精品解析：陕西省咸阳市三原县南郊中学2026-2027学年高一上学期阶段性学情诊断（一）数学试题（A）

2026-2027学年（上）高一阶段性学情诊断（一） 数学试题（A） 本试卷共4页，19题，全卷满分150分，考试用时120分钟． 一、单选题：（每题5分，共40分，每题只有一个正确答案） 1. 设命题p：，，则命题p的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，由全称命题的否定是特称命题，即可得到结果. 【详解】因为命题p：，是全称命题， 结合特称命题的否定是全称命题， 其否定是，. 故选：B 2. 若集合中的元素是的三边长，则一定不是（　　） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合中元素的互异性可得答案. 【详解】根据集合元素的互异性，在集合中，必有， 故一定不是等腰三角形； 故选：D. 3. 设，则“且”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行推理即可. 【详解】若且，则，充分性成立；取，则成立，但“且”不成立，必要性不成立.因此“且”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 4. 已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由Venn图确定集合的表示，然后计算可得． 【详解】， 由题意图中阴影部分表示为， 故选：B． 5. 集合A={x|x2=1}，B={x|ax=1}，若B⊆A，则实数a的值为（ ） A. 1 B. -1 C. ±1 D. 0或±1 【答案】D 【解析】 【分析】对进行分类讨论，结合求得的值. 【详解】解：A={x|x2=1}={1，-1}.当a=0时，，满足B⊆A；当a≠0时，B=，因为B⊆A，所以=1或=-1，即a=±1.综上所述，a=0或a=±1. 故选：D 6. 已知集合，集合，则（       ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】化简得，，再分析即可 【详解】由题意，，， 因为表示所有奇数，能表示所有整数，故 7. 关于x的一元二次方程有一个正根和一个负根的充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】可先求出一正一负根的充要条件，然后判断． 【详解】一元二次方程，有一个正根和一个负根的充要条件是：，， ， 而的一个充分不必要条件是． 故选：C． 【点睛】本题考查充分不必要条件，解题时可先寻找充要条件，然后根据充分不必要的定义判断． 8. 已知，且，则的最小值为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】利用基本不等式求解即可. 【详解】由于，所以，即, 所以，解得：或， ，则的最小值为2. 二、多选题（每题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 9. 对于实数，，，下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BC 【解析】 【分析】举反例即可判断A，对于B，由不等式的性质即可判断；对于CD，由作差法即可判断. 【详解】对于A，当，则，故A错误； 对于B，若，则首先不可能等于0，否则矛盾， 从而，所以，故B正确； 对于C，若，则，，所以，故C正确； 对于D，若，则，所以，故D错误. 10. 下列说法中错误的是（ ） A. 实数是成立的充要条件 B. 若，，则 C. “对，恒成立”是“”的必要不充分条件 D. 设，则的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】取特例可判断A，B；利用基本不等式可判断C，D. 【详解】对于选项A，由，可得，即充分性成立； 若，则，但不成立，所以必要性不成立，故A错误； 对于选项B，当时，满足， 但此时，不成立，故B错误； 对于选项C，当时，， 当且仅当，即时等号成立，若恒成立，则， 所以“对恒成立”是“”的必要不充分条件，故C正确； 对于选项D，由题意得，则， 由不成立，所以等号不成立， 即的最小值不是，故D错误. 11. 设S为实数集的非空子集．若对任意，都有，则称S为封闭集．下列命题正确的是（ ） A. 自然数集N为封闭集 B. 整数集Z为封闭集 C. 集合为封闭集 D. 若S为封闭集，且，则S一定为无限集 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据封闭集的定义，举反例判断A；根据封闭集定义可判断B，C；由封闭集定义可推出所有整数都属于S，判断D. 【详解】对于A，取，则，故自然数集N不是封闭集； 对于B，任意两个整数的和、差、积仍是整数，故整数集Z为封闭集； 对于C，设都是整数， 则，故， 同理， , 故集合为封闭集，C正确； 对于D，若S为封闭集，且，则, 则，依此类推可得所有整数都属于S， 则S一定为无限集，D正确， 故选：BCD 三、填空题：（每题5分，共20分） 12. 满足的集合有__个． 【答案】7 【解析】 【分析】根据非空子集的定义求解. 【详解】由题意可知与的非空子集的并集， 而的非空子集有有个， 所以满足条件的有7个， 故答案为：7. 13. 若实数，且，则的最小值为__________． 【答案】9 【解析】 【分析】注意到，然后由基本不等式可得答案. 【详解】因，则，从而 ，当且仅当， 即时取等号. 14. 已知命题“，使得”为真命题，则实数的取值范围为____. 【答案】 【解析】 【详解】因为命题“，使得”为真命题，所以， 解得或，即实数的取值范围为. 四、解答题：（共6小题，共70分．第一个解答题10分，其它的12分） 15. 已知全集，，. （1）求； （2）求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先确定集合和，再根据交集运算求交集； （2）先求集合和的并集，再求其在全集中的补集. 【小问1详解】 ，因为， 解方程，得或，所以. 所以. 【小问2详解】 因为，，所以. 因为全集，所以. 16. 解下列不等式： （1） （2）， 【答案】（1） 解集为. （2） 当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为. 【解析】 【分析】（1）将化成标准形式后,令得到,或,再根据口诀大于取两边,小于取中间可得; （2）对分三种情况：① ;② ;③进行讨论可得. 【小问1详解】 由，得， 令，得，或， 所以,， 所以原不等式的解集为. 【小问2详解】 因为， 当时，， 此时原不等式的解集为， 当时，原不等式化为， 所以原不等式的解集为， 当时，， 此时原不等式的解集为， 综上所述：当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 17. 已知，命题p：，；命题q：，使得 （1）若p是真命题，求a的取值范围； （2）若p，q一个为真命题，一个为假命题，求a的取值范围； 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）移项，分离参数a，把不等式转化为，根据x的范围求出的范围，即可求出a的取值范围. （2）一真一假，分两种情况，p真q假：求出q为假命题时a的取值范围，已求出p是真命题时a的取值范围，取交集即可；p假q真：p假a的取值范围是p真a的取值范围在R中的补集，同理可求q真的解集，取交集即可. 【小问1详解】 若p是真命题，即，成立， ，因为，所以，， 即a的取值范围是. 【小问2详解】 若p是真命题，q为假命题： q为假命题，即，， 无解，即. （1）已求出p是真命题a的取值范围是， 联立，；不等式组的解集是. 若p是假命题，q为真命题： p是真命题时a的取值范围是，则p是假命题a的取值范围是； q为假命题时a的取值范围是，则q为真命题a的取值范围是. 联立，，不等式组的解集是. 综上，a的取值范围或 18. 已知非空集合，． （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围； （3）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）代入参数求集合后计算并集； （2）将转化为列不等式求解； （3）将充分不必要条件转化为是的真子集，分类讨论列不等式求解即可. 【小问1详解】 当时，，，故， 因为，所以. 【小问2详解】 因为，所以， 则有不等式组，解得， 所以实数的取值范围为. 【小问3详解】 因为，所以或， 因为“”是“”的充分不必要条件， 所以 ，其中，即， 若，则，解得，符合题意； 若，则，解得， 结合得， 综上所述，的取值范围为. 19. 2025年上海奇迹花园国际艺术花展于9月20日正式启幕，本次花展首次实现沉浸IP展、花卉景观、跨界艺术、光影夜花园四展合一，为市民游客打造一个可游、可赏、可感的秋季治愈系童话世界．某公园受此启发打算设计一个八边形活动区域，该区域的主体造型平面图是由两个相同的矩形和构成的十字形区域，十字形的面积为．计划在正方形上建一座花坛，造价为2100元/；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺地砖，造价为105元/；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为40元/．设长为，总造价为元，求： （1）设长为，用表示，并求出的取值范围； （2）用表示这个八边形的面积； （3）如何设计可使总造价最低，并求出最低造价． 【答案】（1） ，的取值范围为 （2） ， （3） 当的长为时，总造价最低，最低造价为元 【解析】 【分析】 （1）根据十字形区域面积公式建立与的等量关系，结合求解的范围； （2）八边形面积等于十字形面积加上四个角上的三角形面积，代入关于的表达式化简即可； （3）分别计算各部分造价得到总造价关于的函数，利用基本不等式求最小值. 【小问1详解】 由题意，十字形区域由中间一个边长为的正方形和四个长为、宽为的矩形组成， 因为十字形区域的面积为， 所以， 解得， 因为，即，且， 所以，解得， 所以，的取值范围为. 【小问2详解】 由题可得八边形活动区域由十字形区域和四个空角组成，且四个空角为全等的直角边长为的等腰直角三角形， 所以四个三角形的面积之和为 ， 又因为十字形区域面积为，所以八边形的面积， 由（1）得代入得，. 【小问3详解】 设总造价为元， 由题可得， 由基本不等式得， 当且仅当，即（舍去负值）时等号成立， 又因为符合题意， 所以当的长为时，总造价最低，最低造价为元. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年（上）高一阶段性学情诊断（一） 数学试题（A） 本试卷共4页，19题，全卷满分150分，考试用时120分钟． 一、单选题：（每题5分，共40分，每题只有一个正确答案） 1. 设命题p：，，则命题p的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 若集合中的元素是的三边长，则一定不是（　　） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 3. 设，则“且”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 5. 集合A={x|x2=1}，B={x|ax=1}，若B⊆A，则实数a的值为（ ） A. 1 B. -1 C. ±1 D. 0或±1 6. 已知集合，集合，则（       ） A. B. C. D. 7. 关于x的一元二次方程有一个正根和一个负根的充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，且，则的最小值为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、多选题（每题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 9. 对于实数，，，下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 下列说法中错误的是（ ） A. 实数是成立的充要条件 B. 若，，则 C. “对，恒成立”是“”的必要不充分条件 D. 设，则的最小值为 11. 设S为实数集的非空子集．若对任意，都有，则称S为封闭集．下列命题正确的是（ ） A. 自然数集N为封闭集 B. 整数集Z为封闭集 C. 集合为封闭集 D. 若S为封闭集，且，则S一定为无限集 三、填空题：（每题5分，共20分） 12. 满足的集合有__个． 13. 若实数，且，则的最小值为__________． 14. 已知命题“，使得”为真命题，则实数的取值范围为____. 四、解答题：（共6小题，共70分．第一个解答题10分，其它的12分） 15. 已知全集，，. （1）求； （2）求. 16. 解下列不等式： （1） （2）， 17. 已知，命题p：，；命题q：，使得 （1）若p是真命题，求a的取值范围； （2）若p，q一个为真命题，一个为假命题，求a的取值范围； 18. 已知非空集合，． （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围； （3）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 19. 2025年上海奇迹花园国际艺术花展于9月20日正式启幕，本次花展首次实现沉浸IP展、花卉景观、跨界艺术、光影夜花园四展合一，为市民游客打造一个可游、可赏、可感的秋季治愈系童话世界．某公园受此启发打算设计一个八边形活动区域，该区域的主体造型平面图是由两个相同的矩形和构成的十字形区域，十字形的面积为．计划在正方形上建一座花坛，造价为2100元/；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺地砖，造价为105元/；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为40元/．设长为，总造价为元，求： （1）设长为，用表示，并求出的取值范围； （2）用表示这个八边形的面积； （3）如何设计可使总造价最低，并求出最低造价． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $