精品解析：河南周口市沈丘县石槽乡中学2026-2027学年九年级上学期10月阶段检测数学试题

2026年九年级数学第一次月考 考试时间：100分钟满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组中的四条线段成比例的是（ ） A. 1，2，3，4 B. 2，3，4，5 C. 1，2，3，5 D. 2，3，4，6 3. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 4. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 小明制作了一款菱形风筝，已知这个菱形的两条对角线长分别为，，则它的面积为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在矩形中，对角线、相交于点．若，，则长是（ ） A. 2 B. 3 C. D. 4 7. k为实数，则关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 必有实根 B. 有两个不相等的实根 C. 无实根 D. 不能确定根的情况 8. 一元二次方程 的两根为 ，则 的值是（ ） A. B. 3 C. D. 9. 某商场九月份营业额为万元，十一月份营业额达到万元，设每月平均增长率为，则列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图1，在矩形中，是上一定点，点从点出发，沿，两边匀速运动，运动到点停止．设点运动的路程为，的长为．关于的函数关系图象如图2所示，其中，分别是两段曲线的最低点．下列选项正确的是（ ） A. B. 点坐标为 C. 的最小值为 D. 点的横坐标为 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 方程的解是_________________． 12. 已知：，且，那么______． 13. 若最简二次根式 与 是同类二次根式，则_________． 14. 已知m是方程 的一个根，则代数式 _________． 15. 如图，在矩形中，，，动点P从点A开始沿边以的速度运动，动点Q从点C开始沿边以的速度运动．点P和点Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为．当线段的长为时，t的值为_____________． 三、解答题（本大题共6小题，共75分） 16. 计算： （1） （2） 17. 如图，在中，的平分线交边于点E，F是边上一点，．求证：四边形是菱形． 18. 已知关于的一元二次方程： ． （1）求证：无论取何实数，方程总有两个实数根； （2）若方程其中一个根为，求的值． 19. 某网店于今年一月底收购一批农产品，二月份销售袋，三、四月份该商品十分畅销，销售量持续增长，在售价不变的基础上，四月份的销售量达到袋． （1）求该网店三、四两个月销售量的月平均增长率． （2）已知该农产品每袋进价元，原售价为每袋元．该网店五月份降价促销，经调查发现，在四月份销售量的基础上，若该农产品每袋降价4元，销售量可增加袋，当农产品每袋降价多少元时，该网店销售这种农产品在五月份可获利元？ 20. 已知的三边a、b、c，其中，b、c是关于x的一元二次方程的两个实数根． （1）若是以a为腰的等腰三角形，求m的值； （2）若是以a为底边的等腰三角形，求m的值，并求此时三角形周长． 21. 如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”，例如：一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”． （1）判断方程是否是“邻根方程”，并说明理由； （2）已知关于的方程（是常数）是“邻根方程”，求的值； （3）若关于的方程（、是常数，且）是“邻根方程”，试求出代数式的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年九年级数学第一次月考 考试时间：100分钟满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义．根据一元二次方程的定义（只含一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程），进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、的次数不是2，不是一元二次方程，故该选项不符合题意； B、有两个未知数，不是一元二次方程，故该选项不符合题意 ； C、∵，∴的次数不是2，不是一元二次方程，故该选项不符合题意； D、是一元二次方程，故该选项符合题意 ； 故选：D 2. 下列各组中的四条线段成比例的是（ ） A. 1，2，3，4 B. 2，3，4，5 C. 1，2，3，5 D. 2，3，4，6 【答案】D 【解析】 【分析】根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等即可得出答案． 【详解】解：A、，故此选项中四条线段不成比例，故本选项不符合题意； B、，故此选项中四条线段不成比例，故本选项不符合题意； C、，故此选项中四条线段不成比例，故本选项不符合题意； D、，故此选项中四条线段成比例，故本选项符合题意． 3. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据最简二次根式需满足：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数；分别判断各个选项即可． 【详解】解：A、，不是最简二次根式； B、，满足：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数，所以是最简二次根式； C、，被开方数含分母，不是最简二次根式； D、，被开方数含分母，不是最简二次根式． 4. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的运算，需根据运算法则逐一判断各选项的正确性，据此进行作答即可． 【详解】解：A. 不是同类二次根式，不能直接合并，故该选项不符合题意； B. 不是同类二次根式，不能直接合并，故该选项不符合题意； C. ，故该选项不符合题意； D. ，故该选项符合题意； 故选：D． 5. 小明制作了一款菱形风筝，已知这个菱形的两条对角线长分别为，，则它的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据菱形面积等于两条对角线乘积的一半列式计算． 【详解】解：， 即菱形风筝的面积为． 6. 如图，在矩形中，对角线、相交于点．若，，则长是（ ） A. 2 B. 3 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】先证明是等边三角形，得出，，再根据勾股定理求出结论即可． 【详解】解：在矩形中，， ， ， 是等边三角形， ， ， 在中，． 7. k为实数，则关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 必有实根 B. 有两个不相等的实根 C. 无实根 D. 不能确定根的情况 【答案】A 【解析】 【分析】计算根的判别式，配方后判断其取值范围，即可确定方程根的情况． 【详解】解：一元二次方程为， ，，， ． 为实数， ，即． 方程必有实根． 8. 一元二次方程 的两根为 ，则 的值是（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，则，．直接利用根与系数的关系可得答案． 【详解】解：方程中，，， 由根与系数的关系得． 9. 某商场九月份营业额为万元，十一月份营业额达到万元，设每月平均增长率为，则列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】明确从九月到十一月共经历两次月增长，结合月平均增长率推导出十一月营业额的表达式，列出方程． 【详解】解：九月份营业额为万元，每月平均增长率为， 十月份营业额为万元， 十一月份营业额为万元， 可列出方程． 10. 如图1，在矩形中，是上一定点，点从点出发，沿，两边匀速运动，运动到点停止．设点运动的路程为，的长为．关于的函数关系图象如图2所示，其中，分别是两段曲线的最低点．下列选项正确的是（ ） A. B. 点坐标为 C. 的最小值为 D. 点的横坐标为 【答案】D 【解析】 【分析】连接，过点分别作，根据图象可得，，是直角三角形，且，则有，然后根据函数图象及三角函数可进行求解． 【详解】解：连接，过点分别作， 由图象可知：当时，，即当点与点重合时，， 当时，，即，此时点与点重合，则， ∵， ∴是直角三角形，且， ∴， 由是上一定点，点是动点可知：当点在线段上运动时，最小值为时，此时点与点重合， ∴， ∵是第一段曲线的最低点， ∴点坐标为，故B错误； 当点在上运动时，最小值为时，此时点与点重合， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴的最小值为，故C错误； 在中，， ∴，故A错误； ∴点运动的总路程为， ∴点的横坐标为，故D正确． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 方程的解是_________________． 【答案】 【解析】 【详解】解：， 开平方得：， 解得：． 12. 已知：，且，那么______． 【答案】 ## 【解析】 【分析】利用设参法进行求解即可. 【详解】解：设，则， ∴， ∴， ∴. 13. 若最简二次根式 与 是同类二次根式，则_________． 【答案】4 【解析】 【分析】最简同类二次根式的被开方数相等，据此列一元一次方程求解即可． 【详解】解：∵和都是最简二次根式，且为同类二次根式， ∴两个二次根式的被开方数相等，可得方程， ， 移项得：， 解得：． 14. 已知m是方程 的一个根，则代数式 _________． 【答案】2028 【解析】 【分析】利用方程根的定义得到的值，整体代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， ∴， ∴． 15. 如图，在矩形中，，，动点P从点A开始沿边以的速度运动，动点Q从点C开始沿边以的速度运动．点P和点Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为．当线段的长为时，t的值为_____________． 【答案】5或9 【解析】 【分析】先确定运动时间的取值范围，因为两点同时出发且一点到终点即停止，所以根据、的速度和对应边长度计算的最大取值．用含的代数式分别表示、的长度，再结合的长度，推导和在水平方向上的距离表达式．过点P作的垂线，构造以为斜边的直角三角形，因为矩形的边长等于该直角三角形的一条直角边，另一条直角边等于，当斜边时，根据勾股定理列关于的方程．求解方程，结合的取值范围筛选符合条件的解． 【详解】解：点P沿运动，长、速度，到达终点的时间为； 点Q沿运动，长、速度，到达终点的时间为． 因此运动总时长不超过， 即​． 过P作于E， 由矩形性质可知，是直角三角形． 由运动速度得：，， 因此P、Q两点在水平方向的距离差为． 在中，根据勾股定理：， 代入、， ， 整理得， ∴， 解得，， 均满足​； 即两个解均符合运动边界要求． 三、解答题（本大题共6小题，共75分） 16. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先把每个二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式； （2）利用乘法分配律展开计算，化简根式后合并同类二次根式． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 17. 如图，在中，的平分线交边于点E，F是边上一点，．求证：四边形是菱形． 【答案】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 【解析】 【分析】先证明四边形是平行四边形，接着根据角平分线的定义和平行线的性质证明，得到，据此可证明结论． 【详解】略 18. 已知关于的一元二次方程： ． （1）求证：无论取何实数，方程总有两个实数根； （2）若方程其中一个根为，求的值． 【答案】（1）证明：∵， ∴ ∴无论 取何实数，方程总有两个实数根； （2）， 【解析】 【分析】（１）要证明一元二次方程总有两个实数根，只要得出即可证明； （２）把代入方程， 即可得到一个关于的一元二次方程，解方程即可． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 把代入方程， 得到：， 整理得：， 解得：，． 19. 某网店于今年一月底收购一批农产品，二月份销售袋，三、四月份该商品十分畅销，销售量持续增长，在售价不变的基础上，四月份的销售量达到袋． （1）求该网店三、四两个月销售量的月平均增长率． （2）已知该农产品每袋进价元，原售价为每袋元．该网店五月份降价促销，经调查发现，在四月份销售量的基础上，若该农产品每袋降价4元，销售量可增加袋，当农产品每袋降价多少元时，该网店销售这种农产品在五月份可获利元？ 【答案】（1）该网店三、四两个月销售量的月平均增长率为 （2）当农产品每袋降价5元时，该网店销售这种农产品在五月份可获利元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确得出等量关系是解题关键． （1）设三、四这两个月的月平均增长率为x，利用增长率问题表示出四月的销量，列出方程，进而求出答案； （2）设当每袋降价m元时，表示出销量与每袋的利润，再利用每袋的利润×销量＝总利润列出方程，进而解方程求出答案． 【小问1详解】 解：设该网店三、四两个月销售量的月平均增长率为x， 由题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）， 答：该网店三、四两个月销售量的月平均增长率为； 【小问2详解】 设当农产品每袋降价m元时，该网店五月份获利3250元， 由题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）， 答：当农产品每袋降价5元时，该网店销售这种农产品在五月份可获利元． 20. 已知的三边a、b、c，其中，b、c是关于x的一元二次方程的两个实数根． （1）若是以a为腰的等腰三角形，求m的值； （2）若是以a为底边的等腰三角形，求m的值，并求此时三角形周长． 【答案】（1）24 （2）；周长=14 【解析】 【分析】（1）当为腰，则一元二次方程一根等于4，代入求出，再求出方程的两个根，最后检验是否能组成三角形即可； （2）先推导出，得到，求出，再求出方程的两个根，最后检验是否能组成三角形即可． 【小问1详解】 解：当为腰，则一元二次方程一根等于4， ∴， 解得， ∴关于x的一元二次方程为， 解得， ∵4，4，6能组成三角形， ∴； 【小问2详解】 解：∵是以a为底边的等腰三角形， ∴， ∴ 解得， ∴关于x的一元二次方程为， 解得， ∵4，5，5能组成三角形， ∴， 则． 21. 如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”，例如：一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”． （1）判断方程是否是“邻根方程”，并说明理由； （2）已知关于的方程（是常数）是“邻根方程”，求的值； （3）若关于的方程（、是常数，且）是“邻根方程”，试求出代数式的最大值． 【答案】（1）方程不是“邻根方程”，理由如下： ， 解得，． ， ∴方程不是“邻根方程”． （2）或 （3）最大值为16 【解析】 【分析】（1）先解方程，再结合新定义可得答案； （2）先解方程，再根据新定义得，再解方程即可； （3）根据新定义得，再利用根与系数的关系得到与的关系式，将代数式转化为关于的式子，通过配方可求出最大值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ，， ∵方程是“邻根方程”， ∴， 解得或． 【小问3详解】 解：设方程的两个根分别为，， ∵方程是“邻根方程”， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 整理得：， ∴， ∴， 当时，代数式有最大值，为16． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $