广西壮族自治区玉林市第一中学2026-2027学年高二上学期10月阶段检测数学试题

2026年秋季学期高二年级10月份阶段测试 数学试卷 注意事项: 1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在试卷上无效. 3.考试结束后,本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.经过点且倾斜角为的直线的方程为( ) A. B. C. D. 2.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是CD,CC1的中点,则异面直线A1M与DN所成角的大小是( ) A. B. C. D. 3.直线的方向向量,平面的一个法向量,若,则( ) A. B.1 C.2 D.3 4.平行六面体中,为与的交点,设,用表示,则( ) A. B. C. D. 5.过点(2,1),斜率k=-2的直线方程为( ) A.x-1=-2(y-2) B.2x+y-1=0 C.y-2=-2(x-1) D.2x+y-5=0 6.已知过坐标原点的直线l的方向向量,则点到直线l的距离是( ) A. 2 B. C. D. 7.已知平面与平面成角,,则C与D之间的距离是( ) A. B. C.或 D.或 8.已知空间向量,则向量在向量上的投影向量是( ) A. B. C. D. 2、 多选题:本题共3小题,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求. 9. 已知正方体的棱长为1,平面与对角线垂直,则( ) A. 正方体的每条棱所在直线与平面所成角均相等 B. 平面截正方体所得截面面积的最大值为 C. 当平面与正方体各面都有公共点时,其截面多边形的周长为定值 D. 直线与平面内任一直线所成角的正弦值的取值范围为 10.已知是直线l的一个方向向量,是平面的一个法向量,则下列说法正确的是( ). A. 若,则 B. 若,则 C. 若,则 D. 若,则 11.如图,正方体中,顶点A在平面内,其余顶点在的同侧,的交点为O,顶点到的距离分别为,则( ) A.平面 B.O到平面的距离为1 C.平面平面 D.正方体的棱长为 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.如图,棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为BB1,C1C的中点,G为线段DD1上的点,且DG=DD1,过E,F,G的平面交AA1于点H,则直线A1D1到平面EFGH的距离为                  . 13.设常数.如图在矩形中,平面.若线段上存在点,使得,则的取值范围是                  . 14.已知向量以为基底时的坐标为,则以为基底时的坐标为                   . 四、解答题:本题共5小题,共77分. 15.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F分别是B1C1,A1A的中点,求证:A1E∥平面B1FC. 16.如图,正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直,CE⊥AC,EF∥AC,AB=,CE=EF=1. (1)求证:AF∥平面BDE; (2)求证:CF⊥平面BDE. 17.(如图,在四棱锥中,底面ABCD为正方形,侧面PAD是正三角形,侧面底面ABCD,M是PD的中点. (1)求证:平面PCD; (2)求平面BPD与平面夹角的余弦值. 18.如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥BC,AB=BC=2,BB1=1,点E为BB1的中点.证明:平面AEC1⊥平面AA1C1C. 19.(如图,四棱锥P-ABCD的底面为菱形,,AB=AP=2,PA⊥底面ABCD,E是线段PB的中点,G,H分别是线段PC上靠近P,C的三等分点. (1)求证:平面AEG∥平面BDH; (2)求点A到平面BDH的距离. 答案解析 一、单选题 1.B 2.D 3.C 4.D 5.D 6.D 7.D 8.A 二、多选题 9.ACD 10.AD 11.BCD 三、填空题 12. 13. 14. 四、解答题 15. 证明 设=a,=b,=c,则=+=-a+b,=+=a+c,=+=b+c.设存在实数对(x,y),使=x+y成立,即-a+b=x+y(b+c),∴即 于是有=-+,即向量,,共面. 又∵不在,所确定的平面B1FC内, ∴A1E∥平面B1FC. 16. 证明 (1)设AC与BD交于点G,连接EG. 因为EF∥AC,且EF=1,又AG=AC=1,所以EF=AG, 所以四边形AGEF为平行四边形, 所以AF∥EG. 因为EG⊂平面BDE,AF⊄平面BDE, 所以AF∥平面BDE. (2)因为正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面相互垂直,且CE⊥AC,所以CE⊥平面ABCD. 如图,以C为坐标原点,分别以CD,CB,CE所在直线为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系Cxyz.则C(0,0,0),A(,,0),B(0,,0),D(,0,0),E(0,0,1),F. 所以=,=(0,-,1),=(-,0,1). 所以 =0-1+1=0, =-1+0+1=0, 所以⊥,⊥, 即CF⊥BE,CF⊥DE. 又BE∩DE=E,且BE⊂平面BDE,DE⊂平面BDE, 所以CF⊥平面BDE. 17. 解:(1)因为是正三角形,是的中点, 所以, 又因为正方形, 所以, 又侧面底面,侧面底面,平面, 则平面, 又因为平面, 所以, 又,,平面, 所以平面. (2)取中点为中点为,连接,易得 故可建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz,设,则,,,,, 所以,. 设平面的法向量为, 由得 取,则, 又由(1)得平面的一个法向量可为, 设平面与平面的夹角为, 则. 故平面与平面夹角的余弦值为. 18. 证明 由题意得AB,BC,B1B两两垂直.以点B为原点,BA,BC,BB1所在直线 分别为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系. 则A(2,0,0),A1(2,0,1),C(0,2,0), C1(0,2,1),E, 则=(0,0,1),=(-2,2,0),=(-2,2,1),=. 设平面AA1C1C的一个法向量为n1=(x1,y1,z1). 则 令x1=1,得y1=1. ∴n1=(1,1,0). 设平面AEC1的一个法向量为n2=(x2,y2,z2). 则 令z2=4,得x2=1,y2=-1. ∴n2=(1,-1,4). ∵n1 n2=1 1+1 (-1)+0 4=0, ∴n1⊥n2,∴平面AEC1⊥平面AA1C1C. 19. (1)证明:连接交于,连接 . 在中,是中点,是靠近的三等分点, 所以 . 因为平面,平面, 所以平面 . 同理,可得平面 . 又,平面, 所以平面平面. (2)解:记点、到平面、平面的距离分别为、 . 菱形中,,, 则 . 因为平面,,, 所以 . 在中,,, , 由余弦定理 . 在中,根据余弦定理, 则 ,同理 . 又,为中点, . 由,即 , 可得 . 第1页 共1页 学科网(北京)股份有限公司 $