精品解析：内蒙古杭锦后旗奋斗中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题

奋斗中学2025－2026学年第一学期期中考试 高二数学试题 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 直线的倾斜角为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线斜率的定义直接得出结果. 【详解】由题意知，直线方程可变形为， 所以直线的斜率为，设直线的倾斜角为， 则，解得. 故选：C 2. 已知直线和直线平行，则这两条线之间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据两平行线间的距离公式即可求解. 【详解】设两平行线间的距离为，则. 故选：B 3. 已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上的投影的数量为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由空间向量在向量方向上的投影为，运算即可的解. 【详解】由题意，，，， 则空间向量在向量方向上的投影为. 故选：B. 4. “”是“方程表示椭圆”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用方程表示椭圆求得，可得“”是“方程表示椭圆”的充分不必要条件. 【详解】由方程表示椭圆，可得，解得， 因为， 所以“”是“方程表示椭圆”的充分不必要条件. 故选：B. 5. 圆与圆的位置关系为（ ）． A. 内切 B. 相交 C. 外切 D. 外离 【答案】C 【解析】 【分析】分别计算得到两圆圆心和半径，根据得到答案. 【详解】，即，圆心，半径， ，圆心为，， ，故两圆外切. 故选：C. 6. 已知，，，则点A到直线BC的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量的模，向量的夹角及三角函数即可求出点到直线的距离. 【详解】由题意有：， 所以， 所以点A到直线BC的距离为， 故选：B. 7. 若直线与曲线恰有两个交点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先得到直线过定点，作出直线与曲线C，由图求出直线过点时的斜率和直线与曲线C相切时的斜率即可树形结合得解. 【详解】由可知直线过定点， 曲线两边平方得， 所以曲线C是以为圆心，半径为1且位于直线x轴上方的半圆， 当直线过点时，直线与曲线C有两个不同的交点，此时， 当直线与曲线C相切时，直线和圆有一个交点，圆心到直线的距离，两边平方解得， 所以结合图形可知直线与曲线C恰有两个交点，则. 故选：B. 8. 坐标平面上的点也可表示为，其中，为轴非负半轴绕原点逆时针旋转到与重合的旋转角．将点绕原点逆时针旋转后得到点，这个过程称之为旋转变换，已知旋转变换公式：，将曲线绕原点顺时针旋转后得到曲线，则曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据相关点法可求得曲线为椭圆，由椭圆离心率求法可得结果. 【详解】设曲线上一点，其绕原点顺时针旋转后对应的曲线上的点为， 则，， ， 整理可得：，即曲线的方程为：， ，，，曲线的离心率. 故选：B. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知是椭圆的两个焦点，点在上且不在轴上，则（ ） A. 椭圆的长轴长为10 B. 椭圆的离心率为 C. 椭圆的焦距为4 D. 的周长为18 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据椭圆方程写出长轴长、焦距、离心率，结合椭圆的定义求焦点三角形的周长，即可得答案. 【详解】由椭圆方程知：， 所以椭圆长轴长为，焦距，离心率，A、B对，C错； 的周长为，D对. 故选：ABD 10. 已知正方体的棱长为1，下列四个结论中正确的是（ ） A. 直线与直线所成的角为90° B. 直线与平面所成角的余弦值为 C. 平面 D. 点到平面的距离为 【答案】ABC 【解析】 【分析】以正方体的棱建立空间直角坐标系，然后得到点的坐标，由向量与向量数量积为0得到线线垂直；求出面的法向量，由求出线面角的正弦值，然后得到线面角的余弦值；由法向量与相等，证明平面；由向量的投影计算出点到面的距离. 【详解】在正方体，以为原点，分别为如图建立空间直角坐标系， 则，，，，，，， ∴，， ∵，∴，∴A选项正确； ∵，，设平面的一个法向量为， 则，令，解得，即， 设直线与平面所成角为， 则， ∴，∴B选项正确； ∵，∴平面，∴C选项正确； 点到平面的距离，∴D选项错误. 故选：ABC. 11. 已知圆M：，点P是直线上一动点，过点P作圆M的切线PA、PB，切点分别是A、B，下列说法正确的有（ ） A. 圆M上恰有一个点到直线l的距离为 B. 切线长PA的最小值为1 C. 四边形AMBP面积的最小值为1 D. 直线AB恒过定点 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据点到直线的距离公式，可得圆M上的点到直线l的最小和最大距离，分析可判断A的正误；根据切线长公式，结合圆心到直线的距离，分析可判断B的正误；根据B选项中的最小距离，代入面积公式，即可判断C的正误；求出点P的轨迹方程，与圆M方程联立，可得直线AB的方程，分析可判断D的正误. 【详解】对于A，由圆M：，可知圆心，半径r＝1， 所以圆心到直线的距离为， 圆M上的点到直线l的最小和最大距离分别为和， 由于，圆M上有两个点到直线l的距离为，故A错误； 对于B，由圆的性质可得切线长， 所以当最小时，有最小值， 又，所以 ，故B正确； 对于C，因为四边形AMBP面积为， 因为，所以四边形AMBP面积的最小值为1，故C正确； 对于D，设，由题可知点A，B在以PM为直径的圆上， 又，所以点P的轨迹为， 即， 又圆M：，即， 两式子相减得直线AB的方程为：，即， 令，得，即直线AB恒过定点，故D正确． 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知两条直线和互相垂直，则a等于________． 【答案】 【解析】 【分析】根据两直线垂直的结论求解即可. 【详解】由题意得，， 解得. 故答案为：. 13. 直线：被圆：截得的弦AB的长为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用点到直线的距离公式求出弦的弦心距即可求解. 【详解】由圆：，可得圆心，半径， 于是圆心到直线的距离， 从而得，所以弦的长为. 故答案为：. 14. 已知点P为直线与直线的交点，点Q为圆上的动点，则的取值范围______． 【答案】 【解析】 【分析】根据直线方程，可得和恒过定点，根据系数的关系，可得和垂直，即可得点P的轨迹方程D，分析可得圆C和圆D相离，根据两圆的位置关系，分析即可得答案. 【详解】又变形为，则恒过定点， 变形为，则恒过定点， 因为，所以， 则点P的轨迹是以和为直径端点的圆D（去除点）， 所以圆心，半径， 又圆C的圆心，半径， 所以两圆的圆心距， 则两圆相离， 所以的最大值为， 因为点不在圆D上， 所以的最小值大于， 则的取值范围是. 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 根据下列条件写出直线方程： （1）斜率是3，且经过点的直线方程； （2）原点与点关于直线对称，求直线的方程； （3）求经过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程． 【答案】（1）； （2）； （3）或． 【解析】 【分析】（1）将条件代入点斜式方程，即可得答案. （2）分析可得直线l为线段OA的中垂线，求出OA的中点坐标和OA的斜率，可得直线l的斜率，代入点斜式方程，整理即可得答案. （3）分别讨论截距为0和不为0两种情况，代入点坐标，求出方程，综合即可得答案. 【小问1详解】 直线斜率是3，且经过点，则直线方程为， 化为一般式方程为； 【小问2详解】 已知关于直线l的对称点为， 故直线l为线段OA的中垂线，求得OA的中点为， 且OA的斜率为，故直线l的斜率为2， 故直线l的方程为，化简可得：． 【小问3详解】 设该直线在两轴上截距为a，那么， ①当时，直线过原点，设直线方程为，代入点， 可得，则方程为，即； ②当时直线方程为，把代入求得． 则直线方程为， 由①②知所求直线方程是或． 16. 给定椭圆：，称圆心在原点，半径是的圆为椭圆的“准圆”．已知椭圆的一个焦点为，其短轴的一个端点到点的距离为． （1）求椭圆的方程； （2）若点，是椭圆的“准圆”与轴的两交点，是椭圆上的一个动点，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，可得c和a值，根据的关系，可得b值，即可得答案. （2）由（1）可得椭圆C的“准圆”方程，即可得A、B点坐标，设，根据数量积公式，可得表达式，根据m的范围，即可得答案. 【小问1详解】 由题意知，且，可得， 故椭圆的方程为． 【小问2详解】 由（1）得椭圆的“准圆”方程为，由题意不妨设，， 设，则有，，， 所以， 又，则， 所以的取值范围是． 17. 已知圆经过点，，且________.从下列3个条件中选取一个，补充在上面的横线处，并解答.①过直线与直线的交点；②圆恒被直线平分；③与轴相切. （1）求圆的方程； （2）求过点的圆的切线方程. 【答案】（1）选择见解析， （2）或 【解析】 【分析】（1）根据题意设出圆的一般方程或标准方程，对①②③逐个分析，求出圆的标准方程即可； （2）先判断点P在圆外，知切线有两条，分情况讨论求解即可. 【小问1详解】 选择①：联立，解得，所以， 设圆的方程为， 因为，，三点均在圆上， 所以，解得， 所以圆的方程为，即； 选择②：直线的方程可化为， 因为上式恒成立，所以，解得， 所以直线恒过定点，且为圆心， 所以， 所以圆的方程为； 选择③：设圆的方程为， 由题可得，解得， 故圆的方程为； 【小问2详解】 因为，所以点P在圆E外， ①若直线斜率不存在，直线方程为，圆心到直线的距离为5，满足题意； ②当直线斜率存在时，设切线的斜率为，则切线方程为， 即， 因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离， 所以，所以直线的方程为， 综上可得：过点的圆的切线方程为或. 18. 如图，在多面体中，四边形是边长为的正方形，平面平面，，，. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）线段上是否存在点，使得平面？若存在，指出点的位置并证明；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）存在，点为中点，证明见解析 【解析】 【分析】（1）先利用面面垂直的性质可得平面，再根据线面垂直的性质定理和判定定理证明即可； （2）建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，利用空间向量法求解即可； （3）设，由求出，再利用空间向量法求解即可. 【小问1详解】 因为平面平面，平面平面，，平面, 所以平面， 因为平面，所以， 因为四边形是正方形， 所以， 因为，平面，平面， 所以平面. 【小问2详解】 由（1）得平面，因为平面，所以，，两两垂直， 以为原点，为轴、 轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 因为，， 所以，. 则，，,，， 所以，， 设平面的一个法向量为， 则，取得， 因为平面，所以为平面的一个法向量，， 所以， 设平面与平面夹角为， 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值． 【小问3详解】 线段上存在点，点为中点，满足平面，证明如下： 设， 因为， 所以， 由（2）知平面的一个法向量为， 因为平面， 所以，解得， 所以线段上存在点，点为中点，满足平面. 19. 已知圆分别与、轴正半轴交于、两点，为圆上的动点． （1）若线段上有一点，满足，求点的轨迹方程； （2）过点的直线截圆所得弦长为，求直线的方程； （3）若为圆上异于的动点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：为定值． 【答案】（1） （2）或． （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意，设，，由向量的坐标运算可得的坐标，代入计算，表示出点的坐标，然后代入圆的方程，计算化简，即可得到轨迹方程； （2）根据题意，分直线的斜率存在于不存在讨论，然后结合圆的弦长公式代入计算，即可得到结果； （3）分别由直线的方程得到点的坐标，代入计算，即可证明. 【小问1详解】 根据题意，，． 设，，则，， 由于，所以， 得 将其代入，得， 故点的轨迹方程为． 【小问2详解】 根据垂径定理可得． ①当斜率不存在时，直线的方程为：， 直线截点轨迹所得弦长弦长为，符合题意； ②当斜率存在时，设直线， 圆心到直线的距离为，解得． 直线的方程为或． 【小问3详解】 设，则， 直线方程是，令，得， 直线方程是，令得， 所以 ． 即为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 奋斗中学2025－2026学年第一学期期中考试 高二数学试题 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 直线的倾斜角为（　　） A. B. C. D. 2. 已知直线和直线平行，则这两条线之间的距离为（ ） A. B. C. D. 3. 已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上的投影的数量为（ ） A. 2 B. C. D. 4. “”是“方程表示椭圆”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 圆与圆的位置关系为（ ）． A. 内切 B. 相交 C. 外切 D. 外离 6. 已知，，，则点A到直线BC的距离为（ ） A. B. C. D. 7. 若直线与曲线恰有两个交点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 坐标平面上的点也可表示为，其中，为轴非负半轴绕原点逆时针旋转到与重合的旋转角．将点绕原点逆时针旋转后得到点，这个过程称之为旋转变换，已知旋转变换公式：，将曲线绕原点顺时针旋转后得到曲线，则曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知是椭圆的两个焦点，点在上且不在轴上，则（ ） A. 椭圆的长轴长为10 B. 椭圆的离心率为 C. 椭圆的焦距为4 D. 的周长为18 10. 已知正方体的棱长为1，下列四个结论中正确的是（ ） A. 直线与直线所成的角为90° B. 直线与平面所成角的余弦值为 C. 平面 D. 点到平面的距离为 11. 已知圆M：，点P是直线上一动点，过点P作圆M的切线PA、PB，切点分别是A、B，下列说法正确的有（ ） A. 圆M上恰有一个点到直线l的距离为 B. 切线长PA的最小值为1 C. 四边形AMBP面积的最小值为1 D. 直线AB恒过定点 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知两条直线和互相垂直，则a等于________． 13. 直线：被圆：截得的弦AB的长为______. 14. 已知点P为直线与直线的交点，点Q为圆上的动点，则的取值范围______． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 根据下列条件写出直线方程： （1）斜率是3，且经过点的直线方程； （2）原点与点关于直线对称，求直线的方程； （3）求经过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程． 16. 给定椭圆：，称圆心在原点，半径是的圆为椭圆的“准圆”．已知椭圆的一个焦点为，其短轴的一个端点到点的距离为． （1）求椭圆的方程； （2）若点，是椭圆的“准圆”与轴的两交点，是椭圆上的一个动点，求的取值范围． 17. 已知圆经过点，，且________.从下列3个条件中选取一个，补充在上面的横线处，并解答.①过直线与直线的交点；②圆恒被直线平分；③与轴相切. （1）求圆的方程； （2）求过点的圆的切线方程. 18. 如图，在多面体中，四边形是边长为的正方形，平面平面，，，. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）线段上是否存在点，使得平面？若存在，指出点的位置并证明；若不存在，请说明理由. 19. 已知圆分别与、轴正半轴交于、两点，为圆上的动点． （1）若线段上有一点，满足，求点的轨迹方程； （2）过点的直线截圆所得弦长为，求直线的方程； （3）若为圆上异于的动点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $