精品解析：河南省许昌市第二中学2026-2027学年九年级上学期10月阶段检测数学试题

九年级上学期培优数学测试（二） 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 将抛物线先向左平移个单位，再向下平移个单位，得到的抛物线的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 2. 二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象一定不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 如图，已知一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点，点．有下列结论：①关于x的方程的解为；②关于x的方程的解为；③当时，；④当时，．其中正确的是（　　） A. ①②③ B. ①③④ C. ②③④ D. ①②④ 4. 对于抛物线下列结论：①抛物线的开口向上；②对称轴为直线；③顶点坐标为；④当时，y随x的增大而减小．其中正确的结论是（ ） A. ①② B. ①③ C. ①③④ D. ①②③④ 5. 已知二次函数、、，它们的图象开口由小到大的顺序是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，二次函数的图象经过点、，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 图象的对称轴是直线 7. 关于二次函数，下列说法正确的个数是（ ） ①它的图象经过第一、二、三象限； ②当时，y随x的增大而增大； ③它的图象可由向右平移2个单位，再向下平移1个单位得到； ④直线（k为常数）与它的图象一定有两个交点． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 8. 若一次函数的图象如图所示，是关于的方程的两个根，则的值为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，正方形的顶点，在抛物线上，点在轴上．若，两点的横坐标分别为，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 无论实数n为何值，y关于x的二次函数图象的顶点一定在（　　） A. 直线上 B. y轴上 C. 直线上 D. x轴上 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 若一元二次方程的两根为，，则的值为__________． 12. 若抛物线经过和两点，则______． 13. 点，都在二次函数的图象上．若，则的取值范围为__________． 14. 已知关于x的二次函数，若当时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是_______． 15. 如图，是一个半圆和抛物线的一部分围成的“芒果”，已知点A、B、C、D分别是“芒果”与坐标轴的交点，AB是半圆的直径，抛物线的解析式为，则图中CD的长为__________． 三、解答题（共75分） 16. 关于x的一元二次方程． （1）求证：方程有两个不相等的实数根． （2）已知方程的两个实数根分别为，，且，求k的值． 17. 如图，直线l1与x轴交于点A（﹣6，0），与直线l2相交于点C（m，m），直线l2与x轴交于点B．已知直线l2的函数表达式为y＝﹣x＋6 （1）求直线l1的函数表达式． （2）P是直线l1上的一个动点，当△ABP的面积为6时，求点P的坐标． 18. 【探究】如图，已知抛物线． （1）在坐标系中画出此抛物线的大致图象（不要求列表）： （2）该抛物线可由抛物线向______平移______个单位得到； （3）当时，的取值范围是______． 19. 已知二次函数， （1）用配方法将化成的形式； （2）求出该二次函数的对称轴和顶点坐标； （3）当时，请求出y的取值范围． 20. 2025年春节联欢晚会吉祥物“巳升升”，设计灵感来源于中华传统文化，整体造型参考甲骨文中的“巳”字，采用青绿色为主色调，外形憨态可掬，寓意“福从头起，尾随如意”，在市场上一度走红． 素材1 据统计，某电商平台2024年12月份“巳升升”的销售量是5万件，2025年2月份的销售量是7.2万件． 素材2 某实体店“巳升升”的进价为每件60元，若售价定为每件100元，则每天能销售20件． 素材3 经市场调查发现，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存． 问题解决 任务1 （1）确定增长率 若月平均增长率相同，求月平均增长率． 任务2 （2）确定销售价格 若使每天销售获利为1200元，求每件的售价应降低多少元． 根据上述素材，解决任务1、任务2的问题． 21. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，，抛物线为常数）经过点且交轴于两点． （1）求抛物线表示的函数解析式； （2）若点为抛物线的顶点，连接，，．求四边形的面积． 22. 如图①，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴交于点、，与y轴交于点C． （1）求该二次函数的表达式； （2）二次函数位于x轴上方的图像上是否存在点P，使得？如果存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图②，点D为线段上的一个动点，过点D作轴，交二次函数的图像于点E，求线段长度的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级上学期培优数学测试（二） 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 将抛物线先向左平移个单位，再向下平移个单位，得到的抛物线的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图像的平移，根据二次函数图像平移规律“左加右减，上加下减”进行计算即可求解．根据抛物线的函数表达式可知：抛物线的顶点坐标是，根据抛物线平移的方向和距离，可知平移后的抛物线的顶点是，利用顶点坐标式写出平移后的抛物线的函数表达式即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 抛物线先向左平移个单位，再向下平移个单位， 得到的新抛物线的顶点坐标是， 平移后的抛物线的函数表达式是， 整理可得：． 故选：B． 2. 二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象一定不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴判断出、的正负情况，再由一次函数的性质解答． 【详解】解：由图象开口向下可知， 由对称轴，得． ∴一次函数的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限． 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数图象和一次函数图象的性质，解答本题的关键是求出、的正负情况，要掌握它们的性质才能灵活解题，此题难度不大． 3. 如图，已知一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点，点．有下列结论：①关于x的方程的解为；②关于x的方程的解为；③当时，；④当时，．其中正确的是（　　） A. ①②③ B. ①③④ C. ②③④ D. ①②④ 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的图象与性质，一次函数与一元一次方程，一次函数与一元一次不等式等知识点，利用图象法确定一元一次方程的解和一元一次不等式的解集是解题的关键． 利用图象法确定一元一次方程的解和一元一次不等式的解集，逐项进行判断即可． 【详解】解：∵一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点，点， ∴当时，，当时，， ∴关于x的方程的解为；关于x的方程的解为；故结论①、结论②正确； 由函数图象可知，当时，；当时，；故结论③正确，结论④错误； 综上，正确的结论有：， 故选：A． 4. 对于抛物线下列结论：①抛物线的开口向上；②对称轴为直线；③顶点坐标为；④当时，y随x的增大而减小．其中正确的结论是（ ） A. ①② B. ①③ C. ①③④ D. ①②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．根据抛物线的图像和性质进行判断即可． 【详解】解：抛物线， 开口向上，对称轴为，顶点坐标为，当时，y随x的增大而增大， 故①③正确， 故选：B． 5. 已知二次函数、、，它们的图象开口由小到大的顺序是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象开口大小问题，熟练掌握抛物线的开口大小规律是解题的关键； 抛物线的开口大小由二次项系数的绝对值大小确定，绝对值越大，开口越小，据此求解即可． 【详解】，二次项系数的绝对值越大，抛物线开口越小， 二次函数、、的图象开口由小到大的顺序是． 故选：D． 6. 如图，二次函数的图象经过点、，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 图象的对称轴是直线 【答案】B 【解析】 【详解】解：由函数图象知抛物线与轴交点在原点下方，则，故选项A不符合题意； 当时，，即，故选项B符合题意； 由图象知抛物线与轴有两个不同的交点，则，故选项C不符合题意； 图象的对称轴是直线，故选项D不符合题意． 7. 关于二次函数，下列说法正确的个数是（ ） ①它的图象经过第一、二、三象限； ②当时，y随x的增大而增大； ③它的图象可由向右平移2个单位，再向下平移1个单位得到； ④直线（k为常数）与它的图象一定有两个交点． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】先将二次函数配方为顶点式，再结合二次函数的图象性质、平移规律、交点与判别式的关系，逐个判断即可得结论． 【详解】解：∵， ∵ ， ∴ 抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为， ①令，得，解得或，即抛物线与轴交于和， ∵抛物线开口向上， ∴当时，恒成立，不存在且的点， ∴图象不经过第三象限，故①错误； ②∵ 开口向上，对称轴为， ∴ 时，随的增大而增大，又， ∴ 时随的增大而增大，故②正确； ③根据平移规律可得，向右平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的二次函数解析式为，与原函数一致，故③正确； ④联立，整理得， ∵恒成立， ∴方程总有两个不相等的实数根，即直线与抛物线一定有两个交点，故④正确； 综上所述，正确的说法共3个． 8. 若一次函数的图象如图所示，是关于的方程的两个根，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查函数图像的识别、二次方程根及去绝对值的问题，解题的关键是熟悉一次函数图像，根据符号去绝对值． 根据图像得到，通过因式分解可解方程，代入去绝对值求解即可． 【详解】由图可知，，， 又方程的两个根为，， 则． 故选：B． 9. 如图，正方形的顶点，在抛物线上，点在轴上．若，两点的横坐标分别为，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点分别作轴的垂线，构造全等三角形，利用线段和差关系建立的等式． 【详解】解：过点作轴于点，过点作轴于点， 点在抛物线上，横坐标分别为， ， ， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， ． 10. 无论实数n为何值，y关于x的二次函数图象的顶点一定在（　　） A. 直线上 B. y轴上 C. 直线上 D. x轴上 【答案】A 【解析】 【分析】根据得出顶点坐标为，再把坐标代入选项中的式子即可判断． 【详解】解：根据可知，该二次函数的顶点坐标为， ∵， ∴该函数顶点一定在直线上， 故选：A． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的图象与性质，掌握相关知识是解题的关键． 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 若一元二次方程的两根为，，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用方程根的定义对所求式子降次变形，再结合一元二次方程根与系数的关系整体代入计算． 【详解】解：∵是一元二次方程的根， ∴，整理得， 将代入得：， ∵，是一元二次方程的两根， ∴根据根与系数的关系可得， 将代入得：原式． 12. 若抛物线经过和两点，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用对称轴公式是关键．根据题意，易知对称轴是直线，抛物线经过和两点，两点纵坐标相同，根据抛物线的对称性可知，该两点为对称点，根据二次函数图象上对称点的坐标特征进而计算可以得解． 【详解】解：由题意得，抛物线的对称轴为直线， 抛物线经过和两点，两点纵坐标相同，根据抛物线的对称性可知，该两点为对称点， ，解得． 故答案为： ． 13. 点，都在二次函数的图象上．若，则的取值范围为__________． 【答案】或##或 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．先求出点关于对称轴的对称点为，再根据二次函数的性质，结合求出的取值范围． 【详解】解：因为二次函数的图象开口向上，对称轴为直线． 所以点关于对称轴的对称点为． 因为，所以或． 故答案为：或． 14. 已知关于x的二次函数，若当时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，根据解析式得到二次函数开口向上，对称轴为直线，则在对称轴左侧y随x的增大而减小，然后根据题意得到，求解可得答案． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数开口向上，对称轴为直线， ∴在对称轴左侧y随x的增大而减小， ∵当时，y随x的增大而减小， ∴， ∴． 故答案为：． 15. 如图，是一个半圆和抛物线的一部分围成的“芒果”，已知点A、B、C、D分别是“芒果”与坐标轴的交点，AB是半圆的直径，抛物线的解析式为，则图中CD的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数的解析式可知对称轴为y轴，分别令x=0，y=0，可得出A、B、D的坐标，可得OD、OA、OB的长，根据AB为直径，可求出OC的长，进而可求出CD的长， 【详解】∵抛物线的解析式为， ∴对称轴为y轴， 当x=0时，y=， 当y=0时，=0， 解得：x1=1，x2=-1， ∴A（-1，0），B（1，0），D（0，）， ∴OA=OB=1，OD=， ∵AB为直径，y轴为对称轴， ∴原点O为圆心， ∴OC=OA=1， ∴CD=OC+OD=1+=． 故答案为： 【点睛】本题考查二次函数图象与坐标轴交点问题，正确求出A、B、D三点坐标是解题关键． 三、解答题（共75分） 16. 关于x的一元二次方程． （1）求证：方程有两个不相等的实数根． （2）已知方程的两个实数根分别为，，且，求k的值． 【答案】（1） 证明：∵原方程为， ∴ ， ∴方程有两个不相等的实数根． （2） 的值为或 【解析】 【分析】（1）计算方程的根的判别式，判断判别式的符号即可证明结论； （2）根据根与系数的关系得到两根和与两根积，结合的条件，得到关于的一元二次方程，求解即可得到的值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵方程的两个实数根为，  ∴，，  ∵， ∴， ∴， ∴，  代入得：， 整理得， 解得或． 17. 如图，直线l1与x轴交于点A（﹣6，0），与直线l2相交于点C（m，m），直线l2与x轴交于点B．已知直线l2的函数表达式为y＝﹣x＋6 （1）求直线l1的函数表达式． （2）P是直线l1上的一个动点，当△ABP的面积为6时，求点P的坐标． 【答案】（1）；（2）（-3，1）或（9，-1） 【解析】 【分析】（1）把C（m，m）代入y＝﹣x＋6求出m的值，再运用待定系数法可求出直线l1的函数表达式 ； （2）设P（x，），根据三角形面积公式列出方程，求出x的值即可得到结论． 【详解】解：(1)∵点C（m，m）在直线y＝﹣x＋6上， ∴ ∴ ∴ 设直线l1的函数表达式为 把（-6，0），（3，3）代入得 解得， ∴直线l1的函数表达式为． （2）∵P是直线l1上的一个动点， ∴设P() 对于，令，则，解得， ∴ ∴ ∵ ∴OA=6 ∴ 又△ABP的面积为6 ∴ 解得，或 当时， 当时， 所以，点P的坐标为：（-3，1）或（9，-1） 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积，解题的关键是根据点的坐标，利用待定系数法求出一次函数关系式． 18. 【探究】如图，已知抛物线． （1）在坐标系中画出此抛物线的大致图象（不要求列表）： （2）该抛物线可由抛物线向______平移______个单位得到； （3）当时，的取值范围是______． 【答案】（1） 此抛物线的大致图象如下图即为所求： （2）上，4 （3）或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，函数图象平移的规律，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）根据题意可知，该抛物线开口向下，顶点坐标为，经过点，，，，即可画出大致图象； （2）根据律抛物线的平移口诀：自变量加减左右移，函数值加减上下移，进行求解即可； （3）先求得和时，的值，然后结合（1）中图象即可得出结论． 【小问1详解】 解：， 该抛物线的顶点坐标为，开口向下， 令，则，即该抛物线经过点，， 令，则，即该抛物线经过点，． 【小问2详解】 解：由上加下减的原则可得，向上平移4个单位可得出． 故答案为：上，4． 【小问3详解】 解：当时，，解得， 当时，，解得， 结合（1）中图象可知，当时，的取值范围为：或． 故答案为：或． 19. 已知二次函数， （1）用配方法将化成的形式； （2）求出该二次函数的对称轴和顶点坐标； （3）当时，请求出y的取值范围． 【答案】（1） （2）对称轴为直线，顶点坐标为 （3） 【解析】 【分析】（1）先提取二次项系数，括号内凑完全平方式，整理常数项，转化为顶点式． （2）对照顶点式，直接读出对称轴与顶点坐标． （3）抛物线开口向上，顶点是最小值点，计算区间端点函数值，结合自变量开区间判断等号能否取到． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：由顶点式， 对照顶点式，得， 对称轴为直线，顶点坐标为． 【小问3详解】 解：，抛物线开口向上，顶点， 当时，取得最小值， 当时，， 当时，， ， 的取值范围是． 20. 2025年春节联欢晚会吉祥物“巳升升”，设计灵感来源于中华传统文化，整体造型参考甲骨文中的“巳”字，采用青绿色为主色调，外形憨态可掬，寓意“福从头起，尾随如意”，在市场上一度走红． 素材1 据统计，某电商平台2024年12月份“巳升升”的销售量是5万件，2025年2月份的销售量是7.2万件． 素材2 某实体店“巳升升”的进价为每件60元，若售价定为每件100元，则每天能销售20件． 素材3 经市场调查发现，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存． 问题解决 任务1 （1）确定增长率 若月平均增长率相同，求月平均增长率． 任务2 （2）确定销售价格 若使每天销售获利为1200元，求每件的售价应降低多少元． 根据上述素材，解决任务1、任务2的问题． 【答案】（1）月平均增长率是．（2）每件的售价应降低20元． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．熟练掌握一元二次方程的应用中的增长率问题与利润问题是解题的关键． （1）已知初始销量，最终销量和增长月份数，设月平均增长率为，根据增长率公式建立方程后求解即可； （2）设降价元，得出每件利润为元，销量为，根据题意列出方程后求解即可． 【详解】解：（1）设月平均增长率是x． 根据题意，得， 解得，（不合题意，舍去） 答：月平均增长率是． （2）设每件的售价应降低y元，则每件的销售利润为元， 每天的销售量为件． 根据题意，得， 整理，得，解得，． 因为要尽量减少库存，所以． 答：每件的售价应降低20元． 21. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，，抛物线为常数）经过点且交轴于两点． （1）求抛物线表示的函数解析式； （2）若点为抛物线的顶点，连接，，．求四边形的面积． 【答案】（1） （2）10 【解析】 【分析】本题考查函数图象与坐标轴的交点，待定系数法求解析式，三角形的面积 （1）分别把，代入函数中，可求得点，，将点D坐标代入函数，求出k的值，即可解答； （2）由抛物线的函数解析式可得顶点P的坐标为，因此轴，，过点D作于点E，则，根据三角形的面积公式可求出；把代入函数中，求得，因此，再根据即可解答． 【小问1详解】 解：把代入函数中，得， 解得， ∴， 把代入函数中，得， ∴， ∵抛物线为常数）经过点， ∴，解得， ∴抛物线表示的函数解析式为； 【小问2详解】 解：∵抛物线的函数解析式为， ∴顶点P的坐标为， ∵， ∴轴，， 过点D作于点E，则， ∴； 把代入函数中，得， 解得，， ∴，， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴． 22. 如图①，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴交于点、，与y轴交于点C． （1）求该二次函数的表达式； （2）二次函数位于x轴上方的图像上是否存在点P，使得？如果存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图②，点D为线段上的一个动点，过点D作轴，交二次函数的图像于点E，求线段长度的最大值． 【答案】（1）；（2）存在，点P的坐标为或；（3） 【解析】 【分析】（1）该二次函数的表达式为，将点、代入，可得b，c的值，即可得出二次函数的表达式； （2）设，表示出，再根据，解出n即可得出点E的坐标； （3）由，可求得的函数表达式是． 设，则，可得，即可求出长度的最大值． 【详解】（1）解：∵二次函数的图像与x轴交于点、． ∴ ∴ ∴该二次函数的表达式为． （2）解：∵、． ∴，． 当时，，则，． 设，则，且． ∵， ∴， 即．解得． 当时，，解得，． ∴二次函数位于x轴上方的图像上存在点P，使得． 点P的坐标为或． （3）解：设直线BC的表达式为y＝kx+n，由，可得 ∴，解得， ∴直线BC的表达式为y＝﹣x+3， 设，则． ∵． ∴当时，有最大值． 【点睛】本题考查用待定系数法求二次函数以及一次函数表达式，分类讨论思想．解题的关键是熟练掌握二次函数图象的性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $