2026-2027学年高二上学期数学期中考试模拟卷中档题1（江苏省适用）(范围：直线方程、数列、导数)

2026~2027学年第一学期期中考试 高二数学试题 用时：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知点，，若直线的倾斜角为，则=（　　） A. B. C. D. 2. 已知直线的斜率∈[]，则的倾斜角的取值范围是（　　） A. []∪[ B. []∪[ C. [] D. [] 3. 已知等差数列中，，则=（　　） A. B. C. D. 4. 已知各项均为正数的等比数列中，，则=（　　） A. B. C. D. 5. 函数的导函数为（　　） A. B. C. D. 6. 函数在[]上的最小值为（　　） A. B. C. D. 7. 已知数列的前项和，则=（　　） A. B. C. D. 8. 曲线在点处的切线方程为（　　） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知直线经过点，且在两坐标轴上的截距相等，则的方程可能是（　　） A. B. C. D. 10. 已知数列的前项和，则（　　） A. B. 公差 C. 的最小值为 D. 使的最大正整数为 11. 已知函数，则（　　） A. 在上单调递减 B. 的极大值为 C. 的极小值为 D. 在上单调递增 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知直线经过点，且在两坐标轴上的截距互为相反数，则的方程为____________． 13. 已知等差数列中，，公差，则的最大值为____________． 14. 曲线在点处的切线方程为____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）求倾斜角为且在轴上的截距为的直线的方程； （2）已知直线经过点，且它在轴上的截距是在轴上截距的倍，求的方程． 16. 已知等差数列中，，且，，成等比数列，公差． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和； （3）求． 17. 已知等比数列的前项和． （1）求数列的通项公式； （2）求． 18. 已知函数，． （1）当时，求的极值； （2）讨论的单调性； （3）若在[上单调递增，求的取值范围． 19. 已知数列的通项公式为． （1）求，，； （2）求数列的前项和． 第 页 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026~2027学年第一学期期中考试 高二数学试题 用时：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知点，，若直线的倾斜角为，则=（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由倾斜角求斜率，再用两点斜率公式解方程． 【详解】由倾斜角为得斜率， 又，所以，解得． 故选：B． 2. 已知直线的斜率∈[]，则的倾斜角的取值范围是（　　） A. []∪[ B. []∪[ C. [] D. [] 【答案】A 【解析】 【分析】分与两段，利用正切函数在[与上的单调性转化． 【详解】当时，由在[上单调递增得； 当时，由在上单调递增得． 所以的取值范围是[]∪[． 故选：A． 3. 已知等差数列中，，则=（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用与下标和性质． 【详解】， 由等差数列的性质得， 所以． 故选：D． 4. 已知各项均为正数的等比数列中，，则=（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由等比中项性质，再结合各项为正数取舍． 【详解】由等比数列的性质得，所以， 又各项均为正数，所以． 故选：C． 5. 函数的导函数为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】使用导数的乘法法则． 【详解】． 故选：B． 6. 函数在[]上的最小值为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求导得极值点，再比较极值与端点函数值． 【详解】，令得或． 当时，当时， 所以在[]上递增、在[]上递减，，，， 故最小值为． 故选：A． 7. 已知数列的前项和，则=（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先用求，再用（）求通项，注意检验是否适合． 【详解】当时，； 当时，[]=， 而时，所以不满足上式， 故 故选：C． 8. 曲线在点处的切线方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求导得切线斜率，再用点斜式写出方程． 【详解】，所以在处切线斜率为， 切线方程为，即． 故选：D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知直线经过点，且在两坐标轴上的截距相等，则的方程可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】分“截距均为”与“截距相等且不为”两种情况设方程，再代点检验． 【详解】若截距均为，则直线过原点，设，代入得，即，B符合； 若截距相等且不为，设，代入得，即， 此时直线为，A符合； C，D中的直线在轴、轴上的截距分别为和、和，不相等，均不符合． 故选：AB． 10. 已知数列的前项和，则（　　） A. B. 公差 C. 的最小值为 D. 使的最大正整数为 【答案】ABC 【解析】 【分析】先由求，再判断等差数列的公差、前项和的最值与不等式． 【详解】，A正确； 当时，且时也适合，所以，公差，B正确； ，所以当时取得最小值，C正确； 由得，即，所以最大正整数，D错误． 故选：ABC． 11. 已知函数，则（　　） A. 在上单调递减 B. 的极大值为 C. 的极小值为 D. 在上单调递增 【答案】ABC 【解析】 【分析】求导、求驻点、判断符号，再求极值． 【详解】，令得或， 当时，所以在上单调递减，A正确； 当时，所以为极大值，B正确； 当时，所以为极小值，C正确； 在上为负，故在上不单调，D错误． 故选：ABC． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知直线经过点，且在两坐标轴上的截距互为相反数，则的方程为____________． 【答案】或 【解析】 【分析】分截距均为与截距互为相反数且不为两种情况讨论． 【详解】若两截距均为，则直线过原点，方程为，即； 若截距互为相反数且不为，设，代入得，解得， 此时直线为，即． 综上，的方程为或． 13. 已知等差数列中，，公差，则的最大值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】最大等价于所有正项之和，求出使的最大即可． 【详解】由得，所以， 即前项为正（，）， 所以的最大值为． 14. 曲线在点处的切线方程为____________． 【答案】 【解析】 【分析】求导得斜率，再用点斜式． 【详解】，所以在处切线斜率为， 切线方程为，即． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （13分）（1）求倾斜角为且在轴上的截距为的直线的方程； （2）已知直线经过点，且它在轴上的截距是在轴上截距的倍，求的方程． 【答案】（1）；（2）或． 【解析】 【分析】（1）由倾斜角求斜率，用斜截式；（2）分“过原点”与“不过原点”两种情况设方程． 【详解】（1）斜率， 由斜截式得，即． （2）若直线过原点，设，代入得，此时方程为， 它在两轴上的截距均为，符合“轴截距是轴截距的倍”； 若直线不过原点，设轴上的截距为（），则轴上的截距为， 方程为，代入得，解得， 此时方程为，即． 综上，的方程为或． 【点睛】涉及截距的题目，最容易遗漏“直线过原点、截距均为”的情况，此时“倍数关系”仍成立． 16. （15分）已知等差数列中，，且，，成等比数列，公差． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和； （3）求． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【解析】 【分析】（1）由等比中项列关于的方程，注意舍去；（2）用求和公式；（3）裂项相消． 【详解】（1），，由，，成等比数列得， 即，解得或， 又，所以，故． （2）． （3）因为， 所以原式=． 【点睛】裂项相消的关键是把通项拆成“同形两项之差”，注意系数提取后，中间项才能全部相消． 17. （15分）已知等比数列的前项和． （1）求数列的通项公式； （2）求． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）用（）并检验；（2）平方后仍是等比数列，用求和公式． 【详解】（1）当时，； 当时，， 时也适合，所以． （2），所以是首项为、公比为的等比数列， 所以． 【点睛】由求必须验证；等比数列各项平方后仍是等比数列，公比为原公比的平方． 18. （17分）已知函数，． （1）当时，求的极值； （2）讨论的单调性； （3）若在[上单调递增，求的取值范围． 【答案】（1）极大值为，极小值为；（2）当时在上单调递增；当时，单调递增区间为和，单调递减区间为；（3）． 【解析】 【分析】求导后按中的符号分类讨论，第（3）问由“区间位于增区间内”列不等式． 【详解】． （1）当时， 当或时，当时， 所以极大值为，极小值为． （2）①当时，恒成立，在上单调递增； ②当时，令得， 当或时，当时， 所以单调递增区间为和，单调递减区间为． （3）若在[上单调递增，则[含于增区间， 当时显然成立；当时需，即． 综上，． 【点睛】含参单调性讨论的分界点是导函数的零点是否存在，本题以与的大小为分类标准，切勿直接令而不讨论． 19. （17分）已知数列的通项公式为． （1）求，，； （2）求数列的前项和． 【答案】（1），，；（2）． 【解析】 【分析】（2）是“等差×等比”型，用错位相减法求和． 【详解】（1），，． （2），① 则，② ①－②得， 所以． 【点睛】错位相减时，两式相减后中间部分构成等比数列，项数为，最后一项单独写出，避免错位出错． 第 页 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $