精品解析：河南南阳市实验学校2026年秋期九年级数学假期作业检测

南阳市实验学校2026年秋期九年级数学假期作业检测 一、单选题 1. 若是最简二次根式，则的值可以是（ ） A. 0.6 B. 25 C. 15 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】根据最简二次根式满足的两个条件，①被开方数是非负数且不含分母，②被开方数不含能开得尽方的因数或因式，逐项分析即可． 【详解】解：A、∵ 当时，的被开方数为小数， ∴ 不是最简二次根式； B、∵ 当时，，被开方数含能开得尽方的因数， ∴ 不是最简二次根式； C、∵ 当时，的被开方数是整数，且不含能开得尽方的因数， ∴ 是最简二次根式； D、∵ 当时，，被开方数含能开得尽方的因数， ∴ 不是最简二次根式． 2. 函数中自变量x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 且 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵且， ∴． 3. 下列二次根式中，能够与合并的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了同类二次根式的识别，化简二次根式，能够合并的二次根式一定是同类二次根式，即被开方数相同的最简二次根式才能合并，据此把和对应选项中的二次根式化为最简二次根式即可得到答案． 【详解】解：，，，， ∴能够与合并的是， 故选：C． 4. 已知方程没有实数解，你认为代表的数字可能是（ ） A. 9 B. 1 C. 0 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，由于平方数具有非负性，当为负数时，方程无实数解，熟练掌握平方数具有非负性是解此题的关键． 【详解】解：∵对于所有实数，， ∴当时，方程没有实数解， 故选：D． 5. 估算的值应在（ ） A. 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间 【答案】C 【解析】 【分析】先化简原式，再估算的范围确定原式的取值范围． 【详解】解：， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即原式的值在和之间． 6. 若关于x 的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（　） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根；由题意可得且，求解即可，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵关于x 的一元二次方程有实数根， ∴且， 解得且， 故选：D． 7. 已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式 的值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用一元二次方程的解的意义求得，利用根与系数的关系求得，最后将原式变形后代入数值计算即可． 【详解】解：∵它的两根分别为，， ∴，， ∴ ． 8. 为了迎接中考、互相激励，小亮同学和他的小组成员约定：月考后每个人都要向组内其他成员赠送一份小礼物，若他们一共赠送了份礼物，设小亮及小组一共有人，则下面方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查列一元二次方程，小组共有人，每人要送出件礼物，据此列出方程即可． 【详解】解：设小亮及小组一共有人，根据题意得． 9. 在平面直角坐标系中，若直线不经过第二象限，则关于的一元二次方程的实数根的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 0或1个 D. 1或2个 【答案】B 【解析】 【分析】先由一次函数图象不经过第二象限得出a的取值范围，结合一元二次方程二次项系数不为0的条件确定，再通过根的判别式判断实根个数． 【详解】解：∵直线不经过第二象限， ． ∵方程是一元二次方程， ． ． ． ∴该方程有2个不相等的实数根． 10. 对于一元二次方程（），下列说法正确的个数是（ ） ①若方程的两个根为和1，则． ②若，则方程一定有解． ③若，则． ④若，且，则方程的两实数解一定互为相反数． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】由根与系数的关系得到，则可推出，据此可判断①；当时，可证明是原方程的解，据此可判断②；根据题意可得都是关于的一元二次方程的实数根，而关于的一元二次方程可以有两个不相等的实数根，据此可判断③；可证明，，则可证明，由根与系数的关系可得原方程的两实数解的和为，即原方程的两实数解一定互为相反数，据此可判断④. 【详解】解：①若方程的两个根为和，由根与系数的关系得，， ，， ，故①正确； ②， 将代入方程得， 是方程的根，即方程一定有解，故②正确； ③若，则都是方程的实数根， 一元二次方程可以有两个不相等的实数根， 不一定等于，故③错误； ④若，则， ，，与异号， ，即， ， ， 方程有两个不相等的实数根， 由根与系数的关系，两根之和为， 方程的两实数解一定互为相反数，故④正确， 故正确的有①②④，共3个. 二、填空题 11. 已知关于的一元二次方程，则m的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程需要满足两个条件：未知数最高次数为2，二次项系数不为0，列关于的方程或者等式，解出即可． 【详解】解： 方程是关于的一元二次方程。 未知数的最高次数满足，且二次项系数 解得或， 又，即， ． 12. 若，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】先对所求式子通分变形，利用平方差公式分解后，整体代入，，的值计算． 【详解】解：∵，， ， ∴． 13. __________ 【答案】 【解析】 【分析】将原式拆分变形，利用积的乘方逆运算和平方差公式化简计算即可． 【详解】解：原式 ． 14. 已知，是方程的两个根．则_______． 【答案】 【解析】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系得到两根和与两根积，再将所求式子配方变形后代入计算． 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴， ∴． 15. 如图所示，中，，，，点从点开始沿向终点以的速度移动，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果、分别从、同时出发，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，那么______秒后，线段将分成面积的两部分． 【答案】 2 或 4 【解析】 【分析】设运动时间为  秒，用含  的代数式表示  和  的长，根据三角形面积公式表示出  的面积，结合面积比列出方程求解，并注意检验时间  的取值范围． 【详解】解：设运动时间为  秒 ，  点的速度为 ，点的速度为  ， ， ，  ，  ，  当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，且， ，  点到达终点需，点到达终点需 ，  ，， ，  ，  ，  线段将分成面积  的两部分 ， 或 ， 第一种情况： 当 时：， 整理得：， 解得：， 和均在范围内 或 符合题意 第二种情况：当时   整理得     该方程无实数根综上所述，或秒后，线段将 分成面积的两部分． 三、解答题 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先计算二次根式的乘除，再展开完全平方，化简后合并同类二次根式即可； （2） 先展开完全平方，化简各二次根式，再合并二次根式即可． 【小问1详解】 解:原式         ． 【小问2详解】 解：原式    ． 17. 解方程 （1）（用配方法解方程）； （2）（用适当的方法）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）根据配方法解方程的步骤求解即可； （2）先将原方程化为一般式，再因式分解解方程即可． 【小问1详解】 解：移项，得 配方，得 即 开方，得 ∴，； 【小问2详解】 解：原方程变形为 ∴ ∴或 ∴，． 18. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两个实数根为，且，求的值． 【答案】（1） 证明：， ∵无论取何值，，恒成立， ∴无论取何值，方程都有两个不相等的实数根． （2）或． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． （1）根据根的判别式证明恒成立即可； （2）由题意可得，，，进行变形后代入即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵是方程的两个实数根， ∴，， ∴， 解得：或． 19. 阅读材料：如果一元二次方程的两根分别是，，那么，，借助该材料完成下列各题： （1）应用：一元二次方程的两个实数根为，，则 ， ； （2）提升：关于的方程，若斜边长，另两边长，恰好是这个方程的两个根，求的周长． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，准确计算是解题的关键． （1）根据方程确定，，，再根据，计算即可； （2）先写出和，根据勾股定理得到求出，即可得解； 【小问1详解】 一元二次方程， ，，， ，； 故答案是：，． 【小问2详解】 关于的方程，，恰好是这个方程的两个根， ，， ，，是的三边，且斜边， ， ， ， ， ， （负值舍去）， ， 的周长为． 20. “南阳一个值得三顾的地方，南阳月季飘香醉五洲”，五一期间，某月季养殖户在网上售卖月季，第一天的收入为元，第三天的收入为元（每天收入的增长率相同）． （1）求该月季养殖户每天平均收入的增长率是多少？ （2）月季进校园，某校准备在教学楼旁边建一个矩形月季园，一边靠墙（墙长），另外三边用木栅栏围成，已知木栅栏总长．能不能设计出面积最大的月季园？若能，请给出设计方案，如果不能，请说明理由． 【答案】（1） （2）能，面积最大的月季园的方案为：与墙垂直的一边为，与墙平行的一边为 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及二次函数的应用，解答本题的关键是能找准等量关系，正确列出一元二次方程以及根据各数量之间的关系，正确列出二次函数关系式． （1）设该月季养殖户每天收入的增长率是，根据该月季养殖户第一天及第三天的收入，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）方法一：设与墙平行的一边为，与墙垂直的一边为，矩形月季园面积为，根据矩形的面积公式列出函数关系式，根据函数的性质求最值即可解答； 方法二：设与墙垂直的一边为，与墙平行的一边为，矩形月季园面积为，根据矩形的面积公式列出函数关系式，根据函数的性质求最值即可解答． 【小问1详解】 解：设该月季养殖户每天收入的增长率是， 根据题意，得，， 解得，， 答：该月季养殖户每天收入的增长率是； 【小问2详解】 解：能，理由如下： 方法一：设与墙平行的一边为，与墙垂直的一边为，矩形月季园面积为，则 ， 由题意知， 当时，有最大值，此时， 所以面积最大的月季园的方案为：与墙平行的一边为，与墙垂直的一边为； 方法二：设与墙垂直的一边为，与墙平行的一边为，矩形月季园面积为，则， 当时，有最大值，此时，符合题意， 所以面积最大的月季园的方案为：与墙垂直的一边为，与墙平行的一边为． 21. 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件可盈利40元．为了扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，商场采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件降价1元，商场平均每天可多售出2件． （1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？ （2）该商场平均每天盈利能达到1500元吗？如果能，求出此时应降价多少；如果不能，请说明理由； （3）该商场平均每天盈利最多多少元？达到最大值时应降价多少元？ 【答案】（1）20元； （2）不能达到1500元， 假设能达到，由题意，得， 整理，得， ， 即：该方程无解， 所以，商场平均每天盈利不能达到1500元； （3）平均每天盈利最多1250元，达到最大值时应降价15元． 【解析】 【分析】（1）设每件衬衫应降价元，则每件盈利元，每天可以售出，所以此时商场平均每天要盈利元，根据商场平均每天要盈利元，为等量关系列出方程求解即可． （2）假设能达到，根据商场平均每天要盈利元，为等量关系列出方程，看该方程是否有解，有解则说明能达到，否则不能． （3）设商场平均每天盈利元，由（1）可知商场平均每天盈利元与每件衬衫应降价元之间的函数关系为：，用“配方法”求出该函数的最大值，并求出降价多少． 【详解】解：（1）设每件衬衫应降价元，则每件盈利元，每天可以售出， 由题意，得， 即：， 解，得，， 为了扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，所以的值应为20， 所以，若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价20元； （2） 略 （3）设商场平均每天盈利元，每件衬衫应降价元， 由题意，得， ， ， ， 当元时，该函数取得最大值为1250元， 所以，商场平均每天盈利最多1250元，达到最大值时应降价15元． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，和二次函数的最值，关键在于理解清楚题意找出等量关系列出方程求解，另外还用到的知识点有“根的判别式”和用“配方法”求函数的最大值． 22. 图解方程就是把方程的解和几何图形建立联系，通过几何直观反映代数抽象．历史上有多种关于一元二次方程的几何解法，例如：欧几里德解法，花拉子米解法，卡莱尔解法，斯陶特解法，赵爽解法等．让我们一起来了解一下吧．欧几里得在《几何原本》中，记载了用图解法解方程的方法，类似地，我们可以用折纸的方法求方程的一个正根．如图，一张边长为2的正方形的纸片，先折出，的中点E，F，再沿过点A的直线折叠，使点D落在线段上（即H处），折痕为，点G在边上，连接，． （1）用公式法求方程的解； （2）请利用等面积法借助分别求出线段，的长度，并说明哪条线段的长度值恰好是方程的一个正根． 【答案】（1）， （2），，线段的长度恰好是方程的一个正根 【解析】 【分析】此题考查的是一元二次方程的应用，运用勾股定理和面积法找到线段的关系是解题的关键． （1）直接用求根公式解答即可； （2）设，则，由折叠的性质可知≌，是的中点，则，，再由勾股定理得，然后由，求出，即可解决问题． 【小问1详解】 解：在方程 中，，，． ． 将其代入求根公式，得． 所以方程的解为，． 【小问2详解】 解：设，则， 由折叠的性质可知：，是的中点， ，， 根据勾股定理得：， ， ， 解得：，即， 的解为：， 取正值为， ∴线段的长度恰好是方程的一个正根． 23. 定义：已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“限根方程”．如：一元二次方程的两根为，，因，，所以一元二次方程为“限根方程”． 请阅读以上材料，回答下列问题： （1）判断：一元二次方程 “限根方程”（填“是”或“不是”）； （2）若关于的一元二次方程是“限根方程”，且为小于3的整数，求的值； （3）若关于的一元二次方程是“限根方程”，求的取值范围． 【答案】（1）是 （2）的值为2 （3）的取值范围为或 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，根的大小比较； （1）先利用因式分解法解方程得到，，然后根据“限根方程”的定义进行判断即可； （2）根据题意可得关于一元二次方程有两个不同的实数根，则，解得，再结合为小于3的整数，得到或2，再分两种情况讨论，根据“限根方程”的定义进行判断，即可求解； （3）利用因式分解法解方程得到，，再根据“限根方程”的定义分情况讨论，得到关于的不等式，即可求出的取值范围． 【小问1详解】 解： 解得，， ，， 一元二次方程是“限根方程”， 故答案为：是； 【小问2详解】 解：由题意得，关于一元二次方程有两个不同的实数根， 则， 解得， 为小于3的整数 可为、， 当时，方程化为， 解得，， 则， ， 方程不是“限根方程”，不符合题意，舍去； 当时，方程化为， 解得，， ，， 方程是“限根方程”，符合题意； 综上所述，的值为2； 【小问3详解】 解：， 解得方程的两根为和， 当时，，解得； 当时，，解得， 综上所述，的取值范围为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南阳市实验学校2026年秋期九年级数学假期作业检测 一、单选题 1. 