精品解析：安徽宿州市埇桥区2026-2027学年度第一学期九年级10月检测数学试卷

2026-2027学年度第一学期九年级阶段练习 数学 时间：120分钟 满分：150分 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. （为常数） B. C. D. 2. 矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ） A. 对角线相等 B. 对角线互相平分 C. 对角线互相垂直 D. 对角线互相平分且相等 3. 如果，那么 的值是( ) A. B. C. D. 4. 如图，在菱形中，，点P是的中点，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 5. 下列方程中，有两个不相等的实数根的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在矩形中，对角线相交于点，则矩形的边的长为（ ） A. 3 B. 4 C. D. 7. 关于的一元二次方程的一个根是，则的值是（ ） A. 2023 B. 2024 C. 2025 D. 2026 8. 如图，在中，，．若，，则的长度为（ ） A. 3 B. 3.6 C. 4 D. 5 9. 定义：一元二次方程（）若满足，那么我们称这个方程为“和谐”方程，若满足，那么我们称这个方程为“友善”方程.已知关于的方程（）既是“和谐”方程，又是“友善”方程，则下列结论中正确的是（　　） A. 方程有两个相等的实数根 B. 方程的两个根互为相反数 C. 两根之积为0 D. 无实数根 10. 如图，在正方形中，对角线，是等边三角形，是对角线上一个动点，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 2 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11. 如图，、分别为中、边上的点，请你添加一个条件，使与相似，你添加的条件是________（只需填上你认为正确的一种情况即可）． 12. 设是一元二次方程的两个根，则__________． 13. 如图，在菱形中，是对角线上一动点，过点作于点，于点，若菱形的边长为4，面积为24，则的值为___________． 14. 如图，一次函数的图象交x轴于点A，交y轴于点B，点P在线段上（不与A，B重合），于点于点C． （1）则的最小值为___________． （2）当___________时，矩形的面积为2． 三、（本大题共2小题，每小题8分，共16分） 15. 解方程． 16. 如图，在菱形中，对角线，交于点，过点，分别作，，相交于点．求证：四边形是矩形 四、（本大题共2小题，每小题8分，共16分） 17. 如图，方格纸中每个小方格的边长均为， （1）请用无刻度的直尺在线段上找到点，使：； （2）请用无刻度的直尺在线段上找到点，连接，使． 18. 如图，在正方形中，，求证：四边形为菱形 五、（本大题共2小题，每小题10分，共20分） 19. 如图，在中，，，垂足为． （1）求证： （2）若，，求长 20. 某景点前年十月一日国庆节旅游人数为万人，由于该景点知名度的扩大与服务质量的提高，今年十月一日国庆节旅游人数预计达到万人． （1）该景点这两年十月一日国庆节旅游人数平均增长率为多少？ （2）该景点销售一种纪念品，平均每天可售出件，每件盈利元．若每件降价元，则平均每天可多售出件，在平均每天要盈利元，且降价幅度不超过元的情况下，那么每件应降价多少元？ 六、（本题满分12分） 21. 阅读下面的材料，回答问题： 解方程．我们可以将看成一个整体，设，则原方程可化为，解得，．当时，即，解得；当时，即，解得，所以原方程的解为：，． （1）利用这种方法解方程 （2）已知．利用上述方法求的值 七、（本题满分12分） 22. 如图，矩形中，，，动点以每秒个单位的速度从点出发沿着向移动，同时动点以每秒个单位的速度从点出发沿向移动． （1）经过几秒时，的面积为？ （2）经过几秒时，由三点组成的三角形与相似？ 八、（本题满分14分） 23. 解答下列各题： （1）（原题重现） 课本22面第4题：如图1，在正方形中，四边形为矩形，且，求证：矩形为正方形 （2）（追本溯源） 小明受此启发，提出类似图1中的角叫“斜直角”，可以构造一线三直角，从而解决下面的问题： 如图2、图3，在正方形中，，点为对角线上一动点，连接，作EF．交射线于点F，以为邻边作矩形，连接．请你在图2与图3中选一个，①求证；矩形是正方形； ②（拓展迁移） 探究：的值是否为定值？如果不是请说明理由，如果是定值，请求出此定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度第一学期九年级阶段练习 数学 时间：120分钟 满分：150分 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. （为常数） B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】需注意一元二次方程的二次项系数不为0，且需化简后判断未知数最高次数，据此逐一验证选项. 【详解】解：选项A中，当时，方程不含二次项，不是一元二次方程； 选项B中，方程含，两个未知数，不是一元二次方程； 选项C中，化简方程得，未知数最高次数为1，不是一元二次方程； 选项D中，方程只含一个未知数，的最高次数为2，且是整式方程，是一元二次方程. 2. 矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ） A. 对角线相等 B. 对角线互相平分 C. 对角线互相垂直 D. 对角线互相平分且相等 【答案】B 【解析】 【分析】矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，因而平行四边形的性质就是四个图形都具有的性质． 【详解】解：平行四边形的对角线互相平分，而对角线相等、平分一组对角、互相垂直不一定成立． 故平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是：对角线互相平分． 故选B． 【点睛】本题主要考查了正方形、矩形、菱形、平行四边形的性质，理解四个图形之间的关系是解题关键． 3. 如果，那么 的值是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先将原式化为，进而可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ， 故选D． 【点睛】本题考查了分式的求值，属于基础题目，掌握求解的方法是关键． 4. 如图，在菱形中，，点P是的中点，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】由菱形的性质和勾股定理求出，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出结论． 【详解】解：∵菱形的对角线、相交于点O，且， ，，， ， ， ∵点P是的中点， ． 5. 下列方程中，有两个不相等的实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A选项：，，故方程没有实数根； B选项：，，故方程有两个相等的实数根； C选项：，，故方程没有实数根； D选项：，，故方程有两个不相等的实数根，符合题意． 6. 如图，在矩形中，对角线相交于点，则矩形的边的长为（ ） A. 3 B. 4 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用矩形对角线相等且互相平分的性质，结合推出为等边三角形，由得，进而得到． 【详解】解：根据矩形的性质：矩形的对角线相等且互相平分，因此可得： ，，且． ∵， ∴． 又∵，有一个角为的等腰三角形是等边三角形， ∴是等边三角形， ∴． 7. 关于的一元二次方程的一个根是，则的值是（ ） A. 2023 B. 2024 C. 2025 D. 2026 【答案】D 【解析】 【分析】将代入方程求得的值，再整体代入所求代数式计算. 【详解】解：∵是一元二次方程的根， ∴将代入方程得， ∴， ∴. 8. 如图，在中，，．若，，则的长度为（ ） A. 3 B. 3.6 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】证明，利用相似三角形的性质列比例式求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，即， ∴． 9. 定义：一元二次方程（）若满足，那么我们称这个方程为“和谐”方程，若满足，那么我们称这个方程为“友善”方程.已知关于的方程（）既是“和谐”方程，又是“友善”方程，则下列结论中正确的是（　　） A. 方程有两个相等的实数根 B. 方程的两个根互为相反数 C. 两根之积为0 D. 无实数根 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知得出方程（）有两个根或，再判断即可． 【详解】解：∵把代入方程得出：， 把代入方程得出， ∴方程（）有两个根或， ∴， 即只有选项B正确；选项A、C、D都错误； 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，主要考查学生的理解能力和计算能力． 10. 如图，在正方形中，对角线，是等边三角形，是对角线上一个动点，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】利用正方形对角线是对称轴，得到和关于对称，，把转化为，依据两点之间线段最短，确定最小值就是线段的长度；由正方形对角线算出正方形边长，再根据等边三角形三边相等，得到，即的最小值是． 【详解】解： ∵ 四边形是正方形， ∴ 点、点关于对角线对称，连接． ∴ ． ∴ ． 根据两点之间线段最短，当，，三点共线时，取得最小值，最小值为线段的长． ∵ 正方形的对角线， 设正方形边长为，由正方形对角线与边长关系得：， 解得 ， ∴ ． ∵ 是等边三角形， ∴ ． ∴ 的最小值为． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11. 如图，、分别为中、边上的点，请你添加一个条件，使与相似，你添加的条件是________（只需填上你认为正确的一种情况即可）． 【答案】∠C=∠ADE（或∠B=∠AED等） 【解析】 【分析】已知有一个公共角，则可以再添加一个角从而利用有两组角对应相等的两个三角形相似来判定或添加夹此角的两边对应成比例也可以判定． 【详解】∵∠DAE=∠CAB， ∴当∠ADE=∠C或∠AED=∠B或时，△ADE∽△ACB． 【点睛】这是一道考查相似三角形的判定方法的开放性试题，答案不唯一． 12. 设是一元二次方程的两个根，则__________． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵、是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴． 13. 如图，在菱形中，是对角线上一动点，过点作于点，于点，若菱形的边长为4，面积为24，则的值为___________． 【答案】6 【解析】 【分析】连接，通过菱形的周长和面积分别求出边长、和，最后由面积和差即可求出的值． 【详解】解：连接，如图， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∵菱形的边长为4， ∴， ∴， ， ， ， 即， 则． 14. 如图，一次函数的图象交x轴于点A，交y轴于点B，点P在线段上（不与A，B重合），于点于点C． （1）则的最小值为___________． （2）当___________时，矩形的面积为2． 【答案】 ①. ②. 2或 【解析】 【分析】（1）根据矩形的判定得出四边形为矩形，连接，过点O作，得出当即时，取得最小值，利用一次函数解析式得出，再由勾股定理及三角形等面积法即可求解； （2）设，得出，确定，再由矩形的面积建立方程求解即可． 【详解】解：（1）∵于点于点C，， ∴四边形为矩形， 连接，过点O作，如图所示， ∴， 当即时，取得最小值， ∵， ∴当时，； 当时，； ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， 此时取得最小值， ∴的最小值为； （2）设， ∴当时，， ∴， ∴， ∵矩形的面积为2， ∴， 解得：或， ∴或． 三、（本大题共2小题，每小题8分，共16分） 15. 解方程． 【答案】，． 【解析】 【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解： 或 ∴，． 16. 如图，在菱形中，对角线，交于点，过点，分别作，，相交于点．求证：四边形是矩形 【答案】证明：，， 四边形为平行四边形 又四边形是菱形 平行四边形是矩形． 【解析】 【分析】先证明四边形是平行四边形，再由菱形的性质得到，即可证明其为矩形． 【详解】略 四、（本大题共2小题，每小题8分，共16分） 17. 如图，方格纸中每个小方格的边长均为， （1）请用无刻度的直尺在线段上找到点，使：； （2）请用无刻度的直尺在线段上找到点，连接，使． 【答案】（1）如图，点即为所求； （2）如图，点即为所求． 【解析】 【分析】取格点，连接，交于点即为所求； 取格点，连接，交于点即为所求． 【小问1详解】 解：画图略， 取格点，连接，交于点即为所求， 由图可知， ∴， ∴，即， ∴点即为所求； 【小问2详解】 解：画图略， 取格点，连接，交于点即为所求， 由图可知， ∴， ∴，即， ∴， ∴点即为所求． 18. 如图，在正方形中，，求证：四边形为菱形 【答案】证明：如图，连接，设相交于点O． 四边形是正方形， ， ，即 四边形是平行四边形； 平行四边形是菱形． 【解析】 【分析】连接，设相交于点O，先证明四边形是平行四边形，再根据对角线垂直即可证明其为菱形． 【详解】略 五、（本大题共2小题，每小题10分，共20分） 19. 如图，在中，，，垂足为． （1）求证： （2）若，，求长 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴． （2） 【解析】 【分析】（1）先得出，再根据相似三角形的判定即可得证； （2）设，则，再根据相似三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 解：设， ∵， ∴， 由（1）已证：， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得或（不符合题意，舍去）， 即． 20. 某景点前年十月一日国庆节旅游人数为万人，由于该景点知名度的扩大与服务质量的提高，今年十月一日国庆节旅游人数预计达到万人． （1）该景点这两年十月一日国庆节旅游人数平均增长率为多少？ （2）该景点销售一种纪念品，平均每天可售出件，每件盈利元．若每件降价元，则平均每天可多售出件，在平均每天要盈利元，且降价幅度不超过元的情况下，那么每件应降价多少元？ 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】设该景点这两年十月一日国庆节旅游人数平均增长率为，由题意得，然后解方程并检验即可； 设每件应降价元，由题意得，然后解方程并检验即可． 【小问1详解】 解：设该景点这两年十月一日国庆节旅游人数平均增长率为， 由题意得， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：该景点这两年十月一日国庆节旅游人数平均增长率为； 【小问2详解】 解：设每件应降价元， 由题意得， 整理得， 解得，， ∵降价幅度不超过元， ∴舍去， 答：每件应降价元． 六、（本题满分12分） 21. 阅读下面的材料，回答问题： 解方程．我们可以将看成一个整体，设，则原方程可化为，解得，．当时，即，解得；当时，即，解得，所以原方程的解为：，． （1）利用这种方法解方程 （2）已知．利用上述方法求的值 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）设，则原方程可化为，利用因式分解法解方程，进而求出的值即可； （2）设，则原方程可化为，利用因式分解法解方程，再结合求解即可． 【小问1详解】 解：设，则原方程可化为， 因式分解，得， 解得，， 当时，即，解得， 当时，即，解得， 所以原方程的解为，． 【小问2详解】 解：设，则原方程可化为， 因式分解，得， 解得，， 又∵， ∴， 即． 七、（本题满分12分） 22. 如图，矩形中，，，动点以每秒个单位的速度从点出发沿着向移动，同时动点以每秒个单位的速度从点出发沿向移动． （1）经过几秒时，的面积为？ （2）经过几秒时，由三点组成的三角形与相似？ 【答案】（1）或； （2）或． 【解析】 【分析】由矩形性质可得，由勾股定理得，设秒后的面积为，首先表示出线段和线段，然后利用其面积为列出有关的方程求解即可； 分两种情况，或，然后根据相似三角形的性质求解． 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， 设秒后的面积为， ∴，， ∴， ∴的面积为， ∵的面积为， ∴， 解得或， ∴经过或秒时，的面积为； 【小问2详解】 解：经过秒时，由三点组成的三角形与相似， 由得，，， 当时， ∴， ∴，解得； 当时， ∴， ∴，解得； 综上可知经过或秒时，由三点组成的三角形与相似． 八、（本题满分14分） 23. 解答下列各题： （1）（原题重现） 课本22面第4题：如图1，在正方形中，四边形为矩形，且，求证：矩形为正方形 （2）（追本溯源） 小明受此启发，提出类似图1中的角叫“斜直角”，可以构造一线三直角，从而解决下面的问题： 如图2、图3，在正方形中，，点为对角线上一动点，连接，作EF．交射线于点F，以为邻边作矩形，连接．请你在图2与图3中选一个，①求证；矩形是正方形； ②（拓展迁移） 探究：的值是否为定值？如果不是请说明理由，如果是定值，请求出此定值． 【答案】（1）证明：∵四边形是正方形 ∴ ∵四边形为矩形， ∴ ∴ ∵ ， 矩形为正方形； （2）①证明：选择图2或图3，过作于点，过作于点， ∵四边形为正方形， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵是正方形对角线上的一点， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴矩形为正方形； ②是定值，为 【解析】 【分析】（1）先证明，再由正方形的判定证明即可； （2）①过作于点，过作于点，可证四边形是正方形，得，进而证明，得到，即可求证； ②证明，可得，即得，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略 ②是定值，定值为，理由如下： 在图2或者图3中， ∵矩形为正方形， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴是定值，定值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $