高中数学单元测试——第六章计数原理（较难版02）

高中数学单元测试 —— 第六章计数原理（较难版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）某影城有一些电影新上映，其中有3部科幻片、2部文艺片、2部喜剧片，小华从中任选1部电影观看，则不同的选法种数有（   ） A．12 B．9 C．8 D．7 2．（本题5分）有一个信号装置，从左到右依次有4个信号显示窗，每个显示窗可亮红灯、绿灯或不亮灯，则该装置所能发出的不同信号种数为（   ） A．12 B．64 C．81 D．256 3．（本题5分）计算（   ） A．1 B．3 C．6 D．9 4．（本题5分）若一个四位数的各位数字之和为3，则这样的四位数有（   ） A．9个 B．10个 C．12个 D．15个 5．（本题5分）北斗七星是夜空中的七颗亮星，我国汉代纬书《春秋运斗枢》就有记载，它们组成的图像我国古代舀酒的斗，故命名北斗七星．北斗七星不仅是天上的星象，也是古人藉以判断季节的依据之一．如图，用点表示某一时期的北斗七星．其中四点看作共线，其他任何三点均不共线，过这七个点中任意两个点作直线，所得直线的条数为（    ） A．18 B．17 C．16 D．15 6．（本题5分）已知的展开式中第3项与第5项的二项式系数之比为，则展开式中的有理项的项数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 7．（本题5分）某次市运会跳水项目的预赛中有名参赛选手，其中校有名，校有名，校有名.现要求校名选手的出场均不能和校选手的出场相邻，则这名选手不同出场顺序的种数为（    ） A． B． C． D． 8．（本题5分）三元一次方程的正整数解的组数为（    ） A．21 B．28 C．35 D．42 二、多选题 9．（本题6分）下列问题属于排列问题的是（   ） A．从10人中选取5人组成一个卫生队 B．从10人中选取4人参加4×100米接力赛 C．从10人中选取5人参加某兴趣小组 D．从10人中选取5人分别去五个地区支教 10．（本题6分）中国的四大名著是《红楼梦》《西游记》《水浒传》《三国演义》这四部经典文学作品．小明和他的两位同学共3人计划阅读其中一部，每人选一部作品，则（    ） A．3人选择的作品均不同的方法总数为24 B．恰有2人选同一部作品的方法总数为27 C．恰有1人选《红楼梦》的概率是 D．若小明已选择读《西游记》，其余两位同学至少有一人选择读《西游记》的概率为 11．（本题6分）已知，则（   ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（本题5分）______. 13．（本题5分）用红、黄、蓝三种颜色去涂图中标号为1，2，…，9的9个小正方形，如图所示，使得任意相邻（有公共边）的小正方形所涂的颜色都不相同，且“3，5，7”号小正方形涂相同的颜色，则符合要求的涂法共有______种． 14．（本题5分）若的展开式中二项式系数之和为32，则展开式中的系数为__________. 四、解答题 15．（本题13分）（1）已知：，求； （2）解不等式：，其中. 16．（本题15分）已知． (1)求； (2)指出，，，⋯，中最大的项． 17．（本题15分）（1）证明：能被7整除． （2）求精确到0.01的近似值． 18．（本题17分）请列出式子并计算出答案 (1)4名同学报名3个运动项目，每名同学限报1个项目，每个项目不限人数，则不同的报名方法共有多少种 (2)现有包含甲在内的8名学生，从中选3人排成一排参加文艺汇演，若甲不站第一个位置，则不同的排法共有多少种 (3)某班级举行元旦晚会，已知现有8个节目已定稿，临时邀请了班级的科任老师来表演2个节目，将这2个节目添入节目单，且不改变原来的节目顺序，则不同的安排方式有多少种 19．（本题17分）在的展开式中，把，，，叫做三项式的次系数列． （1）求的值； （2）根据二项式定理，将等式的两边分别展开可得左右两边的系数对应相等，如，利用上述思想方法，请计算值； （3）我们都知道方程无实数解，对于正整数你能否计算：的值（上标，，为不超过的3的倍数，结果请用含有的代数式表示）． 试卷第1页，共3页 答案第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中数学单元测试 —— 第六章计数原理（较难版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）某影城有一些电影新上映，其中有3部科幻片、2部文艺片、2部喜剧片，小华从中任选1部电影观看，则不同的选法种数有（   ） A．12 B．9 C．8 D．7 【答案】D 【分析】根据分类加法计数原理即可求解. 【详解】由分类加法计数原理，得不同的选法种数为. 故选：D 2．（本题5分）有一个信号装置，从左到右依次有4个信号显示窗，每个显示窗可亮红灯、绿灯或不亮灯，则该装置所能发出的不同信号种数为（   ） A．12 B．64 C．81 D．256 【答案】C 【分析】由分步乘法计数原理计算可得. 【详解】由题意可得每个信号灯有三种情况，各自独立， 故该装置所能发出的不同信号种数为种. 故选：C. 3．（本题5分）计算（   ） A．1 B．3 C．6 D．9 【答案】C 【分析】根据排列数公式计算可得. 【详解】. 故选：C 4．（本题5分）若一个四位数的各位数字之和为3，则这样的四位数有（   ） A．9个 B．10个 C．12个 D．15个 【答案】B 【分析】根据3的不同组成，分类讨论求解. 【详解】当这个四位数由3，0，0，0构成时，共有1种情况， 当这个四位数由2，1，0，0构成时，共有种情况， 当这个四位数由1，1，1，0构成时，共有种情况， 综上所述，共有1+6+3=10种情况 故选：B 5．（本题5分）北斗七星是夜空中的七颗亮星，我国汉代纬书《春秋运斗枢》就有记载，它们组成的图像我国古代舀酒的斗，故命名北斗七星．北斗七星不仅是天上的星象，也是古人藉以判断季节的依据之一．如图，用点表示某一时期的北斗七星．其中四点看作共线，其他任何三点均不共线，过这七个点中任意两个点作直线，所得直线的条数为（    ） A．18 B．17 C．16 D．15 【答案】C 【分析】计算出从七个点中任意选两个点的总条数，再减去四点共线重复的直线条数，可得结果. 【详解】根据题意从七个点中任意选两个点作直线共有种， 其中四点中任意选两点只能作一条直线，有种重复， 所以所得直线的条数为种. 故选：C 6．（本题5分）已知的展开式中第3项与第5项的二项式系数之比为，则展开式中的有理项的项数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据第项的二项式系数为，求出，再根据二项展开式的通项，即可求出其有理项. 【详解】由题知，又， 所以，展开式通项为，令， 则，所以展开式中有4项的有理项. 故选：C 7．（本题5分）某次市运会跳水项目的预赛中有名参赛选手，其中校有名，校有名，校有名.现要求校名选手的出场均不能和校选手的出场相邻，则这名选手不同出场顺序的种数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】记校名选手分别为甲、乙，记事件甲与校选手的出场相邻，事件乙与校选手的出场相邻，结合韦恩图法可求出满足题设条件的排法种数. 【详解】记校名选手分别为甲、乙， 记事件甲与校选手的出场相邻，事件乙与校选手的出场相邻，如下图所示： 事件为：校选手的两边为甲和乙， 则满足题意的排法种数为 种. 故选：B. 8．（本题5分）三元一次方程的正整数解的组数为（    ） A．21 B．28 C．35 D．42 【答案】A 【分析】“将三元一次方程的正整数解的组数”转变为“等价于将8个相同的小球分成3组，每组至少1个小球的不同分法”，利用隔板法即可求得结果. 【详解】三元一次方程的正整数解的组数， 等价于将8个相同的小球分成3组，每组至少1个小球的不同分法. 只需要在8个小球中间的7个空位中选取2个空位用隔板隔开即可， 则共有种分法， 即三元一次方程的正整数解的组数为21. 故选：A. 二、多选题 9．（本题6分）下列问题属于排列问题的是（   ） A．从10人中选取5人组成一个卫生队 B．从10人中选取4人参加4×100米接力赛 C．从10人中选取5人参加某兴趣小组 D．从10人中选取5人分别去五个地区支教 【答案】BD 【分析】利用排列的定义，对各个选项逐一分析判断，即可求解. 【详解】对于A，因为选取人后没有顺序要求，不是排列问题，所以A错误， 对于B，因为选取人后，4人排列有顺序要求，是排列问题，所以B正确， 对于C，因为选取人后没有顺序要求，不是排列问题，所以C错误， 对于D，因为地区不一样，选取人后有顺序要求，是排列问题，所以D正确， 故选：BD. 10．（本题6分）中国的四大名著是《红楼梦》《西游记》《水浒传》《三国演义》这四部经典文学作品．小明和他的两位同学共3人计划阅读其中一部，每人选一部作品，则（    ） A．3人选择的作品均不同的方法总数为24 B．恰有2人选同一部作品的方法总数为27 C．恰有1人选《红楼梦》的概率是 D．若小明已选择读《西游记》，其余两位同学至少有一人选择读《西游记》的概率为 【答案】ACD 【分析】先确定总情况数，再针对每个选项，用排列或分步计数算事件数，概率用事件数÷总数求解. 【详解】首先分析总情况：3人每人选4部作品中的一部，总方法数为种. 对于A选项，3人选择的作品均不同的方法总数为，故A选项正确. 对于B选项,恰有2人选同一部作品:先选重复的作品，再选这2人，最后第3人选剩下的3部之一，方法数为,故B选项错误. 对于C选项,恰有1人选《红楼梦》：先选这一人，另外2人从剩下3部中选，方法数为 ，概率为,故C选项正确. 对于D选项,小明已选择读《西游记》，其余两位同学每人有4种选择，总情况为种， “至少有一人选择读《西游记》”的对立事件是“两人都不选《西游记》”，方法数为， 所以概率为,故D选项正确. 故选：ACD. 11．（本题6分）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据乘法的运算法则，结合赋值法、二项式系数公式逐一判断即可. 【详解】A：二项式展开式中最高次项的指数为， 所以展开式中最高次项的指数为， 所以，因此本选项说法正确； B：展开式中最高次项的指数为，系数为， 所以， 含项的系数为， 中，含项的系数， 所以，因此本选项说法正确； C：在中， 令，得， 令，得， 两式相减，得， 所以本选项说法不正确； D：由上可知，所以本选项说法正确. 故选：ABD 三、填空题 12．（本题5分）______. 【答案】35 【分析】利用组合公式进行计算. 【详解】. 故答案为：35. 13．（本题5分）用红、黄、蓝三种颜色去涂图中标号为1，2，…，9的9个小正方形，如图所示，使得任意相邻（有公共边）的小正方形所涂的颜色都不相同，且“3，5，7”号小正方形涂相同的颜色，则符合要求的涂法共有______种． 【答案】108 【分析】由涂色问题进行分情况计算即可. 【详解】分类： 若小正方形1，9与5同色，则有种； 若小正方形1与5同色，9与5异色，则有种； 若小正方形9与5同色，1与5异色，则有种； 若小正方形1，9均与5异色或1与9同色，9与5异色，则有种. 可得，故符合条件的涂法共有108种. 故答案为：108. 14．（本题5分）若的展开式中二项式系数之和为32，则展开式中的系数为__________. 【答案】 【分析】根据二项式系数之和得出，再利用二项展开式的通项公式运算求解. 【详解】二项式系数之和为，所以， 因为的展开式的通项公式为： ， 当时，所以， 则展开式中的系数为. 故答案为：40. 四、解答题 15．（本题13分）（1）已知：，求； （2）解不等式：，其中. 【答案】（1）（2） 【分析】（1）根据组合数公式得到方程，解得即可； （2）根据排列数公式得到不等式，解得，需注意且. 【详解】（1）因为，解得或（舍去）； （2）不等式， 即， 即，即，解得， 又，即且，所以或，故不等式的解集为. 16．（本题15分）已知． (1)求； (2)指出，，，⋯，中最大的项． 【答案】(1)-513 (2) 【分析】（1）直接由赋值法即可求解； （2）将问题转换为判断展开式的系数谁最大，由不等式法即可求解. 【详解】（1）令，得， 令，得， 所以； （2）判断中谁最大即判断展开式的系数谁最大． 展开式的通项， 由，得，因为，所以或6． 故中最大的项为． 17．（本题15分）（1）证明：能被7整除． （2）求精确到0.01的近似值． 【答案】（1）证明见解析；（2） 【分析】（1）先对目标式合理变形，再利用二项式定理证明整除性即可. （2）对目标式合理变形，再利用二项式定理将其展开，忽略掉其他项，进而估值即可. 【详解】（1）由二项式定理得 ， 因为上式中每一项均能被7整除，所以能被7整除． （2）由二项式定理得， 可得第三项，以后各项的绝对值更小， 故． 18．（本题17分）请列出式子并计算出答案 (1)4名同学报名3个运动项目，每名同学限报1个项目，每个项目不限人数，则不同的报名方法共有多少种 (2)现有包含甲在内的8名学生，从中选3人排成一排参加文艺汇演，若甲不站第一个位置，则不同的排法共有多少种 (3)某班级举行元旦晚会，已知现有8个节目已定稿，临时邀请了班级的科任老师来表演2个节目，将这2个节目添入节目单，且不改变原来的节目顺序，则不同的安排方式有多少种 【答案】(1)81 (2)294 (3)90 【分析】（1）根据分步乘法计数原理判断； （2）分选中甲与不选中甲两类求解判断； （3）根据定序消去法判断. 【详解】（1）根据分步乘法计数原理，有种； （2）①选的3人中无甲：种； ②选的3人中有甲：种， 总计种； （3）由定序问题消序法得共有种. 19．（本题17分）在的展开式中，把，，，叫做三项式的次系数列． （1）求的值； （2）根据二项式定理，将等式的两边分别展开可得左右两边的系数对应相等，如，利用上述思想方法，请计算值； （3）我们都知道方程无实数解，对于正整数你能否计算：的值（上标，，为不超过的3的倍数，结果请用含有的代数式表示）． 【答案】（1）13；（2）0；（3）． 【分析】（1）由题知，在三项式中，把看做整体，即可参照二项式求得三项式的展开式的各项系数，从而求得的值. （2）由知，，两边分别展开可得左右两边的系数对应相等，对于，其展开式中不含，即系数为0，则右侧展开式该项的系数也应为0，从而证得结果. （3）根据题意列出杨辉三角形类似的表，找出规律，则 ，从而将问题转化为三项式的系数和，令，即可求得结果. 【详解】（1）由题知，在三项式中，把看做整体，即可参照二项式求得三项式的展开式的各项系数， 从而，， 故. （2）由知，， 两边分别展开可得左右两边的系数对应相等，对于，其展开式中不含，即系数为0，则右侧展开式该项的系数也应为0， 即. （3）列出杨辉三角形类似的表， ，，， 则当n≥2时， 即三项式的系数和，令， 则 当n=1时，，满足条件，结论成立. 试卷第1页，共3页 答案第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $