精品解析：江苏无锡市侨谊古运河中学2026-2027学年第一学期自主练习九年级数学

2026-2027学年第一学期自主练习九年级数学 考试时间：120分钟 满分分值：150分 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列命题中，是真命题的为（ ） A. 三点确定一个圆 B. 同弦所对的圆周角相等 C. 对角互补的四边形四点共圆 D. 垂直于半径的直线是圆的切线 3. 用配方法解方程时，原方程应变形为（ ） A. B. C. D. 4. 在中，，，，以C为圆心，为半径作，则点A与的位置关系是（　　） A. 点A在内 B. 点A在上 C. 点A在外 D. 无法确定 5. 如图，是的外接圆，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 对于反比例函数，下列说法正确的是（ ） A. 图象经过点 B. 图象位于第二、四象限 C. 当时，随的增大而减小 D. 当时，随的增大而增大 7. 如图，一个纵截面为半圆的容器水平放置，然后向其中倒入部分液体，测得数据如图（单位：cm），则液面宽度（ ） A. 8cm B. 4cm C. D. 8. 设反比例函数（k为常数，）．已知当时，y的最大值为，则当时，y的最大值为（ ）． A. 3 B. 2 C. 1 D. 9. 如图，在中，，，与三边分别相切于点，，，且，则的面积是（    ） A. B. C. D. 10. 在学习两点间的距离、直线外一点到这条直线的距离的过程中，同学们积累了一定的研究经验，如果定义：平面内，一点与一个图形上所有点的最短距离叫做这个点到该图形的距离．如图①，正方形的边长为2，中心为点；在该正方形外有一点，，且．当点绕着点顺时针旋转时，设旋转角的度数为，点到正方形的距离为，如图②是点在旋转过程中，随的变化而变化的函数图像，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 2 二、填空题（每题3分，共24分） 11. 若一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值是______． 12. 某药品原价是元，经过连续两次降价后，价格变为元，如果每次降价的百分率是相同的，设每次降价的百分率是，则可列方程为______． 13. 如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，已知CD＝12，BE＝2，则⊙O半径为________． 14. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）成反比例函数关系，它的图象如图所示．当电流从6A增加到10A时，电阻小了______． 15. 如图，在扇形OAB中，C为上的点，连接AC、BC，若∠ACB＝2∠O，则∠O的度数为______°． 16. 如图，平行四边形的顶点在轴的负半轴上，顶点，，都在反比例函数的图象上，且边经过原点，若平行四边形的面积为，则__________． 17. 如图，在平面直角坐标系中，的半径是，直线：与轴交于点，若直线与有公共点，则的取值范围是_____________． 18. 如图，在矩形中，，点E在边上， ，在矩形内找一点P，使得，则线段的最小值为______． 三、解答题（本大题共9小题，共96分） 19. 解下列方程（1）x2－2x－15＝0； （2）2x（x－3）＝6－2 x. 20. 已知关于x的一元二次方程有实数根． （1）求实数k的取值范围． （2）设方程的两个实数根分别为，若，求k的值． 21. 如图，在中，，点E在上，以为直径的经过上的点D，且． （1）求证：是的切线； （2）若，求的长． 22. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，与轴交于点． （1）求，的值； （2）请直接写出不等式的解集； （3）将轴下方的图象沿轴翻折，点落在点处，连接，，求的面积． 23. “端午杨梅挂篮头，夏至杨梅满山头”．端午期间，某水果店以每千克60元的价格出售杨梅，每天可卖出150千克，后期因杨梅的大量上市，水果店决定采用降价促销的方式吸引顾客，若已知杨梅售价每千克下降1元，则每天能多售出3千克（同一天中售价不变）． （1）设售价每千克下降元，则每天能售出_______千克（用含的代数式表示）； （2）当杨梅每千克售价为多少元时，每天能获得9072元的销售额； （3）水果店定了“每天售出杨梅的销售额为10000元”的“小目标”，按题目的条件能否达成这个“小目标”？若能达成，求出达成时的售价；若不能达成，请说明理由． 24. 内接于，且点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图． （1）在图1中找一个格点（点不与点重合），画出，使； （2）在图2中的圆上找一点，使得平分． 25. 数学小组在学完“圆内接四边形的对角互补”这个结论后进行了如下的探究活动： （1）如图1，点A、B、C在上，点D在外，线段与交于点E、F，试猜想_____（请填“>”、“<”或“=”），并证明你的猜想； （2）如图2，点A、B、C在上，点D在内，此时（1）中猜想的结论还成立吗？若成立，请予以证明；若不成立，请写出你的结论并予以证明； （3）如图3，四边形是的内接四边形，，，，，求的长度． 26. 如图，点、是反比例函数的图象上位于第一象限内不同的两点，直线交函数图象另一支于点，连接、． （1）若反比例函数的图象经过点，点横坐标为．求证：； （2）若恒成立，试猜想点与点横坐标满足的数量关系，并说明理由． 27. 如图1，在矩形中，边长，，其中分别是方程的两个根，连接．点从点出发，沿向点运动（到达点停止运动），速度为1个单位每秒，设运动时间为秒． （1）______． （2）如图2，在运动过程中，以为圆心，的长为半径作半圆，交射线于点，当为______时，点运动到的角平分线上，此时，半圆与有怎样的位置关系，并加以说明． （3）如图3，在运动过程中，连接，将沿折叠，得到，连接，当取最小值时，为______，此时，的值为______． （4）如图4，当半圆与的边有两个交点时，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期自主练习九年级数学 考试时间：120分钟 满分分值：150分 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】一元二次方程要满足以下条件：只含1个未知数，未知数的最高次数为2，是整式方程，据此可得到答案． 【详解】解：选项A，含,两个未知数，不符合题意． 选项B，只含一个未知数，的最高次数为2，是整式方程，符合题意． 选项C，未说明，当时不是二次方程，不符合题意． 选项D，不是等式，不属于方程，不符合题意． 2. 下列命题中，是真命题的为（ ） A. 三点确定一个圆 B. 同弦所对的圆周角相等 C. 对角互补的四边形四点共圆 D. 垂直于半径的直线是圆的切线 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查真假命题的判定，圆的性质，圆周角定理，四点共圆的判定以及切线的判定，根据这些知识一一判定即可得出答案． 【详解】解：．不共线的三点确定一个圆，原命题是假命题，故该选项不符合题意； ．在同圆或等圆中，同弦所对的圆周角相等，原命题是假命题，故该选项不符合题意； ．对角互补的四边形四点共圆，原命题是真命题，故该选项符合题意； ．经过半径的外端并且垂直于半径的直线是圆的切线，原命题是假命题，故该选项不符合题意； 故选：C． 3. 用配方法解方程时，原方程应变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先将常数项移至等号右侧，再给等式两边加上一次项系数一半的平方，即可配方变形． 【详解】解： ． 4. 在中，，，，以C为圆心，为半径作，则点A与的位置关系是（　　） A. 点A在内 B. 点A在上 C. 点A在外 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，解题的关键是确定圆的半径和点与圆心之间的距离之间的大小关系． 利用勾股定理求得边的长，然后通过比较与半径的长即可得到结论． 【详解】解：中，，，， ， ， ∴点A在内， 故选：A 5. 如图，是的外接圆，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用同弧所对的圆心角与圆周角的关系结合等腰三角形求内角即可． 【详解】如图所示，连接， 易知， 又是等腰三角形，所以． 6. 对于反比例函数，下列说法正确的是（ ） A. 图象经过点 B. 图象位于第二、四象限 C. 当时，随的增大而减小 D. 当时，随的增大而增大 【答案】C 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质，结合点的坐标验证、图象象限分布、函数增减性逐一判断选项即可． 【详解】解：∵ 当时，， ∴A错误； ∵ ， ∴ 反比例函数图象位于第一、三象限， ∴B错误； ∵ ，当 时，函数图象在第三象限， ∴ 随的增大而减小， ∴正确； ∵ ，当时，函数图象在第一象限， ∴ 随的增大而减小，不是增大， ∴错误． 7. 如图，一个纵截面为半圆的容器水平放置，然后向其中倒入部分液体，测得数据如图（单位：cm），则液面宽度（ ） A. 8cm B. 4cm C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过圆心，作，根据垂径定理得出，根据图示得出，勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，过圆心，作，则 在中，，， ∴， ∴, 故选：D． 【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键． 8. 设反比例函数（k为常数，）．已知当时，y的最大值为，则当时，y的最大值为（ ）． A. 3 B. 2 C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用反比例函数的性质判断k的符号，再根据给定x区间的y最大值求出k的值，最后结合反比例函数性质求出目标区间y的最大值． 【详解】解：当时，y的最大值为， ，， ， 对于反比例函数，当时，每个象限内y随x的增大而减小， 在区间，x取最小值时y取得最大值， 将代入，得，即反比例函数为， 在区间中，x取最小值2时y取最大值． 9. 如图，在中，，，与三边分别相切于点，，，且，则的面积是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了三角形的内切圆与内心、切线的性质、正方形的判定与性质、三角形的面积公式等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 连接、、、，由与三边分别相切于点，得，，，，，，，则，推导出，可证明四边形是正方形，则，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接、、、， 与三边分别相切于点，且，，， ∴，，，，，，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， 故选：C． 10. 在学习两点间的距离、直线外一点到这条直线的距离的过程中，同学们积累了一定的研究经验，如果定义：平面内，一点与一个图形上所有点的最短距离叫做这个点到该图形的距离．如图①，正方形的边长为2，中心为点；在该正方形外有一点，，且．当点绕着点顺时针旋转时，设旋转角的度数为，点到正方形的距离为，如图②是点在旋转过程中，随的变化而变化的函数图像，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了动点问题的函数图像，正方形的性质，旋转的性质，掌握相关知识是解题的关键． 根据正方形的性质和函数的图像求出函数的最大值和最小值，即和的值，再代入求解． 【详解】解：连接，， ∵，点绕着点顺时针旋转， 所以点的运动轨迹是以为圆心2为半径的圆， 正方形的边长为2，中心为点，，且， 四边形为平行四边形， ，此时值最大，， 当旋转，即时，经过， 由勾股定理可求得， 此时最小，， ，， ， 故选：C． 二、填空题（每题3分，共24分） 11. 若一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根．利用一元二次方程根的判别式求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得， 故答案为：． 12. 某药品原价是元，经过连续两次降价后，价格变为元，如果每次降价的百分率是相同的，设每次降价的百分率是，则可列方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设每次降价的百分率是，根据题意列出方程即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设每次降价的百分率是， 根据题意得，， 故答案为：． 13. 如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，已知CD＝12，BE＝2，则⊙O半径为________． 【答案】10． 【解析】 【分析】连结OC，设⊙O半径为r，则OC=r，OE=r-2，根据垂径定理得到CE=DE=CD=6，在Rt△OCE中，利用勾股定理列出关于r的等式，然后解方程求出r即可． 【详解】 解：连结OC，设⊙O半径为r，则OC=r，OE=r-BE=r-2， ∵CD⊥AB，CD＝12 ∴CE=DE=CD=6， 在Rt△OCE中，∵OE2+CE2=OC2， ∴（r-2）2+62=r2，解得r=10， 即⊙O半径为10． 故答案为10． 【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理得综合应用，垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理． 14. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）成反比例函数关系，它的图象如图所示．当电流从6A增加到10A时，电阻小了______． 【答案】2.4 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，根据题意得到反比例函数解析式是解题的关键. 根据题意，由待定系数法求出反比例函数解析式，再根据反比例函数的性质进行计算即可得到答案． 【详解】解：设， 把代入得：， 反比例函数的解析式为， 当时，， 当时，， 当电流I从增加到时，电阻R减小了 故答案为2.4． 15. 如图，在扇形OAB中，C为上的点，连接AC、BC，若∠ACB＝2∠O，则∠O的度数为______°． 【答案】72 【解析】 【分析】连接OC，由等腰三角形的性质得出∠OCA＝∠OAC，∠OCB＝∠OBC，由四边形内角和为360°可得出∠AOB＝72°． 【详解】连接OC， ∵AO＝OC，OC＝OB， ∴∠OCA＝∠OAC，∠OCB＝∠OBC， ∴∠ACB＝∠OCA+∠OCB＝∠OAC+∠OBC， ∵∠AOB+∠OAC+∠OBC+∠ACB＝360°， ∴∠AOB+2∠ACB＝360°， 又∵∠ACB＝2∠AOB， ∴5∠AOB＝360°， ∴∠AOB＝72°， 故答案为：72． 【点睛】本题考查了求扇形的圆心解，等腰三角形的性质，四边形内角和等知识，掌握这些知识是关键． 16. 如图，平行四边形的顶点在轴的负半轴上，顶点，，都在反比例函数的图象上，且边经过原点，若平行四边形的面积为，则__________． 【答案】6 【解析】 【分析】设，根据反比例函数的中心对称性可得，利用平行四边形性质表示出点的坐标，代入反比例函数解析式得到的关系，再结合建立关于的方程求解． 【详解】解：设，其中 ， 边经过原点，且在反比例函数图象上 ， 点与点关于原点对称 ， ，且为中点  ． 四边形是平行四边形， ∴， 设，其中， ∴， ∴， ∴，， ． 点在反比例函数图象上， ， ， ， ，即 ． 连接， 四边形是平行四边形 ， 点到的距离等于平行四边形边上的高，设为，  又 将代入上式得 ． 17. 如图，在平面直角坐标系中，的半径是，直线：与轴交于点，若直线与有公共点，则的取值范围是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】直线与圆有公共点，考虑临界情况即直线与圆相切. 由直线解析式可知直线与轴夹角为，结合圆的半径构造等腰直角三角形求解的长，从而确定的取值范围． 【详解】解：直线的解析式为， 直线与轴正半轴的夹角为， 当直线与相切时，圆心到直线的距离等于半径， 设切点为，连接， ，， ，， 是等腰直角三角形， ， 由勾股定理得， 当直线与轴正半轴相交且相切时，，即， 同理，当直线与轴负半轴相交且相切时，，即， 直线与有公共点， 点在轴上介于两切点之间，则的取值范围是． 18. 如图，在矩形中，，点E在边上， ，在矩形内找一点P，使得，则线段的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查点与圆的位置关系，勾股定理，圆周角定理，解直角三角形，矩形的性质，关键是判定点P在所对圆周角的圆O上运动． 点P在所对圆周角的圆O上运动，当的延长线过圆心O时，有最小值，连接，，过O作于H，过O作于M，求出，，由等腰三角形的性质推出，，由圆周角定理得到，由，求出，由含30度角的直角三角形的性质得到，判定四边形是矩形，得到，，由勾股定理求出的长，即可得到答案． 【详解】解：点P在所对圆周角的圆O上运动， 当的延长线过圆心O时，有最小值，连接，，过O作于H，过O作于M， ，， ，， ，， ，， ， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， 的最小值是， 故答案为：． 三、解答题（本大题共9小题，共96分） 19. 解下列方程（1）x2－2x－15＝0； （2）2x（x－3）＝6－2 x. 【答案】（1）x1＝5，x2＝﹣3; （2）x1＝3，x2＝﹣1. 【解析】 【分析】先观察再确定方法解方程，(1)用因式分解法，(2)移项，提取公因式． 【详解】解：(1)x2－2x－15=0 (x－5)(x＋3)=0 x－5=0或x＋3=0 x1=5，x2=﹣3； (2)2x(x－3)=6－2 x (x－3)(2x＋2)=0 x－3=0或2x＋2=0 x1=3，x2=-1. 故答案为(1)x1=5，x2=-3；(2)x1=3，x2=-1. 【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程. 20. 已知关于x的一元二次方程有实数根． （1）求实数k的取值范围． （2）设方程的两个实数根分别为，若，求k的值． 【答案】（1）k； （2）k=3 【解析】 【分析】根据一元二次方程有实数根得到32-4（k-2）0，解不等式即可； （2）根据根与系数的关系得到，将等式左侧展开代入计算即可得到k值． 【小问1详解】 解：∵一元二次方程有实数根． ∴∆0，即32-4（k-2）0， 解得k 【小问2详解】 ∵方程的两个实数根分别为， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得k=3． 【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系式，熟练掌握一元二次方程有关知识是解题的关键． 21. 如图，在中，，点E在上，以为直径的经过上的点D，且． （1）求证：是的切线； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：在和中， ， ∴， ∴， ∴， 又∵是的半径， ∴是的切线； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定，熟知相关知识是解题的关键． （1）可利用证明，则可得到，据此可证明结论； （2）设，则，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设，则， 由（1）可得， ∴由勾股定理得， ∴， 解得， ∴． 22. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，与轴交于点． （1）求，的值； （2）请直接写出不等式的解集； （3）将轴下方的图象沿轴翻折，点落在点处，连接，，求的面积． 【答案】（1）， （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）将点坐标代入求得，然后将点坐标代入反比例函数求得； （2）不等式表示一次函数图象在反比例函数图象下方（含交点），结合图象直接写出解集即可； （3）先求出直线的解析式，确定其与轴的交点的坐标，再根据翻折的对称性，求出点的坐标，设与轴交于点，过点作轴于点，分别表示出相关线段的长，最后由即可求得的面积． 【小问1详解】 解：将点代入，得， 解得， ． 将点代入，得． 【小问2详解】 解：由函数图象可知，不等式的几何意义是一次函数图象在反比例函数图象下方（含交点）时对应的的取值范围， 结合两个交点和以及反比例函数的两支图象，可得解集为或． 【小问3详解】 解：将，代入一次函数中， 得， 解得， 一次函数为． 令，则， 一次函数与轴交点的坐标为． 轴下方的图象沿轴翻折，点落在点处， 点的坐标为． 如图，设与轴交于点，过点作轴于点， 则，，，，． ． 23. “端午杨梅挂篮头，夏至杨梅满山头”．端午期间，某水果店以每千克60元的价格出售杨梅，每天可卖出150千克，后期因杨梅的大量上市，水果店决定采用降价促销的方式吸引顾客，若已知杨梅售价每千克下降1元，则每天能多售出3千克（同一天中售价不变）． （1）设售价每千克下降元，则每天能售出_______千克（用含的代数式表示）； （2）当杨梅每千克售价为多少元时，每天能获得9072元的销售额； （3）水果店定了“每天售出杨梅的销售额为10000元”的“小目标”，按题目的条件能否达成这个“小目标”？若能达成，求出达成时的售价；若不能达成，请说明理由． 【答案】（1） （2）54元或56元 （3） 按题目的条件不能达成这个“小目标”，理由如下： 设售价每千克下降元 由题意得： 整理得： ∴ ∴不能达到这个“小目标”． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据某水果店以每千克60元的价格出售杨梅，每天可卖出150千克，已知杨梅售价每千克下降2元，则每天能多售出6千克（同一天中售价不变）．即可得出结论； （2）设售价每千克下降x元，根据每天能获得9072元的销售额，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （3）设售价每千克下降m元，根据每天售出杨梅的销售额为10000元，列出一元二次方程，再由各边的判别式即可得出结论． 【小问1详解】 由题意可知，每天能售出：千克，即千克， 故答案为： 【小问2详解】 解∶ 设售价每千克下降元 由题意得： 整理得： 解得：， ∴或 答：每千克售价为54元或56元时，每天能获得9072元的销售额 【小问3详解】 解∶略． 24. 内接于，且点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图． （1）在图1中找一个格点（点不与点重合），画出，使； （2）在图2中的圆上找一点，使得平分． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）取格点，连接，由勾股定理及其逆定理可知； （2）取格点，连接，此时交于一点I，作直线，交于点F，连接，此时点F为优弧的中点，则，则，可得到平分． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 解：如图，点F即为所求： 25. 数学小组在学完“圆内接四边形的对角互补”这个结论后进行了如下的探究活动： （1）如图1，点A、B、C在上，点D在外，线段与交于点E、F，试猜想_____（请填“>”、“<”或“=”），并证明你的猜想； （2）如图2，点A、B、C在上，点D在内，此时（1）中猜想的结论还成立吗？若成立，请予以证明；若不成立，请写出你的结论并予以证明； （3）如图3，四边形是的内接四边形，，，，，求的长度． 【答案】（1） ＜； 证明：连接， ∵四边形为圆O的内接四边形， ∴， 在中，， ∴， （2） （1）的结论不成立，，理由： 延长交圆O于点E，连接， 则， 在中，， ∴， 即； （3） 【解析】 【分析】（1）四边形为圆O的内接四边形，则，在中，，即可求解； （2）延长交圆O于点E，则，在中，，即可求解； （3）延长交于E，求得，在和中，利用直角三角形的性质结合勾股定理求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：延长交于E， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， 在中，，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆的有关知识，直角三角形的性质，勾股定理，圆内接四边形的对角互补等知识，理解准圆内接四边形的定义是本题的关键，添加恰当辅助线是本题的难点． 26. 如图，点、是反比例函数的图象上位于第一象限内不同的两点，直线交函数图象另一支于点，连接、． （1）若反比例函数的图象经过点，点横坐标为．求证：； （2）若恒成立，试猜想点与点横坐标满足的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） 证明：反比例函数的图象经过点， 把，代入得 的横坐标是，把代入得 ，， ，， （2） 点和点横坐标之积为反比例系数， 理由：设， ，，， 点和点关于原点对称， ， ， ， ，， ．即点和点横坐标之积为反比例系数． 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与正比例函数交点问题，勾股定理及其逆定理的应用，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键； （1）将，代入反比例函数，待定系数法求得，进而得出，，根据勾股定理及逆定理，即可求解； （2）设， ，，，，则，根据点和点关于原点对称，得出，即，整理得出，进而可得，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 27. 如图1，在矩形中，边长，，其中分别是方程的两个根，连接．点从点出发，沿向点运动（到达点停止运动），速度为1个单位每秒，设运动时间为秒． （1）______． （2）如图2，在运动过程中，以为圆心，的长为半径作半圆，交射线于点，当为______时，点运动到的角平分线上，此时，半圆与有怎样的位置关系，并加以说明． （3）如图3，在运动过程中，连接，将沿折叠，得到，连接，当取最小值时，为______，此时，的值为______． （4）如图4，当半圆与的边有两个交点时，直接写出的取值范围． 【答案】（1）5 （2） （3）， （4）或 【解析】 【分析】（1）先解一元二次方程，得到，根据矩形的性质，得到，利用勾股定理即可求解； （2）运用角一部分线性质定理得，可得是圆的切线，根据面积可求出，即可得到的值； （3）由折叠的性质得到，即，，当点O在运动过程中，的长度和的长度是固定不变的，由此可以得到当点B、P、D三点共线时，的长度最短，即有最小值，最小值为，此时，求出，，再利用勾股定理即可求的值； （4）根据题意，分为当半圆O与有2个交点；当点半圆O与有1个交点，与有1个交点；当点半圆O与有1个交点，与有1个交点；三种情况讨论，分别求出半径的范围，即可得到t的取值范围． 【小问1详解】 解：，即， 解得：， ∵边长，，其中分别是方程的两个根， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴, 故答案为：5； 【小问2详解】 解：如图，过点作垂足为点, ∵是的平分线， 又在矩形中， ， ∴ ∴ ∴是的切线，即与相切； 又， ∴， ∴，即 ∴， ∴， 故答案为：； 【小问3详解】 解：由折叠的性质得：， ∴， 点O在运动过程中， ∵的长度和的长度是固定不变的，如图， ∵， ∴当点B、P、D三点共线时，的长度最短，即有最小值，最小值为，此时，， 过点P作垂足为F点，于点T，如图， 所以，四边形是矩形， ∴ 由（1）知， 由（2）知， ∴， ∴，， 又 ∴ ∴, ∴； 在中，， ∴， 在中，． 故答案为：，； 【小问4详解】 解：如图，当半圆O与相切时，此时半圆O与的边有1个交点，即为切点，设切点为H，连接，   由（2）知，； 如图，当点Q与点B重合时，此时半圆O与的边有2个交点， 此时，为半圆O的直径， ∴， ∴， ∴当时，半圆O与有2个交点， 即半圆O与的边有2个交点； 如图，此时，半圆O与有1个交点，与有1个交点， 如图，当半圆O与相切时，此时半圆O与的边有3个交点，设与半圆O的切点为M，连接， ∵， ∴， ∴当时，半圆O与有1个交点，与有1个交点， 即半圆O与的边有2个交点； 如图，当半圆O与经过点A时，此时半圆O与的边有3个交点；连接， 设，由勾股定理得： ， 解得：， ∴， ∴， 如图，当点O与点B重合时，此时点O停止运动， ∴， ∴， ∴当时，半圆O与有1个交点，与有1个交点， 即半圆O与的边有2个交点； 综上，半圆O与的边有两个交点时，或． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，直线与圆的位置关系，切线的判定，矩形判定和性质，勾股定理等知识，解决问题的关键是画出图形，分类讨论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $