）由（1）可知点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，直线被曲线截得的弦长为， 圆心到直线的距离， ①当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时圆心到直线的距离是3，不符合条件； ②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 所以圆心到直线的距离，化简得，解得或， 此时直线的方程为或.综上，直线的方程是或. 16．【详解】（1）连接交于，连接，∵、分别为、的中点，∴，∵平面，平面，∴∥平面； （2）过P作PF⊥AD于F，∵侧面PAD是正三角形，∴PF⊥AD， ∵平面底面ABCD，平面底面ABCD＝AD，平面PAD， ∴PF⊥平面ABCD，故. 17．【详解】（1）设得 （2）设，得，所以有得 由题可知两式求差化简得即因为所以 所以直线的方程为联立解得或 所以 18．【详解】（1）由于正方形ABCD的边长为，所以． 取AC的中点O，连接PO，BO，由题意，得，再由，可得，即． 由题易知，又，面，所以平面ABC， 又平面PAC，所以平面平面ABC． （2）由（1）可知，，又， 故以OC，OB，OP所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系． 则，，，．所以，，， 由题意知，所以．所以．设平面MBC的法向量为， 则令，得；设平面的法向量为， ，令，得；则， 设，，则上式可化为，即，所以（舍去）， 所以，解得． 19．【详解】（1）若选①．由题意得：，解得：，所以：椭圆的方程为. 若选②．椭圆的焦点坐标为，则，又，得，由，得， 所以椭圆的方程为. 若选③.由题意得：，又与椭圆短轴的一个端点组成等边三角形，所以，又，得，，所以椭圆的方程为. （2）易知，设直线的方程为，联立，得：， 设点，，由根与系数的关系得，，， 所以， 设，则 因为函数在上单调递增，所以函数在上单调递减，所以当时，，（此时，直线为）.故：面积的最大值为． ( 4 ) ( 3 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$