2026-2027学年高二上学期数学期中考试模拟拔高卷2（江苏省适用）(范围：直线方程、数列、导数)

2026~2027学年第一学期期中考试 高二数学试题 用时：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知点，，若直线的倾斜角，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】倾斜角在内等价于斜率大于，用斜率公式建立不等式． 【详解】， 由得，即， 所以，即． 故选：A． 2. 已知直线的倾斜角为，则=（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】倾斜角对应斜率为，用一般式斜率公式列方程． 【详解】由倾斜角为得斜率， 又（），所以， 解得． 故选：C． 3. 已知等差数列中，，，则=（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】用求，再由求公差，最后求． 【详解】，所以， 公差， 所以． 故选：B． 4. 已知等比数列中，，，则=（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由等比中项求，再求公比与． 【详解】由得（各项同号，因为）， ，所以， ． 故选：D． 5. 下列函数中，在上单调递增的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】逐项求导判断符号，注意定义域． 【详解】对于A，，且仅在处为，所以在上单调递增； 对于B，在上递减； 对于C，，当时，故不单调递增； 对于D，定义域为，不符合“在上”的要求． 故选：A． 6. 已知数列的通项公式为，则=（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分组求和：等比部分与等差部分分别求和． 【详解】 =． 故选：B． 7. 函数在[]上的零点个数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出极值，结合各单调区间端点处的函数值符号判断零点个数． 【详解】，令得， ，，，， 所以在，，内各有一个零点，共个． 故选：C． 8. 已知数列满足，（为正整数），则=（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】用累加法求和． 【详解】 =． 故选：D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知直线（），则（　　） A. 直线的斜率为 B. 直线恒过定点 C. 当时，直线的方程为 D. 直线一定不经过第二象限 【答案】ABC 【解析】 【分析】化为斜截式判断斜率，按整理方程求定点，再逐项验证． 【详解】对于A，由知斜率为，A正确； 对于B，方程整理为，令，，恒成立，B正确； 对于C，当时，直线为，即，C正确； 对于D，取，直线为，与坐标轴交于，，经过第二象限，D错误． 故选：ABC． 10. 已知等比数列中，，公比，则（　　） A. B. C. D. 前项的积 【答案】ABC 【解析】 【分析】逐项用通项、求和公式计算，并检验前项积的指数． 【详解】，A正确；，B正确； ，C正确； ，D错误． 故选：ABC． 11. 已知函数，则（　　） A. 的单调递减区间为 B. 的极大值为 C. 的极小值为 D. 仅有两个零点 【答案】ABC 【解析】 【分析】求导判断单调性与极值，再由极值符号判断零点个数． 【详解】，当时，故递减区间为，A正确； 极大值为，极小值为，B，C正确； 由，，，知有三个零点，D错误． 故选：ABC． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知直线经过点，且在两坐标轴上的截距之积为，则的方程为____________． 【答案】 【解析】 【分析】设截距式，由“截距之积为”与“过点”列方程组． 【详解】设，则且， 由得， 所以，是方程的两根，即， 故的方程为． 13. 已知等差数列中，，公差，且，，成等比数列，则=____________． 【答案】 【解析】 【分析】由等比中项列方程求公差，再求前项和． 【详解】由，，成等比数列得， 即，又，所以， 所以． 14. 函数在[]上的最大值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】求导得极值点，比较极值与端点函数值． 【详解】，令得或， ，，，， 所以最大值为． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （13分）已知直线经过点，分别求满足下列条件的直线的方程： （1）在两坐标轴上的截距相等； （2）在两坐标轴上的截距互为相反数． 【答案】（1）或；（2）或． 【解析】 【分析】两问都要分“截距为”与“截距不为”两种情况讨论． 【详解】（1）若截距均为，设，代入得，此时； 若截距相等且不为，设，代入得，即，此时． （2）若截距均为，同样得； 若截距互为相反数且不为，设，代入得，即， 此时，即． 【点睛】“截距相等”“截距互为相反数”这类条件都隐含“截距可以为零”的情形，若只设截距式就会漏解． 16. （15分）已知数列满足，（为正整数）． （1）求证：数列是等差数列； （2）求数列的通项公式； （3）求数列的前项和． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）． 【解析】 【分析】（1）两边同除以即得；（2）由等差数列通项求；（3）用平方和公式． 【详解】（1）由两边同除以得， 又，所以是首项为、公差为的等差数列． （2）由（1）得，所以． （3）． 【点睛】本题的关键是观察到等式两边除以后能出现相同的结构，这种“同除构造”与型“同除”的思路一致． 17. （15分）已知函数，． （1）当时，求的单调区间与最小值； （2）若对任意恒成立，求的值； （3）若有两个零点，求的取值范围． 【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为，最小值为；（2）；（3）． 【解析】 【分析】（2）（3）都以的最小值为核心，注意对的符号分类． 【详解】（1）当时，， 当时，当时， 所以递减区间为，递增区间为，最小值为． （2）． 若，则，在上递增，又，故当时，不符合题意； 若，则在上递减、在上递增， ， 令（），， 所以在上递增、在上递减，， 故只能是，即． （3）由（2）知，当时，，零点个数不超过； 当时，，且时，时， 所以在与内各有一个零点，共两个， 故． 【点睛】第（2）问用“最大值恰为”锁定，这是处理“恒成立且能取等”问题的典型手法；第（3）问借助（2）的结论直接分段． 18. （17分）已知数列的前项和． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和； （3）若对任意正整数恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【解析】 【分析】（2）裂项相消；（3）判断的单调性与上确界． 【详解】（1）；当时，且时也适合，故． （2）， 所以． （3）随增大而增大，且， 所以恒成立等价于，即． 【点睛】恒成立问题中若“上确界取不到”，则等号可以取；本题永远小于但可无限接近，故符合要求． 19. （17分）已知函数． （1）求的极值； （2）讨论方程的实根个数； （3）求方程的所有根，并验证它们的和等于． 【答案】（1）极大值为，极小值为；（2）当或时有个实根，当或时有个实根，当时有个实根；（3）根为，，，和为． 【解析】 【分析】（1）求导定极值；（2）把实根个数转化为水平直线与图象的交点个数；（3）因式分解求根． 【详解】（1），令得或， 当或时，当时， 所以极大值为，极小值为． （2）①当或时，直线与图象只有个交点，方程有个实根； ②当或时，直线与图象相切于极值点，有个交点，方程有个实根； ③当时，直线与图象有个交点，方程有个实根． （3）由，注意到是根，因式分解得， 所以或， 三根之和为． 【点睛】第（2）问体现了“方程根的个数＝图象交点个数”的转化；第（3）问的三根之和为并非巧合，它与三次函数图象关于点中心对称有关． 第 页 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026~2027学年第一学期期中考试 高二数学试题 用时：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知点，，若直线的倾斜角，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 2. 已知直线的倾斜角为，则=（　　） A. B. C. D. 3. 已知等差数列中，，，则=（　　） A. B. C. D. 4. 已知等比数列中，，，则=（　　） A. B. C. D. 5. 下列函数中，在上单调递增的是（　　） A. B. C. D. 6. 已知数列的通项公式为，则=（　　） A. B. C. D. 7. 函数在[]上的零点个数为（　　） A. B. C. D. 8. 已知数列满足，（为正整数），则=（　　） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知直线（），则（　　） A. 直线的斜率为 B. 直线恒过定点 C. 当时，直线的方程为 D. 直线一定不经过第二象限 10. 已知等比数列中，，公比，则（　　） A. B. C. D. 前项的积 11. 已知函数，则（　　） A. 的单调递减区间为 B. 的极大值为 C. 的极小值为 D. 仅有两个零点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知直线经过点，且在两坐标轴上的截距之积为，则的方程为____________． 13. 已知等差数列中，，公差，且，，成等比数列，则=____________． 14. 函数在[]上的最大值为____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知直线经过点，分别求满足下列条件的直线的方程： （1）在两坐标轴上的截距相等； （2）在两坐标轴上的截距互为相反数． 16. 已知数列满足，（为正整数）． （1）求证：数列是等差数列； （2）求数列的通项公式； （3）求数列的前项和． 17. 已知函数，． （1）当时，求的单调区间与最小值； （2）若对任意恒成立，求的值； （3）若有两个零点，求的取值范围． 18. 已知数列的前项和． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和； （3）若对任意正整数恒成立，求实数的取值范围． 19. 已知函数． （1）求的极值； （2）讨论方程的实根个数； （3）求方程的所有根，并验证它们的和等于． 第 页 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $