江苏无锡湖滨中学2026-2027学年第一学期九年级10月学情自测数学卷

2026-2027学年第一学期10月随堂练习解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1.如图，点A,B,C是⊙O上的三点，若∠BAC=36°，则∠BOC的度数为(D) A.36 B.54 C.609 D.72° 【解析】选D。∠BAC是弧BC所对的圆周角，∠BOC是弧BC所对的圆心角。由圆周角定理， 同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，所以∠BOC=2∠BAC=2×36°=72°。 2.己知⊙O的半径为9cm,若OA=10cm,则点A与⊙O的位置关系是(A) A.点A在⊙O外 B.点A在⊙O上 C.点A在⊙O内 D.不能确定 【解析】选A。设点A到圆心O的距离为d=OA=I0cm,半径r=9cm。因为d>r,所以点A 在⊙O外。（点与圆的位置关系：d<r时点在圆内，d=r时点在圆上，d>r时点在圆外。） 3.己知圆心角为120°的扇形的半径为6，则扇形的弧长为(B) A.2元 B.4n C.12元 D.24元 【解析】选B。代入弧长公式l=nrR/180(n为圆心角度数，R为半径)：1=(120×π×6)/180= 4π。 4.如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E,∠ACD=60°，则∠BAD为(D) A.45° B.40 C.359 D.309 【解析】选D。∠ABD与∠ACD是同弧AD所对的圆周角，所以∠ABD=∠ACD=60°。因为 AB是直径，所以∠ADB=90°（直径所对的圆周角是直角）。在Rt△ABD中，∠BAD=90°-∠ABD =90°-60°=30°。 5.如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D,若⊙O的半径为5cm,AB=8cm,则CD的长是 (A) A.2cm B.3cm C.4cm D.5cm 【解析】选A。因为OC⊥AB,由垂径定理得AD=AB/2=4。连接OA,在Rt△OAD中，OD= V(OA-AD)=V(25-16)=3。所以CD=OC-OD=5-3=2(cm)。 6.如图，正五边形ABCDE内接于⊙O,点F在弧AE上，若∠FCD=70°，则∠FDC的度数为(C A.64 B.72° C.74° D.80° 【解析】选C。正五边形每条边所对的弧都等于360°÷5=72°。∠FCD是弧FD(不含C)所对的 圆周角，所以弧FE+弧ED=2∠FCD=140°，得弧FE=140°-72°=68°。于是弧FA=72°-68°= 4°。∠FDC是弧FC(不含D)所对的圆周角，而弧FC=弧FA+弧AB+弧BC=4°+72°+72°= 148°，所以∠FDC=148°÷2=74°。 7.如图，扇形OAB的圆心角为直角，边长为1的正方形OCDE的顶点C、D、E分别在OA、弧AB、 OB上，AF⊥ED,交ED的延长线于点F,则图中阴影部分面积是(A) A.V2-1 B.π/4-1 C.元/2-1 D.V2 【解析】选A。正方形边长为1，D在弧上，连接OD,则OD=√(1+1)=V2,即扇形半径OA= OB=V2。 连接OD。因为∠BOD=∠DOA=5°，扇形OAB关于射线OD成轴对称，所以曲边三角形 BED(左侧阴影)与曲边三角形CAD关于直线OD对称，面积相等。 于是阴影面积=曲边三角形BED面积+曲边三角形DAF面积=曲边三角形CAD面积+曲 边三角形DAF面积=矩形CDFA的面积。 由AF⊥ED,ED∥OA,得AF⊥OA:又CD⊥OA(正方形)，所以四边形CDFA是矩形，其面 积=CD×CA=1×(OA-OC)=1×(V2-1)=V2-1。 8.如图，在直角坐标系中，点O为坐标原点，一条圆弧经过A(0,3),B(2,3),C(3,2)三点，则下列说 法正确的是(C) A.这条圆弧所在圆的半径为5/2 B.点M(3,0)在这条圆弧所在圆外 C.这条圆弧所在圆的圆心为(1,1) D.原点O(0,0)在这条圆弧所在圆上 【解析】选C。圆心必在弦AB的垂直平分线上，A(0,3)、B(2,3),故圆心横坐标为1。设圆心为 (1,m),由圆心到A、C的距离相等：12+（3-m)=(3-1)2+(2-m)2,展开得10-6m=8-m,解 得m=1。所以圆心为(1,1)，半径=12+22=5，半径=V5。 逐一检验：A错，V5≠5/2：B错，M(3,0)到圆心(1,1)的距离=V(4+1)=V5=半径，M在圆 上而不在圆外：C正确：D错，O(0,0)到圆心的距离=V2≠V5,O不在圆上。 9.如图，AB是⊙O的直径，C,D是⊙O上的点，∠CDB=25°，过点C作⊙O的切线交AB的延长 线于点E,则∠E等于(B) A.30 B.409 C.50 D.609 【解析】选B。连接OC。∠CAB与∠CDB是同弧CB所对的圆周角，所以∠CAB=∠CDB= 25°。因为OA=OC,所以∠OCA=∠0AC=25°，∠AOC=180°-25°-25°=130°。所以∠C0E= 180°-130°=50°（邻补角）。 因为CE是⊙O的切线，OC是半径，所以OC⊥CE,即∠OCE=90°。在Rt△OCE中，∠E= 90°-∠C0E=90°-50°=40°。 10.如图，在平面直角坐标系中，点A,B在反比例函数y=k/x(k>0,x>0)的图象上，分别以点A、 B为圆心，1/2为半径作圆，当⊙A与y轴相切，⊙B与c轴相切时，连接AB。若AB=3W22,则 k的值为(D) A.1/2或1 B.2 C.V2 D.1 【解析】选D。⊙A与y轴相切，半径为1/2，所以点A到y轴的距离为1/2，即A的横坐标为1/2： 又A在y=/c上，所以A(1/2,2k)。同理，⊙B与x轴相切，B的纵坐标为1/2，所以B(2k,1/2)。 由两点间距离公式：AB=(2k-1/2)2+(2k-1/2)=2(2k-1/2)。令其等于(3V2/2)2=9/2,得 (2k-1/2)=9/4,所以2k-1/2=3/2或2k-1/2=-3/2,解得k=1或k=-1/2。因为k>0,舍去负 值，所以k=1。 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11.如图，点P是⊙O上一点，若∠AOB=70°，则∠APB=145°。 【解析】由图可知，点P在劣弧AB上。在优弧上任取一点Q,连接AQ、BQ,则∠AQB是劣弧 AB所对的圆周角，∠AQB=70°/2=35°。四边形AQBP是圆内接四边形，对角互补，所以∠APB= 180°-35°=145°。 12.己知圆锥的底面圆半径为3cm,母线长为4cm,则圆锥的侧面积是12πcm。 【解析】圆锥的侧面展开图是一个扇形，扇形半径等于母线长1=4，弧长等于底面圆周长2πr= 6π。所以S侧=5×1×弧长=为×4×6元=12元(cm)。也可直接用公式S侧=πrl=元×3×4=12元 (cm2)。 13.一条弦把圆分成5：7两部分，则这条弦所对的圆周角的度数为75°或105°。 【解析】圆周角为360°，两段弧的度数分别为360°×5/12=150°和360°×7/12=210°。当圆周角 的顶点在优弧上时，它所对的是150°的劣弧，圆周角=150/2=75°：当顶点在劣弧上时，它所对的是 210°的优弧，圆周角=210°/2=105°。所以填75°或105°。 14.如图，在2×3的网格图中，每个小正方形的边长均为1，点A,B,C,D都在格点上，线段CD与弧 AC交于点E,则弧AE的长度为V5π/4。 【解析】以网格左下角为原点建立平面直角坐标系，则A(1,0),B(1,1),C(3,1),D(0,2)。由图 可知弧AC经过A、B、C三点。因为AB⊥BC(AB竖直、BC水平)，∠ABC=90°，由"90°的圆周角 所对的弦是直径"知AC是弧AC所在圆的直径。由勾股定理AC=V(2+1)=V5,所以半径为 V5/2,圆心O为AC的中点(2,1/2)。 求交点E:E在线段CD上，由D(0,2)、C(3,1)可设E(3t,2-t)。由O'E=V5/2得(3t-2)2+ (3/2-t)2=5/4,展开整理得10t2-15t+5=0,即2t2-3t+1=0,解得t=1(此时E与C重合，舍去) 或t=1/2,所以E(3/2,3/2)。 连接O'A、OE、AE。则O'A=V5/2,OE=V5/2,AE=V(1/2)2+(3/2))=V10/2。因为OA +O'E=5/4+5/4=5/2=AE,由勾股定理的逆定理得∠AOE=90°。 所以弧AE的长度l=90π×(V5/2)/180=V5π/4。 15.如图，AB是⊙O的直径，⊙O的弦AC=6cm,弦BC=8cm,∠ACB的平分线交⊙O于点D,则 BD长是5V2cm。 【解析】因为AB是直径，所以∠ACB=90°，AB=V(6+8)=10。CD平分∠ACB,所以 ∠ACD=45°。∠ABD与∠ACD是同弧AD所对的圆周角，所以∠ABD=∠ACD=45°。又∠ADB =90°（直径所对圆周角），所以在等腰Rt△ABD中，AD=BD。由勾股定理AB=AD+BD= 2BD2,BD=10/V2=5V2(cm). 16.如图，在平面直角坐标系中，⊙O的半径是1，直线AB:y=x+b与x轴交于点P(a,0),若直线 AB与⊙O有公共点，则a的取值范围是-√2≤a≤V2。 【解析】直线y=x十b经过点P(a,0),代入得b=-a,所以直线为y=x-a,即x-y-a=0。圆 心O(0,0)到该直线的距离d=-a/W2=a/W2。直线与⊙O有公共点台d≤半径1，即aW2≤ 1,|a≤V2,所以-V2≤a≤V2。 17.如图，在△ABC中，∠C=90°，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F。若BD=10,AD =3,则AC/BC=5/12。 【解析】D在斜边AB上，AD=3,BD=10,所以AB=13。由切线长定理，从同一点出发的两条 切线长相等：A处切线长为3，B处切线长为10。设顶点C处的切线长为c,则AC=3+x,BC=10 +x。 因为∠C=90°，由勾股定理：（3+x)2+(10+x)=132,展开得2x2+26x-60=0,即x2+13x 30=0,（x+15)(x-2)=0,解得x=2(x=-15舍去)。 所以AC=5,BC=12,AC/BC=5/12。 18.如图，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，AB=3,则以B为圆心，1为半径的⊙B与直线AC的位 置关系是相离；点E为菱形ABCD所在平面内一动点，且CE=V3,连接AE,BE,取AE的 中点P,连接BP,则线段BP的最小值为(3-V3)/2。 【解析】 第一空：菱形ABCD中，AB=BC=3,∠ABC=120°，所以∠BAC=∠BCA=30°（等腰三角形 两底角相等)。过B作BH⊥AC于H,则B到直线AC的距离BH=AB.sin∠BAC=3×1/2=3/2。 因为3/2>1（半径），所以⊙B与直线AC相离。 第二空：取AC的中点M,连接PM、BM。因为P是AE的中点，M是AC的中点，所以PM是 △ADC的中位线，PM=CE/2=V3/2。即点P在以M为圆心、V3/2为半径的圆上运动。 在等腰△ABC中，M是底边AC的中点，所以BM⊥AC,且BM平分∠ABC,∠ABM=60°， BM=AB.Cos∠ABM=3×1/2=3/2。 由"圆外一点到圆上各点的距离中，最短距离=该点到圆心的距离一半径"（三点共线时取得）， BP>≥BM-PM=3/2-V3/2=(3-V3)2。当M、P、B三点共线且P在线段MB上时取等号（此时 对应的点E存在)。所以BP的最小值为(3-V3)/2。 三、解答题（本大题共8小题，共66分） 19.(本题8分)如图，A,B,C,D是半径为5的⊙O上的点，∠AOB=∠COD,BD=8。 (1)求证：AC=BD: 【解析】因为∠AOB=∠COD,由"同圆中，相等的圆心角所对的弧相等"得弧AB=弧CD。两 边同加弧BC,得弧AB+弧BC=弧CD+弧BC,即弧AC=弧BD。再由"同圆中，等弧对等弦"， 得AC=BD。 (2)若E为AC的中点，求BE的长。 由(1)知AC=BD=8。连接OE。因为OA=OC,△OAC是等腰三角形，E为底边AC的中 点，由等腰三角形"三线合一"，OE⊥AC,且AE=AC/2=4。 在Rt△AOE中，OE=V(OA-AE)=V(25-16)=3。 由图可知，点E恰在半径OB上(E为AC与OB的交点)，所以BE=OB-OE=5-3=2。 20.(本题8分)如图，AB是⊙O的直径，点C,D是直径AB上方半圆上两点，且OD∥AC,OD与 BC交于点E。 (1)求证：E为BC的中点； 【解析】因为AB是直径，O为AB的中点。在△ABC中，O是AB的中点，且OE即OD所在直 线)∥AC,由平行线分线段成比例（三角形中位线定理的逆用），E必为BC的中点。 (2)若AC=6,DE=2,求BC。 连接OE。由(1)E是弦BC的中点，O是圆心，由垂径定理的推论（平分弦（不是直径）的直径垂 直于弦)，OE⊥BC。 又OE是△ABC的中位线，OE=AC/2=3。所以OD=OE+DE=3+2=5,即⊙O的半径为 5,AB=10。 连接OB,在Rt△OEB中（∠OEB=90°)，BE=V(OB-OE2)=V(25-9)=4。所以BC= 2BE=8。 21.(本题8分)如图，AB是⊙O直径，点D是弦AC延长线上一点，且CD=AC,DB延长线交⊙O 于点E。 (1)求证：CD=CE: 【解析】因为AB是直径，所以∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角）。D在AC的延长线上， 所以∠BCD=180°-90°=90°。 在△ABC和△DBC中：AC=DC,∠ACB=∠DCB=90°，BC=BC(公共边)，所以△ABC≌ △DBC(SAS)。所以AB=DB,∠BAC=∠BDC。 因为AB=DB,所以在△ABD中，∠BAD=∠BDA(等边对等角)。又∠BAD=∠BAC(D、A、C 共线)，所以∠BDA=∠BAC。 ∠CED是弧CB所对的圆周角，∠CED=∠CAB(D、B、E共线，∠CED即∠CEB)。所以 ∠CDE=∠CDB=∠BAC=∠CED。在△CDE中，由等角对等边得CD=CE。 (2)若∠ABE=50°，求∠E的度数。 因为D、B、E共线，∠ABD=180°-∠ABE=130°。在△ABD中，AB=DB,所以∠BAD= ∠BDA=(180°-130°)/2=25°。 所以∠BAC=∠BAD=25°。而∠E=∠CED=∠CAB(同弧CB所对的圆周角)，所以∠E=25°。 22.(本题8分)如图，在△ABC中，AB=AC,以AB为直径的⊙O分别交BC、AC于点D、E,连接 EB,交OD于点F。 (1)求证：OD⊥BE: 【解析】AB是直径，点D在圆上，所以∠ADB=90°，即AD⊥BC。又AB=AC,由等腰三角形 "三线合一"，D是BC的中点。O是AB的中点，所以OD是△ABC的中位线，OD∥AC。 AB是直径，所以∠AEB=90°，即BE⊥AC。由OD∥AC,得OD⊥BE。 (2)若F=4,DF=2,求△ABC的面积。 OD是△ABC的中位线，所以OD=AC/2。设⊙O的半径为T,则AB=AC=2r,OD=r,OF =OD-DP=r-2。 连接OE,点E在⊙O上，OE=r。由(1)OD⊥BE于F,所以∠OFE=90°。 在Rt△OEF中：OE=OF2+EF2,即r2=(r-2)2+42,展开得2=r2-4r+4+16,解得r=5。 所以OD=5,OF=3,AB=AC=10。 因为OF⊥BE,O为圆心，由垂径定理，BE=2V(OB2-OF)=2×V(25-9)=2×4=8,所 以BF=BE-EF=8-4=4。 在Rt△BDF中，BD=V(BF2+DF2)=V(16+4)=2W5,所以BC=2BD=4V5。 在Rt△ABD中，AD=V(AB2-BD)=V(100-20)=4V5。 所以S△ABC=%BCAD=为×4V5×4V5=40。 23.(本题8分)如图，AB是半圆的直径，点O为圆心，C是半圆上一点，连接AC。 (1)用无刻度的直尺和圆规作图：在半圆上确定一点P,使得弧PB=弧PC(保留作图痕迹)： 【解析】作法：连接BC,作线段BC的垂直平分线，与半圆弧交于点P,点P即为所求。 理由：点P在线段BC的垂直平分线上，所以PB=PC,由"同圆中，等弦对等弧"得弧PB=弧 PC。 (2)在(1)的条件下，连接PB,PC,若AB=10,AC=6,求四边形ABPC的面积。 AB是直径，所以∠ACB=90°，BC=V(AB2-AC)=V(100-36)=8。 连接OP,设OP交BC于点M。因为弧PB=弧PC,P为弧BC的中点，由"平分弧的直径垂直 平分弧所对的弦"（垂径定理），OP⊥BC且M为BC中点，BM=4。 ∠BOC是弧BC所对的圆心角，∠BAC是弧BC所对的圆周角，所以∠BOC=2∠BAC,∠BOM =∠BOP=∠BAC。 在Rt△ABC中，sin∠BAC=BCAB=8/10=4/5,cos∠BAC=AC/AB=6/10=3/5。 在Rt△BOM中：BM=OB,sin∠BOM=5×4/5=4(与垂径定理结果一致)，OM= OB-cos∠BO1M=5×3/5=3。 所以P1M=OP-OM=5-3=2。 S△PBC=%BC·PM=%×8×2=8,S△ABC=%BCAC=为×8×6=24。 点A与点P在弦BC的两侧，所以S四边形ABPC=S△ABC+S△PBC=24+8=32。 24.（本题8分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径作⊙O,交AB于点D,E为BC的 中点，连接DE并延长，交AC的延长线于点F。 (1)求证：DF是⊙O的切线： 【解析】连接OD、CD。AC是直径，D在⊙O上，所以∠ADC=90°，即CD⊥AB。又∠ACB= 90°，D在AB上，所以∠BDC=180°-∠ADC=90°。 B为Rt△BDC斜边BC的中点，由"直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半"，DB=CE= BC/2,所以∠EDC=∠ECD(等边对等角)。 又OD=OC(半径)，所以∠ODC=∠OCD。 于是∠ODE=∠ODC+∠CDE=-∠OCD+∠DCE=∠OCE. 因为点O在AC上、点E在CB上，∠OCE=∠ACB=90°，所以∠ODE=90°，即OD⊥DF。 又OD是⊙O的半径，所以DF是⊙O的切线。 (2)若CF=2,DF=4,求⊙O的半径。 连接OF。由(1)DF是切线，所以∠ODF=90°。设⊙O的半径为r。 在Rt△ODF中，由勾股定理：OF2=OD+DF2=2+16。 因为点F在AC的延长线上，O、C、F三点共线，所以OF=OC+CF=r+2。 所以(r+2)=r2+16,展开得2+4r+4=r2+16,解得4r=12,r=3。 即⊙O的半径为3。 25.(本题8分)如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，过点C作⊙O的切线，交BA的延长线于 点D,CE⊥AB,垂足为E。 (1)求证：CA平分∠DCE: 【解析】连接OC。因为CD是⊙O的切线，OC是半径，所以OC⊥CD,∠DCA+∠ACO=90°。 因为CE⊥AB,所以∠AEC=90°，在Rt△ACE中，∠ECA+∠A=90°。 又OA=OC,所以∠ACO=∠A(等边对等角). 所以∠DCA=90°-∠ACO=90°-∠A=∠ECA,即CA平分∠DCE。 (2)解：由(1)得∠DCA=∠OBC=25°，：OC=OB,∴.∠OCB=∠OBC=25°，∴.∠BOC=180° -25°-25°=130°，∴.∠A0C=180°-130°=50°。 :AB=6,.⊙0的半径r=6=3, 2 AC的长为：50×xx3=5x 1806 26.（本题10分)如果一个四边形的四个顶点在同一个圆上，我们就称这个四边形为圆内接四边形。 (1)下列选项中，一定是圆内接四边形的是③④。（填序号） ①平行四边形：②菱形：③矩形：④正方形 【解析】填③④。矩形和正方形的对角线相等且互相平分，对角线的交点到四个项点的距离都等 于对角线的一半，故四个顶点一定共圆：平行四边形和菱形的对角线虽然互相平分但不一定相等，交 点到四个顶点的距离不一定相等，故不一定共圆。 (2)如图，y=(V3/3)c+1与x轴交于点A,与y轴交于点B,点C在x轴的正半轴上，点D在y轴 负半轴上，若A、B、C、D四点共圆。 ①设△AOD、△BOC、四边形ABCD的面积分别为S1、S2、S,且满足VS=√S1+VS2,试判断 △BOC的形状，并说明理由。 令x=0得y=1,所以B(0,1):令y=0得x=-V3,所以A(-V3,0)。故OA=V3,OB=1。设 OC=c,OD=dc>0,d>0)。 因为对角线AC在x轴上、BD在y轴上，AC⊥BD,所以： S=ACBD=⅓(V3+c)(1+d),S1=%.OAOD=⅓W3·d,S2=%OBOC=kco 由VS=VS1+VS2,两边平方得S=S1+S2+2W(S1S2),即S-S1-S2=2W(S1S2). 计算左边：S-S1-S2=%(V3+V3d+c+cd)-W3d-⅓c=(V3+cd)。 计算右边：2W(S1S2)=2V(4V3cd)=V(V3cd)。 所以⅓(V3+cd)=V(W3cd),即(W3-V(cd)P=0,得cd=V3。 连接AB、CD。∠CAB与∠CDB是同弧CB所对的圆周角，∠ABD与∠ACD是同弧AD所对 的圆周角，所以∠OAB=∠ODC,∠OBA=∠OCD,故△OAB~△ODC。 所以OA/OD=OB/OC,即OA:OC=OBOD,得V3c=1×d,d=V3c。 代入cd=V3:V3c2=V3,c=1。所以OC=OB=1。 又∠BOC=90°，所以△BOC是等腰直角三角形。 ②在①的条件下，△BOC绕点O顺时针旋转，得到△BOC。设旋转角为(0°<a≤180°)，记直 线AC与DB的交点为E,连接EA,求线段EA的最大值。 由①知OB=OC=1,∠BOC=90°。旋转不改变图形的形状和大小，所以OB=OC=1,∠B OC=90°。 第一步：证明∠AED=90°。 点D绕点O顺时针旋转90°恰好得到点A(因为OD=OA=V3,∠DOA=90):同理，点B绕点 O顺时针旋转90°恰好得到点C(∠BOC=90°，OB=OC)。于是，把直线DB绕点O顺时针旋 转90°，两个点D、B分别落在A、C处，即直线DB旋转90°后与直线AC重合。旋转角为90°，所以 直线AC与直线DB的夹角为90°，即AC⊥DB,∠AED=90°。 第二步：证明∠OEA=45°。 连接OA、OD。∠AOD=90°，∠AED=90°，所以A、O、D、E四点共圆，且AD是该圆的直径。 在同圆中，同弧OA所对的圆周角相等，所以∠OEA=∠ODA。而△AOD中OA=OD,∠AOD= 90°，是等腰直角三角形，∠ODA=45°，所以∠OEA=45°。 第三步：用OH表示AE。 作OH⊥AE于H。在Rt△OEH中，∠OEH=45°，所以EH=OH。在Rt△OAH中，AH= V(OA-OH)=V(3-OH)。 AE2=(AH+EH)=AH2+EH2+2.AH.EH=(3-OH)+OH2+2V((3-OH).OH)= 3+2W(OH.(3-OH). 第四步：求OH的最大值。 直线AE就是直线AC,它与⊙O有公共点C,所以圆心O到直线AE的距离不超过半径，即0 ≤OH≤1。 记t=OH(0≤t≤1)，则OH.(3-OHP)=t(3-t)=3t-tP。当0≤t<t≤1时，(3t-t) (3t-t)=（t-t)(3-t-t)>0(因为t+t≤2<3)，所以3t-随t的增大而增大。 故当OH=1,即直线AC与⊙O相切时（此时直线DB也与⊙O相切，该位置在旋转过程中可 取到)，AE取得最大值： AE2=3+2W(1×2)=3+2W2=(1+√2)2， 所以线段EA的最大值为1+V2。2026~2027学年第一学期江苏无锡湖滨中学随堂练习 九年级数学(10月) 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目 要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卷相应位置上) 1.如图，点A,B,C是⊙O上的三点，若∠BAC=36°，则∠BOC的度数为(） A.36 B.54 C.60° D.72°； 2.己知⊙O的半径为9cm,若OA=10cm,则点A与⊙O的位置关系是() A.点A在⊙O外 B.点A在⊙O上 C.点A在⊙O内 D.不能确定； 3.已知圆心角为120°的扇形的半径为6，则扇形的弧长为() A.2π B.4π C.12π D.24π； 4.如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E,∠C=60°，则∠BAD为() A.45° B.40° C.35 D.30°； 40 0 D B C 第1题图 第4题图 第5题图 第6题图 5.如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D,若⊙O的半径为5cm,AB=8cm,则CD的长是() A.2cm B.3cm C.4cm D.5cm; 6.如图，正五边形ABCDE内接于⊙O,点F在弧AE上.若∠FCD=70°，则∠FDC度数为() A.64 B.72 C.74° D.80°； 7.如图，扇形OAB的圆心角为直角，边长为1的正方形OCDE的顶点C、D、E分别在OA、AB、OB 上，AF⊥ED,交D的延长线于点F则图中阴影部分面积是() A.√/2-1 B子-1 c5-1 D.√2-1； 第7题图 第1页共5页 8.如图，在直角坐标系中，点O为坐标原点，一条圆弧经过A(0,3),B(2,3),C3,2)三点，则下列说法 正确的是() A.这条圆弧所在圆的半径为5 B.点M(3,0)在这条圆弧所在圆外 C.这条圆弧所在圆的圆心为(1,1) D.原点O(0,0)在这条圆弧所在圆上； 9.如图，AB是⊙O的直径，C,D是⊙O上的点，∠CDB=25°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于 点E,则∠E等于() A.30 B.40° C.50° D.60°； 10.如图，在平面直角坐标系中，点A,B在反比例函数y=上(>0，x>0)的图象上，分别以点A、B 为圆心，子为半径作圆，当⊙A与y轴相切，⊙B与轴相切时，莲接AB.若AB=32,则k的值为 2 () A之或1 B.2 C.√2 D.1; y不 B O第8题图 第9题图 第10题图 二、填空题（每小题3分，共24分。不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卷相应位置上） 11.如图，点P是⊙O上一点，若∠AOB=70°，则∠APB= 12.已知圆锥的底面圆半径为3cm,母线长为4cm,则圆锥的侧面积是 13.一条弦把圆分成5：7两部分，则这条弦所对的圆周角的度数为 14.如图，在2×3的网格图中，每个小正方形的边长均为1，点A,B,C,D都在格点上，线段CD与弧 AC交于点E,则图中弧AE的长度为 D 第11题图 第14题图 第2页共5页 15.如图，AB是⊙O的直径，⊙O的弦AC=6cm,弦BC=8cm,∠ACB的平分线交⊙O于点D,则BD 长是 cm.; 16.如图，在平面直角坐标系中，⊙O的半径是1，直线AB:y=x+b与x轴交于点P(a,0),若直线AB与 ⊙O有公共点，则a的取值范围是 y. B D 第15题图 第16题图 17.如图，在△ABC中，∠C=90°，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F.若BD=10,AD=3, 则品 18.如图，在菱形ABCD中∠ABC=120°，AB=3,则以B为圆心，1为半径的⊙B与直线AC的位置关系 是 :点E为菱形ABCD所在平面内一动点，且CE=√，连接AE,BE,取AB的中点 P,连接BP.则线段BP最小值为 第17题图 第18题图 三、解答题（本大题共8小题，共66分。请在答题卷指定区域作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演 算步骤) 19.(本题8分)如图，A,B,C,D是半径为5的⊙O上的点，∠AOB=∠COD,BD=8. (1)求证：AC=BD; (2)若E为AC的中点，求BE的长.； 第3页共5页 20.(本题8分)如图，AB是⊙O的直径，点C,D是直径AB上方半圆上两点，且OD∥AC,OD与BC 交于点E (1)求证：E为BC的中点： (2)若AC=6,DE=2,求BC.; 21.(本题8分)如图，AB是⊙O直径，点D是弦AC延长线上一点，且CD=AC,DB延长线交⊙O于点 E. (1)求证：CD=CE; (2)若∠ABE=50°，则∠E= 22.(本题8分)如图，在△ABC中，AB=AC,以AB为直径的⊙O分别交BC,AC于点D,E,连接 EB,交OD于点F, (1)求证：OD⊥BE: (2)若EF=4,DF=2,求△ABC的面积.； 23.(本题8分)如图，AB是半圆的直径，点O为圆心，C是半圆上一点，连接AC (1)用无刻度的直尺和圆规作图：在半圆上确定一点P,使得PB=PC(保留作图痕迹)： (2)在(1)的条件下，连接PB,PC,若AB=10,AC=6,求四边形ABPC的面积； 第4页共5页 24.(本题8分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径作⊙O,交AB于点D,E为BC的中 点，连接DE并延长交AC的延长线于点F (1)求证：DF是⊙O的切线： (2)若CF=2,DF=4,求⊙O的半径： 25.(本题8分)如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，过点C作⊙O的切线，交BA的延长线于点 D,CE⊥AB,垂足为E. (1)求证：CA平分∠DCE. (2)(2)若∠DCA=25°，AB=6,求AC的长， 26.(本题10分)如果一个四边形的四个项点在同一个圆上，我们就称这个四边形为圆内接四边形 (1)下列选项中，一定是圆内接四边形的是·（填序号） ①平行四边形；②菱形；③矩形；④正方形 【2)如图，y三Y3”+1与x轴交于点4，与y轴交于点B,点C在x轴的正半轴上，点D在y轴负半抽 上，若A、B、C、D四点共圆。 ①设△AOD、△BOC、四边形ABCD的面积分别为S1、S2、S,且满足：√5=√S1+√S,试判断 △BOC的形状，并说明理由. ②在①的条件下，△BOC绕点O顺时针旋转，得到△B1OC1.设旋转角为Q(0°<（≤180），记直线AC1 与DB1的交点为E,连接EA,求线段EA最大值.； 第5页共5页