河南省许昌市魏都区第二中学2025-2026学年九年级上学期月考数学试卷（10月份）

2025-2026学年河南省许昌二中九年级（上）月考数学试卷（10月份） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列方程中是一元二次方程的是(    ) A. B. C. D. 2.二次函数的图象如图所示，则a的值可能为(    ) A. 2 B. 0 C. D. 3.二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项分别是(    ) A. ，3， B. ，， C. 2，， D. ，，7 4.将抛物线向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的抛物线为(    ) A. B. C. D. 5.一元二次方程的根的情况是(    ) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数 C. 没有实数根 D. 无法判断 6.学校的劳动实践基地是一块长30m、宽16m的矩形土地.为便于学生参与劳动，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道如图所示，使种植面积达到，若设小道的宽为x m，则根据题意，那么x满足的方程是(    ) A. B. C. D. 7.二次函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象是(    ) A. B. C. D. 8.已知、是方程的两个根，则的值为(    ) A. B. 2 C. D. 9.设，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为(    ) A. B. C. D. 10.二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，则下列正确的有个. ①；②；③；④；⑤当时，x的取值范围是 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11.若函数是二次函数，则m的取值范围是      . 12.已知m是方程的根，则代数式的值为      . 13.如图，根据小丽与DeepSeek的对话，DeepSeek在深度思考后，给出的答案是      . 14.已知：，那么______. 15.当时，二次函数的最大值为8，则      . 三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.本小题8分 解方程： ； 17.本小题8分 按要求解答下列问题： 小华与小芳两位同学解方程的过程如下框： 小华： 解：两边同时除以，得， 小芳： 解：， ， 或， 解得：， 任务： 小华的解法是______填“正确”或“错误” 小芳的解法是______填“正确”或“错误” 如果小华或小芳的解法正确，请写出用配方法或公式法求解原方程的过程；如果小华和小芳的解法都错误，请写出原方程正确的解答过程. 18.本小题8分 某校“生物研学”活动小组在一次野外研学实践时，发现某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支.若该植物的一个主干及其上面的支干和小分支的总数是57，求这种植物每个支干长出的小分支个数. 19.本小题9分 已知二次函数经过点、 求二次函数的解析式； 用配方法把该二次函数的解析式化为的形式，并写出顶点坐标和对称轴. 20.本小题10分 已知关于x的一元二次方程 求证：方程总有两个实数根. 当该方程的一个根为2时，求m的值及该方程的另一个根. 21.本小题10分 用篱笆靠墙围成矩形花圃ABCD，墙可利用的最大长度为12m，篱笆总长为 若围成的花圃面积为，求BC的长； 如图，若计划在花圃中间用一道篱笆隔成两个小矩形，且围成的花圃总面积为，则能否成功围成花圃？如果能，求BC的长；如果不能，请说明理由. 22.本小题10分 如图①，一个可调节高度的喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线.图②是喷射出的水流在平面直角坐标系中的示意图，其中喷灌架置于点O处，喷水头的高度喷水头距喷灌架底部的距离设置的是1米，当喷射出的水流距离喷水头水平距离为8米时，达到最大高度5米. 水流运行轨迹的顶点坐标为______； 求水流运行轨迹的函数解析式； 若在距喷灌架12米处有一棵米高的果树，问：水流是否会碰到这棵果树？请通过计算说明. 23.本小题12分 在平面直角坐标系中，已知抛物线 求抛物线的对称轴； 若抛物线的顶点恰好在直线上，求它的解析式； 在的条件下，抛物线与y轴交于点A，点B为抛物线上的一点，且到y轴的距离为3个单位长度，点为抛物线上点A，B之间不含点A，的一个动点，求n的取值范围. 答案和解析 1.【答案】A  【解析】解：A、是一元二次方程，故A符合题意； B、是分式方程，故B不符合题意； C、是二元二次方程，故C不符合题意； D、当时不是一元二次方程，故D不符合题意； 故选： 根据一元二次方程的定义解答． 本题考查了一元二次方程的定义，正确掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 2.【答案】A  【解析】解：由函数图象的开口方向向上可以判断观察选项，只有选项A符合题意． 故选： 根据二次函数的定义和二次函数图象的开口方向判断a的取值范围，从而得到答案． 本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；还可以决定开口大小，越大开口就越小． 3.【答案】A  【解析】解：二次函数的二次项系数是，一次项系数是3，常数项是 故选： 根据一元二次方程一般式，即可解答． 本题考查了一元二次方程的一般形式，牢记“一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式这种形式叫一元二次方程的一般形式，其中a叫做二次项系数，b叫做一次项系数，c叫做常数项”是解题的关键． 4.【答案】B  【解析】解：将抛物线向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的抛物线为： 故选： 按照“左加右减，上加下减”的规律，进而得出平移后抛物线的解析式即可． 此题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减． 5.【答案】A  【解析】解：由题意和根的判别式可知：， 有两个不相等的实数根， 故选： 先计算判别式，再利用判别式的意义进行判断． 本题考查了一元二次方程根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：①当时，方程有两个不相等的实数根；②当时，方程有两个相等的实数根；③当时，方程无实数根． 6.【答案】D  【解析】解：学校的劳动实践基地是一块长30m、宽16m的矩形土地，且小道的宽为x m， 除小路的其余部分可合成长为，宽为的矩形． 根据题意得： 故选： 根据矩形场地的长、宽及小路的宽度，可得出除小路的其余部分可合成长为，宽为的矩形，再结合种植面积为，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 7.【答案】B  【解析】解：A、一次函数的图象与y轴交于负半轴，，与二次函数的图象开口向上，即相矛盾，故A错误； B、一次函数的图象过一、二、四象限，，，二次函数的图象开口向上，顶点为在第四象限，，，故B正确； C、二次函数的对称轴，在y轴右侧，故C错误； D、一次函数的图象过一、二、三象限，，与抛物线的顶点在第四象限，相矛盾，故D错误； 故选： 可先根据一次函数的图象判断a、b的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误． 本题考查了二次函数的图象，一次函数的图象，应该熟记一次函数在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等． 8.【答案】D  【解析】解：、是方程的两个根， ， 故选： 根据、是方程的两个根，得出，，再把变形为，然后代入计算即可． 本题考查了一元二次方程的根与系数的关系：若方程两个为，，则， 9.【答案】C  【解析】解：抛物线的开口向上，对称轴为直线， 而离直线的距离最近，点离直线最远， 故选： 根据二次函数的性质得到抛物线为常数，且的开口向上，对称轴为直线，然后根据三个点离对称轴的远近判断函数值的大小． 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质． 10.【答案】C  【解析】解：抛物线的开口向上，与y轴的交点在负半轴， ，，故①②符合题意； 图象与x轴两个交点， 方程有两个不相等的根， ，故③符合题意； 由时，，故④不符合题意； 抛物线的对称轴为，其中一个交点为， 抛物线与x轴的另一个交点为， 当时，x的取值范围是，故⑤符合题意； 即正确的有4个， 故选： 由抛物线的图象及与x轴的交点可判断①②③，由由时，可判断④，结合抛物线的对称轴可得抛物线与x轴的另一个交点为，可判断⑤，从而可得答案． 本题考查的是二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上的点的坐标特征，关键是掌握对于二次函数，二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时即，对称轴在y轴左；当a与b异号时即，对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于；抛物线与x轴交点个数由决定：时，抛物线与x轴有2个交点；时，抛物线与x轴有1个交点；时，抛物线与x轴没有交点． 11.【答案】  【解析】解：若函数是二次函数，则m的取值范围是，即， 故答案为： 形如为常数，的函数叫做二次函数，由此解答即可． 本题考查了二次函数的定义，熟知二次函数的定义是解题的关键． 12.【答案】2019  【解析】解：由题意可得，，即， ， 故答案为： 一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此得到，即，再根据计算求解即可． 本题主要考查了一元二次方程的解的定义，熟练掌握一元二次方程的根与一元二次方程之间的关系，整体代入的数学思想是解题的关键． 13.【答案】1  【解析】解：设这个数为x， 根据题意得， 整理得， 解得， 即这个数为 故答案为： 设这个数为x，则列方程，然后解方程即可． 本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 14.【答案】5  【解析】解：设，则 整理，得 解得或舍去 所以 故答案是： 设，将已知方程转化为关于t的新方程，通过解新方程得到t即的值． 本题主要考查了换元法解一元二次方程，换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理． 15.【答案】或  【解析】解：的对称轴为直线， 当时，在内， 当时，y取最大值8，代入解析式得： ， ， ； 当时，在内， 当时，y取最大值8，代入解析式得： ， ， 故答案为：或 先计算二次函数的对称轴为直线，然后分，两种情况进行分类讨论求解即可． 本题考查二次函数的图象和性质，二次函数的求值，掌握相关知识是解决问题的关键． 16.【答案】，；  ，  【解析】原方程移项可得：， 整理得：， 直接开方得：， 即：，； 原方程移项得：， 配方得：， 即：， 直接开方得：， 即：， 先移项，后直接开方法即可得到本题答案； 先移项，后配方法即可得到本题答案． 本题考查解一元二次方程．熟练掌握配方法是关键． 17.【答案】错误；错误；   ， ， ， ， 或， 或  【解析】小华没有考虑的情况， 小华计算错误， 小芳在提公因式时没有变号，应为， 小芳的解法错误， 故答案为：错误；错误； ， ， ， ， 或， 或 根据题意可知小华没有考虑的情况，即错误，小芳在提公因式时没有变号，即错误； 根据解一元二次方程知识可知，利用提公因式解方程即可． 本题考查的是解一元二次方程，掌握解一元二次方程的因式分解法是解题的关键． 18.【答案】这种植物每个支干长出的小分支个数是  【解析】解：设这种植物每个支干长出的小分支个数是x， 根据题意，可得一元二次方程，， 解得，不合题意，舍去， 答：这种植物每个支干长出的小分支个数是 设这种植物每个支干长出的小分支个数是x，根据主干、支干和小分支的总数是57，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出答案． 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 19.【答案】；   顶点式，顶点坐标；对称轴为直线  【解析】二次函数经过点、， 将、代入得： ， 解得：， ， 顶点式为：，顶点坐标为；对称轴为直线 将两点坐标代入解析式，解得b，c的值，求出二次函数的解析式即可； 将二次函数的解析式进行配方写成顶点式，得出顶点坐标和对称轴即可． 本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握待定系数法，正确求出函数解析式． 20.【答案】证明： ， 该方程总有两个实数根；   ，方程的另一根为  【解析】证明： ， 该方程总有两个实数根； 解：设方程的另一个根为t， 根据根与系数的关系得，， ， 解得， ， 解得， 即，方程的另一根为 计算根的判别式点的值得到，然后根据根的判别式的意义得到结论； 设方程的另一个根为t，根据根与系数的关系得，，然后解方程组即可． 本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，也考查了根的判别式． 21.【答案】BC的长为6m；   不能围成花圃， 根据题意列一元二次方程得， ， 整理得，， ， 方程无实数解， 不能围成花圃  【解析】设平行于墙的BC边长为 根据题意得，， 则根据题意列一元二次方程，，即， 解得，， 因为， 所以舍去， 所以， 答：BC的长为6m； 不能围成花圃，理由如下： 根据题意列一元二次方程得， ， 整理得，， ， 方程无实数解， 不能围成花圃． 由于篱笆总长为20m，设平行于墙的BC边长为xm，由此得到，接着根据题意列出方程，解方程即可求出BC的长； 根据得到，此方程的判别式，由此得到方程无实数解，所以不能围成花圃． 此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到关系式． 22.【答案】；   抛物线为：；   不能，理由见解答部分．  【解析】解：由题可知：抛物线的顶点为， 故答案为：； 设水流形成的抛物线为， 将点代入可得， ， 抛物线为：； 不能，理由如下： 当时，， 水流不能碰到这棵果树． 根据题意直接得到答案； 设抛物线的解析式为，用待定系数法求得解析式； 将代入中所求代数式，再跟进行比较． 本题考查了二次函数在实际问题中的应用，正确理解题意、熟练掌握待定系数法及二次函数的性质是解题的关键． 23.【答案】     当时，则；当时，则  【解析】对称轴直线为； 由可知对称轴为直线， 把代入， 得， 则顶点坐标为， 抛物线的顶点恰好在直线上， ， 解得， 抛物线解析式为 令，则， 则， 点B为抛物线上的一点，且到y轴的距离为3个单位长度， ， 当时，则， 当时，， 或， 抛物线开口向上，顶点坐标为， 当时，则；当时，则 根据对称轴直线为求解即可． 先求出顶点坐标，再根据定点坐标在直线上，即可得出关于a的一元一次方程，解出a，即可得出抛物线解析式． 先求出点A和点B的坐标，结合二次函数的性质求解即可． 本题考查二次函数的综合应用，主要考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，掌握二次函数的性质是解题的关键． 第16页，共16页 学科网（北京）股份有限公司 $