江苏省苏州市2026-2027学年高二数学上学期期中自编模拟卷

2025-2026学年江苏省苏州市上学期期中自编模拟卷解析 高二数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：人教版A版选择性必修1第二章直线与圆和选择性必修2第一章数列。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一．选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分。每小题只有一个选项符合题目要求。 1．已知等差数列（）满足，，则（     ） A．4 B．7 C．8 D．2026 【答案】C 【知识点】利用等差数列的性质计算 【详解】由等差数列的性质可知，， 则，即. 2．若经过，两点的直线的倾斜角为钝角，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、直线的倾斜角、斜率与倾斜角的变化关系、已知两点求斜率 【详解】记直线的倾斜角为，由题意， ，得或， 故的取值范围是. 3．直线的方程为，则直线的倾斜角范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】直线的倾斜角 【详解】直线的方程为，当时，直线的斜率为， 设直线的倾斜角为，则， 故，又，解得； 当时，此时直线的方程为，倾斜角为. 综上，直线的倾斜角范围是. 4．已知等比数列是递增数列，其前项积为，若，，成等差数列，，则当取最小值时，（    ） A．9 B．11 C．13 D．15 【答案】B 【知识点】等差数列与等比数列综合应用、利用等差数列的性质计算、等比数列通项公式的基本量计算、求等比数列中的最大（小）项 【分析】根据等差数列的定义求得公比，由题意可得当，时，取到最小值，继而求出的值. 【详解】因等比数列是递增数列，则其公比， 又因，，成等差数列，则得， 即，整理得， 因，解得或（舍）， 又因，可得，， 因，当，时，取到最小值， 故当时，取最小值. 5．如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点P(x，y)是阴影部分(包括边界)的动点，则值不可能是（   ） A．- B．-1 C．0 D．1 【答案】A 【知识点】已知两点求斜率、定点到圆上点的最值（范围）、由直线与圆的位置关系求参数、直线与线段的相交关系求斜率范围 【分析】设 ，其几何意义为阴影部分内的点 与定点 连线的斜率，结合图形求出斜率 的取值范围即可判断. 【详解】由题意可知， 表示阴影部分内的动点 与定点 连线的斜率，记为. 观察图形可知，大圆方程为，定点 为大圆与轴正半轴的交点. 阴影部分主要由三部分边界围成，分别讨论斜率的取值范围： ①当点位于第一象限的阴影部分（即半圆 ）时： 设直线的方程为，即 . 当直线与该半圆相切时，圆心到直线的距离等于半径，即， 化简得，解得 或 . 结合图形可知，当切点在第一象限时， 取得最小值 ； 当点为原点 时，. 故此部分 的取值范围是 . ②当点位于第二象限的阴影部分时：此时 ，则 . 当点在轴上时，； 当点为时，. 结合图形连续性，此部分 的取值范围是 . ③当点位于第三象限的阴影部分时：此时 ，则 ，故 . 当点 在 轴上时，； 当点 为 时（该点为大圆与小圆的公共点），. 故此部分 的取值范围是 . 综上所述， 的取值范围是 . 因为 ，所以 的值不可能是 . 6．方程表示的曲线是（     ） A．两条直线 B．一个圆 C．两个圆 D．两个半圆 【答案】D 【知识点】二元二次方程表示的曲线与圆的关系、由方程求曲线的图形 【分析】本题考查曲线方程的化简与识别.先由右边根式的非负性确定左边的取值范围，再两边平方转化为圆的标准方程，最后根据 y 的取值范围判断是整圆还是半圆. 【详解】因为右边，所以左边，即. 两边平方得，整理为. 选项A因为方程含平方项，不可能是直线，所以选项A错误. 当 时，方程化为，且，这是以 为圆心、1 为半径的上半圆. 当 时，方程化为，且，这是以为圆心、1 为半径的下半圆. 综上，方程表示两个半圆，所以选项D正确，选项B、C错误（不是完整的圆，受 限制）. 7．已知数列满足，且，则数列的前项和为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由递推关系式求通项公式、裂项相消法求和、构造法求数列通项 【分析】先由递推关系可得数列是首项为、公差为的等差数列，进而可得，再通过裂项相消求和可得. 【详解】已知递推式​​，两边同时取倒数得：， 即， 结合初值，即 ， 所以数列是首项为、公差为的等差数列. 根据等差数列通项公式得：， 所以， 所以. 因此数列的前项和为. 8．已知实数，，，满足，，，则2 的最大值为（    ） A． B．8+ C． D．10+ 【答案】C 【知识点】圆上点到定直线（图形）上的最值（范围） 【分析】设，是单位圆上的两点，且，利用点到直线的距离公式，推导出2 等于MN的三等分点C（靠近M）到直线的距离的倍，结合  算出CD长的最大值，进而可得所求答案. 【详解】由，， 可知点，在圆O：上， 因为，所以，即， 设直线l：，则2， 表示点M到直线l距离的2倍， ， 表示点N到直线l距离的倍， 根据题意，圆O：在直线l的下方， 故点M、N都在直线的下方， 取MN的三等分点C（靠近M），过M、N、C分别作直线l的垂线，垂足分别为A、B、D， 可得2 ， ， 不妨设，若过点N作交分别于，则， 所以， 所以2 ， 由， ，， 在中，由余弦定理得  ,得， 因为点O到直线l的距离， 所以点C到直线l的距离， 所以当CD经过原点O时， 2，取得最大值． 二．多选题：本题共3个小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全都选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知直线：，圆：，则下列结论正确的是（     ） A．过点且与直线平行的直线方程是 B．直线在两坐标轴上的截距相等 C．的取值范围为 D．当时，圆面积为 【答案】AC 【知识点】直线截距式方程及辨析、由两条直线平行求方程、由标准方程确定圆心和半径、二元二次方程表示的曲线与圆的关系 【分析】由平行设出直线方程，利用待定系数法求解判断A；求出横纵截距判断B；利用二次方程表示圆的条件列式判断C；求出圆的半径判断D. 【详解】对于A，设过点且与直线平行的直线方程为， 则，解得， 因此过点且与直线平行的直线方程是，A正确； 对于B，直线在轴上的截距分别为，它们不相等，B错误； 对于C，由圆：，即， 则，即，C正确； 对于D，当时，圆的半径，则圆的面积为，D错误. 10．下列说法正确的是（     ） A．直线必过定点 B．过点且在，轴截距互为相反数的直线方程为 C．已知直线与直线平行，则平行线间的距离是1 D．若直线：与直线：互相平行，则实数或3 【答案】AC 【知识点】已知直线平行求参数、直线截距式方程及辨析、直线过定点问题、求平行线间的距离 【分析】将直线整理为求出定点后可判断A；分截距为0和截距不为0两种情况讨论得到直线方程后判断B； 根据平行条件求出后利用平行线距离公式判断C；根据平行条件求后判断D. 【详解】对于A，将直线方程整理为，令，解得 ，所以直线过定点，A正确； 对于B，当直线在，轴截距为0时，此时直线方程为； 当直线在，轴截距不为0时，设直线方程为，又直线过，所以， 解得，所以直线方程为，B错误； 对于C，由平行条件可得，解得，直线可化为， 所以距离，C正确； 对于D，由得，解得或； 当时，：，：即，此时两直线重合，不符合题意； 当时，：，：，符合题意，D错误. 11．设为等差数列，且满足，，试选出正确的选项（    ） A．为等比数列 B． C． D． E． 【答案】ABE 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、利用等差数列的性质计算、由定义判定等比数列 【分析】由两个指数式反解出、及公差，再逐项算出、、；A只需说明相邻两项之比为常数，E利用"相邻项差求和即首末项之差"化为后与作对数化简比较． 【详解】设公差为，由、得、， 故． 对于A，为定值， 故，，，是公比为的等比数列，A正确． 对于B，，故，B正确． 对于C，，C错误． 对于D，，D错误． 对于E，， 而，两者相等，E正确． 第二部分（非选择题共92分） 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知数列的前项和，则数列的通项公式为__________． 【答案】 【知识点】利用an与sn关系求通项或项 【分析】利用求解. 【详解】时，； 时，， 时，不满足上式，所以. 13．若两直线与的交点在圆的内部，则实数的取值范围为_______． 【答案】 【知识点】求直线交点坐标、点与圆的位置关系求参数 【详解】联立直线方程，得，则交点， 交点在圆的内部，则，即， 展开整理得，解得， 故实数的取值范围为． 14．已知两定点，若直线上有一点满足，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【知识点】求点到直线的距离、轨迹问题——圆、由直线与圆的位置关系求参数、求平面轨迹方程 【分析】设点的坐标为，根据题意列出关于的关系式，化简可得点的轨迹方程，由此可得点的轨迹为圆.根据点在直线l上，知直线与该圆有公共点，据此求得实数的取值范围. 【详解】设点，化简得. 由此可知，点的轨迹为圆. 由于点在直线上，也在圆上，所以直线与圆有公共点. 所以，即，所以. 解得或. 所以实数的取值范围是. 四．解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知的三个顶点的坐标为、、． (1)求边的垂直平分线所在直线的截距式方程； (2)求的平分线所在直线的一般式方程； 【答案】(1) (2) 【知识点】直线的一般式方程及辨析、直线一般式方程与其他形式之间的互化、由两条直线垂直求方程、求直线的方向向量（平面中） 【分析】（1）先求的中点坐标，再由与垂直，则可得垂直平分线的一般方程，再转化为截距式即可； （2）由题可得方向的单位向量，同理可得方向的单位向量，然后可求的平分线所在直线的方向向量，接着即可得到直线斜率，进而得到一般方程. 【详解】（1）易知的中点为， ，边的垂直平分线的斜率为， 所以边的垂直平分线所在直线的一般式方程为：， 则截距式方程为． （2）因为，， ，， ， 即的平分线所在直线的一个方向向量为， 故的平分线所在直线的斜率为， 所以的平分线所在直线的一般式方程：． 16．已知数列的前项和为，且． (1)求的通项公式； (2)若数列满足，求的前项和． 【答案】(1) (2) 【知识点】求等差数列前n项和、求等比数列前n项和、分组（并项）法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）根据与的关系进行求解； （2）利用分组求和法及等差数列和等比数列前项和公式求解. 【详解】（1）当时，， 当时，， 时满足上式，所以； （2）当为奇数时，；当为偶数时，； 所以 17．在数列中，，． (1)证明：数列是等差数列； (2)求的通项公式； (3)若，记数列的前项和为，若对一切，不等式都成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明：设， 则， 即， 因为，所以， 则数列是首项为，公差为的等差数列. (2) (3) 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、由递推关系证明数列是等差数列、分组（并项）法求和、数列不等式恒成立问题 【分析】（1）构造新数列，算出，差值固定不变，满足等差数列定义，从而得证. （2）用等差数列通项公式写出，代入，变形得到，两边取倒数，直接写出通项. （3）拆分，分开用等比、等差求和公式算出前项和，化简不等式，转化为，设，作差法判断单调性，得出时最大值为，代入最大值计算，得到. 【详解】（1）略. （2）由（1）可得， ，解得. （3）因为， 依题意，， ， 则转化为， 即，也即， 因为不等式对一切恒成立，所以， 设， 因， 当时，，得， 当时， ，得， 当时，因，则 ，故单调递减， 则有，又， 故，则， 则实数的取值范围为. 18．已知平面直角坐标系中的点，，则满足的动点的轨迹记为圆． (1)求圆的方程； (2)已知，，三点，点在圆上运动，求的最大值与最小值之差． (3)直线与圆交于，两点，在轴上是否存在定点，使得？若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由； 【答案】(1). (2)16 (3) 【知识点】求平面两点间的距离、轨迹问题——圆、定点到圆上点的最值（范围）、由直线与圆的位置关系求参数、直线与圆中的定点定值问题 【分析】(1)设动点，依据的距离等式，两边平方化简整理，即可求得动点的轨迹圆的方程； (2)设，写出的坐标表达式，求和后结合圆方程消去，转化为关于的一次函数，利用的取值范围求最值，再计算最值之差； (3)假设轴上存在定点，联立直线与圆的方程，由韦达定理得到两根之和、两根之积，代入斜率条件化简，求解参数并验证，判断定点是否存在. 【详解】（1）设，由，，， 得， 两边平方：， 展开：， 整理得：， 所以圆的方程为. （2）设，由，，， ， ， ， ， 由点在圆上，，代入得， ， 圆中， 当时，取得最大值； 当时，取得最小值， 最大值与最小值之差为. （3）假设在轴上存在定点满足条件， 设，，联立， ， ，， 由，得， ，，当时，约去， ， 通分整理：， ， 代入，后两边同乘：， 化简，即，解得， 当时，直线与圆交于， 也满足，所以存在定点满足题意. 19．已知过点的直线l与圆相交于A，B两点． (1)求直线l的斜率的取值范围； (2)若A是线段BP的中点，求直线l的方程； (3)证明：为定值． 【答案】(1) (2)或 (3)设，已知， 则， 则， 由（2）可知， 则， 所以为定值． 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、圆的弦长与中点弦、直线与圆中的定点定值问题 【分析】（1）根据点斜式方程的概念，设出直线方程，联立方程组，根据有两个交点的条件，列出不等式，求出结果； （2）根据线段中点坐标的性质，列出方程，再联立方程组，以及韦达定理，求出直线斜率，写出直线方程； （3）根据两点之间的距离公式，以及韦达定理，联立方程组，列出方程，证明结果即可. 【详解】（1） 设直线l的方程为，当直线l与圆相交于A，B两点时， 得有两组不同的解，消去得， 化简得， 可知，化简得，解得， 所以直线l的斜率的取值范围是. （2）设，已知，当A是线段BP的中点时，可得， 化简得， 由（1）可知为方程的两个解， 则， 当时，， 化简得，解得， 所以直线l的方程或. （3）略 答案第1页（共3页） 答案第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年江苏省苏州市上学期期中自编模拟卷 高二数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：人教版A版选择性必修1第二章直线与圆和选择性必修2第一章数列。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一．选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分。每小题只有一个选项符合题目要求。 1．已知等差数列（）满足，，则（     ） A．4 B．7 C．8 D．2026 2．若经过，两点的直线的倾斜角为钝角，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 3．直线的方程为，则直线的倾斜角范围是（     ） A． B． C． D． 4．已知等比数列是递增数列，其前项积为，若，，成等差数列，，则当取最小值时，（    ） A．9 B．11 C．13 D．15 5．如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点P(x，y)是阴影部分(包括边界)的动点，则值不可能是（   ） A．- B．-1 C．0 D．1 6．方程表示的曲线是（     ） A．两条直线 B．一个圆 C．两个圆 D．两个半圆 7．已知数列满足，且，则数列的前项和为（     ） A． B． C． D． 8．已知实数，，，满足，，，则2 的最大值为（    ） A． B．8+ C． D．10+ 二．多选题：本题共3个小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全都选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知直线：，圆：，则下列结论正确的是（     ） A．过点且与直线平行的直线方程是 B．直线在两坐标轴上的截距相等 C．的取值范围为 D．当时，圆面积为 10．下列说法正确的是（     ） A．直线必过定点 B．过点且在，轴截距互为相反数的直线方程为 C．已知直线与直线平行，则平行线间的距离是1 D．若直线：与直线：互相平行，则实数或3 11．设为等差数列，且满足，，试选出正确的选项（    ） A．为等比数列 B． C． D． E． 第二部分（非选择题共92分） 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知数列的前项和，则数列的通项公式为__________． 13．若两直线与的交点在圆的内部，则实数的取值范围为_______． 14．已知两定点，若直线上有一点满足，则实数的取值范围是__________. 四．解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知的三个顶点的坐标为、、． (1)求边的垂直平分线所在直线的截距式方程； (2)求的平分线所在直线的一般式方程； 16．已知数列的前项和为，且． (1)求的通项公式； (2)若数列满足，求的前项和． 17．在数列中，，． (1)证明：数列是等差数列； (2)求的通项公式； (3)若，记数列的前项和为，若对一切，不等式都成立，求实数的取值范围． 18．已知平面直角坐标系中的点，，则满足的动点的轨迹记为圆． (1)求圆的方程； (2)已知，，三点，点在圆上运动，求的最大值与最小值之差． (3)直线与圆交于，两点，在轴上是否存在定点，使得？若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由； 19．已知过点的直线l与圆相交于A，B两点． (1)求直线l的斜率的取值范围； (2)若A是线段BP的中点，求直线l的方程； (3)证明：为定值. 试卷第1页（共2页） 试卷第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $