精品解析：安徽合肥市肥东县安徽师范大学附属肥东实验学校2026—2027学年九年级上学期第一次学情自测数学试卷

九年级数学练习（21.1～21.4） 时间：120分钟 满分：150分 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列函数（，，是常数）中，一定是二次函数的是（　　） A. B. C. D. 2. 把二次函数y=x2﹣4x+3化成y=a（x+h）2+k的形式是（　　　） A. y=（x+2）2+1 B. y=（x+2）2+7 C. y=（x﹣2）2﹣1 D. y=（x+2）2﹣7 3. 将抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位，所得的抛物线是（　　） A. B. C. D. 4. 函数（m为常数）的图象与x轴公共点的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 1或2 5. 在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 6. 观察下列表格，可得出一元二次方程的一个近似解是（     ） x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 0.84 2.29 3.76 5.25 A. B. C. D. 7. 如图，二次函数与一次函数的图象交于，两点，已知点，点在轴上，则不等式的解集是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 8. 已知二次函数，当时，二次函数的最小值为，则实数a的值为（　　） A. 5或1 B. 5或 C. 或1 D. 或 9. 已知二次函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知抛物线（a，b，c为常数，且）的对称轴是，且抛物线与x轴的一个交点坐标是，与y轴的交点坐标是，且．有下列结论：①；②；③；④关于x的一元二次方程必有两个不相等的实数根．其中结论正确的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分） 11. 二次函数的图像的顶点在轴上，则的值为__________． 12. 已知，当自变量的取值范围是时，函数值的取值范围是_____． 13. 如图是一座截面为抛物线形的拱形桥，当拱顶离水面2米高时，水面宽度为4米，则当水面下降2米时，水面的宽度为________米． 14. 在平面直角坐标系中，已知抛物线和点、，其中、的坐标分别为，． （1）若抛物线与轴只有一个交点，则的值为_______． （2）若抛物线与线段有两个不同的交点，则的取值范围是______． 三、解答题（共9小题，共90分） 15. 在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，且过点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）求将抛物线向左平移几个单位，可使得平移后所得抛物线经过原点？ 16. 如图，抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点． （1）求点A和点B的坐标； （2）抛物线的对称轴上存在一点P，使得的值最小，求此时点P的坐标． 17. 如图，用一段长为的篱笆围成一边靠墙的矩形菜园，墙长为，且的长不小于．设菜园的宽为，面积为． （1）求与之间的函数关系式，并求自变量的取值范围； （2）当取何值时，这个菜园的面积有最大值，最大值是多少？ 18. 如图，已知二次函数的图像与轴交于，两点． （1）求的值； （2）若点在该二次函数的图像上，且的面积为，求点的坐标． 19. 一次足球训练中，小明从球门正前方的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面．已知球门高为2.44m，现以O为原点建立如图所示直角坐标系． （1）求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）． （2）对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处？ 20. 已知y与x满足二次函数（m为常数）． （1）若点在该函数图象上，则 ； （2）证明：该二次函数的图象与x轴有两个不同的交点； （3）若该函数图象上有两个点，当时，请直接写出p的取值范围． 21. 2026年央视春晚在浙江义乌设立分会场，一只因缝制失误而嘴角下撇的毛绒小马“哭哭马”意外走红，成为春晚热销品．某商铺以每件15元的价格购进“哭哭马”，分为线上和线下两种销售方式．线下市场调查发现，当售价为35元/件时，日销量为80件．售价每降低1元，日销量可增加10件． （1）借助春晚热度尽快减少库存，商家决定降价促销．为使线下销售利润达到1800元，则每件应降价多少元？ （2）若线上售价与线下相同，但每件产品商家需多付3元快递费，且线上日销量固定为100件．当每件降价多少元时，线上和线下的日利润总和最大？并求出最大利润． 22. 新定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点，若点满足，那么称点是点的“合作点”．例如：，当点满足时，则点是点的“合作点”． （1）已知点，点是点的“合作点”，则点的坐标为_____； （2）若点是抛物线上一动点，点，若点是点的“合作点”，试求出中关于的函数表达式； （3）在（2）的条件下，把中关于的函数图象向上平移4个单位得到新函数图象，设新函数的图象与轴交于点，直线上总有点，使得点的“合作点”落在新函数的图象上，求出的取值范围． 23. 如图，直线与x轴、y轴分别交于点A与点B，抛物线经过点A、B，在线段上有一动点，点D不与点O，A重合，过点D作x轴的垂线分别交直线于点C，交抛物线于点 （1）求抛物线的函数表达式； （2）当点C是的中点时，求m的值； （3）过点E作，垂足为点F，当点E坐标为多少时，线段的长最大，最大值为多少？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学练习（21.1～21.4） 时间：120分钟 满分：150分 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列函数（，，是常数）中，一定是二次函数的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义，形如，注意二次项的系数不能为零． 根据二次函数的定义，需为整式且最高次项为二次，且二次项系数不为零，对各选项进行判断即可． 【详解】解：∵二次函数形式为， 选项A：，含分式，非整式，故不是二次函数，不符合题意； 对于B：，为一次函数，故不是二次函数，不符合题意； 对于C：，即，故是二次函数，符合题意； 对于D：，若，则非二次函数，∴不一定是二次函数，不符合题意； 故选：C． 2. 把二次函数y=x2﹣4x+3化成y=a（x+h）2+k的形式是（　　　） A. y=（x+2）2+1 B. y=（x+2）2+7 C. y=（x﹣2）2﹣1 D. y=（x+2）2﹣7 【答案】C 【解析】 【分析】用配方法化成顶点式即可． 【详解】解：y=x2﹣4x+3， y=x2﹣4x+4-4+3， y=（x-2）2﹣1， 故选：C． 【点睛】本题考查了用配方法把二次函数化成顶点式，解题关键是熟练运用配方法化顶点式，注意配方法的步骤． 3. 将抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位，所得的抛物线是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据“左加右减，上加下减”的平移规律即可求解，掌握二次函数图象的平移规律是解题的关键． 【详解】解：将抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位，所得的抛物线为， 故选：． 4. 函数（m为常数）的图象与x轴公共点的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 1或2 【答案】D 【解析】 【分析】二次函数图象与x轴公共点的个数，等价于时对应一元二次方程的实数根个数，利用一元二次方程根的判别式即可判断公共点个数． 【详解】当函数图象与x轴相交时，，可得一元二次方程， ，，， ， 任意实数的平方都大于等于0， ， 当时，，方程有1个相等的实数根，图象与x轴有1个公共点； 当时，，方程有2个不相等的实数根，图象与x轴有2个公共点； 因此函数图象与x轴公共点的个数是1或2， 故选：D． 5. 在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：的对称轴是直线， A．由一次函数图象可知，由二次函数图象可知，符号矛盾． B．由一次函数图象可知，，由二次函数图象可知，，即，符号一致． C．由一次函数图象可知，，由二次函数图象可知，，即，符号矛盾． D．由一次函数图象可知，由二次函数图象可知，符号矛盾． 6. 观察下列表格，可得出一元二次方程的一个近似解是（     ） x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 0.84 2.29 3.76 5.25 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查求一元二次方程的近似根，根据表格确定相邻两个未知数的值使的值为一正一负，即可确定的解的取值范围． 【详解】解：由表格可知，当时，；当时，， 则当时，存在一个x的值，使， 故关于x的方程的一个解x的范围是， 故选：． 7. 如图，二次函数与一次函数的图象交于，两点，已知点，点在轴上，则不等式的解集是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：对于二次函数，令，则， ∴二次函数的图象与y轴的交点为， ∵对于一次函数，令，则， ∴一次函数的图象与y轴的交点为， ∵两个图象交于，两点，已知点，点在轴上， ． 则不等式可变形为， 即， ∴由图象可得，它的解集是． 8. 已知二次函数，当时，二次函数的最小值为，则实数a的值为（　　） A. 5或1 B. 5或 C. 或1 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，得到二次函数的顶点坐标，以及当或时，，结合二次函数的图象，得到结果． 【详解】解：∵， ∴二次函数的顶点坐标为， ∵当时， 即， ∴， ∴或， 即当或时，， ∴二次函数的图象如下： ∵当时，二次函数的最小值为， ∴或， 即实数a的值为或． 9. 已知二次函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象，由已知函数图象可得，，即得，进而可得二次函数的图象经过点且与轴交于负半轴上，据此判断即可求解，能从已知函数图象中获取有关信息是解题的关键． 【详解】解：由函数图象可得，，， ∴， 把代入，得， ∴二次函数的图象经过点且与轴交于负半轴上， ∴符合题意的图象为选项， 故选：． 10. 如图，已知抛物线（a，b，c为常数，且）的对称轴是，且抛物线与x轴的一个交点坐标是，与y轴的交点坐标是，且．有下列结论：①；②；③；④关于x的一元二次方程必有两个不相等的实数根．其中结论正确的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数图象结合二次函数的性质，先判断的符号即可判断①；当时，，即可判断②；根据，结合抛物线的顶点坐标，即可判断③；求得的范围进而根据一元二次方程根的判别式判断一元二次方程的解情况即可判断④，即可求解． 【详解】解：根据函数图象可得抛物线开口向下，则，对称轴为直线，则， ， 又 ∵抛物线与轴交点坐标是，即， ，即， ∴，故①正确； ∴当时，，故②正确； ∵抛物线与轴的一个交点坐标是，对称轴为直线， ∴另一个交点坐标为， ∵在抛物线的图象上， ， 又 ∵， ， ，即， ，即， ， ，即， 当时，取得最大值，最大值为， ∴， ∴，故③正确； ∵， 即， ∵， 对称轴为直线，当时，的值随的增大而减小， 又 ∵， ∴， ∴当时，， ∴当时，恒成立，即必有两个不相等实根，故④正确； 结论正确的个数有4个． 二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分） 11. 二次函数的图像的顶点在轴上，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】顶点在x轴上，即纵坐标为0．利用顶点坐标公式即可求出m的值． 【详解】解：∵抛物线y=2x2-4x+3m的顶点在x轴上， ∴， ∴m=． 故答案为． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（-），应熟练掌握． 12. 已知，当自变量的取值范围是时，函数值的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】先对二次函数配方得到开口方向与顶点坐标，再计算自变量区间端点的函数值，比较得到y的最值，即可确定y的取值范围． 【详解】解：先对函数解析式配方，得， ∵， ∴抛物线开口向下，函数的最大值在顶点处取得，顶点横坐标为，且在范围内， ∴当时，取得最大值，最大值为， 当时，， 当时，， ∵， ∴的最小值为， 因此当时，函数值的取值范围是． 13. 如图是一座截面为抛物线形的拱形桥，当拱顶离水面2米高时，水面宽度为4米，则当水面下降2米时，水面的宽度为________米． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意建立坐标系，然后得出抛物线的解析式，进而令进行求解即可． 【详解】解：由题意可建立坐标系如图所示： ∴抛物线与x轴的交点坐标为， 设抛物线的解析式为，则把点代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为， ∴当时，则有， 解得：， ∴当水面下降2米时，水面的宽度为米． 14. 在平面直角坐标系中，已知抛物线和点、，其中、的坐标分别为，． （1）若抛物线与轴只有一个交点，则的值为_______． （2）若抛物线与线段有两个不同的交点，则的取值范围是______． 【答案】 ①. ②. 或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，与轴的交点问题，一次函数的图象性质，二次函数的图象上的点的特征，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合抛物线与轴只有一个交点，得出，代入数值进行计算，即可作答． （2）理解题意，然后进行分类讨论，然后作图，求出直线的解析式为，再结合进行列方程组，得，再运用判别式进行列式计算，即可作答． 【详解】解：（1）∵抛物线与轴只有一个交点， ∴， 解得， 故答案为：． （2）∵抛物线的解析式为． 观察图象可知，当时，时，时，且，满足条件， 可得； 当时，时，，且抛物线与直线有交点，且满足条件， ∴， 设直线的解析式为， 把，代入，得 ， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立①②得 并整理得： ， ∵， ∴， ∴满足条件， 综上所述，满足条件的a的值为或， 故答案为：或． 三、解答题（共9小题，共90分） 15. 在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，且过点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）求将抛物线向左平移几个单位，可使得平移后所得抛物线经过原点？ 【答案】（1） （2）将抛物线向左平移3个单位，可使得平移后所得抛物线经过原点 【解析】 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，二次函数的平移，解题的关键是掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤，以及二次函数的平移规律“左减右加，上加下减”． （1）设抛物线解析式为，把代入，求出a的值，即可得出抛物线解析式； （2）设将抛物线向左平移n个单位，可使得平移后所得抛物线经过原点，则平移后的解析式为，把代入，求出n的值，即可解答． 【小问1详解】 解：∵抛物线的顶点为， ∴设抛物线解析式为， 把代入得：， 解得：， ∴抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：设将抛物线向左平移n个单位，可使得平移后所得抛物线经过原点， ∴平移后的解析式为， 把代入得：， 解得：（舍去）， ∴将抛物线向左平移3个单位，可使得平移后所得抛物线经过原点． 16. 如图，抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点． （1）求点A和点B的坐标； （2）抛物线的对称轴上存在一点P，使得的值最小，求此时点P的坐标． 【答案】（1）A点坐标为，B点坐标为； （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质、轴对称的性质等知识点，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）将点代入解析式即可求得函数解析；再令，求出x的值并结合函数图象即可确定A、B的坐标； （2）根据解析式可得抛物线的对称轴为直线，如图：连接，交对称轴于点P，根据两点之间，线段最短可得点P即为所求，求得直线的解析式，令，即可求解． 【小问1详解】 解：把代入得： ，解得：； ∴． 令，则，解得：， ∴A点坐标为，B点坐标为； 【小问2详解】 解：由抛物线的对称轴为直线， 如图：点B关于抛物线的对称轴的对称点是点A，连接，交对称轴于点P， ∵两点之间，线段最短， ∴的最小值为的长，则点P即为所求； 设直线的关系式为：， 把代入， 得：，解得， ∴直线的关系式为， 当时，， ∴P点坐标为． 17. 如图，用一段长为的篱笆围成一边靠墙的矩形菜园，墙长为，且的长不小于．设菜园的宽为，面积为． （1）求与之间的函数关系式，并求自变量的取值范围； （2）当取何值时，这个菜园的面积有最大值，最大值是多少？ 【答案】（1）， （2）当时，这个菜园的面积有最大值，最大值是． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是理解题意列出二次函数解析式． （1）根据矩形的面积公式列出二次函数解析式即可； （2）根据二次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：由题意可知：， ∴， 因为的长不小于， ∴， 则 所以自变量x的取值范围是； 【小问2详解】 解：由（1）可知 则， 因为，，随的增大而减少， 所以当时，S取得最大值，最大值为， 答：当时，这个菜园的面积有最大值，最大值是． 18. 如图，已知二次函数的图像与轴交于，两点． （1）求的值； （2）若点在该二次函数的图像上，且的面积为，求点的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数与几何图形的综合，掌握待定系数法求解析式，解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）运用待定系数法即可求解； （2）根据题意设，结合几何图形面积计算方法可得点的纵坐标，代入后解一元二次方程即可求解． 【小问1详解】 解：二次函数的图像与轴交于，两点， ∴， 解得，， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）可知二次函数解析式为：，，， ∴， 设， ∴， ∴， ∴， ∴当时，，无解，不符合题意，舍去； 当时，，； ∴． 19. 一次足球训练中，小明从球门正前方的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面．已知球门高为2.44m，现以O为原点建立如图所示直角坐标系． （1）求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）． （2）对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处？ 【答案】（1），球不能射进球门 （2）当时他应该带球向正后方移动1米射门 【解析】 【分析】（1）根据建立的平面直角三角坐标系设抛物线解析式为顶点式，代入A点坐标求出a的值即可得到函数表达式，再把代入函数解析式，求出函数值，与球门高度比较即可得到结论； （2）根据二次函数平移的规律，设出平移后的解析式，然后将点代入即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得：抛物线的顶点坐标为， 设抛物线解析式为， 把点代入，得， 解得， ∴抛物线的函数表达式为， 当时，， ∴球不能射进球门； 【小问2详解】 设小明带球向正后方移动米，则移动后的抛物线为， 把点代入得， 解得（舍去），， ∴当时他应该带球向正后方移动1米射门． 【点睛】此题考查了二次函数的应用，待定系数法求函数解析式、二次函数图象的平移等知识，读懂题意，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 20. 已知y与x满足二次函数（m为常数）． （1）若点在该函数图象上，则 ； （2）证明：该二次函数的图象与x轴有两个不同的交点； （3）若该函数图象上有两个点，当时，请直接写出p的取值范围． 【答案】（1） （2）证明： ∵， ∴， ∴， ∴该二次函数的图象与轴有两个不同的交点 （3）或 【解析】 【分析】（1）将点代入即可求解； （2）通过判别式判断二次函数图像与轴交点情况； （3）根据二次函数的对称轴和增减性，确定的取值范围． 【小问1详解】 解：将代入， 得：； 解得， 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：的对称轴为直线， ∵二次项系数， ∴二次函数图象开口向上， ∵， ∴点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离， ∴， 即， ∴或． 21. 2026年央视春晚在浙江义乌设立分会场，一只因缝制失误而嘴角下撇的毛绒小马“哭哭马”意外走红，成为春晚热销品．某商铺以每件15元的价格购进“哭哭马”，分为线上和线下两种销售方式．线下市场调查发现，当售价为35元/件时，日销量为80件．售价每降低1元，日销量可增加10件． （1）借助春晚热度尽快减少库存，商家决定降价促销．为使线下销售利润达到1800元，则每件应降价多少元？ （2）若线上售价与线下相同，但每件产品商家需多付3元快递费，且线上日销量固定为100件．当每件降价多少元时，线上和线下的日利润总和最大？并求出最大利润． 【答案】（1）每件应降价10元． （2）当每件降价1元时，线上和线下的日利润总和最大，最大利润为3310元． 【解析】 【分析】（1）设每件降价元．根据“每件利润×销售量=总利润”列一元二次方程求解，结合尽快减少库存的要求选取降价更多的解． （2）设每件降价元，线上和线下的日利润总和为元分别表示线上、线下的日利润，求和得到总利润关于降价金额的二次函数，利用二次函数的性质求最大值． 【小问1详解】 解：设每件降价元． ∵线下每件利润为元，日销量为件， ∵总利润为1800元， ∴， 整理得， 解得，， ∵要尽快减少库存，需日销量尽可能大， ∴， 答：每件应降价10元． 【小问2详解】 解：设每件降价元，线上和线下的日利润总和为元． ∵线下每件利润为元，日销量为件； 线上每件利润为元，日销量为100件， ∴， ， ． ∵且， ∴ ∵， ∴抛物线开口向下， ∴当时，取得最大值，最大值为3310元． 答：当每件降价1元时，线上和线下的日利润总和最大，最大利润为3310元． 22. 新定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点，若点满足，那么称点是点的“合作点”．例如：，当点满足时，则点是点的“合作点”． （1）已知点，点是点的“合作点”，则点的坐标为_____； （2）若点是抛物线上一动点，点，若点是点的“合作点”，试求出中关于的函数表达式； （3）在（2）的条件下，把中关于的函数图象向上平移4个单位得到新函数图象，设新函数的图象与轴交于点，直线上总有点，使得点的“合作点”落在新函数的图象上，求出的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据“合作点”的定义求解即可； （2）结合抛物线方程，先用含a的代数式表示出b，再根据“合作点”的定义，用含a的代数式表示出点的横、纵坐标，消去a后得到答案； （3）根据函数平移的性质，求出函数G的表达式，进一步求出点C的坐标．设点D的坐标为，根据“合作点”的定义，用含t和m的式子表示出点T的坐标．代入函数G的表达式后，化简得到m关于t的表达式．根据其形式判断出属于二次函数，利用二次函数的性质求出m的取值范围． 【小问1详解】 解：∵点，点是点的“合作点”，设， ∴，， ∴点的坐标为； 【小问2详解】 解：∵点是抛物线上一动点， ∴， ∵点，且点是点的“合作点”， ∴， 消去a，得， ∴中关于的函数表达式为； 【小问3详解】 解：由函数平移的性质可得函数G的表达式为， 当时，，则点C坐标为， 设点D的坐标为，则点C，D的“合作点”T的坐标为， ∵点T落在新函数G的图象上， ∴， 变形得，即， 根据形式可得m是t的二次函数，其图象开口向上，对称轴为直线， ∴m的最小值为， ∴． 23. 如图，直线与x轴、y轴分别交于点A与点B，抛物线经过点A、B，在线段上有一动点，点D不与点O，A重合，过点D作x轴的垂线分别交直线于点C，交抛物线于点 （1）求抛物线的函数表达式； （2）当点C是的中点时，求m的值； （3）过点E作，垂足为点F，当点E坐标为多少时，线段的长最大，最大值为多少？ 【答案】（1）； （2）； （3）当点E的坐标为时，线段的长最大，最大值为； 【解析】 【分析】（）先由求出，，然后代入求出的值即可； （）先求出，，根据中点坐标可得，则有，然后求出的值即可； （）先证明，则，再求出，，，再由勾股定理得出，再代入，得到，然后通过二次函数的性质即可求出最大值及点坐标． 【小问1详解】 解：由得，当时，，当时，， ∴，， ∵抛物线经过点， ∴，解得：， ∴抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：∵， 当时，，， ∴，， ∵点是的中点时， ∴， ∴，整理得：， 解得：，， ∵点不与点，重合， ∴； 【小问3详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（）知，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴当时，有最大值， 此时， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，解一元二次方程，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形解决问题，学会利用参数表示线段的长解决问题，属于中考压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $