2026-2027学年高二上学期数学期中考试模拟卷 中档题2 （江苏省适用）(范围：直线方程、数列、导数)

2026~2027学年第一学期期中考试 高二数学试题 用时：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知点，，若直线的倾斜角为钝角，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 2. 已知直线经过点，且在两坐标轴上的截距之和为，则的方程为（　　） A. B. C. D. 3. 已知等差数列中，，，则=（　　） A. B. C. D. 4. 已知等比数列中，，，公比，则=（　　） A. B. C. D. 5. 函数的导函数为（　　） A. B. C. D. 6. 函数的最小值为（　　） A. B. C. D. 7. 已知数列的前项和，则=（　　） A. B. C. D. 8. 曲线的切线中，斜率为的切线共有（　　） A. 条 B. 条 C. 条 D. 条 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 关于直线，下列说法正确的是（　　） A. 直线的斜率为 B. 直线在轴上的截距为 C. 直线在轴上的截距为 D. 直线与两坐标轴围成的三角形面积为 10. 已知等差数列的前项和，，则（　　） A. B. 公差 C. D. 11. 已知函数，则（　　） A. 在上单调递减 B. 的极大值为 C. 的极小值为 D. 只有一个零点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知直线经过点，且在两坐标轴上的截距相等，则的方程为____________． 13. 已知等差数列中，，公差，则的最大值为____________． 14. 曲线在处的切线方程为____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）求经过点且倾斜角为的直线的方程； （2）已知直线的方程为，求的斜率、在两坐标轴上的截距，以及与两坐标轴围成的三角形的面积． 16. 已知等比数列中，，，公比． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和； （3）求． 17. 已知数列的前项和满足． （1）求； （2）证明数列是等比数列，并求其通项公式； （3）求． 18. 已知函数，． （1）求的极值（用表示）； （2）若有三个不同的零点，求的取值范围； （3）若在[]上的最大值为，求的值． 19. 已知数列的通项公式为． （1）求，； （2）求数列的前项和． 第 页 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026~2027学年第一学期期中考试 高二数学试题 用时：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知点，，若直线的倾斜角为钝角，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】倾斜角为钝角等价于斜率小于零，用斜率公式建立不等式． 【详解】， 由倾斜角为钝角得，即，所以． 故选：B． 2. 已知直线经过点，且在两坐标轴上的截距之和为，则的方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设截距式方程，用“截距之和为”与“过点”列方程组． 【详解】设直线在两轴上的截距分别为，（均不为），则且， 由得， 所以，是方程的两根，即， 故直线方程为，即． 故选：D． 3. 已知等差数列中，，，则=（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由等差数列的性质，下标成等差的项之和也成等差，先求与，再求． 【详解】由得， 由得， 所以公差，， 故． 故选：A． 4. 已知等比数列中，，，公比，则=（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由条件解出公比，再用求和公式． 【详解】由得，解得或， 又，所以， 所以． 故选：C． 5. 函数的导函数为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】用乘法法则求导后提取公因式． 【详解】． 故选：B． 6. 函数的最小值为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求导确定极小值点，再求函数值；注意定义域为． 【详解】定义域为，， 当时，当时， 所以在处取得最小值． 故选：C． 7. 已知数列的前项和，则=（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】用求，用求时的通项，再检验． 【详解】； 当时，[]=， 而时， 所以 故选：D． 8. 曲线的切线中，斜率为的切线共有（　　） A. 条 B. 条 C. 条 D. 条 【答案】A 【解析】 【分析】令导数为求切点横坐标，有几个解就有几条切线． 【详解】，令得， 所以切点有两个，斜率为的切线共有条． 故选：A． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 关于直线，下列说法正确的是（　　） A. 直线的斜率为 B. 直线在轴上的截距为 C. 直线在轴上的截距为 D. 直线与两坐标轴围成的三角形面积为 【答案】ABC 【解析】 【分析】化为斜截式读斜率与轴截距，令求轴截距，再计算面积． 【详解】由得，斜率为，在轴上的截距为，A，C正确； 令得，B正确； 直线与两坐标轴交于，，所围三角形面积为，D错误． 故选：ABC． 10. 已知等差数列的前项和，，则（　　） A. B. 公差 C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】用基本量法解方程组，再逐项计算．也可用，，成等差数列． 【详解】由得，由得， 解得，，A，B正确； ，C错误； ，D正确． 故选：ABD． 11. 已知函数，则（　　） A. 在上单调递减 B. 的极大值为 C. 的极小值为 D. 只有一个零点 【答案】ABC 【解析】 【分析】求导判断单调性与极值，再由极值符号与端点趋势判断零点个数． 【详解】，令得， 当时，所以在上单调递减，A正确； 当时，所以极大值为，B正确； 当时，所以极小值为，C正确； 因为，且，所以至少有两个零点，D错误． 故选：ABC． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知直线经过点，且在两坐标轴上的截距相等，则的方程为____________． 【答案】或 【解析】 【分析】分截距均为与截距相等且不为两种情况． 【详解】若截距均为，则直线过原点，设，代入得，方程为； 若截距相等且不为，设，代入得，即，方程为． 综上，的方程为或． 13. 已知等差数列中，，公差，则的最大值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】求使的最大，再求该前项和． 【详解】由得，所以， ，， 所以的最大值为． 14. 曲线在处的切线方程为____________． 【答案】 【解析】 【分析】求导得斜率，求出切点坐标后写点斜式． 【详解】，所以在处切线斜率为， 切点为， 切线方程为． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （13分）（1）求经过点且倾斜角为的直线的方程； （2）已知直线的方程为，求的斜率、在两坐标轴上的截距，以及与两坐标轴围成的三角形的面积． 【答案】（1）；（2）斜率为，在轴上的截距为，在轴上的截距为，面积为． 【解析】 【分析】（1）由倾斜角求斜率，用点斜式；（2）化为斜截式读斜率，分别令，求截距，再用面积公式． 【详解】（1）斜率， 由点斜式得，即． （2）由得，所以斜率为，在轴上的截距为； 令得，即在轴上的截距为． 直线与两坐标轴围成的三角形面积为． 【点睛】求三角形面积时截距要取绝对值，否则可能得到负值． 16. （15分）已知等比数列中，，，公比． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和； （3）求． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【解析】 【分析】（1）由求公比；（3）奇数项构成公比为的等比数列． 【详解】（1）由得，所以，又，所以， ，所以． （2）． （3），，，，是首项为、公比为的等比数列，共项， 所以其和为． 【点睛】等比数列中下标成等差的项仍成等比数列，公比为（为下标公差）；本题下标公差为，故公比为． 17. （15分）已知数列的前项和满足． （1）求； （2）证明数列是等比数列，并求其通项公式； （3）求． 【答案】（1）；（2）证明见解析，；（3）． 【解析】 【分析】（1）令；（2）用消去得到递推关系；（3）倒数构成等比数列． 【详解】（1）令得，所以． （2）当时，， 所以，即， 所以是首项为、公比为的等比数列，． （3）， 所以． 【点睛】由与的关系式求通项，核心是作差消去；本题得到后要说明，并检验首项． 18. （17分）已知函数，． （1）求的极值（用表示）； （2）若有三个不同的零点，求的取值范围； （3）若在[]上的最大值为，求的值． 【答案】（1）极大值为，极小值为；（2）；（3）． 【解析】 【分析】（1）求导定极值点；（2）“三个零点”等价于极大值大于零且极小值小于零；（3）比较端点与极值点处的函数值确定最大值． 【详解】（1），令得， 当或时，当时， 所以极大值为，极小值为． （2）有三个不同零点，等价于极大值大于且极小值小于， 即且，解得． （3），，，， 所以在[]上的最大值为， 由得． 【点睛】三次函数零点的个数由极值符号决定：极大值>且极小值<时恰有三个零点；这一结论要与图象的大致形状结合理解． 19. （17分）已知数列的通项公式为． （1）求，； （2）求数列的前项和． 【答案】（1），；（2）． 【解析】 【分析】（2）仍是“等差×等比”型，用错位相减． 【详解】（1），． （2），① 则，② ②－①得 = =． 【点睛】本题系数为分数，错位相减时把“”写在前面，可避免符号混乱；中间等比数列的项数与末项的对应关系要数清． 第 页 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $