2026-2027学年高二上学期数学期中考试模拟卷拔高卷1（江苏省适用）(范围：直线方程、数列、导数)

2026~2027学年第一学期期中考试 高二数学试题 用时：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知直线的倾斜角满足，则的斜率为（　　） A. B. C. D. 2. 已知点，，直线过点且与线段有公共点，则的斜率的取值范围是（　　） A. B. C. 或 D. 3. 已知等差数列的前项和为，若，，则=（　　） A. B. C. D. 4. 已知等比数列中，，，则=（　　） A. B. C. D. 5. 若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是（　　） A. B. C. D. 6. 已知数列满足，（为正整数），则=（　　） A. B. C. D. 7. 过点且与曲线相切的切线共有（　　） A. 条 B. 条 C. 条 D. 条 8. 已知数列的前项和，则||+||++||=（　　） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知直线（），则（　　） A. 当时，的斜率为 B. 恒过定点 C. 的斜率不可能为 D. 当时，与轴平行 10. 已知等差数列中，，且，则（　　） A. 公差 B. C. 的最大值为 D. 使的最大正整数为 11. 已知函数，则（　　） A. 在上单调递减 B. 的极小值为 C. 无极大值 D. 有两个零点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知直线过点，且与轴、轴的正半轴围成的三角形面积最小，则的方程为____________． 13. 已知数列中，，，则=____________． 14. 函数在[]上的最大值与最小值之差为____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知直线过点，且与轴、轴的正半轴分别交于，两点，为坐标原点． （1）若的面积为，求的方程； （2）若||+||取得最小值，求的方程． 16. 已知数列满足，（为正整数）． （1）求证：数列是等比数列； （2）求数列的通项公式； （3）求数列的前项和． 17. 已知函数，． （1）讨论的单调性； （2）若对任意恒成立，求的取值范围； （3）若在[]上单调递减，求的取值范围． 18. 已知数列的前项和． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和； （3）若对任意正整数恒成立，求正整数的最小值． 19. 已知函数，． （1）当时，求的极值； （2）讨论的单调性； （3）若恰有两个零点，求的值． 第 页 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026~2027学年第一学期期中考试 高二数学试题 用时：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知直线的倾斜角满足，则的斜率为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由知为锐角或钝角，需分两种情况求． 【详解】因为且，所以为锐角或钝角． 当为锐角时，，； 当为钝角时，，． 所以斜率为． 故选：A． 2. 已知点，，直线过点且与线段有公共点，则的斜率的取值范围是（　　） A. B. C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出，的斜率，结合图形判断直线绕旋转时斜率的变化范围，注意斜率不存在的情形． 【详解】，． 当直线绕点从的位置逆时针旋转到的位置时，斜率由增大到+，再从增大到， 所以与线段有公共点时，或． 故选：C． 3. 已知等差数列的前项和为，若，，则=（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】，，成等差数列． 【详解】，， 由，，成等差数列得 ，解得． 故选：B． 4. 已知等比数列中，，，则=（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】，，成等比数列，公比为． 【详解】设公比为，则，所以，， 又． 故选：D． 5. 若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】三个零点等价于极大值大于零且极小值小于零． 【详解】，令得， 所以极大值为，极小值为， 要使有三个零点，需且，解得． 故选：C． 6. 已知数列满足，（为正整数），则=（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】取倒数构造等差数列，再求通项． 【详解】由得， 所以是首项为、公差为的等差数列，， 所以，． 故选：B． 7. 过点且与曲线相切的切线共有（　　） A. 条 B. 条 C. 条 D. 条 【答案】D 【解析】 【分析】设切点坐标，写出切线方程并代入已知点，得到关于切点横坐标的三次方程，其不同实根的个数即为切线条数． 【详解】设切点为，切线斜率为， 切线方程为， 代入点得， 整理得，即， 所以或，共有条切线． 故选：D． 8. 已知数列的前项和，则||+||++||=（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求通项判断正负，把负项变号后再求和． 【详解】，当时，且时也适合， 所以，，时． 所以||+||++||=． 故选：A． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知直线（），则（　　） A. 当时，的斜率为 B. 恒过定点 C. 的斜率不可能为 D. 当时，与轴平行 【答案】ABD 【解析】 【分析】逐项代入检验；判断定点可把方程按整理，令的系数与常数项同时为零． 【详解】对于A，当时，，斜率为，A正确； 对于B，方程整理为，令且，解得，，B正确； 对于C，由得，即，此时斜率为，C错误； 对于D，当时，的系数为，直线为，即，与轴平行，D正确． 故选：ABD． 10. 已知等差数列中，，且，则（　　） A. 公差 B. C. 的最大值为 D. 使的最大正整数为 【答案】ABC 【解析】 【分析】由求公差，再求通项、前项和及其最值． 【详解】由得，解得，A正确； ，B正确； ，，，所以的最大值为，C正确； ，由得，最大正整数，D错误． 故选：ABC． 11. 已知函数，则（　　） A. 在上单调递减 B. 的极小值为 C. 无极大值 D. 有两个零点 【答案】ABC 【解析】 【分析】求导判断单调性与极值，再解方程判断零点个数． 【详解】，当时，所以在上递减，A正确； 当时，所以在处取得极小值，B正确； 只有一个零点，故无极大值，C正确； 由得，所以只有一个零点，D错误． 故选：ABC． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知直线过点，且与轴、轴的正半轴围成的三角形面积最小，则的方程为____________． 【答案】 【解析】 【分析】设截距式，用基本不等式求的最小值，再检验等号条件． 【详解】设（，），则， 由得， 当且仅当，即，时取等号， 所以的方程为，即． 13. 已知数列中，，，则=____________． 【答案】 【解析】 【分析】用累加法求通项． 【详解】当时， =， 所以． 14. 函数在[]上的最大值与最小值之差为____________． 【答案】 【解析】 【分析】求导得极值与端点函数值，确定最值后作差． 【详解】，令得， ，，，， 所以最大值为，最小值为，差为． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （13分）已知直线过点，且与轴、轴的正半轴分别交于，两点，为坐标原点． （1）若的面积为，求的方程； （2）若||+||取得最小值，求的方程． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】设截距式方程，把条件转化为关于截距的方程或最值问题． 【详解】设（，），则． （1）由得， 又即， 解得，，所以，即． （2）||+||=， 当且仅当时取等号，代入得，， 所以的方程为． 【点睛】第（1）问也可以设点斜式，但截距式的运算更简洁；第（2）问是“1的代换”型最值，等号条件必须回代检验． 16. （15分）已知数列满足，（为正整数）． （1）求证：数列是等比数列； （2）求数列的通项公式； （3）求数列的前项和． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）． 【解析】 【分析】（1）把递推式变形为；（2）由等比通项求；（3）分组求和． 【详解】（1）由得， 又，所以是首项为、公比为的等比数列． （2）由（1）得，所以． （3） =． 【点睛】形如（）的递推式，可设，解出构造等比数列． 17. （15分）已知函数，． （1）讨论的单调性； （2）若对任意恒成立，求的取值范围； （3）若在[]上单调递减，求的取值范围． 【答案】（1）当时在上单调递增；当时，单调递增区间为，单调递减区间为；（2）；（3）． 【解析】 【分析】（1）求导后按的符号讨论；（2）恒成立转化为求最大值；（3）由“区间位于减区间内”列不等式． 【详解】定义域为，． （1）①当时，，所以，在上单调递增； ②当时，令得， 当时，当时， 所以在上递增，在上递减． （2）若，在上递增，且时，不符合题意； 当时，， 由得，所以． （3）若在[]上单调递减，则[]含于减区间， 所以，即． 【点睛】第（2）问中时函数无上界，必须单独排除；第（3）问也可由在[]上恒成立得到，两种思路等价． 18. （17分）已知数列的前项和． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和； （3）若对任意正整数恒成立，求正整数的最小值． 【答案】（1）；（2）；（3）的最小值为． 【解析】 【分析】（1）用求通项；（2）裂项相消；（3）先判断的取值范围，再由恒成立求． 【详解】（1）；当时，，且时也适合， 所以． （2）， 各项相加后中间项全部相消，只剩首尾两项，所以． （3）因为随增大而增大，且， 所以要使对任意正整数恒成立，只需，即， 故正整数的最小值为． 【点睛】第（3）问的关键是判断的单调性与上确界：递增且趋向，因此“恒小于”等价于“上确界不超过”． 19. （17分）已知函数，． （1）当时，求的极值； （2）讨论的单调性； （3）若恰有两个零点，求的值． 【答案】（1）极大值为，极小值为；（2）当时在上单调递增；当时，单调递增区间为和，单调递减区间为；（3）． 【解析】 【分析】（3）“恰有两个零点”意味着某个极值恰为零，且函数在极值点两侧的单调性相反． 【详解】． （1）当时，， 当或时，当时， 所以极大值为，极小值为． （2）①当时，恒成立，在上单调递增； ②当时，令得， 单调递增区间为和，单调递减区间为． （3）若，单调递增，至多一个零点，不符合题意； 当时，极大值为，极小值为， 要使恰有两个零点，需极小值恰为（此时极大值必为正）， 由得，即． 所以． 【点睛】三次函数“恰有两个零点”的本质是：图象与轴相切于极值点，故某个极值为零；由于本题极大值恒为正，只能令极小值为零． 第 页 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $