2026-2027学年高二上学期数学期中自编模拟卷（内蒙古适用）

2026-2027学年高二上学期期中自编模拟数学卷 （内蒙古地区人教B版教材使用）答案和解析 1.【答案】  【解析】设直线的倾斜角为，则由题可得，即，所以直线的倾斜角为． 2.【答案】  【解析】取的中点，连接，，，因为在中，是中位线， 所以，且， 所以或其补角就是异面直线与所成的角， 在中，，， 所以，，可得， 在中，，所以， 在中，由余弦定理，得， 所以，可得， 在中，， 所以异面直线与所成角的余弦值为． 故选C． 3.【答案】  【解析】解：将直线整理为斜截式得，其斜率为， 直线与该直线平行，直线的斜率，又直线过点， 代入点斜式得，化简得，对应选项。 4.【答案】  【解析】设直线与平面所成的角为， 则，所以． 故选：． 5.【答案】  【解析】【分析】 本题考查空间向量投影数量的概念和数量积运算及模长公式，属基础题． 求出和，代入投影数量公式计算即可． 【解答】 解：向量， ，， 向量在向量方向上的投影数量为． 故选D． 6.【答案】  【解析】【分析】本题考查了空间向量的综合知识，属于基础题． 根据基底的定义可判断 计算，可判断 根据空间共面向量的推论可判断 计算向量上方向相同的单位向量，判断． 【解答】 解：对于，向量， 空间内任一向量与，共面， 不存在向量可以与，构成空间的一个基底，故A错误， 对于，，， ， ，故B正确， 对于，点为平面上的一点，且， ，解得，故C错误， 对于，，，， 与方向相同的单位向量是，故D错误． 故选：． 7.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查了直线与圆的位置关系，利用斜率的几何意义求出取值范围，属于基础题． 将原问题转化为斜率问题，然后考查临界条件和直线与圆的位置关系即可得出取值范围． 【解答】 解：圆的方程化为，圆心，半径为， 过点作圆的切线，设切线方程为，即． 则，解得． 则的取值范围为． 故本题选C． 8.【答案】  【解析】略 9.【答案】  【解析】【分析】 本题考查命题的真假的判断以及直线两点式方程、直线的倾斜角和截距等，属基础题． 利用直线的点斜式判断的正误；结合直线的两点式方程判断的正误，利用直线的斜截式得到直线的斜率进一步判断的正误．求出截距得到三角形的面积判断的正误； 【解答】 解：、直线，过定点，所以A正确； B、当，时，过，两点的直线方程为，所以不正确； C、直线即为，斜率为，所以倾斜角为，C错误； D、直线在、两坐标轴上的截距分别为：，，与坐标轴围成的三角形的面积是：，所以D正确； 故选AD． 10.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查用向量法来解决面面平行，面面垂直、线面平行等问题，考查线面角，属于基础题． 解题的关键是掌握平面法向量的应用，根据平面的法向量与平面的关系依次判断即可得答案． 【解答】 解：、因为 ， 分别是两个不同平面，的法向量，所以      ，正确， B、 分别是平面 的法向量，若 ，则  ，所以 ，正确； C、 是平面的法向量， 是直线的方向向量，若 ，则方向向量 与法向量 垂直，直线平面或直线平面，错误． D、 是平面 的法向量， 是直线的方向向量，若 ，则与平面 所成角为，错误． 故本题选AB． 11.【答案】  【解析】解：以为轴，为轴，为轴建立直角坐标系， 则，，，，，，，， ，，由， 得点坐标为，且，，在正方体内部， 选项A分析， 平面的法向量为与平面的法向量相同， 若平面，则与平行，即， ，故： ，，， 解得，，对应点坐标在正方体内部， 此时，与法向量平行，故平面，选项A正确 选项B分析， 直线与平面所成角的正弦值为平面的法向量， ，计算得： 定值，，， 故， 当与重合时，，，故范围不是，选项B错误； 选项C分析， 因为，与异面，异面直线与的距离等于直线到平面的距离 因为平面，平面的法向量可求，，， 法向量，，则距离，选项C正确； 选项D分析， 时，到平面的距离为， 所以的轨迹为平面内以在平面内的垂足为圆心、半径的圆， 到的边的距离为， 该圆截得的三角形的边所得弦所对的圆心角为，共有三段， 所以在内的圆弧所对的圆心角的和为，所以点的轨迹长度为， 选项D正确． 故选ACD． 12.【答案】  【解析】【分析】 本题考查直线与圆相交的性质，涉及弦长的计算，属于基础题． 根据题意，由圆的方程可得圆的圆心，半径，求出圆心到直线的距离，即可得出的值． 【解答】 解：将圆化为标准方程，圆心，半径， 则圆心到直线的距离， 又因为半径， 故． 故答案为． 13.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查空间向量的运用，直线与平面所成角，空间向量的数量积，夹角之间的关系运用，考查分析和运用能力，属于中档题． 根据题意，设，则，再根据直线与平面的夹角为，得到与平面的法向量所成的夹角为，然后根据，带入数据建立方程，解出即可求解． 【解答】 解：根据题意，设，则， 直线与平面的夹角为， 直线与平面的法向量的夹角为， ， 变形整理得：， 解得， 故， 故答案为． 14.【答案】  【解析】【分析】 本题考查利用空间向量求二面角，属较难题． 以为坐标原点，，，所在直线分别为，，建立空间直角坐标系，易知是底面的法向量，设平面的法向量为，再由向量夹角的余弦公式可得结果． 【解答】 解：以为坐标原点，，，所在直线分别为，，建立空间直角坐标系，如图， 设， 所以，，， 所以， 设平面的法向量为， 所以 取，则，， 所以， 又易知是底面的法向量， 所以， 根据余弦函数性质，即求的最小值， 令， 所以当时，最小，此时 ， 故答案为 ． 15.【答案】【解】由点斜式方程，可知所求直线的方程为，化为一般式方程为． 由斜截式方程，可知所求直线的方程为，化为一般式方程为． 由两点式方程，可知所求直线的方程为，化为一般式方程为． 由截距式方程，可知所求直线的方程为，化为一般式方程为．   【解析】略 16.【答案】解：． ， ， 即的长为．  【解析】本题考查了空间向量的线性运算，空间向量数量积运算，属于基础题． 根据，求得； 根据，表示出，即可求解． 17.【答案】解：由底面是边长为的正方形， 底面，且，是棱的中点， 由图知，，， ，，，； 由知，直线，的方向向量分别为，， 因为，， 设是平面的一个法向量， 则，则， 故可取； 设直线与平面所成角为， 由，， 因，故直线与平面所成角为．  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 18.【答案】解：由圆的一般方程可化为， 若方程表示圆只需，所以的范围是， 由知圆的圆心为，半径为， 可化为， 故圆心为，半径为． 又两圆外切，所以，解得  由圆的圆心，半径为， 过圆心作直线的垂线，为垂足， 则， 又，知，  则， 解得．  【解析】本题考查圆的方程，圆与圆相切问题，直线与圆相交问题，属于中档题． 由方程配方为由于此方程表示圆，可得，解出即可；  先分别写出两个圆的圆心和半径，再由两圆相切的条件两圆心的距离等于半径之和便可求解； 求出圆心到直线的距离，由此利用已知条件，能求出实数的值． 19.【答案】解：依题意，可以建立以为原点，分别以，，的方向为轴、轴、轴正方向的空间直角坐标系如图， 可得，，，，． 设，则． 依题意，是平面的法向量， 又，可得，则， 又因为直线平面，所以平面． 依题意，，，． 设为平面的法向量， 则，即， 不妨令，可得． 因此有，． 所以，直线与平面所成角的正弦值为． 设为平面的法向量，， 则，即， 不妨令，可得 由题意，有，， 解得． 经检验，符合题意． 所以，线段的长为．   【解析】空间向量是解决立体几何问题的主要工具，因此，建立空间直角坐标系，求出相关点、相关向量的坐标是解决立体几何问题的关键． 以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，求得，，，，的坐标，设，得可得是平面的法向量，再求出，由，且直线平面，得平面； 求出，再求出平面的法向量，利用数量积求夹角公式得直线与平面所成角的余弦值，进一步得到直线与平面所成角的正弦值； 求出平面的法向量，由两平面法向量所成角的余弦值为，列式求线段的长． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二上学期期中自编模拟数学卷 （内蒙古地区人教B版教材使用） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.若直线过点，，则直线的倾斜角为(    ) A. B. C. D. 2.在直三棱柱中，，，是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为(    ) A. B. C. D. 3.若直线过点，且与直线平行，则直线的方程为 A. B. C. D. 4.在空间直角坐标系中，直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则直线与平面所成的角为(    ) A. B. C. D. 5.已知向量，，则向量在向量方向上的投影数量为(    ) A. B. C. D. 6.下列命题中正确的是(    ) A. 已知向量，则存在向量可以与，构成空间的一个基底 B. 若两个不同平面，的法向量分别是，，且，，则 C. 已知三棱锥，点为平面上的一点，且，则 D. 已知，与方向相同的单位向量是 7.已知圆的方程为，为圆上任意一点，则的取值范围是 (    ) A. B. C. D. 8.已知圆，直线，为上的动点，过点作圆的切线，，且切点为，，当最小时，直线的方程为(    ) A.                 B.              C.           D.   二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.下列说法正确的是(    ) A. 直线必过定点 B. 过，两点的直线方程为 C. 直线的倾斜角为 D. 直线与两坐标轴围成的三角形的面积是 10.下列命题中，正确的有(    ) A. ，分别是平面，的法向量，若，则 B. ，分别是平面，的法向量，若，则 C. 是平面的法向量，是直线的方向向量，若，则 D. 是平面的法向量，是直线的方向向量，若，，则与平面所成角为 11.在正方体中，，点为正方体内部含表面的点，且满足，，则下列说法正确的是(    ) A. 存在点使得平面 B. 直线与平面所成角的正弦值范围是 C. 异面直线与间的距离为 D. 当时，点的轨迹长度为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知直线与圆交于，两点，则          ． 13.在空间直角坐标系中，是平面的法向量，点在平面上，点在轴上，若直线与平面的夹角为，则点的坐标为__________． 14.如图，在棱长为的正方体中，是棱上的动点，是棱的中点．当平面与底面所成的锐二面角最小时，          ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程． 斜率是，且经过点； 斜率为，在轴上的截距为； 经过，两点； 在轴，轴上的截距分别是，． 16.本小题分 如图，在平行六面体中，，，，，，是的中点，设，，． 用，，表示； 求的长． 17.本小题分 已知四棱锥的底面是边长为的正方形，底面，且，是棱的中点，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系． 求点的坐标； 求直线的方向向量与平面的法向量； 求直线与平面所成角的大小． 18.本小题分 已知关于的方程． 若方程表示圆，求的取值范围； 若圆与圆外切，求的值； 若圆与直线相交于两点，且，求的值． 19.本小题分 如图，平面，，． 求证：平面； 求直线与平面所成角的正弦值； 若二面角的余弦值为，求线段的长． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $