专题01 排列组合问题及其综合应用（专项训练）数学人教B版高二选择性必修第二册

专题01 排列组合问题及其综合应用 题型01 排列、组合数的运算问题 1． 【答案】D 【详解】. 2． 【答案】A 【分析】根据排列数、组合数及组合数的性质计算即可. 【详解】由，得， 因为且，所以，解得. 当时，， 故. 3． 【答案】B 【详解】，， 故分子为，又， 因此原式. 4． 【答案】A 【分析】先利用组合数性质求出的值，再利用组合数的性质计算即可. 【详解】因为，则， 所以 . 5． 【答案】C 【分析】由组合数的性质、排列数、组合数的计算公式可判断ABCD，或通过展开式中的系数可判断D. 【详解】选项A：由组合数性质知，，故A正确； 选项B：当时，，故B正确； 选项C： ，故C错误； 选项D：法一、直接计算， 法二、展开式中的系数： 右边： . 左边：. 即，故D正确. 6． 【答案】BCD 【详解】对于A选项，由组合数的性质可得，故A错误； 对于B选项，，故B正确； 对于C选项，，故C正确； 对于D选项，，故D正确. 7． 【答案】AD 【详解】A.根据组合数的对称性可知，，故A正确； B. ，故B错误； C.， ，所以，故C错误； D.因为， 两边取导数得，， 令，得，故D正确. 8． 【答案】4 【分析】根据排列和组合公式求解即可. 【详解】因为， 所以， 解得或， 由题意可得，解得， 所以. 题型02 特殊元素优先法 1. 【分析】由分类计数加法原理计算即可． 【详解】若未被选中，则有种安排方法， 若被选中，则有种安排方法， 故共有种安排方法 2. 【答案】ABD 【详解】直接法：若乙安排在周一，则有种不同的排法； 若乙不安排在周一，则甲、乙可以安排在除周一和周三外的任何位置，有种不同的排法． 故所有符合题意的方法共有种，所以选项D正确． 3. 【答案】B 【详解】安排B项工作的人数分为两类， 第一类，B项工作仅安排1人，因为甲不参加B项工作，乙必须参加D项工作， 从甲、乙以外的3人中选一人参加B项工作有种方法， 再安排A，C，D项工作，若D项工作安排两人，则有种方法， 若D项工作安排一人，则有种方法， 所以B项工作仅安排1人共种方法， 第二类，B项工作安排2人，有种方法， 由分类加法计数原理，得共有种方法. 故选：B. 4． 【答案】D 【分析】按甲跑第1棒和第2棒分两类讨论，先确定乙的可选位置，再对剩余棒次从其余4名学生中选2人排列，求和得总方案数. 【详解】当甲跑第1棒时：乙可选择第2棒或第4棒，共种安排； 剩余2个棒次需从除甲、乙外的4名学生中选2人排列，排列数为， 此类方案总数为； 当甲跑第2棒时：乙只能选择第4棒，共1种安排； 剩余2个棒次需从除甲、乙外的4名学生中选2人排列，排列数为， 此类方案总数为； 总方案数为 5． 【答案】 54 【详解】先安排小强的位置，因为小强不能是第一棒且小强不能是替补，所以小强仅可选择第二、三、四棒，共种选法； 再安排第一棒，因为第一棒不能是小明或小强，第一棒只能从除小明、小强外的3名队员中选取，共种选法； 剩余3个位置无额外约束，将剩余3人全排列，共种排法. 根据分步乘法计数原理，总排列种数为. 6． 【答案】12 【详解】先安排小张有种排法，再安排其他三人有种， 所以总共有种方法. 题型03 相邻问题捆绑法 1． 【答案】C 【详解】将甲、乙两人捆绑为一个整体，两人内部的排列种数为， 将甲乙整体看成一个元素与剩余的4人共5个不同元素进行全排列，排列种数为， 总排法种数为种. 2． 【答案】C 【分析】根据捆绑法求解即可. 【详解】第一排甲乙站一起有三种可能，同理第二排丙丁站一起也有三种可能，甲乙和丙丁内部顺序分别为：， 其他人直接全排列，所以有种. 3． 【答案】C 【分析】孩子必须相邻用捆绑，因为排头排尾必须是家长，就将捆绑之后的两个孩子插入除首、末位以外的其中一个空位中. 【详解】第一步将两个孩子捆绑在一起，因为他们之间有顺序，所以有种， 因为排头和排尾必须是家长，先将家长全排共有种，除掉首、末的空位，总共有3个空位，在3个空位中选一个给捆绑在一起的两个孩子，共种，所以总共有种. 4． 【答案】C 【分析】使用捆绑法求解. 【详解】该班周二上午可能的课表排法有种. 5． 【答案】B 【分析】应用捆绑法及排列数求不同的排法种数. 【详解】将甲乙捆绑为1个整体、丙丁捆绑为1个整体，两个整体内部需要全排列， 所以甲乙内部排法种，丙丁内部排法种， 将2个捆绑整体加上剩余的3个人，一共得到个元素， 再作全排列，共有种， 总排法为种. 6． 【答案】A 【分析】根据捆绑法求解即可． 【详解】由两位女生相邻，则将两位女生看成一个整体，则女生内部排列，有种排法， 再将一个整体与名男生全排列，有种排法， 所以两位女生相邻的不同排法种数是． 7． 【答案】C 【详解】3个人随机入座6个座位，等价于6个座位中选3个进行排列； 种， 下面考虑恰有2人相邻的情况数： 第一步，先从3人中选择2人捆绑在一起作为一个整体并进行内部排列有种. 第二步，剩余的3把椅子成一排，形成4个空隙，将捆绑的2人及剩下的一个人连同座位插入4个空隙共有种； 所以由分步乘法计数原理，共有种. 故恰有2人相邻的概率为：． 题型04 不相邻问题插空法 1． 【答案】B 【详解】先排丙、丁两人，再将甲、乙插入空隙，则共有种排队方法 2． 【答案】C 【详解】∵ 甲只能站在两端，先安排甲的位置，共有种站法. 再安排无位置约束的乙、戊两人，共有种站法. 乙、戊两人站好后共形成3个空隙（包含两人左右两侧），将丙、丁插入不同空隙即可保证两人不相邻，共有种站法. 根据分步乘法计数原理，不同的总站法共有种. 3． 【答案】A 【分析】先计算“3位女生中有且只有2位女生相邻”的总排法，再减去“男生甲站两端且3位女生中有且只有2位女生相邻”的排法． 【详解】从3位女生中选2位捆绑为一个整体，内部有顺序，共种方法， 3位男生全排列，共种，排好后形成4个空隙， 把“2人女生组”和“单独女生”插入4个空隙，共种方法， 总排法数为：种， 若甲固定在队伍最左端，剩余2位男生全排列，共种方法， 甲左侧无法插入女生，故3位男生仅形成3个可用空隙， 插入两组女生共种方法， 女生捆绑分组为6种方法， 故甲在左端的排法为：种， 同理，甲在右端的排法为：种， 故甲在两端的总排法为：种， 故“甲不在两端且女生恰有2位相邻”的排法为：种． 4． 【答案】D 【详解】将甲乙捆绑，和戊一起先排，共有种排法， 产生了个空位，任选两个排丙、丁，共有种排法， 所以共有种排法. 5． 【答案】D 【分析】利用插空法求解. 【详解】先排5名男生，有种排法， 这时形成6个空，选其中的3个空排女生，有种排法， 所以不同的坐法种数为. 6． 【答案】A 【分析】先给除舞蹈节目和合唱节目外的三个节目排序，再用插空法排舞蹈节目和合唱节目. 【详解】参加汇演的节目除一个舞蹈节目和一个合唱节目外，其余3个有种排列方法； 此时，可产生4个空位，让一个舞蹈节目和一个合唱节目插空，且舞蹈节目必须在合唱节目之前演出，即顺序确定， 所以有种排法. 因此，共有种不同的节目顺序. 7． 【答案】AD 【分析】利用捆绑法可判断A选项；利用特殊元素优先可判断B选项；利用插空法可判断C选项；利用组合法可判断D选项. 【详解】选项A:若甲和乙相邻，将甲和乙捆绑，形成一个大元素，与其余四个元素排序 共有种排法，A对; 选项B：若甲不排第一个，则甲有4种排法，其余全排，共有种，B不正确； 选项C，若甲与丙不相邻，将除甲和丙以外的人全排，然后将甲与丙插入其余3人所形成的个空中的个空，所以，共有种排法，C错； 选项D，若甲在乙的前面，只需在5个位置中先选两个位置排甲、乙，且甲排在乙的前面，然后将其余3个人全排，共有种排法，D对. 8． 【答案】BCD 【分析】根据题意，利用捆绑法、插空法，以及元素定序法等，结合选项，逐项求解，即可得到答案. 【详解】对于A，把3本数学书看成一个整体，则有种排法，所以A错误； 对于B，先排3本不同的物理书，再在4个空隙中插入3本不同的数学书， 则有种不同的排法，所以B正确； 对于C，先对6本书进行全排列，有种不同的排法， 因为3本数学书按年级从小到大顺序排列，则有种排法，所以C正确； 对于D，将这6本书分给甲、乙、丙三人，每人1本数学书和1本物理书， 可先分数学书，再分物理书，则有种不同的排法，所以D正确. 题型05 数字选择与排序问题 1． 【答案】C 【详解】六个数字中有三个偶数，分别是；有三个奇数，分别是. 从三个偶数中任取两个，其和为偶数，有种不同取法； 从三个奇数中任取两个，其和为偶数，有种不同取法. 所以共有种不同取法. 2． 【答案】A 【分析】按取出的4张卡片中写有数字7的张数分为两类，分别计算每类可组成的不同四位数个数，再根据分类加法计数原理即可求解. 【详解】当取出的卡片写有数字7的张数为1时，能组成个不同的四位数； 当取出的卡片写有数字7的张数为2时，能组成个不同的四位数； 则从中随机取出4张卡片，共可组成个不同的四位数. 3． 【答案】C 【分析】直接统计 “含有 6 或 9” 情况较多，采用间接法（正难则反），先计算后四位既不含数字 6、也不含数字 9 的号码数量，再用总号码数去减，得到优惠卡张数. 【详解】卡号后四位每一位可取 0∼9，共 10 个数字, 若既不含 6，也不含 9，则每一位只能从剩下 8 个数字中选取， 由分步乘法计数原理得到后4位不含6且不含9的卡共有张． 卡号后4位共有种，因此优惠卡有张． 4． 【答案】C 【分析】先确定满足的组合，再计算每组对应的的可选个数，最后计算每组可构成的不同四位数的个数，相乘得到总结果. 【详解】由且，得只能取，对应为，共组合法的， 因为集合，元素互异，故且，每组对应的可选值有种， 数字为两个、一个、一个，存在重复元素，故每组可构成的不同四位数有种， 所以总个数为，故C正确. 5． 【答案】B 【详解】偶数的个位数字只能为或，则三位偶数总个数为. 6． 【答案】240 【分析】利用相邻问题及不相邻问题列式求解. 【详解】将两个2绑在一起视为一个数，与作全排列，再在形成的5个间隙中插入3个0， 所以不同密码个数为. 7． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分两步，先排最高位，其余的3个位置没有限制任意排； （2）分末尾是0和5排列. 【详解】（1）先排最高位有6种方法，其余的3个位置没有限制，任意排，有种方法． 根据分步计数原理，可组成没有重复数字的四位数的个数为； （2）5的倍数，若末尾是0，则有＝120个； 若末尾是5，有个． 共有． 题型06 涂色问题 1． 【答案】B 【分析】应用分步分类计数原理求不同着色方法数. 【详解】第一步涂：有种颜色可选，共种选择， 第二步涂：与不同色，共种选择， 第三步涂：与都不同色，共种选择， 第四步涂、：分两类讨论， 当与同色时， 只有种， 与相邻，只需排除两种颜色，共种， 此情况总数， 当与不同色时， 需要排除三种颜色，共种， 与相邻，需要排除三个不同颜色，共种， 此情况总数， 所以总着色方法为种. 2． 【答案】C 【详解】由分步计数原理，第一步涂区域共有3种着色方法，第二步涂区域只有2种着色方法， 第三步涂区域有1种着色方法，最后涂区域有2种着色方法， 所以一共有种着色方法. 3． 【答案】D 【分析】利用分步乘法计数原理，根据对角位置的方格颜色是否相同进行分类讨论求解. 【详解】设四个方格分别为（左上）、（右上）、（左下）、（右下）， 其中与不相邻，与不相邻. 根据与涂色是否相同，分两类情况讨论： 第一类：与涂同一种颜色， 涂，有5种选法；涂，因与同色，有1种选法； 涂，因与、相邻（即与相邻），有4种选法； 涂，因与、相邻（即与相邻），有4种选法。 根据分步乘法计数原理，此类情况共有种方法； 第二类：与涂不同种颜色， 涂，有5种选法；涂，因与不同色，有4种选法； 涂，因与、均相邻且、颜色不同，故需避开这两种颜色，有3种选法； 涂，因与、均相邻且、颜色不同，故需避开这两种颜色，有3种选法. 根据分步乘法计数原理，此类情况共有种方法. 综上所述，不同的涂色方法共有种. 4． 【答案】C 【分析】先对图中挂件进行编号，根据已有条件分析讨论各层挂件的涂色方法数，从而得出所有的涂色方法种类数. 【详解】该挂件进行如图所示的编号：    依题意1号有4种涂色方案，2，3，4号有种涂色方法， 分情况讨论5，6，7号的涂色方法： 第一种：若5号与1号同色，6号与2号同色，则7号只有1种涂色方法； 因此5，6，7号的涂色有种涂色方法， 第二种：若5号与1号同色，6号与2号异色，此时6号只有1种涂色方法，则7号有2种涂色方法， 因此5，6，7号的涂色有种涂色方法， 第三种：若5号与1号异色，与3号同色，此时5号只有1种涂色方法， 当6号与4号同色时，则7号有2种涂色方法， 当6号与4号异色时，6号有2种涂色方法，7号有1种涂色方法； 因此5，6，7号的涂色有种涂色方法， 第四种：若5号与1号、3号均异色，则5号只有1种涂色方法，6号、7号均有两种涂色方法， 因此5，6，7号的涂色有种涂色方法， 综上可知，所有涂色方法种类数为种涂色方法. 5． 【答案】AB 【详解】对于A，每块区域任意涂上一种颜色，即每块区域都有4种选择，则有种不同涂法，A正确； 对于B，若只用3种不同颜色，且相邻区域不同色，则和同色，和同色，则共有种不同涂法，故B正确； 对于C，因4种不同颜色全部用上，，同色，相邻区域不同色，故可以先涂，区域，有种涂法， 因三个区域都与，相邻，故只需将余下的3种颜色在上全排，有种涂法，则共有种涂法，故C错误； 对于D，按照的顺序涂，每一个区域需要一个颜色，此时有种涂法， 因，不同色（只有一种颜色可选），此时四块区域所用颜色各不相同，涂只能与同色，此时共有24种涂法，故D错误. 6． 【答案】540 【分析】每个区域只染一个颜色，且相邻区域颜色不同，根据图形特点，先给中间区域③涂色，然后再考虑剩余部分即可求解. 【详解】先给③选择一个颜色，有种； 剩下的①‑②‑④‑⑤这4个区域看作直线链条，4 个区域，4 种剩余颜色，相邻区域颜色不同， 第一个区域①：4 种；后面每一个都不能和前一个同色，各 3 种：； 所以不同的染法种数为. 7． 【答案】168 【分析】先分两类讨论，每一类用分步乘法计数原理计算，最后再用分类加法计数原理相加可求解. 【详解】根据题意，有以下两种情况： （1）工业区和离心机室颜色相同，则工业区有4种涂法，宿舍区有3种涂法，浮力室有2种涂法，离心机室有1种涂法，黑室有3种涂法，共有 种； （2）工业区和离心机室颜色不同，则工业区有4种涂法，宿舍区有3种涂法，浮力室有2种涂法，离心机室有2种涂法，黑室有2种涂法，共有种； 综上，共有72 种. 题型07 分组分配问题 1． 【答案】D 【分析】先将4项不同的工作分成2组，再分配给两名志愿者，由分步乘法计数原理即可得结果. 【详解】将4项不同的工作分成两组，共有两类分组情况： 分为1项、3项的两组，则共有种； 分为2项、2项的两组，则共有种； 所以总的分组方法有种， 再将分好的两组分配给2名不同的志愿者，分配方法有种， 所以由分步乘法计数原理，总的安排方式有种. 2． 【答案】C 【分析】先确定 A、B 所在的地点，再从其余 4 人中选出分配到另一个地点的人.由于两个地点不同，需要区分 A、B 被分到哪个地点. 【详解】先确定 A、B 所在的地点，共有 种选择. 固定 A、B 在其中一个地点后，该地点已经有 2 人. 为了使另一个地点至少有 2 人，需要从 C、D、E、F 中选出至少 2 人到另一个地点（剩下未选的人和A，B一组）. 因此，在 A、B 所在地点确定的情况下，分配方案数为 所以不同的分配方案共有种. 3． 【答案】C 【分析】根据捆绑法、分步乘法计数原理及排列组合知识求解即可. 【详解】把甲、乙看作一个整体，相当于将个元素分成组，每组至少个元素，分组方式只能是， 则分组的方法数为， 将分好的组全排列，分配到个社区，方法数为， 故总方法数为种，故C正确. 4． 【答案】C 【分析】分甲区域去1个和2个班讨论即可. 【详解】第一类方法：甲区域去两个班，因为1班和2班都不去区域甲，所以从3、4、5、6四个班中选两个班去甲区域，其余四个班去其余四个区域，这样的分配方法有： 种； 第二类方法：甲区域去一个班，因为1班和2班都不去区域甲，所以从3、4、5、6四个班中选一个班去甲区域，再从剩余的五个班中选两个班，并成一组，和其他班分配到其余四个区域，这样的分配方法有： 种. 综上，不同的任务分配方法种数为. 5． 【答案】B 【分析】先分乙去学校进行分类，再按剩下人去学校的个数分类. 【详解】若乙去学校，则剩下人的安排有两种情况： 人去不同学校，共有种；人去所学校，共有种；共种， 若乙去学校，则剩下人的安排有两种情况： 人去不同学校，共有种；人去所学校，共有种；共种， 同理，若乙去学校，共有种； 故不同的选派方案共有种. 6． 【答案】BCD 【详解】对于A：将2男2女共4个优秀毕业生分配给，，，四个公司，共有种选择，A错误； 对于B：每个公司都有分配到人，共有种选择，B正确； 对于C：恰好有一个公司未分配到人，先选出一个公司不分配人，有种方法， 再将四个人分配到三个公司，这三个公司都至少有一个人，有种方法， 恰好有一个公司未分配到人，有种分配方法，C正确； 对于D：每个公司都有分配到人，且公司只要女生，先分给公司，有2种方法，再分给其他公司， 有种方法，每个公司都有分配到人，且公司只要女生，有12种分配方法，D正确. 7． 【答案】540 【分析】把6名教师分成3组，每组至少1人，对应三项不同工作，分组为：人数为，人数为，人数为，分别按照分组情况求出分组的组数，再求出分配到3项工作的种数，利用分类加法计算原理求解. 【详解】把6名教师分成3组，每组至少1人，对应三项不同工作，分组为： 人数为 ，人数为 ，人数为 当分组为时，分组的组数有种，再分配到3项工作有种， 则共有种， 当分组为时，分组的组数有种，再分配到3项工作有种， 则共有种， 当分组为时，分组的组数有种，再分配到3项工作有种， 则共有种， 综上可得，不同的分配方法共有. 题型08 定序问题 1． 【答案】A 【分析】定序问题，使用倍缩法，用全排列除以内部排序即可. 【详解】首先将6只灯笼全排，即， 因为每次只能取其中一串最下面的一只灯笼内的谜题，每次取灯的顺序确定， 即除以内部排序即可，故取谜题的方法有. 2． 【答案】C 【详解】对A：根据组合数的性质，，故A错误； 对B：因为（）， 所以被8除的余数为7，故B错误； 对C：满足条件的排法有种，故C正确； 对D：按平均分组的方法，不同的分法有种，故D错误. 3． 【答案】ACD 【分析】对于A利用捆绑法可求，对于B分成甲在左和乙在左两类进行排列，对于C采用插空法求解，对于D按定序问题求解. 【详解】对于A，如果甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，可将甲乙捆绑看成一个元素， 则不同的排法有种，故A正确； 对于B，最左端排甲时，有种不同的排法， 最左端排乙时，最右端不能排甲，则有种不同的排法， 最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲， 则不同的排法共有种，故B错误； 对于C，因为甲乙不相邻，先排甲乙以外的三人，再让甲乙插空， 则有种，故C正确； 对于D，甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有种，故D正确． 4． 【答案】30 【分析】根据排列中的定序问题的处理方法计算求解. 【详解】6位同学排成一排准备照相时，共有种排法， 如果保持原来4位同学的相对顺序不变，则有种排法. 故答案为：30 5． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）先排两头的唱歌节目，再排中间的5个节目，即可得解； （2）第一步，先将2个唱歌节目全排列，再将这2个唱歌节目看成一个整体，第二步，先将3个舞蹈节目全排列，再将这3个舞蹈节目看成一个整体，第三步，把这两个整体进行全排列，此时这两个整体的全排列，形成3个空，将2个小品节目插入这3个空中，即可得解； （3）先将7个节目进行全排列，再由3个舞蹈节目出场顺序固定，就是7个节目的全排列数除以3个舞蹈节目的全排列数，即为所求. 【详解】（1）2个唱歌节目排在两头，先排两头的唱歌节目，有种，再排中间的5个节目，有种， 则唱歌节目排在两头，有种排法； （2）2个唱歌节目全排列，排法有种，将这2个唱歌节目看成一个整体， 3个舞蹈节目全排列，排法有种，将这3个舞蹈节目看成一个整体， 把这两个整体进行全排列，排法有种，此时这两个整体的全排列，形成3个空， 将2个小品节目插入这3个空中，排法有种， 则唱歌节目，舞蹈节目相邻，两个小品节目不相邻， 有种； （3）7个节目进行全排列，排法有种，3个舞蹈节目出场顺序固定，则不同的排法有种. 题型09 多面手问题 1. 【答案】A 【解析】根据题意可按照只会跳舞的人中入选的人数分类处理． 第一类个只会跳舞的都不选，则从既能唱歌又能跳舞的5人中选择3人来跳舞，接着从剩余的5人中选择3人唱歌，故有种； 第二类个只会跳舞的有人入选，有种，再从从既能唱歌又能跳舞的5人中选择2人来跳舞，有种，再从剩余的6人中选择3人唱歌，有种，故有种； 第三类个只会跳舞的全入选，有种，再从从既能唱歌又能跳舞的5人中选择1人来跳舞，有种，再从剩余的7人中选择3人唱歌，有种，有种， 所以共有种不同的选法， 故选：A． 2. 【答案】B 【解析】根据题意，按“2人既会英语又会法语”的参与情况分成三类． ①“2人既会英语又会法语”不参加，这时有种； ②“2人既会英语又会法语”中有一人入选， 这时又有该人参加英文或日文翻译两种可能， 因此有种； ③“2人既会英语又会法语”中两个均入选， 这时又分三种情况：两个都译英文、两个都译日文、两人各译一个语种， 因此有种． 综上分析，共可开出种． 故选：B． 3. 【答案】C 【解析】根据题意，设只会划左桨的3人，只会划右桨的3人，既会划左桨又会划右桨的2人，据此分3种情况讨论： ①从中选3人划左桨，划右桨的在（）中剩下的人中选取，有种选法， ②从中选2人划左桨，中选1人划左桨，划右桨的在（）中选取，有种选法， ③从中选1人划左桨，中2人划左桨，中3人划右桨，有种选法， 则有种不同的选法． 故选：C． 4. 【答案】D 【解析】根据划左舷中有“多面手”人数的多少进行分类：划左舷中没有“多面手”的选派方法有 种，有一个“多面手”的选派方法有种，有两个“多面手”的选派方法有种，即共有(种)不同的选派方法． 故选：D 5. 【答案】C 【解析】根据题意，设只会划左桨的3人，只会划右桨的3人，既会划左桨又会划右桨的2人， 据此分3种情况讨论： ①从中选3人划左桨，划右桨的在中剩下的人中选取，有种选法， ②从中选2人划左桨，中选1人划左桨，划右桨的在中剩下的人中选取，有种选法， ③从中选1人划左桨，中2人划左桨，中3人划右桨，有种选法， 则有种不同的选法； 故选：C． 6. 【答案】D 【解析】按即会钳工又会车工的2人分类： 2人都不选的情况有种， 只选1人且当钳工的情况有种， 只选1人且当车工的情况有种， 选2人其中1人钳工1人车工的情况有种， 选2人都当钳工的情况有种， 选2人都当车工的情况有种， 由分类加法原理得选法有种. 故选：D. 7. 【答案】C 【解析】第一类，船两大人一小孩，船一大人一小孩：有种方法. 第二类，船一大人两小孩，船两大人：有种方法. 第三类，船一大人两小孩，船一大人，船一大人：有种方法. 第四类，船一大人一小孩，船一大人一小孩，船一大人：有种方法. 根据分类加法计数原理，共有种不同的方法. 故选C. 考点：排列、组合、分类加法计数原理. 8. 【答案】B 【解析】名会唱歌的从中选出两个有种,名会跳舞的选出名有种选法,但其中一名既会唱歌又会跳舞的有一个,两组不能同时用他,共有种，故选B. 题型10 隔板法 1． 【答案】D 【分析】对6个相同的元素进行分配，利用隔板法，在5个间隙中加入2块隔板即可. 【详解】6个相同的布娃娃排成一排，中间有5个间隙，要分给3位小朋友，且每位小朋友至少有一个布娃娃， 则只需插入2块隔板，把它分成3份，每份至少1个，共有种. 2． 【答案】B 【分析】利用隔板法求解. 【详解】10个名额为相同元素，可用隔板法， 10个相同元素分为8组，即将7个隔板插入9个空，. 3． 【答案】B 【分析】利用隔板法求解. 【详解】，， 则问题转化为将14个相同的元素分成5份，每份至少1个， 需要在14个元素之间的13个空隙中插入4个隔板， 则方程非负整数解的个数有. 4． 【答案】A 【分析】先确定变量的正整数取值，再对剩余变量的和用挡板法分情况计算分组数，累加得到结果. 【详解】已知均为正整数，即. 由， 结合，得，解得，故可取. 利用挡板法：将个相同元素分为3组且每组至少1个，分组方式数为. 当时，，分组数， 当时，，分组数， 当时，，分组数， 当时，，分组数， 因此，总分组方式数为. 5． 【答案】 36 15 【详解】将10本完全相同的书全部分给甲、乙、丙3人，每人至少分得1本， 则可利用“隔板法”，在这10本书中间形成的9个间隔中选2个，插入隔板， 将书分成3组，即不同的分法种数为． 若每人至少分得2本，则先从10本书中拿出3本，分给每人1本， 再将余下7本书分给3个人，每人至少分1本， 采用“隔板法”得不同的分法种数为． 故答案为：36；15． 6． 【答案】35 【分析】问题等价转化为将8个口罩分给5个人，使用隔板法求解即可. 【详解】由题意，5名学生每人至少3个口罩，若每人2个，则需要分出10个， 所以18个口罩余下8个，化为将8个口罩分给5个人，每人至少一个口罩， 使用隔板法可得共有种. 题型11 正难则反思想的应用 1． 【答案】C 【分析】先根据相邻和不相邻利用捆绑法和插空法求出不考虑龙凤古镇位置的排列种数，再求出龙凤古镇在特殊位置的排列种数，从而可以求解. 【详解】不考虑龙凤古镇的位置，有种； 当龙凤古镇排在首位时，有种， 同理，当龙凤古镇排在尾位时，有种； 所以满足要求的排列种数为种. 2． 【答案】C 【分析】利用间接法求解，先求出五个节目的全排列数，再求出三个歌唱节目都相邻的排法数，相减即可得结果. 【详解】三个歌唱节目，一个小品节目以及一个相声节目的全排列的排列数为，其中三个歌唱节目都相邻的排法数为，故满足条件的排法数为，所以三个歌唱节目最多有两个相邻的排法总数为84， 故选：C. 3． 【答案】A 【分析】求出从10个点中任取4个点的取法，减去不合题意的结果可得答案． 【详解】从10个点中任取4个点有种取法，其中4点共面的情况有三类． 第一类，取出的4个点位于四面体的同一个面上，有种； 第二类，取任一条棱上的3个点及该棱所对棱的中点，这4点共面，有6种； 第三类，由中位线构成的平行四边形（其两组对边分别平行于四面体相对的两条棱）， 它的4顶点共面，有3种． 以上三类情况不合要求应减掉，∴不同的取法共有种． 故选：A． 4． 【答案】B 【分析】先采用间接法求解巡视商户的3人中至少一名男教师的安排方法种数，然后再求解另外4人去不同的4个小区测量出入人员体温的安排方法种数，综合即可得出结果． 【详解】从7人中任选3人，不同的选法有种，而不选男教师的选法有种， 则巡视商户的3人中至少一名男教师安排方法有种， 另外4人去不同的4个小区测量出入人员体温的安排方法有种． 则这7名教师不同的安排方法有种． 故选：B． 5． 【答案】390 【分析】本题主要考查分组分配问题，采用间接法：先求总方案数，再减去甲、乙同项目的方案数.总方案数：将6名学生分配到3个不同项目，每个项目至少一人，利用容斥原理计算.甲、乙同项目：先捆绑甲乙，再分配剩余4人，保证其他两个项目有人，最后减去. 【详解】总方案数：每个学生有3种选择，但需每个项目非空; 方案数为： 甲、乙同项目的方案数：先让甲乙选一个项目，有种选择. 剩余4人分配到3个项目，要求甲乙未选的两个项目至少各有一人; 剩余4人的分配数： 故甲乙同项目的方案数为. 因此满足甲乙不同项目的方案数为. 题型12 元素配对问题 1． 【答案】D 【分析】应用分步乘法原理计算求解. 【详解】第一步选上衣有4种选法，第二步选裤子有5种选法，第三步选鞋子有2种选法，所以共有种选法. 2． 【答案】C 【详解】第一步选上衣有3种选法，第二步选裤子有4种选法，第三步选鞋子有2种选法， 所以共有种选法. 3． 【答案】B 【分析】根据分步乘法计数原理将问题分为两步，再将每一步的方法数相乘即可求得结果. 【详解】完成一种搭配有两个步骤，第一步，选上衣有4种不同的选法； 第二步，选长裤有3种不同的选法． 所以根据分步乘法计数原理共有（种）不同的搭配方法． 故选：B 4． 【答案】(1)种 (2)种 【分析】（1）把“4只鞋子恰为2双”转化为“选取2组完整成对的鞋子”，问题转化为从双完整鞋子中选取2双； （2）把问题转化为1双成对的鞋子和２只完全不成对的鞋子，利用分步乘法计数原理计算求解． 【详解】（1）4只鞋子恰为2双： 从双中选2双的取法为：种． （2）4只鞋子中有2只成双，另2只不成双： 先选1双：种； 剩余9双中选2双：种； 从这2双中各取1只：种； 总数为：种． 5． 【答案】(1)9 (2)证明： 对于5个元素的错位排列（对应甲、乙、丙、丁、戊5名男生都不与事先配对的女生组队）， 考虑其中任意一个元素（以戊为例）的配对情况： 1.戊选择与非事先配对的女生组队：因为戊的事先配对是，因此他可以选择， 共有4种选择（设戊选了第个女生，，对应的事先配对女生）. 2.分两种子情况： ①第个女生对应的男生（如戊选了，对应男生甲）选择与戊的事先配对女生组队， 此时剩余3个男生需要错位排列，情况数为. ②第个女生对应的男生不与女生组队.此时相当于把这个男生“禁止配对”新增为，剩余4个男生需要错位排列，情况数为. 综上，总的情况数满足. 【分析】（1）运用排列组合的相关知识，根据错位排列的概念求解，在甲与配对后，其他4人不与事先配对的同学组队，可利用错位排列公式计算情况数； （2）要证明，可通过对5个人不与事先配对的人组队的情况分成两种子情况讨论，将情况数转化为和的表达式即得证. 【详解】（1）已知甲与配对，那么剩下乙、丙、丁、戊4名男生和4名女生， 要使其他每人都不与事先配对的同学组队，即求4个元素的错位排列数. 根据错位排列递推公式(证明附后)，已知， 则，. 因此，其他每人都不与事先配对的同学组队的情况数为9种. （2）略. 【附注】考虑一个有个元素的排列，若一个排列的元素都不在自己原来的位置上，那么这样的排列就称为元排列的一个错排,个元素的错位排列数，通常用表示，其递推公式为，其中，. 下面提供证明： 位置 1 2 3 4 5 … 元素 … 如图，设个位置的编号分别为；设个元素的编号分别为. 第1步，对位置1进行安排：该位置可放置共种选择,现不妨设置于该位置： 第2 步：对位置2进行安排：此时对位置2的安排进行分类： ①若位置2上放置，即如图所示： 位置 1 2 3 4 5 … 元素 此时，对于位置共个位置的安排问题，实际上即为个元素的错排问题，所以其安排共有种选择； ②若位置2上不放置，此时剩余位置为；剩余元素为，可将位置2与元素配对，即 位置 2 3 4 5 … 元素 … 因为位置2上不放置，所以此时的安排即为上述个元素的错排问题，所以安排共有种选择. 综上，由分步乘法计数原理即分类加法计数原理可知，个元素的错位排列数的递推公式为，其中，. 题型13 环排问题 1． 【答案】A 【分析】先安排甲，再安排乙和丙，最后安排剩余的5人，结合排列知识进行求解. 【详解】因为环状排列没有首尾之分，8人围成一圈就坐没有首尾之分， 故可先固定甲位置，乙与甲相邻则有种坐法；丙与甲不相邻，则有种坐法， 余下5人有种坐法，故所求坐法为种， 故选：A. 2． 【答案】B 【分析】根据插空法即可求解. 【详解】将老人位置固定，夫妻两人在老人左右，此时有种站法， 将三个孩子插入两两大人之间的空隙中，有种站法， 故总的站法有. 故选：B 3． 【答案】D 【分析】求出试验的所有可能结果数，再求出甲乙能牵手的结果数，利用古典概率计算即得. 【详解】以甲为中心，其他三人的位置是甲的左边、右边、对面，共有种情况， 其中乙在甲左边或右边，即甲与乙能牵手的有种情况， 所以所求概率为. 故选：D 4． 【答案】B 【分析】依题意环排问题转换为线排问题，再根据插空法求解. 【详解】环排问题线排策略，增加一个凳子． 九个凳子排一排，甲放一号和九号，中间剩余七个位置可选，再将其他五人放入中间有种． 甲、乙、丙两两不相邻．乙、丙只能放中间四空中共有种， 由分步计数原理得总数种． 故选：B. 5． 【答案】ABD 【分析】结合圆排列的定义结合捆绑法，插空法及特殊值法分别判断各个选项即可. 【详解】对于A：现有2个女生4个男生共6名同学围坐成一圈，共有种排法，A选项正确； 对于B：若两名女生相邻，则有种排法，B选项正确； 对于C：若两名女生不相邻，共有种排法，C选项错误； 对于D：若男生甲位置固定，考虑以甲为基准的顺逆时针排列，则有种排法，D选项正确. 故选：ABD. 6． 【答案】 【分析】根据环状排列的计算方法，结合元素相邻的计算方法求解. 【详解】由于环状排列没有首尾之分， 将个不同元素围成的环状排列剪开看成个元素排成一排，即共有种排法， 由个不同元素共有种不同的剪法，则环状排列共有种排法. 甲､乙两人相邻而坐，可将此2人当作1人看，即5人围一圆桌，有种坐法， 又因为甲､乙2人可换位，有种坐法，故所求坐法为种. 题型14 错排问题 1． 【答案】ABC 【分析】A应用分步乘法原理求放法数，B讨论小球1放入2号、3号、4号盒子，结合分类讨论求放法数，C应用分步分类计数，及分组分配求不同的放法数，D由总放法数减去4个球都放同一个盒子、恰好一个盒子放3个球两种情况. 【详解】对于A：每个小球都可以任意选择4个盒子，共种放法，A正确， 对于B：假设小球1放入2号盒子： 情况一：小球2放入1号盒子， 剩下小球3和4，只能放入3、4号盒子， 由于4不能回4号盒，3不能回3号盒，则小球3去4号盒，小球4去3号盒， 即排列为 ， 情况二：小球2放入3号盒子， 剩下小球3和4，必须放入1号和4号盒子， 由于3不能回3号盒，4不能回4号盒，则小球3去4号盒，小球4去1号盒， 即排列为， 情况三：小球2放入4号盒子。 剩下小球3和4，必须放入1号和3号盒子， 由于3不能回3号盒，则小球3去1号盒，小球4去3号盒， 即排列为， 所以1号球放入2号盒时，一共有 3 种放法， 同理，小球1放入3号、4号盒子均各有3种，共有9种，B正确， 对于C：选1个空盒有，把4个球以分组有，三组全排列放入剩下3个盒子有， 所以若恰有一个空盒的放法种，C正确， 对于D：由A分析知，总放法有256种，其中4个球都放同一个盒子有4种， 恰好一个盒子放3个球，一个盒子放1个，共种， 所以符合条件的放法为种，D错误. 2． 【答案】ABD 【分析】没有空盒即将4个球在4个盒子上进行全排列即可判断A；有4个球，每个球有4种放法，再减去没有空盒的情况，即可求解判断B；恰有1个空盒，即另外3个盒子都有球，且必然有1个盒子中放了2个球，求解即可判断C；只需从4盒4球中选定标号相同的球和盒，另外的球与盒不能对应，求解即可判断D． 【详解】对于A，没有空盒子，即将4个球在4个盒子上进行全排列，共有种方法，故A不正确； 对于B，有空盒子，因为有4个球，每个球有4种放法，再减去没有空盒的情况，共有种方法，故B不正确； 对于C，恰有1个空盒，即另外3个盒子都有球，而球共4个，必然有1个盒子中放了2个球， 先从4个盒中选1个作为空盒，再将4球中选出2球绑在一起，与另外两个球对余下的3个盒子全排列， 则共有种方法，故C正确； 对于D，没有空盒子恰有1个小球放入自己编号的盒子，则可从4盒4球中选定标号相同的球和盒有种方法， 另外3个球3个盒不能互相对应共2种方法，则共有种方法，故D不正确． 故选：ABD. 3． 【答案】48 【分析】分一组为3个球，另外两组各1个球和两组各为2个球，另外一组1个球求解. 【详解】由题意得：当一组为3个球，另外两组各1个球时， 假设3个球的组合放入1号盒子， 因为1号盒子不能放编号为1的球，所以这3个球必须从2，3，4，5中选出， 剩下的2个球放入2号和3号盒子， 当1号盒子放入的是2，3，4时，剩下的是1，5，分别放入2号和3号盒子共有2种； 当1号盒子放入的是2，3，5时，剩下的是1，4，分别放入2号和3号盒子共有2种； 当1号盒子放入的是2，4，5时，剩下的是1，3，分别放入2号和3号盒子共有1种； 当1号盒子放入的是3，4，5时，剩下的是1，2，分别放入2号和3号盒子共有1种； 所以当3个球放入1号盒子时共有种； 同理： 2号盒子和3号盒子放入3个球时，都有6种； 所以总共有种； 当两组各为2个球，另外一组1个球时， 假设1个球的组合放入1号盒子， 因为1号盒子不能放编号为1的球，所以这1个球必须从2，3，4，5中选出， 剩下的4个球平均分成两组放入2号和3号盒子， 当1号盒子放入的是2时，剩下的是1，3，4，5，分为13和45组合有1种； 分为14和35组合有1种；分为15和34组合有1种；共3种； 当1号盒子放入的是3时，剩下的是1，2，4，5，分为12和45组合有1种； 分为14和25组合有1种；分为15和24组合有1种；共3种； 当1号盒子放入的是4时，剩下的是1，2，3，5，分为12和35组合有1种； 分为13和25组合有1种；分为15和23组合有0种；共2种； 当1号盒子放入的是5时，剩下的是1，2，3，4，分为12和34组合有1种； 分为13和24组合有1种；分为14和23组合有0种；共2种； 所以总共有种； 同理：当2号盒子和3号盒子放1球时，各有10种，总共有30种， 综上：共有18+30=48种. 4. 【解答】解：由题意可知，这四个小球有两个小球放在一个盒子中， 当四个小球分组为如下情况时，放球方法有： 当1与2号球放在同一盒子中时，有2种不同的放法； 当1与3号球放在同一盒子中时，有2种不同的放法； 当1与4号球放在同一盒子中时，有2种不同的放法； 当2与3号球放在同一盒子中时，有2种不同的放法； 当2与4号球放在同一盒子中时，有2种不同的放法； 当3与4号球放在同一盒子中时，有2种不同的放法； 因此，不同的放球方法有12种． 故答案为：12． 5. 解：根据题意，分2步进行分析： ①、在六位同学中任选2人，坐自己原来的位置，有C62＝15种情况， ②、假设不坐自己位置的4人为A、B、C、D， A不坐自己的位置，有3种坐法， 假设A坐在了B的位置，B有3种坐法， 剩下C、D，只有一种坐法， 则剩下4人不坐自己的位置，有3×3＝9种情况， 故恰有两位同学坐自己原来的位置的坐法有15×9＝135种； 故答案为：135． 6． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）确定不放球的盒子，将个球分成组， 将分好的组球放入剩下的个盒子，根据分步乘法计数原理求解； （2）从个球中选个与盒子编号相同，对剩下的个球进行讨论，根据分步乘法计数原理求解； （3）确定空盒，将个相同的球放入剩下的个盒子，且每个盒子至少放个球，根据分步乘法计数原理求解. 【详解】（1）从个盒子中选个不放球，有种选法， 把个球分成组，可先从个球中选个为一组，其余个各为一组，有种分法， 将分好的组球全排列，放入剩下的个盒子，有种放法， 根据分步乘法计数原理，总放法有种； （2）从个球中选个，使其编号与盒子编号相同，有种选法， 剩下个球的编号与盒子编号均不相同， 先放其中一个小球，有2种不同的放入方法，再放剩下两个小球只有一种方法， 所以个球的编号与盒子编号均不相同有种不同的放法， 根据分步乘法计数原理，总放法有种； （3）从个盒子中选个为空盒，有种选法。 将个相同的球放入剩下的个不同的盒子，要求每个盒子至少有个球，根据隔板法，有种放法， 根据分步乘法计数原理，总放法有种. 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1． 【答案】B 【分析】利用间接法，先求总排列数，再减去恰好 3 对、恰好 4 对字母相邻的情况，得到至多两对相同字母相邻的排列种数. 【详解】8 个字母包含4对重复字母（BB、WW、MM、FF），， ① 恰好4对全部相邻：把4对重复字母各自捆绑为1个整体，共4个独立模块，全排列数是， ② 恰好3对相邻：先从4对字母中选3对，将其对应相同字母捆绑，选法为种，将3对捆绑的整体排列，排列数是种，3个整体排列后形成4个空隙，将剩余2个相同的字母插入空隙，因为两个字母相同，所以插空方法共有种， 所以该类排列数为种， 利用间接法，至多两对相邻排列数 = 总排列数 − 恰好3对相邻 − 恰好4对相邻， 所以不同排列种数为. 2． 【答案】C 【分析】先将7条航线分成3组，为保证每个中心至少分到一条航线，共有四种情况.因为甲中心分配的航线数量必须多于乙中心，所以分甲分配到条航线进行分析可得. 【详解】因为每个调度中心至少分到1条航线， 所以把7条航线分成3组，有四种情况. 因为甲中心分配的航线数量必须多于乙中心，所以可分甲分配到四个类型进行分析， 所以有以下分配方案： 若甲中心分配5条航线，则其中必包括航线1与航线2，共有种方案； 若甲中心分配4条航线，且其中包括航线1与航线2，则从除1、2两条航线外的5条中再选2条给甲， 再将剩余3条分成两组分配给乙、丙，共有种方案； 若甲中心分配4条航线，但其中不包括航线1与航线2，则需从除1、2两条航线外的5条中选4条给甲， 再将1、2两条航线作为一组，剩余1条单独作为一组，分配给乙、丙共有种方案； 甲中心分配2条航线，即航线1与航线2，则需从除1、2两条航线外的5条中选1条给乙， 再将剩余4条单独作为一组分配给丙，共有种方案； 若甲中心分配2条航线，但不包含航线1与航线2，则需从除1、2两条航线外的5条中选2条给甲，选1条给乙， 再将剩余4条单独作为一组分配给丙，共有种方案； 若甲中心分配3条航线，且包含航线1与航线2，则需从除1、2两条航线外的5条中选1条给甲， 此时可从其余航线中选1条给乙，其余航线作为一组给丙，共有种方案； 也可选两条给乙，其余航线给丙，共有种方案； 若甲中心分配3条航线，但不包含航线1与航线2，则需从除1、2两条航线外的5条中选3条给甲， 此时可从剩余2条航线中选1条给乙，其余航线作为一组给丙，共有种方案； 也可将剩余2条航线给乙，将航线1与航线2作为一组给丙，共有种方案； 也可将航线1与航线2给乙，其余航线给丙，共有种方案； 综上所述，共有种方案. 3． 【答案】D 【分析】设点处的数字为，每条线段上数字之和为，得到是的倍数，求出的所有可能取值，进而求解. 【详解】设点处的数字为，每条线段上数字之和为， 则， 因为，所以是的倍数，又， 所以的取值可能为， 当时，，所以每条线段上除点外的两个点的数字之和为， 因为，每组数据分到个线段上有种， 每组数据在每个线段上的情况有种，所以共有种， 当时，，所以每条线段上除点外的两个点的数字之和为， 因为，每组数据分到个线段上有种， 每组数据在每个线段上的情况有种，所以共有种， 当时，，所以每条线段上除点外的两个点的数字之和为， 因为，每组数据分到个线段上有种， 每组数据在每个线段上的情况有种，所以共有种， 综上，共有种. 4． 【答案】C 【分析】根据排列要求，分析排列不同情况，进而确定不同部分的排列数，即可求解. 【详解】9 个节目中，位置 1、9 固定为曲艺，位置 5 固定为小品，剩余需安排节目的空位为位置 2、3、4 、6、7、8， 需要安排3 个不同的音乐节目和3 个不同的舞蹈节目，要求同类节目不相邻， 由于两段中间被小品（位置 5）隔开，因此仅需保证每段内部同类不相邻即可， 对于 3 个连续位置，要满足同类节目不相邻，只能是如下两种情况， 情况一：2 个音乐 + 1 个舞蹈， 情况二：2 个舞蹈 + 1 个音乐， 结合总节目数（3 音乐 + 3 舞蹈），左右两段的类型组合仅有两种可行情况， 情况一：位置5的左侧为2 音 1 舞（音 - 舞 - 音），位置5的右侧为1 音 2 舞（舞 - 音 - 舞）， 情况二：位置5的左侧为1 音 2 舞（舞 - 音 - 舞），位置5的右侧为2 音 1 舞（音 - 舞 - 音）， 第 1 种组合，音乐节目共 3 个，对应 3 个不同的位置（位置 2、4、7），不同节目排列个数为种， 舞蹈节目共 3 个，对应 3 个不同的位置（位置 3、6、8），不同节目排列个数为种， 因此第 1 种组合的排法总数种， 第 2 种组合（左舞 - 音 - 舞、右音 - 舞 - 音）与第 1 种对称，排法同样为 36 种， 故一共有种. 5． 【答案】B 【分析】首先根据总步数确定“向右”和“向上”的总次数，然后列举出所有可能的移动序列，最后利用排除法计算符合条件的路径数量. 【详解】蚂蚁从爬行到，在水平方向上需要向右移动4次，在竖直方向上需要向上移动4次.总的移动序列组合数为：(种). 用表示向右，用表示向上，其中包括“至少连续3次向右”或“至少连续3次向上”的情况： “至少连续3次向右()”：，共6个元素, 路径总数为， 同理，包含“”的路径总数也为， 同时出现 “”且 “”的路径，共有四个元素，路径总数为， 同一方向连续爬行超过格的路径总数为：， 根据容斥原理，符合条件的路径总数. 二、多选题 6． 【答案】ABD 【分析】根据分步乘法计数原理即可判断A；根据分组分配判断BC；根据题意得出递推公式即可判断D． 【详解】对于A，由题意知，共有种放法，故A正确； 对于B，恰有一个盒子不放球，选出不放球的盒子，共有种， 再将5个球分为4份，其中一份有2球，再分给4个盒子，共有, 所以共有种放法，故B正确； 对于C，恰有两个盒子不放球，选出不放球的盒子，共有种， 再将5个球分为3份，可分为和，再分给3个盒子，共有， 所以共有种放法，故C错误； 对于D，用递推的方法计算，记个元素的错位排列数为； 对于：只有1个球，必须放1号盒，一定同号，所以， 对于：只有两个球，只能互相放对方盒子，所以, 递推公式:， 意思是：先选1个球，比如选球1，它不能放1号盒，所以有个盒子可以选， 如果球1选了号盒，再分两种情况算球的放法：要么球放1号盒，剩下个元素错位排列，对应；要么球不能放1号盒，相当于剩下个元素错位排列，对应， 所以， ， ，故D正确． 7． 【答案】ACD 【分析】利用排列求解选项A,先选出一个社区安排两人，然后再将剩下的社区安排好求解即可求解选项B，选项C分两类一类是3人安排在一个社区，其余两个社区各一人，另一类是两个社区各两人，然后另外一个社区一人利用排列组合求解即可，选项D：分两类：第一类 社区安排两人，第二类A社区只安排一人，然后利用排列与组合求解即可. 【详解】5人中选出四个人安排到四个社区,每个社区都有人,则不同方法数为故选项A正确. 先选出2人组成一组然后再选一个社区安排，则有再将剩下的3人安排下去则有 则一共有，则选项B错误. 选项C：先将5名老师分成3组，人数可为1,1,3或1,2,2， 若人数为1,1,3时,则有 种不同的安排方法； 若人数为1，2，2时，则有 种不同的安排方法， 由分类计数原理得，共有 种不同的安排方法，所以C正确； 选项D：每人都安排到一个社区，每个社区至少有一人，其中甲、乙不去A社区， 若 社区安排两人，则有 种不同的安排方法； 若A社区只安排一人，则有 种不同的安排方法， 由分类计数原理得，共有 种不同的安排方法，所以D正确. 8． 【答案】BC 【详解】对于A：每个人的工作选择有种，所以不同的方法数为，故A正确； 对于B：每项工作至少有人参加，需要将名同学分成组，其中有一组有人， 先从名同学中选出人组成一组，再将这组安排到个不同的工作岗位上， 所以不同的方法数为，故B错误； 对于C：将人分成人，人，人的组有种分法， 将人分成人，人，人的组有种分法， 所以名同学全部被安排的不同方法数为，故C错误； 对于D：若会议记录仅有人选择，则安排方案有种， 若会议记录有人选择，则安排方案有种， 所以不同安排方案的种数为，故D正确. 三、填空题 9． 【答案】 【分析】按只会划左桨的人进行分类即可求出答案. 【详解】由题意得，这12名划船运动员中任选6人，其中3人划左桨，3人划右桨，可以分为下面3种情况： ①只会划左桨的2人全部安排，双桨都会的5人中选取1人划左桨， 再从剩余的9人中选3人划右桨，有种； ②只会划左桨的2人安排1人，双桨都会的5人中选取2人划左桨， 再从剩余的8人中选3人划右桨，有种； ③只会划左桨的2人安排0人，双桨都会的5人中选取3人划左桨， 再从剩余的7人中选3人划右桨，有种； 综上，共有种. 故答案为： 10． 【答案】64 【分析】设集合，．任取，将除以2，若商仍为偶数，再除以，经过次以后，商必为奇数，此时记商为，从而，是否属于由是否属于确定．设是中所有奇数的集合，则等于的子集个数．由此能求出结果． 【详解】设集合，．任取，将除以2，若商仍为偶数， 再除以，经过次以后，商必为奇数，此时记商为， 于是，其中为奇数，．由条件知， 若，则等价于为偶数； 若，则等价于为奇数． 于是是否属于由是否属于确定． 设是中所有奇数的集合，设为集合中满足题干条件的集合的个数，因此等于的子集个数． 当为偶数（或奇数）时，中奇数的个数是（或， 所以， 所以， 即同时满足三个条件的集合的个数为． 故答案为：64. 11． 【答案】1057 【分析】设值域中元素个数为，对中元素与定义域中剩下的个非值域的元素分别进行选取，利用乘法原理相乘计算即可. 【详解】设值域为，由题意得，设中元素个数为， 因为，令，则，且对，均有， 从而对于给定的值域，有种选取方式，对于定义域中剩下的个非值域的元素，其函数值必须在中， 每个元素可映射到的个元素中的任意一个，因此方式数为种， 所以这样的函数一共有 个. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 排列组合问题及其综合应用 常考题型·精准突破 题型01 排列、组合数的运算问题 题型08 定序问题 题型02 特殊元素优先法 题型09 多面手问题 题型03 相邻问题捆绑法（重） 题型10 隔板法 题型04 不相邻问题插空法（高频） 题型11 正难则反思想的应用（重） 题型05 数字的选择与排序问题 题型12 元素配对问题 题型06 涂色问题（高频） 题型13 环排问题 题型07 分组分配问题（难） 题型14 错排问题 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 题型01 排列、组合数的运算问题 1．（25-26高二下·广东茂名·期末）（    ） A．8 B．9 C．10 D．20 【答案】D 【详解】. 2．（25-26高二下·福建南平·期末）若（且），则（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】根据排列数、组合数及组合数的性质计算即可. 【详解】由，得， 因为且，所以，解得. 当时，， 故. 3．（25-26高二下·河南郑州·期末）计算（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，， 故分子为，又， 因此原式. 4．（25-26高二下·广东清远·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用组合数性质求出的值，再利用组合数的性质计算即可. 【详解】因为，则， 所以 . 5．（25-26高二下·安徽宿州·期末）已知，下列有关排列数、组合数的等式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由组合数的性质、排列数、组合数的计算公式可判断ABCD，或通过展开式中的系数可判断D. 【详解】选项A：由组合数性质知，，故A正确； 选项B：当时，，故B正确； 选项C： ，故C错误； 选项D：法一、直接计算， 法二、展开式中的系数： 右边： . 左边：. 即，故D正确. 6．（多选）（25-26高二下·河南郑州·期末）下列等式中，，，，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】对于A选项，由组合数的性质可得，故A错误； 对于B选项，，故B正确； 对于C选项，，故C正确； 对于D选项，，故D正确. 7．（多选）（25-26高二下·福建福州·期末）下列关于排列数、组合数的等式（，，）中，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】A.根据组合数的对称性可知，，故A正确； B. ，故B错误； C.， ，所以，故C错误； D.因为， 两边取导数得，， 令，得，故D正确. 8．（25-26高二下·河北雄安·期末）若，则________． 【答案】4 【分析】根据排列和组合公式求解即可. 【详解】因为， 所以， 解得或， 由题意可得，解得， 所以. 题型02 特殊元素优先法 1.现要从这5人中选出4人安排在甲、乙、丙、丁4个岗位上，如果A不能安排在甲岗位上，那么一共有多少种不同的安排方法？（    ） A．300 B．120 C．96 D．72 【分析】由分类计数加法原理计算即可． 【详解】若未被选中，则有种安排方法， 若被选中，则有种安排方法， 故共有种安排方法 2.（多选）某单位安排7名员工周一到周日为期一周的值日表，每名员工值日一天且不重复值班，其中甲不排在周一，乙不排在周三，则不同的安排方案种数为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】直接法：若乙安排在周一，则有种不同的排法； 若乙不安排在周一，则甲、乙可以安排在除周一和周三外的任何位置，有种不同的排法． 故所有符合题意的方法共有种，所以选项D正确． 3.甲、乙等5名志愿者参加2025年文化和旅游发展大会的、、、四项服务工作，要求每名志愿者只能参加1项工作，每项工作至少安排1人，且甲不参加项工作，乙必须参加项工作，则不同的安排方法数有（    ） A．36种 B．42种 C．54种 D．72种 【答案】B 【详解】安排B项工作的人数分为两类， 第一类，B项工作仅安排1人，因为甲不参加B项工作，乙必须参加D项工作， 从甲、乙以外的3人中选一人参加B项工作有种方法， 再安排A，C，D项工作，若D项工作安排两人，则有种方法， 若D项工作安排一人，则有种方法， 所以B项工作仅安排1人共种方法， 第二类，B项工作安排2人，有种方法， 由分类加法计数原理，得共有种方法. 故选：B. 4．（25-26高二下·内蒙古包头·期末）某中学举办田径运动会，某班从甲、乙等6名学生中选4名学生代表班级参加学校米接力赛，其中甲只能跑第1棒或第2棒，乙只能跑第2棒或第4棒，那么甲、乙都参加不同棒次安排方案总数为（    ） A．12 B．24 C．30 D．36 【答案】D 【分析】按甲跑第1棒和第2棒分两类讨论，先确定乙的可选位置，再对剩余棒次从其余4名学生中选2人排列，求和得总方案数. 【详解】当甲跑第1棒时：乙可选择第2棒或第4棒，共种安排； 剩余2个棒次需从除甲、乙外的4名学生中选2人排列，排列数为， 此类方案总数为； 当甲跑第2棒时：乙只能选择第4棒，共1种安排； 剩余2个棒次需从除甲、乙外的4名学生中选2人排列，排列数为， 此类方案总数为； 总方案数为 5．（25-26高二下·安徽宿州·期末）小明、小强等5人组队参加的比赛，其中1人作为替补，为了了解他们的位置，小明和小强去问体育老师，体育老师对他们两人说：“虽然我还没有决定最终的位置顺序，但你们一定都不是第一棒”，对小强说“你不是替补”，基于体育老师的话，这5人的位置排列的种数为________． 【答案】 54 【详解】先安排小强的位置，因为小强不能是第一棒且小强不能是替补，所以小强仅可选择第二、三、四棒，共种选法； 再安排第一棒，因为第一棒不能是小明或小强，第一棒只能从除小明、小强外的3名队员中选取，共种选法； 剩余3个位置无额外约束，将剩余3人全排列，共种排法. 根据分步乘法计数原理，总排列种数为. 6．（25-26高二下·湖南·期末）安排4名歌手演出顺序时，要求歌手小张不是第二和最后一个出场，不同排法有________种．（用数字作答） 【答案】12 【详解】先安排小张有种排法，再安排其他三人有种， 所以总共有种方法. 题型03 相邻问题捆绑法 1．（25-26高二下·广东深圳·阶段检测）有六人排成一排，甲､乙两人必须相邻，则满足要求的排法有（    ） A．120种 B．180种 C．240种 D．360种 【答案】C 【详解】将甲、乙两人捆绑为一个整体，两人内部的排列种数为， 将甲乙整体看成一个元素与剩余的4人共5个不同元素进行全排列，排列种数为， 总排法种数为种. 2．（25-26高二下·安徽合肥·期末）甲乙丙丁等8人，每4人站一排，第一排甲乙必须站在一起，第二排丙丁必须站在一起，则不同的站队方法是（   ） A．72 B．216 C．864 D．1152 【答案】C 【分析】根据捆绑法求解即可. 【详解】第一排甲乙站一起有三种可能，同理第二排丙丁站一起也有三种可能，甲乙和丙丁内部顺序分别为：， 其他人直接全排列，所以有种. 3．（25-26高二下·山东聊城·期末）4位家长带2个孩子，6人站成一排，要求排头排尾必须是家长，两个孩子必须相邻，则不同站法有（    ） A．36种 B．72种 C．144种 D．576种 【答案】C 【分析】孩子必须相邻用捆绑，因为排头排尾必须是家长，就将捆绑之后的两个孩子插入除首、末位以外的其中一个空位中. 【详解】第一步将两个孩子捆绑在一起，因为他们之间有顺序，所以有种， 因为排头和排尾必须是家长，先将家长全排共有种，除掉首、末的空位，总共有3个空位，在3个空位中选一个给捆绑在一起的两个孩子，共种，所以总共有种. 4．（25-26高二下·广东深圳·期末）龙城高级中学高二某班周二上午安排语文、数学、物理、自习和英语五节课，要求数学课和自习课必须相邻，则该班周二上午可能的课表排法有（ ）种. A．12 B．24 C．48 D．120 【答案】C 【分析】使用捆绑法求解. 【详解】该班周二上午可能的课表排法有种. 5．（25-26高二下·河北邯郸·期末）若甲、乙、丙、丁等7个人排成一排照相，甲、乙相邻，且丙、丁也相邻，则不同的排法种数为（    ） A．240 B．480 C．720 D．960 【答案】B 【分析】应用捆绑法及排列数求不同的排法种数. 【详解】将甲乙捆绑为1个整体、丙丁捆绑为1个整体，两个整体内部需要全排列， 所以甲乙内部排法种，丙丁内部排法种， 将2个捆绑整体加上剩余的3个人，一共得到个元素， 再作全排列，共有种， 总排法为种. 6．（25-26高二下·广东河源·期末）某中学高二（1）班筹备校园文化展演，安排了名男生和名女生作为班级方阵的领演，人随机排成一列走在队伍最前方，则两位女生相邻的不同排法种数是（    ） A．12 B．16 C．20 D．24 【答案】A 【分析】根据捆绑法求解即可． 【详解】由两位女生相邻，则将两位女生看成一个整体，则女生内部排列，有种排法， 再将一个整体与名男生全排列，有种排法， 所以两位女生相邻的不同排法种数是． 7．（25-26高二下·浙江衢州·期末）一排有6个座位，3个人随机入座，则恰有2人相邻的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】3个人随机入座6个座位，等价于6个座位中选3个进行排列； 种， 下面考虑恰有2人相邻的情况数： 第一步，先从3人中选择2人捆绑在一起作为一个整体并进行内部排列有种. 第二步，剩余的3把椅子成一排，形成4个空隙，将捆绑的2人及剩下的一个人连同座位插入4个空隙共有种； 所以由分步乘法计数原理，共有种. 故恰有2人相邻的概率为：． 题型04 不相邻问题插空法 1．（25-26高二下·河南郑州·期末）甲、乙、丙、丁四个人排成一排，其中甲乙不相邻，则所有的排队方法数为（    ） A．8 B．12 C．16 D．24 【答案】B 【详解】先排丙、丁两人，再将甲、乙插入空隙，则共有种排队方法 2．（25-26高二下·山东潍坊·期末）甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排照相，若甲只能站在两端，丙和丁不相邻，则不同的站法共有（   ） A．12种 B．18种 C．24种 D．30种 【答案】C 【详解】∵ 甲只能站在两端，先安排甲的位置，共有种站法. 再安排无位置约束的乙、戊两人，共有种站法. 乙、戊两人站好后共形成3个空隙（包含两人左右两侧），将丙、丁插入不同空隙即可保证两人不相邻，共有种站法. 根据分步乘法计数原理，不同的总站法共有种. 3．（25-26高二下·湖北咸宁·期末）3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有2位女生相邻，则不同排法的种数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先计算“3位女生中有且只有2位女生相邻”的总排法，再减去“男生甲站两端且3位女生中有且只有2位女生相邻”的排法． 【详解】从3位女生中选2位捆绑为一个整体，内部有顺序，共种方法， 3位男生全排列，共种，排好后形成4个空隙， 把“2人女生组”和“单独女生”插入4个空隙，共种方法， 总排法数为：种， 若甲固定在队伍最左端，剩余2位男生全排列，共种方法， 甲左侧无法插入女生，故3位男生仅形成3个可用空隙， 插入两组女生共种方法， 女生捆绑分组为6种方法， 故甲在左端的排法为：种， 同理，甲在右端的排法为：种， 故甲在两端的总排法为：种， 故“甲不在两端且女生恰有2位相邻”的排法为：种． 4．（25-26高二下·四川达州·期末）甲、乙、丙、丁、戊五人站成一排留影，则甲、乙必相邻，丙、丁不相邻的排法种数为（   ） A．120 B．72 C．48 D．24 【答案】D 【详解】将甲乙捆绑，和戊一起先排，共有种排法， 产生了个空位，任选两个排丙、丁，共有种排法， 所以共有种排法. 5．（25-26高二下·山东淄博·期末）某班有5名男生和3名女生参加科技节开幕式，按照指定的8个连续座位就坐，其中女生互不相邻，那么不同的坐法种数为（   ） A．7200 B．120 C．2400 D．14400 【答案】D 【分析】利用插空法求解. 【详解】先排5名男生，有种排法， 这时形成6个空，选其中的3个空排女生，有种排法， 所以不同的坐法种数为. 6．（25-26高二下·湖北鄂州·期末）某校举行“数学文化节”活动，有5个不同的节目参加汇演，其中包含一个舞蹈节目和一个合唱节目，要求舞蹈节目必须在合唱节目之前演出，且这两个节目不能相邻，则不同的节目顺序有（     ） A．36种 B．72种 C．24种 D．240种 【答案】A 【分析】先给除舞蹈节目和合唱节目外的三个节目排序，再用插空法排舞蹈节目和合唱节目. 【详解】参加汇演的节目除一个舞蹈节目和一个合唱节目外，其余3个有种排列方法； 此时，可产生4个空位，让一个舞蹈节目和一个合唱节目插空，且舞蹈节目必须在合唱节目之前演出，即顺序确定， 所以有种排法. 因此，共有种不同的节目顺序. 7．（多选）（25-26高二下·新疆克孜勒苏·期末）甲、乙、丙等5人排成一列，下列说法正确的有（　　） A．若甲和乙相邻，共有48种排法 B．若甲不排第一个共有24种排法 C．若甲与丙不相邻，共有36种排法 D．若甲在乙的左边（不一定相邻），共有60种排法 【答案】AD 【分析】利用捆绑法可判断A选项；利用特殊元素优先可判断B选项；利用插空法可判断C选项；利用组合法可判断D选项. 【详解】选项A:若甲和乙相邻，将甲和乙捆绑，形成一个大元素，与其余四个元素排序 共有种排法，A对; 选项B：若甲不排第一个，则甲有4种排法，其余全排，共有种，B不正确； 选项C，若甲与丙不相邻，将除甲和丙以外的人全排，然后将甲与丙插入其余3人所形成的个空中的个空，所以，共有种排法，C错； 选项D，若甲在乙的前面，只需在5个位置中先选两个位置排甲、乙，且甲排在乙的前面，然后将其余3个人全排，共有种排法，D对. 8．（多选）（25-26高二下·山西太原·期末）将不同年级的3本数学书和3本不同的物理书排列在同一层书架上，则下列结论正确的是（     ） A．若3本数学书都相邻，则不同排列的方法种数为24 B．若3本数学书都不相邻，则不同排列的方法种数为144 C．若3本数学书按年级从小到大顺序排列，则不同排列的方法种数为120 D．若将这6本书分给甲、乙、丙三人，每人1本数学书和1本物理书，则不同排列的方法种数为36 【答案】BCD 【分析】根据题意，利用捆绑法、插空法，以及元素定序法等，结合选项，逐项求解，即可得到答案. 【详解】对于A，把3本数学书看成一个整体，则有种排法，所以A错误； 对于B，先排3本不同的物理书，再在4个空隙中插入3本不同的数学书， 则有种不同的排法，所以B正确； 对于C，先对6本书进行全排列，有种不同的排法， 因为3本数学书按年级从小到大顺序排列，则有种排法，所以C正确； 对于D，将这6本书分给甲、乙、丙三人，每人1本数学书和1本物理书， 可先分数学书，再分物理书，则有种不同的排法，所以D正确. 题型05 数字选择与排序问题 1．（25-26高二下·广东深圳·阶段检测）从0，1，2，3，4，5这六个数字中，任取两个不同的数字相加，其和为偶数的不同取法的种数为：（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】六个数字中有三个偶数，分别是；有三个奇数，分别是. 从三个偶数中任取两个，其和为偶数，有种不同取法； 从三个奇数中任取两个，其和为偶数，有种不同取法. 所以共有种不同取法. 2．（26-27高二上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）现有5张除所写数字外完全相同的卡片，其中2张写有数字7，另外3张分别写有数字2、3、5， 将卡片放入袋中搅匀，从中随机取出4张，用取出的卡片上的数字组成四位数，共可组成不同四位数的个数为（    ） A．60 B．72 C．84 D．120 【答案】A 【分析】按取出的4张卡片中写有数字7的张数分为两类，分别计算每类可组成的不同四位数个数，再根据分类加法计数原理即可求解. 【详解】当取出的卡片写有数字7的张数为1时，能组成个不同的四位数； 当取出的卡片写有数字7的张数为2时，能组成个不同的四位数； 则从中随机取出4张卡片，共可组成个不同的四位数. 3．（25-26高二下·全国·课后作业）为优惠于民，某通信运营商推出“优惠卡活动”，每张卡卡号的前7位是固定的．现从后4位号码为“0000”到“9999”的10000张卡中选带有“6”或“9”的卡作为“优惠卡”，则“优惠卡”的张数是（   ） A．1980 B．4096 C．5904 D．8020 【答案】C 【分析】直接统计 “含有 6 或 9” 情况较多，采用间接法（正难则反），先计算后四位既不含数字 6、也不含数字 9 的号码数量，再用总号码数去减，得到优惠卡张数. 【详解】卡号后四位每一位可取 0∼9，共 10 个数字, 若既不含 6，也不含 9，则每一位只能从剩下 8 个数字中选取， 由分步乘法计数原理得到后4位不含6且不含9的卡共有张． 卡号后4位共有种，因此优惠卡有张． 4．（25-26高二下·安徽合肥·期末）设，且，则由，，，可以构成不相同的四位数的个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先确定满足的组合，再计算每组对应的的可选个数，最后计算每组可构成的不同四位数的个数，相乘得到总结果. 【详解】由且，得只能取，对应为，共组合法的， 因为集合，元素互异，故且，每组对应的可选值有种， 数字为两个、一个、一个，存在重复元素，故每组可构成的不同四位数有种， 所以总个数为，故C正确. 5．（25-26高二下·福建泉州·期末）用组成的没有重复数字的三位数中，偶数的个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】偶数的个位数字只能为或，则三位偶数总个数为. 6．（2026·上海闵行·二模）小闵同学打算将“20260407”中的8个数字“”进行排列得到密码.如果排列时要求两个“2”相邻且三个“0”不相邻，那么小闵可以设置的不同密码的个数为______. 【答案】240 【分析】利用相邻问题及不相邻问题列式求解. 【详解】将两个2绑在一起视为一个数，与作全排列，再在形成的5个间隙中插入3个0， 所以不同密码个数为. 7．（25-26高二下·重庆北碚·期末）用数字0，1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的数.（写出必要的过程，结果用数字作答） (1)可以组成多少个四位数； (2)可以组成多少个能被5整除的四位数. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分两步，先排最高位，其余的3个位置没有限制任意排； （2）分末尾是0和5排列. 【详解】（1）先排最高位有6种方法，其余的3个位置没有限制，任意排，有种方法． 根据分步计数原理，可组成没有重复数字的四位数的个数为； （2）5的倍数，若末尾是0，则有＝120个； 若末尾是5，有个． 共有． 题型06 涂色问题 1．（25-26高二下·四川乐山·期末）如图，现要对某市的5个区域地图进行着色，有4种颜色可供选择，要求有公共边的两个地区不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有（   ） A．48种 B．72种 C．96种 D．108种 【答案】B 【分析】应用分步分类计数原理求不同着色方法数. 【详解】第一步涂：有种颜色可选，共种选择， 第二步涂：与不同色，共种选择， 第三步涂：与都不同色，共种选择， 第四步涂、：分两类讨论， 当与同色时， 只有种， 与相邻，只需排除两种颜色，共种， 此情况总数， 当与不同色时， 需要排除三种颜色，共种， 与相邻，需要排除三个不同颜色，共种， 此情况总数， 所以总着色方法为种. 2．（25-26高二下·四川广安·期末）如图，现须用3种颜色对4个区域着色，要求有公共边的两个区域不能用同一种颜色，共有几种不同的着色方法（     ）    A．3 B．6 C．12 D．24 【答案】C 【详解】由分步计数原理，第一步涂区域共有3种着色方法，第二步涂区域只有2种着色方法， 第三步涂区域有1种着色方法，最后涂区域有2种着色方法， 所以一共有种着色方法. 3．（25-26高二下·江苏徐州·期末）现有5种不同的颜色，对如图所示的四个方格涂色，要求有公共边的两个方格涂不同的颜色，则不同的涂色方法共有（    ） A．120种 B．144种 C．240种 D．260种 【答案】D 【分析】利用分步乘法计数原理，根据对角位置的方格颜色是否相同进行分类讨论求解. 【详解】设四个方格分别为（左上）、（右上）、（左下）、（右下）， 其中与不相邻，与不相邻. 根据与涂色是否相同，分两类情况讨论： 第一类：与涂同一种颜色， 涂，有5种选法；涂，因与同色，有1种选法； 涂，因与、相邻（即与相邻），有4种选法； 涂，因与、相邻（即与相邻），有4种选法。 根据分步乘法计数原理，此类情况共有种方法； 第二类：与涂不同种颜色， 涂，有5种选法；涂，因与不同色，有4种选法； 涂，因与、均相邻且、颜色不同，故需避开这两种颜色，有3种选法； 涂，因与、均相邻且、颜色不同，故需避开这两种颜色，有3种选法. 根据分步乘法计数原理，此类情况共有种方法. 综上所述，不同的涂色方法共有种. 4．（25-26高二下·四川成都·期中）如图所示的挂件由7个圆组成，中心圆为主挂件，从中心向三个方向延伸出分挂件，每个方向有两个分挂件，靠近主挂件的为第一层分挂件，远离主挂件的为第二层分挂件．现用四种不同的颜色给所有的挂件涂色，要求相邻的挂件涂不同的颜色，且同一层的分挂件涂不同的颜色，则所有的涂色方法种数为（     ）    A．192 B．216 C．264 D．288 【答案】C 【分析】先对图中挂件进行编号，根据已有条件分析讨论各层挂件的涂色方法数，从而得出所有的涂色方法种类数. 【详解】该挂件进行如图所示的编号：    依题意1号有4种涂色方案，2，3，4号有种涂色方法， 分情况讨论5，6，7号的涂色方法： 第一种：若5号与1号同色，6号与2号同色，则7号只有1种涂色方法； 因此5，6，7号的涂色有种涂色方法， 第二种：若5号与1号同色，6号与2号异色，此时6号只有1种涂色方法，则7号有2种涂色方法， 因此5，6，7号的涂色有种涂色方法， 第三种：若5号与1号异色，与3号同色，此时5号只有1种涂色方法， 当6号与4号同色时，则7号有2种涂色方法， 当6号与4号异色时，6号有2种涂色方法，7号有1种涂色方法； 因此5，6，7号的涂色有种涂色方法， 第四种：若5号与1号、3号均异色，则5号只有1种涂色方法，6号、7号均有两种涂色方法， 因此5，6，7号的涂色有种涂色方法， 综上可知，所有涂色方法种类数为种涂色方法. 5．（多选）（25-26高二下·河北唐山·期中）将图中A，B，C，D，E五块区域涂上颜色，现有4种不同的颜色可供选择，则下列说法正确的是（   ） A．若每块区域任意涂上一种颜色，则共有种不同涂法 B．若只用3种不同颜色，且相邻区域不同色，则共有24种不同涂法 C．若4种不同颜色全部用上，B，D同色，且相邻区域不同色，则共有48种不同涂法 D．若4种不同颜色全部用上，B，D不同色，且相邻区域不同色，则共有48种不同涂法 【答案】AB 【详解】对于A，每块区域任意涂上一种颜色，即每块区域都有4种选择，则有种不同涂法，A正确； 对于B，若只用3种不同颜色，且相邻区域不同色，则和同色，和同色，则共有种不同涂法，故B正确； 对于C，因4种不同颜色全部用上，，同色，相邻区域不同色，故可以先涂，区域，有种涂法， 因三个区域都与，相邻，故只需将余下的3种颜色在上全排，有种涂法，则共有种涂法，故C错误； 对于D，按照的顺序涂，每一个区域需要一个颜色，此时有种涂法， 因，不同色（只有一种颜色可选），此时四块区域所用颜色各不相同，涂只能与同色，此时共有24种涂法，故D错误. 6．（2027高二·全国·专题练习）如图，要给 5 个区域染色，有 5 种不同的颜色可供选择，并要求相邻区域颜色不同，则不同的染法种数为_____. 【答案】540 【分析】每个区域只染一个颜色，且相邻区域颜色不同，根据图形特点，先给中间区域③涂色，然后再考虑剩余部分即可求解. 【详解】先给③选择一个颜色，有种； 剩下的①‑②‑④‑⑤这4个区域看作直线链条，4 个区域，4 种剩余颜色，相邻区域颜色不同， 第一个区域①：4 种；后面每一个都不能和前一个同色，各 3 种：； 所以不同的染法种数为. 7．（25-26高二下·四川成都·期中）小明周末打开了一款航天基地主题的游戏，看着屏幕上熟悉的平面布局，他突然意识到沉迷游戏不如用数学探索世界．于是他将基地平面图转化为涂色问题：中央中控楼不涂色，周围五个功能区域如图所示．现用红、黄、蓝、绿四种颜色给这五个区域涂色，要求相邻区域不同色（其中四种颜色可以用完，也可以不需用完）．则不同的涂色方法有______种（用数字作答）． 【答案】168 【分析】先分两类讨论，每一类用分步乘法计数原理计算，最后再用分类加法计数原理相加可求解. 【详解】根据题意，有以下两种情况： （1）工业区和离心机室颜色相同，则工业区有4种涂法，宿舍区有3种涂法，浮力室有2种涂法，离心机室有1种涂法，黑室有3种涂法，共有 种； （2）工业区和离心机室颜色不同，则工业区有4种涂法，宿舍区有3种涂法，浮力室有2种涂法，离心机室有2种涂法，黑室有2种涂法，共有种； 综上，共有72 种. 题型07 分组分配问题 1．（25-26高二下·广东茂名·期末）2026年广东省运动会在茂名市举办，某个活动安排2名志愿者完成4项不同的赛事服务工作，每人至少完成一项，每项工作由一人完成，则不同的安排方式共有（    ） A．11种 B．12种 C．13种 D．14种 【答案】D 【分析】先将4项不同的工作分成2组，再分配给两名志愿者，由分步乘法计数原理即可得结果. 【详解】将4项不同的工作分成两组，共有两类分组情况： 分为1项、3项的两组，则共有种； 分为2项、2项的两组，则共有种； 所以总的分组方法有种， 再将分好的两组分配给2名不同的志愿者，分配方法有种， 所以由分步乘法计数原理，总的安排方式有种. 2．（25-26高二下·湖南长沙·期末）将A、B、C、D、E、F六名志愿者分配到两个不同的地点开展工作，要求A、B必须在同一组，且每组至少两人，则不同的分配方案有（   ） A．18种 B．20种 C．22种 D．24种 【答案】C 【分析】先确定 A、B 所在的地点，再从其余 4 人中选出分配到另一个地点的人.由于两个地点不同，需要区分 A、B 被分到哪个地点. 【详解】先确定 A、B 所在的地点，共有 种选择. 固定 A、B 在其中一个地点后，该地点已经有 2 人. 为了使另一个地点至少有 2 人，需要从 C、D、E、F 中选出至少 2 人到另一个地点（剩下未选的人和A，B一组）. 因此，在 A、B 所在地点确定的情况下，分配方案数为 所以不同的分配方案共有种. 3．（25-26高二下·山东威海·期末）现安排包含甲、乙的名志愿者到，，三个社区做志愿服务工作，每个社区至少安排人，则甲、乙被分配到同一个社区的安排方法种数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据捆绑法、分步乘法计数原理及排列组合知识求解即可. 【详解】把甲、乙看作一个整体，相当于将个元素分成组，每组至少个元素，分组方式只能是， 则分组的方法数为， 将分好的组全排列，分配到个社区，方法数为， 故总方法数为种，故C正确. 4．（25-26高二下·重庆璧山·期末）高三年级1、2、3、4、5、6六个班负责甲、乙、丙、丁、戊五个区域的卫生，每个班负责一个区域，每个区域至少有一个班级负责，其中1班和2班都不去区域甲，则不同的任务分配方法种数为（    ） A．872 B．966 C．1104 D．1228 【答案】C 【分析】分甲区域去1个和2个班讨论即可. 【详解】第一类方法：甲区域去两个班，因为1班和2班都不去区域甲，所以从3、4、5、6四个班中选两个班去甲区域，其余四个班去其余四个区域，这样的分配方法有： 种； 第二类方法：甲区域去一个班，因为1班和2班都不去区域甲，所以从3、4、5、6四个班中选一个班去甲区域，再从剩余的五个班中选两个班，并成一组，和其他班分配到其余四个区域，这样的分配方法有： 种. 综上，不同的任务分配方法种数为. 5．（25-26高二下·河南许昌·期末）某高校选派5名大学生志愿者到、、三所学校开展义务帮扶活动，其中每所学校至少去一名志愿者，每名志愿者只去一所学校，若志愿者甲必须去学校，乙不能单独去任一所学校，则不同的选派方案共有（     ） A．30种 B．36种 C．48种 D．54种 【答案】B 【分析】先分乙去学校进行分类，再按剩下人去学校的个数分类. 【详解】若乙去学校，则剩下人的安排有两种情况： 人去不同学校，共有种；人去所学校，共有种；共种， 若乙去学校，则剩下人的安排有两种情况： 人去不同学校，共有种；人去所学校，共有种；共种， 同理，若乙去学校，共有种； 故不同的选派方案共有种. 6．（多选）（25-26高二下·甘肃酒泉·期末）将2男2女共4个优秀毕业生分配给，，，四个公司，每人只去一个公司，则下列说法正确的是（    ） A．共有24种分配方法 B．每个公司都有分配到人，有24种分配方法 C．恰好有一个公司未分配到人，有144种分配方法 D．每个公司都有分配到人，且公司只要女生，有12种分配方法 【答案】BCD 【详解】对于A：将2男2女共4个优秀毕业生分配给，，，四个公司，共有种选择，A错误； 对于B：每个公司都有分配到人，共有种选择，B正确； 对于C：恰好有一个公司未分配到人，先选出一个公司不分配人，有种方法， 再将四个人分配到三个公司，这三个公司都至少有一个人，有种方法， 恰好有一个公司未分配到人，有种分配方法，C正确； 对于D：每个公司都有分配到人，且公司只要女生，先分给公司，有2种方法，再分给其他公司， 有种方法，每个公司都有分配到人，且公司只要女生，有12种分配方法，D正确. 7．（25-26高二下·甘肃·期末）某学校组织科技竞赛，现有6名指导教师负责命题、监考、阅卷三项工作，要求每项工作至少安排1名指导老师，每名指导老师都只能参加一项工作，则不同的分配方法共有_____种． 【答案】540 【分析】把6名教师分成3组，每组至少1人，对应三项不同工作，分组为：人数为，人数为，人数为，分别按照分组情况求出分组的组数，再求出分配到3项工作的种数，利用分类加法计算原理求解. 【详解】把6名教师分成3组，每组至少1人，对应三项不同工作，分组为： 人数为 ，人数为 ，人数为 当分组为时，分组的组数有种，再分配到3项工作有种， 则共有种， 当分组为时，分组的组数有种，再分配到3项工作有种， 则共有种， 当分组为时，分组的组数有种，再分配到3项工作有种， 则共有种， 综上可得，不同的分配方法共有. 题型08 定序问题 1．（25-26高二下·四川达州·期中）某次灯谜大会共设置6个不同的谜题，分别藏在如图所示的6只灯笼里，每只灯笼里仅放一个谜题.并规定一名参与者每次只能取其中一串最下面的一只灯笼并解答里面的谜题，直到答完全部6个谜题，则一名参与者一共有（   ）种不同的答题顺序. A．60 B．75 C．12 D．720 【答案】A 【分析】定序问题，使用倍缩法，用全排列除以内部排序即可. 【详解】首先将6只灯笼全排，即， 因为每次只能取其中一串最下面的一只灯笼内的谜题，每次取灯的顺序确定， 即除以内部排序即可，故取谜题的方法有. 2．（25-26高二下·湖北武汉·期中）下列说法正确的是（   ） A． B．被8除的余数为1 C．甲、乙、丙、丁等6人排成一排，甲、乙、丙三人身高都不相等且三位同学从左到右按照由高到矮的顺序站，共有120种排法 D．现有6本不同的书，分成三份，每份2本，共有90种分法 【答案】C 【详解】对A：根据组合数的性质，，故A错误； 对B：因为（）， 所以被8除的余数为7，故B错误； 对C：满足条件的排法有种，故C正确； 对D：按平均分组的方法，不同的分法有种，故D错误. 3．（多选）（25-26高二下·广东广州·期中）甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（   ） A．如果甲、乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法有24种 B．最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有40种 C．甲、乙不相邻的排法种数为72种 D．甲、乙、丙按从左到右的顺序排列的排法有20种 【答案】ACD 【分析】对于A利用捆绑法可求，对于B分成甲在左和乙在左两类进行排列，对于C采用插空法求解，对于D按定序问题求解. 【详解】对于A，如果甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，可将甲乙捆绑看成一个元素， 则不同的排法有种，故A正确； 对于B，最左端排甲时，有种不同的排法， 最左端排乙时，最右端不能排甲，则有种不同的排法， 最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲， 则不同的排法共有种，故B错误； 对于C，因为甲乙不相邻，先排甲乙以外的三人，再让甲乙插空， 则有种，故C正确； 对于D，甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有种，故D正确． 4．（25-26高二上·山东德州·期末）某4位同学排成一排准备照相时，又来了2位同学要加入，如果保持原来4位同学的相对顺序不变，则不同的加入方法种数为______． 【答案】30 【分析】根据排列中的定序问题的处理方法计算求解. 【详解】6位同学排成一排准备照相时，共有种排法， 如果保持原来4位同学的相对顺序不变，则有种排法. 故答案为：30 5．（25-26高二上·陕西汉中·阶段检测）某次文艺晚会上计划演出7个节目，其中2个歌曲节目，3个舞蹈节目，2个小品节目，需要制作节目单： (1)唱歌节目排在两头，有多少种排法？ (2)唱歌节目相邻，舞蹈节目相邻，两个小品节目不相邻，有多少种排法？ (3)三个舞蹈节目出场顺序固定，有多少种排法？ 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）先排两头的唱歌节目，再排中间的5个节目，即可得解； （2）第一步，先将2个唱歌节目全排列，再将这2个唱歌节目看成一个整体，第二步，先将3个舞蹈节目全排列，再将这3个舞蹈节目看成一个整体，第三步，把这两个整体进行全排列，此时这两个整体的全排列，形成3个空，将2个小品节目插入这3个空中，即可得解； （3）先将7个节目进行全排列，再由3个舞蹈节目出场顺序固定，就是7个节目的全排列数除以3个舞蹈节目的全排列数，即为所求. 【详解】（1）2个唱歌节目排在两头，先排两头的唱歌节目，有种，再排中间的5个节目，有种， 则唱歌节目排在两头，有种排法； （2）2个唱歌节目全排列，排法有种，将这2个唱歌节目看成一个整体， 3个舞蹈节目全排列，排法有种，将这3个舞蹈节目看成一个整体， 把这两个整体进行全排列，排法有种，此时这两个整体的全排列，形成3个空， 将2个小品节目插入这3个空中，排法有种， 则唱歌节目，舞蹈节目相邻，两个小品节目不相邻， 有种； （3）7个节目进行全排列，排法有种，3个舞蹈节目出场顺序固定，则不同的排法有种. 题型09 多面手问题 1.我校去年11月份，高二年级有10人参加了赴日本交流访问团，其中3人只会唱歌，2人只会跳舞，其余5人既能唱歌又能跳舞．现要从中选6人上台表演，3人唱歌，3人跳舞，有（   ）种不同的选法． A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据题意可按照只会跳舞的人中入选的人数分类处理． 第一类个只会跳舞的都不选，则从既能唱歌又能跳舞的5人中选择3人来跳舞，接着从剩余的5人中选择3人唱歌，故有种； 第二类个只会跳舞的有人入选，有种，再从从既能唱歌又能跳舞的5人中选择2人来跳舞，有种，再从剩余的6人中选择3人唱歌，有种，故有种； 第三类个只会跳舞的全入选，有种，再从从既能唱歌又能跳舞的5人中选择1人来跳舞，有种，再从剩余的7人中选择3人唱歌，有种，有种， 所以共有种不同的选法， 故选：A． 2.某国际旅行社现有11名对外翻译人员，其中有5人只会英语，4人只会法语，2人既会英语又会法语，现从这11人中选出4人当英语翻译，4人当法语翻译，则共有（    ）种不同的选法 A．225 B．185 C．145 D．110 【答案】B 【解析】根据题意，按“2人既会英语又会法语”的参与情况分成三类． ①“2人既会英语又会法语”不参加，这时有种； ②“2人既会英语又会法语”中有一人入选， 这时又有该人参加英文或日文翻译两种可能， 因此有种； ③“2人既会英语又会法语”中两个均入选， 这时又分三种情况：两个都译英文、两个都译日文、两人各译一个语种， 因此有种． 综上分析，共可开出种． 故选：B． 3.“赛龙舟”是端午节的习俗之一，也是端午节最重要的节日民俗活动之一，在我国南方普遍存在端午节临近，某单位龙舟队欲参加今年端午节龙舟赛，参加训练的8名队员中有3人只会划左桨，3人只会划右桨，2人既会划左桨又会划右桨．现要选派划左桨的3人、划右桨的3人共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有（    ） A．26种 B．30种 C．37种 D．42种 【答案】C 【解析】根据题意，设只会划左桨的3人，只会划右桨的3人，既会划左桨又会划右桨的2人，据此分3种情况讨论： ①从中选3人划左桨，划右桨的在（）中剩下的人中选取，有种选法， ②从中选2人划左桨，中选1人划左桨，划右桨的在（）中选取，有种选法， ③从中选1人划左桨，中2人划左桨，中3人划右桨，有种选法， 则有种不同的选法． 故选：C． 4.某龙舟队有9名队员，其中3人只会划左舷，4人只会划右舷，2人既会划左舷又会划右舷．现要选派划左舷的3人、右舷的3人共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有（    ） A．56种 B．68种 C．74种 D．92种 【答案】D 【解析】根据划左舷中有“多面手”人数的多少进行分类：划左舷中没有“多面手”的选派方法有 种，有一个“多面手”的选派方法有种，有两个“多面手”的选派方法有种，即共有(种)不同的选派方法． 故选：D 5.某龙舟队有8名队员，其中3人只会划左桨，3人只会划右桨，2人既会划左桨又会划右桨.现要选派划左桨的3人、划右桨的3人共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有（    ） A．26种 B．30种 C．37种 D．42种 【答案】C 【解析】根据题意，设只会划左桨的3人，只会划右桨的3人，既会划左桨又会划右桨的2人， 据此分3种情况讨论： ①从中选3人划左桨，划右桨的在中剩下的人中选取，有种选法， ②从中选2人划左桨，中选1人划左桨，划右桨的在中剩下的人中选取，有种选法， ③从中选1人划左桨，中2人划左桨，中3人划右桨，有种选法， 则有种不同的选法； 故选：C． 6.在名工人中,有人只当钳工, 人只当车工,另外人既会钳工又会车工，现从人中选出人当钳工, 人当车工,则共有（    ）种不同的选法. A． B． C． D． 【答案】D 【解析】按即会钳工又会车工的2人分类： 2人都不选的情况有种， 只选1人且当钳工的情况有种， 只选1人且当车工的情况有种， 选2人其中1人钳工1人车工的情况有种， 选2人都当钳工的情况有种， 选2人都当车工的情况有种， 由分类加法原理得选法有种. 故选：D. 7.某公园有P，Q，R三只小船，P船最多可乘3人，Q船最多可乘2人，R船只能乘1人，现有3个大人和2个小孩打算同时分乘若干只小船，规定有小孩的船必须有大人，共有不同的乘船方法为 A．36种 B．33种 C．27种 D．21种 【答案】C 【解析】第一类，船两大人一小孩，船一大人一小孩：有种方法. 第二类，船一大人两小孩，船两大人：有种方法. 第三类，船一大人两小孩，船一大人，船一大人：有种方法. 第四类，船一大人一小孩，船一大人一小孩，船一大人：有种方法. 根据分类加法计数原理，共有种不同的方法. 故选C. 考点：排列、组合、分类加法计数原理. 8.有6 名学生，其中有3 名会唱歌，2 名会跳舞，1名既会唱歌又会跳舞，现从中选出2 名会唱歌的，1名会跳舞的，去参加文艺演出，求所有不同的选法种数为 A．18 B．15 C．16 D．25 【答案】B 【解析】名会唱歌的从中选出两个有种,名会跳舞的选出名有种选法,但其中一名既会唱歌又会跳舞的有一个,两组不能同时用他,共有种，故选B. 题型10 隔板法 1．（25-26高二下·广东广州·期末）将6个相同的布娃娃分给3位小朋友，要求每一位小朋友至少有一个布娃娃，则不同的分配方案有（ ） A．540种 B．90种 C．60种 D．10种 【答案】D 【分析】对6个相同的元素进行分配，利用隔板法，在5个间隙中加入2块隔板即可. 【详解】6个相同的布娃娃排成一排，中间有5个间隙，要分给3位小朋友，且每位小朋友至少有一个布娃娃， 则只需插入2块隔板，把它分成3份，每份至少1个，共有种. 2．（25-26高二下·贵州贵阳·期末）贵阳某中学要进行爱心义卖活动，需要挑选10名志愿者，10个相同的志愿者名额要分配给负责协调工作的8个部门，每个部门至少一个名额，则名额分配方法有（   ） A．45种 B．36种 C．28种 D．8种 【答案】B 【分析】利用隔板法求解. 【详解】10个名额为相同元素，可用隔板法， 10个相同元素分为8组，即将7个隔板插入9个空，. 3．（25-26高二下·贵州遵义·期中）方程的非负整数的个数为（   ） A．495 B．715 C．1001 D．2002 【答案】B 【分析】利用隔板法求解. 【详解】，， 则问题转化为将14个相同的元素分成5份，每份至少1个， 需要在14个元素之间的13个空隙中插入4个隔板， 则方程非负整数解的个数有. 4．（25-26高二下·贵州遵义·期中）方程的正整数解的个数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先确定变量的正整数取值，再对剩余变量的和用挡板法分情况计算分组数，累加得到结果. 【详解】已知均为正整数，即. 由， 结合，得，解得，故可取. 利用挡板法：将个相同元素分为3组且每组至少1个，分组方式数为. 当时，，分组数， 当时，，分组数， 当时，，分组数， 当时，，分组数， 因此，总分组方式数为. 5．（25-26高二下·全国·课后作业）将10本完全相同的科普知识书全部分给甲、乙、丙3人．若每人至少分得1本，则不同的分法种数为______；若每人至少分得2本，则不同的分法种数为______． 【答案】 36 15 【详解】将10本完全相同的书全部分给甲、乙、丙3人，每人至少分得1本， 则可利用“隔板法”，在这10本书中间形成的9个间隔中选2个，插入隔板， 将书分成3组，即不同的分法种数为． 若每人至少分得2本，则先从10本书中拿出3本，分给每人1本， 再将余下7本书分给3个人，每人至少分1本， 采用“隔板法”得不同的分法种数为． 故答案为：36；15． 6．（25-26高二下·江苏淮安·期中）流感期间，班长拿了18个口罩发给5名感冒的学生，每位学生至少发3个口罩，则不同的发放方法有________种． 【答案】35 【分析】问题等价转化为将8个口罩分给5个人，使用隔板法求解即可. 【详解】由题意，5名学生每人至少3个口罩，若每人2个，则需要分出10个， 所以18个口罩余下8个，化为将8个口罩分给5个人，每人至少一个口罩， 使用隔板法可得共有种. 题型11 正难则反思想的应用 1．（25-26高二下·四川遂宁·期中）遂宁东辰新闻节目组依次录制遂宁市7个旅游景点：灵泉寺、广德寺、龙凤古镇、大英死海、沱牌产业园、蓬溪红海、观音湖的宣传视频，要求灵泉寺和广德寺不相邻，灵泉寺和观音湖相邻，且龙凤古镇不排在首和尾，不同排列种数为（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据相邻和不相邻利用捆绑法和插空法求出不考虑龙凤古镇位置的排列种数，再求出龙凤古镇在特殊位置的排列种数，从而可以求解. 【详解】不考虑龙凤古镇的位置，有种； 当龙凤古镇排在首位时，有种， 同理，当龙凤古镇排在尾位时，有种； 所以满足要求的排列种数为种. 2．某学校筹备元旦晚会节目单时，准备在前五个节目排三个歌唱节目，一个小品节目以及一个相声节目，若三个歌唱节目最多有两个相邻，则不同的排法总数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用间接法求解，先求出五个节目的全排列数，再求出三个歌唱节目都相邻的排法数，相减即可得结果. 【详解】三个歌唱节目，一个小品节目以及一个相声节目的全排列的排列数为，其中三个歌唱节目都相邻的排法数为，故满足条件的排法数为，所以三个歌唱节目最多有两个相邻的排法总数为84， 故选：C. 3．四面体的顶点和各棱的中点共10个点．在这10点中取4个不共面的点，则不同的取法种数为（    ） A．141 B．144 C．150 D．155 【答案】A 【分析】求出从10个点中任取4个点的取法，减去不合题意的结果可得答案． 【详解】从10个点中任取4个点有种取法，其中4点共面的情况有三类． 第一类，取出的4个点位于四面体的同一个面上，有种； 第二类，取任一条棱上的3个点及该棱所对棱的中点，这4点共面，有6种； 第三类，由中位线构成的平行四边形（其两组对边分别平行于四面体相对的两条棱）， 它的4顶点共面，有3种． 以上三类情况不合要求应减掉，∴不同的取法共有种． 故选：A． 4．因为疫情防控的需要，某校高二年级4名男教师和3名女教师参与社区防控新冠肺炎疫情的志愿服务．根据岗位需求应派3人巡视商户，且至少一名男教师；另外4人去不同的4个小区测量出入人员体温，则这7名教师不同的安排方法有（    ）种． A．34 B．816 C．216 D．210 【答案】B 【分析】先采用间接法求解巡视商户的3人中至少一名男教师的安排方法种数，然后再求解另外4人去不同的4个小区测量出入人员体温的安排方法种数，综合即可得出结果． 【详解】从7人中任选3人，不同的选法有种，而不选男教师的选法有种， 则巡视商户的3人中至少一名男教师安排方法有种， 另外4人去不同的4个小区测量出入人员体温的安排方法有种． 则这7名教师不同的安排方法有种． 故选：B． 5．（25-26高二下·河北沧州·期末）现安排6名学生去参加3个项目，要求甲、乙两同学不能参加同一个项目，每个项目都有人参加，每人只参加一个项目，则满足上述要求的不同安排方案种数为________．（用数字作答） 【答案】390 【分析】本题主要考查分组分配问题，采用间接法：先求总方案数，再减去甲、乙同项目的方案数.总方案数：将6名学生分配到3个不同项目，每个项目至少一人，利用容斥原理计算.甲、乙同项目：先捆绑甲乙，再分配剩余4人，保证其他两个项目有人，最后减去. 【详解】总方案数：每个学生有3种选择，但需每个项目非空; 方案数为： 甲、乙同项目的方案数：先让甲乙选一个项目，有种选择. 剩余4人分配到3个项目，要求甲乙未选的两个项目至少各有一人; 剩余4人的分配数： 故甲乙同项目的方案数为. 因此满足甲乙不同项目的方案数为. 题型12 元素配对问题 1．（25-26高二下·广西河池·期中）小明有4件不同的上衣、5条不同的裤子、2双不同的鞋子．他从中各选一件搭配，不同的穿法共有（     ） A．11种 B．22种 C．24种 D．40种 【答案】D 【分析】应用分步乘法原理计算求解. 【详解】第一步选上衣有4种选法，第二步选裤子有5种选法，第三步选鞋子有2种选法，所以共有种选法. 2．（25-26高二下·河北衡水·期中）小明有件不同的上衣、条不同的裤子、双不同的鞋子.他从中各选一件搭配，不同的穿法共有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】C 【详解】第一步选上衣有3种选法，第二步选裤子有4种选法，第三步选鞋子有2种选法， 所以共有种选法. 3．（25-26高二下·全国·课堂例题）现有4件不同款式的上衣和3件不同颜色的长裤，如果一件上衣和一条长裤配成一套，则不同的搭配法种数为（   ） A．7 B．12 C．64 D．81 【答案】B 【分析】根据分步乘法计数原理将问题分为两步，再将每一步的方法数相乘即可求得结果. 【详解】完成一种搭配有两个步骤，第一步，选上衣有4种不同的选法； 第二步，选长裤有3种不同的选法． 所以根据分步乘法计数原理共有（种）不同的搭配方法． 故选：B 4．（25-26高二下·新疆·期中）双互不相同的鞋子混装在一只口袋中，从中任意取出4只，求满足下列条件的不同取法种数． (1)4只鞋子恰为2双； (2)4只鞋子中有2只成双，另2只不成双． 【答案】(1)种 (2)种 【分析】（1）把“4只鞋子恰为2双”转化为“选取2组完整成对的鞋子”，问题转化为从双完整鞋子中选取2双； （2）把问题转化为1双成对的鞋子和２只完全不成对的鞋子，利用分步乘法计数原理计算求解． 【详解】（1）4只鞋子恰为2双： 从双中选2双的取法为：种． （2）4只鞋子中有2只成双，另2只不成双： 先选1双：种； 剩余9双中选2双：种； 从这2双中各取1只：种； 总数为：种． 5．（25-26高二上·河南驻马店·阶段检测）某班级甲、乙、丙、丁、戊5名男生和，，，，5名女生参加学校羽毛球男女混双比赛，事先准备按照甲、乙、丙、丁、戊进行配对参赛. (1)若甲与配对，求其他每人都不与事先配对的同学组队的情况数； (2)记表示个人都不与事先配对的人组队的情况数，证明：. 【答案】(1)9 (2)证明： 对于5个元素的错位排列（对应甲、乙、丙、丁、戊5名男生都不与事先配对的女生组队）， 考虑其中任意一个元素（以戊为例）的配对情况： 1.戊选择与非事先配对的女生组队：因为戊的事先配对是，因此他可以选择， 共有4种选择（设戊选了第个女生，，对应的事先配对女生）. 2.分两种子情况： ①第个女生对应的男生（如戊选了，对应男生甲）选择与戊的事先配对女生组队， 此时剩余3个男生需要错位排列，情况数为. ②第个女生对应的男生不与女生组队.此时相当于把这个男生“禁止配对”新增为，剩余4个男生需要错位排列，情况数为. 综上，总的情况数满足. 【分析】（1）运用排列组合的相关知识，根据错位排列的概念求解，在甲与配对后，其他4人不与事先配对的同学组队，可利用错位排列公式计算情况数； （2）要证明，可通过对5个人不与事先配对的人组队的情况分成两种子情况讨论，将情况数转化为和的表达式即得证. 【详解】（1）已知甲与配对，那么剩下乙、丙、丁、戊4名男生和4名女生， 要使其他每人都不与事先配对的同学组队，即求4个元素的错位排列数. 根据错位排列递推公式(证明附后)，已知， 则，. 因此，其他每人都不与事先配对的同学组队的情况数为9种. （2）略. 【附注】考虑一个有个元素的排列，若一个排列的元素都不在自己原来的位置上，那么这样的排列就称为元排列的一个错排,个元素的错位排列数，通常用表示，其递推公式为，其中，. 下面提供证明： 位置 1 2 3 4 5 … 元素 … 如图，设个位置的编号分别为；设个元素的编号分别为. 第1步，对位置1进行安排：该位置可放置共种选择,现不妨设置于该位置： 第2 步：对位置2进行安排：此时对位置2的安排进行分类： ①若位置2上放置，即如图所示： 位置 1 2 3 4 5 … 元素 此时，对于位置共个位置的安排问题，实际上即为个元素的错排问题，所以其安排共有种选择； ②若位置2上不放置，此时剩余位置为；剩余元素为，可将位置2与元素配对，即 位置 2 3 4 5 … 元素 … 因为位置2上不放置，所以此时的安排即为上述个元素的错排问题，所以安排共有种选择. 综上，由分步乘法计数原理即分类加法计数原理可知，个元素的错位排列数的递推公式为，其中，. 题型13 环排问题 1．甲、乙、丙等8人围成一圈就坐，已知甲、乙两人相邻，甲、丙两人不相邻，则不同的坐法共有（   ） A．1200种 B．1440种 C．7200种 D．9600种 【答案】A 【分析】先安排甲，再安排乙和丙，最后安排剩余的5人，结合排列知识进行求解. 【详解】因为环状排列没有首尾之分，8人围成一圈就坐没有首尾之分， 故可先固定甲位置，乙与甲相邻则有种坐法；丙与甲不相邻，则有种坐法， 余下5人有种坐法，故所求坐法为种， 故选：A. 2．一对夫妻带着3个小孩和一个老人，手拉着手围成一圈跳舞，3个小孩均不相邻的站法种数是（    ） A．6 B．12 C．18 D．36 【答案】B 【分析】根据插空法即可求解. 【详解】将老人位置固定，夫妻两人在老人左右，此时有种站法， 将三个孩子插入两两大人之间的空隙中，有种站法， 故总的站法有. 故选：B 3．（25-26高三·全国·一轮复习）甲、乙等四个人一起随机手牵手围成一圈做游戏，甲与乙牵手的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出试验的所有可能结果数，再求出甲乙能牵手的结果数，利用古典概率计算即得. 【详解】以甲为中心，其他三人的位置是甲的左边、右边、对面，共有种情况， 其中乙在甲左边或右边，即甲与乙能牵手的有种情况， 所以所求概率为. 故选：D 4．甲、乙、丙等八个人围成一圈，要求甲、乙、丙三人两两不相邻，则不同的排列方法有（    ） A．720种 B．1440种 C．2880种 D．4320种 【答案】B 【分析】依题意环排问题转换为线排问题，再根据插空法求解. 【详解】环排问题线排策略，增加一个凳子． 九个凳子排一排，甲放一号和九号，中间剩余七个位置可选，再将其他五人放入中间有种． 甲、乙、丙两两不相邻．乙、丙只能放中间四空中共有种， 由分步计数原理得总数种． 故选：B. 5．（多选）定义“圆排列”：从n个不同元素中选m个元素围成一个圆形，称为圆排列，所有圆排列的方法数计为.圆排列是排列的一种，区别于通常的“直线排列”，既无“头”也无“尾”，所以.现有2个女生4个男生共6名同学围坐成一圈，做击鼓传花的游戏，则（    ） A．共有种排法 B．若两名女生相邻，则有种排法 C．若两名女生不相邻，共有种排法 D．若男生甲位置固定，则有种排法 【答案】ABD 【分析】结合圆排列的定义结合捆绑法，插空法及特殊值法分别判断各个选项即可. 【详解】对于A：现有2个女生4个男生共6名同学围坐成一圈，共有种排法，A选项正确； 对于B：若两名女生相邻，则有种排法，B选项正确； 对于C：若两名女生不相邻，共有种排法，C选项错误； 对于D：若男生甲位置固定，考虑以甲为基准的顺逆时针排列，则有种排法，D选项正确. 故选：ABD. 6．（25-26高三下·广东东莞·阶段检测）甲、乙等6人围成一圈，且甲、乙两人相邻，则不同的排法共有______种. 【答案】 【分析】根据环状排列的计算方法，结合元素相邻的计算方法求解. 【详解】由于环状排列没有首尾之分， 将个不同元素围成的环状排列剪开看成个元素排成一排，即共有种排法， 由个不同元素共有种不同的剪法，则环状排列共有种排法. 甲､乙两人相邻而坐，可将此2人当作1人看，即5人围一圆桌，有种坐法， 又因为甲､乙2人可换位，有种坐法，故所求坐法为种. 题型14 错排问题 1．（多选）（25-26高二下·河南郑州·期末）将4个编号为，，，的小球放入编号为，，，的四个盒子中，则下列说法正确的是（    ） A．总共有256种放法 B．每个盒子放一个球，且球的编号与盒子的编号都不能相同的放法有9种 C．若恰有一个空盒，共有144种放法 D．每盒至多两球，有216种放法 【答案】ABC 【分析】A应用分步乘法原理求放法数，B讨论小球1放入2号、3号、4号盒子，结合分类讨论求放法数，C应用分步分类计数，及分组分配求不同的放法数，D由总放法数减去4个球都放同一个盒子、恰好一个盒子放3个球两种情况. 【详解】对于A：每个小球都可以任意选择4个盒子，共种放法，A正确， 对于B：假设小球1放入2号盒子： 情况一：小球2放入1号盒子， 剩下小球3和4，只能放入3、4号盒子， 由于4不能回4号盒，3不能回3号盒，则小球3去4号盒，小球4去3号盒， 即排列为 ， 情况二：小球2放入3号盒子， 剩下小球3和4，必须放入1号和4号盒子， 由于3不能回3号盒，4不能回4号盒，则小球3去4号盒，小球4去1号盒， 即排列为， 情况三：小球2放入4号盒子。 剩下小球3和4，必须放入1号和3号盒子， 由于3不能回3号盒，则小球3去1号盒，小球4去3号盒， 即排列为， 所以1号球放入2号盒时，一共有 3 种放法， 同理，小球1放入3号、4号盒子均各有3种，共有9种，B正确， 对于C：选1个空盒有，把4个球以分组有，三组全排列放入剩下3个盒子有， 所以若恰有一个空盒的放法种，C正确， 对于D：由A分析知，总放法有256种，其中4个球都放同一个盒子有4种， 恰好一个盒子放3个球，一个盒子放1个，共种， 所以符合条件的放法为种，D错误. 2．（多选）（25-26高三下·山西·阶段检测）现有4个编号为1，2，3，4的盒子和4个编号为1，2，3，4的小球，要求把4个小球全部放进盒子中，则下列结论不正确的有（ ） A．没有空盒子的方法共有16种 B．有空盒子的方法共有256种 C．恰有1个盒子不放球的方法共有144种 D．没有空盒子且恰有一个小球放入自己编号的盒子的方法有16种 【答案】ABD 【分析】没有空盒即将4个球在4个盒子上进行全排列即可判断A；有4个球，每个球有4种放法，再减去没有空盒的情况，即可求解判断B；恰有1个空盒，即另外3个盒子都有球，且必然有1个盒子中放了2个球，求解即可判断C；只需从4盒4球中选定标号相同的球和盒，另外的球与盒不能对应，求解即可判断D． 【详解】对于A，没有空盒子，即将4个球在4个盒子上进行全排列，共有种方法，故A不正确； 对于B，有空盒子，因为有4个球，每个球有4种放法，再减去没有空盒的情况，共有种方法，故B不正确； 对于C，恰有1个空盒，即另外3个盒子都有球，而球共4个，必然有1个盒子中放了2个球， 先从4个盒中选1个作为空盒，再将4球中选出2球绑在一起，与另外两个球对余下的3个盒子全排列， 则共有种方法，故C正确； 对于D，没有空盒子恰有1个小球放入自己编号的盒子，则可从4盒4球中选定标号相同的球和盒有种方法， 另外3个球3个盒不能互相对应共2种方法，则共有种方法，故D不正确． 故选：ABD. 3．（25-26高二下·江苏宿迁·期中）编号为的5个小球放入编号为的3个盒子，要求每个盒子都要放球同时小球的编号与盒子的编号不相同，则不同的放法共有______. 【答案】48 【分析】分一组为3个球，另外两组各1个球和两组各为2个球，另外一组1个球求解. 【详解】由题意得：当一组为3个球，另外两组各1个球时， 假设3个球的组合放入1号盒子， 因为1号盒子不能放编号为1的球，所以这3个球必须从2，3，4，5中选出， 剩下的2个球放入2号和3号盒子， 当1号盒子放入的是2，3，4时，剩下的是1，5，分别放入2号和3号盒子共有2种； 当1号盒子放入的是2，3，5时，剩下的是1，4，分别放入2号和3号盒子共有2种； 当1号盒子放入的是2，4，5时，剩下的是1，3，分别放入2号和3号盒子共有1种； 当1号盒子放入的是3，4，5时，剩下的是1，2，分别放入2号和3号盒子共有1种； 所以当3个球放入1号盒子时共有种； 同理： 2号盒子和3号盒子放入3个球时，都有6种； 所以总共有种； 当两组各为2个球，另外一组1个球时， 假设1个球的组合放入1号盒子， 因为1号盒子不能放编号为1的球，所以这1个球必须从2，3，4，5中选出， 剩下的4个球平均分成两组放入2号和3号盒子， 当1号盒子放入的是2时，剩下的是1，3，4，5，分为13和45组合有1种； 分为14和35组合有1种；分为15和34组合有1种；共3种； 当1号盒子放入的是3时，剩下的是1，2，4，5，分为12和45组合有1种； 分为14和25组合有1种；分为15和24组合有1种；共3种； 当1号盒子放入的是4时，剩下的是1，2，3，5，分为12和35组合有1种； 分为13和25组合有1种；分为15和23组合有0种；共2种； 当1号盒子放入的是5时，剩下的是1，2，3，4，分为12和34组合有1种； 分为13和24组合有1种；分为14和23组合有0种；共2种； 所以总共有种； 同理：当2号盒子和3号盒子放1球时，各有10种，总共有30种， 综上：共有18+30=48种. 4.将编号1，2，3，4的小球放入编号为1，2，3盒子中，要求不允许有空盒子，且球与盒子的编号不能相同，则不同的放球方法有 种． 【解答】解：由题意可知，这四个小球有两个小球放在一个盒子中， 当四个小球分组为如下情况时，放球方法有： 当1与2号球放在同一盒子中时，有2种不同的放法； 当1与3号球放在同一盒子中时，有2种不同的放法； 当1与4号球放在同一盒子中时，有2种不同的放法； 当2与3号球放在同一盒子中时，有2种不同的放法； 当2与4号球放在同一盒子中时，有2种不同的放法； 当3与4号球放在同一盒子中时，有2种不同的放法； 因此，不同的放球方法有12种． 故答案为：12． 5.六位同学坐在一排，现让六位同学重新坐，恰有两位同学坐自己原来的位置，则不同的坐法有 种（用数字回答）． 解：根据题意，分2步进行分析： ①、在六位同学中任选2人，坐自己原来的位置，有C62＝15种情况， ②、假设不坐自己位置的4人为A、B、C、D， A不坐自己的位置，有3种坐法， 假设A坐在了B的位置，B有3种坐法， 剩下C、D，只有一种坐法， 则剩下4人不坐自己的位置，有3×3＝9种情况， 故恰有两位同学坐自己原来的位置的坐法有15×9＝135种； 故答案为：135． 6．（25-26高二下·湖北武汉·期中） 现有4个编号为1，2，3，4的不同的球和4个编号为1，2，3，4的不同的盒子，把球全部放入盒子内， (1)恰有一个盒子不放球，有多少种放法 (2)每个盒子内只放一个球，恰有1个盒子的编号与球的编号相同，有多少种不同的放法 (3)将4个不同的球换成相同的球，恰有一个空盒的放法有多少种 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）确定不放球的盒子，将个球分成组， 将分好的组球放入剩下的个盒子，根据分步乘法计数原理求解； （2）从个球中选个与盒子编号相同，对剩下的个球进行讨论，根据分步乘法计数原理求解； （3）确定空盒，将个相同的球放入剩下的个盒子，且每个盒子至少放个球，根据分步乘法计数原理求解. 【详解】（1）从个盒子中选个不放球，有种选法， 把个球分成组，可先从个球中选个为一组，其余个各为一组，有种分法， 将分好的组球全排列，放入剩下的个盒子，有种放法， 根据分步乘法计数原理，总放法有种； （2）从个球中选个，使其编号与盒子编号相同，有种选法， 剩下个球的编号与盒子编号均不相同， 先放其中一个小球，有2种不同的放入方法，再放剩下两个小球只有一种方法， 所以个球的编号与盒子编号均不相同有种不同的放法， 根据分步乘法计数原理，总放法有种； （3）从个盒子中选个为空盒，有种选法。 将个相同的球放入剩下的个不同的盒子，要求每个盒子至少有个球，根据隔板法，有种放法， 根据分步乘法计数原理，总放法有种. 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．（2026·湖南邵阳·模拟预测）近期，电影《功夫女足》热映，片中经典台词“，”深入人心，其哲学内涵被广大网友反复讨论．某数学兴趣小组从中提取四个首字母B，W，M，F，各取两次（即共8个字母：B，B，W，W，M，M，F，F）并排成一排．若至多有两对相同的字母相邻，则这8个字母的不同排列种数为（    ） A．2376 B．2352 C．2208 D．2068 【答案】B 【分析】利用间接法，先求总排列数，再减去恰好 3 对、恰好 4 对字母相邻的情况，得到至多两对相同字母相邻的排列种数. 【详解】8 个字母包含4对重复字母（BB、WW、MM、FF），， ① 恰好4对全部相邻：把4对重复字母各自捆绑为1个整体，共4个独立模块，全排列数是， ② 恰好3对相邻：先从4对字母中选3对，将其对应相同字母捆绑，选法为种，将3对捆绑的整体排列，排列数是种，3个整体排列后形成4个空隙，将剩余2个相同的字母插入空隙，因为两个字母相同，所以插空方法共有种， 所以该类排列数为种， 利用间接法，至多两对相邻排列数 = 总排列数 − 恰好3对相邻 − 恰好4对相邻， 所以不同排列种数为. 2．（25-26高二下·陕西安康·期末）某物流公司规划了7条分别编号为1至7的无人机专属航线，现将这7条航线全部分配给甲、乙、丙3个不同的调度中心，且航线1与航线2必须分配给同一个调度中心．若每个调度中心至少分到1条航线，且甲中心分配的航线数量必须多于乙中心，则不同的分配方案总数为（     ） A．185 B．205 C．215 D．235 【答案】C 【分析】先将7条航线分成3组，为保证每个中心至少分到一条航线，共有四种情况.因为甲中心分配的航线数量必须多于乙中心，所以分甲分配到条航线进行分析可得. 【详解】因为每个调度中心至少分到1条航线， 所以把7条航线分成3组，有四种情况. 因为甲中心分配的航线数量必须多于乙中心，所以可分甲分配到四个类型进行分析， 所以有以下分配方案： 若甲中心分配5条航线，则其中必包括航线1与航线2，共有种方案； 若甲中心分配4条航线，且其中包括航线1与航线2，则从除1、2两条航线外的5条中再选2条给甲， 再将剩余3条分成两组分配给乙、丙，共有种方案； 若甲中心分配4条航线，但其中不包括航线1与航线2，则需从除1、2两条航线外的5条中选4条给甲， 再将1、2两条航线作为一组，剩余1条单独作为一组，分配给乙、丙共有种方案； 甲中心分配2条航线，即航线1与航线2，则需从除1、2两条航线外的5条中选1条给乙， 再将剩余4条单独作为一组分配给丙，共有种方案； 若甲中心分配2条航线，但不包含航线1与航线2，则需从除1、2两条航线外的5条中选2条给甲，选1条给乙， 再将剩余4条单独作为一组分配给丙，共有种方案； 若甲中心分配3条航线，且包含航线1与航线2，则需从除1、2两条航线外的5条中选1条给甲， 此时可从其余航线中选1条给乙，其余航线作为一组给丙，共有种方案； 也可选两条给乙，其余航线给丙，共有种方案； 若甲中心分配3条航线，但不包含航线1与航线2，则需从除1、2两条航线外的5条中选3条给甲， 此时可从剩余2条航线中选1条给乙，其余航线作为一组给丙，共有种方案； 也可将剩余2条航线给乙，将航线1与航线2作为一组给丙，共有种方案； 也可将航线1与航线2给乙，其余航线给丙，共有种方案； 综上所述，共有种方案. 3．（25-26高二下·山东济宁·期末）如图，从点出发的三条线段，，的中点分别为，，.将数字，，，，，，分别标在上述个点的位置上，使，，每条线段上的三个数字之和相等，则不同的标记方法共有（    ） A．36种 B．48种 C．96种 D．144种 【答案】D 【分析】设点处的数字为，每条线段上数字之和为，得到是的倍数，求出的所有可能取值，进而求解. 【详解】设点处的数字为，每条线段上数字之和为， 则， 因为，所以是的倍数，又， 所以的取值可能为， 当时，，所以每条线段上除点外的两个点的数字之和为， 因为，每组数据分到个线段上有种， 每组数据在每个线段上的情况有种，所以共有种， 当时，，所以每条线段上除点外的两个点的数字之和为， 因为，每组数据分到个线段上有种， 每组数据在每个线段上的情况有种，所以共有种， 当时，，所以每条线段上除点外的两个点的数字之和为， 因为，每组数据分到个线段上有种， 每组数据在每个线段上的情况有种，所以共有种， 综上，共有种. 4．（25-26高二下·贵州毕节·期末）学校文艺晚会共9个节目，第1个和第9个已固定为曲艺节目，第5个已固定为小品节目．需在其余位置安排3个不同音乐节目和3个不同舞蹈节目，且同类节目不相邻，则不同的排法种数为（     ） A．18 B．36 C．72 D．144 【答案】C 【分析】根据排列要求，分析排列不同情况，进而确定不同部分的排列数，即可求解. 【详解】9 个节目中，位置 1、9 固定为曲艺，位置 5 固定为小品，剩余需安排节目的空位为位置 2、3、4 、6、7、8， 需要安排3 个不同的音乐节目和3 个不同的舞蹈节目，要求同类节目不相邻， 由于两段中间被小品（位置 5）隔开，因此仅需保证每段内部同类不相邻即可， 对于 3 个连续位置，要满足同类节目不相邻，只能是如下两种情况， 情况一：2 个音乐 + 1 个舞蹈， 情况二：2 个舞蹈 + 1 个音乐， 结合总节目数（3 音乐 + 3 舞蹈），左右两段的类型组合仅有两种可行情况， 情况一：位置5的左侧为2 音 1 舞（音 - 舞 - 音），位置5的右侧为1 音 2 舞（舞 - 音 - 舞）， 情况二：位置5的左侧为1 音 2 舞（舞 - 音 - 舞），位置5的右侧为2 音 1 舞（音 - 舞 - 音）， 第 1 种组合，音乐节目共 3 个，对应 3 个不同的位置（位置 2、4、7），不同节目排列个数为种， 舞蹈节目共 3 个，对应 3 个不同的位置（位置 3、6、8），不同节目排列个数为种， 因此第 1 种组合的排法总数种， 第 2 种组合（左舞 - 音 - 舞、右音 - 舞 - 音）与第 1 种对称，排法同样为 36 种， 故一共有种. 5．（25-26高二下·山东济南·期末）如图，在矩形格点图中，一只蚂蚁从格点出发，沿格线爬行到格点，规定：①每次只能沿水平向右或竖直向上爬行格；②同一方向连续爬行不得超过格．则不同的爬行路径共有（）    A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】B 【分析】首先根据总步数确定“向右”和“向上”的总次数，然后列举出所有可能的移动序列，最后利用排除法计算符合条件的路径数量. 【详解】蚂蚁从爬行到，在水平方向上需要向右移动4次，在竖直方向上需要向上移动4次.总的移动序列组合数为：(种). 用表示向右，用表示向上，其中包括“至少连续3次向右”或“至少连续3次向上”的情况： “至少连续3次向右()”：，共6个元素, 路径总数为， 同理，包含“”的路径总数也为， 同时出现 “”且 “”的路径，共有四个元素，路径总数为， 同一方向连续爬行超过格的路径总数为：， 根据容斥原理，符合条件的路径总数. 二、多选题 6．（25-26高二下·湖南邵阳·期中）将五个编号为1，2，3，4，5的小球放入五个分别标有1，2，3，4，5号的盒子中，则下列结论正确的有（    ） A．共有3125种放法 B．恰有一个盒子不放球，共有1200种放法 C．恰有两个盒子不放球，共有3000种放法 D．没有一个空盒但小球的编号和盒子的编号都不相同的放法共有44种 【答案】ABD 【分析】根据分步乘法计数原理即可判断A；根据分组分配判断BC；根据题意得出递推公式即可判断D． 【详解】对于A，由题意知，共有种放法，故A正确； 对于B，恰有一个盒子不放球，选出不放球的盒子，共有种， 再将5个球分为4份，其中一份有2球，再分给4个盒子，共有, 所以共有种放法，故B正确； 对于C，恰有两个盒子不放球，选出不放球的盒子，共有种， 再将5个球分为3份，可分为和，再分给3个盒子，共有， 所以共有种放法，故C错误； 对于D，用递推的方法计算，记个元素的错位排列数为； 对于：只有1个球，必须放1号盒，一定同号，所以， 对于：只有两个球，只能互相放对方盒子，所以, 递推公式:， 意思是：先选1个球，比如选球1，它不能放1号盒，所以有个盒子可以选， 如果球1选了号盒，再分两种情况算球的放法：要么球放1号盒，剩下个元素错位排列，对应；要么球不能放1号盒，相当于剩下个元素错位排列，对应， 所以， ， ，故D正确． 7．（25-26高二下·江苏无锡·期中）某校安排甲、乙、丙、丁、戊5名老师到A、B、C、D四个社区参与志愿活动,以下说法正确的是（   ） A．5人中选出四个人安排到四个社区,每个社区都有人,则不同方法数为120 B．每人都只安排到一个社区,每个社区至少有一人,则不同的方法数为480 C．每人都只安排到一个社区,如果D社区不安排,其余三个社区至少安排一人,则这5名老师全部被安排的不同方法数为150 D．每人都安排到一个社区,每个社区至少有一人,其中甲、乙不去A社区,其余三位老师四个社区均可安排,则不同安排方案的种数是126 【答案】ACD 【分析】利用排列求解选项A,先选出一个社区安排两人，然后再将剩下的社区安排好求解即可求解选项B，选项C分两类一类是3人安排在一个社区，其余两个社区各一人，另一类是两个社区各两人，然后另外一个社区一人利用排列组合求解即可，选项D：分两类：第一类 社区安排两人，第二类A社区只安排一人，然后利用排列与组合求解即可. 【详解】5人中选出四个人安排到四个社区,每个社区都有人,则不同方法数为故选项A正确. 先选出2人组成一组然后再选一个社区安排，则有再将剩下的3人安排下去则有 则一共有，则选项B错误. 选项C：先将5名老师分成3组，人数可为1,1,3或1,2,2， 若人数为1,1,3时,则有 种不同的安排方法； 若人数为1，2，2时，则有 种不同的安排方法， 由分类计数原理得，共有 种不同的安排方法，所以C正确； 选项D：每人都安排到一个社区，每个社区至少有一人，其中甲、乙不去A社区， 若 社区安排两人，则有 种不同的安排方法； 若A社区只安排一人，则有 种不同的安排方法， 由分类计数原理得，共有 种不同的安排方法，所以D正确. 8．（25-26高二下·重庆·期中）年重庆市九龙坡区心理学科优质课大赛将在铁路中学举行，现在高二志愿者团队安排甲、乙、丙、丁、戊名同学参加志愿者服务活动，有接待、指引、礼仪、会议记录四项工作可以安排，则以下说法错误的是（   ） A．若每人都安排一项工作，则不同的方法数为 B．若每项工作至少有人参加，则不同的方法数为 C．如果会议记录工作不安排，其余三项工作至少安排人，则这名同学全部被安排的不同方法数为 D．每项工作至少有人参加，甲、乙不会会议记录但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是 【答案】BC 【详解】对于A：每个人的工作选择有种，所以不同的方法数为，故A正确； 对于B：每项工作至少有人参加，需要将名同学分成组，其中有一组有人， 先从名同学中选出人组成一组，再将这组安排到个不同的工作岗位上， 所以不同的方法数为，故B错误； 对于C：将人分成人，人，人的组有种分法， 将人分成人，人，人的组有种分法， 所以名同学全部被安排的不同方法数为，故C错误； 对于D：若会议记录仅有人选择，则安排方案有种， 若会议记录有人选择，则安排方案有种， 所以不同安排方案的种数为，故D正确. 三、填空题 9．（25-26高二上·上海·期末）现有12名划船运动员，其中2人只会划左桨，5人只会划右桨，其余5人双桨都会.现在要从12人中选取6 人（3左3右）参加比赛，选法有______ 种. 【答案】 【分析】按只会划左桨的人进行分类即可求出答案. 【详解】由题意得，这12名划船运动员中任选6人，其中3人划左桨，3人划右桨，可以分为下面3种情况： ①只会划左桨的2人全部安排，双桨都会的5人中选取1人划左桨， 再从剩余的9人中选3人划右桨，有种； ②只会划左桨的2人安排1人，双桨都会的5人中选取2人划左桨， 再从剩余的8人中选3人划右桨，有种； ③只会划左桨的2人安排0人，双桨都会的5人中选取3人划左桨， 再从剩余的7人中选3人划右桨，有种； 综上，共有种. 故答案为： 10．（26-27高一上·上海虹口·阶段检测）设全集，若集合满足：①；②若，必有；③若，必有，则这样的集合有_______________个． 【答案】64 【分析】设集合，．任取，将除以2，若商仍为偶数，再除以，经过次以后，商必为奇数，此时记商为，从而，是否属于由是否属于确定．设是中所有奇数的集合，则等于的子集个数．由此能求出结果． 【详解】设集合，．任取，将除以2，若商仍为偶数， 再除以，经过次以后，商必为奇数，此时记商为， 于是，其中为奇数，．由条件知， 若，则等价于为偶数； 若，则等价于为奇数． 于是是否属于由是否属于确定． 设是中所有奇数的集合，设为集合中满足题干条件的集合的个数，因此等于的子集个数． 当为偶数（或奇数）时，中奇数的个数是（或， 所以， 所以， 即同时满足三个条件的集合的个数为． 故答案为：64. 11．（26-27高三上·上海长宁·阶段检测）集合 ，函数的定义域为，值域为的子集，且满足 ，则这样的函数一共有_____ 个. 【答案】1057 【分析】设值域中元素个数为，对中元素与定义域中剩下的个非值域的元素分别进行选取，利用乘法原理相乘计算即可. 【详解】设值域为，由题意得，设中元素个数为， 因为，令，则，且对，均有， 从而对于给定的值域，有种选取方式，对于定义域中剩下的个非值域的元素，其函数值必须在中， 每个元素可映射到的个元素中的任意一个，因此方式数为种， 所以这样的函数一共有 个. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 排列组合问题及其综合应用 常考题型·精准突破 题型01 排列、组合数的运算问题 题型08 定序问题 题型02 特殊元素优先法 题型09 多面手问题 题型03 相邻问题捆绑法（重） 题型10 隔板法 题型04 不相邻问题插空法（高频） 题型11 正难则反思想的应用（重） 题型05 数字的选择与排序问题 题型12 元素配对问题 题型06 涂色问题（高频） 题型13 环排问题 题型07 分组分配问题（难） 题型14 错排问题 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 题型01 排列、组合数的运算问题 1．（25-26高二下·广东茂名·期末）（    ） A．8 B．9 C．10 D．20 2．（25-26高二下·福建南平·期末）若（且），则（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．（25-26高二下·河南郑州·期末）计算（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·广东清远·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·安徽宿州·期末）已知，下列有关排列数、组合数的等式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（多选）（25-26高二下·河南郑州·期末）下列等式中，，，，正确的是（   ） A． B． C． D． 7．（多选）（25-26高二下·福建福州·期末）下列关于排列数、组合数的等式（，，）中，正确的是（     ） A． B． C． D． 8．（25-26高二下·河北雄安·期末）若，则________． 题型02 特殊元素优先法 1.现要从这5人中选出4人安排在甲、乙、丙、丁4个岗位上，如果A不能安排在甲岗位上，那么一共有多少种不同的安排方法？（    ） A．300 B．120 C．96 D．72 2.（多选）某单位安排7名员工周一到周日为期一周的值日表，每名员工值日一天且不重复值班，其中甲不排在周一，乙不排在周三，则不同的安排方案种数为（    ） A． B． C． D． 3.甲、乙等5名志愿者参加2025年文化和旅游发展大会的、、、四项服务工作，要求每名志愿者只能参加1项工作，每项工作至少安排1人，且甲不参加项工作，乙必须参加项工作，则不同的安排方法数有（    ） A．36种 B．42种 C．54种 D．72种 4．（25-26高二下·内蒙古包头·期末）某中学举办田径运动会，某班从甲、乙等6名学生中选4名学生代表班级参加学校米接力赛，其中甲只能跑第1棒或第2棒，乙只能跑第2棒或第4棒，那么甲、乙都参加不同棒次安排方案总数为（    ） A．12 B．24 C．30 D．36 5．（25-26高二下·安徽宿州·期末）小明、小强等5人组队参加的比赛，其中1人作为替补，为了了解他们的位置，小明和小强去问体育老师，体育老师对他们两人说：“虽然我还没有决定最终的位置顺序，但你们一定都不是第一棒”，对小强说“你不是替补”，基于体育老师的话，这5人的位置排列的种数为________． 6．（25-26高二下·湖南·期末）安排4名歌手演出顺序时，要求歌手小张不是第二和最后一个出场，不同排法有________种．（用数字作答） 题型03 相邻问题捆绑法 1．（25-26高二下·广东深圳·阶段检测）有六人排成一排，甲､乙两人必须相邻，则满足要求的排法有（    ） A．120种 B．180种 C．240种 D．360种 2．（25-26高二下·安徽合肥·期末）甲乙丙丁等8人，每4人站一排，第一排甲乙必须站在一起，第二排丙丁必须站在一起，则不同的站队方法是（   ） A．72 B．216 C．864 D．1152 3．（25-26高二下·山东聊城·期末）4位家长带2个孩子，6人站成一排，要求排头排尾必须是家长，两个孩子必须相邻，则不同站法有（    ） A．36种 B．72种 C．144种 D．576种 4．（25-26高二下·广东深圳·期末）龙城高级中学高二某班周二上午安排语文、数学、物理、自习和英语五节课，要求数学课和自习课必须相邻，则该班周二上午可能的课表排法有（ ）种. A．12 B．24 C．48 D．120 5．（25-26高二下·河北邯郸·期末）若甲、乙、丙、丁等7个人排成一排照相，甲、乙相邻，且丙、丁也相邻，则不同的排法种数为（    ） A．240 B．480 C．720 D．960 6．（25-26高二下·广东河源·期末）某中学高二（1）班筹备校园文化展演，安排了名男生和名女生作为班级方阵的领演，人随机排成一列走在队伍最前方，则两位女生相邻的不同排法种数是（    ） A．12 B．16 C．20 D．24 7．（25-26高二下·浙江衢州·期末）一排有6个座位，3个人随机入座，则恰有2人相邻的概率为（   ） A． B． C． D． 题型04 不相邻问题插空法 1．（25-26高二下·河南郑州·期末）甲、乙、丙、丁四个人排成一排，其中甲乙不相邻，则所有的排队方法数为（    ） A．8 B．12 C．16 D．24 2．（25-26高二下·山东潍坊·期末）甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排照相，若甲只能站在两端，丙和丁不相邻，则不同的站法共有（   ） A．12种 B．18种 C．24种 D．30种 3．（25-26高二下·湖北咸宁·期末）3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有2位女生相邻，则不同排法的种数是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·四川达州·期末）甲、乙、丙、丁、戊五人站成一排留影，则甲、乙必相邻，丙、丁不相邻的排法种数为（   ） A．120 B．72 C．48 D．24 5．（25-26高二下·山东淄博·期末）某班有5名男生和3名女生参加科技节开幕式，按照指定的8个连续座位就坐，其中女生互不相邻，那么不同的坐法种数为（   ） A．7200 B．120 C．2400 D．14400 6．（25-26高二下·湖北鄂州·期末）某校举行“数学文化节”活动，有5个不同的节目参加汇演，其中包含一个舞蹈节目和一个合唱节目，要求舞蹈节目必须在合唱节目之前演出，且这两个节目不能相邻，则不同的节目顺序有（     ） A．36种 B．72种 C．24种 D．240种 7．（多选）（25-26高二下·新疆克孜勒苏·期末）甲、乙、丙等5人排成一列，下列说法正确的有（　　） A．若甲和乙相邻，共有48种排法 B．若甲不排第一个共有24种排法 C．若甲与丙不相邻，共有36种排法 D．若甲在乙的左边（不一定相邻），共有60种排法 8．（多选）（25-26高二下·山西太原·期末）将不同年级的3本数学书和3本不同的物理书排列在同一层书架上，则下列结论正确的是（     ） A．若3本数学书都相邻，则不同排列的方法种数为24 B．若3本数学书都不相邻，则不同排列的方法种数为144 C．若3本数学书按年级从小到大顺序排列，则不同排列的方法种数为120 D．若将这6本书分给甲、乙、丙三人，每人1本数学书和1本物理书，则不同排列的方法种数为36 题型05 数字选择与排序问题 1．（25-26高二下·广东深圳·阶段检测）从0，1，2，3，4，5这六个数字中，任取两个不同的数字相加，其和为偶数的不同取法的种数为：（    ） A． B． C． D． 2．（26-27高二上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）现有5张除所写数字外完全相同的卡片，其中2张写有数字7，另外3张分别写有数字2、3、5， 将卡片放入袋中搅匀，从中随机取出4张，用取出的卡片上的数字组成四位数，共可组成不同四位数的个数为（    ） A．60 B．72 C．84 D．120 3．（25-26高二下·全国·课后作业）为优惠于民，某通信运营商推出“优惠卡活动”，每张卡卡号的前7位是固定的．现从后4位号码为“0000”到“9999”的10000张卡中选带有“6”或“9”的卡作为“优惠卡”，则“优惠卡”的张数是（   ） A．1980 B．4096 C．5904 D．8020 4．（25-26高二下·安徽合肥·期末）设，且，则由，，，可以构成不相同的四位数的个数为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·福建泉州·期末）用组成的没有重复数字的三位数中，偶数的个数为（   ） A． B． C． D． 6．（2026·上海闵行·二模）小闵同学打算将“20260407”中的8个数字“”进行排列得到密码.如果排列时要求两个“2”相邻且三个“0”不相邻，那么小闵可以设置的不同密码的个数为______. 7．（25-26高二下·重庆北碚·期末）用数字0，1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的数.（写出必要的过程，结果用数字作答） (1)可以组成多少个四位数； (2)可以组成多少个能被5整除的四位数. 题型06 涂色问题 1．（25-26高二下·四川乐山·期末）如图，现要对某市的5个区域地图进行着色，有4种颜色可供选择，要求有公共边的两个地区不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有（   ） A．48种 B．72种 C．96种 D．108种 2．（25-26高二下·四川广安·期末）如图，现须用3种颜色对4个区域着色，要求有公共边的两个区域不能用同一种颜色，共有几种不同的着色方法（     ）    A．3 B．6 C．12 D．24 3．（25-26高二下·江苏徐州·期末）现有5种不同的颜色，对如图所示的四个方格涂色，要求有公共边的两个方格涂不同的颜色，则不同的涂色方法共有（    ） A．120种 B．144种 C．240种 D．260种 4．（25-26高二下·四川成都·期中）如图所示的挂件由7个圆组成，中心圆为主挂件，从中心向三个方向延伸出分挂件，每个方向有两个分挂件，靠近主挂件的为第一层分挂件，远离主挂件的为第二层分挂件．现用四种不同的颜色给所有的挂件涂色，要求相邻的挂件涂不同的颜色，且同一层的分挂件涂不同的颜色，则所有的涂色方法种数为（     ）    A．192 B．216 C．264 D．288 5．（多选）（25-26高二下·河北唐山·期中）将图中A，B，C，D，E五块区域涂上颜色，现有4种不同的颜色可供选择，则下列说法正确的是（   ） A．若每块区域任意涂上一种颜色，则共有种不同涂法 B．若只用3种不同颜色，且相邻区域不同色，则共有24种不同涂法 C．若4种不同颜色全部用上，B，D同色，且相邻区域不同色，则共有48种不同涂法 D．若4种不同颜色全部用上，B，D不同色，且相邻区域不同色，则共有48种不同涂法 6．（2027高二·全国·专题练习）如图，要给 5 个区域染色，有 5 种不同的颜色可供选择，并要求相邻区域颜色不同，则不同的染法种数为_____. 7．（25-26高二下·四川成都·期中）小明周末打开了一款航天基地主题的游戏，看着屏幕上熟悉的平面布局，他突然意识到沉迷游戏不如用数学探索世界．于是他将基地平面图转化为涂色问题：中央中控楼不涂色，周围五个功能区域如图所示．现用红、黄、蓝、绿四种颜色给这五个区域涂色，要求相邻区域不同色（其中四种颜色可以用完，也可以不需用完）．则不同的涂色方法有______种（用数字作答）． 题型07 分组分配问题 1．（25-26高二下·广东茂名·期末）2026年广东省运动会在茂名市举办，某个活动安排2名志愿者完成4项不同的赛事服务工作，每人至少完成一项，每项工作由一人完成，则不同的安排方式共有（    ） A．11种 B．12种 C．13种 D．14种 2．（25-26高二下·湖南长沙·期末）将A、B、C、D、E、F六名志愿者分配到两个不同的地点开展工作，要求A、B必须在同一组，且每组至少两人，则不同的分配方案有（   ） A．18种 B．20种 C．22种 D．24种 3．（25-26高二下·山东威海·期末）现安排包含甲、乙的名志愿者到，，三个社区做志愿服务工作，每个社区至少安排人，则甲、乙被分配到同一个社区的安排方法种数为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·重庆璧山·期末）高三年级1、2、3、4、5、6六个班负责甲、乙、丙、丁、戊五个区域的卫生，每个班负责一个区域，每个区域至少有一个班级负责，其中1班和2班都不去区域甲，则不同的任务分配方法种数为（    ） A．872 B．966 C．1104 D．1228 5．（25-26高二下·河南许昌·期末）某高校选派5名大学生志愿者到、、三所学校开展义务帮扶活动，其中每所学校至少去一名志愿者，每名志愿者只去一所学校，若志愿者甲必须去学校，乙不能单独去任一所学校，则不同的选派方案共有（     ） A．30种 B．36种 C．48种 D．54种 6．（多选）（25-26高二下·甘肃酒泉·期末）将2男2女共4个优秀毕业生分配给，，，四个公司，每人只去一个公司，则下列说法正确的是（    ） A．共有24种分配方法 B．每个公司都有分配到人，有24种分配方法 C．恰好有一个公司未分配到人，有144种分配方法 D．每个公司都有分配到人，且公司只要女生，有12种分配方法 7．（25-26高二下·甘肃·期末）某学校组织科技竞赛，现有6名指导教师负责命题、监考、阅卷三项工作，要求每项工作至少安排1名指导老师，每名指导老师都只能参加一项工作，则不同的分配方法共有_____种． 题型08 定序问题 1．（25-26高二下·四川达州·期中）某次灯谜大会共设置6个不同的谜题，分别藏在如图所示的6只灯笼里，每只灯笼里仅放一个谜题.并规定一名参与者每次只能取其中一串最下面的一只灯笼并解答里面的谜题，直到答完全部6个谜题，则一名参与者一共有（   ）种不同的答题顺序. A．60 B．75 C．12 D．720 2．（25-26高二下·湖北武汉·期中）下列说法正确的是（   ） A． B．被8除的余数为1 C．甲、乙、丙、丁等6人排成一排，甲、乙、丙三人身高都不相等且三位同学从左到右按照由高到矮的顺序站，共有120种排法 D．现有6本不同的书，分成三份，每份2本，共有90种分法 3．（多选）（25-26高二下·广东广州·期中）甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（   ） A．如果甲、乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法有24种 B．最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有40种 C．甲、乙不相邻的排法种数为72种 D．甲、乙、丙按从左到右的顺序排列的排法有20种 4．（25-26高二上·山东德州·期末）某4位同学排成一排准备照相时，又来了2位同学要加入，如果保持原来4位同学的相对顺序不变，则不同的加入方法种数为______． 5．（25-26高二上·陕西汉中·阶段检测）某次文艺晚会上计划演出7个节目，其中2个歌曲节目，3个舞蹈节目，2个小品节目，需要制作节目单： (1)唱歌节目排在两头，有多少种排法？ (2)唱歌节目相邻，舞蹈节目相邻，两个小品节目不相邻，有多少种排法？ (3)三个舞蹈节目出场顺序固定，有多少种排法？ 题型09 多面手问题 1.我校去年11月份，高二年级有10人参加了赴日本交流访问团，其中3人只会唱歌，2人只会跳舞，其余5人既能唱歌又能跳舞．现要从中选6人上台表演，3人唱歌，3人跳舞，有（   ）种不同的选法． A． B． C． D． 2.某国际旅行社现有11名对外翻译人员，其中有5人只会英语，4人只会法语，2人既会英语又会法语，现从这11人中选出4人当英语翻译，4人当法语翻译，则共有（    ）种不同的选法 A．225 B．185 C．145 D．110 3.“赛龙舟”是端午节的习俗之一，也是端午节最重要的节日民俗活动之一，在我国南方普遍存在端午节临近，某单位龙舟队欲参加今年端午节龙舟赛，参加训练的8名队员中有3人只会划左桨，3人只会划右桨，2人既会划左桨又会划右桨．现要选派划左桨的3人、划右桨的3人共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有（    ） A．26种 B．30种 C．37种 D．42种 4.某龙舟队有9名队员，其中3人只会划左舷，4人只会划右舷，2人既会划左舷又会划右舷．现要选派划左舷的3人、右舷的3人共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有（    ） A．56种 B．68种 C．74种 D．92种 5.某龙舟队有8名队员，其中3人只会划左桨，3人只会划右桨，2人既会划左桨又会划右桨.现要选派划左桨的3人、划右桨的3人共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有（    ） A．26种 B．30种 C．37种 D．42种 6.在名工人中,有人只当钳工, 人只当车工,另外人既会钳工又会车工，现从人中选出人当钳工, 人当车工,则共有（    ）种不同的选法. A． B． C． D． 7.某公园有P，Q，R三只小船，P船最多可乘3人，Q船最多可乘2人，R船只能乘1人，现有3个大人和2个小孩打算同时分乘若干只小船，规定有小孩的船必须有大人，共有不同的乘船方法为 A．36种 B．33种 C．27种 D．21种 8.有6 名学生，其中有3 名会唱歌，2 名会跳舞，1名既会唱歌又会跳舞，现从中选出2 名会唱歌的，1名会跳舞的，去参加文艺演出，求所有不同的选法种数为 A．18 B．15 C．16 D．25 题型10 隔板法 1．（25-26高二下·广东广州·期末）将6个相同的布娃娃分给3位小朋友，要求每一位小朋友至少有一个布娃娃，则不同的分配方案有（ ） A．540种 B．90种 C．60种 D．10种 2．（25-26高二下·贵州贵阳·期末）贵阳某中学要进行爱心义卖活动，需要挑选10名志愿者，10个相同的志愿者名额要分配给负责协调工作的8个部门，每个部门至少一个名额，则名额分配方法有（   ） A．45种 B．36种 C．28种 D．8种 3．（25-26高二下·贵州遵义·期中）方程的非负整数的个数为（   ） A．495 B．715 C．1001 D．2002 4．（25-26高二下·贵州遵义·期中）方程的正整数解的个数为（     ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·全国·课后作业）将10本完全相同的科普知识书全部分给甲、乙、丙3人．若每人至少分得1本，则不同的分法种数为______；若每人至少分得2本，则不同的分法种数为______． 6．（25-26高二下·江苏淮安·期中）流感期间，班长拿了18个口罩发给5名感冒的学生，每位学生至少发3个口罩，则不同的发放方法有________种． 题型11 正难则反思想的应用 1．（25-26高二下·四川遂宁·期中）遂宁东辰新闻节目组依次录制遂宁市7个旅游景点：灵泉寺、广德寺、龙凤古镇、大英死海、沱牌产业园、蓬溪红海、观音湖的宣传视频，要求灵泉寺和广德寺不相邻，灵泉寺和观音湖相邻，且龙凤古镇不排在首和尾，不同排列种数为（      ） A． B． C． D． 【答案】C 2．某学校筹备元旦晚会节目单时，准备在前五个节目排三个歌唱节目，一个小品节目以及一个相声节目，若三个歌唱节目最多有两个相邻，则不同的排法总数为（    ） A． B． C． D． 3．四面体的顶点和各棱的中点共10个点．在这10点中取4个不共面的点，则不同的取法种数为（    ） A．141 B．144 C．150 D．155 4．因为疫情防控的需要，某校高二年级4名男教师和3名女教师参与社区防控新冠肺炎疫情的志愿服务．根据岗位需求应派3人巡视商户，且至少一名男教师；另外4人去不同的4个小区测量出入人员体温，则这7名教师不同的安排方法有（    ）种． A．34 B．816 C．216 D．210 5．（25-26高二下·河北沧州·期末）现安排6名学生去参加3个项目，要求甲、乙两同学不能参加同一个项目，每个项目都有人参加，每人只参加一个项目，则满足上述要求的不同安排方案种数为________．（用数字作答） 题型12 元素配对问题 1．（25-26高二下·广西河池·期中）小明有4件不同的上衣、5条不同的裤子、2双不同的鞋子．他从中各选一件搭配，不同的穿法共有（     ） A．11种 B．22种 C．24种 D．40种 2．（25-26高二下·河北衡水·期中）小明有件不同的上衣、条不同的裤子、双不同的鞋子.他从中各选一件搭配，不同的穿法共有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 3．（25-26高二下·全国·课堂例题）现有4件不同款式的上衣和3件不同颜色的长裤，如果一件上衣和一条长裤配成一套，则不同的搭配法种数为（   ） A．7 B．12 C．64 D．81 4．（25-26高二下·新疆·期中）双互不相同的鞋子混装在一只口袋中，从中任意取出4只，求满足下列条件的不同取法种数． (1)4只鞋子恰为2双； (2)4只鞋子中有2只成双，另2只不成双． 5．（25-26高二上·河南驻马店·阶段检测）某班级甲、乙、丙、丁、戊5名男生和，，，，5名女生参加学校羽毛球男女混双比赛，事先准备按照甲、乙、丙、丁、戊进行配对参赛. (1)若甲与配对，求其他每人都不与事先配对的同学组队的情况数； (2)记表示个人都不与事先配对的人组队的情况数，证明：. 题型13 环排问题 1．甲、乙、丙等8人围成一圈就坐，已知甲、乙两人相邻，甲、丙两人不相邻，则不同的坐法共有（   ） A．1200种 B．1440种 C．7200种 D．9600种 2．一对夫妻带着3个小孩和一个老人，手拉着手围成一圈跳舞，3个小孩均不相邻的站法种数是（    ） A．6 B．12 C．18 D．36 3．（25-26高三·全国·一轮复习）甲、乙等四个人一起随机手牵手围成一圈做游戏，甲与乙牵手的概率是（    ） A． B． C． D． 4．甲、乙、丙等八个人围成一圈，要求甲、乙、丙三人两两不相邻，则不同的排列方法有（    ） A．720种 B．1440种 C．2880种 D．4320种 5．（多选）定义“圆排列”：从n个不同元素中选m个元素围成一个圆形，称为圆排列，所有圆排列的方法数计为.圆排列是排列的一种，区别于通常的“直线排列”，既无“头”也无“尾”，所以.现有2个女生4个男生共6名同学围坐成一圈，做击鼓传花的游戏，则（    ） A．共有种排法 B．若两名女生相邻，则有种排法 C．若两名女生不相邻，共有种排法 D．若男生甲位置固定，则有种排法 6．（25-26高三下·广东东莞·阶段检测）甲、乙等6人围成一圈，且甲、乙两人相邻，则不同的排法共有______种. 题型14 错排问题 1．（多选）（25-26高二下·河南郑州·期末）将4个编号为，，，的小球放入编号为，，，的四个盒子中，则下列说法正确的是（    ） A．总共有256种放法 B．每个盒子放一个球，且球的编号与盒子的编号都不能相同的放法有9种 C．若恰有一个空盒，共有144种放法 D．每盒至多两球，有216种放法 2．（多选）（25-26高三下·山西·阶段检测）现有4个编号为1，2，3，4的盒子和4个编号为1，2，3，4的小球，要求把4个小球全部放进盒子中，则下列结论不正确的有（ ） A．没有空盒子的方法共有16种 B．有空盒子的方法共有256种 C．恰有1个盒子不放球的方法共有144种 D．没有空盒子且恰有一个小球放入自己编号的盒子的方法有16种 3．（25-26高二下·江苏宿迁·期中）编号为的5个小球放入编号为的3个盒子，要求每个盒子都要放球同时小球的编号与盒子的编号不相同，则不同的放法共有______. 4.将编号1，2，3，4的小球放入编号为1，2，3盒子中，要求不允许有空盒子，且球与盒子的编号不能相同，则不同的放球方法有 种． 5.六位同学坐在一排，现让六位同学重新坐，恰有两位同学坐自己原来的位置，则不同的坐法有 种（用数字回答）． 6．（25-26高二下·湖北武汉·期中） 现有4个编号为1，2，3，4的不同的球和4个编号为1，2，3，4的不同的盒子，把球全部放入盒子内， (1)恰有一个盒子不放球，有多少种放法 (2)每个盒子内只放一个球，恰有1个盒子的编号与球的编号相同，有多少种不同的放法 (3)将4个不同的球换成相同的球，恰有一个空盒的放法有多少种 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．（2026·湖南邵阳·模拟预测）近期，电影《功夫女足》热映，片中经典台词“，”深入人心，其哲学内涵被广大网友反复讨论．某数学兴趣小组从中提取四个首字母B，W，M，F，各取两次（即共8个字母：B，B，W，W，M，M，F，F）并排成一排．若至多有两对相同的字母相邻，则这8个字母的不同排列种数为（    ） A．2376 B．2352 C．2208 D．2068 2．（25-26高二下·陕西安康·期末）某物流公司规划了7条分别编号为1至7的无人机专属航线，现将这7条航线全部分配给甲、乙、丙3个不同的调度中心，且航线1与航线2必须分配给同一个调度中心．若每个调度中心至少分到1条航线，且甲中心分配的航线数量必须多于乙中心，则不同的分配方案总数为（     ） A．185 B．205 C．215 D．235 3．（25-26高二下·山东济宁·期末）如图，从点出发的三条线段，，的中点分别为，，.将数字，，，，，，分别标在上述个点的位置上，使，，每条线段上的三个数字之和相等，则不同的标记方法共有（    ） A．36种 B．48种 C．96种 D．144种 4．（25-26高二下·贵州毕节·期末）学校文艺晚会共9个节目，第1个和第9个已固定为曲艺节目，第5个已固定为小品节目．需在其余位置安排3个不同音乐节目和3个不同舞蹈节目，且同类节目不相邻，则不同的排法种数为（     ） A．18 B．36 C．72 D．144 5．（25-26高二下·山东济南·期末）如图，在矩形格点图中，一只蚂蚁从格点出发，沿格线爬行到格点，规定：①每次只能沿水平向右或竖直向上爬行格；②同一方向连续爬行不得超过格．则不同的爬行路径共有（）    A．种 B．种 C．种 D．种 二、多选题 6．（25-26高二下·湖南邵阳·期中）将五个编号为1，2，3，4，5的小球放入五个分别标有1，2，3，4，5号的盒子中，则下列结论正确的有（    ） A．共有3125种放法 B．恰有一个盒子不放球，共有1200种放法 C．恰有两个盒子不放球，共有3000种放法 D．没有一个空盒但小球的编号和盒子的编号都不相同的放法共有44种 7．（25-26高二下·江苏无锡·期中）某校安排甲、乙、丙、丁、戊5名老师到A、B、C、D四个社区参与志愿活动,以下说法正确的是（   ） A．5人中选出四个人安排到四个社区,每个社区都有人,则不同方法数为120 B．每人都只安排到一个社区,每个社区至少有一人,则不同的方法数为480 C．每人都只安排到一个社区,如果D社区不安排,其余三个社区至少安排一人,则这5名老师全部被安排的不同方法数为150 D．每人都安排到一个社区,每个社区至少有一人,其中甲、乙不去A社区,其余三位老师四个社区均可安排,则不同安排方案的种数是126 8．（25-26高二下·重庆·期中）年重庆市九龙坡区心理学科优质课大赛将在铁路中学举行，现在高二志愿者团队安排甲、乙、丙、丁、戊名同学参加志愿者服务活动，有接待、指引、礼仪、会议记录四项工作可以安排，则以下说法错误的是（   ） A．若每人都安排一项工作，则不同的方法数为 B．若每项工作至少有人参加，则不同的方法数为 C．如果会议记录工作不安排，其余三项工作至少安排人，则这名同学全部被安排的不同方法数为 D．每项工作至少有人参加，甲、乙不会会议记录但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是 三、填空题 9．（25-26高二上·上海·期末）现有12名划船运动员，其中2人只会划左桨，5人只会划右桨，其余5人双桨都会.现在要从12人中选取6 人（3左3右）参加比赛，选法有______ 种. 10．（26-27高一上·上海虹口·阶段检测）设全集，若集合满足：①；②若，必有；③若，必有，则这样的集合有_______________个． 11．（26-27高三上·上海长宁·阶段检测）集合 ，函数的定义域为，值域为的子集，且满足 ，则这样的函数一共有_____ 个. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $