2026-2027学年高二上学期数学期中考试模拟卷中档题3（江苏省适用）(范围：直线方程、数列、导数)

2026~2027学年第一学期期中考试 高二数学试题 用时：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知三点，，共线，则=（　　） A. B. C. D. 2. 直线（）的倾斜角的取值范围是（　　） A. [ B. []∪[ C. [] D. [] 3. 已知等差数列中，，，则=（　　） A. B. C. D. 4. 已知各项均为正数的等比数列中，，则=（　　） A. B. C. D. 5. 函数的导函数为（　　） A. B. C. D. 6. 函数在[]上的最小值为（　　） A. B. C. D. 7. 已知数列的通项公式为，则其前项和的最小值为（　　） A. B. C. D. 8. 曲线在处的切线方程为（　　） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 关于直线，下列说法正确的是（　　） A. 直线的斜率为 B. 直线在轴上的截距为 C. 直线在轴上的截距为 D. 直线与两坐标轴围成的三角形面积为 10. 已知数列的前项和，则（　　） A. B. C. D. 的最小值为 11. 已知函数，则（　　） A. 的极大值为 B. 的极小值为 C. 在上单调递减 D. 有三个不同的零点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知直线经过点，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，则的方程为____________． 13. 已知等比数列中，，公比，则=____________． 14. 函数在[]上的最大值为____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）求经过点且倾斜角为的直线的方程； （2）已知直线经过点，且在两坐标轴上的截距互为相反数，求的方程． 16. 已知等差数列中，，前项和． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和； （3）求． 17. 已知数列的前项和． （1）求数列的通项公式； （2）求． 18. 已知函数，． （1）当时，求的极值； （2）讨论的单调性； （3）若在[]上单调递减，求的取值范围． 19. 已知数列满足，（为正整数）． （1）求证：数列是等差数列； （2）求数列的通项公式； （3）求数列的前项和． 第 页 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026~2027学年第一学期期中考试 高二数学试题 用时：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知三点，，共线，则=（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】三点共线等价于任意两点连线的斜率相等． 【详解】， 由，，共线得，即， 解得． 故选：C． 2. 直线（）的倾斜角的取值范围是（　　） A. [ B. []∪[ C. [] D. [] 【答案】B 【解析】 【分析】先写出斜率，求出其取值范围，再转化为倾斜角范围． 【详解】直线的斜率∈[]． 当时，∈[]；当时，∈[． 所以倾斜角的取值范围是[]∪[． 故选：B． 3. 已知等差数列中，，，则=（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】，，也成等差数列，用等差中项求解． 【详解】记，，． 因为，，成等差数列， 所以，解得． 故选：A． 4. 已知各项均为正数的等比数列中，，则=（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由等比中项性质直接得到． 【详解】由等比数列的性质得， 又，所以． 故选：D． 5. 函数的导函数为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】用乘法法则，注意． 【详解】． 故选：B． 6. 函数在[]上的最小值为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求导得单调性，再比较极值与端点函数值． 【详解】，令得或， 当时，当时， 所以在处取得最小值， 又，，故最小值为． 故选：A． 7. 已知数列的通项公式为，则其前项和的最小值为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】最小等价于把所有的负项相加，求使的最大． 【详解】由得，所以前项为负（，）， 所以的最小值为． 故选：C． 8. 曲线在处的切线方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求导得切线斜率，注意切点为． 【详解】，所以在处切线斜率为， 切点为，切线方程为． 故选：D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 关于直线，下列说法正确的是（　　） A. 直线的斜率为 B. 直线在轴上的截距为 C. 直线在轴上的截距为 D. 直线与两坐标轴围成的三角形面积为 【答案】ABC 【解析】 【分析】化为斜截式后逐项判断． 【详解】由得，斜率为，在轴上的截距为，A，B正确； 令得，C正确； 三角形面积为，D错误． 故选：ABC． 10. 已知数列的前项和，则（　　） A. B. C. D. 的最小值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】由求，再用配方法求的最小值． 【详解】，A正确； 当时，且时也适合，B正确； ，C正确； ，所以最小值为（时取得），D错误． 故选：ABC． 11. 已知函数，则（　　） A. 的极大值为 B. 的极小值为 C. 在上单调递减 D. 有三个不同的零点 【答案】BCD 【解析】 【分析】求导判断单调性与极值，再由极值符号判断零点个数． 【详解】，令得， 当或时，当时， 所以极大值为，A错误； 极小值为，B正确； 在上递减，故在上也递减，C正确； 因为极大值，极小值，且时，时， 所以在三个单调区间上各有一个零点，共三个，D正确． 故选：BCD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知直线经过点，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，则的方程为____________． 【答案】或 【解析】 【分析】围成等腰直角三角形等价于两截距的绝对值相等且不为零． 【详解】设直线在两轴上的截距分别为，，由题意||=||≠． 若，则，得，直线为； 若，则，得，直线为，即． 综上，的方程为或． 13. 已知等比数列中，，公比，则=____________． 【答案】 【解析】 【分析】代入等比数列求和公式． 【详解】． 14. 函数在[]上的最大值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】求导得极值点，比较极值与端点函数值． 【详解】，令得（不在区间内）， ，，， 所以最大值为． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （13分）（1）求经过点且倾斜角为的直线的方程； （2）已知直线经过点，且在两坐标轴上的截距互为相反数，求的方程． 【答案】（1）；（2）或． 【解析】 【分析】（1）由倾斜角求斜率，用点斜式；（2）分截距均为与截距互为相反数且不为两种情况． 【详解】（1）， 由点斜式得，即． （2）若两截距均为，则直线过原点，设，代入得，此时方程为； 若两截距互为相反数且不为，设，代入得， 解得，此时方程为，即． 综上，的方程为或． 【点睛】“截距互为相反数”包含“两截距都为零”的特殊情形，这类隐含情况是本题的主要失分点． 16. （15分）已知等差数列中，，前项和． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和； （3）求． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【解析】 【分析】（1）用求，再求公差；（3）裂项相消． 【详解】（1），所以， 公差，所以． （2）． （3）因为， 所以原式=． 【点睛】等差数列中是常用性质，用它求比解方程组更快． 17. （15分）已知数列的前项和． （1）求数列的通项公式； （2）求． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）用并检验；（2）奇数项成等比数列，公比为． 【详解】（1）当时，； 当时，， 时也适合，所以． （2），，，，是首项为、公比为的等比数列，共项， 所以其和为． 【点睛】第（1）问不可省略的检验；第（2）问要先确认项数为而不是，否则求和公式的指数会写错． 18. （17分）已知函数，． （1）当时，求的极值； （2）讨论的单调性； （3）若在[]上单调递减，求的取值范围． 【答案】（1）极大值为，极小值为；（2）当时在上单调递增；当时，单调递增区间为和，单调递减区间为；当时，单调递增区间为和，单调递减区间为；（3）． 【解析】 【分析】求导后因式分解为，按与的大小关系分类讨论． 【详解】． （1）当时，， 当或时，当时， 所以极大值为，极小值为． （2）①当时，，在上单调递增； ②当时，，单调递增区间为和，单调递减区间为； ③当时，，单调递增区间为和，单调递减区间为． （3）由（2），在[]上单调递减，需[]含于减区间， 即且，所以． 【点睛】本题导函数的两个零点是与，它们的大小随的符号变化，因此分类标准是与的大小，而不是与的大小． 19. （17分）已知数列满足，（为正整数）． （1）求证：数列是等差数列； （2）求数列的通项公式； （3）求数列的前项和． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）． 【解析】 【分析】（1）两边同除以即得；（2）由等差数列通项求；（3）错位相减求和． 【详解】（1）由两边同除以得， 又，所以是首项为、公差为的等差数列． （2）由（1）得，所以． （3），① 则，② ①－②得， 所以． 【点睛】形如的递推式，两边同除以可构造等差数列；这是“构造法”中最常考的一类． 第 页 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $