广西南宁市东盟中学2026-2027学年高二上学期10月月考数学试卷

南宁市东盟中学2025级高二年级秋季学期10月考试 数 学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答 案标号涂黑：非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区 域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1.对于任意的集合A,B,规定A⊙B={xx∈A,且x使B}.若A⊙B=B⊙A,则下列结论一定正确的是() A.A=B B.ASB C.BSA D.A∩B=O 2.已知m,n是两条不同的直线，a是一个平面，且m⊥a,则“m⊥n”是“nlla”的（) A.充分不必要条件 B.充要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 3.直线x-√5y+2025=0的倾斜角为（) A.150° B.120° C.60° D.30° 4.已知直线：x+y-2=0,2:ar+4y+4=0.且儿2，则实数a=( A.2 B.-1 C.-2 D.2 5.已知空间向量ā=(2，-l,2),6=(11,1),则向量方在向量ā上的投影向量为（) A(-5引 B(原别 C.（2,-1,2) D.(（自，1,1) 6.经过点M(6,3)且在两坐标轴上截距相等的直线是() A.x+y-9=0 B.x-y-3=0 C.x+y-9=0或x-2y=0 D.x-y-3=0或x-2y=0 7.过直线2x-y+4=0与x-y+5=0的交点，且垂直于直线x-2y+4=0的直线方程是（) A.2x+y-8=0 B.2x-y-8=0 C.2x+y+8=0 D.2x-y+8=0 8.已知直线I的斜率小于0，且I经过点P(6,8),并与坐标轴交于A,B两点，C(4,0),当△ABC的面积 取得最小值时，直线I的斜率为() B.-45 C.-35 D.-3V2 3 4 A 试卷第1页（共4页) 二、多选题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9.如图，一个正八面体，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的 面上的数字，得到样本空间为2=1,2,3,4,5,6,7,8}，记事件A=“得到的点数为奇数”，记事件B=“得到的 点数不大于4”，记事件C=“得到的点数为质数”，则下列说法正确的是( (质数，又称素数，是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数.) A.事件B与C互斥 B.事件A与C相互独立 C.P(4u叭-号 D.P(网= 10.关于函数/0网=2s如(2x+写引 下列说法正确的有() A,函数(x)的最小正周期为元 B.函数)的图象关于点(0对称 C肠数)在（登）上单词递增 5π D.将f)向右平移？个单位得到y=2sin2x 3 11.如图，在矩形AEFC中，AE=√3，EF=2,B为EF的中点.现分别沿AB,BC将AABE,△BCF翻 折，使点E,F重合，记为点P,翻折后得到三棱锥P-ABC,则下列结论正确的有（) B A.三棱锥P-ABC的体积为 3 B.异面直线PA与BC所成角的余弦值为 6 C.直线PA与平面PBC所成角的正弦值为三 D.三棱锥P-BC外接球的表面积是) 三、填空题（每小题5分，共15分） 12.点P(2,1)到直线1：x-y+3=0的距离是 13.已知A(2,4),B(1,0),动点P在直线x=-1上，当PA+PB取最小值时，点P的坐标为 14.己知点A(3,4),B(-2,-1),若直线kc-y+1-2k=0与线段AB相交，则k的取值范围为 试卷第2页（共4页) 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(本小题满分13分) 如图，在平行六面体ABCD-A'B'CD中，AB=AD=4,AA=6,∠BAD=90°，∠BAM'=∠DAA'=60° (1)求AC1: D (2)求AC与B夹角的余弦值 16.