精品解析：广西壮族自治区玉林市第十一中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题

2024年秋季期玉林市第十一中学高二10月月考数学试卷 一、单选题（共40分，每小题5分） 1. 已知直线经过，两点，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 点关于点的对称点的坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 如图所示，在四面体中，，，，点在上，且，为的中点，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，，若，，共面，则等于（ ） A B. 9 C. D. 3 5. 已知向量，，且与互相垂直，则的值是（ ） A. －1 B. C. D. 6. 已知平面直角坐标系中，四边形ABCD四条边AB，BC，CD，DA所在的直线分别为，，，，如图所示，它们的斜率分别为，，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 下列命题：①若两条不重合的直线的斜率相等，则它们平行；②若两直线平行，则它们的斜率相等；③若两直线的斜率之积为，则它们垂直；④若两直线垂直，则它们的斜率之积为.其中正确的为（ ） A. ①②③④ B. ①③ C. ②③ D. ①④ 8. 已知直线过点，直线的一个方向向量为，则到直线的距离等于（ ） A. B. C D. 5 二、多选题（共20分，每小题全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分） 9. 若向量与的夹角为锐角，则实数x的值可能为（ ）. A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 10. 已知空间向量，则（ ） A. B. 是共面向量 C. D. 11. 已知是三个不共面的向量，则下列向量组中，可以构成基底的是（ ） A. B. C. D. 12. 下列命题中正确的是（ ） A. 若∥，则∥ B. 是共线的必要条件 C 三点不共线，对空间任一点，若，则四点共面 D. 若为空间四点，且有（不共线），则是三点共线的充要条件 三、填空题（共20分，每小题5分） 13. 已知空间向量，，则向量在向量上投影向量的坐标是_____________. 14. 已知过点和的直线与斜率为-3的直线平行，则的值为_________________. 15. 在正方体中，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为___________. 16. 直线过点且与以点为端点的线段恒相交，则的斜率取值范围是________． 四、解答题（共70分） 17. 如图所示，一个矩形花园里需要铺两条笔直的小路，已知矩形花园长AD=5m，宽AB=3m，其中一条小路定为AC，另一条小路过点D，问如何在BC上找到一点M，使得两条小路AC与DM相互垂直？ 18. 已知． （1）求实数的值； （2）求与夹角的余弦值． 19. 如图，已知边长为4正三角形ABC，E、F分别为BC和AC的中点，，且平面ABC，设Q是CE的中点． （1）求证：平面PFQ； （2）求直线AE与平面PFQ间的距离． 20. 如图，平行六面体中，底面和侧面都是矩形，是的中点，，，且平面与平面的夹角的余弦值为，求线段的长度. 21. 如图，在三棱柱中，平面ABC，，，，点D，E分别在棱和棱上，且，，M为棱的中点. （1）求证：； （2）求直线AB与平面所成角的正弦值. 22. 如图，在四棱锥中，侧棱矩形，且，过棱的中点，作交于点，连接． （1）证明：平面； （2）若，求平面与平面所成锐二面角的大小． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年秋季期玉林市第十一中学高二10月月考数学试卷 一、单选题（共40分，每小题5分） 1. 已知直线经过，两点，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设出倾斜角，求出其正切值，即斜率，进而可得倾斜角. 【详解】设直线的倾斜角为，， 则，. 故选：D. 2. 点关于点的对称点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求点关于点的对称点，可知为点与所求点得中点，则对称点可求. 【详解】设点关于点的对称点的坐标为， 则可得解得, 所以对称点得坐标为. 故选：C. 3. 如图所示，在四面体中，，，，点在上，且，为的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量基本定理进行求解. 【详解】因为，所以， 所以, 故选：B 4. 已知，，，若，，共面，则等于（ ） A. B. 9 C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】由，，共面，设，根据条件列出方程组即可求出λ的值． 【详解】因为，，共面，设， 又，，，得到， 所以，解得， 故选：A. 5. 已知向量，，且与互相垂直，则的值是（ ） A. －1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出与的坐标，再由与互相垂直，可得，从而可求出的值. 【详解】因为，， 所以，， 因为与互相垂直， 所以，解得， 故选：D 6. 已知平面直角坐标系中，四边形ABCD的四条边AB，BC，CD，DA所在的直线分别为，，，，如图所示，它们的斜率分别为，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】如图，延长，再比较四条直线的倾斜角即得解. 【详解】如图，延长. 直线的倾斜角是锐角，直线的倾斜角大于直线的倾斜角，所以； 直线的倾斜角是钝角，直线的倾斜角大于直线的倾斜角，所以； 所以， 故选：C 7. 下列命题：①若两条不重合直线的斜率相等，则它们平行；②若两直线平行，则它们的斜率相等；③若两直线的斜率之积为，则它们垂直；④若两直线垂直，则它们的斜率之积为.其中正确的为（ ） A. ①②③④ B. ①③ C. ②③ D. ①④ 【答案】B 【解析】 【分析】两直线斜率存在时，根据直线平行和垂直位置关系的判定可知①③正确；②④的直线中均可以有斜率不存在的直线，则②④错误. 【详解】当两条不重合的直线的斜率相等，则它们平行，可知①正确； 当两条直线均与轴垂直时，两直线平行，但斜率不存在，可知②错误； 根据直线垂直的判定定理可知两直线的斜率之积为，则它们垂直，可知③正确； 当两条直线一条与轴垂直，一条与轴垂直时，则两直线垂直， 但与轴垂直的直线斜率不存在，可知④错误. 故选：B 8. 已知直线过点，直线的一个方向向量为，则到直线的距离等于（ ） A. B. C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据点线距公式求得正确答案. 【详解】，， ， 所以到直线的距离为. 故选：C 二、多选题（共20分，每小题全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分） 9. 若向量与的夹角为锐角，则实数x的值可能为（ ）. A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】CD 【解析】 【分析】依题意可得且与不同向，根据数量积的坐标表示得到不等式，求解即可. 【详解】因为与的夹角为锐角， 所以，解得， 当与共线时，，解得，所以实数x的取值范围是， 经检验，选项C、D符合题意. 故选：CD 10. 已知空间向量，则（ ） A. B. 是共面向量 C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据向量的坐标进行运算，求向量的模长，判断关系. 【详解】，A项正确； 设，即，解得，， 即，所以，，共面，B项正确； ，所以，C项正确； ，D项错误. 故选：ABC. 11. 已知是三个不共面的向量，则下列向量组中，可以构成基底的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用空间向量基底的意义逐一分析各选项中的三个向量是否共面即可得解. 【详解】对于A，因为，则三个向量共面，它们不能构成一个基底，故A不符合题意； 对于B，假设共面，则必有不全为0的实数， 使得，又不共面， 则，无解，所以不共面，它们能构成一个基底，故B符合题意； 对于C，假设共面，则必有不全为0的实数， 使得，又不共面， 则，无解，所以不共面，它们能构成一个基底，故C符合题意； 对于D，假设共面，则必有不全为0的实数， 使得，又不共面， 则，无解，所以不共面，它们能构成一个基底，故D符合题意. 故选：BCD 12. 下列命题中正确的是（ ） A. 若∥，则∥ B. 是共线的必要条件 C. 三点不共线，对空间任一点，若，则四点共面 D. 若为空间四点，且有（不共线），则是三点共线的充要条件 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据向量的共线向量定理、共面向量定理及平行概念，再结合充要条件即可求解. 【详解】对于A,由∥，则一定有∥，故A正确； 对于B，由反向共线，可得，故B不正确； 对于C，由三点不共线，对空间任一点，若，则 ，即， 所以四点共面，故C正确； 对于D,若为空间四点，且有（不共线）， 当，即时，可得，即， 所以三点共线，反之也成立，即是三点共线的充要条件， 故D正确. 故选：ACD. 三、填空题（共20分，每小题5分） 13. 已知空间向量，，则向量在向量上投影向量的坐标是_____________. 【答案】 【解析】 【分析】由投影向量的定义结合向量数量积的坐标运算和向量模的坐标运算求解. 【详解】空间向量，， 则向量在向量上投影向量为. 故答案为： 14. 已知过点和的直线与斜率为-3的直线平行，则的值为_________________. 【答案】-9 【解析】 【分析】根据斜率公式和平行关系得到方程，求出答案. 【详解】由题意知，故，解得. 故答案为：-9 15. 在正方体中，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为___________. 【答案】 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，写出对应点坐标，利用空间向量的数量积计算即可. 详解】 不妨设正方体棱长为2，以点为坐标原点，为轴，为轴，为轴 建立空间直角坐标系，则， 则，. 故答案为：. 16. 直线过点且与以点为端点的线段恒相交，则的斜率取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据图象得到当直线在和之间旋转时，直线与线段恒相交，然后根据直线和的斜率求范围即可. 【详解】 由题意得当直线在和之间旋转时，直线与线段恒相交， ，，所以. 故答案为：. 四、解答题（共70分） 17. 如图所示，一个矩形花园里需要铺两条笔直的小路，已知矩形花园长AD=5m，宽AB=3m，其中一条小路定为AC，另一条小路过点D，问如何在BC上找到一点M，使得两条小路AC与DM相互垂直？ 【答案】BM=3.2m时，两条小路AC与DM相互垂直. 【解析】 【详解】试题分析：首先建立平面坐标系，以点B为坐标原点，BC，BA所在直线分别为x轴，y轴建立直角坐标系，由于长方形的长度均知道，故点坐标都是已知的设点M的坐标为(x，0)，根据题意只需AC⊥DM，所以kAC·kDM=-1．列出方程，解出即可． 如图，以点B为坐标原点，BC，BA所在直线分别为x轴，y轴建立直角坐标系. 由AD=5m，AB=3m，可得C(5，0)，D(5，3)，A(0，3) 设点M的坐标为(x，0)， 因为AC⊥DM，所以kAC·kDM=-1. 所以·=-1，即x==3.2，即BM=3.2m时，两条小路AC与DM相互垂直. 18. 已知． （1）求实数的值； （2）求与夹角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量平行，设，进而得到方程组，求出，根据向量垂直得到，求出； （2）先计算出，，从而利用向量夹角公式求出答案. 【小问1详解】 因为，所以设， 即，所以，解得， 故 又，所以，即， 解得． 【小问2详解】 由（1）得，， 设与的夹角为， 因为， 所以与夹角的余弦值为. 19. 如图，已知边长为4的正三角形ABC，E、F分别为BC和AC的中点，，且平面ABC，设Q是CE的中点． （1）求证：平面PFQ； （2）求直线AE与平面PFQ间的距离． 【答案】（1）证明见详解； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明结合线面平行的判定推理作答. （2）由（1）中空间直角坐标系，利用空间向量计算直线与平面的距离作答. 【小问1详解】 在平面内过点作，因平面， 则以点A为原点，射线分别为轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图， 因是边长为4的正三角形，则， 线段BC中点，线段AC中点，线段CE中点， ，而，即有，又无公共点， 则，又平面，平面， 所以平面. 【小问2详解】 由（1）知平面，则点A到平面的距离即为直线AE与平面PFQ间的距离， 设平面的法向量，而， 则，令，得， 因此点A到平面的距离， 所以直线AE与平面PFQ间的距离为． 20. 如图，平行六面体中，底面和侧面都是矩形，是的中点，，，且平面与平面的夹角的余弦值为，求线段的长度. 【答案】 【解析】 【分析】先证明平面ABCD，以E为坐标原点，分别为轴正方向建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量与平面的一个法向量，由平面与平面夹角的余弦值为，列式求得线段的长度． 【详解】底面ABCD和侧面矩形， ，， 又，平面，平面， 平面， 平面， ； 又，且，平面ABCD，平面ABCD． 平面ABCD． 以E为坐标原点，过E作交于， 以分别为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，    则，，，． 设，则0,，2,． 设平面的一个法向量为y,， 1,，0,， 由， 令，得； 设平面的一个法向量为， ，， 由， 令，得． 由平面与平面所成的夹角的余弦值为， 得，解得(负值舍去)． ，故线段的长度为. 21. 如图，在三棱柱中，平面ABC，，，，点D，E分别在棱和棱上，且，，M为棱的中点. （1）求证：； （2）求直线AB与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，建立空间直角坐标系，然后由向量的数量积为，即可证明向量垂直； （2）根据题意，由空间向量的坐标运算，再结合线面角的计算公式，即可得到结果. 【小问1详解】 证明：根据题意，以为原点，分别以所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系，则，，，， ，，，，， ，， 则， 所以，即； 【小问2详解】 由（1）可得，，设平面的法向量为 则，解得，取，则 所以平面的一个法向量为， 又因为， 设AB与平面所成角为， 所以， 所以直线AB与平面所成角的正弦值为. 22. 如图，在四棱锥中，侧棱矩形，且，过棱的中点，作交于点，连接． （1）证明：平面； （2）若，求平面与平面所成锐二面角的大小． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先证平面，得，再证平面，得，然后证明平面； （2）以为原点，射线分别为轴的正半轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面和平面的法向量，利用空间向量的夹角公式即可求解. 【小问1详解】 因为平面平面，所以， 由底面为矩形，有，而平面， 所以平面，又平面，所以． 又因为，点是中点，所以． 而平面，所以平面平面， 所以， 又平面， 所以平面． 【小问2详解】 如图，以为原点，射线分别为轴的正半轴，建立空间直角坐标系． 因为， 则， 点是的中点，所以， 由平面，所以是平面的一个法向量； 由（1）知，平面， 所以是平面的一个法向量． 设平面与平面所成锐二面角为， ， 即平面与平面所成二面角的大小为， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$