第13讲 拓展一：三角函数图象、最值、根的问题综合训练（5类热点题型讲练）-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 以三角函数性质应用为主线，通过5类递进题型整合图像变换、参数求解与零点问题，构建从基础到综合的解题逻辑链，发展几何直观与推理能力。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |题型01|2典例+3变式|区间最值求解|从周期、单调区间到值域，体现性质应用基础| |题型02|2典例+3变式|已知最值求参数|值域分析与参数范围转化，深化性质可逆性| |题型03|2典例+3变式|恒成立问题|不等式与函数最值结合，培养模型观念| |题型04|2典例+3变式|零点问题|图像变换后方程解的讨论，强化数形结合| |题型05|2典例+3变式|零点代数和|对称性质应用，提升数学思维系统性|

第13讲第五章三角函数拓展提升 题型01求f(x)=Asin(ox+p)+b在区间D上的最值 【典例1】(2026山东济南模拟预测)已知函数f(x)=sin2x+V3cos2x. (1)求∫(x)的最小正周期与单调递增区间； 求f(x)的最值及相应x的取值： 【奥例2】262刃南三上压庆北稿开学考0已知局数-m+写}sx店 (1)求f(x)的最小正周期和对称中心； -π2π 2)当x43时，求f)的值域 【变式1】(26-27高三上北京海淀·开学考试)己知函数 f-=2sn(ar+po>0,网<》/()的图象经过点爱2： 若任意xeR' f(x)≤f(x)≤f(x)恒成立时，则x-x的最小值为2 (1)求函数f(x)的解析式及其单调递增区间： (2)若将函数f(x)的图象上所有点的纵坐标不变，将其图象向右平移24个单位得到函数 g(x)的图象若对x 03 求g(x)的最大值与最小值，及其对应的的值， 【变式2】(26-27高三上北京·开学考试)已知函数 f(x)=2sinoxcosp+2cos@xsin+1 @>0,回<的最小正周期为，且0=2 (1)求函数f(x)的单调递减区间： 2)当x∈0 2】 时，求函数f(x)的最大值和最小值，并求出取得最值时，的值. 【变式3】(2627商三上北京开学考试)已知函数f(纠=sm2x-)02x (1)求f(x)的单调递增区间： [π5π 2)求f(x)在区间12'6】 上的最小值及取得最小值时自变量.的值. 题型02已知f()=Asin(@r+p)+b最值，求参数 【典例1】(25-26高一下江苏扬州阶段检测)己知函数f(x)=V5sin2x-cos2x+1(xeR) (1)求函数f(x的最小正周期及单调增区间： 5π 2)若函数f(x)在区间12，m上的值域「-1，v3+1,求m的取值范围. 【典例2】(25-26高一下湖北鄂州期中)已知函数f()=-sinox+(@>0)的最小正周 π 期为3 (1)求f(x)的单调递增区间： 2)若f)在区间[0，m]上的值域为 求的取值范围 m 【变式1】(25-26高一下·上海黄浦期中)已知p∈[0，)，f(x)=V2sin(2x+p). (1)当p=4时，求函数y=f(x,x∈[0，π]的单调递增区间； ②令8()-//+星).若面数y=8(以x0引的最大值为1，求0的取值范国。 【变式2】(2526高一下·湖北十堰·阶段检测)已知函数 f(x)=2 sin wxcosx+25cos2ox-V3(0<0≤3)，且函数f(,)图象的一个对称中心为 ( (1)求0的值； Q包活了句在区同骨m小]上的信城是[5]，求nm的取值花国。 【变式3】(25-26高-下·上海普陀阶段检测)已知p∈[0，m),f(x)=V2sin(2x+p. (1)若函数y=f()是偶函数，求p的值： (2)当0=4时，求函数y=f(x),x∈[0，π的单调增区间： 倒今8=+星到，若函数y=g,0写 的最大值为1，求o的取值范围。 题型03 三角函数中的恒（能)成立问题 【典例1】(25-26高一下上海期末)已知函数fx)=5 +sinxcosx-3cos2x. 2 (1)求y=f(x)的单调递增区间： 2)求函数y=f(x)在x 0,2 时的值域； ππ (3)对任意的x∈ 6’4 不等式fP(x)-mf(x)-1≤0恒成立，求m的取值范围. 【典例2】(2525高一上广东深圳阶段检测0已知函数f)=asn2x-名+b(o>0 61 6:R)在区间0，受上的值域为0,3引 (1)求函数f(x)的解析式、对称中心、单调增区间； 2若对任意∈0，，存在，∈川使得f)≥f》,求实数m的取值范国. 【变式1】(2526高一下河南驻马店期)未已知画数)=V5 in+2sn%+h(o>0) ,x,x是f（()的两个零点，且x-的最小值是π. (1)求0的值： π2π (2)求f(x)在43」 上的值域； e若对红流的[，不等式a[了-+5a0面成立。求，的k伯范国， 【变式2】(25-26高一下·上海浦东新·期中)已知函数 f)-=2n%+25 Bsino,(o>0)的最小正周期为x 2 (1)化简函数y=f(的表达式，并求出0的值： 2)若不等式f)-m-2<0在x∈[02 上恒成立，求实数m的取值范围， 【变式3】(25-26高一下广东江门期中)己知函数f(x)=4 4sinrcos (1)求f(x)的单调递减区间和最小正周期： 2)将函数f(:)的图象向右平移2个单位长度，再将所得函数图象上所有点的横坐标变为 原来的了，纵坐标不变，得到函数g()的图象，若对任意的x∈ 使得g(x)+m≤0 恒成立，求实数m的取值范围. 题型04函数f()=Asin(or+p)+b零点（根）的问题 【典例1】(25-26高一下·湖南期末)己知函数f(x)=2 sin xcosx+V5cos2x」 (1)求函数∫(x)的最小正周期和单调递增区间： (2)将函数f(x)的图象先向右平移6个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原 来的}（级坐标不变），得到西数g内例的图象。若关于，的方程g)=m在区间Q引上 有两个不同的实数解，求实数m的取值范围. 【典例2】(25-26高三上·重庆·阶段检测)已知函数 付=5nior+血acu0r-o>0.了因图象的相邻对称轴之同的距离为 2 2 (1)求函数f(x)的单调递增区间： (2)将函数∫(x)图象上所有点的横坐标缩短为原来的2，纵坐标伸长为原来的2倍，再向左 「ππ 平移行个单位得g()的图象，若关于。的方程=m在26上贝有一个解，求实数 m的取值范围. 【变式1】(25-26高一下四川成都期中)已知f(x)=Asin(ox+p(4>0,0>0,p<的 部分图象如下图所示， 2元 0 4π 3 3 (1)求函数f(x)的解析式： (2)将函数f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的4（纵坐标不变），再将所得的函数图 象上所有点向左平移石个单位，得到函数g(:)的图象. ①若y=g(x(x之0)的图象正好是某简谐振动的图象，求此简谐振动的初相； ②求y=g(x)-1在区间[0，π]上的零点. 【变式2】(25-26高一下·云南昆明期中)已知函数f(x)=2 sincox+2V3cos2x-V5 (1)求f(x)的解析式和对称轴： (2)将函数f(x)的图象先向右平移3个单位长度，再将图象上所有点的横坐标变为原来的2 倍，纵坐标不变，得到函数8(x)的图象.对于任意的x∈[0，π]，方程8(x)-m=0有且仅 有一个解，求m的取值范围. 【变式3】(25-26高一下广东茂名·期中)已知函数 f(x)=sin(@x+p)+b@>0,0<o< 3 2 的最小正周期为元’最大值为2，f(0)=1: (1)求函数f(x)的解析式和对称中心： 2)将函数f(x,)的图象向左平移6个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2 [元π 倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象设函数h(x)=g(x)-m在区间3'6 上有两个不 同的零点，求实数的取值范围， 题型05求函数fx)=Asin(ox+p)+b零点（根）的代数和问题 【典例1】(2627高二上新疆昌吉·开学考试)函数 f(x)=Acos(@x+o 4>0@>0m到 的部分图像如图所示， -2 (1)求函数∫(x)的解析式和单调递增区间： (2)将函数∫(x)的图像上的各点的纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到函数 「11π2π g(x)的图像，若x-6,3时，g)的图像与直线y=3恰有三个公共点，记三个公 共点的横坐标分别为，x2,且x<x2<为，求C0S(x+)的值. 【典例2】(25-26高一下云南昆明期末)己知函数f(x)=2sin(ox+p)(0>0, -受<9孕》图象的相邻两个对称中心之间的矩离为·了0)=1。 7 (1)求函数f(x)的解析式： (2)将函数y=f(x)的图象向右平移6个单位长度，得到函数y=g(x)的图象，若x, π1lπ x2e-1818) （x≠x）且满足g(x)=g(:)=m,求实数m的取值范围，及x+x,的 值。 【变式1】(2425高一下·江西南昌·阶段检测)己知函数f(,=2sin(or+p) ，其图象相邻两条对称轴之间的距离为2，且经过点(0,1)· (1)求函数f()的解析式： (2)将函数f的图象向右平移m个单位长度，所得图象关于y轴对称，求m的最小正值； π 3)若方程f-4=0区间0,6 上恰有三个实数根x,5,5'且x<,<x,求a及 sin(:+x2+x)的取值范围 【变式2】(25-26高一下·陕西汉中·期中)将函数y=C0sx图象上所有点的横坐标缩短到原 来的2，纵坐标伸长到原来的2倍，再将所得函数的图象向右平移6个单位长度，得到函 数f()的图象 (1)求函数∫(x)的解析式和对称中心： 2若方容了-青在0上的解为x5·求sK+5） 【变式3】(25-26高一下广东佛山-阶段检测)已知函数g(x)=V3sin2x+刀 -2sinxcosx 6 ，将函数g(x)的图象向右平移12个单位长度，得到f(x)的图象。 1)求f(x的解析式： [ππ 2)求f(x)在122上的值域： 求面数4()-3g2}f儿创-10上的琴点之和 第13讲 第五章 三角函数 拓展提升 题型01 求在区间上的最值 【典例1】（2026·山东济南·模拟预测）已知函数. (1)求的最小正周期与单调递增区间； (2)若，求的最值及相应的取值. 【答案】(1)，单调递增区间为 (2)当时，最大值为；当时，最小值为 【分析】（1）利用辅助角公式将函数化为后，根据周期公式求出最小正周期，并通过解不等式，求得单调递增区间； （2）通过换元令，根据确定，再结合正弦函数在此区间上的单调性，得到答案. 【详解】（1）， 所以； 令，解得， 故单调递增区间为. （2），则，， 当即时，最大值； 当即时，最小值. 【典例2】（26-27高三上·重庆北碚·开学考试）已知函数. (1)求的最小正周期和对称中心； (2)当时，求的值域. 【答案】(1)，对称中心为 (2) 【分析】（1）首先，利用三角恒等变形化简函数，根据三角函数的性质，求周期和对称中心； （2）根据（1）的结果，根据条件求的范围，再求函数的值域. 【详解】（1）由题. 令，解得：，则对称中心为. （2），， 的值域为. 【变式1】（26-27高三上·北京海淀·开学考试）已知函数的图象经过点；若任意，恒成立时，则的最小值为. (1)求函数的解析式及其单调递增区间； (2)若将函数的图象上所有点的纵坐标不变，将其图象向右平移个单位得到函数的图象.若对，求的最大值与最小值，及其对应的的值. 【答案】(1)，单调递增区间为 (2)时，，或时， 【分析】（1）本题考查正弦型三角函数解析式、单调区间、图像平移变换以及闭区间上最值，由的最小值得到半周期，求出，代入最高点坐标求，利用整体代换求单调递增区间； （2）按照 “左加右减” 得到平移后，再换元求指定区间最值. 【详解】（1）因为对任意恒成立，且的最小值为， 所以，根据，得到， 又因为的图象经过点，所以， 即，解得， 即，又因为， 所以取可得， 所以， 因为正弦函数的单调递增区间为，令， 所以，解得， 所以单调递增区间为； （2）， 因为，所以， 当时，即时，， 当或时，即或时，. 【变式2】（26-27高三上·北京·开学考试）已知函数的最小正周期为，且. (1)求函数的单调递减区间； (2)当时，求函数的最大值和最小值，并求出取得最值时的值. 【答案】(1)单调递减区间为. (2)最大值为3，此时；最小值为0，此时. 【分析】(1)利用两角和的正弦公式化简，再利用最小正周期公式和可求，最后根据正弦型函数的单调递减区间求解即可. (2)由的取值范围求出整体角的取值范围，结合正弦函数在该区间的最值即可求出函数的最大值和最小值. 【详解】（1），因为最小正周期为，且，所以， 又因为，， 所以，即， 令解得 即的单调递减区间为：. （2）由（1）可知，时，， 当时，， 当时，， 综上所述：时；时. 【变式3】（26-27高三上·北京·开学考试）已知函数． (1)求的单调递增区间； (2)求在区间上的最小值及取得最小值时自变量的值． 【答案】(1)单调递增区间为，； (2)最小值为，取得最小值时. 【分析】（1）先通过三角恒等变换将化简为的形式，再结合正弦函数的性质求解单调递增区间； （2）利用整体法，先求的取值范围，进而求得函数的最值. 【详解】（1）由题意， . 令 ，解得， 故的单调递增区间为. （2）当时，， 当，即时，取得最小值 . 题型02已知最值，求参数 【典例1】（25-26高一下·江苏扬州·阶段检测）已知函数. (1)求函数的最小正周期及单调增区间； (2)若函数在区间上的值域，求m的取值范围. 【答案】(1) 最小正周期为，单调增区间为； (2) 的取值范围是 【详解】（1）， 所以的最小正周期， 正弦函数的单调增区间为， 令，代入可得， 即， 所以的单调增区间为. （2）当时，， 在区间上的值域为，即， 所以， 因为在上单调递减，在上单调递增， 且，， 所以，解得， 即的取值范围是. 【典例2】（25-26高一下·湖北鄂州·期中）已知函数的最小正周期为. (1)求的单调递增区间； (2)若在区间上的值域为，求的取值范围. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）根据题意，求得，结合正弦型函数的性质，即可求解； （2）由，得到，结合在的值域为，列出不等式，即可求解. 【详解】（1）因为函数的最小正周期为，可得，解得， 所以，令， 解得， 所以函数的单调递增区间为. （2）因为，可得. 又因为在上的值域为，且， 所以，解得，即的取值范围为. 【变式1】（25-26高一下·上海黄浦·期中）已知． (1)当时，求函数的单调递增区间； (2)令，若函数的最大值为1，求的取值范围． 【答案】(1)和； (2). 【分析】（1）由正弦函数的单调区间整体代入求解即可； （2）通过诱导公式及二倍角公式得到，再结合最大值为1，得到的范围内包含最大值点，进而求解即可. 【详解】（1）当时，， 由， 得： ， 结合，取得，取得， 故单调增区间为和. （2） ， 当时，， 因为最大值为， 即区间内必须包含使得的点， 又得：， 当，解得； 当，解得. 故的取值范围为. 【变式2】（25-26高一下·湖北十堰·阶段检测）已知函数，且函数图象的一个对称中心为. (1)求的值； (2)若在区间上的值域是，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用倍角公式和辅助角公式，得，再结合条件，可得，即可求解； （2）根据条件，利用正弦型函数的性质，即可求解. 【详解】（1）， 因图象的一个对称中心为，则， 解得，又，则取，得． （2）当时，， 因为，结合函数图象可知，欲使在区间上的值域是， 则，解得． 【变式3】（25-26高一下·上海普陀·阶段检测）已知，. (1)若函数是偶函数，求的值； (2)当时，求函数，的单调增区间； (3)令，若函数，的最大值为1，求的取值范围. 【答案】(1) (2)和. (3) 【分析】（1）正余弦函数的奇偶性得到，进而可求解； （2）由正弦函数的单调区间整体代入求解即可； （3）通过诱导公式及二倍角公式得到，再结合最大值为1，得到的范围内包含最大值点，进而求解即可. 【详解】（1）因为是偶函数， 可得：，， 又，取，可得； ​ （2）当 ​时，， 由， 得： ， 结合，取得，取得， 故单调增区间为和. （3） 当时，， 因为最大值为， 即区间内必须包含使得的点 又得：， 当，解得； 当，解得. 故的取值范围为. 题型03 三角函数中的恒（能）成立问题 【典例1】（25-26高一下·上海·期末）已知函数． (1)求的单调递增区间； (2)求函数在时的值域； (3)对任意的，不等式恒成立，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）化简得，由，求单调递增区间； （2）由得，求出在上的值域，得解； （3）由，得，当时，不等式恒成立；当时，转化为恒成立，求出，得. 【详解】（1）， 由，得. 所以的单调递增区间为. （2）当时， 因为在上单调递增，在上单调递减， 且， 所以在上的值域为. （3）当时，， 故. ， ①当时，不等式恒成立； ②当时，得恒成立， 令，则，， 在上单调递增，最大值为， 所以， 综上得的取值范围为. 【典例2】（25-26高一上·广东深圳·阶段检测）已知函数（，）在区间上的值域为． (1)求函数的解析式、对称中心、单调增区间； (2)若对任意，存在使得，求实数m的取值范围． 【答案】(1)，对称中心为，单调增区间为 (2) 【分析】（1）由正弦型函数性质及给定值域列出方程求出，再利用正弦函数性质求解. （2）由（1）的结论求出函数在上的最小值，再利用给定不等式列式求解. 【详解】（1）由，得，则， 又，于是，即有，解得， 所以函数的解析式为； 由，解得，函数的对称中心为； 由，解得， 所以函数的单调增区间为. （2）由，得，则，因此； 由任意，存在使得，得当时，， 即，由，得， 因此，解得，所以的取值范围是. 【变式1】（25-26高一下·河南驻马店·期末）已知函数，是的两个零点，且的最小值是． (1)求的值； (2)求在上的值域； (3)若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）化简函数为，结合题意，得到的最小正周期为，结合最小正周期的公式，即可求解； （2）由，得到，结合正弦函数的性质，即可求解； （3）设，得到，根据题意，转化为不等式在上恒成立，结合基本不等式，即可求解. 【详解】（1）由， 因为是的两个零点，且的最小值是， 即是的两个根，即的两个根， 可得函数的最小正周期为， 又因为，可得最小正周期，解得． （2）由（1）知， 因为，可得， 当，即时，取得最小值，； 当，即时，取得最大值，， 所以在上的值域为． （3）因为，设，，由（2）可知， 不等式在上恒成立， 即不等式在上恒成立， 即不等式在上恒成立，即， 因为，当且仅当时，等号成立． 所以的取值范围是． 【变式2】（25-26高一下·上海浦东新·期中）已知函数的最小正周期为. (1)化简函数的表达式，并求出的值； (2)若不等式 在上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）使用辅助角公式化简，利用最小正周期为求出的值； （2）把不等式 在上恒成立转化为在上恒成立即，利用三角函数求出在上的值域，再求出实数的取值范围. 【详解】（1） 所以. （2）即在上恒成立 在上恒成立， 由于，所以 ，故， 所以，，实数的取值范围为. 【变式3】（25-26高一下·广东江门·期中）已知函数. (1)求的单调递减区间和最小正周期； (2)将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得函数图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，若对任意的，使得恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)，最小正周期为 (2) 【分析】（1）化简函数为，结合正弦型函数的性质，以及最小正周期的计算公式，即可求解； （2）根据三角函数的图象变换，求得，得到，结合题意，利用，即可求解. 【详解】（1）解：由函数 ， 令，解得， 所以函数的单调递减区间为， 其最小正周期为. （2）解：将函数的图象向右平移个单位长度， 得到， 再将所得函数图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变， 得到函数， 当时，即时，取得最大值， 因为对任意的，使得恒成立， 即恒成立，所以， 所以实数的取值范围为. 题型04 函数零点（根）的问题 【典例1】（25-26高一下·湖南·期末）已知函数． (1)求函数的最小正周期和单调递增区间； (2)将函数的图象先向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象．若关于的方程在区间上有两个不同的实数解，求实数的取值范围． 【答案】(1)，（）． (2)． 【分析】（1）运用三角恒等变换将化成正弦型函数，再根据周期的公式求得的最小正周期，并用整体代换即可求出其单调递增区间； （2）根据图象变换法则得到的解析式，分析在上的单调性，并将关于的方程在区间上有两个不同的实数解，转化为与在区间上的图象有两个不同的交点，从而求得实数的取值范围． 【详解】（1）， 所以的最小正周期， 令，，得，， 所以的单调递增区间为（）． （2）将函数的图象向右平移个单位长度，得， 再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的，得， 因为，所以． 令，得；令，得. 所以在区间单调递增，在区间单调递减． 所以，，， 因为关于的方程在区间上有两个不同的实数解， 所以直线与在区间上的图象有两个不同的交点， 所以， 即实数的取值范围为． 【典例2】（25-26高三上·重庆·阶段检测）已知函数，图象的相邻对称轴之间的距离为． (1)求函数的单调递增区间； (2)将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标伸长为原来的2倍，再向左平移个单位得的图象，若关于的方程在上只有一个解，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由三角恒等变换得，由函数的最小正周期为，求出的值，再由正弦函数的性质求解即可； （2）由图象的伸缩和平移变换可得，再利用换元法及数形结合思想求解即可. 【详解】（1）， ， ，， 因为图象的相邻对称轴之间的距离为，所以的最小正周期为， 所以，得，所以． 令．则， 所以的单调递增区间为． （2）由（1）知， 将图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标伸长为原来的2倍， 得到函数的图象， 再向左平移个单位得的图象． 令，，则， 所以， 因为在上只有一个解， 由的图象（如图）可得，或， 所以的取值范围是. 【变式1】（25-26高一下·四川成都·期中）已知的部分图象如下图所示． (1)求函数的解析式； (2)将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再将所得的函数图象上所有点向左平移个单位，得到函数的图象． ①若的图象正好是某简谐振动的图象，求此简谐振动的初相； ②求在区间上的零点． 【答案】(1) (2)①；②、 【分析】（1）由图象可得出的值，以及函数的最小正周期的值，结合正弦型函数的周期公式可得出的值，再结合以及的取值范围可得出的值，即可得出函数的解析式； （2）①利用三角函数图象变换得出函数的解析式，结合初相的定义可得结果； ②由可得，再结合可得出的值，即可得解. 【详解】（1）由图象可知，函数的最小正周期， 且，可得，所以， 由图可得，可得， 又因为函数在附近单调递增，则， 所以， 因为，可得，， 所以． （2）①将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）， 可得函数的图象， 再将所得的函数图象上所有点向左平移个单位， 可得函数的图象，所以对应简谐振动初相为； ②由，可得， 因为，所以，所以或，解得或， 故函数在区间上的零点为、. 【变式2】（25-26高一下·云南昆明·期中）已知函数． (1)求的解析式和对称轴； (2)将函数的图象先向右平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象．对于任意的，方程有且仅有一个解，求的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用二倍角公式结合辅助角公式求出的解析式，根据正弦函数的对称轴求解； （2）先对进行平移变换求出，再将方程有一个解转化为与有一个交点，进而作出图象求出的取值范围． 【详解】（1）， 正弦函数的对称轴为，故， 解得， 的对称轴为：． （2）的图象先向右平移个单位长度得：， 再将横坐标变为原来的2倍得：， 对于任意的，方程有且仅有一个解等价于： 与有一个交点， 由函数与的图象可知：． 【变式3】（25-26高一下·广东茂名·期中）已知函数的最小正周期为，最大值为，. (1)求函数的解析式和对称中心； (2)将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象.设函数在区间上有两个不同的零点，求实数m的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用最小正周期公式求出，由的最大值为得到的值，由得到，结合解出，从而的解析式，利用正弦函数的图像和性质求出的对称中心. （2）利用函数的变换求出的表达式，由解得，由函数在区间上有两个不同的零点，得到这两个函数在上有两个不同的交点，利用在上的单调性和端点值得到实数m的取值范围. 【详解】（1）的最小正周期为，,， 的最大值为，， ，， ，，， 令，解得， 的对称中心为； （2），函数的图象向左平移个单位长度， 得到， 再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象， 得到， 则， 设，解得，解得， 因为函数在区间上有两个不同的零点， 则这两个函数在上有两个不同的交点， 在上是单调递增函数，在上是单调递减函数， ，，， 则，解得， 则实数m的取值范围为. 题型05 求函数零点（根）的代数和问题 【典例1】（26-27高二上·新疆昌吉·开学考试）函数的部分图像如图所示， (1)求函数的解析式和单调递增区间； (2)将函数的图像上的各点的纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图像，若时，的图像与直线恰有三个公共点，记三个公共点的横坐标分别为且，求的值. 【答案】(1)，. (2) 【分析】（1）根据函数的最低点求得的值，根据图象得到函数的周期，并求得的值，代入点求得的值，由此求得函数的解析式；再利用余弦函数的性质，即可求出函数的单调增区间； （2）令，则，利用的图象可得，，又，从而得到，再利用，即可求得结果. 【详解】（1）由图易知，，得到，所以， 又图象过点，所以，故，得到， 又，所以，故函数的解析式为， 由，得到， 所以的单调递增区间为. （2）由题知，又因为，所以， 令，则， 由的图象知，，且， 得到，又由图知，所以 又，得到， 所以， 又因，所以. 【典例2】（25-26高一下·云南昆明·期末）已知函数（，）图象的相邻两个对称中心之间的距离为，． (1)求函数的解析式； (2)将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若，（）且满足，求实数m的取值范围，及的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）正弦函数相邻对称中心间距为半个周期，先求得；再代入结合范围求初相； （2）先利用平移法则求出，换元划分单调区间，算出区间端点函数值；结合图像有两交点得范围，由对称轴性质求. 【详解】（1）由题，得，所以， 又，故，所以． 由于，所以，又，所以， 即． （2）由题． 当时，则， 由，得，故函数在上单调递增； 由，得，故函数在上单调递减． 又，， ， 由于，（）且， 即在内的图象与直线有两个不同的交点，所以． 由于的图象关于直线对称，所以． 【变式1】（24-25高一下·江西南昌·阶段检测）已知函数，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，且经过点． (1)求函数的解析式； (2)将函数的图象向右平移m个单位长度，所得图象关于y轴对称，求m的最小正值； (3)若方程区间上恰有三个实数根，且，求及的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）由题意得，求出周期，再利用周期公式可求出，然后将点代入中可求出的值，从而可求出函数解析式； （2）先根据函数的平移得到函数解析式，再结合正弦型函数的奇偶性求解即可； （3）设，则将问题转化为方程在区间上恰有三个实数根，然后结合正弦函数的图象可求出的范围，从而可求出的范围，进而可求出的取值范围． 【详解】（1）因为函数的图象相邻两条对称轴之间的距离为，所以， 所以，又，即，所以，所以， 又因为函数的图象过点，所以，即， 又因为，解得，所以； （2）将函数的图象向右平移m个单位长度，得， 因为此函数图象关于y轴对称，所以， 则，所以时，m取得最小正值，即为； （3）当时，设，则， 由方程在区间上恰有三个实数根， 得方程在区间上恰有三个实数根， 则函数与在上有3个交点， 则的图象如下： 由图可知，，即，则的取值范围为， 且， 即，故， 由图得，，则，即， 即，所以． 【变式2】（25-26高一下·陕西汉中·期中）将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标伸长到原来的2倍，再将所得函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象. (1)求函数的解析式和对称中心； (2)若方程在上的解为，，求. 【答案】(1)，对称中心为，. (2). 【分析】（1）先按照三角函数图象变换规则，依次对做横坐标缩短、纵坐标伸长、向右平移变换，逐步化简求出解析式，再利用余弦函数对称中心的性质，令相位等于解出，即可写出对称中心坐标. （2）先代入方程化简得到余弦等式，确定在给定区间内对应相位的范围，利用余弦函数在该区间内的轴对称性，得出两根满足的关系式，求出的值，再代入余弦公式算出结果. 【详解】（1）①横坐标缩短到原来的：将中替换为，得. ②纵坐标伸长到原来的2倍：将函数值乘以2，得. ③向右平移个单位：根据“左加右减”，得. 令，，解得，， 所以对称中心为，. （2）由，得，即. 令 已知，则. 方程的解关于函数直线对称，即，即. 化简得，故. 【变式3】（25-26高一下·广东佛山·阶段检测）已知函数，将函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象． (1)求的解析式； (2)求在上的值域； (3)求函数在上的零点之和． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】(1)利用三角恒等式将原函数转化为单一三角函数形式，根据平移规则确定新函数的解析式. (2)结合三角函数的有界性和区间端点值确定值域. (3)通过方程化简和周期性分析零点分布，利用对称性求和. 【详解】（1） , 将向右平移得：. （2）解：，当时，，令， 当时，在的最大值为，当时，在的最小值为，故值域为. （3）解：代入=得， 令，则，， ， 求，化简为二次方程：，解得， 对应或，即：或， 在内零点为，，，，和为：. 学科网（北京）股份有限公司 $