(本小题满分15分) 公元1765年瑞士数学家莱昂哈德欧拉(LeonhardEuler)在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：三 角形的外心（三条中垂线的交点）、重心（三条中线的胶点）、垂心（三条高线的交点）在同一条直线上 后来，人们把这条直线称为欧拉线： 已知△ABC的顶点A(-12,0),B(0,12),C(6,0). (1)求△ABC的欧拉线方程（最后结果用一般式方程表示）： (2)求点D(-2,1)关于△ABC欧拉线对称的点的坐标， 17.(本小题满分15分) 某校为了解高一学生在学业水平模拟考试中数学成绩的情况，从全年级的成缋中随机抽取100名学生的成 绩进行分析，其频率分布宜方图如图所示，其中分数在[60,70)内的学生有15人. ◆频率/组距 0n040…… 今 0.005 5060708090100分数 (I)求m,n的值： (2)学校准备按成绩从高到低抽取前34%的学生进行表彰，用样本估计总体的方法，估计受表彰学生的最低 分是多少？ (3)若采用按比例分配的分层随机抽样的方法，从成绩在[70,80)和[80,90)内的学生中共抽取6人查看他们 的答题情况，再从这6人中选取2人进行个案分析，求这2人中恰有1人成绩在[70,80)内的概率 试卷第3页（共4页） 18.（本小题满分17分) 已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且(2c-b)co3A=acosB. (1)求A的值： 2)若aABC的面积为3 ,sinB=3sinC,求a的值： 2 3诺asB=寻求cos2B+0的值， 19.（本小题满分17分) 如图，三棱台ABC-AB,C中，侧面四边形ACCA为等腰梯形，底面三角形ABC为正三角形，且 AC=24C=4.设D为棱AC上的点. (I)若D为棱AC的中点，求证AC⊥BD: (2)若三棱台ABC-ABC的体积为7，且侧面ACCA⊥底面ABC,试探究是否存在点D,使直线BD与平 面BCCA所成角的正弦值为正？若存在，确定点D的位置：若不存在，说明理由。 10 试卷第4页（共4页） 南宁市东盟中学2025级高二年级秋季学期10月考试数学参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 A D D B A B CD AC ABD 1,A【详解】由新定义可知：A⊙B={x∈A,且xeB=A∩uB,为属于A但不属于B的元素构成的集合； B⊙A={x∈B,且xE}=BOGA,为属于B但不属于A的元素构成的集合， 已知A⊙B=B⊙A,若存在x∈A⊙B,则x∈A且xEB,显然xEB⊙A,与A⊙B=B⊙A矛盾， 因此A⊙B=B⊙A=O.由A⊙B=⑦可得：所有属于A的元素都属于B,即A三B, 由B⊙A=⑦可得：所有属于B的元素都属于A,即B∈A,所以A=B,故A正确： 若A三B,则A⊙B=O,B⊙A≠O,与A⊙B=B⊙A矛盾，故B错误； 若BA,则BOA=O,A⊙B+⑦，与A⊙B=B⊙A矛盾，故C错误： 若A∩B=⑦，表示A和B没有公共元素，与A=B的结论矛盾，故D错误. 2.C【详解】如图，在正方体ABCD-ABCD中，AA⊥平面ABCD,BC⊥AA,，但BCc平面ABCD, 所以“m⊥n推不出“nlla”若nlWa,如图，设ncB,且a∩B=l,则nll,因为m⊥a,lca,故m⊥l,所以m⊥n, 所以“n∥a"能推出“m⊥n”所以“m⊥n”是“nl∥a”的必要不充分条件.故选：C. 3.DI详解】设领斜角为a,0≤e<180,由直线x-y+2025=0得直线的斜率为k=5,即ma=5,所以a=30 3 ,3 4D【详解】因为直线：+-20，：x+4+4-0,且4，所以4网80：即 ad=4 a≠-2'解得a=2. 5a【】内雪在让的发帆6可骨-西最青司房一任弱) 6.C【详解】当直线经过原点时，此时直线方程可设为y=k,代入点M(63),解得k=方：所以直线方程为y- 即x-2y=0:当直线不经过原点时，设所求直线的截距式方程为芒+Y=1,代入点M(6,3),解得a=9,所以直线 aa 方程为x+y-9=0.综上，经过点M(6,3)且在两坐标轴上截距相等的直线是x+y-9=0或x-2y=0.故选：C 7。A【详解】联立直线2x-y+4=0与x-+5=0,可得方程组仁，1“”，解相化。，即两直线交点坐标为儿可。 直线x-2y+4=0整理为斜截式为y方+2，则该直线斜率为)，已知两条互相垂直的直线斜率乘积为-1， 设所求直线斜率为k,则kx=-1,解得k=-2.已知所求直线过点（仙，6），斜率为-2，代入点斜式方程 2 y-。=k(x-x),可得y-6=-2(x-1),整理为一般式，即2x+y-8=0. 8.B【详解】由题意可设直线l:y=a+b(k<0),将点P(6,8)的坐标代入， 得8=6+6，则68-6，则y=+8-6<0不幼假设4在：轴上，则6-是0 B0,8-6) 答案第1页（共5页） 记0为坐标原点，因为线段0A与08的长度分别为6-是8-6， 所以a4c的面积5=6-2-4小e-6)-=o4--1264+264可列-2+165， 当且仅当-64=-12k(k<0),即k=-4时，等号成立故选：B, 3 9.CD【详解】由题意可知，样本空间2={1,2,3,4,5,67,8，事件A=“得到的点数为奇数”，则A={1,3,5,7, 团=音分：事作8=帽到的点最不大于4则因=2，风-音 ；事件C=“得到的点数为质数”， 则C-235小，Rq=音分选项A:因为BnC=2B,所以事#B与C不互乐，散A错提 选项B:因为4nC=民5乃，所以40，而风Ag,R4O0PO,所以A与C不独立，放B错： 选项CAUB=235,7乃，包含6个样本点，所以P4U网=合-藏C正确： 选项D:4nB=红3或，所以P=专-好则P西=1-P@-1子藏D正疏 10.Ac【详解】f)=2s如2x+写引述项A函数的最小正周期为T=受，选项A正确： 2 选项B.将x若代入f因，得到2sm(2x号+)-2s号=50，所以函数f树的图象不关于点〔怎0)对称，故B错： 项c因为(径-}所以2x(-君引所以2+号（告君引设=2x+因为1-2x+号是单调 3 送罐医数，加血在（受）内是单调造增温致，所以在（晉-哥）上单溪端端，放逸项C正确： 选项D,将f侧-=2n(2x+写到向右平移号个单位，得到y=2m(x-号引写引2s如(2x-引， 故选项D错误。 I1.ABD【详解】由题意可得PA⊥PB,BP⊥CP,又因为PAOCP-P,PA,CPc平面PAC, 所以BP⊥平面PAC,所以BP为PAC底面上的高，选项A,因为△ABP由△ABE翻折得到，所以BE=PB=1, EAP4C中，PM=PC=B,AC边上的高为h=B-=2,所以y2c=VMc=3×XV2x2x1e2 ,A正确： 3 选项B,在△PMC中，os∠hPC=P+CP-4C=3+3-4=1 PA.BC PA-(PC-PB)PA.PC-PA.PB 2PCpC·23x63,可得o风西a PAIBCI PAl-PCLAPC IPc APC瓦×-A所以直线P4与直线BC所成角的会弦值为为 6 ,B正确： IPAIBCI BCI 26 去项C由题意得5e片阳心-9设点A到平面阳C的距离为d,由c=e可得9d-9-425 2w6 所以直线A与平面PBC所威角的正弦值为品芳兰，C错误： 3 选项D,由选项B知，csLAPC-PCe0,所以恤LPc2华，所以aPMC的外接圆半径mc,2迈3号， AC 2*3 4 3 设三搜能P-ABC的外接球半径为R,因为BP1平面PAC,所以=p传a-片解得-要. 所以P-ABC外接球表面积是4nR=,D正确 答案第2页（共5页） 12.2√2【详解】点P(2,1)到直线1：x-y+3=0的距离是 2-1+3L=22 V2+(- （-写)【详解】点B关于直线x=-1对称的点为8(-3,0).P4+P|P4+P82hA, 卫、B三点共线时，等号成立.此时P☑+P四取最小值，直线A8的方程为V2二 即y=考x+3到，令x=-1,得y号所以点P的坐标为： 14.（-o,]U[3,+o【详解】由直线1的方程为：-y+1-2k=0,变形得y=k(x-2)+1, 显然直线y=-2列+1过定点P2.质，片=3，-2号-7 1-(-1)1 由图可知，要使直线1：-y+1-2k=0与线段4B相交，则ks或k≥3， 即k的取值范围是(-0，u[3,+o). 15.【详解】(1)设AB=a,AD=b,AA=c,则AC=ā+b+c,(2分) :AC=(a+i+c=|+5++2(a.6+ā-c+5-e)=4+4+62+2×(0+4x6xcos60+4x6xcos60）=116,(3分) AC1=V116=2V29.（2分) (2)设AC与B的夹角为0，由AC.AB=a+6+aa=a2+ā.b+ā.c=16+0+4×6×cos60°=28，(3分) ·0s0=需需=刘=2分)所以C与峦夹角余弦值为项（1分) AC-AB 28 58 16.【详解】（1)因为A(-12,0),B(0,12),C(6,0),可得△ABC的重心坐标为G(-2,4),(3分) 由A(-12,0),B(0,12),可得AB中点的坐标为(6,6)，kB=1,所以AB的垂直平分线所在直线的斜率k=-1, 所以可得AB的垂直平分线所在直线的方程为y=-x,又由A(-12,0),C(6,0),可得AC的垂直平分线所在直线的方 少x'解得 x=-3 =3,即a4BC的外心的坐标为M(-3,3),(3分)（或垂心(0,6） x=-3 程为x=3,联立方程组 则kMo=1,(1分)所以MG的方程为y-3=x+3,即x-y+6=0,所以△ABC的欧拉线方程为x-y+6=0.(2分) (2)设所求对称点坐标为(x,y), y1.1=-1 则 x+2 经-岁+6=0 ,(3分) 解得化二5.(2分)所求对称点坐标为(-5，.（1分) 答案第3页（共5页） 1n.【详据11)由题意m1000-015,(1分)由国：o05+015+2+0040x10-i,解得月=0020.a分) 15 (2)设受卷影学生最年分是x,【e,10m)领率为0.020x10=0.2<34%,(0,10)颜率为0.020x10+0.,00x10-0.6>14%(2分) 故x∈(80,0).(1分)且020+90-x)×0.040-0.34,解得x=865,（2分)枚受表影的学生的最低分是865.(1分) (3)由分数在[70,80)和80,90)内的厥率之比为1：2，故从成编在[7080)和[8似0)内的学生中共抽取6人，则在 [7080)内热取2人，记为a,b,在[090)内抽取4人，记为6d,4了(1分) 再从这6人中塘取2人进行个案分折，抽取的样本空何为： (oedd时dedk}.共15个样本点.(2分) 这2人中怡有I人U成绩在[0,0)内的有：{cpde可cbd,地}.共8个样本点，(1分) 这2人中给有1人成续在0则刻内的燕率为号口分) 1.【详解】1己知2e-创e0小仁a68,由正弦定理品名品产品c=2得Q如C-血caM-血coB 所以2血CcgA=6 n Aoos B+血Bco哪A=iA+)=血(s-C)=血C.(3分)因为Ce(0,),所以品C#0.所以 w4=71分)又因为4e(Q.所议4-学1分) Q)由)知A=手所以血A=号因为血B3恤C,所以6=.《1分) 2 因为e血4空x要9,1分)所以62，则6=3迈.a分) 2 2 2 由余注完理得d-+2-2bco4=R+W例-2x35x2x2-l4.(1分)所以a=瓜.(1分) 8)由w-子0cB<,所以血8=i-o8-何-年红) 又2=2a8w8-x5.u》om28=2mB-2周j-1景a剂 所似c(2B+0=w2Boa4-血2B血4=-x5-Ex5。-7+35 2分) 8282 16 19.【详解】(I)证明：如图：取4C中点0.连接0B,0D, 因为四边形ACC4为停腰潮形，且D为4G中点，所以C⊥OD.(1分) D 又aABC为正三角形，所以AC⊥OB.(1分) OB,ODc平面B0D,OBnOD=0.所以AC⊥平而BOD.(2分) 又BDC平面BOD,所以AC⊥BD.（I分) 答案螺顶（共5页） (2)存在.(1分)设4C中点为B,连接OB,则OB⊥AC. 又侧而ACCA⊥底而ABC,侧面ACCA∩底而ADC=AC,OEc侧面AC℃4，所以OB⊥底顶ABC.(1分) 又AC,O0c底而ADC,所以OB⊥AC,OE⊥OB,又OB⊥AC,所以OA,OB,OE两两垂直. 故可以0为原点，OA,OB,OB所在的射线分别为为y,2纳欧立如图空间直角坐标系. 又4C-24G=4,所以55xr=45,56=9=5. 所以依w5xo85+5+Bx可)-o8, 由75.0B=7→0E=5.3分) 所以B0,25.0.c(-20,0),G(-10,5, 设Da,0,5)(-1sas1)则而=(a-25,月，两=么25,0，元-1,0月 设平面BCC8的法向量为方-（名y,2), 影后1远-西=2红+25，=0 LCGCG=x+z=0 可取京=5，-2分) 设宜线BD与平面BCCB所成的角为0， 侧咖0=s元丽-归C k5+2W5-月 5x+生.2分) 同"5xF+12+35x√后+15 器晋=品4e5=4物-o… 由 5×√2+1510 所以a+1(a-)=0a=1现a=-号 (因为-1Sas1,故合去).(2分) 此时D4V5)与4成题合所以当D与4底重合时，直线D与平面BCCA所成角的正弦值为 10 .(1分) 将案菊项（共项）