若是最简二次根式，则的值可以是（ ） A. 0.6 B. 25 C. 15 D. 20 2. 函数中自变量x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 且 3. 下列二次根式中，能够与合并的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知方程没有实数解，你认为代表的数字可能是（ ） A. 9 B. 1 C. 0 D. 5. 估算的值应在（ ） A. 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间 6. 若关于x 的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（　） A. B. C. 且 D. 且 7. 已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式 的值等于（ ） A. B. C. D. 8. 为了迎接中考、互相激励，小亮同学和他的小组成员约定：月考后每个人都要向组内其他成员赠送一份小礼物，若他们一共赠送了份礼物，设小亮及小组一共有人，则下面方程正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 在平面直角坐标系中，若直线不经过第二象限，则关于的一元二次方程的实数根的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 0或1个 D. 1或2个 10. 对于一元二次方程（），下列说法正确的个数是（ ） ①若方程的两个根为和1，则． ②若，则方程一定有解． ③若，则． ④若，且，则方程的两实数解一定互为相反数． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题 11. 已知关于的一元二次方程，则m的值为_________． 12. 若，，则______． 13. __________ 14. 已知，是方程的两个根．则_______． 15. 如图所示，中，，，，点从点开始沿向终点以的速度移动，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果、分别从、同时出发，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，那么______秒后，线段将分成面积的两部分． 三、解答题 16. 计算： （1）； （2）． 17. 解方程 （1）（用配方法解方程）； （2）（用适当的方法）． 18. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两个实数根为，且，求的值． 19. 阅读材料：如果一元二次方程的两根分别是，，那么，，借助该材料完成下列各题： （1）应用：一元二次方程的两个实数根为，，则 ， ； （2）提升：关于的方程，若斜边长，另两边长，恰好是这个方程的两个根，求的周长． 20. “南阳一个值得三顾的地方，南阳月季飘香醉五洲”，五一期间，某月季养殖户在网上售卖月季，第一天的收入为元，第三天的收入为元（每天收入的增长率相同）． （1）求该月季养殖户每天平均收入的增长率是多少？ （2）月季进校园，某校准备在教学楼旁边建一个矩形月季园，一边靠墙（墙长），另外三边用木栅栏围成，已知木栅栏总长．能不能设计出面积最大的月季园？若能，请给出设计方案，如果不能，请说明理由． 21. 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件可盈利40元．为了扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，商场采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件降价1元，商场平均每天可多售出2件． （1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？ （2）该商场平均每天盈利能达到1500元吗？如果能，求出此时应降价多少；如果不能，请说明理由； （3）该商场平均每天盈利最多多少元？达到最大值时应降价多少元？ 22. 图解方程就是把方程的解和几何图形建立联系，通过几何直观反映代数抽象．历史上有多种关于一元二次方程的几何解法，例如：欧几里德解法，花拉子米解法，卡莱尔解法，斯陶特解法，赵爽解法等．让我们一起来了解一下吧．欧几里得在《几何原本》中，记载了用图解法解方程的方法，类似地，我们可以用折纸的方法求方程的一个正根．如图，一张边长为2的正方形的纸片，先折出，的中点E，F，再沿过点A的直线折叠，使点D落在线段上（即H处），折痕为，点G在边上，连接，． （1）用公式法求方程的解； （2）请利用等面积法借助分别求出线段，的长度，并说明哪条线段的长度值恰好是方程的一个正根． 23. 定义：已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“限根方程”．如：一元二次方程的两根为，，因，，所以一元二次方程为“限根方程”． 请阅读以上材料，回答下列问题： （1）判断：一元二次方程 “限根方程”（填“是”或“不是”）； （2）若关于的一元二次方程是“限根方程”，且为小于3的整数，求的值； （3）若关于的一元二次方程是“限根方程”，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $