黑龙江大庆市第三十六中学2026-2027学年第一学期初三学年数学学科阶段检测试题

让我们每天同享新的阳光 △△△△△ 大庆市第三十六中学2026一2027学年第一学期 △△△△△ △△△△△ 初三学年数学学科阶段检测试题 △△△△△O 试卷满分：120分考试时间：120分钟 △△△△△ 考 场 一、选择题：（本题10小题，每小题3分，共30分）. 1.如果a>b,那么下列各式中正确的是() 考 号 A.a-3<b-3 B.什3<b+3 C.2a<2b D.-<- 2.下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又 班 级 是中心对称图形的是( 姓名 △△△△△O A B D △△△△△装 3.若关于x的一元一次不等式(+3)x<+3的解集是x>1,则a的取值范围是( △△△△△ △△△△△订 A.a<-3 B.a>0 C.a>-3 D.a<0 △△△△△ 4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4,BC=3,将△ABC绕点A逆时针旋转， △△△△△线 △△△△△ 使点C落在边AB上的E处，点B落在D处，则BE的长为() △△△△△内 A.1 B. C.2 D. △△△△ 5-2 △△△△△不 5.如图，y=2x和y=ax+4的图象相交于点A(m,3),则不等式2x<+4的解集为( △△△△△ △△△△△要 A是 B.x<3 D.x>3 △△△△△ D △△△△△答 D △△△△△ △△△△△题 7B △△△△△ △△△△△O C △△△△△ (第4题图) (第5题图) (第6题图) △△△△△ △△△△△ 数学学科试卷 △△△△△ △△△△△O 6.如图，△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转31°后得到的图形，若点D恰好落在AB 上，且∠AOC的度数为100°，则∠DOB的度数是() A.34° B.36° C.389 D.40° 7.关于x的不等式组 x>a 的解集为x>1,则a的取值范围是( x>1 A.a>1 B.a<1 C.a≥1 D.a≤1 8.如图，在△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，AC=4C,将△ABC绕顶点C顺时针方 向旋转至△A'B'C的位置，且A,C,B'三点在同一条直线上，则点A所经过的最短 路线的长为()cm 4π 8π A. D.2n 3 B.3 C.4π (x+15>x-3 9.关于x的不等式组 2 2x+2 只有4个整数解，则α的取值范围是() 、3 ∠x+a A.-5≤K-号 B.-5≤a<-14 C.5<as-4 D.-5<a<- 3 10.如图，边长为24的等边三角形ABC中，M是高CH所在直线上的一个动点，连接MB, 将线段BM绕点B逆时针旋转60°得到BN,连接N.则在点M运动过程中，线段N 长度的最小值是() A.12 B.6 C.3 D.1 B M B B H N (第8题图) (第10题图) 第1页，共4页 让我们每天同享新的阳光 二.填空题（本题8小题， 每小题3分，共24分) 11.若a<b,那么-2H9 -2b叶9（填“>”“<”或“=”）. 12.某次数学测验中有16道选择题，答对一道得6分，答错一道扣2分，不答得0分.某 学生有一道题未答，那么这个同学至少要答对 道题，成绩才能在60分以上. 13.不等式组 -1≤0 2x+3>0的解集为 14.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,点P在△ABC内，△AP'C是由△BPC 绕着点C旋转得到的，PA=√5，PB=1,∠BPC=135°.则PC= 327m 207 B (第14题图) (第17题图) (第18题图) 15.已知关于x的方程组 x+y=1+3m的解满足中y>0,则m的取值范围为 x+2y=1-m 16.现定义一种新的运算：a*b=a2-2b,例如：3*4=32-2×4=1，则不等式(-2)*x ≥0的解集为 17.如图所示，某住宅小区内有一长方形地块，想在长方形地块内修筑同样宽的两条”之” 字路，余下部分绿化，道路的宽为2米，则绿化的面积为 n2. 18.如图，正三角形ABC的边长为a,点E是AB边上的动点（不与端点A、B重合），在 CE上方作正三角形CEF.当点E由点B向点A运动过程中. ①若BE=1,则AF=1;②∠AFE的度数随着点E的运动而逐渐变小： 3a ③若点G为AC的中点，则GF的最小值为 4 :④△ABP面积的最大值为3v3a 16 其中正确的是 .(写出所有正确结论的序号) 数学学科试卷 三.解答题（本题10小题，共66分） 19.(8分)解不等式组，并把解集表示在数轴上. (4x-3≤5① (1) 1 (x+3)>1② -3-2-10123 2x-1<7① (2) 2x+1@ -7-6-5-4-3-2-10123456 20.(8分)如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(1,1),B(4,2),C(3,4) (1)请画出△ABC关于原点对称的△A1B1C1: (2)请画出△ABC绕O顺时针旋转90°后的△AB2C2并写出点C 的坐标. 73 2-0 21.(6分)学校为数学竞赛准备了若干钢笔和笔记本（每支钢笔的价格相同，每本笔记本 的价格相同)作为竞赛的奖品.若购买2支钢笔和3本笔记本需62元，购买5支钢笔和 1本笔记本需90元. (1)购买一支钢笔和一本笔记本各需多少钱？ (2)若学校准备购买钢笔和笔记本共80件奖品，并且购买的费用不超过1100元，则学 校最多可以购买多少支钢笔？ 第2页，共4页 让我们每天同享新的阳光 22.(6分)如图，在△ABC中，∠B=15°，∠ACB=25°，AB=6cIm,△ABC逆时针旋 转一定角度后与△ADE重合，且点C恰好是AD的中点. (1)指出旋转中心，并求出旋转的度数： (2)求出∠BAE的度数和AE的长. B 23.(6分)点A(,b)满足VQ-1+b-2=0,将点A向下平移3个单位长度得到点B. (1)求A、B的坐标： (2)若点C(m,-3),S△ABC=6,求C点的坐标. 24.(6分)随着新能源汽车的销售越来越多，小区新能源汽车充电也越来越困难.某小区 为了解决业主新能源汽车充电难的问题，准备在小区内修建10个充电桩，已知新建1 个地上充电桩和2个地下充电桩需要1.3万元；新建3个地上充电桩和1个地下充电桩 需要1.4万元 (1)该小区新建一个地上充电桩和一个地下充电桩各需多少钱？ (2)若该小区计划用不超过3.5万元的资金新建充电桩，问共有几种建造方案？并列出 所有方案 数学学科试卷 25.(6分)如图，在平面直角坐标系中，直线y=kx+b经过A(-30,0)和B(0,15) 两点，直线y=x+5与直线y=+b相交于点P,与y轴交于点C. (1)求直线y=+b的解析式： 个y y=x+5 (2)求△PBC的面积： y=kx+b (3)直接写出不等式x+b<x+5的解集. 26.(6分)定义：对于实数a,符号[表示不大于a的最大整数.例如：[5.7刀=5，[5]=5， [-=-4. (1)如果[a=-2,那么a的取值范围是 (2)知果引-3，求满足条件的所有正整数 第3页，共4页 让我们每天同享新的阳光 27.(5分)如图所示，点D是等边△ABC内一点，DA=13,DB=19,DC=21,将△ABD 绕点A逆时针旋转到△ACE的位置，求△DEC的周长. 28.(9分)阅读下面材料，并解决问题： (1)如图①等边△ABC内有一点P,若点P到顶点A、B、C的距离分别为3,4,5， 求∠APB的度数 为了解决本题，我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP'处，此时△ACP'≌△ABP, 这样就可以利用旋转变换，将三条线段PA、PB、PC转化到一个三角形中，从而求出∠ APB= (2)基本运用 图① 图② 图3 请你利用第(1)题的解答思想方法，解答下面问题 已知如图②，△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC,E、F为BC上的点且∠EAF=45°， 求证：EF2=BE2+FC2: (3)能力提升 如图③，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=1,∠ABC=30°，点O为Rt△ABC内 一点，连接AO,BO,CO,且∠AOC=∠COB=∠BOA=120°，求OA+OB+OC的值. 数学学科试卷 第4页， 共4页 让我们每天同享新的阳光 大庆市第三十六中学2026—2027学年第一学期△△△△△ △△△△△ △△△△△ △△△△△○ △△△△△ 考 场 考 号 班 级 姓 名 △△△△△○ △△△△△装 △△△△△ △△△△△订 △△△△△ △△△△△线 △△△△△ △△△△△内 △△△△ △△△△△不 △△△△△ △△△△△要 △△△△△ △△△△△答 △△△△△ △△△△△题 △△△△△ △△△△△○ △△△△△ △△△△△ △△△△△ △△△△△ △△△△△○ △△△△△ △△△△△ △△△△△ △△△△△ △△△△△○ △△△△△ △△△△△ 初三学年数学学科检测试题 试卷满分：120分 考试时间：120分钟 1、 选择题：（本题10小题，每小题3分，共30分）. 1．如果a＞b，那么下列各式中正确的是（　　） A．a﹣3＜b﹣3 B．a+3＜b+3 C．2a＜2b D． 2．下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 3．若关于x的一元一次不等式（a+3）x＜a+3的解集是x＞1，则a的取值范围是（　　） A．a＜﹣3 B．a＞0 C．a＞﹣3 D．a＜0 4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，将△ABC绕点A逆时针旋转，使点C落在边AB上的E处，点B落在D处，则BE的长为（　　） A．1 B． C．2 D． 5．如图，y＝2x和y＝ax+4的图象相交于点A（m，3），则不等式2x＜ax+4的解集为（　　） A．x B．x＜3 C．x D．x＞3 （第4题图） （第5题图） （第6题图） 6．如图，△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转31°后得到的图形，若点D恰好落在AB上，且∠AOC的度数为100°，则∠DOB的度数是（　　） A．34° B．36° C．38° D．40° 7．关于x的不等式组的解集为x＞1，则a的取值范围是（　　） A．a＞1 B．a＜1 C．a≥1 D．a≤1 8．如图，在△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，AC＝4cm，将△ABC绕顶点C顺时针方向旋转至△A′B′C的位置，且A，C，B′三点在同一条直线上，则点A所经过的最短路线的长为（　　）cm A． B． C．4π D．2π 9．关于x的不等式组只有4个整数解，则a的取值范围是（　　） A．﹣5≤a B．﹣5≤a C．﹣5＜a D．﹣5＜a 10．如图，边长为24的等边三角形ABC中，M是高CH所在直线上的一个动点，连接MB，将线段BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接HN．则在点M运动过程中，线段HN长度的最小值是（　　） A．12 B．6 C．3 D．1 （第8题图） （第10题图） 二．填空题（本题8小题，每小题3分，共24分） 11．若a＜b，那么﹣2a+9_____ ﹣2b+9（填“＞”“＜”或“＝”）． 12．某次数学测验中有16道选择题，答对一道得6分，答错一道扣2分，不答得0分．某学生有一道题未答，那么这个同学至少要答对_______ 道题，成绩才能在60分以上． 13．不等式组的解集为____________________ ． 14．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点P在△ABC内，△AP′C是由△BPC绕着点C旋转得到的，PA，PB＝1，∠BPC＝135°．则PC＝_______________ ． （第14题图） （第17题图） （第18题图） 15．已知关于x的方程组的解满足x+y＞0，则m的取值范围为_________ ． 16．现定义一种新的运算：a*b＝a2﹣2b，例如：3*4＝32﹣2×4＝1，则不等式（﹣2）*x≥0的解集为________ ． 17．如图所示，某住宅小区内有一长方形地块，想在长方形地块内修筑同样宽的两条”之”字路，余下部分绿化，道路的宽为2米，则绿化的面积为________ m2． 18．如图，正三角形ABC的边长为a，点E是AB边上的动点（不与端点A、B重合），在CE上方作正三角形CEF．当点E由点B向点A运动过程中． ①若BE＝1，则AF＝1；②∠AFE的度数随着点E的运动而逐渐变小； ③若点G为AC的中点，则GF的最小值为；④△AEF面积的最大值为． 其中正确的是 ________ ．（写出所有正确结论的序号） 三．解答题（本题10小题，共66分） 19．（8分）解不等式组，并把解集表示在数轴上． （1）， 20.（8分）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）． （1）请画出△ABC关于原点对称的△A1B1C1； （2）请画出△ABC绕O顺时针旋转90°后的△A2B2C2并写出点C2的坐标． 21．（6分）学校为数学竞赛准备了若干钢笔和笔记本（每支钢笔的价格相同，每本笔记本的价格相同）作为竞赛的奖品．若购买2支钢笔和3本笔记本需62元，购买5支钢笔和1本笔记本需90元． （1）购买一支钢笔和一本笔记本各需多少钱？ （2）若学校准备购买钢笔和笔记本共80件奖品，并且购买的费用不超过1100元，则学校最多可以购买多少支钢笔？ 22．（6分）如图，在△ABC中，∠B＝15°，∠ACB＝25°，AB＝6cm，△ABC逆时针旋转一定角度后与△ADE重合，且点C恰好是AD的中点． （1）指出旋转中心，并求出旋转的度数； （2）求出∠BAE的度数和AE的长． 23．（6分）点A（a，b）满足|b﹣2|＝0，将点A向下平移3个单位长度得到点B． （1）求A、B的坐标； （2）若点C（m，﹣3），S△ABC＝6，求C点的坐标． 24．（6分）随着新能源汽车的销售越来越多，小区新能源汽车充电也越来越困难．某小区为了解决业主新能源汽车充电难的问题，准备在小区内修建10个充电桩，已知新建1个地上充电桩和2个地下充电桩需要1.3万元；新建3个地上充电桩和1个地下充电桩需要1.4万元． （1）该小区新建一个地上充电桩和一个地下充电桩各需多少钱？ （2）若该小区计划用不超过3.5万元的资金新建充电桩，问共有几种建造方案？并列出所有方案． 25．（6分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx+b经过A（﹣30，0）和B（0，15）两点，直线y＝x+5与直线y＝kx+b相交于点P，与y轴交于点C． （1）求直线y＝kx+b的解析式； （2）求△PBC的面积； （3）直接写出不等式kx+b＜x+5的解集． 26．（6分）定义：对于实数a，符号[a]表示不大于a的最大整数．例如：[5.7]＝5，[5]＝5，[﹣π]＝﹣4． （1）如果[a]＝﹣2，那么a的取值范围是____________ ． （2）如果[]＝3，求满足条件的所有正整数x． 27．（5分）如图所示，点D是等边△ABC内一点，DA＝13，DB＝19，DC＝21，将△ABD绕点A逆时针旋转到△ACE的位置，求△DEC的周长． 28．（9分）阅读下面材料，并解决问题： （1）如图①等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求∠APB的度数． 为了解决本题，我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处，此时△ACP′≌△ABP，这样就可以利用旋转变换，将三条线段PA、PB、PC转化到一个三角形中，从而求出∠APB＝ _________ ； （2）基本运用 请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题 已知如图②，△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，E、F为BC上的点且∠EAF＝45°，求证：EF2＝BE2+FC2； （3）能力提升 如图③，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，点O为Rt△ABC内一点，连接AO，BO，CO，且∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，求OA+OB+OC的值． 数学学科试卷 第2页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三数学参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．如果a＞b，那么下列各式中正确的是（　　） A．a﹣3＜b﹣3 B．a+3＜b+3 C．2a＜2b D． 【分析】根据不等式的性质判断各项即可． 【解答】解：∵a＞b， ∴a+3＞b+3，a﹣3＞b﹣3，故A、B错误，不符合题意； ∵a＞b， ∴2a＞2b，故C错误，不符合题意； ∵a＞b， ∴，故D正确，符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查不等式的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 2．中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可． 【解答】解：A．选项图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； B．选项图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C．选项图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； D．选项图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查了中心对称图形，轴对称图形，掌握中心对称图形，轴对称图形的概念是关键． 3．若关于x的一元一次不等式（a+3）x＜a+3的解集是x＞1，则a的取值范围是（　　） A．a＜﹣3 B．a＞0 C．a＞﹣3 D．a＜0 【分析】根据题意，得出关于a的不等式，据此进行求解即可． 【解答】解：由题知， 因为不等式（a+3）x＜a+3的解集是x＞1， 所以a+3＜0， 解得a＜﹣3． 故选：A． 【点评】本题主要考查了解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的步骤是解题的关键． 4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，将△ABC绕点A逆时针旋转，使点C落在边AB上的E处，点B落在D处，则BE的长为（　　） A．1 B． C．2 D． 【分析】由勾股定理可求得AB的长，由旋转的性质可求得AE＝AC＝4，则可求得BE的长． 【解答】解： ∵在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3， ∴AB＝5， 又由旋转的性质可得AE＝AC＝4， ∴BE＝AB﹣AE＝5﹣4＝1， 故选：A． 【点评】本题主要考查旋转的性质，掌握旋转前后对应边、对应角相等是解题的关键． 5．如图，函数y＝2x和y＝ax+4的图象相交于点A（m，3），则不等式2x＜ax+4的解集为（　　） A．x B．x＜3 C．x D．x＞3 【分析】先根据函数y＝2x和y＝ax+4的图象相交于点A（m，3），求出m的值，从而得出点A的坐标，再根据函数的图象即可得出不等式2x＜ax+4的解集． 【解答】解：∵函数y＝2x和y＝ax+4的图象相交于点A（m，3）， ∴3＝2m， m， ∴点A的坐标是（，3）， ∴不等式2x＜ax+4的解集为x； 故选：A． 【点评】此题考查的是用图象法来解不等式，充分理解一次函数与不等式的联系是解决问题的关键． 6．如图，△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转31°后得到的图形，若点D恰好落在AB上，且∠AOC的度数为100°，则∠DOB的度数是（　　） A．34° B．36° C．38° D．40° 【分析】根据旋转的性质求出∠AOD和∠BOC的度数，计算出∠DOB的度数． 【解答】解：由题意得，∠AOD＝31°，∠BOC＝31°，又∠AOC＝100°， ∴∠DOB＝100°﹣31°﹣31°＝38°． 故选：C． 【点评】本题考查的是旋转的性质，掌握旋转角、旋转方向和旋转中心的概念是解题的关键． 7．关于x的不等式组的解集为x＞1，则a的取值范围是（　　） A．a＞1 B．a＜1 C．a≥1 D．a≤1 【分析】根据同大取大得出关于a的不等式，解答即可． 【解答】解：因为不等式组的解集为x＞1， 所以可得a≤1， 故选：D． 【点评】此题主要考查了不等式组的解集，关键是根据其解集得出关于a的不等式． 8．如图，在△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，AC＝4cm，将△ABC绕顶点C顺时针方向旋转至△A′B′C的位置，且A，C，B′三点在同一条直线上，则点A所经过的最短路线的长为（　　）cm A． B． C．4π D．2π 【分析】根据直角三角形两锐角互余求出∠ACB的度数，然后求出旋转角∠ACA′，再根据弧长公式列式进行计算即可得解． 【解答】解：∵∠B＝90°，∠A＝30°， ∴∠ACB＝90°﹣∠A＝90°﹣30°＝60°， ∵△ABC绕顶点C顺时针方向旋转至△A′B′C′的位置， ∴∠A′CB′＝∠ACB＝60°， ∴旋转角∠ACA′＝180°﹣∠A′CB′＝180°﹣60°＝120°， 又∵AC＝4cm， ∴点A所经过的最短路线的长． 故选：B． 【点评】本题考查了旋转的性质，弧长的计算，直角三角形的两锐角互余的性质，掌握其性质定理是解决此题的关键． 9．关于x的不等式组只有4个整数解，则a的取值范围是（　　） A．﹣5≤a B．﹣5≤a C．﹣5＜a D．﹣5＜a 【分析】首先确定不等式组的解集，先利用含a的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于a的不等式，从而求出a的范围． 【解答】解：不等式组的解集是2﹣3a＜x＜21， 因为不等式组只有4个整数解，则这4个解是20，19，18，17． 所以可以得到16≤2﹣3a＜17， 解得﹣5＜a． 故选：C． 【点评】正确解出不等式组的解集，正确确定2﹣3a的范围，是解决本题的关键．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了． 10．如图，边长为24的等边三角形ABC中，M是高CH所在直线上的一个动点，连接MB，将线段BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接HN．则在点M运动过程中，线段HN长度的最小值是（　　） A．12 B．6 C．3 D．1 【分析】取CB的中点G，连接MG，根据等边三角形的性质可得BH＝BG，再求出∠HBN＝∠MBG，根据旋转的性质可得MB＝NB，然后利用“边角边”证明△MBG≌△NBH，再根据全等三角形对应边相等可得HN＝MG，然后根据垂线段最短可得MG⊥CH时最短，再根据∠BCH＝30°求解即可． 【解答】解：如图，取BC的中点G，连接MG， ∵旋转角为60°， ∴∠MBH+∠HBN＝60°， 又∵∠MBH+∠MBC＝∠ABC＝60°， ∴∠HBN＝∠GBM， ∵CH是等边△ABC的对称轴， ∴HBAB， ∴HB＝BG， 又∵MB旋转到BN， ∴BM＝BN， 在△MBG和△NBH中， ， ∴△MBG≌△NBH（SAS）， ∴MG＝NH， 根据垂线段最短，当MG⊥CH时，MG最短，即HN最短， 此时∠BCH60°＝30°，CGAB24＝12， ∴MGCG12＝6， ∴HN＝6， 故选：B． 【点评】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短的性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点． 二．填空题（共8小题） 11．若a＜b，那么﹣2a+9　＞　 ﹣2b+9（填“＞”“＜”或“＝”）． 【分析】不等式两边加或减某个数或式子，乘或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘或除以一个负数，不等号的方向改变． 【解答】解：∵a＜b， ∴﹣2a＞﹣2b， ∴﹣2a+9＞﹣2b+9 【点评】能够通过观察理解由已知变化到所要比较的式子，是如何的得到的是解题的关键． 12．某次数学测验中有16道选择题，评分办法：答对一道得6分，答错一道扣2分，不答得0分．某学生有一道题未答，那么这个同学至少要答对　12　 道题，成绩才能在60分以上． 【分析】找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系．得到不等式6x﹣2（15﹣x）＞60，求解即可． 【解答】解：设答对x道． 故6x﹣2（15﹣x）＞60， 解得：x， ∴x最大整数取12， 所以至少要答对12道题，成绩才能在60分以上． 【点评】本题考查一元一次不等式组的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出不等式关系式即可求解． 13．不等式组的解集为　x≤1　 ． 【分析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解． 【解答】解：， 由①得，x≤1， 由②得，x， 所以，不等式组的解集x≤1． 故答案为：x≤1． 【点评】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）． 14．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点P在△ABC内，△AP′C是由△BPC绕着点C旋转得到的，PA，PB＝1，∠BPC＝135°．则PC＝　　 ． 【分析】根据旋转的性质可以得到∠P′CA＝∠PCB，进而可以得到∠P′CP＝∠ACB＝90°，进而得到等腰直角三角形，求解即可． 【解答】解：∵△AP′C是由△BPC绕着点C旋转得到的， ∴∠P′CA＝∠PCB，CP′＝CP， ∴∠P′CP＝∠ACB＝90°， ∴△P′CP为等腰直角三角形， 可得出∠AP′B＝90°， ∵PA，PB＝1， ∴AP′＝1， ∴PP′2， ∴PC， 故答案为． 【点评】本题考查了旋转的性质及勾股定理的知识，解题的关键是正确的利用旋转的性质得到相等的量． 15．已知关于x的方程组的解满足x+y＞0，则m的取值范围为m＞﹣1　 ． 【分析】通过将方程组中的两个方程直接相加，构造出x+y的表达式，再根据 x+y＞0 的条件建立关于 m 的不等式，最终求解 m 的取值范围． 【解答】解：， 将①和②相加得： （2x+y）+（x+2y）＝（1+3m）+（1﹣m）， 合并同类项： 3x+3y＝2+2m， ∴x+y， ∵x+y＞0， ∴0， ∴即2+2m＞0， m＞﹣1． 故答案为：m＞﹣1． 【点评】本题主要考查二元一次方程组与一元一次不等式的综合应用，以及整体代入的数学思想．熟练掌握方程组的加减消元法和不等式的基本性质是解题的关键． 16．现定义一种新的运算：a*b＝a2﹣2b，例如：3*4＝32﹣2×4＝1，则不等式（﹣2）*x≥0的解集为x≤2　 ． 【分析】直接根据题意得出不等式，进而计算得出答案． 【解答】解：∵a*b＝a2﹣2b，例如：3*4＝32﹣2×4＝1， ∴不等式（﹣2）*x≥0可变形为：4﹣2x≥0， 解得：x≤2． 故答案为：x≤2． 【点评】此题主要考查了解一元一次不等式，正确将原式变形是解题关键． 17．如图所示，某住宅小区内有一长方形地块，想在长方形地块内修筑同样宽的两条”之”字路，余下部分绿化，道路的宽为2米，则绿化的面积为　540　 m2． 【分析】把两条”之”字路平移到长方形地块ABCD的最上边和最左边，则余下部分EFCG是矩形，根据矩形的面积公式即可求出结果． 【解答】解：如图，把两条”之”字路平移到长方形地块ABCD的最上边和最左边，则余下部分EFGH是矩形． ∵CF＝32﹣2＝30（米），CG＝20﹣2＝18（米）， ∴矩形EFCG的面积＝30×18＝540（平方米）． 答：绿化的面积为540m2． 故答案为：540． 【点评】将长方形地块内部修筑的两条”之”字路平移到长方形ABCD的最上边和最左边，使余下部分EFCG是一个矩形，是解决本题的关键． 18．如图，正三角形ABC的边长为a，点E是AB边上的动点（不与端点A、B重合），在CE上方作正三角形CEF．当点E由点B向点A运动过程中． ①若BE＝1，则AF＝1； ②∠AFE的度数随着点E的运动而逐渐变小； ③若点G为AC的中点，则GF的最小值为； ④△AEF面积的最大值为． 其中正确的是 　①②③　 ．（写出所有正确结论的序号） 【分析】①可证明△BCE≌△ACF，从而得出结果； ②在①的基础上，得出AF∥BC，进而得出∠AFE+∠BCE＝60°，进而得出结果； ③可得出F点在过点A与BC平行的直线上运动，故当FG垂直该直线时，GF最小，进而求得结果； ④可推出△AEF的面积等于△ABC的面积减去△CEF的面积，故当CE⊥AB时，其面积最大，进一步得出结论． 【解答】解：①∵△ABC和△CEF是正三角形， ∴∠ACB＝∠ECF＝60°，AC＝BC，CF＝CE， ∴∠ACB﹣∠ACE＝∠ECF﹣∠ACE， ∴∠BCE＝∠ACF， ∴△BCE≌△ACF（SAS）， ∴AF＝BE＝1； ②由①得：△BCE≌△ACF， ∴∠CAF＝∠B＝60°， ∴∠CAF＝∠ACB＝60°， ∴AF∥BC， ∴∠AFC+∠BCF＝180°， ∴AFE+∠EFC+∠ECF+∠BCF＝180°， ∴∠AFE+∠BCE+60°+60°＝180°， ∴∠AFE+∠BCE＝60°， ∵随着点E的运动，∠BCE增大， ∴∠AFE逐渐减小； ③由②知：AF∥BC， ∴点F在过A点与BC的平行的直线上运动， ∴当GF⊥AF时，GF最小，最小值a； ④由①知：△BCE≌△ACF， ∴S四边形AECF＝S△ACE+S△ACF＝S△ACE+S△BCE＝S△ABC， ∴S△AEF＝S四边形AECF﹣S△CEF＝S△ABC﹣S△CEF， ∴当等边三角形CEF的边长最小时，△AEF的面积最大， ∴当CE⊥AB时，CE最小a， ∵S△ABC，S△CEF最小， ∴S△AEF最大， 故答案为：①②③． 【点评】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质等知识，解决问题的关键是层层推理，下一问用到上一问的结论． 三．解答题 19．（1）解不等式组：，并把解集表示在数轴上． 【分析】解一元一次不等式组，可得出不等式组的解集，再将其表示在数轴上即可． 【解答】解：解不等式①得：x≤2， 解不等式②得：x＞﹣1， ∴不等式组的解集为﹣1＜x≤2． 将其表示在数轴上，如图所示． 【点评】本题考查了解一元一次不等式组以及在数轴上表示不等式的解集，解不等式组，找出不等式组的解集是解题的关键． （2）．解不等式组：，并在数轴上表示出不等式组的解集． 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 【解答】解：由①解得x＜4， 由②解得x≥3， 所以不等式组的解集为3≤x＜4． 解集在数轴上表示如图： ． 【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 20．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）． （1）请画出△ABC关于原点对称的△A1B1C1； （2）请画出△ABC绕O顺时针旋转90°后的△A2B2C2并写出点C2的坐标． 【分析】（1）分别确定A，B，C关于原点的对称点A1，B1，C1，再顺次连接A1，B1，C1，可得答案； （2）分别确定A，B，C绕原点O顺时针旋转90°后的对应点A2，B2，C2，再顺次连接A2，B2，C2，再根据C2的位置可得答案． 【解答】解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求； （2）如图所示：△A2B2C2，即为所求；C2（4，﹣3）． 【点评】本题考查的是中心对称的作图，旋转90°的作图，坐标与图形，利用旋转的性质作图是解本题的关键． 21．学校为数学竞赛准备了若干钢笔和笔记本（每支钢笔的价格相同，每本笔记本的价格相同）作为竞赛的奖品．若购买2支钢笔和3本笔记本需62元，购买5支钢笔和1本笔记本需90元． （1）购买一支钢笔和一本笔记本各需多少钱？ （2）若学校准备购买钢笔和笔记本共80件奖品，并且购买的费用不超过1100元，则学校最多可以购买多少支钢笔？ 【分析】（1）设一支钢笔x元，一本笔记本y元，根据“购买2支钢笔和3本笔记本需62元，购买5支钢笔和1本笔记本需90元”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设学校购买m支钢笔，则购买（80﹣m）本笔记本，根据总价＝单价×数量结合购买的费用不超过1100元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论． 【解答】解：（1）设一支钢笔x元，一本笔记本y元， 根据题意得：， 解得：． 答：一支钢笔16元，一本笔记本10元． （2）设学校购买m支钢笔，则购买（80﹣m）本笔记本， 根据题意得：16m+10（80﹣m）≤1100， 解得：m≤50． 答：学校最多可以购买50支钢笔． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 22．如图，在△ABC中，∠B＝15°，∠ACB＝25°，AB＝6cm，△ABC逆时针旋转一定角度后与△ADE重合，且点C恰好是AD的中点． （1）指出旋转中心，并求出旋转的度数； （2）求出∠BAE的度数和AE的长． 【分析】（1）根据旋转的性质即可得旋转中心和旋转的度数； （2）由∠CAE＝∠BAD＝140°即得∠BAE＝360°﹣∠CAE﹣∠CAB＝80°，根据C为AD中点，可得ACADAB＝3cm＝AE＝3cm． 【解答】解：（1）∵△ABC逆时针旋转一定角度后与△ADE重合，A为公共顶点， ∴旋转中心是点A， 根据旋转的性质可知∠CAE＝∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝140°， ∴旋转角度是140°； 答：旋转中心是点A，旋转角度是140°； （2）由（1）可知∠CAE＝∠BAD＝140°， ∴∠BAE＝360°﹣∠CAE﹣∠CAB＝80°， 由旋转的性质可知AB＝AD，AC＝AE， 又∵C为AD中点， ∴ACADAB＝3cm， ∴AE＝3cm． 答：∠BAE的度数为80°，AE的长为3cm． 【点评】本题考查三角形的旋转，解题的关键是掌握旋转的性质． 23．已知点A（a，b）满足|b﹣2|＝0，将点A向下平移3个单位长度得到点B． （1）求A、B的坐标； （2）若点C（m，﹣3），S△ABC＝6，求C点的坐标． 【分析】（1）利用非负数的性质即可解决问题； （2）构建方程即可解决问题； 【解答】解：（1）∵|b﹣2|＝0， 0，|b﹣2|≥0， ∴a＝1，b＝2， ∴A（1，2），B（1，﹣1）． （2）由题意：3×|m﹣1|＝6， ∴m＝5或﹣3， ∴C（5，﹣3）或（﹣3，﹣3）． 【点评】本题考查坐标与图形的性质、非负数的性质、绝对值等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会构建方程解决问题，属于中考常考题型． 24．随着新能源汽车的销售越来越多，小区新能源汽车充电也越来越困难．某小区为了解决业主新能源汽车充电难的问题，准备在小区内修建10个充电桩，已知新建1个地上充电桩和2个地下充电桩需要1.3万元；新建3个地上充电桩和1个地下充电桩需要1.4万元． （1）该小区新建一个地上充电桩和一个地下充电桩各需多少钱？ （2）若该小区计划用不超过3.5万元的资金新建充电桩，问共有几种建造方案？并列出所有方案． 【分析】（1）设新建一个地上充电桩需x万元，新建一个地下充电桩需y万元，根据等量关系可列出方程组，解出即可得出答案； （2）设新建地上充电桩a个，则地下充电桩（10﹣a）个，根据投资金额不超过3.5万元，可得出不等式组，解出即可得出答案． 【解答】解：（1）设新建一个地上充电桩需x万元，新建一个地下充电桩需y万元， ， ∴， 答：新建一个地上充电桩需0.3万元，新建一个地下充电桩需0.5万元． （2）设新建地上充电桩a个， ， ∴7.5≤a≤10． ∴整数a的值为8，9，10， ∴①新建地上充电桩8个，则地下充电桩2个； ②新建地上充电桩9个，则地下充电桩1个； ③新建地上充电桩10个，则地下充电桩0个． 【点评】本题考查了一元一次不等式组及二元一次方程组的应用，解答本题的关键是仔细审题，将实际问题转化为数学方程或不等式的思想进行求解． 25．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx+b经过A（﹣30，0）和B（0，15）两点，直线y＝x+5与直线y＝kx+b相交于点P，与y轴交于点C． （1）求直线y＝kx+b的解析式； （2）求△PBC的面积； （3）直接写出不等式kx+b＜x+5的解集． 【分析】（1）利用待定系数法求直线解析式； （2）先确定C点坐标，再解方程组得P点坐标，然后利用三角形面积公式求解； （3）写出直线y＝x+5在直线y＝kx+b上方所对应的自变量的范围即可． 【解答】解：（1）把A（﹣30，0）和B（0，15）代入y＝kx+b得，解得， ∴直线AB的解析式为yx+15； （2）当x＝0时，y＝x+5＝5，则C（0，5）， 解方程组得，则P（20，25）， ∴△PBC的面积（15﹣5）×20＝100； （3）不等式kx+b＜x+5的解集为x＞20． 【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．也考查了待定系数法求一次函数解析式． 26．定义：对于实数a，符号[a]表示不大于a的最大整数．例如：[5.7]＝5，[5]＝5，[﹣π]＝﹣4． （1）如果[a]＝﹣2，那么a的取值范围是　﹣2≤a＜﹣1　 ． （2）如果[]＝3，求满足条件的所有正整数x． 【分析】（1）根据[a]＝﹣2，得出﹣2≤a＜﹣1，求出a的解即可； （2）根据题意得出34，求出x的取值范围，从而得出满足条件的所有正整数的解． 【解答】解：（1）∵[a]＝﹣2， ∴a的取值范围是﹣2≤a＜﹣1； 故答案为：﹣2≤a＜﹣1． （2）根据题意得： 34， 解得：5≤x＜7， 则满足条件的所有正整数为5，6． 【点评】此题考查了一元一次不等式组的应用，解题的关键是根据题意列出不等式组，求出不等式的解． 27．如图所示，点D是等边△ABC内一点，DA＝13，DB＝19，DC＝21，将△ABD绕点A逆时针旋转到△ACE的位置，求△DEC的周长． 【分析】先根据等边三角形的性质得∠BAC＝60°，AB＝AC，再根据旋转的性质得到AD＝AE，CE＝BD＝19，∠DAE＝∠BAC＝60°，则可判断△ADE为等边三角形，从而得到DE＝AD＝13，然后计算△DEC的周长． 【解答】解：∵△ABC为等边三角形， ∴∠BAC＝60°，AB＝AC， ∵△ABD绕点A逆时针旋转到△ACE的位置， ∴AD＝AE，CE＝BD＝19，∠DAE＝∠BAC＝60°， ∴△ADE为等边三角形， ∴DE＝AD＝13， ∴△DEC的周长＝DE+DC+CE＝13+21+19＝53． 28．阅读下面材料，并解决问题： （1）如图①等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求∠APB的度数． 为了解决本题，我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处，此时△ACP′≌△ABP，这样就可以利用旋转变换，将三条线段PA、PB、PC转化到一个三角形中，从而求出∠APB＝ 　150°　 ； （2）基本运用 请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题 已知如图②，△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，E、F为BC上的点且∠EAF＝45°，求证：EF2＝BE2+FC2； （3）能力提升 如图③，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，点O为Rt△ABC内一点，连接AO，BO，CO，且∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，求OA+OB+OC的值． 【分析】（1）根据旋转变换前后的两个三角形全等，全等三角形对应边相等，全等三角形对应角相等以及等边三角形的判定和勾股定理逆定理解答； （2）把△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ACE′，根据旋转的性质可得AE′＝AE，CE′＝BE，∠CAE′＝∠BAE，∠ACE′＝∠B，∠EAE′＝90°，再求出∠E′AF＝45°，从而得到∠EAF＝∠E′AF，然后利用“边角边”证明△EAF和△E′AF全等，根据全等三角形对应边相等可得E′F＝EF，再利用勾股定理列式即可得证． （3）将△AOB绕点B顺时针旋转60°至△A′O′B处，连接OO′，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AB＝2AC，即A′B的长，再根据旋转的性质求出△BOO′是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等可得BO＝OO′，等边三角形三个角都是60°求出∠BOO′＝∠BO′O＝60°，然后求出C、O、A′、O′四点共线，再利用勾股定理列式求出A′C，从而得到OA+OB+OC＝A′C． 【解答】解：（1）∵△ACP′≌△ABP， ∴AP′＝AP＝3、CP′＝BP＝4、∠AP′C＝∠APB， 由题意知旋转角∠PA P′＝60°， ∴△AP P′为等边三角形， P P′＝AP＝3，∠A P′P＝60°， 易证△P P′C为直角三角形，且∠P P′C＝90°， ∴∠APB＝∠AP′C＝∠A P′P+∠P P′C＝60°+90°＝150°； 故答案为：150°； （2）如图2，把△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ACE′， 由旋转的性质得，AE′＝AE，CE′＝BE，∠CAE′＝∠BAE，∠ACE′＝∠B，∠EAE′＝90°， ∵∠EAF＝45°， ∴∠E′AF＝∠CAE′+∠CAF＝∠BAE+∠CAF＝∠BAC﹣∠EAF＝90°﹣45°＝45°， ∴∠EAF＝∠E′AF， 在△EAF和△E′AF中， ∴△EAF≌△E′AF（SAS）， ∴E′F＝EF， ∵∠CAB＝90°，AB＝AC， ∴∠B＝∠ACB＝45°， ∴∠E′CF＝45°+45°＝90°， 由勾股定理得，E′F2＝CE′2+FC2， 即EF2＝BE2+FC2． （3）如图3，将△AOB绕点B顺时针旋转60°至△A′O′B处，连接OO′， ∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°， ∴AB＝2， ∴BC， ∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°， ∴△A′O′B如图所示； ∠A′BC＝∠ABC+60°＝30°+60°＝90°， ∵∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°， ∴AB＝2AC＝2， ∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，得到△A′O′B， ∴A′B＝AB＝2，BO＝BO′，A′O′＝AO， ∴△BOO′是等边三角形， ∴BO＝OO′，∠BOO′＝∠BO′O＝60°， ∵∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°， ∴∠COB+∠BOO′＝∠BO′A′+∠BOO′＝120°+60°＝180°， ∴C、O、A′、O′四点共线， 在Rt△A′BC中，A′C， ∴OA+OB+OC＝A′O′+OO′+OC＝A′C． 【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，读懂题目信息，理解利用旋转构造出全等三角形和等边三角形以及直角三角形是解题的关键． 【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的性质． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/10/8 16:43:14；用户：王雷飞；邮箱：13354590623；学号：20852759 第1页 共2页 ◎ 第2页 共2页 学科网（北京）股份有限公司 $